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4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理

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力矩的功刚体动能定理

力矩的功刚体动能定理

3.一根长l质量为m 的匀质细杆，其一端固定在光滑的 水平轴O，可以在竖直平面内转动。最初杆静止在水 平位置。求:杆由初始位置下摆 时的角速度?
θβ
解: 方法一用转动定律求解(略)
方法二用转动动能定理求解
杆处在β时,力矩 M mg l cos
杆转过d时, dA Md mg l cosd
2
2
A EK
k = 2.74×10-4 N·m·rad-2·s2. 求（2）吊扇由静止匀加
速的达到第二档转速经历的时间为 5s . 在此时间内阻力
矩做了多少功 ?
解: 吊扇由静止作匀角加速度运动
2
t5
t
阻力矩做功 W Mf 2d k3dt
W t k 3t3dt 1 k 3t 4
0
4
在 t ＝ 5s 时间内 W 84.8 J
EkA EpA EkB EpB
EkA EpA EkB EpB
o
m, l A
EkA EPA 0
m
EkB
1 2
J 2
J J1 J2
J 1 ml2 ml2 4 ml2
mg
B
mg
3
3
EpB
(mg
l 2
sin
mgl sin )
3 mgl sin
2
0 3 ml22 3 mgl sin 3 ( g sin )1 2
合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚 体转动动能的增量。
与质点运动类似，若刚体转动过程中，只有 保守力做功，同样刚体的机械能守恒。
3. 刚体的重力势能
y
N
N
mi yi
E p
mi gyi
i 1
Mg
i 1

刚体动能定理

刚体动能定理

人和杆：J = Jm+ JM， ω = 2.3 人和杆：
(1− cosθ )
人： J = JM
ω′ = 4.85 (1− cosθ )
∴ω′ ≈ 2ω
∆t ≈ 2∆t′
P17习题集： （一）5，7； （二）4，6
=θ时
m、L 、
θ
mg θ r2
M2 = r2mg sin θ L = mg sin θ ,⊗ 2
M2 3 g ∴α2 = = sin θ ,⊗ J 2L
杆在转动的过程中，仅有重力作功，故机械能守恒。 杆在转动的过程中，仅有重力作功，故机械能守恒。
θ = π/2 时 ，Ep1 =0，Ek1= 0 ， θ = θ 时， Ep2 = -mg（L/2）cos θ， （ ）
θ
mg
解：（1）水平位置 ：（ ）
∴M1 = r1mg sin
θ =π/2 π r r r r r M = r × mg M = Jα 1 1 π
2
m L
θ
mg
r1
L = r1mg = mg ⊗ 2
L M1 2 mg 3g ∴α1 = = = 1 2 2L J L 3
（2）当 θ ）
r r r M2 = r2 × mg
ri
刚体的 转动动能
1 2 2 Ek = ∑Eki = ∑( ∆mi ri ω ) 2 i i
1 1 2 2 = (∑∆mi ri )ω = Jω2 2 i 2
2.动能定理 动能定理
dω dW = Mdθ = J dθ = Jωdω dt
W =∫
ω2 ω1
1 1 2 2 Jωdω = Jω2 − Jω1 2 2
定理：刚体绕定轴转动时， 定理：刚体绕定轴转动时，合外力矩对刚体所 作的功，等于刚体转动动能的增量。 作的功，等于刚体转动动能的增量。

刚体绕定轴转动的动能定理

刚体绕定轴转动的动能定理

刚体绕定轴转动的动能定理1. 引言刚体是指其内部各点之间的相对位置关系在运动过程中不会发生改变的物体。

刚体绕定轴转动是指刚体在固定轴线上做圆周运动的情况。

动能定理是物理学中的一条重要定理，描述了物体运动过程中动能的变化与外力做功之间的关系。

本文将对刚体绕定轴转动的动能定理进行全面详细、完整且深入的阐述。

2. 刚体绕定轴转动在刚体绕定轴转动的情况下，我们需要考虑刚体的转动惯量和角速度等因素。

转动惯量是描述刚体对转动运动抵抗程度的物理量，通常用符号I表示。

角速度是描述刚体旋转快慢程度的物理量，通常用符号ω表示。

根据牛顿第二定律和角动量守恒定律，我们可以得到刚体绕定轴转动时的基本方程：τ=Iα其中，τ表示作用于刚体上产生转矩（力矩）大小，α表示角加速度。

刚体绕定轴转动的运动规律与作用在刚体上的转矩和转动惯量有关。

3. 动能定理的推导根据刚体绕定轴转动的基本方程，我们可以推导出刚体绕定轴转动的动能定理。

我们来考虑刚体上某一质点的动能T。

由于刚体上各质点都在绕着同一个轴旋转，因此它们具有相同的角速度ω。

设某一质点到轴心的距离为r，则该质点具有的线速度v为v=rω。

该质点的动能T′可以表示为：T′=12mv2=12m(rω)2=12mr2ω2其中，m表示质点的质量。

由于刚体是由众多质点组成的，因此整个刚体的动能T 可以表示为所有质点动能之和：T=∑Tni=1′i其中，n表示刚体上质点的总数。

根据牛顿第二定律和角动量守恒定律，我们知道刚体绕定轴转动时转动惯量I和角加速度α之间存在关系τ=Iα。

将该关系代入动能的表达式中，得到：T=12Iω2其中，ω表示整个刚体的角速度。

刚体绕定轴转动的动能可以表示为12Iω2。

这就是刚体绕定轴转动的动能定理。

4. 动能定理的物理意义刚体绕定轴转动的动能定理描述了刚体在转动过程中动能的变化与外力做功之间的关系。

根据动能定理，我们可以得出以下物理结论：1.外力对刚体做功会改变刚体的动能。

(完整版)刚体转动守恒定律

(完整版)刚体转动守恒定律

速度0＝0，下摆到竖直位置时的角速度为 ，按 力矩的功和转动动能增量的关系式得
定轴转动的动能定理
mg l 1 J 2
22
由此得 mgl
J
因 J 1 ml 2 代入上式得 3g
3
J
所以细棒在竖直位置时，端点A和中心点C的速度
分别为
vA l 3gl
vC
l
2
1 2
3gl
刚体的平面平行运动
c.若系统内既有平动也有转动现象 发生，若对某一定轴的合外力矩为 零,则系统对该轴的角动量守恒。
定轴转动刚体的角动量守恒定律
直线运动与定轴转动规律对照
质点的直线运动
v dx dt
dv d2 x a dt dt2
P mv F
EK
1 mv2 2
m
dA Fdx Fdt
刚体的定轴转动
d
dt
d
dt
Mz
dLz dt
t2 Mdt t1
L2 L1
dL
L2
L1
角动量定理的微分形式：
t2 t1
M
d
t
J
J0
t2 M d t为t t2 t1时间内力矩M 对给定轴的冲量矩
t1
。
2. 定轴转动刚体的角动量守恒定律
角动量守恒定律：若一个系统一段时间内
所受合外力矩M 恒为零，则此系统的总角 动量L 为一恒量。
解 先对细棒OA所受的力
作一分析；重力G 作用在 O
棒的中心点C，方向竖直向
下；轴和棒之间没有摩擦
力，轴对棒作用的支承力N
垂直于棒和轴的接触面且
通过O点，在棒的下摆过
G
程中，此力的方向和大小

力矩作功与刚体绕定轴转动的动能定理

力矩作功与刚体绕定轴转动的动能定理

Ek0 0
1 mgl 1 J 2 0
2
2
m,l
o
J 1 ml 2
3
3g
mg
l
练习2、一质量 M、半径 R 圆盘绕一无摩檫 轴转动，盘上绕有轻绳，下端挂物体 m。 求：当 m 由静止下落h时速度 v ？
解：
刚体 M
N T
o
对m：
G
TP
m
v 2 mgh h
M 2m
注意和前面的方法比较！
练习3、一匀质细棒长l ，质量m，可绕通过 其端点O水平轴转动。当棒从水平位置自由释
放后，它在竖直位置上与放在地面上的物体
相撞。该物体的质量也为m ，地面的摩擦系 数为 。撞后物体沿地面滑行s后而停止。求 相撞后棒的质心C 离地面的最大高度h，并说
明棒在碰撞后将向重力外，其余内力与外力都 O
（3）
由匀减速直线运动的公式得
亦即
（4）
由（1）（2）与（4）联合求解，即得
（5）
当 >0 则棒向左摆条件： 亦即L>6s；
当0，则棒向右摆条件：
亦即L <6s
由机械能守恒定律，棒上升的最大高度：
(6)
把（5）代入上式，求得：
练习4：工程上，两飞轮常用摩擦啮合器使它们
以相同的转速一起转动。如图所示，A和B两飞
动量守恒；
动量不守恒；
角动量守恒；
角动量守恒；
机械能不守恒 .
机械能不守恒 .
圆锥摆系统 动量不守恒； 角动量守恒； 机械能守恒 .
直线运动与定轴转动规律对照
质点的直线运动
刚体的定轴转动
P126书例2 一长为 l , 质
量为m 的竿可绕支点O自由转 动．一质量为m’、速率为v

刚体定轴转动的动能定理

刚体定轴转动的动能定理
3–3 刚体定轴转动的动能定理
1
一
转动动能
刚体绕定轴转动时的动能，称为转动动能．
n 1 1 1 2 2 2 2 Ek mi ri ( mi ri ) J 2 2 i 1 2 i 1 2 n
刚体绕定轴转动时的转动动能等于刚体的转动惯量 与角速度平方乘积的一半.
第3章 刚体力学基础
4
例3.5 如图所示，一根质量为m，长为l的均匀细棒 OA，可绕固定点O在竖直平面内转动.今使棒从水平 位置开始自由下摆，求棒摆到与水平位置成30°角时 中心点C和端点A的速度. 解：棒受力如图


6 0
l 1 1 1 2 2 mg cos d J J 0 J 2 2 2 2 2
第3章 刚体力学基础
3–3 刚体定轴转动的动能定理
7
例 一根长为l、质量为m 的均匀细棒, 棒的一端可绕通过 O点并垂直于纸面的轴转动, 棒 的另一端有质量为 m 的小球. 开 始时, 棒静止地处于水平位置A. 当棒转过 角到达位置 B, 棒的 角速度为多少?
oቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
m, l

mg
A
m
B
mg
解: 取小球、细棒和地球为系统, 在棒转动过程中机 械能守恒, 设 A 位置为重力势能零点.
EkA EpA EkB EpB
第3章 刚体力学基础
3–3 刚体定轴转动的动能定理
8
EkA EpA EkB EpB
EkA EPA 0
o
m, l

A
m
1 2 EkB J J J1 J 2 B 2 mg 1 2 4 2 2 J ml ml ml mg 3 3 l 3 EpB (mg sin mgl sin ) mgl sin 2 2 3 g sin 1 2 3 2 2 3 ( ) 0 ml mgl sin 2 l 4 2

定轴转动的动能定理


例题2 一根质量为m、长为 l 的均匀细棒OA （如图），可绕通过其一
端的光滑轴O在竖直平面内转动，今使棒从水平位置开始自由下摆，求细棒
摆到竖直位置时其中点C和端点A的速度。
C
解 先对细棒OA 所受的力作一分析；重力G O
作用在棒的中心点C，方向竖直下；轴和棒之间没
A
有摩擦力，轴对棒作用的支承力 N 垂直于棒和 轴
的接触 面且通过O点，在棒的下摆过程中，此力
的方向和大小是随时改变的。
A
在棒的下摆过程中，对转轴O而言，支撑力N通
G
过O点，所以支撑力N的力矩等于零，重力G的力矩则
是变力矩，大小等于mg(l /2) cos ，棒转过一极小的角位移d 时，重力
矩所作的元功是
dW mg l cosd
2
在使棒从水平位置下摆到竖直位置过程中，重力矩所作的功是
度ω0=0,转动动能为0，重力势能为 mg（2l 选下摆到竖直位置hc=0），下摆到竖
直位置时角速度ω=ω,转动动能为
1 2
J重2 力势能为0。
mg l 1 J 2
22
由此得
3g l
mgl
J
所以细棒在竖直位置时，端点A和中心点C的速度分别为
vA l 3gl
vC
l
2
1 2
3gl
J2
2
1 2
J12
刚体定轴转动的动能定理：总外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能
的增量。
注：
1. 刚体的转动动能
刚体的转动动能应该是组成刚体的各个质点的动能之和。
设刚体中第i个质点的质量为 mi ，速度为 vi
刚体做定轴转动时，各质点的角速度相同。
,则该质点的动能为

4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理


物理学
第五版
4-4
力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
M 4 µg α= = 作匀加速转动） （作匀加速转动） J 3R 3ωR 由 ω = ω0 + αt 可求得 t = 4 µg 2 2 (3) 由 ω = ω0 + 2αθ 可得在 0 到 t ) 2 的时间内， 的时间内，转过的角度为 θ = 3ω R 8µg 1 驱动力矩做的功为 W = Mθ = mR 2ω 2 4
第四章 刚体的转动
13
物理学
第五版
4-4
力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
解 (1) 如图取面 ) 积元ds 积元 = drdl，该面元 ， 所受的摩擦力为
df
df =
µ mg
πR
2
o
r
dl dr
drdl
R
此力对点o的力矩为
rdf =
µmg
πR
2
rd r d l
刚体的转动
14
第四章
物理学
第五版
4-4
O
G
N
θ
A
l dA = mg cosθdθ 2
π
ω
A′ G
l l 2 A = ∫ dA = ∫0 mg cosθdθ = mg 2 2
第四章 刚体的转动
11
物理学
第五版
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理 按力矩的功和转动动能增量的关系式得
由此得
l 1 2 mg = Jω 2 2 mgl ω= J
例， 留声机的转盘绕通过盘心垂直盘 作匀速转动． 面的轴以角速率 ω 作匀速转动．放上唱片 后，唱片将在摩擦力作用下随转盘一起转 设唱片的半径为R，质量为m， 动．设唱片的半径为 ，质量为 ，它与转 盘间的摩擦系数为 µ ，求：(1)唱片与转盘 ) 间的摩擦力矩； ) 间的摩擦力矩； (2)唱片达到角速度 ω时需 要多长时间；(3)在这段时间内，转盘的驱 要多长时间； )在这段时间内， 动力矩做了多少功？ 动力矩做了多少功？

chapter 4

第四章 刚体的定轴转动
rotation of a rigid body
1
研究对象:刚体(理想模型) 研究对象:刚体(理想模型) rigid body 研究方法: 刚体由质点组成.对其上某一质点, 研究方法: 刚体由质点组成.对其上某一质点,可 用质点力学的方法研究它,但是刚体为一整体, 用质点力学的方法研究它,但是刚体为一整体,有 其整体的特点—在力矩的作用下转动 别外, 在力矩的作用下转动, 其整体的特点 在力矩的作用下转动,别外,组成 刚体的质点, 随所在位置不同而不同. 刚体的质点,其速度 v 随所在位置不同而不同.因 用质点力学的线量表示不方便.但是, 此,用质点力学的线量表示不方便.但是,刚体上 所有质点的角度变化是相同的,因此,用角量描述 所有质点的角度变化是相同的,因此, 角量描述 刚体的运动更方便. 刚体的运动更方便. 研究内容: 刚体的定轴转动, 研究内容: 刚体的定轴转动,研究其做定轴转动时 的瞬时效应,空间积累和时间积累效应. 的瞬时效应,空间积累和时间积累效应.
ω
dθ ω= dt
dω d θ α= = 2 dt dt
2
a
an r
et
v at
a t = rα a n = rω
2
a = rα et + rω en
2
10
例1 一飞轮半径为 0.2m, 转速为 , 转速为150rmin-1, 因 受制动而均匀减速, 试求: ) 受制动而均匀减速,经 30 s 停止转动 . 试求:(1) 角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数;( ;(2) 角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数;( )制动开 时飞轮的角速度;( ;(3) 始后 t = 6 s 时飞轮的角速度;( )t = 6 s 时飞轮边缘 上一点的线速度, 上一点的线速度,切向加速度和法向加速度 .

力矩的功


例5、一根细绳跨过光滑的定滑轮，一端挂一质量为 M的物体，另一端被人用双手拉着，人的质量为 m=M/2，若人相对绳子以加速度a0向上爬，则人相对 地面的加速度（以竖直向上为正）是多少？
Mg T m a 2a 0 g 1 Mg 1 M(a a ) a 3 0 2 2
1
2 2
W Ek 2 Ek1
意义：刚体的转动动能的增量等于对同一轴的合外力矩对 刚体所做的功。
5、刚体的重力势能
一个不太大的刚体的重力势能相当于它的全部质量 都集中在质心时所具有的势能。均匀分布，形状对称的 刚体质心即为中心。
6、机械能守恒定律
对于含有刚体的系统,如果在运动过程中只有保守内 力做功,则此系统的机械能守恒。
E、若物体的加速度 a 为恒矢量，它一定作匀变速率运动
刚体绕定轴转动的转动动能等于刚体的转动惯量与角速度 二次方的乘积的一半
4、刚体定轴转动的动能定理
d Md J d 将两边乘以d： dt
微分形式： 两边同时积分有：
2 2
定轴转动定律 M J
即Md Jd
1 J12 2
1
1 2 dw d( J ) 2 1 Md Jd 2 J
1 1 2 2 W J 2 J 1 2 2Βιβλιοθήκη 角动量守恒 ( Fi 0)
P const
( Mi 0 )
L const
守恒定律（系统）
条件：
( A外力 A非保内力 0)
补充：
1）保守力
F dr 0
2）势能和保守力的关系
E a Aa 参考 点
例6、质量为5.6g的子弹A，以501m/s的速率水平射 入一静止在水平面上的质量为2kg的木块内，A射入 B后，B向前移动了50米后而停止，求： 1、B对水平面间的摩擦系数
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3
物理学
第五版
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
例1 留声机的转盘绕通过盘心垂直盘面的轴以角速率 作匀速转动．放上唱片后，唱片将在摩擦力作用下随转盘 一起转动．设唱片的半径为R，质量为m，它与转盘间的 摩擦系数为 ，求：(1)唱片与转盘间的摩擦力矩； (2) 唱片达到角速度 时需要多长时间；(3)在这段时间内， 转盘的驱动力矩做了多少功？ 解 (1) 如图取面积元ds = drdl， df 该面元所受的摩擦力为 dl dr mg df drdl o r 2 πR
F
dW Md
力矩的功
dr
W Md
1
2
o
r
与质点力学比较 W F dr
二 力矩的功率 与质点动量比较
x
dW d P M M dt dt
P F v
2
物理学
第五版
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
三 刚体的转动动能
1 1 1 2 2 2 2 Ek mi vi ( mi ri ) J 2 i 2 i 2 四 刚体绕定轴转动的动能定理
物理学
第五版
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
力的空间累积效应： 力的功、动能、动能定理．
力矩的空间累积效应： 力矩的功、转动动能、动能定理．
1
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第五版
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
一
dW F dr Ft ds Ft rd
力矩作功
v
d
Ft
解 子弹、竿组成一系统，应用角动 量守恒
o
30

a
v
m
'
L点 r mv L系 J
3mva m'l 2 3ma 2 射入竿后，细杆摆动过程中只有重力做功，以子弹、细杆 和地球为系统，机械能守恒 o mg l (1 cos 30 o ) 1 1 ( ml 2 ma 2 ) 2 mga(1 cos 30 ) 2 2 3
2
dM
mg
df
rdr (2πr )
o
R
r
dl dr
M 4g （作匀加速转动） J 3R
由
0 t 可求得
3R t 4 g
5
物理学
第五版
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
(3) 由过的角度为 Nhomakorabea3 2 R 8g
2 02 2 可得在 0 到 t 的时间内，转
1 W M mR 2 2 驱动力矩做的功为 4
df
o
R
r
dl dr
6
物理学
第五版
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
例2 一长为 l , 质量为m 的竿可绕支点 O自由转动．一质量为m’、速率为v 的 子弹射入竿内距支点为a 处，使竿的偏 转角为30o . 问子弹的初速率为多少?
此力对点o的力矩为
rdf
mg
πR
2
R
rdrdl
4
物理学
第五版
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
于是，在宽为dr的圆环上， 唱片所受的摩擦力矩为
πR 2mg 2 r dr 2 R 2mg R 2 2 M 2 0 r dr 3 Rmg R (2) 由转动定律求，(唱片J=mR2/2)
1 mva ( ml 2 ma 2 ) 3
v g (2 3 )( ml 2ma )( ml 2 3ma 2 ) 6 ma
7
W
2 1
2
2 d d Jd Md J 1 1 dt 1
W
1
1 1 2 Md J 2 J12 2 2
刚体绕定轴转动的动能定理：合外力矩对绕定轴转动的 刚体所作的功，等于刚体转动动能的增量
1 1 2 与质点动能定律比较 W F dr mv2 mv12 2 2