2018高中数学 第2章 推理与证明 2.1.1 合情推理(2)学案 苏教版选修1-2

第2章推理与证明一、合情推理和演绎推理1．归纳和类比是常用的合情推理，都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理．从推理形式上看，归纳是由部分到整体，个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理．2．从推理所得结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．从二者在认识事物的过程中所发挥作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的．合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得．合情推理可以为演绎推理提供方向和思路．二、直接证明和间接证明1．直接证明包括综合法和分析法：(1)综合法是“由因导果”．它是从已知条件出发，顺着推证，用综合法证明命题的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒…⇒B n⇒B(A为已经证明过的命题，B为要证的命题)．它的常见书面表达是“∵，∴”或“⇒”．(2)分析法是“执果索因”，一步步寻求上一步成立的充分条件．它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件，包括学过的定义、定理、公理、公式、法则等)．用分析法证明命题的逻辑关系是：B⇐B1⇐B2⇐…⇐B n⇐A.它的常见书面表达是“要证……只需……”或“⇐”．2．间接证明主要是反证法：反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法，反证法是间接证明的一种方法．反证法主要适用于以下两种情形：(1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；(2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．(考试时间：120分钟试卷总分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．(新课标Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一个城市．由此可判断乙去过的城市为________．解析：由甲、丙的回答易知甲去过A城市和C城市，乙去过A城市或C城市，结合乙的回答可得乙去过A城市．答案：A2．周长一定的平面图形中圆的面积最大，将这个结论类比到空间，可以得到的结论是________________________________________________________________________．解析：平面图形中的图类比空间几何体中的球，周长类比表面积，面积类比体积．故可以得到的结论是：表面积一定的空间几何体中，球的体积最大．答案：表面积一定的空间几何体中，球的体积最大3．下列说法正确的是________．(写出全部正确命题的序号)①演绎推理是由一般到特殊的推理②演绎推理得到的结论一定是正确的③演绎推理的一般模式是“三段论”形式 ④演绎推理得到的结论的正误与大、小前提和推理形式有关解析：如果演绎推理的大前提和小前提都正确，则结论一定正确．大前提和小前提中，只要有一项不正确，则结论一定也不正确．故②错误．答案：①③④4．(陕西高考)观察分析下表中的数据：猜想一般凸多面体中F ，V ，E 所满足的等式是_________________．解析：三棱柱中5＋6－9＝2；五棱锥中6＋6－10＝2；立方体中6＋8－12＝2，由此归纳可得F ＋V －E ＝2.答案：F ＋V －E ＝25．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．解析：V 1V 2＝13S 1h 113S 2h 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1S 2·h 1h 2＝14×12＝18.答案：1∶86．设函数f (x )＝12x ＋2，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得S ＝f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为________．解析：∵f (x )＝12x＋2，f (1－x )＝121－x ＋2＝2x2＋2·2x ＝12·2x2＋2x .∴f (x )＋f (1－x )＝1＋12·2x2＋2x＝22， 发现f (x )＋f (1－x )正好是一个定值， ∴2S ＝22×12.∴S ＝3 2.答案：3 27．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的一个性质为________________________________________________________________________．解析：正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心，故可猜想：正四面体的内切球切于四个侧面各正三角形的中心．答案：正四面体的内切球切于四个侧面各正三角形的中心8．已知x ，y ∈R ＋，当x 2＋y 2＝________时，有x 1－y 2＋y 1－x 2＝1. 解析：要使x 1－y 2＋y 1－x 2＝1， 只需x 2(1－y 2)＝1＋y 2(1－x 2)－2y 1－x 2， 即2y 1－x 2＝1－x 2＋y 2. 只需使(1－x 2－y )2＝0， 即1－x 2＝y ，∴x 2＋y 2＝1. 答案：19．设数列{a n }的前n 项和为S n ，令T n ＝S 1＋S 2＋…＋S nn，称T n 为数列a 1，a 2，…，a n 的“理想数”．已知数列a 1，a 2，…，a 500的“理想数”为2 004，那么数列3，a 1，a 2，…，a 500的“理想数”为________．解析：由题意知T 500＝2 004＝S 1＋S 2＋…＋S 500500，则T 501＝3＋（S 1＋3）＋（S 2＋3）＋…＋（S 500＋3）501＝500×2 004＋3×501501＝2 003.答案：2 003 10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)内切于正方形ABCD ，任取圆上一点P ，若OP ―→＝mOA ―→＋nOB ―→ (m ，n ∈R )，则14是m 2，n 2的等差中项；现有一椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)内切于矩形ABCD ，任取椭圆上一点P ，若OP ―→＝mOA ―→＋nOB ―→ (m ，n ∈R )，则m 2，n 2的等差中项为________．解析：如图，设P (x ，y )，由x 2a 2＋y 2b2＝1知A (a ，b )，B (－a ，b )，由OP ―→＝mOA ―→＋nOB ―→可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝（m －n ）a ，y ＝（m ＋n ）b ，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1可得(m －n )2＋(m ＋n )2＝1，即m 2＋n 2＝12，所以m 2＋n 22＝14，即m 2，n 2的等差中项为14.答案：1411．(安徽高考)如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝2 2.过点 A 作BC 的垂线，垂足为A 1 ；过点 A 1作 AC 的垂线，垂足为 A 2；过点A 2 作A 1C 的垂线，垂足为A 3 ；…，依此类推．设BA ＝a 1 ，AA 1＝a 2 , A 1A 2＝a 3 ，…， A 5A 6＝a 7 ，则 a 7＝________．解析：法一：直接递推归纳：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，A 1A 2＝a 3＝1，…，A 5A 6＝a 7＝a 1×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14.法二：求通项：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，…，A n －1A n ＝a n ＋1＝sin π4·a n ＝22a n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫22n ，故a 7＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14.答案：1412．已知x >0，不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2≥3，x ＋27x 3≥4，…，可推广为x ＋axn ≥n ＋1，则a 的值为________．解析：由x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x ＋22x 2≥3，x ＋27x 3＝x ＋33x 3≥4，…，可推广为x ＋nnxn ≥n ＋1，故a ＝n n.答案：n n13．如图，第n 个图形是由正n ＋2边形“扩展”而来(n ＝1，2，3，…)，则第n 个图形中共有______________个顶点．解析：设第n 个图形中有a n 个顶点， 则a 1＝3＋3×3，a 2＝4＋4×4，…，a n －2＝n ＋n ·n ，a n ＝(n ＋2)2＋n ＋2＝n 2＋5n ＋6.答案：n 2＋5n ＋614．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，…，第n 个三角形数为n （n ＋1）2＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n ，3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n ，4)＝n 2， 五边形数 N (n ，5)＝32n 2－12n ，六边形数 N (n ，6)＝2n 2－n ， ……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10，24)＝________．解析：N (n ，k )＝a k n 2＋b k n (k ≥3)，其中数列{a k }是以12为首项，12为公差的等差数列；数列{b k }是以12为首项，－12为公差的等差数列；所以N (n ，24)＝11n 2－10n ，当n ＝10时，N (10，24)＝11×102－10×10＝1 000.答案：1 000二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(本小题满分14分)设a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab≥8.证明：∵a >0，b >0，a ＋b ＝1. ∴1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12，ab ≤14，∴1ab ≥4⎝ ⎛⎭⎪⎫当a ＝12，b ＝12时等号成立，又1a ＋1b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥4.(当a ＝12，b ＝12时等号成立)∴1a ＋1b ＋1ab≥8.16．(本小题满分14分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15n(n ∈N *)，若T n ＝a 1＋a 2·5＋a 3·52＋…＋a n ·5n －1，b n ＝6T n －5na n ，类比课本中推导等比数列前n 项和公式的方法，求数列{b n }的通项公式．解：因为T n ＝a 1＋a 2·5＋a 3·52＋…＋a n ·5n －1，①所以5T n ＝a 1·5＋a 2·52＋a 3·53＋…＋a n －1·5n －1＋a n ·5n，②由①＋②得：6T n ＝a 1＋(a 1＋a 2)·5＋(a 2＋a 3)·52＋…＋(a n －1＋a n )·5n －1＋a n ·5n＝1＋15×5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫152×52＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15n －1×5n －1＋a n ·5n＝n ＋a n ·5n， 所以6T n －5n a n ＝n ，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝n .17．(本小题满分14分)观察 ①sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝34；②sin 26°＋cos 236°＋sin 6°cos 36°＝34.由上面两式的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想． 解：观察40°－10°＝30°，36°－6°＝30°，由此猜想：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝34.证明：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α(cos 30°cos α－sin 30°sin α) ＝sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋32sin αcos α－12sin 2α＝12sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋34sin 2α ＝1－cos 2α4＋1＋cos （60°＋2α）2＋34sin 2α ＝1－cos 2α4＋12＋14cos 2α－34sin 2α＋34sin 2α ＝34. 18．(本小题满分16分)若a ＞b ＞c ＞d ＞0且a ＋d ＝b ＋c ，求证：d ＋a ＜b ＋c . 证明：要证d ＋a ＜b ＋c ，只需证(d ＋a )2＜(b ＋c )2，即a ＋d ＋2ad ＜b ＋c ＋2bc .因a ＋d ＝b ＋c ，则只需证ad ＜bc ，即证ad ＜bc .设a ＋d ＝b ＋c ＝t ，则ad －bc ＝(t －d )d －(t －c )c ＝(c －d )·(c ＋d －t )＜0. 故ad ＜bc 成立，从而d ＋a ＜b ＋c 成立．19．(本小题满分16分)设f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，已知a ＋b ＋c ＝0，f (0)＞0，f (1)＞0.求证：(1)a ＞0，且－2＜b a＜－1；(2)方程f (x )＝0在(0，1)内有两个实数根．证明：(1)因为a ＋b ＋c ＝0，f (0)＝c ＞0，f (1)＝3a ＋2b ＋c ＝2a ＋b ＞0， 而b ＝－a －c ，则a －c ＞0，所以a ＞c ＞0. 又2a ＞－b ，所以－2＜b a，而a ＋b ＜0，则b a ＜－1，因此有－2＜b a＜－1.(2)Δ＝(2b )2－12ac ＝4[(a ＋c )2－3ac ]＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12c 2＋3c 2，则Δ＞0，f (x )的对称轴为x ＝－b 3a ，由(1)可得13＜－b 3a ＜23，又f (0)＞0，f (1)＞0且a ＞0，故方程f (x )＝0在(0，1)内有两个实数根． 20．(本小题满分16分)已知数列{a n }满足a 1＝12，2a n ＋1＝a n a n ＋1＋1.(1)猜想数列{a n }的通项公式(不用证明)；(2)已知数列{b n }满足b n ＝(n ＋1)a n ＋2，求证：数列{b n }中的任意不同的三项都不可能成等比数列．证明：(1)由条件可得：a 1＝12，a 2＝23，a 3＝34，……猜想：a n ＝nn ＋1.(2)由(1)可知：b n ＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在不同的三项b p ，b q ，b r 使其成等比数列，则b 2q ＝b p ·b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)，则有q 2＋2＋22q ＝pr ＋2＋2(p ＋r )， 化简得q 2＋22q ＝pr ＋2(p ＋r )．因为p ，q ，r ∈N *，所以有⎩⎪⎨⎪⎧q 2＝pr ，2q ＝p ＋r ，消去q 得(p ＋r )2＝4pr ，即(p －r )2＝0，所以p＝r .这与假设b p ，b q ，b r 为不同的三项矛盾，所以数列{b n }中的任意不同的三项都不可能成等比数列．。

2.1.1 合情推理学习目标重点难点1．结合已学过的数学实例和生活中的实例，能分析合情推理的含义，能利用归纳推理和类比等方法进行简单的推理．2．会分析归纳推理与类比推理的联系与区别，体会并认识合情推理在数学发现中的作用.重点：理解归纳推理和类比推理的含义，并能利用归纳推理和类比推理进行简单的推理．难点：1．能运用合情推理进行简单推理．2．认识合情推理在数学发现中的作用.1．推理从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为________．任何推理都包含________和________两个部分，________是推理所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么；________是根据________推得的命题，它告诉我们推出的知识是什么．2．归纳推理(1)从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为________．其思维过程大致为________→________→____________.(2)归纳推理的特点①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所________．②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需要经过逻辑证明和实践检验．因此，它不能作为________的工具．③归纳推理是一种具有创造性的推理．通过归纳法得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们________．预习交流 1做一做：由三角形的内角和是180°，凸四边形的内角和是360°＝2×180°，凸五边形的内角和是540°＝3×180°，归纳出结论：__________________________________________.3．类比推理根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为________，简称________．其思维过程大致为________→________→__________.预习交流 2做一做：对于平面几何中的命题：夹在两平行线之间的平行线段相等，在立体几何中，类比上述命题，可得命题为________________．4．合情推理合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程．________和________都是数学活动中常用的合情推理．预习交流 3合情推理具有哪些特点？在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点答案：预习导引1．推理前提结论前提结论前提2．(1)归纳推理实验、观察概括、推广猜测一般性结论(2)①包容的范围②数学证明③发现问题和提出问题预习交流1：提示：凸n边形的内角和是(n－2)×180°3．类比推理类比法观察、比较联想、类推猜测新的结论预习交流2：提示：夹在两平行平面之间的平行线段相等4．归纳推理类比推理预习交流3：提示：合情推理有如下特点：(1)在数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；(2)证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向；(3)一般来说，合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠．一、归纳推理根据下列条件写出数列的前4项，并归纳猜想它们的通项公式：(1)a1＝0，a n＋1＝a n＋(2n－1)(n∈N*)；(2)a1＝1，a n＋1＝12a n(n∈N*)．思路分析：本题可利用归纳推理求出数列的通项公式．归纳推理具有由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，在得出前几项结果后，要注意统一形式，以便寻找规律，然后归纳猜想出结论．1．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 041，…，则72 011的末两位数字为__________．2．(2012陕西高考)观察下列不等式1＋122＜32，1＋122＋132＜53，1＋122＋132＋142＜74，……照此规律，第五个．．．不等式为____________________．3．(2012山东省实验中学诊断，文14)若f(n)为n2＋1的各位数字之和，如142＋1＝197,1＋9＋7＝17，则f(14)＝17，记f1(n)＝f(n)，f2(n)＝f(f1(n))，f3(n)＝f(f2(n))，…，f k＋1(n)＝f(f k(n))，k∈N*，则f 2 012(8)＝__________.归纳推理的一般步骤是：(1)通过观察个别情况，发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性的命题(猜想)．二、类比推理。

2.1.1 合情推理（2）一、教学内容：推理与证明（第二课时）§2.1.1 合情推理（2）二、教学目标1. 结合已学过的数学实例，了解类比推理的含义;2. 能利用类比进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用.三、课前预习（预习教材P65~ P67）1.已知，考察下列式子：；；. 我们可以归纳出，对也成立的类似不等式为 .2. 猜想数列的通项公式是 .四、讲解新课1、新课引人鲁班由带齿的草发明锯；人类仿照鱼类外形及沉浮原理发明潜水艇；地球上有生命，火星与地球有许多相似点，如都是绕太阳运行、绕轴自转的行星，有大气层，也有季节变更，温度也适合生物生存，科学家猜测：火星上有生命存在. 以上都是类比思维，即类比推理.类比推理就是根据两个（或两类）对象之间，推演出他们在其他方面简言之，类比推理是由到的推理.2、讲解新课例1 类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质.例2 类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.三角形四面体三角形的两边之和大于第三边三角形的中位线平行且等于第三边的一半三角形的面积为（r为三角形内切圆的半径）：和都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，然后提出的推理，我们把它们统称为合情推理.一般说合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠.五、课堂练习1. 如图，若射线OM，ON上分别存在点与点，则三角形面积之比.若不在同一平面内的射线OP，OQ，OR上分别存在点，点和点，则类似的结论是什么？2. 在中，不等式成立；在四边形ABCD中，不等式成立；在五边形ABCDE中，不等式成立.猜想，在n边形中，有怎样的不等式成立？六、课堂小结七、课后作业1.下列说法中正确的是（）.A.合情推理是正确的推理B.合情推理就是归纳推理C.归纳推理是从一般到特殊的推理D.类比推理是从特殊到特殊的推理2. 下面使用类比推理正确的是（）.A.“若,则”类推出“若,则”B.“若”类推出“”C.“若” 类推出“ （c≠0）”D.“” 类推出“3. 设，，n∈N，则（）.A. B.－ C. D.－4. 一同学在电脑中打出如下若干个圆若将此若干个圆按此规律继续下去，得到一系列的圆，那么在前2006个圆中有 个黑圆.5. 在数列1，1，2，3，5，8，13，x ，34，55……中的x 的值是 .6、在等差数列中，若，则有*121219(19,)n n a a a a a a n n N -+++=+++<∈成立，类比上述性质，在等比数列中，若，则存在怎样的等式？7 在各项为正的数列中，数列的前n 项和满足（1） 求；（2） 由（1）猜想数列的通项公式；（3） 求。

2.1 合情推理与演绎推理第1课时归纳推理问题1：我们知道铜、铁、铝、金、银都是金属，它们有何物理性质？提示：都能导电．问题2：由问题1你能得出什么结论？提示：一切金属都能导电．问题3：最近中国健康报报道了人的血压和年龄一组数据，先观察表中数据的特点，用适当的数填入表中.提示：140 85问题4：由问题3中的数据你还能得出什么结论？提示：随着人的年龄增长，人的血压在增高．问题5：数列{a n}的前五项为1，3，5，7，9试写出a n.提示：a n＝2n－1(n∈N*)．1．推理(1)推理的定义从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理．(2)推理的组成任何推理都包含前提和结论两个部分，前提是推理所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么；结论是根据前提推得命题，它告诉我们推出的知识是什么．2．归纳推理(1)归纳推理的定义从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理．(2)归纳推理的思维过程如图实验、观察猜测一般性结论(3)归纳推理的特点①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围．②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，它不能作为数学证明的工具．③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．1．归纳推理是从特殊到一般，具体到抽象的推理形式．因此，由归纳得到的结论超越了前提所包容的范围．2．归纳是根据若干已知的条件(现象)推断未知结论(现象)，因而，结论(现象)具有猜测的性质．3．归纳的前提是特殊现象，归纳是立足于观察、经验或实验的基础上的．4．观察和实验是进行归纳推理的最基本条件，是归纳推理的基础，通过观察和实验，为知识的总结和归纳提供依据．5．由归纳推理所得到的结论未必是可靠的，但是它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对于科学的发现却是十分有用的，是进行科学研究的最基本的方法之一．[例1] 已知数列{a n }的第1项a 1＝1，且a n ＋1＝a n1＋a n(n ＝1，2，…)，求出a 2，a 3，a 4，并推测a n .[思路点拨] 数列的通项公式表示的是数列{a n }的第n 项a n 与序号n 之间的对应关系，根据已知的递推公式，求出数列的前几项，观察出n 与a n 的关系即可解决．[精解详析] 当n ＝1时，a 1＝1；当n ＝2时，a 2＝12；当n ＝3时，a 3＝121＋12＝13；当n ＝4时，a 4＝131＋13＝14.观察可得，数列的前4项等于相应序号的倒数．由此猜想，这个数列的通项公式为a n ＝1n.[一点通] 在求数列的通项与前n 项和时，经常用归纳推理得出结论．这就需要在进行归纳推理时要先转化为一个统一的形式，分出变化部分和不变部分，重点分析变化规律与n 的关系，往往会较简捷地获得结论．1．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n .求出a 1，a 2，a 3，a 4，并推测a n .解：∵S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n ，∴a 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 1，∴a 21＝1.又∵a n >0，∴a 1＝1；a 1＋a 2＝12⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋1a2，即1＋12a 2＝12a 2， ∴a 2＝2－1；a 1＋a 2＋a 3＝12⎝⎛⎭⎪⎫a 3＋1a 3，即2＋12a 3＝12a 3，∴a 3＝3－2；a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝12⎝⎛⎭⎪⎫a 4＋1a4，∴3＋12a 4＝12a 4，∴a 4＝2－3；观察可得，a n ＝n －n －1. 2．已知数列{a n }中，a 2＝6，a n ＋1＋a n －1a n ＋1－a n ＋1＝n .(1)求a 1，a 3，a 4；(2)猜想数列{a n }的通项公式． 解：(1)由a 2＝6，a 2＋a 1－1a 2－a 1＋1＝1，得a 1＝1.由a 3＋a 2－1a 3－a 2＋1＝2，得a 3＝15.由a 4＋a 3－1a 4－a 3＋1＝3，得a 4＝28.故a 1＝1，a 3＝15，a 4＝28. (2)由a 1＝1＝1×(2×1－1)；a 2＝6＝2×(2×2－1)； a 3＝15＝3×(2×3－1)； a 4＝28＝4×(2×4－1)，…猜想a n ＝n (2n －1).[例2] 对任意正整数n ，试归纳猜想2n 与n 2的大小关系．[思路点拨] 给n 从小到大赋值→计算各式的值→比较大小→归纳猜想 [精解详析] 当n ＝1时，21>12； 当n ＝2时，22＝22； 当n ＝3时，23<32； 当n ＝4时，24＝42； 当n ＝5时，25>52； 当n ＝6时，26>62.归纳猜想，当n ＝3时，2n <n 2； 当n ∈N *，且n ≠3时，2n ≥n 2.[一点通] 对于与正整数n 有关的指数式与整式的大小比较，不能用作差、作商法比较，常用归纳、猜想、证明的方法，解题时对n 的取值的个数要适当，太少易产生错误猜想，太多增大计算量，凡事恰到好处．对有些复杂的式子的大小比较，往往通过作差后变形(通分、因式分解等)，变成比较两个简单式子的大小，即化繁为简．3．观察下列式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，猜想第n 个不等式为__________________________．解析：第1个不等式：1＋1（1＋1）2<2×1＋11＋1； 第2个不等式：1＋122＋1（2＋1）2<2×2＋12＋1； 第3个不等式：1＋122＋132＋1（3＋1）2<2×3＋13＋1； …故猜想第n 个不等式为1＋122＋132＋142＋…＋1（n ＋1）2<2n ＋1n ＋1. 答案：1＋122＋132＋…＋1（n ＋1）2<2n ＋1n ＋1 4．对任意正整数n ，猜想n n ＋1与(n ＋1)n的大小关系．解：n ＝1时，12<21；n ＝2时，23<32，n ＝3时；34>43； n ＝4时，45>54，n ＝5时；56>65.据此猜想，当n <3时，nn ＋1<(n ＋1)n，n ≥3时，n n ＋1>(n ＋1)n .[例3] 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，如图：由于图中1，3，6，10这些数能够表示成三角形，故被称为三角形数，试结合组成三角形的数的特点，归纳第n 个三角形数．[思路点拨] 将1，3，6，10分别写成1×22，2×32，3×42，4×52，据此可完成本题的求解．[精解详析] 观察项与项数的关系特点如下：分析：项的各分母均为2，分子分别为相应项数与相应项数与1和的积．归纳：第n个三角形数应为n（n＋1）2(n∈N*)．[一点通] 此类图形推理问题涉及的图形构成的元素一般为点．题目类型为已知几个图形，图形中元素的数量呈现一定的变化，这种数量变化存在着简单的规律性，如点的数目的递增关系或递减关系，依据此规律求解问题，一般需转化为求数列的通项公式或前n项和等．5．下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：设第n个图有a n个树枝，则a n＋1与a n(n≥1)之间的关系是_________________________________________________．解析：由图可得，第一个图形有1根树枝，a1＝1，第2个图形有3根树枝，即a2＝3，同理可知：a3＝7, a4＝15，a5＝31.归纳可知：a2＝3＝2×1＋1＝2a1＋1，a3＝7＝2×3＋1＝2a2＋1，a4＝15＝2×7＋1＝2a3＋1，a5＝31＝2×15＋1＝2a4＋1，由归纳推理可猜测：a n＋1＝2a n＋1.答案：a n＋1＝2a n＋16．根据下图中5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜想第n个图中点的个数是______．解析：图中点的个数依次为：1，3，7，13，21.又1＝1＋0×1；3＝1＋1×2；7＝1＋2×3，13＝1＋3×4，21＝1＋4×5.结合项数与项的关系猜想第n 个图中点的个数为：1＋(n －1)n ，即为n 2－n ＋1(n ∈N *)． 答案：n 2－n ＋1(n ∈N *)[例4] 如图是杨辉三角的前5行，请试写出第8行，并归纳、猜想一般规律．[思路点拨] 由杨辉三角的前5行总结各行数字的规律，由此寻找第8行的数字，整体观察杨辉三角可得到多个有趣的规律．[精解详析] 第8行：1 7 21 35 35 21 7 1. 一般规律：(1)每行左、右的数字具有对称性；(2)两斜边的数字都是1，其余数字等于它肩上两数字之和； (3)奇数行中间一项最大，偶数行中间两项相等且最大．[一点通] 解决此类数阵问题时，通常利用归纳推理，其步骤如下： (1)明确各行、各列数的大小；(2)分别归纳各行、各列中相邻两个数的大小关系； (3)按归纳出的规律写出一个一般性的结论．7．将全体正整数排成一个三角形数阵，如图所示，则数阵中第n (n ≥3)行的从左至右的第3个数是______．解析：第1行，第2行，第3行，…分别有1，2，3，…个数字，且每个数字前后差1，则第n －1行的最后一个数字加3即为第n (n ≥3)行的从左至右的第3个数，前n －1行共有数字1＋2＋3＋…＋(n －1)＝n （n －1）2，则第n (n ≥3)行的从左至右的第3个数为n （n －1）2＋3＝n 2－n ＋62.答案：n 2－n ＋628.把正整数按一定的规则排成了右边所示的三角形数表，设a ij (i ，j ∈N *)是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 行．如a 42＝8，若a ij ＝2 009.则i 和j 的和为________．解析：由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，2 009＝2×1 005－1，所以2 009为第1 005个奇数，又前31个奇数行内数的个数的和为961，前32个奇数行内数的个数的和为1 024，故2 009在第32个奇数行内，所以i ＝63，因为第63行的第一个数为2×962－1＝1 923，2 009＝1 923＋2(m －1)，所以m ＝44，即j ＝44，所以i ＋j ＝107. 答案：1071．归纳推理的一般步骤(1)通过观察某类事物个别情况，发现某些相同性质． (2)对这些性质进行归纳整理，得到一个合理的结论． (3)猜想这个结论对该类事物都成立． 2．归纳推理应注意的问题归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明．一、填空题1．(陕西高考)观察下列等式(1＋1)＝2×1(2＋1)(2＋2)＝22×1×3(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5…照此规律，第n个等式可为________________．解析：观察规律可知，左边为n项的积，最小项和最大项依次为(n＋1)，(n＋n)，右边为连续奇数之积乘以2n，则第n个等式为：(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n×1×3×5×…×(2n－1)．答案：(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n×1×3×5×…×(2n－1)2．已知f1(x)＝cos x，f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，f4(x)＝f3′(x)，…，f n(x)＝f n－1′(x)，则f2 016(x)＝________．解析：f1(x)＝cos x，f2(x)＝f1′(x)＝－sin x，f3(x)＝f2′(x)＝－cos x，f4(x)＝f3′(x)＝sin x，f5(x)＝f4′(x)＝cos x，…再继续下去会重复出现，周期为4，∴f2 016(x)＝f4(x)＝sin x.答案：sin x3．根据三角恒等变换，可得到如下等式：cos θ＝cos θ；cos 2θ＝2cos2θ－1；cos 3θ＝4cos3θ－3cos θ；cos 4θ＝8cos4θ－8cos2θ＋1；cos 5θ＝16cos5θ－20cos3θ＋5cos θ依照规律猜想cos 6θ＝32cos6θ＋m cos4θ＋n cos2θ－1.则m＋n＝________．解析：根据三角恒等变换等式可知，各项系数与常数项的和是1， 即32＋m ＋n －1＝1. ∴m ＋n ＝－30. 答案：－304．已知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n，把数列{a n }的各项排成如下的三角形： a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9……记A (s ，t )表示第s 行的第t 个数，则A (11，12)＝________．解析：每行对应的元素个数分别为1，3，5 …，那么第10行最后一个数为a 100，则第11行的第12个数为a 112，即A (11，12)＝a 112＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13112.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫131125．经计算发现下列不等式：2＋18<210， 4.5＋15.5<210， 3＋2＋17－2<210，…，根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a ，b 都成立的条件不等式：________________________________________________________________________.解析：2＋18＝20，4.5＋15.5＝20，3＋2＋17－2＝20，…，即各不等式左边两根号内的数之和等于20，右侧均为210.答案：当a ＋b ＝20，a ，b ∈(0，＋∞)时，有a ＋b ≤210 二、解答题 6．已知 2＋23＝223， 3＋38＝338， 4＋415＝4415，…，若 6＋a b＝6ab(a ，b 均为实数)，请推测a ，b 的值． 解：由前面三个等式，推测归纳被开方数的整数部分与分数部分的关系，发现规律． 由三个等式，知整数部分和分数部分的分子相同，而分母是这个分子的平方减1， 由此推测6＋a b中，a ＝6，b ＝62－1＝35，即a ＝6，b ＝35.7．在平面内观察：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线……由此猜出凸n 边形有几条对角线？解：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条；凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条；…于是猜想凸n 边形的对角线条数比凸n －1边形多n －2条对角线，由此凸n 边形对角线条数为2＋3＋4＋5＋…＋(n －2)＝12n (n －3)(n ≥4，n ∈N *)．8．观察：①tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°＝1； ②tan 5°tan 10°＋tan 10°tan 75°＋tan 75°tan 5°＝1.由以上两式成立且有一个从特殊到一般的推广，此推广是什么？并证明你的推广． 解：观察到10°＋20°＋60°＝90°，5°＋10°＋75°＝90°， 因此猜测此推广为α＋β＋γ＝π2，且α、β、γ都不为k π＋π2，k ∈Z ， 则tan αtan β＋tan β tan γ＋tan αtan γ＝1. 证明如下：由α＋β＋γ＝π2得α＋β＝π2－γ， ∴tan(α＋β)＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫π2－γ＝cot γ. 又∵tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，∴tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β) ＝cot γ(1－tan αtan β)．∴tan αtan β＋tan β tan γ＋tan γtan α ＝tan γ(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝tan γ(1－tan αtan β)·cot γ＋tan αtan β ＝1－tan αtan β＋tan αtan β＝1.第2课时类比推理为了回答“火星上是否有生命”这个问题，科学家们把火星与地球作为类比，发现火星具有一些与地球类似的特征，如火星也是围绕太阳运行、绕轴自转的行星，也有大气层，在一年中也有季节的变更，而且火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存，等等．由此，科学家猜想：火星上也可能有生命存在．问题：科学家做出上述猜想的推理过程是怎样的？提示：在提出上述猜想的过程中，科学家对比了火星与地球之间的某些相似特征，然后从地球的一个已知特征(有生命存在)出发，猜测火星也可能具有这个特征．1．类比推理根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理，简称类比法．其思维过程为：观察、比较猜测新的结论2．合情推理合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践结果，以及个人的经验等推测某些结果的推理过程．归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理．类比推理的特点主要体现在以下几个方面：(1)类比推理是从特殊到特殊的推理．(2)类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征．所以，类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．(3)由于类比推理的前提是两类对象之间具有某些可以清楚定义的类似特征．所以，进行类比推理的关键是明确地指出两类对象在某些方面的类似特征．[例1] 在等差数列{a n}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a19(n<19，n∈N*)成立．类比上述性质，相应地，在等比数列{b n}中，若b9＝1，则有什么样－n的等式成立？[思路点拨] 在等差数列与等比数列的类比中，等差数列中的和类比等比数列中的积，差类比商，积类比幂．[精解详析] 在等差数列{a n}中，a10＝0，∴a1＋a2＋…＋a n＋…＋a19＝0，即a1＋a2＋…＋a n＝－a19－a18－…－a n＋1.又由a10＝0，得a1＋a19＝a2＋a18＝…＝a n＋a20－n＝a n＋1＋a19－n＝2a10＝0，∴a1＝－a19，a2＝－a18，…，a19－n＝－a n＋1，∴a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a19－n，若a9＝0，同理可得a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a17－n，相应的，在等比数列{b n}中，若b9＝1，则可得b1b2…b n＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N*)．[一点通] 类比推理的一般模式为：A类事物具有性质a，b，c，d，B类事物具有性质a′，b′，c′，d′(a，b，c分别与a′，b′，c′相似或相同)，所以B类事物可能具有性质d′(d与d′相似或相同)．1．若数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，则有数列b n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n n(n ∈N *)也是等差数列．类比上述性质，相应地：若数列{c n }(n ∈N *)是等比数列，且c n >0，则数列d n ＝ _____________________(n ∈N *)也是等比数列． 答案：nc 1·c 2·c 3·…·c n2．已知命题：若数列{a n }为等差数列，且a m ＝a ，a n ＝b (m ≠n ，m ，n ∈N *)，则a m ＋n ＝bn －amn －m.现已知等比数列{b n }(b n >0，n ∈N *)，且b m ＝a ，b n ＝b (m ≠n ，m ，n ∈N *)，类比上述结论，求b m ＋n .解：等差数列通项a n 与项数n 是一次函数关系，等比数列通项b n 与项数n 是指数型函数关系．利用类比可得b m ＋n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b n a m 1n －m ＝n －m b na m .[例2]如图，在三棱锥S －ABC 中，SA ⊥SB ，SB ⊥SC ，SA ⊥SC ，且SA 、SB 、SC 和底面ABC 所成的角分别为α1、α2、α3，三侧面△SBC ，△SAC ，△SAB 的面积分别为S 1，S 2，S 3，类比三角形中的正弦定理，给出空间情形的一个猜想．[思路点拨] 在△DEF 中，有三条边，三个角，与△DEF 相对应的是四面体S －ABC ，与三角形三条边长对应的是四面体三个侧面的面积，三角形三个角对应的是SA ，SB ，SC 与底面ABC 所成的三个线面角α1，α2，α3.在平面几何中三角形的有关性质，我们可以用类比的方法，推广到四面体、三棱柱等几何体中．[精解详析] 在△DEF 中，由正弦定理，得d sin D ＝e sin E ＝fsin F.于是，类比三角形中的正弦定理，在四面体S －ABC 中，我们猜想S 1sin α1＝S 2sin α2＝S 3sin α3成立．[一点通] (1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手．由平面中相关结论可以类比得到空间中的相关结论．(2)平面图形与空间图形类比3．在平面中△ABC 的角C 的内角平分线CE 分△ABC 面积所成的比S △AEC S △BEC ＝ACBC，将这个结论类比到空间：在三棱锥A －BCD 中，平面DEC 平分二面角A －CD －B 且与AB 交于E ，则类比的结论为___________．图(1) (2) 解析：平面中的面积类比到空间为体积， 故S △AEC S △BEC 类比成V A －CDEV B －CDE. 平面中的线段长类比到空间为面积， 故AC BC 类比成S △ACD S △BCD .故有V A －CDE V B －CDE ＝S △ACDS △BDC. 答案：V A －CDE V B －CDE ＝S △ACD S △BDC4.如图所示，在△ABC 中，射影定理可表示为a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．解：如图所示，在四面体P —ABC 中，S 1，S 2，S 3，S 分别表示△PAB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示面PAB ，面PBC ，面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小．我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ.[例3] 我们已经学过了等差数列，你是否想过有没有等和数列呢？ (1)类比“等差数列”给出“等和数列”的定义；(2)探索等和数列{a n }的奇数项和偶数项各有什么特点，并加以说明； (3)在等和数列{a n }中，如果a 1＝a ，a 2＝b ，求它的前n 项和S n .[思路点拨] 可先根据等差数列的定义类比出“等和数列”的定义，然后再据此定义探索等和数列的奇数项、偶数项及其前n 项和．[精解详析] (1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列．(2)由(1)知a n ＋a n ＋1＝a n ＋1＋a n ＋2， 所以a n ＋2＝a n .所以等和数列的奇数项相等，偶数项也相等． (3)当n 为奇数时，令n ＝2k －1，k ∈N *，则S n ＝S 2k －1＝S 2k －2＋a 2k －1＝2k －22(a ＋b )＋a ＝n －12(a ＋b )＋a ＝n ＋12a ＋n －12b ；当n 为偶数时，令n ＝2k ，k ∈N *，则S n ＝S 2k ＝k (a ＋b )＝n2(a ＋b )．所以它的前n 项和S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＋12a ＋n －12b ，n 为奇数；n 2（a ＋b ）， n 为偶数.[一点通] (1)本题是一道浅显的定义类比应用问题，通过对等差数列定义及性质的理解，类比出等和数列的定义和性质，很好地考查学生类比应用的能 力．(2)本题型是类比定义，对本类题型解决的关键在于弄清两个概念的相似性和相异性．5．类比平面向量基本定理：“如果e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，那么对于平面α内任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使得a ＝λ1e 1＋λ2e 2.”写出空间向量基本定理的是________．答案：如果e 1，e 2，e 3是空间三个不共面的向量，那么对空间内任一向量a ，有且只有一组实数λ1，λ2，λ3，使得a ＝λ1e 1＋λ2e 2＋λ3e 36．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1具有性质：若M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两点，点P是椭圆C 上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为K PM ，K PN 时，那么K PM 与K PN 之积是与点P 位置无关的定值．试对双曲线x 2a －y 2b＝1写出类似的性质，并加以证明．解：类似的性质：若M ，N 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上关于原点对称的两点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为K PM ，K PN 时，那么K PM 与K PN 之积是与点P 位置无关的定值．证明如下：设M (m ，n )，则N (－m ，－n )，其中m 2a 2－n 2b2＝1.设P (x ，y )，由K PM ＝y －n x －m ，K PN ＝y ＋nx ＋m， 得K PM ·K PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－ n 2x 2－m 2，将y 2＝b 2a 2x 2－b 2，n 2＝b 2a 2m 2－b 2代入得K PM ·K PN ＝b 2a2.1．进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．2．多用下列技巧会提高所得结论的准确性： (1)类比对象的共同属性或相似属性尽可能的多些． (2)这些共同属性或相似属性应是类比对象的主要属性．(3)这些共同(相似)属性应包括类比对象的各个方面，并尽可能是多方面．一、填空题1．正方形的面积为边长的平方，则在立体几何中，与之类比的图形是________， 结论是______________________________． 答案：正方体 正方体的体积为棱长的立方 2．给出下列推理：(1)三角形的内角和为(3－2)·180°， 四边形的内角和为(4－2)·180°， 五边形的内角和为(5－2)·180°， ……所以凸n 边形的内角和为(n －2)·180°；(2)三角函数都是周期函数，y ＝tan x 是三角函数，所以y ＝tan x 是周期函数； (3)狗是有骨骼的；鸟是有骨骼的；鱼是有骨骼的；蛇是有骨骼的；青蛙是有骨骼的，狗、鸟、鱼、蛇和青蛙都是动物，所以，所有的动物都是有骨骼的；(4)在平面内如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行，那么在空间中如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行．其中属于合情推理的是________．(填序号)解析：根据合情推理的定义来判断．因为(1)(3)都是归纳推理，(4)是类比推理，而(2)不符合合情推理的定义，所以(1)(3)(4)都是合情推理．答案：(1)(3)(4)3．三角形的面积为S ＝12(a ＋b ＋c )r ，a 、b 、c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为___________________________________________________．解析：△ABC 的内心为O ，连结OA ，OB ，OC ，将△ABC 分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r ，底边长分别为a ，b ，c ；类比：设四面体A －BCD 的内切球球心为O ，连结OA ，OB ，OC ，OD ，将四面体分割为四个以O 为顶点，以原来面为底面的四面体，高都为r ，所以有V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r .答案：13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r (S 1，S 2，S 3，S 4为四个面的面积，r 为内切球的半径)4．在平面几何中，有射影定理：“在△ABC 中，AB ⊥AC ，点A 在BC 边上的射影为D ，有AB 2＝BD ·BC .”类比平面几何定理，研究三棱锥的侧面面积与射影面积、底面面积的关系，可以得出的正确结论是：“在三棱锥A －BCD 中，AD ⊥平面ABC ，点A 在底面BCD 上的射影为O ，则有______________________________．”答案：S 2△ABC ＝S △BOC ·S △BCD5．已知结论：“在三边长都相等的△ABC 中，若D 是BC 的中点，G 是△ABC 外接圆的圆心，则AGGD＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体ABCD 中，若M 是△BCD 的三边中线的交点，O 为四面体ABCD 外接球的球心，则AO OM＝________．”解析：如图，易知球心O 在线段AM 上，不妨设四面体ABCD 的边长为1，外接球的半径为R ， 则BM ＝32×23＝33，AM ＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝63，R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫63－R 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332，解得R ＝64. 于是，AOOM＝6463－64＝3. 答案：3 二、解答题6．已知：等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，有如下的性质： (1)通项a n ＝a m ＋(n －m )·d .(2)若m ＋n ＝p ＋q ，且m ，n ，p ，q ∈N *，则a m ＋a n ＝a p ＋a q . (3)若m ＋n ＝2p ，且m ，n ，p ∈N *，则a m ＋a n ＝2a p . (4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成等差数列．类比上述性质，在等比数列{b n }中，写出相类似的性质． 解：设等比数列{b n }中，公比为q ，前n 项和为S n . (1)通项a n ＝a m ·qn －m.(2)若m ＋n ＝p ＋q ，且m ，n ，p ，q ∈N *， 则a m ·a n ＝a p ·a q .(3)若m ＋n ＝2p ，且m ，n ，p ∈N *，则a 2p ＝a m ·a n . (4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成等比数列． 7．类比圆的下列特征，找出球的相关特征． (1)平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆； (2)平面内不共线的3个点确定一个圆； (3)圆的周长与面积可求．解：(1)在空间中，与定点距离等于定长的点的集合是球； (2)空间中不共面的4个点确定一个球； (3)球的表面积与体积可求．8．若记号“*”表示两个实数a 与b 的算术平均的运算，即a *b ＝a ＋b2，则两边均含有运算符号“*”和“＋”，写出对于任意3个实数a ，b ，c 都能成立的一个等式．解：由于本题是探索性和开放性的问题，问题的解决需要经过一定的探索类比过程，并且答案不惟一．解决这道试题要把握住a *b ＝a ＋b2，还要注意到试题的要求不仅类比推广到三个数，而且等式两边均含有运算符号 “*”和“＋”，则可容易得到a ＋(b *c )＝(a ＋b )*(a ＋b )．正确的结论还有：(a *b )＋c ＝(a *c )＋(b *c )，(a *b )＋c ＝(b *a )＋c 等．第3课时 演 绎 推 理看下面两个问题：(1)∅是任意非空集合的真子集，A 是非空集合，所以∅是集合A 的真子集；(2)循环小数是有理数，0.332·是循环小数，所以0.332·是有理数． 问题1：这两个问题中的第一句都说明什么？ 提示：都说的一般原理． 问题2：第二句又说什么？ 提示：都说的特殊示例． 问题3：第三句呢？提示：由一般原理对特殊示例作出判断．1．演绎推理2．三段论1． 演绎推理是由一般到特殊的推理，一种必然性的推理，这决定了演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以其前提与结论之间的联系是必然的．2．三段论中大前提是一个一般性结论，是共性，小前提是指其中的一个，结论为这一个也具有大前提中的结论．要得到一个正确的结论，大前提和小前提都必须正确，二者中有一个错误，结论就不正确．[例1] 将下面的演绎推理写成三段论的形式：(1)所有椭圆的离心率e 的取值范围为(0，1)，曲线C ：x 22＋y 2＝1是椭圆，所以曲线C的离心率e 的取值范围为(0，1)．(2)等比数列的公比都不为零，数列{2n }(n ∈N *)是等比数列，所以数列{2n}的公比不为零．[思路点拨] 这种类型的题目只要明确各推理案例中的大前提、小前提与结论即可． [精解详析] (1)大前提：所有椭圆的离心率e 的取值范围为(0，1)． 小前提：曲线C ：x 22＋y 2＝1是椭圆．结论：曲线C 的离心率e 的取值范围为(0，1)． (2)大前提：等比数列的公比都不为零． 小前提：数列{2n}(n ∈N *)是等比数列． 结论：数列{2n}的公比不为零．[一点通] 演绎推理的重要形式是三段论，分清大前提、小前提和结论是解题的关键．大前提是给出一般性的原理，小前提是指出特殊对象，结论是体现一般性原理与特殊对象的内在联系的必然结果．1．用三段论的形式写出下列演绎推理．(1)菱形的对角线相互垂直，正方形是菱形，所以正方形的对角线相互垂直． (2)若两角是对顶角，则此两角相等，所以若两角不是对顶角，则此两角不相等．(3)0.332是有理数．(4)y ＝sin x (x ∈R )是周期函数．解：(1)因为菱形的对角线相互垂直，(大前提) 正方形是菱形，(小前提)所以正方形的对角线相互垂直．(结论)(2)如果两个角是对顶角，则这两个角相等，(大前提) ∠1和∠2不是对顶角，(小前提) 所以∠1和∠2不相等．(结论)(3)因为所有的有限小数是有理数，(大前提) 0．332是有限小数，(小前提) 所以0.332是有理数．(结论)(4)因为三角函数是周期函数，(大前提)y ＝sin x (x ∈R )是三角函数，(小前提)所以y ＝sin x 是周期函数．(结论)2．指出下列各演绎推理中的大前提、小前提，并判断结论是否正确． (1)a ∥b 一定有a ＝λb (λ∈R )，向量c 与向量d 平行，所以c ＝λd .(2)指数函数y ＝a x(0<a <1)是减函数，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 是指数函数，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x是减函数． 解：(1)大前提：a ∥b 一定有a ＝λb (λ∈R )． 小前提：向量c 与向量d 平行． 结论是错误的，原因是大前提错误． 因为当a ≠0，b ＝0时a ∥b ， 这时找不到实数λ使得a ＝λb .(2) 大前提：指数函数y ＝a x(0<a <1)是减函数．小前提：y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x是指数函数．结论是正确的．因为大前提、小前提均是正确的．[例2]在平面四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD，求证：四边形ABCD为平行四边形．写出三段论形式的演绎推理．[思路点拨] 原题可用符号表示为：AB＝CD且BC＝AD⇒四边形ABCD为平行四边形．用演绎推理来证明命题的方法，也就是从包含在命题中的一般原理推出包含在命题中的个别、特殊事实．为了证明这个命题为真，我们只需在前提(AB＝CD且BC＝AD)为真的情况下，以已知公理、已知定义、已知定理为依据，根据推理规则，导出结论为真．[精解详析] (1)连结AC.(2)AB＝CD，(已知)BC＝AD，(已知)CA＝AC.(3)平面几何中的边边边定理是：有三边对应相等的两个三角形全等．这一定理相当于：对于任意两个三角形，如果它们的三边对应相等，则这两个三角形全等；(大前提) △ABC和△CDA的三边对应相等；(小前提)△ABC与△CDA全等．(结论)符号表示：AB＝CD且BC＝DA且CA＝AC⇒△ABC≌△CDA.(4)由全等三角形的性质可知：全等三角形的对应角相等．这一性质相当于：对于任意两个三角形，如果它们全等，则它们的对应角相等；(大前提)△ABC和△CDA全等；(小前提)它们的对应角相等，即∠1＝∠2，∠3＝∠4.(结论)(5)内错角相等，两直线平行；(大前提)∠1与∠2、∠3与∠4分别是AB与CD、AD与BC被AC所截得到的内错角；(小前提)AB∥CD，AD∥BC.(结论)(6)两组对边分别平行的四边形为平行四边形；(大前提)四边形ABCD的两组对边分别平行；(小前提)。

2.1.1 合情推理（2）教学目标：1．了解类比推理的概念和归纳推理的作用，懂得类比推理与归纳推理的区别与联系．2．掌握类比推理的一般步骤．3．能利用类比进行一些简单的推理．教学重点：了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理．教学难点：用类比进行推理，做出猜想．教学过程：一、 复习引入：1. 什么叫推理？推理由哪几部分组成？2. 合情推理的主要形式有 ．3. 归纳推理是从 事实中概括出 结论的一种推理模式．4. 归纳推理的特点: ．5…a ，b 均为实数），请推测a ＝ b ＝ ．二、创设情境在案例2中，由矩形对角线的某一性质，推出长方体的对角线具有类似的性质．这个推理过程是归纳推理吗？我们再看几个类似的推理实例：1．据传，春秋时代鲁国的公输班受到路边的齿形草能割破行人的腿的启发，发明了锯子．他的思维过程可能为：齿形草能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．2．试根据等式的性质猜想不等式的性质．等式与不等式有不少相似的属性，例如：（1）a b a c b c a b a c b c ⇒⇒＝＋＝＋猜想＞＋＞＋；（2）a b ac bc a b ac bc ⇒⇒＝＝猜想＞＞；（3）2222a b a b a b a b ⇒⇒＝＝猜想＞＞．问 这样猜想出的结论是否一定正确？三、构建新知上述几个例子均是根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理（reasoning by analogy ），简称类比法．类比推理的一般步骤：（1）找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；（2）用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；（3）检验猜想，归纳推理的思维过程：类似推理的思维过程：四、数学运用例1 （G .波利亚的类比）类比实数的加法与乘法，并列出它们类似的性质． 解 在实数的加法与乘法之间，可以建立如下的对应关系：加（＋） 乘（×）加数、被加数 乘数、被乘数 和积 等等，它们具有下列类似的性质：表2-1-2例2 试将平面上的圆与空间的球进行类比．圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合．球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合．圆截面圆 弦大圆 直径周长表面积 圆面积球体积 五、学生探究1．类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想．2．若数列{a n }为等差数列，且()m n a x a y m n m n N +＝，＝≠，，∈，则m n mx ny a m n ＋－＝－．现已知数列{b n }(b n ＞0，n ∈N ＋)为等比数列，且m b x ＝，n b y ＝ ()m n m n +N ≠，，∈类比以上结论，可得到什么结论？你能说明结论的正确性吗？六、课堂总结1．类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质．类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠．2．类比推理的一般步骤：（1）找出两类事物之间的相似性或者一致性．（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．七、课后作业教材第68页练习第1题，第2题，第3题，第4题．。

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本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018高中数学第2章推理与证明2.1.1 合情推理（2）学案苏教版选修1-2的全部内容。

2.1.1 合情推理课时目标 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理。

2.了解合情推理在数学发现中的作用．1．推理：从一个或几个已知命题得出________________________过程称为推理．2．归纳推理和类比推理归纳推理类比推理定义从个别事实中推演出一般性的结论根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同思维过程实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论观察、比较→联想、类推→猜测新的结论一、填空题1．下列说法正确的是________．①由合情推理得出的结论一定是正确的②合情推理必须有前提有结论③合情推理不能猜想④合情推理得出的结论不能判断正误2．已知数列{a n｝中，a1＝1，当n≥2时，a n＝2a n－1＋1，依次计算a2,a3,a4后，猜想a n的一个表达式是____________．3．已知A＝1＋2x4,B＝x2＋2x3，x∈R，则A与B的大小关系为________．4．给出下列三个类比结论：①（ab）n＝a n b n与（a＋b)n类比，则有(a＋b）n＝a n＋b n;②log a（xy）＝log a x＋log a y与sin(α＋β）类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β；③(a＋b）2＝a2＋2ab＋b2与（a＋b）2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2。

第1节合情推理与演绎推理一、学习目标：1. 了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用；2. 体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；3. 了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。

二、重点、难点重点：会用合情推理提出猜想，会用演绎推理进行推理论证，明确合情推理与演绎推理的区别与联系。

难点：发现两类对象的类似特征、在部分对象中寻找共同特征或规律，利用合情推理的原理提出猜想，利用演绎推理的形式进行证明。

三、考点分析：推理是数学的基本思维过程，高中数学课程的重要目标就是培养和提高学生的推理能力，因此本部分内容在高中数学中占有重要地位，是高考的重要内容。

由于解答高考试题的过程就是推理的过程，因此本部分内容的考查将会渗透到每一个高考题中。

在学习时，应注意理解常用的推理的方法，了解其含义，掌握其过程以解决具体问题。

今后的高考中若考查推理内容，最有可能是把推理渗透到解答题中考查，因为解答与证明题本身就是一种推理，合情推理与演绎推理作为一种推理工具是很容易被解答与证明题接受的。

一、知识导图二、推理根据一个或几个事实（或假设）得出一个判断，这种思维方式叫推理。

从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实（或假设），叫做前提，一部分是由已知推出的判断，叫结论。

三、合情推理：根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出的推理叫合情推理。

合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：（1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。

简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理。

（2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。

四、演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。

2.1.1 合情推理学习目标：1.了解合情推理的含义．(易混点)2.理解归纳推理和类比推理的含义，并能利用归纳和类比推理进行简单的推理．(重点、难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．归纳推理与类比推理[提示]归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正确．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．2．合情推理[基础自测]1．思考辨析(1)利用合情推理得出的结论都是正确的． ( ) (2)类比推理得到的结论可以作为定理应用． ( )(3)由个别到一般的推理为归纳推理． ( )[答案] (1)× (2)× (3)√2．鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．该过程体现了( )【导学号：48662046】A ．归纳推理B ．类比推理C ．没有推理D ．以上说法都不对B[推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比推理．]3．等差数列{a n}中有2a n＝a n－1＋a n＋1(n≥2，且n∈N*)，类比以上结论，在等比数列{b n}中类似的结论是________．b2n＝b n－1b n＋1(n≥2，且n∈N*)[类比等差数列，可以类比出结论b2n＝b n－1b n＋1(n≥2，且n∈N*)]4．如图2­1­1所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N*)个点，每个图形总的点数记为a n，则a6＝________，a n＝________(n>1，n∈N*)．图2­1­115 3n－3 [依据图形特点，可知第5个图形中三角形各边上各有6个点，因此a6＝3×6－3＝15.由n＝2,3,4,5,6的图形特点归纳得a n＝3n－3(n>1，n∈N*)．][合作探究·攻重难]12＝1，12－22＝－3，12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10，…照此规律，第n个等式可为________．(2)已知：f(x)＝x1－x，设f1(x)＝f(x)，f n(x)＝f n－1(f n－1(x))(n>1，且n∈N*)，则f3(x)的表达式为________，猜想f n(x)(n∈N*)的表达式为________．(3)已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝3，满足S n＝6－2a n＋1(n∈N*)．①求a2，a3，a4的值；②猜想a n的表达式.【导学号：48662047】[解析](1)12＝1，12－22＝－(1＋2)，12－22＋32＝1＋2＋3，12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)， …12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1(1＋2＋…＋n )＝(－1)n ＋1n n ＋12.(2)∵f (x )＝x1－x ，∴f 1(x )＝x1－x .又∵f n (x )＝f n －1(f n －1(x ))，∴f 2(x )＝f 1(f 1(x ))＝x1－x1－x 1－x ＝x1－2x ，f 3(x )＝f 2(f 2(x ))＝x1－2x 1－2×x1－2x＝x1－4x， f 4(x )＝f 3(f 3(x ))＝x1－4x 1－4×x1－4x＝x1－8x， f 5(x )＝f 4(f 4(x ))＝x1－8x 1－8×x1－8x＝x1－16x，根据前几项可以猜想f n (x )＝x1－2n －1x.[答案] (1)12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n n ＋12(2)f 3(x )＝x1－4xf n (x )＝x1－2n －1x(3)①因为a 1＝3，且S n ＝6－2a n ＋1(n ∈N *)， 所以S 1＝6－2a 2＝a 1＝3，解得a 2＝32，又S 2＝6－2a 3＝a 1＋a 2＝3＋32，解得a 3＝34，又S 3＝6－2a 4＝a 1＋a 2＋a 3＝3＋32＋34，解得a 4＝38.②由①知a 1＝3＝320，a 2＝32＝321，a 3＝34＝322，a 4＝38＝323，…，猜想a n ＝32n －1(n ∈N *)．1．数列5,9,17,33，x ，…中的x 等于________．65 [因为4＋1＝5, 8＋1＝9, 16＋1＝17,32＋1＝33，猜测x ＝64＋1＝65.] 2．观察下列等式：⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3-2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3-2＝43×1×2； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π5-2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π5-2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π5-2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 4π5-2＝43×2×3； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π7-2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π7-2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π7-2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 6π7-2＝43×3×4； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π9-2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π9-2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π9-2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 8π9-2＝43×4×5； …… 照此规律，⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2n ＋1-2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π2n ＋1-2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π2n ＋1-2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2n π2n ＋1-2＝________. 43n (n ＋1) [通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的43是个固定数，43后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中π的系数的一半，43后面第二个数是第一个数的下一个自然数，所以，所求结果为43×n ×(n ＋1)，即43n (n ＋1)．]第n 个图案中有黑色地面砖的块数是________．图2­1­2(2)根据图2­1­3中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为________.【导学号：48662048】图2­1­3[解析] (1)观察图案知，从第一个图案起，每个图案中黑色地面砖的个数组成首项为6，公差为5的等差数列，从而第n 个图案中黑色地面砖的个数为6＋(n －1)×5＝5n ＋1.(2)图形①到④中线段的条数分别为1,5,13,29，因为1＝22－3,5＝23－3,13＝24－3,29＝25－3，因此可猜想第8个图形中线段的条数应为29－3＝509.[答案] (1)5n ＋1 (2)5093．如图2­1­4所示，由火柴棒拼成的一列图形中，第n 个图形中由n 个正方形组成：图2­1­4通过观察可以发现：第5个图形中，火柴棒有________根；第n个图形中，火柴棒有________根．16 3n＋1[数一数可知各图形中火柴的根数依次为：4,7,10,13，…，可见后一个图形比前一个图形多3根火柴，它们构成等差数列，故第五个图形中有火柴棒16根，第n个图形中有火柴棒(3n＋1)根．]4．根据如图2­1­5的5个图形及相应的圆圈个数的变化规律，试猜测第n个图形有多少个圆圈．(1) (2) (3) (4) (5)图2­1­5[解]法一：图(1)中的圆圈数为12－0，图(2)中的圆圈数为22－1，图(3)中的圆圈数为32－2，图(4)中的圆圈数为42－3，图(5)中的圆圈数为52－4，…，故猜测第n个图形中的圆圈数为n2－(n－1)＝n2－n＋1.法二：第2个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向两个方向，共有2×(2－1)＋1个圆圈；第3个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向三个方向，每个方向有两个圆圈，共有3×(3－1)＋1个圆圈；第4个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向四个方向，每个方向有三个圆圈，共有4×(4－1)＋1个圆圈；第5个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向五个方向，每个方向有四个圆圈，共有5×(5－1)＋1个圆圈；……由上述的变化规律，可猜测第n个图形中间有一个圆圈，另外的圆圈指向n个方向，每个方向有(n－1)个圆圈，因此共有n(n－1)＋1＝(n2－n＋1)个圆圈．(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形．(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形．通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质，完成下列探究点： [探究问题]1．在三角形中，任意两边之和大于第三边，那么，在四面体中，各个面的面积之间有什么关系？提示：四面体中的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积．2．三角形的面积等于底边与高乘积的12，那么在四面体中，如何表示四面体的体积？提示：四面体的体积等于底面积与高的乘积的13.(1)在等差数列{a n }中，对任意的正整数n ，有a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2n －12n －1＝a n .类比这一性质，在正项等比数列{b n }中，有________．(2)在平面几何里有射影定理：设△ABC 的两边AB ⊥AC ，D 是A 点在BC 上的射影，则AB2＝BD ·BC .拓展到空间，在四面体A ­BCD 中，DA ⊥平面ABC ，点O 是A 在平面BCD 内的射影，类比平面三角形射影定理，写出对△ABC 、△BOC 、△BDC 三者面积之间关系，并给予必要证明．思路探究 (1)类比等差数列及等比数列的性质求解．(2)将直角三角形的一条直角边长类比到有一侧棱AD 与一侧面ABC 垂直的四棱锥的侧面ABC 的面积，将此直角边AB 在斜边上的射影及斜边的长，类比到△ABC 在底面的射影△OBC及底面△BCD 的面积可得S 2△ABC ＝S △OBC ·S △DBC .[解] (1)由a 1＋a 2＋…＋a 2n －1类比成b 1·b 2·b 3…b 2n －1，除以2n －1，即商类比成开2n －1次方，即在正项等比数列{b n }中，有2n －1b 1·b 2·b 3…b 2n －1＝b n .(2)△ABC 、△BOC 、△BDC 三者面积之间关系为S 2△ABC ＝S △OBC ·S △DBC . 证明如下：如图，设直线OD 与BC 相交于点E ， ∵AD ⊥平面ABE ， ∴AD ⊥AE ，AD ⊥BC ，又∵AO ⊥平面BCD ， ∴AO ⊥DE ，AO ⊥BC . ∵AD ∩AO ＝A ， ∴BC ⊥平面AED ， ∴BC ⊥AE ，BC ⊥DE .∴S △ABC ＝12BC ·AE ，S △BOC ＝12BC ·OE, S △BCD ＝12BC ·DE .在Rt△ADE 中，由射影定理知AE 2＝OE ·DE ，∴S 2△ABC ＝S △BOC ·S △BCD .中，S 1，S 2，S 3，依次表示平面PAB ，平面PBC 于点F ，连接AF .[当 堂 达 标·固 双 基]1．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高2，可知扇形面积公式为( )【导学号：48662049】A ．r 22B ．l 22C ．lr2D ．无法确定C [扇形的弧长对应三角形的底，扇形的半径对应三角形的高，因此可得扇形面积公式S ＝lr 2.]2．观察如图2­1­6所示图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )图2­1­6A.B.C.D.A [观察可发现规律：①每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，②每行、每列有两阴影一空白，即得结果．]3．等差数列{a n }中，a n >0，公差d >0，则有a 4·a 6>a 3·a 7，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n >0，q >1，写出b 5，b 7，b 4，b 8的一个不等关系________．b 4＋b 8>b 5＋b 7 [将乘积与和对应，再注意下标的对应，有b 4＋b 8>b 5＋b 7.]4．观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，根据上述规律，第四个等式为________.【导学号：48662050】13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2[由前三个式子可得出如下规律：每个式子等号的左边是从1开始的连续正整数的立方和，且个数依次加1，等号的右边是从1开始的连续正整数和的完全平方，个数也依次加1，因此，第四个等式为13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2.]5．在Rt△ABC 中，若∠C ＝90°，则cos 2A ＋cos 2B ＝1，在空间中，给出四面体性质的猜想．[解] 如图，在Rt△ABC 中，cos 2A ＋cos 2B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＝a 2＋b2c 2＝1.于是把结论类比到四面体P ­A ′B ′C ′中，我们猜想，三棱锥P ­A ′B ′C ′中，若三个侧面PA ′B ′，PB ′C ′，PC ′A ′两两互相垂直，且分别与底面所成的角为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.。