福建省福州市2018届高三上学期期末质检数学理精彩试题

泉港一中2017-2018学年上学期期末考试高三数学（理科）试题（考试时间：120分钟 总分：150分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知i 为虚数单位，若复数2i z i =-，则（ ） A ． B ．C ．D ．2. 设常数a ∈R ，集合A ＝{x|(x －1)(x －2)≥0}，B ＝{x|x ≥a}．若A ∪B ＝R ，则a 的取值范围为( )．(－∞，1) B ．(－∞，1] C ．(2，＋∞) D ．[2，＋∞)3. 我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣（ ）. 104人 B. 108人 C. 112人 D. 120人 4.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若，则ABC ∆为（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形 C.等腰直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形5. 已知数列{}n a 满足：时，2p p q a a +=，则{}n a 的前12项和（ ）A ． 94B ．-94 C. -126 D ．126 6.设α、β、γ为平面，为m 、n 、l 直线，则m β⊥的一个充分条件是 A 、,,l m l αβαβ⊥=⊥ B 、,,m αγαγβγ=⊥⊥C 、,,n n m αβα⊥⊥⊥D 、,,m αγβγα⊥⊥⊥7.按下图所示的程序框图运算：若输出2k =，则输入x 的取值范围是（ ）A. (]20,25 B ．(]30,57 C.(]30,32 D ．(]28,578.已知变量,x y 满足条件23033010x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，若目标函数z ax y =+仅在点()3,0处取得最大值，则a 的取值范围是（ ）A ． 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ． 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭9. 如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点B ，C 在圆O 上，点B 的坐标为()1,2-，点C 位于第一象限，AOC α∠=，若BC =，则2sin cos222ααα=（ ） A． BD．10. 已知,,A B P 是双曲线22221x y a b-=上的不同三点，且AB 连线经过坐标原点，若直线,PA PB 的斜率乘积23PA PB k k =，则该双曲线的离心率e =（ ）A11.一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的全面积为（ ）ABC D12.已知函数()2x f x e =，()1ln 2g x x =+，对a R ∀∈，()0,b ∃∈+∞，使得()()f a g b =，则b a -的最小值为（ ） A ．ln 212+B ．ln 212-C.1- D1- 第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．） 13. 设()()()25501251111x a a x a x a x +=+-+-++-…，则125a a a +++=… ．14.如图，平面内有三个向量15. 设{a n }是等比数列，公比q =S n 为{a n }的前n 项和。

⊂ ≠福州市2018—2018学年度高三第一学期期末质量检查数学试卷（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两分部.共150分，考试时间120分钟. 参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么P （A +B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ） 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n k k n n P P C k P --=)1()(第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合A {2，3，7}，且A 中元素至少有一个为奇数，则这样的集合共有 （ ）A ．2个B ．4个C ．5个D ．6个 2．复数Z 1=－3+i ，Z 2=1+ i ，则Z =Z 1·Z 2在复平面内对应点位于 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．“a =1”是“函数y =cos ax ·sin ax 的最小正周期为π”的 （ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件4．曲线23-+=x x y 在点P 0处的切线平行于直线14-=x y ，则点P 0的坐标为 （ ）A ．（1，0）或（0，－2）B ．（0，－2）或（2，8）C ．（2，8）或（－1，－4）D ．（1，0）或（－1，－4）5．若函数b a x f x+=)(的图象过点（1，7），且0)4(1=-f ，则)(x f 的表达式是（ ）A ．43)(+=xx f B ．34)(+=xx f C ．52)(+=xx f D ．25)(+=xx f6．椭圆短轴长为52，离心率32=e ，两焦点为F 1、F 2，过F 1作直线交椭圆于A 、B 两点， 则△ABF 2的周长为（ ）A ．6B ．12C ．24D ．487．若1830,0=+>>yx y x 且，则xy 有 （ ）A ．最大值96B ．最小值961 C ．最小值48 D ．最小值968．从0、3、4、5、7中任取三个不同的数，分别作一元二次方程的二次项系数，一次项系 数及常数项，则可以作出的不同方程的个数是 （ ） A ．10 B ．24 C ．48 D ．60 9．将一个函数的图象按)2,4(π=a 平移后得到的图象的函数解析式2)4sin(++=πx y ，那么原来的函数解析式是（ ）A ．x y sin =B ．x y cos =C ．x y sin =+2D ．x y cos =+410．有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这20个零件中任取3个，那么其中至少有1个一等品的概率是 （ ）A ．32024116C C C B ．320219116C C C C ．32031624116C C C C + D ．320341C C - 11．若9)222(-x的展开式的第7项为421，则)(lim 32n n x x x x ++++∞→ 等于 （ ）A ．43B ．41 C ．－41 D ．－43 12．国际上通常用恩格尔系数来衡量一个国家和地区人民的生活水平，它的计算公式:(x yxn =人均食品支出总额，y :人均个人消费支出总额），且.4502+=x y王先生居住地2018年食品价格比2000年下降了7.5%，该家庭在2018年购买食品和2000年完全相同的情况下人均少支出75元，则该家庭2018年属于 （ ） A ．富裕 B ．小康 C ．温饱 D ．贫困第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上. 13．设随机变量ξ分布列为P （===k k k ,10)ξ1、2、3、4，则=≤≤)2521(ξP . 14．数列}{n a 是等比数列，若)0(1752≠=⋅⋅m m a a a ，则=⋅97a a . 15．圆1)1(22=++y x 在不等式组⎩⎨⎧≤+≤-00y x y x 所表示的平面区域中所围成的图形的面积为.16．在△ABC 中，有命题：（1）BC AC AB =- （2）0=++CA BC AB （3）若0)()(=-⋅+，则△ABC 为等腰三角形， （4）若0>⋅，则△ABC 为锐角三角形.其中真命题的编号为 （写出所有真命题的编号）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）某种圆形射击靶由三个同心圆构成（如图），从里到外的三个区域分别记为A 、B 、C ，（B 、C 为圆环），某射手一次射击中，击中A 、B 、C 区域的概率分别为P （A ）=0.4， P （B ）=0.25，P （C ）=0.2，没有中靶的概率为P （D ）.（1）求P （D ）；（2）该射手一次射击中，求击中A 区或B 区的概率； （3）该射手共射击三次，求恰有两次击中A 区的概率.18．（本小题满分12分） 解关于x 的不等式1|232|≥---ax ax .已知△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，向量)2sin ,2(cosCC =， )2sin ,2(cosC C n -=，且与的夹角为.3π（1）求角C 的值； （2）已知27=c ，△ABC 的面积233=S ，求b a +的值.各项均为正数的数列{}n a ，对于任意正整数n ，都有.22n n n a a S +=（1）求证数列{}n a 是等差数列；（2）若数列{}n b 满足n n n a b 2⋅=，求数列{}n b 的前n 项和.n T已知函数t R x x x t x g ,,)2(4)2(2)(3∈---=为常数，函数)(x f y =的图象与)(x g y =的图象关于直线1=x 对称.（1）求)(x f 的解析式；（2）是否存在常数),4[+∞∈t ，使得)(x f 在区间（0，1]上有最大值8？若存在，求出t 值；若不存在，说明理由.在△ABC 中，0,3||,4||=⋅==BC AB BC AB ，若双曲线经过点C ，且以A 、B 为焦点.（1）求双曲线的方程； （2）若点G 满足21=，问是否存在不平行于AB 的直线l 与双曲线交于不同两点 M 、N ，是||||=，若存在，求出直线l 的斜率的取值范围；若不存在，说明理由.福州市2018—2018学年度高三第一学期期末质量检查数学试卷（理科）参考答案一、选择题1．C 2．C 3．A 4．D 5．B 6．B 7．D 8．C 9．B 10．D 11．C 12．B 二、填空题13．103；14．32m ；15．12+π；16．（2）（3）三、解答题 17．解：（1）415.02.025.04.01)()()(1)('=---=---=C P B P A P D P（2）P=P （A ）+P （B ）=0.4+0.25=0.65 答：击中A 区或B 区的概率为0.65…………………………8′（3）288.0)4.01()4.0(223=-=C P答：恰有两次击中A 区的概率为0.288…………………………12′ 18．解法1： 由原不等式得1232≥---a x a x ……（1）或1232-≤---a x ax ……（2）……2′由（1）得：0)3(≥-+-a x a x 解得a x <或3+≥a x ………………6′ 由（2）得0333≤---a x a x ，即0)1(≤-+-ax a x解得1+≤<a x a …………………………………………10′∴ 原不等式的解为a x <或1+≤<a x a 或3+≥a x …………………………12′解法2：由原不等式得⎩⎨⎧-≥--≠|||232|a x a x ax ……………………………………2′⇒⎩⎨⎧-≥--≠22)()232(a x a x ax ⇒0)()232(22≥⎩⎨⎧----≠a x a x ax⇒⎩⎨⎧≥-+--+---≠0)232)(232(a x a x a x a x ax …………………………6′ ⇒⎩⎨⎧≥+-+-≠0)]1()][3([3a x a x ax ⇒⎩⎨⎧+≥+≤≠31a x a x ax 或……………………………………10′∴原不等式的解为a x <或1+≤<a x a 或3+≥a x …………………………12′19．解：（1）1||||,3cos ||||==⋅⋅=⋅n m n m n m 且π…………………………2′3cos )2sin (2sin 2cos 2cos π=-+∴C C C C 即3cos cos π=C ………………4′又3),0(ππ=∴∈∴C C ………………………………6′ （2）由C ab b a c cos 2222-+= 得ab b a -+=22449………………① 由6sin 21=⋅=∆ab c ab S 得………………②………………………………10′由（1）（2）得4121)(2=+b a a 、+∈R b211=+∴b a ………………………………………………………………12′20．解：（1）当1=n 时，12112a a a += 1011=∴>a a ……………………1′当2≥n 时，)(2212121---+-+=-n n n n n n a a a a S S12122---+-=⇒n n n n n a a a a a ………………………………………………3′)())((111---+=+-⇒n n n n n n a a a a a a由已知得01≠+-n n a a 11=-∴-n n a a （常数）∴数列}{n a 是首项为1，公差为1的等差数列…………………………6′（2）由（1）得n n n n b na 2⋅=∴=n n n T 22322232⋅++⋅+⋅+= ……………………………………8′2143222)1(23222+⋅+-++⋅+⋅+=n n n n n T两式相减得－13222222+⋅-++++=n n n n T …………………………10′112)21(2221)21(2++⋅---=⋅---=n n n n n n 22)1(1+⋅-=∴+n n n T ……………………………………………………12′21．解：（1）设),(y x P 是)(x f y =图象上任一点，点P 关于直线1=x 的对称点为),2(y x P -'，由已知点P '在)(x g y =的图象上……………………2′3342)]2(2[4)]2(2[2)2(x tx x x t x g y -=-----=-=∴ 即342)(x tx x f -=………………………………………………4′（2）当),4[],1,0(+∞∈∈t x 时2122)(x t x f -='，由0)(='x f 得60t x ±=……………………6′ 当60t x <<时)(,0)(x f x f >'在（0，6t ）内单调递增； 当6t x >时)(,0)(x f x f <'在（6t ，+∞）内单调递减； 6t x =∴是)(x f 的极大点.…………………………8′ 若16<t ，即64<≤t 时，)(x f 在（0，1]上只有一个极值，即为最大值.8)6()(max ==∴t f x f 解得6=t此时不存在满足要求的t 值.………………………………10′ 若16≥t ，即6≥t 时，)(x f 在（0，1]上单调递增.842)1()(max =-==∴t f x f ∴6=t 综上，存在常数6=t ，使得)(x f 在区间（0，1]上有最大值8………………12′22．解：（1）由已知得△ABC 为直角三角形，以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，（如图），设双曲线方程为： )0,0(12222>>=-b a by a x ……………………2′双曲线过点c ，2||||2=-=∴a ,1=∴a 又3,2222=-=∴=a c b c∴双曲线方程为1322=-y x ………………6′ （2）依题意，可设直线l 方程为)0(≠+=k m kx y由⎪⎩⎪⎨⎧=-+=1322y x m kx y 得0)3(2)3(222=+---m kmx x k ……………………8′∵直线l 与双曲线交于不同两点M 、N ，设M （),(),,2211y x N y x0)3)(3(44,0322222>+-+=∆≠-∴m k m k k 且 解得：3,322->±≠k m k 且……………………① 2213k km x x -=+…………………………9′又设MN 中点为F （),00y x ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=-=+=2002210333)(21k m m kx y k km x x x ……………………10′ 由已知得G （0，3），又kx y l GF 13,||||00-=-⊥∴=即 消去0x 、0y 得4392k m -=……………………② 把②代入①得（3)439222->-k k ………………………………12′ 解得034333343≠><<--<k k k k 但或或综上：存在直线l ，它的斜率取值范围为),343()0,3()343,(+∞⋃-⋃--∞∈k …………………………………………14′。

福建省厦门市2018届高三上学期期末质检数学（理）试题全析全解1．B【解析】由题意得{}{}{}10,101A x x x B x x x x =-=-≥=≥或， ∴{}1A B x x ⋂=≥．选B ． 2．C【解析】由特称命题的否定可得，所给命题的否定为“32R,10x x x ∀∈-+>”．选C ． 3．B综上选B ． 4．D【解析】选项A 中， m 与α的关系是m α 或m α⊂，故A 不正确．选项B 中， n 与α的关系是n α⊥或n 与α相交但不垂直或n α ．故B 不正确．选项C 中，α与β之间的关系是αβ 或相交．故C 不正确．选项D 中，由线面平行的性质可得正确． 选D ． 5．C【解析】画出不等式组表示的可行域（如图阴影部分所示），由2z x y =+可得2y x z =-+，平移直线2y x z =-+，由图形得，当直线2y x z =-+经过可行域内的点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 取得最大值． 由题意得点A 的坐标为（1,0）， ∴max 2102z =⨯+=．选C ． 6．A7．C【解析】根据题意建立如图所示的平面直角坐标系，则()()1,1,2,2O C ，设()()2,02P t t ≤≤，则()()1,1,0,2OP t CP t =-=-，∴()()2231123224OP CP t t t t t ⎛⎫⋅=--=-+=-- ⎪⎝⎭ ，∴当32t =时， OP CP ⋅ 有最小值14-．选C ．8．A【解析】∵()()()22cos()cos 11x x x xf x f x x x ---==-=-+-+， ∴函数()f x 为奇函数，故排除D ． 又()()cos12cos210,2025f f =>=<，故排除B,C ． 选A ．点睛：已知函数的解析式判断函数图象的形状时，主要是按照排除法进行求解，可按照以下步骤进行： （1）求出函数的定义域，对图象进行排除； （2）判断函数的奇偶性、单调性，对图象进行排除； （3）根据函数图象的变化趋势判断；（4）当以上方法还不能判断出图象时，再选取一些特殊点，根据特殊点处的函数值进行判断． 9．D10．C【解析】由题意得，当输入10m =时，程序的功能是计算并输出2222221123149110222222S ---=++++++ ．学科网计算可得()()118244880416366410019022S =++++++++=．选C ． 11．B【解析】∵sin cos 4πϕϕϕ⎛⎫-=-=⎪⎝⎭，∴1sin 42πϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 又444πππϕ-<-<，∴46ππϕ-=， 512πϕ=． ∴()2515151sin 1cos 2cos 21226262f x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 由5222,6k x k k Z ππππ≤+≤+∈， 得5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， ∴函数的单调增区间为5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦．选B ．点睛：求正（余）弦型函数单调区间的注意点（1）将所给的函数化为形如()()sin f x A x ωϕ=+或()()cos f x A x ωϕ=+的形式，然后把x ωϕ+看作一个整体，并结合正（余）弦函数的单调区间求解．（2）解题时注意,A ω的符号对所求的单调区间的影响，特别是当A 或ω为负数时，要把x ωϕ+代入正（余）弦函数相对的单调区间内求解． 12．D【解析】画出函数()y f x =的图象（图中黑色部分），则函数()y f x =的图象向左平移12个长度单位，得到函数12y f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象（图中红色部分），设两图象交于点,A B ，且横坐标分别为12,a a ．由图象可得满足()12f a f a ⎛⎫≥+⎪⎝⎭的实数a 的取值范围为][1270,,2a a ⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭．对于1a ，由21211log log 2a a ⎛⎫-=+⎪⎝⎭，解得11112a a =+，所以211220a a --=，解得1a =或1a =． 对于2a ，由22221log log 42a a ⎡⎤⎛⎫=-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，解得274a =． 综上可得实数a的取值范围为[77,42⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭．选D ． 点睛：解答本题的技巧在于借助于数形结合增强了解题的直观性，利用图象的平移，将解不等式的问题转化为两函数图象的相对位置关系来处理，然后根据函数图象的交点情况，通过解方程的方法求得所求范围的端点值，最后根据图象写出不等式成立时参数的范围。

2017—2018学年度第一学期期末联考试题高三数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分全卷满分150分，考试时间120分钟．注意：1. 考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上．2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效．3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效．1．设集合{123}A =，，，{45}B =，，{|}M x x a b a A b B ==+∈∈，，，则M 中的元素个数为A ．3B ．4C ．5D ．62．在北京召开的第24届国际数学家大会的会议，会议是根据中国古代数学家赵爽的弦图（如图）设计的，其由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，若直角三角形的直角边的边长分别是3和4，在绘图内随机取一点，则此点取自直角三角形部分的概率为 A ．125B ．925C ．1625D ．24253．设i 为虚数单位，则下列命题成立的是A ．a ∀∈R ，复数3i a --是纯虚数B ．在复平面内i(2i)-对应的点位于第三限象C ．若复数12i z =--，则存在复数1z ，使得1z z ∈RD ．x ∈R ，方程2i 0x x +=无解4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3215109S a a a =+=，，则1a =A ．19B ．19-C ．13D ．13-5．已知曲线421y x ax =++在点(1(1))f --，处切线的斜率为8，则(1)f -=试卷类型：A天门 仙桃 潜江A ．7B ．－4C ．－7D ．4 6．84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是A ．56B ．84C ．112D ．1687．已知一个空间几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 A ．4cm 3B ．5 cm 3C ．6 cm 3D ．7 cm 38．函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图像如图所示，则(1)(2)(3)(18)f f f f ++++的值等于ABC 2D ．19．某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1，2，3…，24 这24个整数中等可能随机产生。

福建省福州市2018届高三上学期期末质检试题文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为,,所以，故选C.2. 若复数为纯虚数，则实数（）A. B. C. 1 D. 2【答案】A【解析】复数为纯虚数，所以,故选A.3. 已知，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，，故选B.4. （）A. B. C. 1 D.【答案】D【解析】，故选D.5. 已知双曲线的两个焦点都在轴上，对称中心为原点，离心率为.若点在上，且，到原点的距离为，则的方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由直角三角形的性质可得，又，的方程为，故选C.6. 已知圆柱的高为2，底面半径为，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设球半径为该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，可得，球的表面积为，故选D.7. 如图的程序框图的算法思路源于我国古代著名的《孙子剩余定理》.图中的表示正整数除以正整数后的余数为，例如.执行该程序框图，则输出的等于（）A. 23B. 38C. 44D. 58【答案】A【解析】本题框图计算过程要求找出一个数除以3余数为2；除以5余数为3；除以7余数为2，那么这个数首先是23，故选8. 将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】函数的周期为函数向右平移个周期后，得到，故选D.9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由三视图可知，该多面体是如图所示的三棱锥，其中三棱锥的高为，底面为等腰直角三角形，直角边长为，表面积为，故选A.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查棱锥的体积公式、棱锥的表面积以及学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题. 三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.10. 已知函数若，则（）A. B. 3 C. 或3 D. 或3【答案】A【解析】若，得，若，不合题意，，故选A.11. 过椭圆的右焦点作轴的垂线，交于两点，直线过的左焦点和上顶点.若以为直径的圆与存在公共点，则的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】直线的方程为，圆心坐标为，半径为与圆有公共点，，可得，，，故选A.【方法点晴】本题主要考查利用椭圆的简单性质及求椭圆的离心率范围，属于难题. 求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率范围问题应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围 . 本题是利用点到直线的距离小于圆半径构造出关于的不等式，最后解出的范围.12. 已知函数，若关于的不等式恰有3个整数解，则实数的最小值为（）A. 1B.C.D.【答案】C【解析】，等价于，即恰有个整数解，即有个整数解，，时，不等式无解，时，不等式只有一个整数解，排除选项，当时，由可得在递减，由可得在递增，，合题意，时，，不等式无解；，合题意，，合题意，当时，，不等式无解；故时，有且只有个整数解，又的最小值为，故选C.【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式、排除法解选择题，属于难题. 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前项和公式问题等等.第Ⅱ卷（共90分）二.填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 某商店随机将三幅分别印有福州三宝（脱胎漆器、角梳、纸伞）的宣传画并排贴在同一面墙上，则角梳与纸伞的宣传画相邻的概率是__________．【答案】【解析】福州三宝的全排列共有种排法，角梳与纸伞相邻的排法，有种排法，根据古典概型概率公式可得，角梳与纸伞的宣传画相邻的概率是，故答案为.14. 曲线在处的切线方程为__________．【答案】【解析】由，得，所以切线斜率为，切点坐标为，由点斜式得切线方程为，即，故答案为.15. 的内角的对边分别为，已知，则的大小为__________．【答案】【解析】由，根据正弦定理得，即，，又，，故答案为.16. 某工厂制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工两道工序.已知生产一把椅子需要木工4个工作时，漆工2个工作时；生产一张桌子需要木工8个工作时，漆工1个工作时.生产一把椅子的利润为1500元，生产一张桌子的利润为2000元.该厂每个月木工最多完成8000个工作时、漆工最多完成1300个工作时.根据以上条件，该厂安排生产每个月所能获得的最大利润是__________元.【答案】2100000【解析】【方法点晴】本题主要考查利用线性规划解决现实生活中的最佳方案及最大利润问题，属于难题题. 求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列前项和为，且.（1）证明数列是等比数列；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）数列是以为首项，以2为公比的等比数列. （2）【解析】试题分析：（1）当时，，可得以，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列；（2）由（1）知，，可得，利用错位相减法可得数列的前项和.试题解析：（1）当时，，所以，当时，，所以，所以数列是以为首项，以2为公比的等比数列.（2）由（1）知，，所以，所以（1）（2）（1）-（2）得：，所以.【方法点睛】本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式以及错位相减法求数列的的前项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.18. 随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现.某运营公司为了了解某地区用户对其所提供的服务的满意度，随机调查了40个用户，得到用户的满意度评分如下：用系统抽样法从40名用户中抽取容量为10的样本，且在第一分段里随机抽到的评分数据为92.（1）请你列出抽到的10个样本的评分数据；（2）计算所抽到的10个样本的均值和方差；（3）在（2）条件下，若用户的满意度评分在之间，则满意度等级为“级”.试应用样本估计总体的思想，估计该地区满意度等级为“级”的用户所占的百分比是多少？（精确到)参考数据：.【答案】（1）样本的评分数据为92,84,86,78,89,74,83,78,77,89. （2）,=33（3）【解析】试题分析：（1）由第一分段里随机抽到的评分数据为的编号为，根据系统抽样方法先抽取样本的编号，再对应抽取评分数据即可；（2）先根据样本平均值公式直接求出抽到的个样本的均值，再根据方差公式求出方差即可；（3）由题意知评分在之间，即之间，根据表格数据可得容量为的样本评分在之间有人，则该地区满意度等级为“级”的用户所占的百分比约为.试题解析：（1）由题意得，通过系统抽样分别抽取编号为4,8,12,16,20,24,28,32,36,40的评分数据为样本，则样本的评分数据为92,84,86,78,89,74,83,78,77,89.（2）由（1）中的样本评分数据可得，则有（3）由题意知评分在之间，即之间，由（1）中容量为10的样本评分在之间有5人，则该地区满意度等级为“级”的用户所占的百分比约为.另解：由题意知评分在，即之间，，从调查的40名用户评分数据中在共有21人，则该地区满意度等级为“级”的用户所占的百分比约为.19. 如图，在四棱锥中，,，点为棱的中点.（1）证明：平面；（2）若，求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）取的中点，连接，根据三角形中位线定理可得，从而可得四边形为平行四边形，，利用线面平行的判定定理可得平面；（2）由得，由勾股定理可得，从而得平面，到平面的距离为，利用三角形面积公式求出底面积，根据等积变换及棱锥的体积公式可得.试题解析：（1）取的中点，连接.因为点为棱的中点，所以且，因为且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面.（2）因为，所以.因为，所以，所以，因为,平面，平面,所以平面.因为点为棱的中点，且，所以点到平面的距离为2..三棱锥的体积.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、利用等积变换求三棱锥体积，属于中档题. 证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.20. 抛物线与两坐标轴有三个交点，其中与轴的交点为.（1）若点在上，求直线斜率的取值范围；（2）证明：经过这三个交点的圆过定点.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由. 可得；（2）设圆的圆心为，都过定点.试题解析：（1）由题意得.故（2）由（1）知，点坐标为.令，解得，故.故可设圆的圆心为，由得，，解得，则圆的半径为.所以圆的方程为，所以圆的一般方程为，即.由得或，故都过定点.21. 已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，证明：.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）对分两种情况讨论，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2））因为，所以原不等式等价于，结合（1）可得，利用导数研究函数的单调性，可得以，所以，即，即.试题解析：（1），①若，则，在上为増函数；②若，则当时，；当时，.故在上，为増函数；在上，为减函数.（2）因为，所以只需证，由（1）知，当时，在上为增函数，在上为减函数，所以.记，则，所以，当时，，为减函数；当时，，为增函数，所以.所以当时，，即，即.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线（为参数，）.在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线.（1）若与曲线没有公共点，求的取值范围；（2）若曲线上存在点到距离的最大值为，求的值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）将曲线与直线转为直角坐标系方程，然后联立直线与方程组求得结果（2）利用三角函数求出点到直线的距离表达式，结合题目求得结果解析：（1）因为直线的极坐标方程为，即，所以直线的直角坐标方程为；因为（参数，）所以曲线的普通方程为，由消去得，，所以，解得，故的取值范围为.（2）由（1）知直线的直角坐标方程为，故曲线上的点到的距离，故的最大值为由题设得，解得.又因为，所以.点睛：本题考查了参数方程的知识点，先将参数方程或者极坐标方程转化为直角坐标系的方程，然后根据在直角坐标系的方法求得结果，在计算点到线的距离时，由三角函数的方法在计算中更为简单23. 选修4-5：不等式选讲设函数.（1）求不等式的解集；（2）已知关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围. 【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）根据题目进行分类讨论的化简，继而算出结果（2）利用不等式求解，再根据条件计算出实数的取值范围解析：（1）因为，所以，，或或解得或或，所以，故不等式的解集为.（2）因为，所以当时，恒成立，而，因为，所以，即，由题意，知对于恒成立，所以，故实数的取值范围.。

福州市2018届高三上学期期末考试理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合()(){}310A x x x =-+<，{}10B x x =->，则A B ⋃=（ ） A ．()1,3 B ．()1,-+∞ C ．()1,+∞ D ．()(),11,-∞-⋃+∞2.若复数1ai+，则实数a =（ ）A ．1B ．1-C ．1± D．3.下列函数为偶函数的是（ ）A ．tan 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B ．2x y x e =+ C ．cos y x x = D ．ln sin y x x =-4.若2sin cos 12x x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则cos 2x =（ ）A ．89-B ．79-C ．79D ．725-5.已知圆锥的高为3，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积等于（ ）A ．83πB ．323π C ．16π D ．32π6.已知函数()22,0,11,0,x x x f x x x⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩则函数()3y f x x =+的零点个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．37.如图的程序框图的算法思路源于我国古代著名的“孙子剩余定理”，图中的(),Mod N m n =表示正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，例如()10,31Mod =.执行该程序框图，则输出的i 等于（ ）A ．23B ．38C ．44D ．588.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）A ．14B ．10+．212++9.已知圆()221:582C x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，抛物线()2 :20E x py p =>上两点()12,A y -与()24,B y ，若存在与直线AB 平行的一条直线和C 与E 都相切，则E 的标准方程为（ ）A ．12x =-B ．1y =-C ．12y =- D ．1x =-10.不等式组1,22x y x y -≥⎧⎨+≤⎩的解集记为D .有下列四个命题：()1:,,22p x y D x y ∀∈-≥ ()2:,,23p x y D x y ∃∈-≥()32:,,23p x y D x y ∀∈-≥()4:,,22p x y D x y ∃∈-≤-其中真命题的是（ ）A ．23,p pB ．14,p pC ．12,p pD ．13,p p11.已知双曲线()2222:10,0a x y E a bb >->=的左、右焦点分别为12,F F ，点,M N 在E 上，12122//,5MN F F MN F F =，线段2F M 交E 于点Q ，且2F Q QM = ，则E 的离心率为（ ）A ． D 12.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，121n n a a n ++=+，且1350n S =.若22a <，则n 的最大值为（ ）A ．51B ．52C ．53D ．54第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知单位向量,a b 满足()22a a b ⋅-=，则,a b 的夹角为 ．14.设n 为正整数，32nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为 ．15.将函数2sin cos y x x =+的图象向右平移ϕ个单位长度，得到函数2sin cos y x x =-的图象，则sin ϕ的值为 ．16.如图，已知一块半径为1的残缺的半圆形材料MNQ ，O 为半圆的圆心，85MN =.现要在这块材料上裁出一个直角三角形.若该三角形一条边在MN 上，则裁出三角形面积的最大值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列{}n a 中，()*12111,2,322,n n n a a a a a n n N +-===-≥∈.设1n n n b a a +=-. （1）证明：数列{}n b 是等比数列；（2）设()2412nn nb c n=-，求数列{}n c 的前n 项的和n S .18.已知菱形ABCD 的边长为2，60DAB ∠=︒.E 是边BC 上一点，线段DE 交AC 于点F .（1）若CDE ∆DE 的长；（24DF =，求sin DFC ∠.19.如图，在四棱锥E ABCD -中，//,90,22A BC D A B C C D A B C E∠=︒===，120,BCE DE ∠=︒=.（1）证明：平面BCE ⊥平面CDE ；（2）若4BC =，求二面角E AD B --的余弦值.20.已知F 为椭圆22:143x y C +=的右焦点，M 为C 上的任意一点.（1）求MF 的取值范围；（2）,P N 是C 上异于M 的两点，若直线PM 与直线PN 的斜率之积为34-，证明:,M N 两点的横坐标之和为常数.21.已知函数()()221ln f x x a x ax a R =-+-∈. （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若0a =且()0,1x ∈，求证：()211xf x x e x+-<. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线cos ,:sin x t C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，0t >）.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线:cos 4l πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）若l与曲线C没有公共点，求t的取值范围；（2）若曲线C上存在点到l，求t的值.23.选修4-5：不等式选讲设函数()1,f x x x R=-∈.（1）求不等式()()31f x f x≤--的解集；（2）已知关于x的不等式()()1f x f x x a≤+--的解集为M，若31,2M⎛⎫⊆⎪⎝⎭，求实数a的取值范围.参考答案一、选择题1-5: BCBCB 6-10: CADCA 11、12：BA二、填空题13. 120︒ 14. 112 15.45三、解答题17.解：（1）证明：因为()*11322,n n n a a a n n N +-=-≥∈，1n n n b a a +=-， 所以()111211132n n n n n n n n n n n a a a b a a b a a a a +++++++---==--()1122n n n na a a a ++-=-， 又因为121211b a a =-=-=，所以数列{}n b 是以1为首项，以2为公比的等比数列. （2）由（1）知11122n n n b --=⨯=， 因为()2412nn n b c n =-，所以()2412nn nb c n=-()()11112212142121n n n n ⎛⎫==- ⎪+--+⎝⎭，所以12111111143352121n n S c c c n n ⎛⎫=+++=-+-++- ⎪-+⎝⎭111421n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭42nn =+. 18.解：解法一：（1）依题意，得60BCD DAB ∠=∠=︒，因为CDE ∆的面积S =所以1sin 2CD CE BCD ⋅⋅∠=所以12sin 602CE ⨯⋅︒=解得1CE =，根据余弦定理，得DE ===（2）依题意，得3060ACD BDC ∠=︒∠=︒,，设CDE θ∠=，则060θ︒<<︒， 在CDE ∆中，由正弦定理得sin sin CF DFACDθ=∠，4DF =，所以sin 2CF DF θ==，所以cos θ=所以()1sin sin 302DFC θ∠=︒+==. 解法二：（1）同解法一.（2）依题意，得3060ACD BDC ∠=︒∠=︒,，设CDE θ∠=，则060θ︒<<︒， 在CDF ∆中，设4CF x =4DF =，则DF ， 由余弦定理，得2222DF CD CF CD CFcos ACD =+-⋅∠，得227416x x =+-，解得x =，或x =.又因为12CF AC ≤=，所以x ≤，所以x =，所以DF =在CDF ∆中，由正弦定理，得sin sin CD DFCFD ACD=∠∠，得sin CFD ∠.19.解：（1）证明：因为//,90AB CD ABC ∠=︒， 所以CD BC ⊥.因为42,CD CE DE ===,222C D CE DE +=， 所以CD CE ⊥， 因为BC CE C ⋂=， 所以CD ⊥平面BCE . 因为CD ⊂平面CDE ， 所以平面BCE ⊥平面CDE .（2）由（1）知，CD ⊥平面BCE ，故以点C 为坐标原点，分别以CB CD、的方向为x 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -.所以()()()()4,0,2,400,,0,0,4A B E D -，，， 所以()()4,0,2,2AD AE =-=--，设平面ADE 的法向量为(),,n x y z =， 则00AD n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，所以420520x z x z -+=⎧⎪⎨--=⎪⎩，取1x =，则()2n =，又因为平面ABD 的一个法向量为()0,1,0m =，所以cos ,n m ==所以二面角E AD B --.20.解：解法一：（1）依题意得2,ab ==1c =， 所以C 的右焦点F 坐标为()1,0， 设C 上的任意一点M 的坐标为(),M M x y ， 则22143M M x y +=， 所以()()2222231134M M M M MF x y x x =-+=-+-()221124444M M M x x x =-+=-， 又因为22M x -≤≤，所以219MF ≤≤， 所以13MF ≤≤，所以MF 的取值范围为[]1,3.（2）设P M N 、、三点坐标分别为()()(),,,,,P P M M N N x y x y x y ，设直线PM PN 、斜率分别为12k k 、，则直线PM 方程为()1P P y y k x x -=-， 由方程组()2211,43P P x y y y k x x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩消去y ，得 ()()2222211111348484120P P P P P P k xk k x y x k x k x y y +--+-+-=，由根与系数关系可得()1121834P P M P k k x y x x k -+=+，故()21111221184833434P P P P PM P k k x y k x k y x x x k k ---=-=++，同理可得()2222834P P N P k k x y x x k -+=+，又1234k k ⋅=-，故()22112221338844343344P P P P N P x y k k x y k k x x k k ⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭+===+⎛⎫+- ⎪⎝⎭1216843P P x k y k ++， 则1216843P P N P x k y x x k +=-+2112148334P P PM k x k y x x k --=-=-+， 从而0N M x x +=.即M N 、两点的横坐标之和为常数.解法二：（1）依题意得2,a b =1c ==， 所以C 的右焦点F 坐标为()1,0， 设C 上的任意一点M 的坐标为(),M M x y ， 设C 上的任意一点M的坐标为()2cos αα， 则())()22222cos 1cos 2MF ααα=-+=-，又因为1cos 1α-≤≤，所以219MF ≤≤， 所以13MF ≤≤，所以MF 的取值范围为[]1,3.（2）设P M 、两点坐标分别为()(),,,P P M M x y x y ，线段PM PN 、的中点分别为E F 、，点E 的坐标为(),E E x y ，直线PM PN OE 、、的斜率分别为123k k k 、、， 由方程组22221,431,43P P M M x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得222234P M P M y y x x -=--， 所以34PM P M P M P M y y y y x x x x -+⋅=--+， 所以2324P M E P M E y y y x x x -⋅=--，所以1334k k ⋅=-，又因为1234k k ⋅=-，所以23k k =，所以//PN OE ，所以MN 的中点在OE 上，同理可证：MN 的中点在OF 上，所以点O 为线段MN 的中点.根据椭圆的对称性，所以M N 、两点的横坐标之和为常数.21.解：解法一：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()()()2222111212ax ax a x ax f x a x a x x x+---'=-+-==， ①若0a =时，则()0f x '<，()f x 在()0,+∞上单调递减； ②若0a >时，当1x a =时，()0f x '=； 当1x a <时，()0f x '<； 当 1x a>时，()0f x '>. 故在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，()f x 单调递减；在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，()f x 单调递増； ③若0a <时，当12x a =-时，()0f x '=； 当12x a <-时，()0f x '<；当12x a>-时，()0f x '>. 故在10,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上，()f x 单调递减；在1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上，()f x 单调递増.（2）若0a =且()0,1x ∈，欲证()211x f x x e x +-<， 只需证21ln 11x x x e x-+-<， 即证()()31ln 1x x x x x e -<+-.设函数()()()()1ln 0,1g x x x x =-∈，则()ln g x x '=-.当()0,1x ∈时，()0g x '> .故函数()g x 在()0,1上单调递增.所以() 1(1)g x g <=.设函数()31()x h x x x e =+-，则()23()23x h x x x x e '=+--. 设函数233()2p x x x x =+--，则()2163p x x x '=--.当()0,1x ∈时，()()0180p p ''⋅=-<，故存在()00,1x ∈，使得()00p x '=，从而函数()p x 在()00,x 上单调递增；在()0,1x 上单调递减. 当()00,x x ∈时，()()002p x p >=，当()0,1x x ∈时，()()0140p x p <-<⋅ 故存在()10,1x ∈，使得()10h x '=，即当()10,x x ∈时，()0p x >，当()1,1x x ∈时，()0p x < 从而函数()h x 在()10,x 上单调递增；在()1,1x 上单调递减. 因为()()01,1h h e ==，故当()0,1x ∈时，()()01h x h >=所以()()()31ln 1,0,1x x x x x e x -<+-∈，即()()211,0,1x f x x x e x+-<∈. 解法二：（1）同解法一.（2）若0a =且()0,1x ∈，欲证()211x f x x e x+-<， 只需证21ln 11x x x e x-+-<， 即证()()31ln 1x x x x x e -<+-.设函数()()()()1ln 0,1g x x x x =-∈，则()ln g x x '=-.当()0,1x ∈时，()0g x '> .故函数()g x 在()0,1上单调递增.所以() 1(1)g x g <=. 设函数()()()31,0,1x h x x x e x =+-∈，因为()0,1x ∈，所以3x x >，所以311x x +->，又1x e e <<，所以()1h x >，所以()()1h g x x <<，即原不等式成立.解法三：（1）同解法一.（2）若0a =且()0,1x ∈，欲证()211x f x x e x+-<， 只需证21ln 11x x x e x-+-<， 由于01ln 0,1x x e e ->>=，则只需证明211ln 1x x x -+-<， 只需证明2 01ln x x x -+>，令()()()2 0,1ln 1g x x x xx =-+∈， 则()32221112120x x x g x x x x x x---'=--=<<， 则函数()g x 在()0,1上单调递减，则()()10g x g >=， 所以201ln x x x-+>成立， 即原不等式成立.22.解：（1）因为直线l的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos sin 2ρθρθ+=， 所以直线l 的直角坐标方程为2x y +=；因为cos ,sin x t y αα=⎧⎨=⎩（α参数，0t >） 所以曲线C 的普通方程为2221x y t+=， 由2222,1,x y x y t +=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得，()2221440t y y t +-+-=， 所以()()22016414t t ∆-+-<=，解得 0t <<， 故t的取值范围为(.（2）由（1）知直线l 的直角坐标方程为20x y +-=，故曲线C 上的点()cos ,sin t αα到l 的距离d =，故d=解得t =又因为0t >，所以t =.23.解：（1）因为()()31f x f x ≤--，所以132x x -≤--， 123x x ⇔-+-≤，1,323,x x <⎧⇔⎨-≤⎩或12,13,x ≤≤⎧⎨≤⎩或2,233x x >⎧⎨-≤⎩ 解得01x ≤<或12x ≤≤或23x <≤，所以03x ≤≤， 故不等式()()31f x f x ≤--的解集为[]0,3.（2）因为31,2M ⎛⎫⊆ ⎪⎝⎭， 所以当31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()1f x f x x a ≤+--恒成立， 而()()1f x f x x a ≤+--101x x x a x a x x ⇔--+-≤⇔-≤--， 因为31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1x a -≤，即11x a x -≤≤+， 由题意，知11x a x -≤≤+对于31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立， 所以122a ≤≤，故实数a 的取值范围1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.。

福州市2018届高三上学期期末考试理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合()(){}310A x x x =-+<，{}10B x x =->，则A B ⋃=（ ） A ．()1,3 B ．()1,-+∞ C ．()1,+∞ D ．()(),11,-∞-⋃+∞2.若复数1ai+，则实数a =（ ）A ．1B ．1-C ．1± D．3.下列函数为偶函数的是（ ）A ．tan 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B ．2x y x e =+ C ．cos y x x = D ．ln sin y x x =-4.若2sin cos 12x x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则cos 2x =（ ）A ．89-B ．79-C ．79D ．725-5.已知圆锥的高为3个球的体积等于（ ）A ．83πB ．323π C ．16π D ．32π6.已知函数()22,0,11,0,x x x f x x x⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩则函数()3y f x x =+的零点个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．37.如图的程序框图的算法思路源于我国古代著名的“孙子剩余定理”，图中的(),Mod N m n =表示正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，例如()10,31Mod =.执行该程序框图，则输出的i 等于（ ）A ．23B ．38C ．44D ．588.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）A ．14B ．10+．212++9.已知圆()221:582C x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，抛物线()2 :20E x py p =>上两点()12,A y -与()24,B y ，若存在与直线AB 平行的一条直线和C 与E 都相切，则E 的标准方程为（ ） A ．12x =- B ．1y =- C ．12y =- D ．1x =-10.不等式组1,22x y x y -≥⎧⎨+≤⎩的解集记为D .有下列四个命题：()1:,,22p x y D x y ∀∈-≥ ()2:,,23p x y D x y ∃∈-≥()32:,,23p x y D x y ∀∈-≥()4:,,22p x y D x y ∃∈-≤- 其中真命题的是（ ）A ．23,p pB ．14,p pC ．12,p pD ．13,p p11.已知双曲线()2222:10,0a x y E a b b >->=的左、右焦点分别为12,F F ，点,M N 在E 上，12122//,5MN F F MN F F =，线段2F M 交E 于点Q ，且2F Q QM =，则E 的离心率为（ ）A ． D 12.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，121n n a a n ++=+，且1350n S =.若22a <，则n 的最大值为（ ） A ．51B ．52C ．53D ．54第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知单位向量,a b 满足()22a a b ⋅-=，则,a b 的夹角为 ．14.设n 为正整数，32nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为 ．15.将函数2sin cos y x x =+的图象向右平移ϕ个单位长度，得到函数2sin cos y x x =-的图象，则sin ϕ的值为 ．16.如图，已知一块半径为1的残缺的半圆形材料MNQ ，O 为半圆的圆心，85MN =.现要在这块材料上裁出一个直角三角形.若该三角形一条边在MN 上，则裁出三角形面积的最大值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列{}n a 中，()*12111,2,322,n n n a a a a a n n N +-===-≥∈.设1n n n b a a +=-. （1）证明：数列{}n b 是等比数列； （2）设()2412nn nb c n =-，求数列{}n c 的前n 项的和n S .18.已知菱形ABCD 的边长为2，60DAB ∠=︒.E 是边BC 上一点，线段DE 交AC 于点F .（1）若CDE ∆DE 的长；（24DF =，求sin DFC ∠.19.如图，在四棱锥E ABCD -中，//,90,2A BC D A B C C D A BC E∠=︒===，120,BCE DE ∠=︒=（1）证明：平面BCE ⊥平面CDE ；（2）若4BC =，求二面角E AD B --的余弦值.20.已知F 为椭圆22:143x y C +=的右焦点，M 为C 上的任意一点.（1）求MF 的取值范围；（2）,P N 是C 上异于M 的两点，若直线PM 与直线PN 的斜率之积为34-，证明:,M N 两点的横坐标之和为常数.21.已知函数()()221ln f x x a x ax a R =-+-∈. （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若0a =且()0,1x ∈，求证：()211xf x x e x+-<. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线cos ,:sin x t C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，0t >）.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线:cos 4l πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）若l 与曲线C 没有公共点，求t 的取值范围；（2）若曲线C 上存在点到l ，求t 的值. 23.选修4-5：不等式选讲 设函数()1,f x x x R =-∈.（1）求不等式()()31f x f x ≤--的解集；（2）已知关于x 的不等式()()1f x f x x a ≤+--的解集为M ，若31,2M ⎛⎫⊆ ⎪⎝⎭，求 实数a 的取值范围.参考答案一、选择题1-5: BCBCB 6-10: CADCA 11、12：BA二、填空题13. 120︒ 14. 112 15.45三、解答题17.解：（1）证明：因为()*11322,n n n a a a n n N +-=-≥∈，1n n n b a a +=-， 所以()111211132n n n n n n n n n n n a a a b a a b a a a a +++++++---==--()1122n n n na a a a ++-=-， 又因为121211b a a =-=-=，所以数列{}n b 是以1为首项，以2为公比的等比数列. （2）由（1）知11122n n n b --=⨯=， 因为()2412nn n b c n =-，所以()2412nn nb c n=-()()11112212142121n n n n ⎛⎫==- ⎪+--+⎝⎭，所以12111111143352121n n S c c c n n ⎛⎫=+++=-+-++- ⎪-+⎝⎭111421n⎛⎫=- ⎪+⎝⎭42nn =+. 18.解：解法一：（1）依题意，得60BCD DAB ∠=∠=︒， 因为CDE∆的面积S =所以1sin 2CD CE BCD ⋅⋅∠=所以12sin 602CE ⨯⋅︒=解得1CE =，根据余弦定理，得DE =（2）依题意，得3060ACD BDC ∠=︒∠=︒,，设CDE θ∠=，则060θ︒<<︒，在CDE ∆中，由正弦定理得sin sin CF DFACDθ=∠，4DF =，所以sin 2CF DF θ==，所以cos θ=所以()1sin sin 302DFC θ∠=︒+==. 解法二：（1）同解法一.（2）依题意，得3060ACD BDC ∠=︒∠=︒,，设CDE θ∠=，则060θ︒<<︒， 在CDF ∆中，设4CF x =4DF =，则DF =， 由余弦定理，得2222DF CD CF CD CFcos ACD =+-⋅∠，得227416x x =+-，解得x =，或x =.又因为12CF AC ≤=，所以x ≤，所以x =所以DF =在CDF ∆中，由正弦定理，得sin sin CD DFCFD ACD=∠∠，得sin 14CFD ∠=. 19.解：（1）证明：因为//,90AB CD ABC ∠=︒， 所以CD BC ⊥.因为42,CD CE DE ===,222C D CE DE +=， 所以CD CE ⊥， 因为BC CE C ⋂=， 所以CD ⊥平面BCE . 因为CD ⊂平面CDE ， 所以平面BCE ⊥平面CDE .（2）由（1）知，CD ⊥平面BCE ，故以点C 为坐标原点，分别以CB CD 、的方向为x 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -.所以()()()()4,0,2,400,,0,0,4A B E D -，，，所以()()4,0,2,2AD AE =-=--， 设平面ADE 的法向量为(),,n x y z =， 则00AD n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以420520x z x z -+=⎧⎪⎨--=⎪⎩，取1x =，则()1,33,2n =，又因为平面ABD 的一个法向量为()0,1,0m =，所以cos ,n m ==所以二面角E AD B --.20.解：解法一：（1）依题意得2,a b ==1c =， 所以C 的右焦点F 坐标为()1,0， 设C 上的任意一点M 的坐标为(),M M x y ， 则22143M M x y +=， 所以()()2222231134M M M M MF x y x x =-+=-+-()221124444M M M x x x =-+=-，又因为22M x -≤≤，所以219MF ≤≤， 所以13MF ≤≤，所以MF 的取值范围为[]1,3.（2）设P M N 、、三点坐标分别为()()(),,,,,P P M M N N x y x y x y ，设直线PM PN 、斜率分别为12k k 、，则直线PM 方程为()1P P y y k x x -=-， 由方程组()2211,43P P x y y y k x x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩消去y ，得 ()()2222211111348484120P P P P P P k xk k x y x k x k x y y +--+-+-=，由根与系数关系可得()1121834P P M P k k x y x x k -+=+，故()21111221184833434P P P P PM P k k x y k x k y x x x k k ---=-=++，同理可得()2222834P P N P k k x y x x k -+=+，又1234k k ⋅=-，故()22112221338844343344P P P P N P x y k k x y k k x x k k ⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭+===+⎛⎫+- ⎪⎝⎭1216843P P x k y k ++， 则1216843P PN P x k y x x k +=-+2112148334P P P M k x k y x x k --=-=-+， 从而0N M x x +=.即M N 、两点的横坐标之和为常数.解法二：（1）依题意得2,a b =1c ==， 所以C 的右焦点F 坐标为()1,0， 设C 上的任意一点M 的坐标为(),M M x y ， 设C 上的任意一点M的坐标为()2cos αα，则())()22222cos 1cos 2MF ααα=-+=-，又因为1cos 1α-≤≤，所以219MF ≤≤， 所以13MF ≤≤，所以MF 的取值范围为[]1,3.（2）设P M 、两点坐标分别为()(),,,P P M M x y x y ，线段PM PN 、的中点分别为E F 、，点E 的坐标为(),E E x y ，直线PM PN OE 、、的斜率分别为123k k k 、、， 由方程组22221,431,43P P M M x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得222234P M P M y y x x -=--， 所以34PM P M P M P M y y y y x x x x -+⋅=--+， 所以2324P M E P M E y y y x x x -⋅=--，所以1334k k ⋅=-，又因为1234k k ⋅=-，所以23k k =， 所以//PN OE ，所以MN 的中点在OE 上， 同理可证：MN 的中点在OF 上， 所以点O 为线段MN 的中点. 根据椭圆的对称性，所以M N 、两点的横坐标之和为常数.21.解：解法一：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞， ()()()2222111212ax ax a x ax f x a x a x x x+---'=-+-==，①若0a =时，则()0f x '<，()f x 在()0,+∞上单调递减； ②若0a >时，当1x a=时，()0f x '=； 当1x a<时，()0f x '<；当 1x a>时，()0f x '>. 故在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，()f x 单调递减；在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，()f x 单调递増； ③若0a <时，当12x a =-时，()0f x '=； 当12x a <-时，()0f x '<；当12x a>-时，()0f x '>. 故在10,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上，()f x 单调递减；在1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上，()f x 单调递増. （2）若0a =且()0,1x ∈，欲证()211x f x x e x+-<， 只需证21ln 11x x x e x-+-<， 即证()()31ln 1x x x x x e -<+-.设函数()()()()1ln 0,1g x x x x =-∈，则()ln g x x '=-.当()0,1x ∈时，()0g x '> .故函数()g x 在()0,1上单调递增. 所以()1(1)g x g <=. 设函数()31()x h x x x e =+-，则()23()23x h x x x x e '=+--.设函数233()2p x x x x =+--，则()2163p x x x '=--.当()0,1x ∈时，()()0180p p ''⋅=-<，故存在()00,1x ∈，使得()00p x '=，从而函数()p x 在()00,x 上单调递增；在()0,1x 上单调递减.当()00,x x ∈时，()()002p x p >=，当()0,1x x ∈时，()()0140p x p <-<⋅ 故存在()10,1x ∈，使得()10h x '=，即当()10,x x ∈时，()0p x >，当()1,1x x ∈时，()0p x <从而函数()h x 在()10,x 上单调递增；在()1,1x 上单调递减.因为()()01,1h h e ==，故当()0,1x ∈时，()()01h x h >=所以()()()31ln 1,0,1x x x x x e x -<+-∈，即()()211,0,1x f x x x e x +-<∈. 解法二：（1）同解法一.（2）若0a =且()0,1x ∈，欲证()211x f x x e x+-<， 只需证21ln 11x x x e x-+-<， 即证()()31ln 1x x x x x e -<+-.设函数()()()()1ln 0,1g x x x x =-∈，则()ln g x x '=-.当()0,1x ∈时，()0g x '> .故函数()g x 在()0,1上单调递增. 所以()1(1)g x g <=. 设函数()()()31,0,1x h x x x e x =+-∈，因为()0,1x ∈，所以3x x >，所以311x x +->，又1x e e <<，所以()1h x >，所以()()1h g x x <<，即原不等式成立. 解法三：（1）同解法一.（2）若0a =且()0,1x ∈，欲证()211x f x x e x+-<， 只需证21ln 11x x x e x-+-<， 由于01ln 0,1x x e e ->>=，则只需证明211ln 1x x x -+-<， 只需证明2 01ln x x x -+>，令()()()2 0,1ln 1g x x x xx =-+∈， 则()32221112120x x x g x x x x x x---'=--=<<， 则函数()g x 在()0,1上单调递减，则()()10g x g >=， 所以201ln x x x-+>成立，即原不等式成立.22.解：（1）因为直线l的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos sin 2ρθρθ+=， 所以直线l 的直角坐标方程为2x y +=；因为cos ,sin x t y αα=⎧⎨=⎩（α参数，0t >） 所以曲线C 的普通方程为2221x y t+=， 由2222,1,x y x y t +=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得，()2221440t y y t +-+-=， 所以()()22016414t t ∆-+-<=，解得 0t <<， 故t的取值范围为(.（2）由（1）知直线l 的直角坐标方程为20x y +-=，故曲线C 上的点()cos ,sin t αα到l的距离d =， 故d=解得t =又因为0t >，所以t =23.解：（1）因为()()31f x f x ≤--，所以132x x -≤--， 123x x ⇔-+-≤，1,323,x x <⎧⇔⎨-≤⎩或12,13,x ≤≤⎧⎨≤⎩或2,233x x >⎧⎨-≤⎩解得01x ≤<或12x ≤≤或23x <≤，所以03x ≤≤， 故不等式()()31f x f x ≤--的解集为[]0,3.（2）因为31,2M ⎛⎫⊆ ⎪⎝⎭， 所以当31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()1f x f x x a ≤+--恒成立， 而()()1f x f x x a ≤+--101x x x a x a x x ⇔--+-≤⇔-≤--， 因为31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1x a -≤，即11x a x -≤≤+， 由题意，知11x a x -≤≤+对于31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立， 所以122a ≤≤，故实数a 的取值范围1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.。

2018-2019学年福建省福州市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A＝{x||x|＞1}，B＝{x|0＜x＜2}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，2）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣∞，2）D．（1，2）2．（5分）已知复数z满足z（1+i）2＝2﹣i（i为虚数单位），则|z|为（）A．2B．C．D．13．（5分）曲线f（x）＝x+lnx在点（1，1）处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（）A．2B．C．D．4．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3＝2，a6＝8，则S8＝（）A．20B．40C．60D．805．（5分）给出下列说法：①“”是“tan x＝1”的充分不必要条件；②定义在[a，b]上的偶函数f（x）＝x2+（a+5）x+b的最大值为30；③命题“∃x0∈R，”的否定形式是“∀x∈R，”．其中正确说法的个数为（）A．0B．1C．2D．36．（5分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均与圆x2+y2﹣6y+5＝0相切，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．7．（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，3，则输出v的值为（）A．16B．18C．48D．1438．（5分）某个几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个侧面中，面积最大的侧面的面积为（）A．B．1C．D．9．（5分）已知点O是△ABC内部一点，且满足＝又＝2，∠BAC ＝60°，则△OBC的面积为（）A．B．3C．1D．210．（5分）已知函数f（x）＝x+1，将f（x）的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数y ＝g（x）的图象，若g（x1）•g（x2）＝9，则|x1﹣x2|的值可能为（）A．B．C．D．11．（5分）如图，函数f（x）的图象为两条射线CA，CB组成的折线，如果不等式f（x）≥x2﹣x﹣a的解集中有且仅有1个整数，那么实数a的取值范围是（）A．{a|﹣2＜a＜﹣1}B．{a|﹣2≤a＜﹣1}C．{a|﹣2≤a＜2}D．{a|a≥﹣2} 12．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣2ex2+mx﹣lnx，若f（x）＞x恒成立，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知实数x，y满足条件，则x+y的最大值为．14．（5分）已知函数f（x）＝ax3+b sin2x+2（a，b∈R，ab≠0），且f（2）＝3，则f（﹣2）＝．15．（5分）已知抛物线y2＝8x的焦点为F，直线l过F且依次交抛物线及圆（x﹣2）2+y2＝1于点A，B，C，D四点，则|AB|+4|CD|的最小值为16．（5分）函数f（x）＝cos2x+α（sin x﹣cos x）在区间上单调递增，则实数α的取值范围是．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）如图，在△ABC中，M是边BC的中点，cos∠BAM＝，cos∠AMC＝﹣．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若AM＝，求△AMC的面积．18．（12分）在数列{a n}中，a1＝1，a n+1＝，设b n＝，n∈N*（Ⅰ）求证数列{b n}是等差数列，并求通项公式b n；（Ⅱ）设c n＝b n•2n﹣1，且数列{c n}的前n项和S n，若λ∈R，求使S n﹣1≤λc n恒成立的λ的取值范围．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AC⊥BB1，AB＝A1B＝AC＝2，BB1＝2．（Ⅰ）求证：A1B⊥平面ABC；（Ⅱ）若P是棱B1C1的中点，求直线BB1与平面P AB所成角的正弦值．20．（12分）已知点在椭圆C：＝1（a＞b＞0）上，O为坐标原点，直线l：＝1的斜率与直线OA的斜率乘积为﹣．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）不经过点A的直线l：y＝x+t（t≠0且t∈R）与椭圆C交于P，Q两点，P关于原点的对称点为R（与点A不重合），直线AQ，AR与y轴分别交于两点M，N，求证：AM＝AN．21．（12分）设函数f（x）＝（ax﹣1）e1﹣x．（Ⅰ）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a＝1时，若函数f（x）与函数y＝x2﹣4x+m（m∈R）的图象总有两个交点，设两个交点的横坐标分别为x1，x2．①求m的取值范围；②求证：x1+x2＞4．请考生在（22）、（23）二题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，α为l的倾斜角），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线E的极坐标方程为ρ＝4sinθ，直线θ＝β，θ＝β+，θ＝β﹣（ρ∈R），与曲线E分别交于不同于极点O的三点A，B，C．（Ⅰ）若，求证：|OB|+|OC|＝|OA|；（Ⅱ）当β＝时，直线l过B、C两点，求γ0与α的值．23．已知函数f（x）＝|2x+a|+3a，a∈R．（Ⅰ）若对于任意x∈R，总有f（x）＝f（4﹣x）成立，求a的值；（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）≤﹣|2x﹣1|+a成立，求a的取值范围．2018-2019学年福建省福州市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：集合A＝{x||x|＞1}＝{x|x＜﹣1或x＞1}，B＝{x|0＜x＜2}，则A∩B＝{x|1＜x＜2}＝（1，2）．故选：D．2．【解答】解：由z（1+i）2＝2﹣i，得，∴，故选：C．3．【解答】解：由题意得y′＝+1，则在点M（1，1）处的切线斜率k＝2，故切线方程为：y﹣1＝2（x﹣1），即y＝2x﹣1，令x＝0得，y＝﹣1；令y＝0得，x＝，∴切线与坐标轴围成三角形的面积S＝×1×＝，故选：D．4．【解答】解：等差数列{a n}中，a3＝2，a6＝8，∴＝2，a1＝a3﹣2d＝﹣2，则S8＝8a1+28d＝﹣16+56＝40，故选：B．5．【解答】解：根据题意得，①中由x＝得tan x＝1，而tan x＝1时不能得x＝∴”是“tan x＝1”的充分不必要条件正确；②中由f（x）为偶函数得a＝﹣5，b＝5∴f（x）＝x2+5最大值为30正确；③∵命题“∃x0∈R，”的否定形式是“∀x∈R，x+＜2“与题中所给不同∴③不正确，故选：C．6．【解答】解：因为圆C：x2+y2﹣6y+5＝0⇔（y﹣3）2+x2＝4，由此知道圆心C（0，3），圆的半径为2，又因为双曲线的右焦点为圆C的圆心，又双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5＝0相切，而双曲线的渐近线方程为：y＝±x⇔bx±ay＝0，∴＝2，即9a2＝4c2，所以双曲线的离心率为：＝．故选：A．7．【解答】解：初始值n＝3，x＝3，程序运行过程如下表所示：v＝1i＝2，v＝1×3+2＝5i＝1，v＝5×3+1＝16i＝0，v＝16×3+0＝48i＝﹣1，不满足条件，跳出循环，输出v的值为48．故选：C．8．【解答】解：由三视图可知，该几何体是四棱锥，它的直观图如图所示；且PD⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，四棱锥的高PD＝1，梯形ABCD的边长AB＝1，AD＝1，CD＝2，则S△P AD＝×1×1＝，S△PCD＝×1×2＝1，S△P AB＝××1＝，△PBC中，PC2＝12+22＝5，PB2＝12+＝3，BC2＝12+12＝2，∴PC2＝PB2+BC2，∴S△PBC＝××＝，∴该几何体的各侧面中，面积最大值为．故选：D．9．【解答】解：由点O是△ABC内部一点，且满足＝，得点O是△ABC的重心，所以△OBC的面积：△ABC的面积＝1：3，又＝2，所以||||cos60°＝2，||||＝4，即||||sin60°＝6，即||||sin60°＝3，即：△ABC的面积为3，即为△OBC的面积1，故选：C．10．【解答】解：函数f（x）＝x+1＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣），将f（x）的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的倍，得y＝2sin（4x﹣）的图象；再把所得图象向上平移1个单位，得函数y＝g（x）＝2sin（4x﹣）+1的图象，若g（x1）•g（x2）＝9，则4x﹣＝+2kπ，k∈Z；解得x＝+，k∈Z；其中x1、x2是三角函数g（x）最高点的横坐标，∴|x1﹣x2|的值为T的整数倍，且T＝＝．故选：B．11．【解答】解：根据题意可知f（x）＝，不等式f（x）≥x2﹣x﹣a等价于a≥x2﹣x﹣f（x），令g（x）＝x2﹣x﹣f（x）＝，可得g（x）的大致图象，如图所示，又g（0）＝﹣2，g（1）＝﹣1，g（﹣1）＝2，∴要使不等式的解集中有且仅有1个整数，则﹣2≤a＜1，即a取值范围是{a|﹣2≤a＜1}．故选：B．12．【解答】解：若f（x）＞x恒成立，即m＞﹣x2+2ex++1，∵m'＝﹣2x+2e+＝﹣2（x﹣e）+，∴当x∈（0，e）时，m'＞0，m为关于x的增函数；当x∈（e，+∞）时，m'＜0，m为关于x的减函数．故函数y＝﹣x2+2ex+的最大值为：e2+，即m＞e2++1，故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z＝x+y得y＝﹣x+z，平移直线y＝﹣x+z，由图象可知当直线y＝﹣x+z经过点A时，直线y＝﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得A（1，2），代入目标函数z＝x+y得z＝1+2＝3．即目标函数z＝x+y的最大值为3．故答案为：3．14．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝ax3+b sin2x+2，则f（﹣x）＝a（﹣x）3+b sin2（﹣x）+2＝﹣（ax3+b sin2x）+2，则f（x）+f（﹣x）＝4，即有f（2）+f（﹣2）＝4，又由f（2）＝3，则f（﹣2）＝1；故答案为：115．【解答】解：∵y2＝8x，焦点F（2，0），准线l0：x＝﹣2，由圆：（x﹣2）2+y2＝1，圆心（2，0），半径为1．由抛物线的定义得：|AF|＝x A+2，又∵|AF|＝|AB|+1，∴|AB|＝x A+1同理：|CD|＝x D+1当AB⊥x轴时，则x D＝x A＝2，∴|AB|+4|CD|＝15．当AB的斜率存在且不为0，设AB：y＝k（x﹣2）时，代入抛物线方程，得：k2x2﹣（4k2+8）x+4k2＝0，∴x A x D＝4，x A+x D＝，∴|AB|+4|CD|＝（x A+1）+4（x D+1）＝5+x A+4x D≥5+2＝13．当且仅当x A＝4x D，即x A＝4，x D＝1时取等号，综上所述|AB|+4|CD|的最小值为13．故答案为：13．16．【解答】解：函数cos2x+α（sin x﹣cos x）在区间上单调递增，∴f′（x）＝﹣2sin2x+α（cos x+sin x）≥0在区间上恒成立∴在区间上恒成立即，令∈[1，]所以问题转化为，t∈[1，]．当t＝时，取到最大值，取到最大值．∴t≥故答案为：三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【解答】解：（Ⅰ）由，得，由，得，又∠AMC＝∠BAM+∠B，所以，cos B＝cos（∠AMC﹣∠BAM）＝cos∠AMC cos∠BAM+sin∠AMC sin∠BAM＝＝，又B∈（0，π），所以．（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知，在△ABM中，由正弦定理，得，所以，＝．因为M是边BC的中点，所以，．故＝．解法二：由（Ⅰ）知，在△ABM中，由正弦定理，得，所以，＝．因为M是边BC的中点，所以，S△AMC＝S△ABM，所以，＝＝．18．【解答】（I）证法一：由条件知，，所以，，所以b n+1﹣b n＝1，又，所以，数列{b n}是首项为1，公差为1的等差数列，故数列{b n}的通项公式为：b n＝n．证法二：由条件，得＝，又，所以，数列{b n}是首项为1，公差为1的等差数列，故数列{b n}的通项公式为：b n＝n．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，，则，①②由①﹣②得，＝＝﹣1+（1﹣n）•2n ∴∵c n＞0，∴S n﹣1≤λc n恒成立，等价于对任意n∈N*恒成立．∵，∴λ≥2．19．【解答】证明：（Ⅰ）∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AC⊥BB1，又AB∩BB1＝B，∴AC⊥平面ABB1A1，又A1B⊂平面ABB1A1，∴AC⊥A1B，∵，∴，∵AB＝A1B＝2，∴，∴A1B⊥AB，又AC∩AB＝A，∴A1B⊥平面ABC．解：（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知，直线A1C1，A1B1，BA1两两互相垂直，如图，以A1为原点，分别以A1C1，A1B1，BA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A1﹣xyz，则A1（0，0，0），P（1，1，0），B（0，0，﹣2），B1（0，2，0），，，设平面P AB的法向量，则，所以，，取z＝1，则，又，设直线BB1与平面P AB所成角为θ，则＝．∴直线BB1平面P AB所成角的正弦值．解法二：由（Ⅰ）知，直线A1C1，A1B1，BA1两两互相垂直，以A为原点，分别以AC、AB、Az所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系A﹣xyz，则A（0，0，0），A1（0，2，2），P（1，3，2），B（0，2，0），B1（0，4，2），C1（2，2，2），，，设平面P AB的法向量，则，所以，，取z＝1，则，又，设直线BB1与平面P AB所成角为θ，则＝．∴直线BB1平面P AB所成角的正弦值．20．【解答】解：（Ⅰ）由题意，，即a2＝4b2 ①．又②．联立①①解得，∴椭圆C的方程为：；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），R（﹣x1，﹣y1），由，得，∴△＝4﹣t2＞0，即﹣2＜t＜2，又∵t≠0，∴t∈（﹣2，0）∪（0，2），，，要证明AM＝AN，可转化为证明直线AQ，AR的斜率互为相反数，只需证明k AM+k AN＝0，即证明k AQ+k AR＝0．∵＝＝＝＝∴k AM+k AN＝0，即AM＝AN．21．【解答】解：（Ⅰ）由已知得，f′（x）＝﹣ae1﹣x（x﹣），由e﹣x＞0，a＞0，令f′（x）＞0得：，令f′（x）＜0得，所以，当a＞0时，单调递增区间是；单调递减区间是．（Ⅱ）令g（x）＝f（x）﹣x2+4x﹣m＝（x﹣1）e1﹣x﹣x2+4x﹣m，∴g′（x）＝﹣（e1﹣x+2）（x﹣2），①解法一：由g′（x）＜0得，x＞2；由g′（x）＞0得，x＜2，易知，x＝2为g（x）的极大值点.，当x→﹣∞时，g（x）→﹣∞；当x→+∞时，g（x）→﹣∞．由题意，只需满足，∴m的取值范围是：．解法二：f′（x）＝﹣e1﹣x（x﹣2），由f′（x）＜0得，x＞2；由f′（x）＞0得，x＜2易知，x＝2为极大值点．而y＝x2﹣4x+m（m∈R）在x＝2时取得极小值，由题意，只需满足，解得．②由题意知，x1，x2为函数g（x）＝f（x）﹣x2+4x﹣m＝（x﹣1）e1﹣x﹣x2+4x﹣m的两个零点，由①知，不妨设x1＜2＜x2，则4﹣x2＜2，且函数g（x）在（﹣∞，2）上单调递增，欲证x1+x2＞4，只需证明g（x1）＞g（4﹣x2），而g（x1）＝g（x2），所以，只需证明g（x2）＞g（4﹣x2）．令H（x2）＝g（x2）﹣g（4﹣x2）（x2＞2），则∴∵x2＞2，∴，即所以，H′（x2）＞0，即H（x2）在（2，+∞）上为增函数，所以，H（x2）＞H（2）＝0，∴g（x2）＞g（4﹣x2）成立，所以，x1+x2＞4．请考生在（22）、（23）二题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22．【解答】解：（Ⅰ）证明：依题意，|OA|＝|4sinβ|，，，∵，∴．（Ⅱ）当时，直线与圆的交点B的极坐标为，直线与圆的交点C点的极坐标为从而，B、C两点的直角坐标分别为：，C（0，4）∴直线l的方程为：，所以，y0＝1，．23．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）＝f（4﹣x），x∈R，所以f（x）的图象关于x＝2对称，又的图象关于对称，所以，所以，a＝﹣4．（Ⅱ）∃x∈R，使得f（x）≤﹣|2x﹣1|+a等价于∃x∈R，使得|2x+a|+|2x﹣1|+2a≤0．等价于（|2x+a|+|2x﹣1|+2a）min≤0，设g（x）＝|2x+a|+|2x﹣1|+2a，则g（x）min＝|（2x+a）﹣（2x﹣1）|+2a＝|a+1|+2a，所以，|a+1|+2a≤0．当a≥﹣1时，a+1+2a≤0，，所以，；当a＜﹣1时，﹣a﹣1+2a≤0，a≤1，所以a＜﹣1，综上，．解法二：（Ⅰ）∵f（x）＝f（4﹣x）∴|2x+a|+3a＝|2（4﹣x）+a|+3a，∴|2x+a|＝|8﹣2x+a|，即2x+a＝﹣（8﹣2x+a），或2x+a＝8﹣2x+a（舍）所以，a＝﹣4（Ⅱ）由f（x）≤﹣|2x﹣1|+a得，|2x+a|+|2x﹣1|≤﹣2a而|2x+a|+|2x﹣1|≥|a+1|由题意知，只需满足|a+a|≤﹣2a，即2a≤a+1≤﹣2a即，∴．。

福建省福州市2018届高三上学期期末质检数学试题（理）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】则故选2. 若复数的模为，则实数（）A. 1B.C.D.【答案】C【解析】，，故选3. 下列函数为偶函数的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】对于中，故排除对于中，故排除对于中故排除故选4. 若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】故选5. 已知圆锥的高为3，它的底面半径为，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如图：设球心到底面圆心的距离为，则球的半径为，由勾股定理得解得，故半径，故选6. 已知函数则函数的零点个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】根据题意令，解得，，当时符合题意令无解，故只有两个零点，选7. 如图的程序框图的算法思路源于我国古代著名的“孙子剩余定理”，图中的表示正整数除以正整数后的余数为，例如.执行该程序框图，则输出的等于（）A. 23B. 38C. 44D. 58【答案】A【解析】本题框图计算过程要求找出一个数除以3余数为2；除以5余数为3；除以7余数为2，那么这个数首先是23，故选8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A. 14B.C.D.【答案】D【解析】还原三视图如下：其表面积为故选9. 已知圆，抛物线上两点与，若存在与直线平行的一条直线和与都相切，则的标准方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】将点与代入抛物线得，，不妨设与直线平行的一条直线为，联立解得由解得或(舍) 则的准线方程为故选10. 不等式组的解集记为.有下列四个命题：其中真命题的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】对于取点代入得，所以为假命题；为真命题；对于恒成立，所以为假命题故选11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在上，，线段交于点，且，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由得点横坐标为代入求得纵坐标为又因为，所以代入双曲线中得，化简得，所以故选12. 设数列的前项和为，，且.若，则的最大值为（）A. 51B. 52C. 53D. 54【答案】A【解析】若为偶数，则，，，所以这样的偶数不存在若为奇数，则若，则当时成立若，则当不成立故选第Ⅱ卷二、填空题13. 已知单位向量满足，则的夹角为__________．【答案】【解析】根据题意，与的夹角为14. 设为正整数，展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为__________．【答案】112【解析】由展开式中仅有第5项的二项式系数最大得则，令，则展开式中的常数项为15. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则的值为__________．【答案】【解析】其中，由题意将函数向右平移个单位长度，得到其中，则，16. 如图，已知一块半径为1的残缺的半圆形材料，为半圆的圆心，.现要在这块材料上裁出一个直角三角形.若该三角形一条边在上，则裁出三角形面积的最大值为__________．【答案】【解析】要裁出三角形面积的最大如图:令则三角形面积，令解得当，时取得最值，则三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列中，.设.（1）证明：数列是等比数列；（2）设，求数列的前项的和.（1）证明：因为，，所以，又因为，所以数列是以1为首项，以2为公比的等比数列.（2）解：由（1）知，因为，所以，所以.18. 已知菱形的边长为2，.是边上一点，线段交于点. （1）若的面积为，求的长；（2）若，求.解：解法一：（1）依题意，得，因为的面积，所以，所以，解得，根据余弦定理，得.（2）依题意，得，设，则，在中，由正弦定理得，因为，所以，所以所以.解法二：（1）同解法一.（2）依题意，得，设，则，在中，设，因为，则，由余弦定理，得，得，解得，或.又因为，所以，所以，所以，在中，由正弦定理，得，得.19. 如图，在四棱锥中，，.（1）证明：平面平面（2）若，求二面角的余弦值.（1）证明：因为，所以.因为，所以，所以，因为，所以平面.因为平面，所以平面平面（2）解：由（1）知，平面，故以点为坐标原点，分别以的方向为轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.所以，所以，设平面的法向量为，则，所以，取，则，又因为平面的一个法向量为，所以，所以二面角的余弦值为.20. 已知为椭圆的右焦点，为上的任意一点.（1）求的取值范围；（2）是上异于的两点，若直线与直线的斜率之积为，证明:两点的横坐标之和为常数.解：解法一：（1）依题意得，所，所以的右焦点坐标为，设上的任意一点的坐标为，则，所以，又因为，所以，所以，所以的取值范围为.（2）设三点坐标分别为，设直线斜率分别为，则直线方程为，由方程组消去，得，由根与系数关系可得，故，同理可得，又，故，则，从而.即两点的横坐标之和为常数.解法二：（1）依题意得，所，所以的右焦点坐标为，设上的任意一点的坐标为，设上的任意一点的坐标为，则，又因为，所以所以，所以的取值范围为.（2）设两点坐标分别为，线段的中点分别为，点的坐标为，直线的斜率分别为，由方程组得，所以，所以，所以，又因为，所以，所以，所以的中点在上，同理可证：的中点在上，所以点为线段的中点.根据椭圆的对称性，所以两点的横坐标之和为常数.21. 已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若且，求证：.解：解法一：（1）函数的定义域为，，①若时，则，在上单调递减；②若时，当时，；当时，；当时，.故在上，单调递减；在上，单调递増；③若时，当时，；当时，；当时，.故在上，单调递减；在上，单调递増. （2）若且，欲证，只需证，即证.设函数，则.当时，.故函数在上单调递增.所以.设函数，则. 设函数，则.当时，，故存在，使得，从而函数在上单调递增；在上单调递减. 当时，，当时，故存在，使得，即当时，，当时，从而函数在上单调递增；在上单调递减. 因为，故当时，所以，即.解法二：（1）同解法一.（2）若且，欲证，只需证，即证.设函数，则.当时，.故函数在上单调递增. 所以.设函数，因为，所以，所以，又，所以，所以，即原不等式成立.解法三：（1）同解法一.（2）若且，欲证，只需证，由于，则只需证明，只需证明，令，则，则函数在上单调递减，则，所以成立，即原不等式成立.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 在直角坐标系中，曲线（为参数，）.在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线.（1）若与曲线没有公共点，求的取值范围；（2）若曲线上存在点到距离的最大值为，求的值.解：（1）因为直线的极坐标方程为，即，所以直线的直角坐标方程为；因为（参数，）所以曲线的普通方程为，由消去得，，所以，解得，故的取值范围为.（2）由（1）知直线的直角坐标方程为，故曲线上的点到的距离，故的最大值为由题设得，解得.又因为，所以.23. 选修4-5：不等式选讲设函数.（1）求不等式的解集；（2）已知关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围.解：（1）因为，所以，，或或解得或或，所以，故不等式的解集为.（2）因为，所以当时，恒成立，而，因为，所以，即，由题意，知对于恒成立，所以，故实数的取值范围.。

福州市2018届高三上学期期末考试理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.）A）2.A．1 B3.下列函数为偶函数的是（）A4.）A5.已知圆锥的高为3，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积等于（）A6.）A ．0B ．1C ．2 D．37.如图的程序框图的算法思路源于我国古代著名的“孙子剩余定理”，执行该程序框图，等于（ ）A ．23B ．38C ．44D ．588.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）A．14 B9.）A10.有下列四个命题：其中真命题的是（）A）A12.为（）A．51 B．52 C．53 D．54第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.的夹角为．14.5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为．15.的值为．16.如图，已知一块半径为1现要在这块材料上裁出一个直角三角形.为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（1（218.2（1（2=，中，C E 19.如图，在四棱锥D（1（2.20..（1（2点的横坐标之和为常数.21.（1（2请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程.（1（2.23.选修4-5：不等式选讲（1（2取值范围.全优试卷参考答案一、选择题1-5: BCBCB 6-10: CADCA 11、12：BA二、填空题三、解答题17.解：（11为首项，以2为公比的等比数列.（2）由（143352121n n =-+-++- ⎪-+⎝⎭18.解：解法一：（1（2解法二：（1）同解法一.（219.解：（1（2）由（11,33,2m=20.解：解法一：（1（2. 解法二：（1（2. 根据椭圆的对称性，.21.解：解法一：（1.（2...解法二：（1）同解法一.（2.即原不等式成立.解法三：（1）同解法一.（2即原不等式成立.22.解：（1（2）由（123.解：（1（2。