【精】福建省泉州一中高二上学期期中数学试卷和解析理科

福建省泉州一中07—08学年度第一学期期中试卷高二（理科）数学（试卷I ） 命题 邱形贵 审核 刘水明一、选择题（每题只有一个正确答案，把选项代号填入答卷．．中每题5分。

满分60分） 1．不等式“2a b c +>”成立的一个充分条件是（ ）A ．c b c a >>或B ．c b c a <>且C ．c b c a >>且D ．c b c a <>或 2．设定点1F （－3，0）、F （3，0），动点P 满足条件126PF PF +=，则点P 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．不存在C ．椭圆或线段D ．线段3． 在ABC ∆中,若,sin sin cos 2C A B = 则ABC ∆的形状一定是（ ）A. 等腰直角三角形B.等腰三角形C. 直角三角形D. 等边三角形 4．在等差数列{}n a 中，n S 为前n 项和，且387,n S S S S ==，则n 为（ ）A ．2B ．4C ．5D ．65．设集合y x y x y x A --=1,,|),{(是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域（不含边界的阴影部分）是（ ）A ．B ．C ．D ．6．若01a <<，01b <<，则a b +，2ab ，22a b +，2ab 中最大一个是 （ ）A ．a b +B ．2abC ．22a b + D ．2ab7．“220a b +≠”的含义为（ ）A ．a 、b 都不为0B ．a 、b 至少有一个为0C ．a 、b 至少有一个不为0D ．a 不为0且b 为0，或b 不为0且a 为08．满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤≤222y x y x 的2z x y =+的取值范围是（ ）A ．[2,6]B ．[2,5]C ．[3,6]D ．[3,5]9. 到两坐标轴的距离相等的动点的轨迹方程是（ ）A ．x y =B ．||x y =C ．22x y =D ．022=+y x10．一个圆的圆心为椭圆的右焦点，且该圆过椭圆的中心交椭圆于P ,直线PF 1（F 1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，则椭圆的离心率为（ ）◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆装◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆订◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆线◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆A ．21B ．22C ．23D ．13-11．在R 上定义运算:(1)x y x y ⊗⊗=-，若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意x 成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．11a -<<B ．02a <<C ．1322a -<<D ．3122a -<< 12．已知a ，b 都是负实数，则ba bb a a +++2的最小值是 ( ) A ．65B ．2(2-1)C ．22-1D ．2(2+1)二、填空题(4小题．只要求在答卷．．中直接填写结果，每题填对得4分．共16分) 13．已知命题p ：3x ≥，命题q ：2540x x -+<，又p ∧q 为真，则x 范围为14．命题P ：3,1x Z x ∃∈<。

2017-2018学年福建省泉州市泉港一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1．（5分）已知椭圆与双曲线的焦点相同，且短轴长为6，则此椭圆的方程为（）A．B．C．D．2．（5分）现要完成下列3项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查．②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈．③高新中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员2名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．较为合理的抽样方法是（）A．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样B．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样D．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样3．（5分）已知方程表示双曲线，则m的取值范围是（）A．﹣2＜m＜1 B．m＞1 C．m＜﹣2 D．m＞1或m＜﹣24．（5分）执行如图所示程序框图，则输出i的值为（）A．3 B．4 C．5 D．65．（5分）在区间（0，）上随机取一个数x，使得0＜tanx＜1成立的概率是（）A．B．C．D．6．（5分）从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．“至少有一个红球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“都是黑球”C．“至少有一个黑球”与“至少有1个红球”D．“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”7．（5分）如图，在边长分别为f（x）与g（x）和2π的矩形内有由函数y=sinx 的图象和x轴围成的区域（阴影部分），李明同学用随机模拟的方法估算该区域的面积．若在矩形内每次随机产生9000个点，并记录落在该区域内的点的个数．经过多次试验，计算出落在该区域内点的个数平均值为3000个，若π的近似值为3，则该区域的面积约为（）A．3 B．4 C．5 D．68．（5分）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数f（x）=3﹣x﹣2x，给出下列两个命题：命题p：若x0≥1，则f（x0）＜﹣1；命题q：∃x0∈[1，+∞），f（x0）＞﹣3．则下列叙述正确的是（）A．p是假命题B．p的否命题是：若x0＜1，则f（x0）＜﹣1C．¬q是假命题D．¬q为：∀x0∈[1，+∞），f（x0）＞﹣310．（5分）已知双曲线C的中心为原点，点F（2，0）是双曲线C的一个焦点，点F到渐近线的距离为1，则C的方程为（）A．B．C．x2﹣y2=1 D．11．（5分）椭圆上的一点A关于原点的对称点为B，F为它的右焦点，若AF⊥BF，则△AFB的面积是（）A．2 B．4 C．1 D．12．（5分）已知两定点A（﹣2，0）和B（2，0），动点P（x，y）在直线L：y=﹣x+4上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．（5分）设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上任意一点，则△PF1F2的周长为．14．（5分）不透明袋子中放有大小相同的5个球，球上分别标有号码1，2，3，4，5，若从袋中任取三个球，则这三个球号码之和为5的倍数的概率为．15．（5分）已知p：x＜k，，如果￢p是￢q的必要不充分条件，则实数k的取值范围是．16．（5分）F是抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点，A是抛物线E上任意一点．下列结论中正确的是①当点A为坐标原点时，|AF|为最短；②以线段AF为直径的圆必与y轴相切；③若点B是抛物线E上异于点A的一点，则当直线AB过焦点F时，|AF|+|BF|取得最小值；④点A、B、C是抛物线E上异于点A的不同两点，若|AF|、|BF|、|CF|成等差数列，则点A、B、C的横坐标亦成等差数列．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）“双十一”网购狂欢，快递业务量猛增．甲、乙两位快递员11月12日到18日每天送件数量的茎叶图如图所示．（Ⅰ）根据茎叶图判断哪个快递员的平均送件数量较多（写出结论即可）；（Ⅱ）求甲送件数量的平均数；（Ⅲ）从乙送件数量中随机抽取2个，求至少有一个送件数量超过甲的平均送件数量的概率．18．（12分）已知命题p；函数f（x）=lg（mx2+mx+1）的定义域为R，命题q：函数g（x）=x2﹣2x﹣1在[m，+∞）上是增函数．（Ⅰ）若p为真，求m的范围；（Ⅱ）若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求m的取值范围．19．（12分）已知在平面直角坐标系中，动点M到定点的距离与它到定直线的距离之比为常数．（Ⅰ）求动点M的轨迹Γ的方程；（Ⅱ）设点，若P是（Ⅰ）中轨迹Γ上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程．20．（12分）已知双曲线的右焦点F为圆x2+y2﹣4x+3=0的圆心，且其渐近线与该圆相切．（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；（Ⅱ）已知点F也是抛物线C：y2=2px的焦点，且直线l过点E（2，1）交抛物线C于M，N两点，是否存在直线l，使得E恰为弦MN的中点？若存在，求出直线l方程；若不存在，请说明理由．21．（12分）某市政府为了引导居民合理用水，决定全面实施阶梯水价，阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价：若用水量不超过12吨时，按4元/吨计算水费；若用水量超过12吨且不超过14吨时，超过12吨部分按6.60元/吨计算水费；若用水量超过14吨时，超过14吨部分按7.80元/吨计算水费．为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100户居民的月用水量（单位：吨），将数据按照[0，2]，（2，4]，…，（14，16]分成8组，制成了如图1所示的频率分布直方图．（Ⅰ）假设用抽到的100户居民月用水量作为样本估计全市的居民用水情况．（i）现从全市居民中依次随机抽取5户，求这5户居民恰好3户居民的月用水用量都超过12吨的概率；（ⅱ）试估计全市居民用水价格的期望（精确到0.01）；（Ⅱ）如图2是该市居民李某2016年1～6月份的月用水费y（元）与月份x的散点图，其拟合的线性回归方程是．若李某2016年1～7月份水费总支出为294.6元，试估计李某7月份的用水吨数．22．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，A（a，0），B（0，b），O（0，0），△OAB的面积为4．（1）求椭圆C的方程；（2）P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N．求证：|AN|•|BM|为定值．2017-2018学年福建省泉州市泉港一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，共60分）1．（5分）已知椭圆与双曲线的焦点相同，且短轴长为6，则此椭圆的方程为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，双曲线的焦点为（±4，0），又由椭圆与双曲线的焦点相同，则椭圆的焦点在x轴上，且c=4，又由椭圆的短轴长为6，则b=3，则a2=b2+c2=25，故椭圆的方程为：+=1；故选：C．2．（5分）现要完成下列3项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查．②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈．③高新中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员2名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．较为合理的抽样方法是（）A．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样B．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样D．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样【解答】解；观察所给的四组数据，①个体没有差异且总数不多可用随机抽样法，简单随机抽样，②将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号，系统抽样，③个体有了明显了差异，所以选用分层抽样法，分层抽样，故选：A．3．（5分）已知方程表示双曲线，则m的取值范围是（）A．﹣2＜m＜1 B．m＞1 C．m＜﹣2 D．m＞1或m＜﹣2【解答】解：根据题意，方程表示双曲线，必有（m+2）（m﹣1）＜0，解可得﹣2＜m＜1，即m的范围为﹣2＜m＜1；故选：A．4．（5分）执行如图所示程序框图，则输出i的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：第1次执行循环体后，S=4，i=2，不满足退出循环的条件；第2次执行循环体后，S=8，i=3，不满足退出循环的条件；第3次执行循环体后，S=14，i=4，不满足退出循环的条件；第4次执行循环体后，S=22，i=5，满足退出循环的条件；故输出的i值为5，故选：C．5．（5分）在区间（0，）上随机取一个数x，使得0＜tanx＜1成立的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：∵0＜tanx＜1，x∈（0，）∴0＜x＜以区间长度为测度，可得所求概率为=故选：C．6．（5分）从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．“至少有一个红球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“都是黑球”C．“至少有一个黑球”与“至少有1个红球”D．“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”【解答】解：对于A：事件：“至少有一个红球”与事件：“都是黑球”，这两个事件是对立事件，∴A不正确对于B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴B不正确对于C：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有1个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴C不正确对于D：事件：“恰有一个黑球”与“恰有2个黑球”不能同时发生，∴这两个事件是互斥事件，又由从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，得到所有事件为“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”以及“恰有2个红球”三种情况，故这两个事件是不是对立事件，∴D正确故选：D．7．（5分）如图，在边长分别为f（x）与g（x）和2π的矩形内有由函数y=sinx 的图象和x轴围成的区域（阴影部分），李明同学用随机模拟的方法估算该区域的面积．若在矩形内每次随机产生9000个点，并记录落在该区域内的点的个数．经过多次试验，计算出落在该区域内点的个数平均值为3000个，若π的近似值为3，则该区域的面积约为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：由题意得：矩形的面积是2×2π=4π≈12，∴阴影部分的面积是：×12=4，故选：B．8．（5分）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：设长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c，则2a+2c=2×2b，即a+c=2b⇒（a+c）2=4b2=4（a2﹣c2），所以3a2﹣5c2=2ac，同除a2，整理得5e2+2e﹣3=0，∴或e=﹣1（舍去），故选：B．9．（5分）已知函数f（x）=3﹣x﹣2x，给出下列两个命题：命题p：若x0≥1，则f（x0）＜﹣1；命题q：∃x0∈[1，+∞），f（x0）＞﹣3．则下列叙述正确的是（）A．p是假命题B．p的否命题是：若x0＜1，则f（x0）＜﹣1C．¬q是假命题D．¬q为：∀x0∈[1，+∞），f（x0）＞﹣3【解答】解：函数f（x）=3﹣x﹣2x=﹣2x在R上是减函数．∴命题p：若x0≥1，则f（x0）≤f（1）==﹣＜﹣1，是真命题；命题q：∃x0∈[1，+∞），取x0=，则f（x0）=﹣3＞﹣3，是真命题．因此￢q是假命题，C正确，A不正确．B．p的否命题是：若x0＜1，则f（x0）≥﹣1，因此是假命题；D．￢q为：∀x0∈[1，+∞），f（x0）≤﹣3，因此是假命题．故选：C．10．（5分）已知双曲线C的中心为原点，点F（2，0）是双曲线C的一个焦点，点F到渐近线的距离为1，则C的方程为（）A．B．C．x2﹣y2=1 D．【解答】解：根据题意，要求双曲线C的中心为原点，点F（2，0）是双曲线C 的一个焦点，即双曲线的焦点在x轴上，且c=2，设双曲线的方程为﹣=1，其渐近线方程为y=±x，即ay±bx=0，若点F到渐近线的距离为1，则有=1，解可得b=1，则a2=c2﹣b2=3，则要求双曲线的方程为：﹣y2=1；故选：A．11．（5分）椭圆上的一点A关于原点的对称点为B，F为它的右焦点，若AF⊥BF，则△AFB的面积是（）A．2 B．4 C．1 D．【解答】解：椭圆中a=4，b=2，c=2，∵椭圆上的一点A关于原点的对称点为B，F为它的右焦点，若AF⊥BF，∴AO=BO=OF=2，设A（x，y），则x2+y2=12，∵椭圆，联立消去x，化简可得|y|=，∴三角形△AF2B的面积是2××2×=4，故选：B．12．（5分）已知两定点A（﹣2，0）和B（2，0），动点P（x，y）在直线L：y=﹣x+4上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意得，2c=|AB|=4．∴c=2．2a=|PA|+|PB|．当a取最小值时，椭圆C的离心率有最大值．设点A（﹣2，0）关于直线l：y=x+4的对称点为A′（x，y）．则．解得，．∴A′（﹣4，2）．则|PA|+|PB|=|PA′|+|PB|≥|A′B|．∴2a≥|A′B|==2．∴当a=时，椭圆有最大离心率．此时，==．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．（5分）设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上任意一点，则△PF1F2的周长为36．【解答】解：根据题意，椭圆中，a==13，b==12，则c==5，则|F1F2|=2c=10，又由P是C上任意一点，则|PF1|+|PF 2|=2a=26，则△PF1F2的周长l═|PF1|+|PF 2|+|F1F2|=2a+2c=26+10=36，故答案为：36．14．（5分）不透明袋子中放有大小相同的5个球，球上分别标有号码1，2，3，4，5，若从袋中任取三个球，则这三个球号码之和为5的倍数的概率为．【解答】解：从分别标有号码1，2，3，4，5的袋中任取三个球，基本事件数是（1、2、3），（1、2、4），（1、2、5），（1、3、4），（1、3、5），（1、4、5），（2、3、4），（2、3、5），（2、4、5），（3、4、5）共10种；其中这三个球号码之和为5的倍数的事件为（1、4、5），（2、3、5）共2种；所以，所求的概率为P==．故答案为：15．（5分）已知p：x＜k，，如果￢p是￢q的必要不充分条件，则实数k的取值范围是k≤﹣1．【解答】解：∵＜1，∴﹣1=＜0，即（x﹣2）（x+1）＞0，∴x＞2或x＜﹣1，∵p：x＜k，∵￢p是￢q的必要不充分条件，∴q是p的必要不充分条件，∴p是q的充分不必要条件，∴k≤﹣1，故答案为：k≤﹣116．（5分）F是抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点，A是抛物线E上任意一点．下列结论中正确的是①②④①当点A为坐标原点时，|AF|为最短；②以线段AF为直径的圆必与y轴相切；③若点B是抛物线E上异于点A的一点，则当直线AB过焦点F时，|AF|+|BF|取得最小值；④点A、B、C是抛物线E上异于点A的不同两点，若|AF|、|BF|、|CF|成等差数列，则点A、B、C的横坐标亦成等差数列．【解答】解：①抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F（，0），准线方程为x=﹣，设A（x，y），则|AF|=|x+|，∴x=0时，即当点A为坐标原点时，|AF|为最短，故①正确；②由已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F（，0），设A（x1，y1），|AF|=x1+，则圆心坐标为（，），∴圆心到y轴的距离为，圆的半径为=，∴以线段FA为直径的圆与y轴相切，②正确；③设A（x1，y1），B（x2，y2），则|AF|+|BF|=x1+x2+p，A、B关于x轴对称时，|AF|+|BF|取得最小值，故③不正确；④设点A、B、C的横坐标分别为a，b，c，则∵|AF|、|BF|、|CF|成等差数列，∴2|BF|=|AF|+|CF|，∴2（b+p）=（a+p）+（c+p），∴2b=a+c，∴点A、B、C的横坐标亦成等差数列，故④正确．故答案为：①②④．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）“双十一”网购狂欢，快递业务量猛增．甲、乙两位快递员11月12日到18日每天送件数量的茎叶图如图所示．（Ⅰ）根据茎叶图判断哪个快递员的平均送件数量较多（写出结论即可）；（Ⅱ）求甲送件数量的平均数；（Ⅲ）从乙送件数量中随机抽取2个，求至少有一个送件数量超过甲的平均送件数量的概率．【解答】解：（Ⅰ）由茎叶图知甲快递员11月12日到18日每天送件数量相对乙来说位于茎叶图的左上方偏多，∴乙快递员的平均送件数量较多．（Ⅱ）甲送件数量的平均数：=（244+246+251+253+254+262+268）=254．（Ⅲ）从乙送件数量中随机抽取2个，基本事件总数n==21，至少有一个送件数量超过甲的平均送件数量的对立事件是抽取的2个送件量都不大于254，∴至少有一个送件数量超过甲的平均送件数量的概率：p=1﹣=．18．（12分）已知命题p；函数f（x）=lg（mx2+mx+1）的定义域为R，命题q：函数g（x）=x2﹣2x﹣1在[m，+∞）上是增函数．（Ⅰ）若p为真，求m的范围；（Ⅱ）若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）若p为真，mx2+mx+1＞0恒成立，…（1分）当m=0时，1＞0恒成立．…（2分）当m≠0时，则，所以0＜m＜4．（5分）综上可得0≤m＜4…（6分）（Ⅱ）因为函数g（x）=x2﹣2x﹣1的图象是开口向上，对称轴为x=1的抛物线，由函数g（x）=x2﹣2x﹣1在[m，+∞）上是增函数．∴1≤m．（8分）若p∨q为真，p∧q为假，则p，q中一真一假；…（9分）∴或，所以m的取值范围为{m|0≤m＜1或m≥4}．…（12分）19．（12分）已知在平面直角坐标系中，动点M到定点的距离与它到定直线的距离之比为常数．（Ⅰ）求动点M的轨迹Γ的方程；（Ⅱ）设点，若P是（Ⅰ）中轨迹Γ上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程．【解答】解：（Ⅰ）设动点M（x，y），由已知可得，即，化简得．即所求动点M的轨迹Γ的方程为．（Ⅱ）设线段PA的中点为M（x，y），点P的坐标是（x0，y0），由，得，由点P在椭圆Γ上，得，∴线段PA中点M的轨迹方程是．20．（12分）已知双曲线的右焦点F为圆x2+y2﹣4x+3=0的圆心，且其渐近线与该圆相切．（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；（Ⅱ）已知点F也是抛物线C：y2=2px的焦点，且直线l过点E（2，1）交抛物线C于M，N两点，是否存在直线l，使得E恰为弦MN的中点？若存在，求出直线l方程；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，圆x2+y2﹣4x+3=0的圆心为（2，0），半径为1，则双曲线的焦点坐标为F（2，0），即c=2，则有a2+b2=4，双曲线的渐近线方程为，由直线和圆相切的条件，可得：，可得双曲线的标准方程为．（2）因为点F也是抛物线C：y2=2px的焦点，所以抛物线C的方程为y2=8x，假设存在直线l，使得E恰为弦MN的中点，设M（x1，y1），N（x2，y2）则，两式作差得：，即．∴直线l的斜率为4，此时l的方程为y﹣1=4（x﹣2），即为4x﹣y﹣7=0．经检验满足条件，所以所求直线方程为4x﹣y﹣7=0．21．（12分）某市政府为了引导居民合理用水，决定全面实施阶梯水价，阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价：若用水量不超过12吨时，按4元/吨计算水费；若用水量超过12吨且不超过14吨时，超过12吨部分按6.60元/吨计算水费；若用水量超过14吨时，超过14吨部分按7.80元/吨计算水费．为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100户居民的月用水量（单位：吨），将数据按照[0，2]，（2，4]，…，（14，16]分成8组，制成了如图1所示的频率分布直方图．（Ⅰ）假设用抽到的100户居民月用水量作为样本估计全市的居民用水情况．（i）现从全市居民中依次随机抽取5户，求这5户居民恰好3户居民的月用水用量都超过12吨的概率；（ⅱ）试估计全市居民用水价格的期望（精确到0.01）；（Ⅱ）如图2是该市居民李某2016年1～6月份的月用水费y（元）与月份x的散点图，其拟合的线性回归方程是．若李某2016年1～7月份水费总支出为294.6元，试估计李某7月份的用水吨数．【解答】解：（Ⅰ）（i）由题意，从全市居民中依次随机抽取5户，每户居民月用水量超过12吨的概率为，因此这5户居民恰好3户居民的月用水用量都这超过12吨的概率为．…（4分）（ii）由题设条件及月均用水量的频率分布直方图，可得居民每月的水费数据分组与概率分布表如下：月用水量x（吨）（0，12]（12，14]（14，16]价格X（元/吨）4 4.20 4.60概率P0.90.060.04所以全市居民用水价格的期望E（X）=4×0.9+4.2×0.06+4.6×0.04≈4.04吨．…（8分）（Ⅱ）设李某2016年1～6月份的月用水费y（元）与月份x的对应点为（x i，y i）（i=1，2，3，4，5，6），它们的平均值分别为，，则，又点在直线上，所以，因此y1+y2+…+y6=240，所以7月份的水费为294.6﹣240=54.6元．设居民月用水量为t吨，相应的水费为f（t）元，则f（t）=，t=13，f（t）=6.6×13﹣31.2=54.6，∴李某7月份的用水吨数约为13吨．…（12分）22．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，A（a，0），B（0，b），O（0，0），△OAB的面积为4．（1）求椭圆C的方程；（2）P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N．求证：|AN|•|BM|为定值．【解答】解：（1）由题意可得e==，又△OAB的面积为4，可得ab=4，即ab=8，且a2﹣b2=c2，解得a=4，b=2，c=2，可得椭圆C的方程：；（2）证法一：设椭圆上点P（x0，y0），可得x02+4y02=16，直线PA：y=（x﹣4），令x=0，可得y=﹣，则|BM|=|2+|；直线PB：y=x+2，令y=0，可得x=﹣，则|AN|=|4+|．可得|AN|•|BM|=|4+|•|2+|，|AN|•|BM|=|4+|•|2+|=丨丨=丨丨=丨丨=16，即有|AN|•|BM|为定值16．证法二：设P（4cosθ，2sinθ），（0≤θ＜2π），直线PA：y=（x﹣4），令x=0，可得y=﹣，则|BM|=2||；直线PB：y=x+2，令y=0，可得x=﹣，则|AN|=4||．即有|AN|•|BM|=2||•4||，=8||，=8||=16．则|AN|•|BM|为定值16．。

2014-2015学年福建省泉州市南安一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1．（5分）命题“若a＞b，则a﹣1＞b﹣1”的否命题是（）A．若a＞b，则a﹣1≤b﹣1 B．若a＞b，则a﹣1＜b﹣1C．若a≤b，则a﹣1≤b﹣1 D．若a＜b，则a﹣1＜b﹣12．（5分）已知点A（﹣3，1，﹣4），则点A关于x轴的对称点的坐标为（）A．（﹣3，﹣1，4） B．（﹣3，﹣1，﹣4）C．（3，1，4）D．（3，﹣1，﹣4）3．（5分）若椭圆经过点P（2，3），且焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），则这个椭圆的离心率等于（）A．B．C．D．4．（5分）“p或q是假命题”是“非p为真命题”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件5．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N为棱AB与AD的中点，则异面直线MN与BD1所成角的余弦值是（）A．B．C．D．6．（5分）设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2，过点F2的直线交双曲线右支于不同的两点M、N．若△MNF1为正三角形，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．7．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的余弦值为（）A．B．C．D．8．（5分）已知p：关于x的不等式x2+2ax﹣a＞0的解集是R，q：﹣1＜a＜0，则p是q的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件9．（5分）已知抛物线C的方程为x2=y，过点A（0，﹣1）和点B（t，3）的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣）∪（，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）10．（5分）给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的（）条件．A．充要B．充分非必要C．必要非充分D．既非充分又非必要11．（5分）“x≠2或y≠﹣2”是“xy≠﹣4”的（）A．必要而不充分条件B．充分而不要条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件12．（5分）过抛物线y=ax2（a＞0）的焦点F作一条斜率不为0的直线交抛物线于A、B两点，若线段AF、BF的长分别为m、n，则等于（）A．B．C．2a D．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分13．（4分）已知=（2，﹣1，2），=（﹣4，2，x），且∥，则x=．14．（4分）若m＞0，点P（m，）在双曲线﹣=1上，则点P到该双曲线左焦点的距离为．15．（4分）“x＞1”是“x2＞x”的条件．16．（4分）已知抛物线y=2x2上两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，且x1x2=﹣，那么m的值为．三、解答题：本大题共6小题，满分74分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（12分）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，点E在CC1上且C1E=3EC（1）证明：A1C⊥平面BED；（2）求二面角A1﹣DE﹣B的余弦值．18．（12分）已知椭圆过点，且离心率e=．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过定点，求k的取值范围．19．（12分）如图，在四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=（Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD；（Ⅱ）求点E到平面ACD的距离．20．（12分）已知一动圆M，恒过点F（1，0），且总与直线l：x=﹣1相切．（1）求动圆圆心M的轨迹C的方程；（2）探究在曲线C上，是否存在异于原点的A（x1，y1），B（x2，y2）两点，当y1y2=﹣16时，直线AB恒过定点？若存在，求出定点坐标；若不存在，说明理由．21．（12分）如图，已知点H在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线B1D1上，∠HDA=60°．（Ⅰ）求DH与CC1所成角的大小；（Ⅱ）求DH与平面A1BD所成角的正弦值．22．（14分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．2014-2015学年福建省泉州市南安一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1．（5分）命题“若a＞b，则a﹣1＞b﹣1”的否命题是（）A．若a＞b，则a﹣1≤b﹣1 B．若a＞b，则a﹣1＜b﹣1C．若a≤b，则a﹣1≤b﹣1 D．若a＜b，则a﹣1＜b﹣1【解答】解：命题“若a＞b，则a﹣1＞b﹣1”的否命题是“若a≤b，则a﹣1≤b﹣1”．故选：C．2．（5分）已知点A（﹣3，1，﹣4），则点A关于x轴的对称点的坐标为（）A．（﹣3，﹣1，4） B．（﹣3，﹣1，﹣4）C．（3，1，4）D．（3，﹣1，﹣4）【解答】解：∵在空间直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标横标不变，纵标和竖标变为原来的相反数，∵点A（﹣3，1，﹣4），∴关于x轴对称的点的坐标是（﹣3，﹣1，4），故选：A．3．（5分）若椭圆经过点P（2，3），且焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），则这个椭圆的离心率等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵椭圆焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），∴设椭圆方程为（a2﹣4＞0）又∵椭圆经过点P（2，3），∴解得，a2=16或a2=1，∵a2﹣4＞0，∴a2=16∴a=4，∵焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），∴c=2∴e==故选：C．4．（5分）“p或q是假命题”是“非p为真命题”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：“p或q为假命题”表示p和q都是假命题，而非P是真命题表示P是一个假命题，前者可以推出后者，后者不一定能推出前者，∴前者是后者的充分不必要条件，故选：A．5．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N为棱AB与AD的中点，则异面直线MN与BD1所成角的余弦值是（）A．B．C．D．【解答】解：连接BD，∵MN∥BD，∴异面直线MN与BD1所成的角即为直线BD与BD1所成的角：∠D1BD∵在Rt△D1DB中，设D1D=1，则DB=，D1B=∴cos∠D1BD=∴异面直线MN与BD1所成的角的余弦值为故选：D．6．（5分）设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2，过点F2的直线交双曲线右支于不同的两点M、N．若△MNF1为正三角形，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知，M，N关于x轴对称，∴|NF2|=，|F1F2|=2c，∵△MNF1为正三角形，结合双曲线的定义，得到MF1=MF2+2a，∴（×2）×=2c，∴（c2+a2）=4ac，两边同除以a2，得到，解得e=或e=＜1（舍去）；故选：B．7．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：连接A1C1交B1D1于点O，连接BO由AB=BC=2，可得A1B1C1D1为正方形即CO1⊥B1D1由长方体的性质可知BB1⊥面A1B1C1D1，从而有OC1⊥BB1，且BB1∩B1D1=B1∴OC1⊥平面BB1D1D则∠C1BO为则BC1与平面BB1D1D所成角中，在Rt△BOC∴故选：C．8．（5分）已知p：关于x的不等式x2+2ax﹣a＞0的解集是R，q：﹣1＜a＜0，则p是q的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：依题意得△=4a2+4a＜0，解得﹣1＜a＜0，即p：﹣1＜a＜0，又因为q：﹣1＜a＜0，所以p是q的充分必要条件．故选：C．9．（5分）已知抛物线C的方程为x2=y，过点A（0，﹣1）和点B（t，3）的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣）∪（，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）【解答】解：如图，设过A的直线方程为y=kx﹣1，与抛物线方程联立得x2﹣kx+=0，△=k2﹣2=0，k=±2，求得过A的抛物线的切线与y=3的交点为（±，3），则当过点A（0，﹣1）和点B（t，3）的直线与抛物线C没有公共点，实数t的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（，+∞），故选：D．10．（5分）给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的（）条件．A．充要B．充分非必要C．必要非充分D．既非充分又非必要【解答】解：直线与平面α内的无数条平行直线垂直，但该直线未必与平面α垂直；即“直线l与平面α内无数条直线都垂直”⇒“直线l与平面α垂直”为假命题；但直线l与平面α垂直时，l与平面α内的每一条直线都垂直，即“直线l与平面α垂直”⇒“直线l与平面α内无数条直线都垂直”为真命题；故“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的必要非充分条件故选：C．11．（5分）“x≠2或y≠﹣2”是“xy≠﹣4”的（）A．必要而不充分条件B．充分而不要条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：∵x≠2或y≠﹣2能推出xy≠﹣4，是充分条件，xy≠﹣4推不出x≠﹣2或y≠﹣2，不是必要条件，故选：B．12．（5分）过抛物线y=ax2（a＞0）的焦点F作一条斜率不为0的直线交抛物线于A、B两点，若线段AF、BF的长分别为m、n，则等于（）A．B．C．2a D．【解答】解：易知F坐标（0，）准线方程为x=﹣．÷设过F点直线方程为y=kx+代入抛物线方程，得ax2﹣kx﹣=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）则有x1x2=，x1+x2=，∴y1+y2=k（x1+x2）+=，y1y2==，根据抛物线性质可知，m=y1+，n=y2+∴m+n=y1+y2+=，mn=+=，∴==故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分13．（4分）已知=（2，﹣1，2），=（﹣4，2，x），且∥，则x=．【解答】解：∵∥，∴2×2=﹣2×x∴x=﹣4．故答案为：﹣414．（4分）若m＞0，点P（m，）在双曲线﹣=1上，则点P到该双曲线左焦点的距离为．【解答】解：∵m＞0，点P（m，）在双曲线﹣=1上，∴=1，解得m=3．∴P．双曲线的左焦点F（﹣3，0），∴点P到该双曲线左焦点的距离==．故答案为：．15．（4分）“x＞1”是“x2＞x”的充分不必要条件．【解答】解：∵x2＞x，∴x＞1或x＜0，∴x＞1⇒x2＞x，∴x＞1是x2＞x充分不必要，故答案为充分不必要．16．（4分）已知抛物线y=2x2上两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，且x1x2=﹣，那么m的值为．【解答】解：设直线AB的方程为y=﹣x+b，代入y=2x2得2x2+x﹣b=0，∴x1+x2=﹣，x1x2==﹣．∴b=1，即AB的方程为y=﹣x+1．设AB的中点为M（x0，y0），则x0==﹣，代入y0=﹣x0+1，得y0=．又M（﹣，）在y=x+m上，∴=﹣+m．∴m=．三、解答题：本大题共6小题，满分74分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（12分）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，点E在CC1上且C1E=3EC（1）证明：A1C⊥平面BED；（2）求二面角A1﹣DE﹣B的余弦值．【解答】解：（1）如图，以DA，DC，DD1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A1（2，0，4），B（2，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），E（0，2，1），，，∵，，∴，，∴A1C⊥平面BED（2）∵，，设平面A 1DE的法向量为，由及，得﹣2x+2y﹣3z=0，﹣2x﹣4z=0，取同理得平面BDE的法向量为，∴cos＜＞===﹣，所以二面角A1﹣DE﹣B的余弦值为．18．（12分）已知椭圆过点，且离心率e=．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过定点，求k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意椭圆的离心率∴∴a=2c∴b2=a2﹣c2=3c2∴椭圆方程为又点在椭圆上∴∴c2=1∴椭圆的方程为…（4分）（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2）由消去y并整理得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0…（6分）∵直线y=kx+m与椭圆有两个交点△=（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，即m2＜4k2+3…（8分）又∴MN中点P的坐标为…（9分）设MN的垂直平分线l'方程：∵p在l'上∴即4k2+8km+3=0∴…（11分）将上式代入得∴即或，∴k的取值范围为19．（12分）如图，在四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=（Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD；（Ⅱ）求点E到平面ACD的距离．【解答】（Ⅰ）证明：连接OC，∵BO=DO，AB=AD，∴AO⊥BD．∵BO=DO，BC=CD，∴CO⊥BD．在△AOC中，由已知可得AO=1，CO=．而AC=2，∴AO2+CO2=AC2，∴∠AOC=90°，即AO⊥OC．∵BD∩OC=O，∴AO⊥平面BCD（Ⅱ）解：设点E到平面ACD的距离为h．=V A﹣CDE，∵V E﹣ACD∴在△ACD中，CA=CD=2，AD=，∴S==，△ACD==，∵AO=1，S△CDE∴h=，∴点E到平面ACD的距离为．20．（12分）已知一动圆M，恒过点F（1，0），且总与直线l：x=﹣1相切．（1）求动圆圆心M的轨迹C的方程；（2）探究在曲线C上，是否存在异于原点的A（x1，y1），B（x2，y2）两点，当y1y2=﹣16时，直线AB恒过定点？若存在，求出定点坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）因为动圆M，过点F（1，0）且与直线l：x=﹣1相切，所以圆心M到F的距离等于到直线l的距离．所以，点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，且，p=2，所以所求的轨迹方程为y2=4x（5分）（2）假设存在A，B在y2=4x上，所以，直线AB的方程：，即（7分）即AB的方程为：，即（y1+y2）y﹣y12﹣y1y2=4x﹣y12即：（y1+y2）y+（16﹣4x）=0，（10分）令y=0，得x=4，所以，无论y1，y2为何值，直线AB过定点（4，0）（12分）21．（12分）如图，已知点H在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线B1D1上，∠HDA=60°．（Ⅰ）求DH与CC1所成角的大小；（Ⅱ）求DH与平面A1BD所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）建立如图所示的坐标系，设H（m，m，1）（m＞0），则=（1，0，0），=（0，0，1），连接BD，B1D1．则=（m，m，1）（m＞0），由已知＜，＞=60°，∴可得2m=，解得m=，∴=（，，1），∴cos＜，＞=，∴＜，＞=45°，即DH与CC′所成角的大小为45°；（Ⅱ）设平面A1BD的法向量为=（x，y，z），则令x=1得=（1，﹣1，﹣1）是平面A1BD的一个法向量．…（9分）设DH与平面A1BD所成的角为θ，∴sinθ=cos＜，＞=﹣． (12)22．（14分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意∴b=1，∴所求椭圆方程为．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）当AB⊥x轴时，．（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．由已知，得．把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0，∴，．∴|AB|2=（1+k2）（x2﹣x1）2=====．当且仅当，即时等号成立．当k=0时，，综上所述|AB|max=2．∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

2017-2018学年福建省泉州市南安一中高二（上）期中数学试卷（理科）一.选择题（共12小题，每小题5分，只有一个选项正确，请把答案填在答题卡上）：1．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=5，a7=8，则S10=（）A．65 B．66 C．67 D．682．（5分）若集合A={x||2x﹣1|＞3}，B={x|（2x+1）（x﹣3）＜0}，则A∩B是（）A．B．{x|2＜x＜3}C． D．3．（5分）已知a＜0，b＜﹣1，则下列不等式成立的是（）A．a＞＞B．＞＞a C．＞＞a D．＞a＞4．（5分）“b＞a”是“”成立的（）A．充要条件B．既不充分也不必要条件C．必要不充分条件 D．充分不必要条件5．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x6．（5分）在△ABC中，=分别为角A，B，C的对应边），则△ABC的形状为（）A．正三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．等腰三角形7．（5分）下列选项中说法正确的是（）A．若am2≥bm2，则a≥bB．命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的必要条件C．若向量满足，则与的夹角为钝角D．“∀x∈R，x2﹣x≥0”的否定是“”8．（5分）已知变量x，y满足约束条件若目标函数z=ax+4by（a＞0，b＞0）在该约束条件下的最小值为2，则的最小值为（）A．25 B．26 C．27 D．不存在9．（5分）已知点F是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（1，2） C．（1，1+） D．（2，1+）10．（5分）数列{a n}满足a n+1==（）A．B．C．D．11．（5分）已知对于任意的x∈（1，+∞）恒成立，则（）A．a的最小值为﹣3 B．a的最小值为﹣4C．a的最大值为2 D．a的最大值为412．（5分）已知数列{a n}、{b n}满足a1=b1=1，a n+1=a n+2b n，b n+1=a n+b n，则下列结论正确的是（）A．只有有限个正整数n使得a n＜b nB．只有有限个正整数n使得a n＞b nC．数列{|a n﹣b n|}是递增数列D．数列{|﹣|}是递减数列二.填空题（共4小题，每小题5分，请把答案写在答题卡上）：13．（5分）“若a∉M∩P，则a∉M或a∉P”的逆否命题是．14．（5分）已知数列{a n}前n项和S n=﹣2n2+3n+1，则a n=．15．（5分）已知F1、F2是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且⊥．若△PF1F2的面积为8，则b=．16．（5分）已知动点P（x，y）满足，则x2+y2﹣8x 的最小值为．三.解答题（共6题，要求写出解答过程或者推理步骤）：17．（10分）已知命题p：函数f（x）=|x﹣a|+x在[a2﹣2，+∞）上单调递增；命题q：∃x∈R，使得等式x2﹣4x+8a=0成立．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．18．（12分）在△ABC中a，b，c，分别是角A，B，C的对边，且2cosAcosC（tanAtanC ﹣1）=1．（I）求B的大小；（II）若D为AC的中点，且BD=1，求△ABC面积最大值．19．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=．（I）证明数列是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（II）求证：．20．（12分）如图，椭圆C：经过点P（1，），离心率e=，直线l的方程为x=4．（1）求椭圆C的方程；（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．21．（12分）设各项均为正数的数列{a n}的前n项和S n，满足4S n=a﹣4n﹣1，且a1=1，公比大于1的等比数列{b n}满足b2=3，b1+b3=10．（1）求证数列{a n}是等差数列，并求其通项公式；（2）若c n=，求数列{b n}的前n项和T n；（3）在（2）的条件下，若c n≤t2对一切正整数n恒成立，求实数t的取值．22．（12分）设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过右焦点F2的直线l1与椭圆相交于A，B两点．（Ⅰ）设直线AF1，BF1的斜率分别是k1，k2，当时，求直线l1的方程；（Ⅱ）过右焦点F2作与直线l1垂直的直线l2，直线l2与椭圆相交于D，E两点，求四边形ADBE的面积S的取值范围．2017-2018学年福建省泉州市南安一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（共12小题，每小题5分，只有一个选项正确，请把答案填在答题卡上）：1．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=5，a7=8，则S10=（）A．65 B．66 C．67 D．68【解答】解：由等差数列的性质可得：a1+a10=a4+a7=5+8=13，则S10==5×13=65．故选：A．2．（5分）若集合A={x||2x﹣1|＞3}，B={x|（2x+1）（x﹣3）＜0}，则A∩B是（）A．B．{x|2＜x＜3}C． D．【解答】解：集合A={x||2x﹣1|＞3}={x|x＞2或x＜﹣1}，B={x|（2x+1）（x﹣3）＜0}={x|﹣＜x＜3}，则A∩B={x|2＜x＜3}，故选：B．3．（5分）已知a＜0，b＜﹣1，则下列不等式成立的是（）A．a＞＞B．＞＞a C．＞＞a D．＞a＞【解答】解：因为a＜0，b＜﹣1，所以，，又因为b2＞1，所以．故选：C．4．（5分）“b＞a”是“”成立的（）A．充要条件B．既不充分也不必要条件C．必要不充分条件 D．充分不必要条件【解答】解：⇔a2+b2＞2ab，可得：“b＞a”⇒“”，反之不成立，可能a＞b．∴“b＞a”是“”成立的充分不必要条件．故选：D．5．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x【解答】解：由题意可得e==，即为c2=a2，由c2=a2+b2，可得b2=a2，即a=2b，双曲线的渐近线方程为y=±x，即为y=±2x．故选：D．6．（5分）在△ABC中，=分别为角A，B，C的对应边），则△ABC的形状为（）A．正三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．等腰三角形【解答】解：∵，整理可得：cosA=，∴由余弦定理可得：=，∴可得a2+b2=c2，∴三角形是直角三角形．故选：C．7．（5分）下列选项中说法正确的是（）A．若am2≥bm2，则a≥bB．命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的必要条件C．若向量满足，则与的夹角为钝角D．“∀x∈R，x2﹣x≥0”的否定是“”【解答】解：若am2≥bm2，m=0，则a≥b不一定成立，故A错误；命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的必要不充分条件，故B正确；若向量满足，则与的夹角为钝角或平角，故C错误；“∀x∈R，x2﹣x≥0”的否定是“”，故D错误；故选：B．8．（5分）已知变量x，y满足约束条件若目标函数z=ax+4by（a＞0，b＞0）在该约束条件下的最小值为2，则的最小值为（）A．25 B．26 C．27 D．不存在【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，1），化目标函数z=ax+4by（a＞0，b＞0）为，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2a+4b=2，则a+2b=1．∴=（）（a+2b）=1+16+≥17+=25．当且仅当b2=4a2时上式“=”成立．∴的最小值为25．故选：A．9．（5分）已知点F是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（1，2） C．（1，1+） D．（2，1+）【解答】解：根据双曲线的对称性，得△ABE中，|AE|=|BE|，∴△ABE是锐角三角形，即∠AEB为锐角由此可得Rt△AFE中，∠AEF＜45°，得|AF|＜|EF|∵|AF|==，|EF|=a+c∴＜a+c，即2a2+ac﹣c2＞0两边都除以a2，得e2﹣e﹣2＜0，解之得﹣1＜e＜2∵双曲线的离心率e＞1∴该双曲线的离心率e的取值范围是（1，2）故选：B．10．（5分）数列{a n}满足a n+1==（）A．B．C．D．=，【解答】解：根据题意，数列{a n}满足a n+1又由a1=＞，则a2=2a1﹣1=，a2=＜，则a3=2a2=，a3=＜，则a4=2a3=，a4=＞，则a5=2a4﹣1=，则有a5=a2，a6=a3，…；a n+3=a n，则a2017=a1+672×3=a1=，故选：B．11．（5分）已知对于任意的x∈（1，+∞）恒成立，则（）A．a的最小值为﹣3 B．a的最小值为﹣4C．a的最大值为2 D．a的最大值为4【解答】解：对于任意的x ∈（1，+∞）恒成立，化为：a 2+2a +2≤+x=f （x ）的最小值．f′（x ）=+1=，可得x=3时，函数f （x ）取得极小值即最小值． f （3）=5．∴a 2+2a +2≤5，化为：a 2+2a ﹣3≤0，即（a +3）（a ﹣1）≤0，解得﹣3≤a ≤1． 因此a 的最小值为﹣3． 故选：A ．12．（5分）已知数列{a n }、{b n }满足a 1=b 1=1，a n +1=a n +2b n ，b n +1=a n +b n ，则下列结论正确的是（ ）A ．只有有限个正整数n 使得a n ＜b nB ．只有有限个正整数n 使得a n ＞b nC ．数列{|a n ﹣b n |}是递增数列D ．数列{|﹣|}是递减数列【解答】解：根据题意可设数列{a n ﹣b n }，∴a n +1﹣b n +1=a n +2b n ﹣a n ﹣b n =（1﹣）a n ﹣（1﹣）b n =（1﹣）（a n ﹣b n ），∵a 1=b 1=1， ∴a 1﹣b 1=1﹣∴{a n ﹣b n }是以1﹣为首项，以1﹣为公比的等比数列，∴a n ﹣b n =（1﹣）n ，∴A ，B 不正确， 又公比q=1﹣，|q |=﹣1＜1，∴{|a n ﹣b n |}递减，故C 排除， |﹣|=•|a n ﹣b n |，易知{a n }，{b n }为正数且递增，故{}递减，{|a n﹣b n|}递减，、故D正确．故选：D．二.填空题（共4小题，每小题5分，请把答案写在答题卡上）：13．（5分）“若a∉M∩P，则a∉M或a∉P”的逆否命题是若a∈M且a∈P，则a ∈M∩P．【解答】解：“若a∉M∩P，则a∉M或a∉P”的逆否命题是“若a∈M且a∈P，则a∈M∩P”．故答案为：“若a∈M且a∈P，则a∈M∩P”．14．（5分）已知数列{a n}前n项和S n=﹣2n2+3n+1，则a n=．【解答】解：a1=S1=﹣2+3+1=2，a n=S n﹣S n﹣1=（﹣2n2+3n+1）﹣[﹣2（n﹣1）2+3（n﹣1）+1]=﹣4n+5，当n=1时，﹣4n+5=1≠a1，∴a n=．故答案为：a n=．15．（5分）已知F1、F2是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且⊥．若△PF1F2的面积为8，则b=．【解答】解：根据题意，设|PF1|=m，|PF2|=n，P为椭圆C上一点，则有m+n=2a，变形可得m2+n2+2mn=4a2，①又由⊥，则有m2+n2=4c2，②①﹣②可得：2mn=4a2﹣4c2=4b2，③又由△PF1F2的面积为8，即mn=8，④联立③④可得：b2=8，则b=2，故答案为：2．16．（5分）已知动点P（x，y）满足，则x2+y2﹣8x的最小值为．【解答】解：由（）（+y）≥1，∵y+＞y+|y|≥0，∴﹣x≥=，∵函数f（x）=﹣x=是减函数，∴x≤y，∴原不等式组化为．该不等式组表示的平面区域如下图：由，解得A（，）．∵x2+y2﹣8x=（x﹣4）2+y2﹣16．由点到直线的距离公式可得，P（4，0）区域中A（，）的距离最小，所以x2+y2﹣8x的最小值为：．故答案为：．三.解答题（共6题，要求写出解答过程或者推理步骤）：17．（10分）已知命题p：函数f（x）=|x﹣a|+x在[a2﹣2，+∞）上单调递增；命题q：∃x∈R，使得等式x2﹣4x+8a=0成立．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．【解答】解：命题p：函数f（x）=|x﹣a|+x=，在[a2﹣2，+∞）上单调递增；∴a≤a2﹣2，解得a≤﹣1，或a≥2．命题q：∃x∈R，使得等式x2﹣4x+8a=0，则△=16﹣4×8a≥0，解得a≤．∵p∨q为真命题，p∧q为假命题，∴p与q必然一真一假．∴，或，解得a≥2，或．∴实数a的取值范围是∪[2，+∞）．18．（12分）在△ABC中a，b，c，分别是角A，B，C的对边，且2cosAcosC（tanAtanC ﹣1）=1．（I）求B的大小；（II）若D为AC的中点，且BD=1，求△ABC面积最大值．【解答】解：（I）由2cosAcosC（tanAtanC﹣1）=1，得，∴2（sinAsinC﹣cosAcosC）=1，∴，∴，又0＜B＜π，∴．（II）在△ABD中，由余弦定理得．…①在△CBD中，由余弦定理得，…②①②相加得，整理得a2+c2=4﹣ac，∵a2+c2≥2ac，∴，所以△ABC的面积，当且仅当时“=”成立．∴△ABC的面积的最大值为．19．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=．（I）证明数列是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（II）求证：．【解答】证明：（I）由题设数列{a n}中，a1=1，a n+1=，知，∴数列是首项为1，公比为1的等比数列，∴=1，即a n=2n﹣1，n∈N*；（II）∵=（﹣），∴++…+=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=﹣＜．20．（12分）如图，椭圆C：经过点P（1，），离心率e=，直线l的方程为x=4．（1）求椭圆C的方程；（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）椭圆C：经过点P （1，），可得①由离心率e=得=，即a=2c，则b2=3c2②，代入①解得c=1，a=2，b=故椭圆的方程为（2）方法一：由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x﹣1）③代入椭圆方程并整理得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0设A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=，④在方程③中，令x=4得，M的坐标为（4，3k），从而，，=k﹣注意到A，F，B共线，则有k=k AF=k BF，即有==k 所以k1+k2=+=+﹣（+）=2k﹣×⑤④代入⑤得k1+k2=2k﹣×=2k﹣1又k3=k﹣，所以k1+k2=2k3故存在常数λ=2符合题意方法二：设B（x0，y0）（x0≠1），则直线FB的方程为令x=4，求得M（4，）从而直线PM的斜率为k3=，联立，得A（，），则直线PA的斜率k1=，直线PB的斜率为k2=所以k1+k2=+=2×=2k3，故存在常数λ=2符合题意21．（12分）设各项均为正数的数列{a n}的前n项和S n，满足4S n=a﹣4n﹣1，且a1=1，公比大于1的等比数列{b n}满足b2=3，b1+b3=10．（1）求证数列{a n}是等差数列，并求其通项公式；（2）若c n=，求数列{b n}的前n项和T n；（3）在（2）的条件下，若c n≤t2对一切正整数n恒成立，求实数t的取值．【解答】（1）证明：（1）当n≥2时，，=，=，所以a n＞0，=a n+2．解得：a n+1因为当n≥2时，{a n}是公差d=2的等差数列，a1=1，a2﹣a1=3﹣1=2，则{a n}是首项a1=1，公差d=2的等差数列，所以数列的通项公式为a n=2n﹣1．（2）由题意得，；则前n项和+…+①；+…+②，则①﹣②得：=+…+]﹣；解得：（3）对一切正整数n恒成立，﹣c n=﹣=≤0，由c n+1可得数列{c n}单调递减，即有最大值为，则解得t≥1或．即实数t的取值范围为．22．（12分）设椭圆的左、右焦点分别为F 1、F2，过右焦点F2的直线l1与椭圆相交于A，B两点．（Ⅰ）设直线AF1，BF1的斜率分别是k1，k2，当时，求直线l1的方程；（Ⅱ）过右焦点F2作与直线l1垂直的直线l2，直线l2与椭圆相交于D，E两点，求四边形ADBE的面积S的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2），当直线l1的斜率不存在时，可得A（1，），B（1，﹣），此时k1=k2=﹣，不合题意．…（1分）当直线l1的斜率存在时，设直线l1的斜率为k，则直线l1的方程为y=k（x﹣1），把y=k（x﹣1）代入椭圆方程中消去y，整理得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，则有．…（3分）则k1k2====，…（5分）由，得k=，故直线l1的方程为y=．…（6分）（Ⅱ）当直线l1的斜率不存在时，可得A（1，），B（1，﹣），此时|AB|=3，|DE|=4．则S=|AB|×|DE|=6．…（7分）当直线l1的斜率存在，且不为零时，设直线l1的斜率为k．由（Ⅰ）知|AB|=x1﹣x2|==．…（8分）又直线l2的斜率为﹣，则|DE|=．…（9分）从而S=|AB|×|DE|==，设k2+1=t＞1，则有S==，…（10分）∵，∴则，综合有．所以四边形ADBE的面积S的取值范围为[]．…（12分）赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

2016-2017学年福建省泉州市泉港一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1．（5分）已知椭圆+=1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为（）A．2 B．3 C．7 D．52．（5分）阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A．3 B．4 C．5 D．63．（5分）下列各数中，最小的数是（）A．75 B．111111（2）C．210（6）D．85（9）4．（5分）设命题p：﹣1＜log x＜0，q：2x＞1，则p是q成立的是（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）若椭圆+=1的两个焦点F1，F2，M是椭圆上一点，且|MF1|﹣|MF2|=1，则△MF1F2是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形6．（5分）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷B的人数为（）A．7 B．9 C．10 D．157．（5分）已知点P在以F1，F2为焦点的椭圆+=1（a＞b＞0）上，若•=0，tan∠PF1F2=，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．8．（5分）下列命题的说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”．B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分必要条件．C．命题p：“∀x∈R，sinx+cosx≤”是真命题D．若￢（p∧q）为真命题，则p、q至少有一个为假命题．9．（5分）已知袋子中装有3个红球、2个白球、1个黑球，如果从中随机任取2个，则下列两个事件中是互斥而不对立的是（）A．至少有一个白球；都是白球B．至少有一个白球；至少有一个红球C．至少有一个白球；红球、黑球各一个D．恰有一个白球；白球、黑球各一个10．（5分）AB为过椭圆（a＞b＞0）中心的弦，F（c，0）是椭圆的右焦点，则△ABF面积的最大值是（）A．bc B．ac C．ab D．b211．（5分）若直线mx+ny=4和圆x2+y2=4没有公共点，则过点（m，n）的直线与椭圆的公共点个数为（）A．至多一个B．0个 C．1个 D．2个12．（5分）已知Ω={（x，y）|}，直线y=mx+2m和曲线y=有两个不同的交点，它们围成的平面区域为M，向区域Ω上随机投一点A，点A 落在区域M内的概率为P（M），若P（M）∈[，1]，则实数m的取值范围（）A．[，1]B．[0，]C．[，1]D．[0，1]二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．（5分）命题“∀x∈R，|x﹣2|＜3”的否定是．14．（5分）椭圆+=1的焦距为2，则m的值等于．15．（5分）从{a，b，c，d，e}的所有子集中任取一个集合，则这个集合是集合{c，d，e}的真子集的概率是．16．（5分）设椭圆两焦点为F1，F2，若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，则椭圆离心率的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）已知命题p ：方程表示焦点在y轴的椭圆；命题q：关于x的不等式x2﹣2x+m＞0的解集是R；若“p∧q”是假命题，“p∨q”是真命题，求实数m的取值范围．18．（12分）某市环保局空气质量监控过程中，每隔x天作为一个统计周期．最近x天统计数据如表（Ⅰ）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出x，y的值，并完成频率分布直方图；（Ⅱ）为了创生态城市，该市提出要保证每个统计周期“空气污染指数大于150μg/m3的天数占比不超过15%，平均空气污染指数小于100μg/m3”，请问该统计周期有没有达到预期目标．19．（12分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，离心率．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若经过左焦点F1且倾斜角为的直线l与椭圆交于A、B两点，求|AB|的值．20．（12分）已知点A（﹣，0），B（，0），P是平面内的一个动点，直线PA与PB交于点P，且它们的斜率之积是﹣．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）设直线l：y=kx+1与曲线C交于M、N两点，当线段MN的中点在直线x+2y=0上时，求直线l的方程．21．（12分）已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1（Ⅰ）设集合P={1，2，3}，集合Q={﹣1，1，2，3，4}，从集合P中随机取一个数作为a，从集合Q中随机取一个数作为b，求函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；（Ⅱ）设点（a，b）是区域内的随机点，求函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．22．（12分）已知椭圆C方程为（a＞b＞0），左、右焦点分别是F1，F2，若椭圆C上的点P（1，）到F1，F2的距离和等于4．（Ⅰ）写出椭圆C的方程和焦点坐标；（Ⅱ）设点Q是椭圆C的动点，求线段F1Q中点T的轨迹方程；（Ⅲ）直线l过定点M（0，2），且与椭圆C交于不同的两点A，B，若∠AOB为锐角（O为坐标原点），求直线l的斜率k0的取值范围．2016-2017学年福建省泉州市泉港一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，共60分）1．（5分）已知椭圆+=1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则点P 到另一个焦点的距离为（）A．2 B．3 C．7 D．5【解答】解：设所求距离为d，由题得：a=5．根据椭圆的定义椭圆上任意一点到两个焦点距离的和等于2a得：2a=3+d⇒d=2a ﹣3=7．故选：C．2．（5分）阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：该程序框图是循环结构经第一次循环得到i=1，a=2；经第二次循环得到i=2，a=5；经第三次循环得到i=3，a=16；经第四次循环得到i=4，a=65满足判断框的条件，执行是，输出4故选：B．3．（5分）下列各数中，最小的数是（）A．75 B．111111（2）C．210（6）D．85（9）=25+24+23+22+21+20=63．【解答】解：B中，111111（2）C中，210（6）=2×62+1×6=78；D中，85（9）=8×9+5=77；最小，故111111（2）故选：B．4．（5分）设命题p：﹣1＜log x＜0，q：2x＞1，则p是q成立的是（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由﹣1＜log x＜0，得：1＜x＜2，故p：1＜x＜2；由2x＞1，得：x＞0，故q：x＞0，则p是q成立的充分必要条件，故选：A．5．（5分）若椭圆+=1的两个焦点F1，F2，M是椭圆上一点，且|MF1|﹣|MF2|=1，则△MF1F2是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形【解答】解：由题意，|F1F2|=2，|MF1|+|MF2|=4，∵|MF1|﹣|MF2|=1，∴|MF1|=，|MF2|=，∴|MF2|2+|F1F2|2=|MF1|2，故选：B．6．（5分）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷B的人数为（）A．7 B．9 C．10 D．15【解答】解：960÷32=30，故由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为a n=9+（n﹣1）30=30n﹣21．由451≤30n﹣21≤750 解得15.7≤n≤25.7．再由n为正整数可得16≤n≤25，且n∈z，故做问卷B的人数为10，故选：C．7．（5分）已知点P在以F1，F2为焦点的椭圆+=1（a＞b＞0）上，若•=0，tan∠PF1F2=，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：由•=0，可知△PF1F2为直角三角形，又tan∠PF1F2=，可得|PF1|=2|PF2|，联立|PF1|+|PF2|=2a，解得：|PF1|=，|PF2|=．由，得，即．∴．故选：D．8．（5分）下列命题的说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”．B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分必要条件．C．命题p：“∀x∈R，sinx+cosx≤”是真命题D．若￢（p∧q）为真命题，则p、q至少有一个为假命题．【解答】解：根据原命题与逆否命题的定义即可知道A正确；方程x2﹣3x+2=0的根为x=1，或2，∴x=1能得到x2﹣3x+2=0，而x2﹣3x+2=0得不到x=1，∴“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件，即B是错误的；“∀x∈R，sinx+cosx=sin（x+）≤”，故命题p：“∀x∈R，sinx+cosx≤”是真命题，故C正确；若￢（p∧q）为真命题，则p∧q是假命题，则p，q至少1个是假命题；故D正确，故选：B．9．（5分）已知袋子中装有3个红球、2个白球、1个黑球，如果从中随机任取2个，则下列两个事件中是互斥而不对立的是（）A．至少有一个白球；都是白球B．至少有一个白球；至少有一个红球C．至少有一个白球；红球、黑球各一个D．恰有一个白球；白球、黑球各一个【解答】解：∵袋子中装有3个红球、2个白球、1个黑球，从中随机任取2个，结果有：两红，两白，一红一白，一红一黑，一白一黑，A中，至少有一个白球包括两白，一红一白，一白一黑与都是白球不互斥；B中，至少有一个白球包括两白，一红一白，一白一黑；至少有一个红球包括两红，一红一白，一红一黑，故至少有一个白球与至少有一个红球不互斥；C中，至少有一个白球包括两白，一红一白，一白一黑与一红一黑互斥，且不对立；D中，恰有一个白球包括一红一白，一白一黑与白球、黑球各一个不互斥．故选：C．10．（5分）AB为过椭圆（a＞b＞0）中心的弦，F（c，0）是椭圆的右焦点，则△ABF面积的最大值是（）A．bc B．ac C．ab D．b2【解答】解：△ABF面积等于△AOF 和△BOF 的面积之和，设A到x轴的距离为h，由AB为过椭圆中心的弦，则B到x轴的距离也为h，∴△AOF 和△BOF 的面积相等，故：△ABF面积等于×c×2h=ch，又h的最大值为b，∴△ABF面积的最大值是bc，故选：A．11．（5分）若直线mx+ny=4和圆x2+y2=4没有公共点，则过点（m，n）的直线与椭圆的公共点个数为（）A．至多一个B．0个 C．1个 D．2个【解答】解：因为直线mx+ny=4和圆x2+y2=4没有公共点，所以原点到直线mx+ny﹣4=0的距离d=＞2，所以m2+n2＜4，所以点P（m，n）是在以原点为圆心，2为半径的圆内的点．∵椭圆的长半轴3，短半轴为2∴圆x2+y2=4内切于椭圆∴点P是椭圆内的点∴过点P（m，n）的一条直线与椭圆的公共点数为2．故选：D．12．（5分）已知Ω={（x，y）|}，直线y=mx+2m和曲线y=有两个不同的交点，它们围成的平面区域为M，向区域Ω上随机投一点A，点A 落在区域M内的概率为P（M），若P（M）∈[，1]，则实数m的取值范围（）A．[，1]B．[0，]C．[，1]D．[0，1]【解答】解：画出图形，不难发现直线恒过定点（﹣2，0），圆是上半圆，直线过（﹣2，0），（0，2）时，它们围成的平面区域为M，向区域Ω上随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P（M），此时P（M）=，当直线与x轴重合时，P（M）=1；直线的斜率范围是[0，1]．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．（5分）命题“∀x∈R，|x﹣2|＜3”的否定是“∃x∈R，|x﹣2|≥3”．【解答】解：∵命题“∀x∈R，|x﹣2|＜3”为全称命题，∴“∀x∈R，|x﹣2|＜3”的否定是“∃x∈R，|x﹣2|≥3”，故答案为：“∃x∈R，|x﹣2|≥3”14．（5分）椭圆+=1的焦距为2，则m的值等于3或5．【解答】解：由题意可得：c=1．①当椭圆的焦点在x轴上时，m﹣4=1，解得m=5．②当椭圆的焦点在y轴上时，4﹣m=1，解得m=3．故答案为：3或5．15．（5分）从{a，b，c，d，e}的所有子集中任取一个集合，则这个集合是集合{c，d，e}的真子集的概率是．【解答】解：{a，b，c，d，e}的所有子集有25=32个，{a，b，c}的所有真子集有23﹣1=7个，∴从{a，b，c，d，e}的所有子集中任取一个集合，这个集合是集合{c，d，e}的真子集的概率为．故答案为：．16．（5分）设椭圆两焦点为F1，F2，若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，则椭圆离心率的取值范围为[，1）．【解答】解：∵点P满足PF1⊥PF2，∴点P的轨迹是以F1F2为直径的圆，其方程为x2+y2=c2．又∵椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，∴以F1F2为直径的圆与椭圆C有公共点，由此可得椭圆短轴的顶点在圆上或在圆的内部，∴b≤c，即≤c，化简得a2≤2c2，解得a≤．因此，椭圆C的离心率e=≥．∵椭圆离心率在（0，1）之间取值，∴椭圆C的离心率e∈[，1）．故答案为：[，1）三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）已知命题p ：方程表示焦点在y轴的椭圆；命题q：关于x的不等式x2﹣2x+m＞0的解集是R；若“p∧q”是假命题，“p∨q”是真命题，求实数m的取值范围．【解答】（本小题满分10分）解：当命题p 为真命题时，，解得2＜m＜4…（3分），当命题q为真命题时，△=4﹣4m＜0…解得m＞1…（5分）因为“p∧q”是假命题，“p∨q”是真命题，∴p、q一个是假命题，一个是真命题…（6分），当p是真命题，q 是假命题时，解得m∈φ…（8分），当q是真命题，p 是假命题时，解得1＜m≤2或m≥4…（10分）18．（12分）某市环保局空气质量监控过程中，每隔x天作为一个统计周期．最近x天统计数据如表（Ⅰ）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出x，y的值，并完成频率分布直方图；（Ⅱ）为了创生态城市，该市提出要保证每个统计周期“空气污染指数大于150μg/m3的天数占比不超过15%，平均空气污染指数小于100μg/m3”，请问该统计周期有没有达到预期目标．【解答】解：（Ⅰ）由图可知，空气污染指数在[0，50]的频率为0.003×50=0.15，因此样本容量为，空气污染指数在（100，150]的天数为y=100﹣15﹣50﹣25=10；…（3分）画出完整的频率分布直方图，如图所示；…（6分）（Ⅱ）在该周期中空气污染指数大于150ug/m3的天数占；…（8分）该周期的平均空气污染指数为；…（11分）因此该周期有达到预期目标．…（12分）19．（12分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，离心率．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若经过左焦点F1且倾斜角为的直线l与椭圆交于A、B两点，求|AB|的值．【解答】解：（I）由题意设椭圆的标准方程为，由已知得：a+c=3，，解得a=2，c=1，∴b2=a2﹣c2=3，∴椭圆的标准方程为；（Ⅱ）由已知得直线l的方程为y=x+1，与椭圆方程联立，可得7x2+8x﹣8=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=﹣，∴|AB|=|x1﹣x2|=•=•．20．（12分）已知点A（﹣，0），B（，0），P是平面内的一个动点，直线PA与PB交于点P，且它们的斜率之积是﹣．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）设直线l：y=kx+1与曲线C交于M、N两点，当线段MN的中点在直线x+2y=0上时，求直线l的方程．【解答】解：（1）设，由，整理得+y2=1，x≠（2）设MN的中点坐标为（x 0，y0），联立得（2k2+1）x2+4kx=0，所以，由x0+2y0=0，得k=1，所以直线的方程为：y=x+121．（12分）已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1（Ⅰ）设集合P={1，2，3}，集合Q={﹣1，1，2，3，4}，从集合P中随机取一个数作为a，从集合Q中随机取一个数作为b，求函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；（Ⅱ）设点（a，b）是区域内的随机点，求函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．【解答】解（Ⅰ）∵函数f（x）=ax2﹣4bx+1的图象的对称轴为x=，要使f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，当且仅当a＞0且x=≤1，即2b≤a．若a=1，则b=﹣1；若a=2，则b=﹣1，1；若a=3，则b=﹣1，1，∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5∴所求事件的概率为．（Ⅱ）由（1）知当且仅当2b≤a．且a＞0时，函数f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为{}构成所求事件的区域为三角形部分．由，解得a=，b=，即交点坐标（，），∴所求事件的概率为P=．22．（12分）已知椭圆C方程为（a＞b＞0），左、右焦点分别是F1，F2，若椭圆C上的点P（1，）到F1，F2的距离和等于4．（Ⅰ）写出椭圆C的方程和焦点坐标；（Ⅱ）设点Q是椭圆C的动点，求线段F1Q中点T的轨迹方程；（Ⅲ）直线l过定点M（0，2），且与椭圆C交于不同的两点A，B，若∠AOB为锐角（O为坐标原点），求直线l的斜率k0的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：2a=4，得a=2，又点P（1，）在椭圆上，∴，解得b2=1．∴椭圆C的方程为，焦点；（Ⅱ）设椭圆上的动点Q（x0，y0），线段F1Q中点T（x，y），由题意得：，得，代入椭圆的方程得，即为线段F 1Q 中点T 的轨迹方程；（Ⅲ）由题意得直线l 的斜率存在且不为0， 设l ：y=kx +2，代入整理，得（1+4k 2）x 2+16kx +12=0，△=（16k ）2﹣4（1+4k 2）•12=16（4k 2﹣3）＞0，得 …①设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），∴．∵∠AOB 为锐角， ∴cos ∠AOB ＞0，则，又．∴==，∴k 2＜4 …② 由①、②得．∴k的取值范围是．赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：AB正方形ABCD中，∠EAF=45°∠1=12∠BAD推导说明：1.1在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且∠FAE＝45°，求证：EF＝BE+DFE-a1.2在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且EF＝BE+DF，求证：∠FAE＝45°DEa+b-aa45°AB E挖掘图形特征：x-a a-a运用举例：1．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.（1）求证：EF=FM（2）当AE=1时，求EF的长．DE3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.A变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．F。

2015-2016学年福建省泉州市南安一中高二（上）期中数学试卷（理科）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）：1．双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是（）A．4 B．4 C．2 D．22．已知p：2+2=5，q：3≥2，则下列判断中，错误的是（）A．p或q为真，非q为假B．p或q为真，非p为真C．p且q为假，非p为假D．p且q为假，p或q为真3．抛物线的焦点坐标是（）A．（﹣2，0）B．（2，0） C．D．4．根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为（）A．25 B．30 C．31 D．615．若椭圆+=1的两个焦点F1，F2，M是椭圆上一点，且|MF1|﹣|MF2|=1，则△MF1F2是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形6．对于常数m、n，“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（）A．B．C．D．8．有下列四个命题：①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的逆命题；④“若x+y≠3，则x≠1或y≠2”，其中真命题有（）A．①② B．②③ C．①③ D．①③④9．若向量=（1，λ，2），=（2，﹣1，2），且与的夹角余弦值为，则λ等于（）A．2 B．﹣2 C．﹣2或 D．2或﹣10．双曲线C的中心在原点，焦点在x轴，离心率e=，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B点，|AB|=4，则C的实轴长为（）A．B．2 C．4 D．811．过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若|AF|=3，则△AOF 的面积为（）A．B．C．D．212．执行如图的程序框图，如果输入的d=0.01，则输出的n=（）A．5 B．6 C．7 D．8二．填空题（共4小题，每小题4分，共16分，请把答案写在答题卡上）：13．命题“对任意的x∈R，x2﹣x+1≥0”的否定是．14．已知向量=（2，﹣1，3），=（﹣4，2，x），若∥，则x= ．15．已知双曲线的渐近线方程为y=±x，且过点M（﹣1，3），则该双曲线的标准方程为．16．若二进制数100y011和八进制数x03相等，则x+y= ．三．解答题（本大题共6小题，共74分）：17．已知双曲线﹣=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，求该双曲线的焦点到其渐近线的距离．18．命题p：“方程+=1表示双曲线”（k∈R）；命题q：y=log2（kx2+kx+1）定义域为R，若命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数k的取值范围．19．如图，棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=．（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）求二面角P﹣CD﹣B余弦值的大小；（3）求点C到平面PBD的距离．20．椭圆C： +y2=1，直线l交椭圆C于A，B两点．（1）若l过点P（1，）且弦AB恰好被点P平分，求直线l方程．（2）若l过点Q（0，2），求△AOB（O为原点）面积的最大值．21．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP=BQ=λ（0＜λ＜2）（Ⅰ）当λ=1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ；（Ⅱ）是否存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．22．如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．2015-2016学年福建省泉州市南安一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）：1．双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是（）A．4 B．4 C．2 D．2【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】双曲线方程化为标准方程，即可确定实轴长．【解答】解：双曲线2x2﹣y2=8，可化为∴a=2，∴双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是4故选B．【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．2．已知p：2+2=5，q：3≥2，则下列判断中，错误的是（）A．p或q为真，非q为假B．p或q为真，非p为真C．p且q为假，非p为假D．p且q为假，p或q为真【考点】复合命题的真假．【专题】简易逻辑．【分析】对于命题p：2+2=5，是假命题；对于q：3≥2，是真命题．利用复合命题的真假判定方法即可判断出．【解答】解：对于命题p：2+2=5，是假命题；对于q：3≥2，是真命题．∴p∨q为真命题，p∧q是假命题，￢p为真命题，￢q为假命题．∴C是假命题．故选：C．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．抛物线的焦点坐标是（）A．（﹣2，0）B．（2，0） C．D．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】将方程化为标准方程，再求焦点坐标．【解答】解：抛物线的标准方程为y2=﹣8x，则2p=8，∴∴抛物线的焦点坐标是（﹣2，0）故选A．【点评】本题考查抛物线的标准方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．4．根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为（）A．25 B．30 C．31 D．61【考点】伪代码．【专题】算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数 y=的函数值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数 y=的函数值．当x=60时，则y=25+0.6（60﹣50）=31，故选：C．【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．5．若椭圆+=1的两个焦点F1，F2，M是椭圆上一点，且|MF1|﹣|MF2|=1，则△MF1F2是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形【考点】椭圆的简单性质；三角形的形状判断．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由椭圆的定义知，|F1F2|=2，|MF1|+|MF2|=4，又由|MF1|﹣|MF2|=1可知，|MF2|2+|F1F2|2=|MF1|2．【解答】解：由题意，|F1F2|=2，|MF1|+|MF2|=4，∵|MF1|﹣|MF2|=1，∴|MF1|=，|MF2|=，∴|MF2|2+|F1F2|2=|MF1|2，故选B．【点评】本题考查了椭圆的定义应用，属于基础题．6．对于常数m、n，“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】常规题型．【分析】先根据mn＞0看能否得出方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆；这里可以利用举出特值的方法来验证，再看方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆，根据椭圆的方程的定义，可以得出mn＞0，即可得到结论．【解答】解：当mn＞0时，方程mx2+ny2=1的曲线不一定是椭圆，例如：当m=n=1时，方程mx2+ny2=1的曲线不是椭圆而是圆；或者是m，n都是负数，曲线表示的也不是椭圆；故前者不是后者的充分条件；当方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆时，应有m，n都大于0，且两个量不相等，得到mn＞0；由上可得：“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的必要不充分条件．故选B．【点评】本题主要考查充分必要条件，考查椭圆的方程，注意对于椭圆的方程中，系数要满足大于0且不相等，本题是一个基础题．7．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的应用；数列的应用．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先设长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c，由题意可知：a+c=2b，由此可以导出该椭圆的离心率．【解答】解：设长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c，则2a+2c=2×2b，即a+c=2b⇒（a+c）2=4b2=4（a2﹣c2），所以3a2﹣5c2=2ac，同除a2，整理得5e2+2e﹣3=0，∴或e=﹣1（舍去），故选B．【点评】本题考查等差数列和椭圆的离心率，难度不大，只需细心运算就行．8．有下列四个命题：①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的逆命题；④“若x+y≠3，则x≠1或y≠2”，其中真命题有（）A．①② B．②③ C．①③ D．①③④【考点】命题的真假判断与应用．【专题】转化思想；简易逻辑；推理和证明．【分析】根据原命题，结合四种命题的定义，分析给出原命题的逆命题，否命题和逆否命题，判断真假后综合讨论结果，可得答案．【解答】解：①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x+y=0”为真命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题为“不全等三角形的面积不相等”为假命题；③“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的逆命题为“若x2+2x+q=0有实根，则q≤1”，由△=4﹣4q≥0得q≤1，即为真命题；④“若x+y≠3，则x≠1或y≠2”的逆否命题为：“若x=1且y=2，则x+y=3”为真命题，故原命题也为真，故真命题有：①③④，故选：D．【点评】本题以命题的真假判断和应用为载体，考查四种命题，正确理解四种命题的相互关系及真假性关系，是解答的关键．9．若向量=（1，λ，2），=（2，﹣1，2），且与的夹角余弦值为，则λ等于（）A．2 B．﹣2 C．﹣2或 D．2或﹣【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】计算题．【分析】用向量的内积公式建立方程，本题中知道了夹角的余弦值为，故应用内积公式的变形来建立关于参数λ的方程求λ．【解答】解：由题意向量=（1，λ，2），=（2，﹣1，2），且与的夹角余弦值为，故有cos＜，＞===，解得：λ=﹣2或．故应选C．【点评】本题考查向量的数量积公式，属于基本知识应用题，难度一般较低．10．双曲线C的中心在原点，焦点在x轴，离心率e=，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B点，|AB|=4，则C的实轴长为（）A．B．2 C．4 D．8【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．【专题】计算题；函数思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设出双曲线方程，求出抛物线的准线方程，利用|AB|=4，即可求得结论．【解答】解：双曲线C的中心在原点，焦点在x轴，离心率e=，设等轴双曲线C的方程为x2﹣y2=λ．（1）∵抛物线y2=16x，2p=16，p=8，∴ =4．∴抛物线的准线方程为x=﹣4．C与抛物线y2=16x的准线交于A，B点，|AB|=4，设等轴双曲线与抛物线的准线x=﹣4的两个交点A（﹣4，2），B（﹣4，﹣2），代入（1），得（﹣4）2﹣（2）2=λ，∴λ=4．∴等轴双曲线C的方程为x2﹣y2=4，即，∴C的实轴长为4．故选：C．【点评】本题考查抛物线、双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．11．过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若|AF|=3，则△AOF 的面积为（）A．B．C．D．2【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用抛物线的定义，求出A的坐标，再计算△AOF的面积．【解答】解：抛物线y2=4x的准线l：x=﹣1．∵|AF|=3，∴点A到准线l：x=﹣1的距离为3∴1+x A=3∴x A=2，∴y A=±2，∴△AOF的面积为=．故选：B．【点评】本题考查抛物线的定义，考查三角形的面积的计算，确定A的坐标是解题的关键．12．执行如图的程序框图，如果输入的d=0.01，则输出的n=（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；分类讨论；试验法；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的m，n，a，b的值，当b=，a=时满足条件：|a﹣b|＜0.001，退出循环，输出n的值为7．【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=1，b=2，n=0，m=，n=1满足条件：f（1）•f（）＜0，b=，不满足条件：|a﹣b|＜0.001，m=，n=2，不满足条件：f（1）•f（）＜0，a=，不满足条件：|a﹣b|＜0.001，m=，n=3，不满足条件：f（）•f（）＜0，a=，不满足条件：|a﹣b|＜0.001，m=，n=4，不满足条件：f（）•f（）＜0，a=，不满足条件：|a﹣b|＜0.001，m=，n=5，不满足条件：f（）•f（）＜0，a=，不满足条件：|a﹣b|＜0.001，m=，n=6，不满足条件：f（）•f（）＜0，a=，不满足条件：|a﹣b|＜0.001，m=，n=7，不满足条件：f（）•f（）＜0，a=，满足条件：|a﹣b|＜0.001，退出循环，输出n的值为7．故选：C．【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键，属于基础题．二．填空题（共4小题，每小题4分，共16分，请把答案写在答题卡上）：13．命题“对任意的x∈R，x2﹣x+1≥0”的否定是存在x∈R，使x2﹣x+1＜0 ．【考点】命题的否定；全称命题．【专题】阅读型．【分析】命题“对任意的x∈R，x2﹣x+1≥0”是全称命题，其否定应为特称命题，注意量词和不等号的变化．【解答】解：命题“对任意的x∈R，x2﹣x+1≥0”是全称命题，否定时将量词对任意的x∈R变为存在x∈R，再将不等号≥变为＜即可．∴命题“对任意的x∈R，x2﹣x+1≥0”的否定是存在x∈R，使x2﹣x+1＜0，故答案为：存在x∈R，使x2﹣x+1＜0．【点评】本题考查命题的否定，全称命题和特称命题，属基本知识的考查．注意在写命题的否定时量词的变化．14．已知向量=（2，﹣1，3），=（﹣4，2，x），若∥，则x= ﹣6 ．【考点】共线向量与共面向量．【专题】空间向量及应用．【分析】由于∥，可得存在实数λ使得．利用向量相等即可得出．【解答】解：∵∥，∴存在实数λ使得．∴，解得x=﹣6．故答案为：﹣6．【点评】本题考查了向量共线定理、向量相等，属于基础题．15．已知双曲线的渐近线方程为y=±x，且过点M（﹣1，3），则该双曲线的标准方程为．【考点】双曲线的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设双曲线方程为=λ，λ≠0，把点M（﹣1，3）代入，能求出该双曲线的标准方程．【解答】解：∵双曲线的渐近线方程为y=±x，∴设双曲线方程为=λ，λ≠0，把点M（﹣1，3）代入，得1﹣3=λ=﹣2，∴x2﹣=﹣2，整理，得．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的标准方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用．16．若二进制数100y011和八进制数x03相等，则x+y= 1 ．【考点】进位制．【专题】计算题；转化思想；分析法；算法和程序框图．【分析】将二进制、八进制转化为十进制，利用两数相等及进制数的性质，即可解得x，y 的值，从而得解．【解答】解：∵100y011（2）=1+1×21+y×23+1×26=67+8y，x03（8）=3+x×82=3+64x，∴由3+64x=67+8y，解得：8+y=8x，∵y∈{0，1}，x∈{0，1，2，3，4，5，6，7，}，∴解得：x=1，y=0．x+y=1．故答案为：1．【点评】本题考查的知识点是不同进制数之间的转换，解答的关键是熟练掌握不同进制之间数的转化规则．三．解答题（本大题共6小题，共74分）：17．已知双曲线﹣=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，求该双曲线的焦点到其渐近线的距离．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先求出抛物线y2=12x的焦点坐标，由此得到双曲线的右焦点，从而求出b的值，进而得到该双曲线的离心率与渐近线方程，从而可求该双曲线的焦点到其渐近线的距离．．【解答】解：∵抛物线y2=12x的p=6，开口方向向右，∴焦点是（3，0），∵双曲线﹣=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，∴4+b2=9，∴b2=5∴双曲线的渐近线方程为y=，即∴双曲线的焦点到其渐近线的距离为=．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，考查了学生对基础知识的综合把握能力，属于中档题．18．命题p：“方程+=1表示双曲线”（k∈R）；命题q：y=log2（kx2+kx+1）定义域为R，若命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数k的取值范围．【考点】复合命题的真假．【专题】计算题；简易逻辑．【分析】先对命题p，q 化简，再由命题p∨q为真命题，p∧q为假命题知命题p，q一个为真，一个为假．从而解出实数k的取值范围．【解答】解：p：由（k﹣3）（k+3）＜0得：﹣3＜k＜3；q：令t=kx2+kx+1，由t＞0对x∈R恒成立．（1）当k=0时，1＞0，∴k=0符合题意．（2）当k≠0时，，由△=k2﹣4×k×1＜0得k（k﹣4）＜0，解得：0＜k＜4；综上得：q：0≤k＜4．因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，所以命题p，q一个为真，一个为假．∴或；∴﹣3＜k＜0或3≤k＜4．【点评】本题考查了命题的化简及复合命题真假性的判断，注意分类讨论的标准．19．如图，棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=．（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）求二面角P﹣CD﹣B余弦值的大小；（3）求点C到平面PBD的距离．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算．【专题】计算题．【分析】（1）证明直线BD所在的向量与平面内两个不共线的向量垂直，即可得到直线与平面内的两条相交直线垂直，进而得到线面垂直．（2）由题意求出两个平面的法向量，求出两个向量的夹角，进而转化为二面角P﹣CD﹣B的平面角即可．（3）求出平面PBD的法向量，再求出平面的斜线PC所在的向量，然后求出在法向量上的射影即可得到点到平面的距离．【解答】解：（1）建立如图所示的直角坐标系，则A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（0，0，2）．在Rt△BAD中，AD=2，BD=，∴AB=2．∴B（2，0，0）、C（2，2，0），∴∵，即BD⊥AP，BD⊥AC，又因为AP∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．解：（2）由（1）得．设平面PCD的法向量为，则，即，∴，故平面PCD的法向量可取为∵PA⊥平面ABCD，∴为平面ABCD的法向量．设二面角P﹣CD﹣B的大小为θ，依题意可得．（3）由（Ⅰ）得，设平面PBD的法向量为，则，即，∴x=y=z，故可取为．∵，∴C到面PBD的距离为【点评】解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征，以便建立空间直角坐标系利用向量的基本运算解决线面共线、空间角与空间距离等问题．20．椭圆C： +y2=1，直线l交椭圆C于A，B两点．（1）若l过点P（1，）且弦AB恰好被点P平分，求直线l方程．（2）若l过点Q（0，2），求△AOB（O为原点）面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）设出A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程，利用中点弦的坐标，求出直线的斜率，即得直线方程；（2）设出直线方程，直线方程与椭圆方程联立，消去y，得关于x的一元二次方程；由此求出△AOB的面积表达式，求出它的最大值即可．【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得：+=1， +=1；两式作差得：（x1+x2）（x1﹣x2）+（y1+y2）（y1﹣y2）=0，又x1+x2=2，y1+y2=，代入得k==﹣1，∴此弦所在的直线方程是y﹣=﹣（x﹣1），即x+y﹣=0；…（2）易知直线AB的斜率存在，设其方程为y=kx+2，…将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，消去y得（1+3k2）x2+12kx+9=0；…令△=144k2﹣36（1+3k2）＞0，得k2＞1；设A（x1，y1），B（x2，y2），∴x1+x2=﹣，x1x2=；…∴S△AOB=|S△POB﹣S△POA|=×2×|x1﹣x2|=|x1﹣x2|，∵=﹣4x1x2=﹣=，…设k2﹣1=t（t＞0），∴==≤=，…当且仅当9t=，即t=，k2﹣1=，k2=时等号成立，此时△AOB面积取得最大值．…【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的应用问题，也考查了圆锥曲线中的最值问题，解题时应用根与系数的关系，结合基本不等式，进行解答，是难题目．21．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP=BQ=λ（0＜λ＜2）（Ⅰ）当λ=1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ；（Ⅱ）是否存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定．【专题】综合题；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）建立坐标系，求出=2，可得BC1∥FP，利用线面平行的判定定理，可以证明直线BC1∥平面EFPQ；（Ⅱ）求出平面EFPQ的一个法向量、平面MNPQ的一个法向量，利用面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，建立方程，即可得出结论．【解答】（Ⅰ）证明：以D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴的正半轴，建立坐标系，则B（2，2，0），C1（0，2，2），E（2，1，0），F（1，0，0），P（0，0，λ），∴=（﹣2，0，2），=（﹣1，0，λ），=（1，1，0）λ=1时， =（﹣2，0，2），=（﹣1，0，1），∴=2，∴BC1∥FP，∵FP⊂平面EFPQ，BC1⊄平面EFPQ，∴直线BC1∥平面EFPQ；（Ⅱ）设平面EFPQ的一个法向量为=（x，y，z），则，∴取=（λ，﹣λ，1）．同理可得平面MNPQ的一个法向量为=（λ﹣2，2﹣λ，1），若存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，则•=λ（λ﹣2）﹣λ（2﹣λ）+1=0，∴λ=1±．∴存在λ=1±，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角．【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查存在性问题，解题时要合理地化空间问题为平面问题，注意向量法的合理运用．22．如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【专题】综合题；压轴题．【分析】（Ⅰ）根据过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8，可得4a=8，即a=2，利用e=，b2=a2﹣c2=3，即可求得椭圆E的方程．（Ⅱ）由，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0，利用动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0），可得m≠0，△=0，进而可得P（，），由得Q（4，4k+m），取k=0，m=；k=，m=2，猜想满足条件的点M存在，只能是M（1，0），再进行证明即可．【解答】解：（Ⅰ）∵过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．∴4a=8，∴a=2∵e=，∴c=1∴b2=a2﹣c2=3∴椭圆E的方程为．（Ⅱ）由，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0∵动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0）∴m≠0，△=0，∴（8km）2﹣4×（4k2+3）×（4m2﹣12）=0∴4k2﹣m2+3=0①此时x0==，y0=，即P（，）由得Q（4，4k+m）取k=0，m=，此时P（0，），Q（4，），以PQ为直径的圆为（x﹣2）2+（y﹣）2=4，交x轴于点M（1，0）或M2（3，0）1取k=，m=2，此时P（1，），Q（4，0），以PQ为直径的圆为（x﹣）2+（y﹣）2=，交x轴于点M3（1，0）或M4（4，0）故若满足条件的点M存在，只能是M（1，0），证明如下∵∴故以PQ为直径的圆恒过x轴上的定点M（1，0）方法二：假设平面内存在定点M满足条件，因为对于任意以PQ为直径的圆恒过定点M，所以当PQ平行于x轴时，圆也过定点M，即此时P点坐标为（0，）或（0，﹣），由图形对称性知两个圆在x轴上过相同的交点，即点M必在x轴上．设M（x1，0），则•=0对满足①式的m，k恒成立．因为=（﹣﹣x1，），=（4﹣x1，4k+m），由•=0得﹣+﹣4x1+x12++3=0，整理得（4x1﹣4）+x12﹣4x1+3=0．②由于②式对满足①式的m，k恒成立，所以，解得x1=1．故存在定点M（1，0），使得以PQ为直径的圆恒过点M．【点评】本题主要考查抛物线的定义域性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算能力，考查化归思想，属于中档题．。

2014-2015学年福建省泉州一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）下列关于频率与概率的关系表示正确的是（）A．频率就是概率B．频率是客观存在的，与试验次数无关C．概率是随机的，在实验前不能确定D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率2．（5分）已知命题p：∀x∈R，x2≥0，则有（）A．¬p：∃x∈R，x2≥0 B．¬p：∀x∈R，x2≥0 C．¬p：∃x∈R，x2＜0 D．¬p：∀x∈R，x2＜03．（5分）椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长分别是（）A．5，4 B．10，8 C．10，6 D．8，64．（5分）在区间[0，2]之间随机抽取一个数x，则x满足2x﹣1≥0的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的渐近线方程为x±y=0，则双曲的焦距为（）A．2 B．2 C．D．46．（5分）已知a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则下列选项中一定成立的是（）A．ab＞ac B．c（b﹣a）＜0 C．cb2＜ab2D．ac（a﹣c）＞07．（5分）“x＜2”和“x2﹣x﹣2＜0”的关系是（）A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要8．（5分）如图是计算值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（）A．k≥5 B．k＜5 C．k＞5 D．k≤69．（5分）如图，已知F1，F2是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF2与圆x2+y2=b2相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．10．（5分）已知函数是偶函数，则此函数的图象与y 轴交点的纵坐标的最大值为（）A．B．2 C．4 D．﹣2二．填空题（共5小题，每小题4分，共20分，请把答案写在答题卷上）11．（4分）命题“若x≥2且y≥3，x+y≥5”的逆命题为若则．12．（4分）已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为．13．（4分）已知a＞0，b＞0，且a+2b=1，则的最小值为．14．（4分）直线l过抛物线y2=4x的焦点F且与抛物线交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点；|AB|=10，则线段AB中点的横坐标为．15．（4分）方的曲线即为函y=f（x）的图象，对于函数y=f（x），有如下结论：①x在R上单调递减；②函数F（x）=4f（x）+3x不存在零点；③函数y=f（x）的值域是R；④若函数g（x）和f（x）的图象关于原点对称，则函数y=g（x）的图象就是方程确定的曲线．其中所有正确的命题序号是．三．解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（13分）已知命题P：“函数f（x）=a2x2+ax﹣2在[﹣1，1]上存在零点”；命题Q：“只有一个实数x满足不等式x2+2ax+2a≤0”，若命题P或Q是假命题，求实数a的取值范围．17．（13分）已知关于x的不等ax2﹣3x+2＞0的解集{x|x＜1或x＞b}（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）解关于x的不等式：ax2﹣（ac+b）x+bx＜0．18．（13分）已知点，直线，动点P到点F的距离等于它到直线l的距离．（Ⅰ）试判断动点P的轨迹C的形状，并求出其标准方程；（Ⅱ）若过A（0，2）的直线n与轨迹C有且只有一个公共点，求直线n的方程．19．（13分）椭圆C的焦点分别为F1（﹣1，0）F2（1，0），P（1，）是椭圆上的一个点（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设原点为O，斜率为的直线l过点F1且与椭圆C相交于A、B两点，求△AOB的面积．20．（14分）分别从集合A、B中各任取一个元素m、n，即满足m∈A，n∈B，记（m．n）．（Ⅰ）若集合A={0，1，2，3}，B={0，1，2，3}，写出所有（m，n）的取值情况，并求事件“m＞n”的概率；（Ⅱ）若集A=[0，3]，B=[0，3]，求事件“方所对应的曲线表示焦点在x轴上的椭圆，且长轴长大于短轴长的倍”的概率．21．（14分）已知椭圆的焦点在x轴上，它的一个顶点坐标为（0，1），离心率，过椭圆的右焦点F作不与坐标轴垂直的直线l，交椭圆于A、B两点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设点M（1，0）满足，求直线l的方程；（Ⅲ）设点C是点A关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N，使得C、B、N三点共线？若存在，求出定点N的坐标，若不存在，请说明理由．2014-2015学年福建省泉州一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）下列关于频率与概率的关系表示正确的是（）A．频率就是概率B．频率是客观存在的，与试验次数无关C．概率是随机的，在实验前不能确定D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率【解答】解：由频率和概率的性质，得：随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，故选：D．2．（5分）已知命题p：∀x∈R，x2≥0，则有（）A．¬p：∃x∈R，x2≥0 B．¬p：∀x∈R，x2≥0 C．¬p：∃x∈R，x2＜0 D．¬p：∀x∈R，x2＜0【解答】解：∵命题p：∀x∈R，x2≥0，∴命题p的否定是：∃x∈R，x2＜0．故选：C．3．（5分）椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长分别是（）A．5，4 B．10，8 C．10，6 D．8，6【解答】解：∵16x2+25y2=400，∴=1，∴，解得a=5，b=4，∴16x2+25y2=400的长轴和短轴的长分别是10，8．故选：B．4．（5分）在区间[0，2]之间随机抽取一个数x，则x满足2x﹣1≥0的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：在区间[0，2]之间随机抽取一个数x，则0≤x≤2，由2x﹣1≥0得x≥，即，∴根据几何概型的概率公式可知满足2x﹣1≥0的概率为，故选：A．5．（5分）已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的渐近线方程为x±y=0，则双曲的焦距为（）A．2 B．2 C．D．4【解答】解：由已知条件知，；∴a=1；∴；∴该双曲线的焦距为．故选：B．6．（5分）已知a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则下列选项中一定成立的是（）A．ab＞ac B．c（b﹣a）＜0 C．cb2＜ab2D．ac（a﹣c）＞0【解答】解：∵a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，∴c＜0＜a由此知A选项ab＞ac正确，由于c（b﹣a）＞0知B选项不正确，由于b2可能为0，故C选项不正确，由于ac＜0，a﹣c＞0，故ac（a﹣c）＜0，所以D不正确故选：A．7．（5分）“x＜2”和“x2﹣x﹣2＜0”的关系是（）A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【解答】解：∵x=﹣2时，x2﹣x﹣2=4＞0，∴“x＜2”不能推出“x2﹣x﹣2＜0”，∵解不等式x2﹣x﹣2＜0，得﹣1＜x＜2，∴“x2﹣x﹣2＜0”⇒“﹣1＜x＜2”，∴“x＜2”是“x2﹣x﹣2＜0”的必要非充分条件，故选：B．8．（5分）如图是计算值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（）A．k≥5 B．k＜5 C．k＞5 D．k≤6【解答】解：∵算法的功能是计算值，共循环5次，∴跳出循环体的n值为12，k值为6，∴判断框内应填的条件是k＞5或k≥6．故选：C．9．（5分）如图，已知F1，F2是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF2与圆x2+y2=b2相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：如图：连接OQ，PF1，∵点Q为线段PF2的中点，∴OQ∥PF1，OQ=PF1，∴PF1=2OQ=2b，由椭圆定义，PF1+PF2=2a，∴PF2=2a﹣2b∵线段PF2与圆x2+y2=b2相切于点Q，∴OQ⊥PF2，∴PF1⊥PF2，且|F1F2|=2c，∴（2b）2+（2a﹣2b）2=（2c）2即3b=2a，5a2=9c2，∴e==故选：B．10．（5分）已知函数是偶函数，则此函数的图象与y 轴交点的纵坐标的最大值为（）A．B．2 C．4 D．﹣2【解答】解：∵函数是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即=，∴x，即，∴，则=x2+a+b=，∴此函数的图象与y轴交点的纵坐标为，设a=，则=，若cosx≥0，则≤2，若cosx＜0，则≤2，综上y轴交点的纵坐标的最大值为2．故选：B．二．填空题（共5小题，每小题4分，共20分，请把答案写在答题卷上）11．（4分）命题“若x≥2且y≥3，x+y≥5”的逆命题为若x+y≥5则x≥2且y≥3．【解答】解：逆命题是交换原命题的题设和结论，则命题“若x≥2且y≥3，x+y ≥5”的逆命题为“若x+y≥5，则x≥2且y≥3“．故答案为：x+y≥5，x≥2且y≥3．12．（4分）已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为3．【解答】解：满足约束条件的可行域如下图所示，∵目标函数z=x+y∴z O=0+0=0，z A=0+1.5=1.5，z B=1+2=3，故目标函数z=x+y的最大值为3故答案为：313．（4分）已知a＞0，b＞0，且a+2b=1，则的最小值为．【解答】解：∵a＞0，b＞0，且a+2b=1，∴=（a+2b）=3+=，当且仅当a=b时取等号．∴的最小值为．故答案为：．14．（4分）直线l过抛物线y2=4x的焦点F且与抛物线交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点；|AB|=10，则线段AB中点的横坐标为4．【解答】解：抛物线y2=4x∴P=2，设经过点F的直线与抛物线相交于A、B两点，其横坐标分别为x1，x2，利用抛物线定义，|AB|=x1++x2+=x1+x2+p，AB中点横坐标为x0==（|AB|﹣p）=（10﹣2）=4．故答案为：4．15．（4分）方的曲线即为函y=f（x）的图象，对于函数y=f（x），有如下结论：①x在R上单调递减；②函数F（x）=4f（x）+3x不存在零点；③函数y=f（x）的值域是R；④若函数g（x）和f（x）的图象关于原点对称，则函数y=g（x）的图象就是方程确定的曲线．其中所有正确的命题序号是①②③．【解答】解：对于①，根据题意画出方程的曲线，即为函数y=f （x）的图象，如图所示；轨迹是两段双曲线的一部分加上一段的椭圆圆弧组成的图形．从图形中可以看出，关于函数y=f（x）的有下列说法：①f（x）在R上单调递减，∴①正确；②由于4f（x）+3x=0即f（x）=﹣x，从而图形上看，函数f（x）的图象与直线y=﹣x没有交点，∴函数F（x）=4f（x）+3x不存在零点，②正确；③函数y=f（x）的值域是R，∴③正确；④若函数g（x）和f（x）的图象关于原点对称，则函数y=g（x）的图象是方程+=1确定的曲线，∴④错误．综上，以上正确的命题是①②③．故答案为：①②③．三．解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（13分）已知命题P：“函数f（x）=a2x2+ax﹣2在[﹣1，1]上存在零点”；命题Q：“只有一个实数x满足不等式x2+2ax+2a≤0”，若命题P或Q是假命题，求实数a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=a2x2+ax﹣2在[﹣1，1]上存在零点∴方程f（x）=a2x2+ax﹣2=（ax+2）（ax﹣1）=0有解．在[﹣1，1]上存在零点，当a=0时，f（x）=a2x2+ax﹣2，则不符合条件；当a≠0时，∵函数f（x）=a2x2+ax﹣2在[﹣1，1]上有零点，且a2＞0，△=9a2＞0，由f（1）＜0且f（﹣1）＜0，即a2+a﹣2＜0且a2﹣a﹣2＜0，解得满足题意的a值为，a≤﹣1或a≥1，只有一个实数x满足不等式x2+2ax+2a≤0，即抛物线y=x2+2ax+2与x轴只有一个交点∴△=4a2﹣8a=0，∴a=0或a=2∴命题P或Q是假命题∴a的取值范围为{a|﹣1＜a＜0或0＜a＜1}17．（13分）已知关于x的不等ax2﹣3x+2＞0的解集{x|x＜1或x＞b}（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）解关于x的不等式：ax2﹣（ac+b）x+bx＜0．【解答】解：（Ⅰ）∵不等式ax2﹣3x+2＞0的解集是{x|x＜1或x＞b}，∴方程ax2﹣3x+2=0的实数根是1和b，由根与系数的关系，得；解得a=1，b=2；…6分（Ⅱ）∵a=1，b=2；∴不等式ax2﹣（ac+b）x+bx＜0化为x2﹣（c+2）x+2x＜0，即x（x﹣c）＜0；∴当c＞0时，解得0＜x＜c，当c=0时，不等式无解，当c＜0时，解得c＜x＜0；综上，当c＞0时，不等式的解集是（0，c），当c=0时，不等式的解集是∅，当c＜0时，不等式的解集是（c，0）．…13分18．（13分）已知点，直线，动点P到点F的距离等于它到直线l的距离．（Ⅰ）试判断动点P的轨迹C的形状，并求出其标准方程；（Ⅱ）若过A（0，2）的直线n与轨迹C有且只有一个公共点，求直线n的方程．【解答】解：（I）由已知得动点P的轨迹为以点F为焦点，以直线l：为准线的抛物线，∴点P的轨迹方程是y2=﹣2x．（II）①当直线n的斜率不存在时，直线n的方程为x=0，直线l与抛物线y2=﹣2x切于点（0，0）．②当直线n斜率存在时，设直线n的斜率为k，直线n方程为y=kx+2，代入y2=﹣2x得：k2x2+2（2k+1）x+4=0．当k=0时，直线n的方程为y=2，n的方程与抛物线y2=﹣2x有且只有一个公共点（﹣2，2）．当k≠0时，由△=0得，则直线n的方程：x+4y﹣8=0．综上所述：所求直线n的方程为x=0和y=2及x+4y﹣8=0．19．（13分）椭圆C的焦点分别为F1（﹣1，0）F2（1，0），P（1，）是椭圆上的一个点（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设原点为O，斜率为的直线l过点F1且与椭圆C相交于A、B两点，求△AOB的面积．【解答】解：（I）由题意可设椭圆的标准方程为（a＞b＞0），c为半焦距．可知：c=1，，a2=b2+c2，联立解得b2=1，c=1，a2=2．∴椭圆C的标准方程为=1．（Ⅱ）设点A（x1，y1），B（x2，y2）．依题意得直线l的方程为：y=，联立，化为2x2+2x﹣1=0，∴x1+x2=﹣1，．∴|AB|===．原点O到直线l的距离为：．===．∴S△AOB20．（14分）分别从集合A、B中各任取一个元素m、n，即满足m∈A，n∈B，记（m．n）．（Ⅰ）若集合A={0，1，2，3}，B={0，1，2，3}，写出所有（m，n）的取值情况，并求事件“m＞n”的概率；（Ⅱ）若集A=[0，3]，B=[0，3]，求事件“方所对应的曲线表示焦点在x轴上的椭圆，且长轴长大于短轴长的倍”的概率．【解答】解：（Ⅰ）由题知所有的（m，n）的取值情况为：（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，1），（1，2），（1，3），（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），（3，0），（3，1），（3，2），（3，3）共16种，事件“m＞n”对应的（m，n）的取值情况为：（1，0），（2，0），（2，1），（3，0），（3，1），（3，2）共6种，∴事件“m＞n”的概率为P==（Ⅱ）由题知0≤m≤3，0≤n≤3，椭圆长轴为2，短轴为2，由2＞•2可得m＞2n+1，如图所示，∴所求事件概率为P===21．（14分）已知椭圆的焦点在x轴上，它的一个顶点坐标为（0，1），离心率，过椭圆的右焦点F作不与坐标轴垂直的直线l，交椭圆于A、B两点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设点M（1，0）满足，求直线l的方程；（Ⅲ）设点C是点A关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N，使得C、B、N三点共线？若存在，求出定点N的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解法一：（Ⅰ）设椭圆方程为，由题意知b=1．∴，故椭圆方程为．（Ⅱ）由（Ⅰ）得F（2，0）．设l的方程为y=k（x﹣2）（k≠0），代入，得（5k2+1）x2﹣20k2x+20k2﹣5=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，∴y1+y2=k（x1+x2﹣4），y1﹣y2=k（x1﹣x2），∴，，∵，∴，∴（x1+x2﹣2）（x2﹣x1）+（y2﹣y1）（y1+y2）=0，∴，∴，经检验满足△＞0，∴直线l的方程为：或y=．（Ⅲ）在x轴上存在定点，使得C、B、N三点共线．依题意知，直线BC的方程为，令y=0，则，∵l的方程为y=k（x﹣2），A、B在直线l上，∴y1=k（x1﹣2），y2=k（x2﹣2）∴===∴在x轴上存在定点，使得C、B、N三点共线．解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）由（Ⅰ）得F（2，0）．设l的方程为y=k（x﹣2）（k≠0），代入，得（5k2+1）x2﹣20k2x+20k2﹣5=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，∴，y1﹣y2=k（x1﹣x2），∵，∴|MA|=|MB|，∴，∴（x1+x2﹣2）（x1﹣x2）+（y1+y2）（y1﹣y2）=0，，∴3k2﹣1=0，解得，经检验满足△＞0，∴直线l的方程为：或y=．（Ⅲ）在x轴上存在定点，使得C、B、N三点共线．设存在N（t，0），使得C、B、N 三点共线，则∥，∵=（x2﹣x1，y2+y1），，∴（x2﹣x1）y1﹣（t﹣x1）（y1+y2）=0，即（x2﹣x1）k（x1﹣2）﹣（t﹣x1）k（x1+x2﹣4）=0．∴2x1x2﹣（t+2）（x1+x2）+4t=0，∴，∴．∴存在，使得C、B、N三点共线．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：l运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。

2012-2013学年福建省泉州市南安一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（12×5分=60分）2．（5分）已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2），且与互相垂直，+﹣+=k﹣，3．（5分）已知命题p ：，则（ ）4．（5分）如图：在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）．5．（5分）有以下命题：①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；②O，A，B，C为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面；③已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底．与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么为零向量，不构成空间的一个基底，那么点③已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一6．（5分）（2008•北京）若点P到直线x=﹣1的距离比它到点（2，0）的距离小1，则点P7．（5分）设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为30．若曲线C2上的点到椭圆==48．（5分）“k＞9”是“方程表示双曲线”的（）解：方程的解法等基础知识，考查运算求解能力．方程表示双曲线则须9．（5分）已知抛物线y2=8x，过点A（2，0）作倾斜角为的直线l，若l与抛物线交于B、C两点，弦BC的中点P到y轴的距离为（轴的距离10．（5分）（2007•江西）连接抛物线x2=4y的焦点F与点M（1，0）所得的线段与抛物线交与抛物线方程联立有=的纵坐标为11．（5分）（2007•安徽）已知F1，F2分别是双曲线﹣=1（a＞b＞0）的两个焦点，A 和B是以O（O为坐标原点）为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB+1+112．（5分）设点P（x，y）是曲线上的点，又点F1（﹣4，0），F2（4，0），下解：曲线可化为：二、填空题：（4×4分=16分）13．（4分）命题“若a=﹣1，则a2=1”的否命题是若a≠﹣1，则a2≠1．14．（4分）已知向量．若与的夹角为60°，则实数k= ﹣3 ．，与×15．（4分）已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于．及双曲线﹣∴双曲线的方程为：﹣x=故答案为：16．（4分）（2012•江苏二模）已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F．设线段AB的中点为M，若，则该椭圆离心率的取值范围为（0，，﹣1+] ．（﹣]三、解答题：（共6个小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知命题p：不等式（x﹣1）2＞m﹣1的解集为R，命题q：f（x）=（5﹣2m）x 是R上的增函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．18．（12分）（2011•陕西）如图，设P是圆x2+y2=25上的动点，点D是P在x轴上的摄影，M为PD上一点，且|MD|=|PD|（Ⅰ）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率的直线被C所截线段的长度．|MD|=由已知得：的方程为．的直线方程为：将直线方程．19．（12分）如图，已知三棱锥O﹣ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E 是OC的中点．（1）求异面直线BE与AC所成角的余弦值；（2）求直线BE和平面ABC的所成角的正弦值．）根据建立的空间直角坐标系求出=求出＜＜所成角即为＜＜﹣＜）求出然后再利用向量的夹角公式=求出＜，＞再根据若＜，的所成角为﹣＜，，＞＜的所成角为＜，＞﹣＜，，∴COS＜=﹣所成角的余弦为…（的法向量为取，…（的所成角的正弦值为20．（12分）（2006•上海）在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2=2x相交于A、B 两点．（1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那么=3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．，﹣，，那么（的方程为：）满足21．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点，BB1⊥平面ABC （Ⅰ）求证：AB1⊥平面A1BD；（Ⅱ）求二面角A﹣A1D﹣B的余弦值；（Ⅲ）求点C到平面A1BD的距离．系，分别求出向量，，的坐标，用向量法可得⊥，⊥的法向量，结合（）中结论中求出向量的坐标，代入，，，﹣，=）•，=⊥，⊥==）=⊥，⊥，，即得（的余弦值为为平面=，，﹣．22．（14分）（2013•天津模拟）设椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足，且AB⊥AF2．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）若过A、B、F2三点的圆恰好与直线相切，求椭圆C的方程；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，若点P（m，0）使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，求的取值范围．，由2，知，，心为（﹣，所以，由2（Ⅱ）由（Ⅰ）知，的外接圆圆心为（﹣∴c=1，…（．…（。

泉州一中2009—2010学年度高二数学理科第一学期期中测试试题Ⅰ卷时间120分钟 满分150分一、选择题(本题共有12个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.本题每小题5分，满分60分.请将答案填写在Ⅱ卷上．．．．．．．．．．) 1.将一根长为a 的铁丝随意截成三段，构成一个三角形，此事件是（ ） A ．必然事件 B ．不可能事件C ．随机事件 D ．不能判定 2、下列命题中，为真命题的是（ ）A ．5>3且-3<0B ．若φ=B A ，则φ=AC ．方程0)1()2(22=-++y x 的解为12=-=y x 或D ．∃R x ∈使得12-=x3． 已知一个样本5,,1,y x ．其中y x ,是方程组⎩⎨⎧=+=+3232y x y x 的解，则这个样本的方差是（ ）A ．4B ．2C ．5D ．25 4．下左图程序输出的结果是 （ ）A.3,4B. 4,4C.3,3D.4,35．某篮球运动员在一个赛季的40场比赛中的得分的茎叶图如上右图所示： 则中位数与众数分别为（ ）A ．23与3B ．23与24C ．23与22D ．23与236．抽查10件产品，设事件A ：“至少有两件次品”， 则“事件A 的对立事件”为（ ）Ａ．至多有两件次品 Ｂ．至多有一件次品 Ｃ．至多有两件正品 Ｄ．至少有两件正品7．阅读右图的程序框图，若输出的S 的值等于16,那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是（ ）A ．5>i ? B. 6>i ? C. 7>i ? D. 8>i ? 8． 从含有3个元素的集合的子集中任取一个，所取子集是含有2个元素的集合的概率为（ ） Ａ．310Ｂ．112Ｃ．4564Ｄ．38共9个共13个共11个0 1 3 5 60 1 2 2 3 4 4 8 90 1 1 1 3 3 3 3 5 5 7 8 81 2 2 2 3 3 4 6 7 8 98 943219．已知椭圆125222=+y ax )5(>a 的两个焦点为1F 、2F ，且8||21=F F ，弦AB 过点1F ，则△2ABF 的周长为（ ）A ．10B ．414C ．241D ．2010．x 2－3x －10＜0的一个必要不充分条件是 （ ） A ．－2＜x ＜5 B ．－2＜x ＜0 C ．－5＜x ＜2 D ．－2＜x ＜611．将一个各个面上涂有颜色的正方体锯成64个同样大小的小正方体，从这些小正方体中任取一个，其中恰有2面涂有颜色的概率是（ ） A ．81 B ．85C ．83D ．7312. 有金盒、银盒、铅盒各一个，只有一个盒子里有肖像．金盒上写有命题p ：肖像在这个盒子里；银盒上写有命题q ：肖像不在这个盒子里；铅盒上写有命题r ：肖像不在金盒里．p 、q 、r 中有且只有一个是真命题，则肖像在（ ）A ．金盒里B ．银盒里C ．铅盒里D ．在哪个盒子里不能确定二、填空题(本题共有4小题．请把结果直接填写在Ⅱ卷上．．．．．．．．．．．．，每题填对得4分，否则一律是零分．本题满分16分.)13．命题p ：“R m ∈∀，0122≥+-m m ”的否定形式（即“p ⌝”形式）是 。

泉州第一中学2017—2018年第一学期期中考高二年数学(理）科试卷（考试时间120分钟，总分150分）第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

（1)已知a >b >0,则下列不等式成立的是（A)2a 〉2b (B)错误!〉错误! (C ）|a ｜〈｜b ｜ （D)a 2〈b 2 （2）设(0,5)M ，(0,5)N -，MNP ∆的周长为36,则MNP ∆的顶点P 的轨迹方程是（A ）22125169x y +=（0x ≠) （B ）221144169x y +=（0x ≠） （C ）22116925x y +=（0y ≠） （D ）221169144x y +=（0y ≠） （3）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11=a ，公差15,21=-=+n n S S d ，则n 的值为 （A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8 （4）已知等比数列{}n a 中， 262,8a a ==，则345a a a =（A ） 64 （B) 64± （C ）32 （D ）16 （5）下列有关命题的说法正确的是(A)命题“若211x x ==，则"的否命题为：“若211x x =≠，则”； （B)p ：方程2210x ax --=有两个实数根；q ：函数()4f x x x=+的最小值为4．则p q ∧⌝为真 （C)命题“0x R ∃∈，使得20010x x ++<”的否定是：“x R ∀∈，均有210x x ++<”； (D)命题“已知A 、B 为一个三角形的两内角，若A=B ，则sin sin A B =”的逆命题为真命题。

（6）已知双曲线错误!－错误!＝1（a >0，b 〉0)的一条渐近线平行于直线l ：x ＋2y ＋5＝0，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为 (A ）错误!－错误!＝1 (B ）错误!－错误!＝1 （C ）错误!－错误!＝1（D ）错误!－错误!＝1（7）已知点A （－2,0），点M （x ，y )为平面区域错误!上的一个动点，则|AM |的最小值是 （A)5 (B ）3 (C ）2错误!（D ） 错误!(8）已知a 〉0，b 〉0，若不等式错误!＋错误!≥错误!恒成立，则m 的最大值为 （A ）9 （B)12 （C)18 （D)24（9）已知双曲线中心在原点且一个焦点为)0,7(F ，直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 的中点的横坐标为32-,则此双曲线的方程为(A ）14322=-y x (B ） 13422=-y x （C ） 12522=-y x (D)15222=-y x （10）已知数列｛a n }满足a 1＝25，a n ＋1－a n ＝2n ，则na n的最小值为 (A)6（B ）7 （C) 8 （D ） 9（11)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ,B 两点，O 为坐标原点，若|AF ｜＝4,则△AOB 的面积为 （A ）23（B ） 3 （C ）334 (D)32(12)在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知a ＝3，tan 21tan A cB b+=,则b c +的最大值为 （A ）3 （B)6 （C ）9 （D ）36第Ⅱ卷二．填空题:本大题共4小题,每小题5分。