上海市浦东新区2016-2017学年高二(下)期中数学试卷

上海市浦东新区高二第二学期期中数学试卷一、填空题（1-6题，每题3分；7-12题，每题4分）。

1. 过点)5,3(P ，且与向量)2,4(=d 平行的直线l 的点方向式方程为 24= 。

2. 直线023=++y x 的倾斜角为___________ 3arctan -π3. 直线0143=+-y x 与0743=+-y x 的距离为 56。

4.直线1y x =+被曲线2112y x =-截得的线段AB 的长为_____________ 5. 直线21:60l x m y ++=与2:(2)320l m x my m -++=平行，求实数m 的值___0或1-6.已知方程22123x y k k+=-+表示椭圆，求实数k 的取值范围_32m -<<且12≠- 7．过点)3,1(-且与直线013=+-y x 的夹角为6π的直线方程为04301=+-=+y x x 或8．已知一圆的圆心坐标为)1,2(-C ，且被直线01:=--y x l 截得的弦长为22，则此圆的方程22(2)(1)4x y -++= 。

9．若椭圆)0(14422>=++k ky x 的两焦点和两顶点构成一个正方形，则=k 4 。

10．已知点)3,2(-A 、)2,3(B --，若直线l 过点)1,1(P 且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的 取值范围_____4-≤k 或43≥k11.已知关于x 0x m +=有两个不等实数根，则实数m 的取值范围1m ≤-12.设AB 是椭圆221164x y +=的长轴，若把AB 分成10等分，依次过每个分点作AB 的垂线，交椭圆的上半部分于129P P P 、、。

1F 为椭圆的左焦点，则11112FA F P F P +++191F P FB ++的值___________。

44 二、选择题（每题4分）。

13. 若点P 的坐标为(,)a b ，曲线C 的方程为(,)0F x y =，则“(,)0F a b =”是“点P 在曲线C 上”的____________ （ C ）()A 充分非必要条件 ()B 必要非充分条件 ()C 充要条件 ()D 既非充分又非必要条件14．椭圆的焦距为8，且椭圆上的点到两个焦点距离之和为10，则该椭圆的标准方程是 （ B ）（A ）192522=+y x （B ）125922=+y x 或192522=+y x（C ）125922=+y x（D ）1251622=+y x 或191622=+y x15. 圆上的点到直线043=+y x 的距离的最大值是 （ C ）)(A53 B)(51)(C 552+ )(D 552-16. 已知椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线 必经过椭圆的另一个焦点. 今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的两个焦点， 长轴长为a 2，焦距为2c. 当静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 沿直线击出， 经椭圆壁反弹后再回到点A 时，小球经过的路程是 （ D ） （A ）a 4 （B ）)(2c a - (C) )(2c a + （D ）以上三种情况都有可能三、 解答题（共42分）。

浦东新区2016高二第二学期期中数学试卷一、填空题（1-6题，每题3分；7-12题，每题4分）。

1. 过点，且与向量平行的直线的点方向式方程为 。

2. 直线的倾斜角为___________ 3. 直线0143=+-y x 与0743=+-y x 的距离为 56。

4.直线1y x =+被曲线2112y x =-截得的线段AB 的长为_____________ 5. 直线21:60l x m y ++=与2:(2)320l m x my m -++=平行，求实数m 的值___0或1-6.已知方程22123x y k k+=-+表示椭圆，求实数k 的取值范围_32m -<<且12≠- 7．过点且与直线的夹角为的直线方程为8．已知一圆的圆心坐标为，且被直线截得的弦长为，则此圆的方程 22(2)(1)4x y -++= 。

9．若椭圆)0(14422>=++k ky x 的两焦点和两顶点构成一个正方形，则=k 4 。

10．已知点)3,2(-A 、)2,3(B --，若直线过点)1,1(P 且与线段AB 相交，则的斜率k 的 取值范围_____或11.已知关于x 0x m ++=有两个不等实数根，则实数m 的取值范围1m ≤-12.设AB 是椭圆221164x y +=的长轴，若把AB 分成10等分，依次过每个分点作AB 的垂线，交椭圆的上半部分于129P P P 、、。

1F 为椭圆的左焦点，则11112F A F P F P +++191F P F B ++的值___________。

44二、选择题（每题4分）。

13. 若点P 的坐标为(,)a b ，曲线C 的方程为(,)0F x y =，则“(,)0F a b =”是“点P 在曲线C 上”的____________ （ ） 充分非必要条件 必要非充分条件充要条件 既非充分又非必要条件 14．椭圆的焦距为8，且椭圆上的点到两个焦点距离之和为10，则该椭圆的标准方程是 （ B ）（A ） （B ）或 （C ）（D ）或15. 圆x 2+y 2+4x −2y +245=0上的点到直线的距离的最大值是 （ ）16. 已知椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过椭圆的另一个焦点. 今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的两个焦点，)5,3(P )2,4(=d l 2543-=-y x 023=++y x 3arctan -π)3,1(-013=+-y x 6π04301=+-=+y x x 或)1,2(-C 01:=--y x l 22l l 4-≤k 43≥k C ()A ()B ()C ()D 192522=+y x 125922=+y x 192522=+y x 125922=+y x 1251622=+y x 191622=+y x 043=+y x C )(A 53B)(51)(C 552+)(D 552-长轴长为a 2，焦距为2c. 当静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 沿直线击出， 经椭圆壁反弹后再回到点A 时，小球经过的路程是 （ D ） （A ）a 4 （B ）)(2c a - (C) )(2c a + （D ）以上三种情况都有可能 三、解答题（共42分）。

2016年上海市浦东新区高二下学期数学期中考试试卷一、填空题（共12小题；共60分）1. 椭圆的长轴长为．2. 直线的方程为，则直线的倾斜角为．3. 若直线过点，且它的一个法向量是，则直线的方程为．4. 以为圆心，且经过原点的圆的方程是．5. 圆的圆心到直线的距离．6. 直线与直线的夹角是．7. 过点且与圆相切的直线方程是．8. 与椭圆共焦点，且过点的椭圆的标准方程为．9. 椭圆的焦点为，，点在椭圆上，若，则的大小为．10. 椭圆的两焦点分别为，，过作弦，且的周长为，则此椭圆的方程为．11. 若直线与曲线有公共点，则的取值范围为．12. 若直线始终平分圆的周长，则的最小值为．二、选择题（共4小题；共20分）13. 直线的倾斜角为A. B. C. D. 以上都不对14. 过点且与直线平行的直线的点方向式方程是A. B.C. D.15. 两条直线与垂直的充要条件是A. B.C. D.16. 已知点，，若直线上存在点，使得，则称该直线为“A型直线”，给出下列直线：；；；，其中为“A型直线”的是A. B. C. D.三、解答题（共5小题；共65分）17. 已知的顶点的坐标分别为，，．求：（1）边上中线的长；（2）边上中线所在的直线方程．18. 已知圆的圆心在直线上，并且与轴交于两点，，求圆的方程．19. 已知圆及直线．当直线被圆截得的弦长为时，求的值．20. 已知椭圆的焦点分别为，，长轴长为，设直线交椭圆于，两点．（1）求椭圆的方程；（2）求线段的中点坐标．21. 如图，已知椭圆的焦点和上顶点分别为，，，我们称为椭圆的“特征三角形”．如果两个椭圆的特征三角形是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，且三角形的相似比即为椭圆的相似比．若椭圆，直线．（1）已知椭圆与椭圆是相似椭圆，求的值及椭圆与椭圆的相似比；（2）求点到椭圆上点的最大距离．（3）如图，设直线与椭圆相交于，两点，与椭圆交于，两点，求证：．答案第一部分1.【解析】椭圆的长轴长为：．2.【解析】由直线方程，得其斜率，设其倾斜角为，则，所以．3.【解析】因为直线的法向量是，故直线的方向向量为，所以直线的斜率为：，所以直线的方程为：，所以直线方程为：．4.【解析】因为所求圆经过坐标原点，且圆心与原点的距离为，所以所求圆的方程为．5.【解析】圆心到直线的距离为．6.【解析】因为直线的斜率为，所以直线的倾斜角，又因为直线的斜率，所以直线的倾斜角，所以两直线的夹角为．7.【解析】显然点在圆上，设切线方程的斜率为，则切线方程为，即，所以圆心到直线的距离，解得，则切线方程为，即．8.【解析】设与椭圆共焦点的椭圆标准方程为：，把点代入上述方程可得：，解得．所以满足条件的椭圆标准方程为：．9.【解析】因为，，所以．在中，，所以．10.【解析】由题意可设椭圆的标准方程为：．因为过作弦，且的周长为，则，解得，又，则．所以椭圆的标准方程为：．11.【解析】依题意可知曲线可整理成，图象如图所示．直线与半圆相切时，原点到直线的距离为，即，所以．直线过半圆的右顶点时，，所以．所以直线与曲线有公共点时，的取值范围为．12.【解析】由题意得，直线过圆心，所以，．所以，当且仅当时，等号成立．第二部分13. B 【解析】因为线与轴垂直，所以其倾斜角为．14. D 【解析】所求直线的方向向量为，又经过点，因此所求直线的点方向式方程是．15. B【解析】时，两条直线与垂直，化为．时，且与不同时为，也满足上式．即满足条件：．16. B 【解析】由题意可知，点的轨迹是以，为焦点的椭圆，其方程是，把代入椭圆方程并整理得，，因为，所以不是“A型直线”．把代入椭圆方程，成立，所以是“A型直线”．把代入椭圆方程，不成立，所以不是“A型直线”．把代入椭圆方程并整理得，，因为，所以是“A型直线”．第三部分17. （1）因为，，所以线段的中点坐标是，又因为，所以边上中线的长为：．（2）结合，易得边上中线所在的直线方程为：，整理，得：．18. 如图示：根据垂径定理可得的垂直平分线过圆心，而圆心在直线上，则圆心坐标为，圆的半径，则圆的标准方程为：．19. 由题意圆的圆心坐标是，半径是．利用弦长公式可得弦心距，再由点到直线的距离公式可得，所以，解得．20. （1）由题意可知：椭圆的焦点，，焦点在轴上，设椭圆的方程为：，，，，所以椭圆的方程为：．（2）由（）可知：消整理得：，由，所以直线与椭圆有两个不同的交点，设，，中点，则，由中点坐标公式可知：，，故线段的中点坐标为．21. （1）由椭圆焦点在轴上，，，，所以椭圆的特征三角形是腰长为，底边长为的等腰三角形，椭圆的特征三角形是腰长为，底边长为的等腰三角形，椭圆与椭圆是相似椭圆，因此两个特征三角形相似，所以，解得：，即，所以椭圆与椭圆的相似比为．（2）椭圆，设椭圆上动点，所以当时，最大，即最大值为，所以的最大值为，点到椭圆上点的最大距离．（3）直线不与轴垂直，直线，，，线段的中点，由直线方程代入椭圆，可得，即有，，再将直线代入椭圆，可得，设，，线段的中点，即有，，故，的中点重合．则．。

2016-2017学年上海市浦东新区高三（上）期中数学试卷一、填空题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设全集U=R，集合A={x|x＜2}，B={y|y=x2+1}，则A∪∁U B=．2．（5分）函数f（x）=x2﹣1（x≥0）的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（2）=．3．（5分）x＞1，则函数y=x+的值域是．4．（5分）已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|≤4，x∈Z}，则A∩B=．5．（5分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，有AB=AA1，则AC1与平面BB1C1C 所成的角的正弦值为．6．（5分）已知一组数据7、8、9、x、y的平均数是8，则这组数据的中位数是．7．（5分）若不等式|3x﹣b|＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b的取值范围．8．（5分）（1+x）7的展开式中x2的系数是．9．（5分）从总体中抽取一个样本：3、7、4、6、5，则总体标准差的点估计值为．10．（5分）已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，则g （﹣1）=．11．（5分）已知f（x）=log a（x+1），g（x）=log a（1﹣x），a＞0且a≠1，则使f （x）﹣g（x）＞0成立的x的集合是．12．（5分）在Rt△ABC中，两直角边分别为a、b，设h为斜边上的高，则= +，由此类比：三棱锥S﹣ABC中的三条侧棱SA、SB、SC两两垂直，且长度分别为a、b、c，设棱锥底面ABC上的高为h，则．二、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分）13．（5分）“a＞1”是“f（x）=（a﹣1）•a x在定义域内为增函数”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要14．（5分）如图，直线a、b相交于点O且a、b成60°角，过点O与a、b都成60°角的直线有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条15．（5分）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机地并排放到书架的同一层上，则同一科目的书都相邻的概率为（）A．B．C．D．16．（5分）已知三个球的半径R1、R2、R3满足R1+2R2=3R3，则它们的表面积S1、S2、S3满足的等量关系是（）A．S1+2S2=3S3B．+=C．+2=3D．+4=917．（5分）已知函数f（x）=，则不等式f（x）≥x2的解集是（）A．[﹣1，1]B．[﹣2，2]C．[﹣2，1]D．[﹣1，2]18．（5分）我们定义渐近线：已知曲线C，如果存在一条直线，当曲线C上任意一点M沿曲线运动时，M可无限趋近于该直线但永远达不到，那么这条直线称为这条曲线的渐近线：下列函数：①y=x；②y=2x﹣1；③y=lg（x﹣1）；④y=；其中有渐近线的函数的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4三、解答题（共5小题，满分70分）19．（14分）用一个半径为10cm的半圆纸片卷成一个最大的无底圆锥，放在水平桌面上，被一阵风吹倒，如图所示，求它的最高点到桌面的距离．20．（14分）已知全集U=R，集合A={x|4x﹣9•2x+8＜0}，B={x|}，C={x||x ﹣2|＜4}，求A∪B，C U A∩C．21．（14分）如图：三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，若底面ABC是边长为2的正三角形，且PB与底面ABC所成的角为．若M是BC的中点，求：（1）三棱锥P﹣ABC的体积；（2）异面直线PM与AC所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．22．（14分）甲厂以x千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求1≤x ≤10），每小时可获得利润是100（5x+1﹣）元．（1）写出生产该产品t（t≥0）小时可获得利润的表达式；（2）要使生产该产品2 小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围．23．（14分）已知函数f（x）=|x+|﹣|x﹣|；（1）作出函数f（x）的图象；（2）根据（1）所得图象，填写下面的表格：性质定义域值域单调性奇偶性零点f（x）（3）关于x的方程f2（x）+m|f（x）|+n=0（m，n∈R）恰有6个不同的实数解，求n的取值范围．2016-2017学年上海市浦东新区高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设全集U=R，集合A={x|x＜2}，B={y|y=x2+1}，则A∪∁U B=（﹣∞，2）．【解答】解：∵集U=R，集合A={x|x＜2}=（﹣∞，2），B={y|y=x2+1}=[1，+∞），∴∁U B=（﹣∞，1），∴A∪（∁U B）=（﹣∞，2），故答案为：（﹣∞，2）．2．（5分）函数f（x）=x2﹣1（x≥0）的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（2）=．【解答】解：根据函数与它的反函数的定义域和值域互换，令函数f（x）=x2﹣1=2，其中x≥0，解得x=；所以f﹣1（2）=．故答案为：．3．（5分）x＞1，则函数y=x+的值域是[3，+∞）．【解答】解：∵x＞1，则，x﹣1＞0，；那么：函数y=x+=x﹣1++1≥=3，当且仅当x=2时取等号．所以函数y的值域是[3，+∞）．4．（5分）已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|≤4，x∈Z}，则A∩B={0，1，2}．．【解答】解：∵集合A={x||x|≤2，x∈R}={x|﹣2≤x≤2}，B={x|≤4，x∈Z}={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}，∴A∩B={0，1，2}．故答案为：{0，1，2}．5．（5分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，有AB=AA1，则AC1与平面BB1C1C 所成的角的正弦值为．【解答】解：取BC的中点E，连接C1E，AE则AE⊥BC，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∴面ABC⊥面BB1C1C，面ABC∩面BB1C1C=BC，∴AE⊥面BB1C1C，∴∠AC1E就是AC1与平面BB1C1C所成的角，在Rt△AC1E中，∵AB=AA1，sin∠AC1E=．故答案为：．6．（5分）已知一组数据7、8、9、x、y的平均数是8，则这组数据的中位数是8．【解答】解：由题意知：（7+8+9+x+y）÷5=8，化简可得又因为该组数据为5个，则中位数对应位置（5+1）÷2=3．①当x=y时，得x=y=8．显然，改组数据中位数为8．②当x≠y时，不妨设x＜y，又因为x+y=16，可以得到x＜8＜y，此时中位数也为8．7．（5分）若不等式|3x﹣b|＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b的取值范围5＜b＜7．【解答】解：因为，又由已知解集中的整数有且仅有1，2，3，故有．故答案为5＜b＜7．8．（5分）（1+x）7的展开式中x2的系数是21．【解答】解：由题意，二项式（1+x）7的展开式通项是T r=x r+1故展开式中x2的系数是=21故答案为：21．9．（5分）从总体中抽取一个样本：3、7、4、6、5，则总体标准差的点估计值为．【解答】解：样本数据：3、7、4、6、5的平均数为：=×（3+7+4+6+5）=5，方差为s2=×[（3﹣5）2+（7﹣5）2+（4﹣5）2+（6﹣5）2+（5﹣5）2]=2.5，所以标准差为s==．故答案为：．10．（5分）已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，则g （﹣1）=﹣1．【解答】解：由题意，y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，所以f（1）+1+f（﹣1）+（﹣1）2=0解得f（﹣1）=﹣3所以g（﹣1）=f（﹣1）+2=﹣3+2=﹣1故答案为：﹣1．11．（5分）已知f（x）=log a（x+1），g（x）=log a（1﹣x），a＞0且a≠1，则使f （x）﹣g（x）＞0成立的x的集合是当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|﹣1＜x＜0}；当a＞1时，原不等式的解集为{x|0＜x＜1} ．【解答】解：f（x）﹣g（x）＞0，即log a（x+1）﹣log a（1﹣x）＞0，log a（x+1）＞log a（1﹣x）．当0＜a＜1时，上述不等式等价于，解得﹣1＜x＜0；当a＞1时，原不等式等价于，解得0＜x＜1．综上所述，当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|﹣1＜x＜0}；当a＞1时，原不等式的解集为{x|0＜x＜1}．故答案为：当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|﹣1＜x＜0}；a＞1时，原不等式的解集为{x|0＜x＜1}．12．（5分）在Rt△ABC中，两直角边分别为a、b，设h为斜边上的高，则= +，由此类比：三棱锥S﹣ABC中的三条侧棱SA、SB、SC两两垂直，且长度分别为a、b、c，设棱锥底面ABC上的高为h，则+．【解答】解：∵PA、PB、PC两两互相垂直，∴PA⊥平面PBC．设PD在平面PBC内部，且PD⊥BC，由已知有：PD=，h=PO=，∴，即．故答案为：．二、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分）13．（5分）“a＞1”是“f（x）=（a﹣1）•a x在定义域内为增函数”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【解答】解：当a＞1时，a﹣1＞0，a x在定义域内为增函数，则f（x）=（a﹣1）•a x在定义域内为增函数”成立，即充分性成立，若0＜a＜1，a﹣1＜0，a x在定义域内为减函数，满足f（x）=（a﹣1）•a x在定义域内为增函数”，此时a＞1不成立，即必要性不成立，故“a＞1”是“f（x）=（a﹣1）•a x在定义域内为增函数”的充分不必要条件，故选：A．14．（5分）如图，直线a、b相交于点O且a、b成60°角，过点O与a、b都成60°角的直线有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【解答】解：在a、b所确定的平面内有一条如图，平面外有两条．如图故选：C．15．（5分）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机地并排放到书架的同一层上，则同一科目的书都相邻的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，将其随机地并排放到书架的同一层上，基本事件总数n==120，同一科目的书都相邻包含的基本事件个数m==24，∴同一科目的书都相邻的概率为p===．故选：A．16．（5分）已知三个球的半径R1、R2、R3满足R1+2R2=3R3，则它们的表面积S1、S2、S3满足的等量关系是（）A．S1+2S2=3S3B．+=C．+2=3D．+4=9【解答】解：因为S1=4πR12，所以=2，同理：=2，=2，由R1+2R2=3R3，得+2=3．故选：C．17．（5分）已知函数f（x）=，则不等式f（x）≥x2的解集是（）A．[﹣1，1]B．[﹣2，2]C．[﹣2，1]D．[﹣1，2]【解答】解：①当x≤0时；f（x）=x+2，∵f（x）≥x2，∴x+2≥x2，x2﹣x﹣2≤0，解得，﹣1≤x≤2，∴﹣1≤x≤0；②当x＞0时；f（x）=﹣x+2，∴﹣x+2≥x2，解得，﹣2≤x≤1，∴0＜x≤1，综上①②知不等式f（x）≥x2的解集是：﹣1≤x≤1，故选：A．18．（5分）我们定义渐近线：已知曲线C，如果存在一条直线，当曲线C上任意一点M沿曲线运动时，M可无限趋近于该直线但永远达不到，那么这条直线称为这条曲线的渐近线：下列函数：①y=x；②y=2x﹣1；③y=lg（x﹣1）；④y=；其中有渐近线的函数的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：对于：①y=x，根据渐近线的定义，不存在渐近线；对于②y=2x+1是由y=2x的图象向上平移1个单位得到，其渐近线方程为y=1；对于③y=log2（x﹣1）是由y=log2x向右平移一个单位得到，其渐近线方程为x=1；对于④y==（1﹣），其渐近线方程为x=，y=；综上，有渐近线的个数为3个故选：C．三、解答题（共5小题，满分70分）19．（14分）用一个半径为10cm的半圆纸片卷成一个最大的无底圆锥，放在水平桌面上，被一阵风吹倒，如图所示，求它的最高点到桌面的距离．【解答】解：如图所示，设PAB为轴截面，过点A作AD⊥PB，π•AB=10π，解得AB=10，∴△PAB是等边三角形，∴AD=AB•sin60°=10×=5．∴它的最高点到桌面的距离为5cm．20．（14分）已知全集U=R，集合A={x|4x﹣9•2x+8＜0}，B={x|}，C={x||x ﹣2|＜4}，求A∪B，C U A∩C．【解答】解：由1＜2x＜8，得A=（0，3）．（2分）由，得B=（﹣2，3]．（4分）由|x﹣2|＜4⇒﹣2＜x＜6，得C=（﹣2，6）．（6分）所以A∪B=（﹣2，3]，（8分）C U A∩C=（﹣2，0]∪[3，6）．（12分）21．（14分）如图：三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，若底面ABC是边长为2的正三角形，且PB与底面ABC所成的角为．若M是BC的中点，求：（1）三棱锥P﹣ABC的体积；（2）异面直线PM与AC所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【解答】解：（1）因为PA⊥底面ABC，PB与底面ABC所成的角为所以因为AB=2，所以（2）连接PM，取AB的中点，记为N，连接MN，则MN∥AC所以∠PMN为异面直线PM与AC所成的角计算可得：，MN=1，异面直线PM与AC所成的角为22．（14分）甲厂以x千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求1≤x ≤10），每小时可获得利润是100（5x+1﹣）元．（1）写出生产该产品t（t≥0）小时可获得利润的表达式；（2）要使生产该产品2 小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围．【解答】解：（1）设生产该产品t（t≥0）小时可获得利润为f（t），则f（t）=100t （5x+1﹣）元，t≥0，1≤x≤10．（2）由题意可得：100×2×（5x+1﹣）≥3000，化为：5x2﹣14x﹣3≥0，1≤x ≤10．解得3≤x≤10．∴x的取值范围是[3，10]．23．（14分）已知函数f（x）=|x+|﹣|x﹣|；（1）作出函数f（x）的图象；（2）根据（1）所得图象，填写下面的表格：性质定义域值域单调性奇偶性零点f（x）（3）关于x的方程f2（x）+m|f（x）|+n=0（m，n∈R）恰有6个不同的实数解，求n的取值范围．【解答】解：函数f（x）=|x+|﹣|x﹣|=，作出函数f（x）的图象如图：（2）由函数的图象得函数的定义域为{x|x≠0}，函数的值域为（0，2]，在（﹣∞，﹣1]和（0，1）上单调递增，在[1，+∞）和（﹣1，0），单调递减，函数关于y轴对称，是偶函数，函数与x轴没有交点，无零点．（3）∵0＜f（x）≤2，且函数f（x）为偶函数，∴令t=f（x），则方程等价为t2+mt+n=0，则由图象可知，当0＜t＜2时，方程t=f（x）有4个不同的根，当t=2时，方程t=f（x）有2个不同的根，当t≤0或t＞2时，方程t=f（x）有0个不同的根，若方程f2（x）+m|f（x）|+n=0（m，n∈R）恰有6个不同的实数解，等价为方程f2（x）+mf（x）+n=0（m，n∈R）恰有6个不同的实数解，即t2+mt+n=0有两个不同的根，其中t1=2，0＜t2＜2，则n=t1t2∈（0，4）．。

2016学年第一学期期中四校联考高二年级数学考试试卷一、填空题：（本大题共有12道小题，每小题3分，共36分） 1、 二元一次方程组23121x y x y +=⎧⎨-=-⎩的增广矩阵是2、 若4321,,,a a a a 四个数成等比数列，则4321a a a a = 。

3、无穷等比数列{}n a 的通项公式为113()2n n a -=⨯-，则其所有项的和为____________4、已知三阶行列式294753618，则元素3的代数余子式的值为 . 121122223223a a AB a a ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫ ⎪-=⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭、已知矩阵A=，矩阵B=。

若,则=_____ 6、数列{}n a （*n N ∈）的通项公式1(),1100,321,100,51nn n a n n n ⎧≤≤⎪⎪=⎨+⎪>⎪-⎩，则lim n n a →∞=_____________7、 已知1111()n N 1233f n n n n n*=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+∈+++（），则(1)f = ____ 8、已知数列{}n a 满足2n a n n λ=+（R λ∈），且123a a a <<<⋅⋅⋅<1n n a a +<<⋅⋅⋅，则λ的取值范围是___________．{}n n n n+112412062=n ,=1721,12nn a a a a a a a a *⎧≤<⎪⎪∈⎨⎪-≤<⎪⎩，、若数列满足（N ）若，则的值为_____10、在等比数列}{n a 中, nn n =2+n N S a *∈前项和（）,则a = . 11、数列{}n a 满足11154,3n n n a S S a ++=+=，则n a ={}{}{}n n n5-n n n n n n n n n*n 5n b b 12=2b b =n+k c =,>b c c c n k a a a a a N ≤⎧⎨⎩≤∈，、已知数列的通项公式为，数列的通项公式，设，中，对任意恒成立，则实数的取值范围是________.班级 姓名 考试号…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每小题3分. 将正确答案的代号 填写在答题纸对应题号后的横线上. 13. 当1-≠m 时，下列关于方程组⎩⎨⎧=++=+mmy x m y mx 21的判断，正确的是………………（ ）A 、方程组有唯一解B 、方程组有唯一解或有无穷多解C 、方程组无解或有无穷多解D 、方程组有唯一解或无解14. 下列四个命题中，正确的是……………………………………………………………（ ）A 、若22lim A a nn =∞→，则A a n n =∞→lim B 、若0>n a ，A a n n =∞→lim ，则0>A C 、若A a n n =∞→lim ，则22lim A a nn =∞→ D 、若A a n n =∞→lim ，则nA na n n =∞→lim 15、数列{}n a 为等比数列，则下列结论中不．正确的是……………………（ ） A ．2{}n a 是等比数列 B ．n n+1{}a a ⋅是等比数列 C ．1{}na 是等比数列 D ．{lg }n a 是等差数列 16、无穷等差数列}{n a 的各项均为整数，首项为1a 、公差为d ，n S 是其前n 项和， 3、21、15是其中的三项，给出下列命题：①对任意．．满足条件的d ，存在1a ，使得99一定是数列}{n a 中的一项； ②存在．．满足条件的数列}{n a ，使得对任意的*N n ∈，n n S S 42=成立； ③对任意．．满足条件的d ，存在1a ，使得30一定是数列}{n a 中的一项。

2016-2017学年上海市杨浦区高二（下）期中数学试卷一、填空题（本大题满分40分）本大题共有10题，要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）直线y=x+1的倾斜角是．2．（4分）抛物线y2=2x的准线方程是．3．（4分）若复数满足z满足=i2016+i2017（i为虚数单位），则复数z=．4．（4分）若方程=1表示椭圆，则实数m的取值范围为．5．（4分）若复数z满足|z﹣i|=1（i是虚数单位），则z的模的取值范围是．6．（4分）坐标原点（0，0）关于直线x﹣2y+2=0对称的点的坐标是．7．（4分）在复数集中分解因式：3x2﹣6x+4=．8．（4分）过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M、N两点，则|MN|=．9．（4分）双曲线﹣y2=1（n＞1）的两个焦点为F1，F2，P在双曲线上，且满足|PF1|+|PF2|=2，则△PF1F2的面积为．10．（4分）若动点P（x0，y0）在圆C：x2+y2=1上运动，则动点Q（x0y0，x0+y0）的轨迹方程是．二.选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，选对得3分，否则一律得零分11．（3分）点P（m2，5）与圆x2+y2=24的位置关系是（）A．在圆外B．在圆上C．在圆内D．不确定12．（3分）与双曲线=1有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线标准方程为（）A．B．C．D．13．（3分）已知抛物线C：y2=x与直线l：y=kx+1，“k≠0”是“直线l与抛物线C 有两个不同交点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．（3分）下列命题中，正确的是（）A．若z是复数，则|z|2=z2B．任意两个复数不能比较大小C．当b2﹣4ac＞0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c∈C）有两个不相等的实数根D．在复平面xOy上，复数z=m2+mi（m∈R，i是虚数单位）对应的点的轨迹方程是y2=x三、解答题（本大题满分48分）本大题共有5题，解答下列各题要写出必要的步骤15．（8分）已知△ABC的三个顶点是A（3，﹣4）、B（0，4）、C（﹣6，0），求：（1）BC边上的高AD所在直线的一般式方程；（2）BC边上的中线AM所在直线的一般式方程．16．（8分）已知复数z1=（2x+1）+i，z2=y+（2﹣y）i．（1）若z1=z2，且x，y∈R，求z1；和|z1|；（2）若z1=z2，且x∈R，y为纯虚数，求z1．17．（10分）已知关于x的方程x2﹣x+m=0m∈R）的两根为x1、x2，且|x1|+|x2|=3，求m的值．解：∵x1、x2是x2﹣x+m=0的两个根，∴，∵|x1|+|x2|=3，x12+2|x1x2|+x22=9．（x1+x2）2﹣2x1x2+2|x1x2|=9，即1﹣2m+2|m|=9，解得m=﹣2．请你仔细阅读上述解题过程，判断是否有错误．如果有，请指出错误之处，并写出正确的解答过程．18．（10分）在平面直角坐标xO中，动点P到两点，的距离之和为4，设动点的轨迹C．（Ⅰ）写出C的方程；（Ⅱ）设直线y=kx+1与C交于A、B两点k为何值时？19．（12分）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η＜0，则称点P1，P2被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线．（1）求证：点A（1，2），B（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔；（2）若直线y=kx是曲线x2﹣4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为E，求E的方程，并证明y轴为曲线E的分隔线．2016-2017学年上海市杨浦区高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分40分）本大题共有10题，要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）直线y=x+1的倾斜角是．【考点】I2：直线的倾斜角．【解答】解：设直线y=x+1的倾斜角为α，α∈[0，π）．∴tanα=1，解得α=．故答案为：．2．（4分）抛物线y2=2x的准线方程是．【考点】K8：抛物线的性质．【解答】解：抛物线y2=2x，∴p=1，∴准线方程是x=﹣故答案为：x=﹣．3．（4分）若复数满足z满足=i2016+i2017（i为虚数单位），则复数z=2i．【考点】A5：复数的运算．【解答】解：由=i2016+i2017=（i4）504+（i4）504•i=1+i，得z=（1+i）2=2i．故答案为：2i．4．（4分）若方程=1表示椭圆，则实数m的取值范围为．．【考点】K4：椭圆的性质．【解答】解：方程=1表示椭圆，则，解得．故答案为：．5．（4分）若复数z满足|z﹣i|=1（i是虚数单位），则z的模的取值范围是[0，2] ．【考点】A8：复数的模．【解答】解：由|z﹣i|=1，可得z在复平面内对应点在以（0，1）为圆心，以1为半径的圆上，如图，则z的模的取值范围是[0，2]，故答案为：[]0，2．6．（4分）坐标原点（0，0）关于直线x﹣2y+2=0对称的点的坐标是．【考点】IQ：与直线关于点、直线对称的直线方程．【解答】解：设原点（0，0）关于直线x﹣2y+2=0对称的点的坐标是（a，b），则，解得a=﹣，b=．∴要求的对称的点的坐标是．故答案为：．7．（4分）在复数集中分解因式：3x2﹣6x+4=．【考点】&M：因式分解定理．【解答】解：首先求出3x2﹣6x+4=0的虚根为：，所以：3x2﹣6x+4=，故答案为：8．（4分）过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M、N两点，则|MN|=4．【考点】J2：圆的一般方程．【解答】解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，∴D=﹣2，E=4，F=﹣20，∴x2+y2﹣2x+4y﹣20=0，令x=0，可得y2+4y﹣20=0，∴y=﹣2±2，∴|MN|=4．故答案为：4．9．（4分）双曲线﹣y2=1（n＞1）的两个焦点为F1，F2，P在双曲线上，且满足|PF1|+|PF2|=2，则△PF1F2的面积为1．【考点】KC：双曲线的性质．【解答】解：令|PF1|=x，|PF2|=y，依题意可知解得x=+，y=﹣，∴x2+y2=（+）2+（﹣）2=4n+4∵|F1F2|=2∴|F1F2|2=4n+4∴x2+y2|F1F2|2∴△PF1F2为直角三角形∴△PF1F2的面积为xy=（2+）（﹣）=1故答案为：1．10．（4分）若动点P（x0，y0）在圆C：x2+y2=1上运动，则动点Q（x0y0，x0+y0）的轨迹方程是．【考点】J3：轨迹方程．【解答】解：设Q（x，y），则x=x0y0，y=x0+y0，∵动点P（x0，y0）在圆C：x2+y2=1上运动，∴x02+y02=1，∴y2=2x+1∵x02+y02=1≥2|x0y0|=2x，∴﹣，∴所求轨迹方程为：．故答案为：：．二.选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，选对得3分，否则一律得零分11．（3分）点P（m2，5）与圆x2+y2=24的位置关系是（）A．在圆外B．在圆上C．在圆内D．不确定【考点】J5：点与圆的位置关系．【解答】解：已知圆的圆心为原点O，半径为，OP=，所以点在圆外，故选：A．12．（3分）与双曲线=1有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线标准方程为（）A．B．C．D．【考点】KC：双曲线的性质．【解答】解：设所求的双曲线方程为，∵所求双曲线过点（2，2），则，即λ=﹣3，∴所求双曲线方程为．故选：B．13．（3分）已知抛物线C：y2=x与直线l：y=kx+1，“k≠0”是“直线l与抛物线C 有两个不同交点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【解答】解：将直线方程代入抛物线方程得，即y=k•y2+1，∴ky2﹣y+1=0，当k=0时，方程只有一个解．当k≠0时，要使直线l与抛物线C有两个不同交点，则△=1﹣4k＞0，解得k＜且k≠0．∴“k≠0”是“直线l与抛物线C有两个不同交点”的必要不充分条件．故选：B．14．（3分）下列命题中，正确的是（）A．若z是复数，则|z|2=z2B．任意两个复数不能比较大小C．当b2﹣4ac＞0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c∈C）有两个不相等的实数根D．在复平面xOy上，复数z=m2+mi（m∈R，i是虚数单位）对应的点的轨迹方程是y2=x【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【解答】解：对于A，若z=i，则|z|2=1，z2=﹣1，|z|2≠z2，故A错误；对于B，当两个复数均为实数时，可以比较大小，故B错误；对于C，只有当a，b，c均为实数时，在满足b2﹣4ac＞0时，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，故C错误；对于D，由z=m2+mi（m∈R，i是虚数单位），设z对应的点Z（x，y），得，消去m得，y2=x，∴在复平面xOy上，复数z=m2+mi（m∈R，i是虚数单位）对应的点的轨迹方程是y2=x．故D正确．故选：D．三、解答题（本大题满分48分）本大题共有5题，解答下列各题要写出必要的步骤15．（8分）已知△ABC的三个顶点是A（3，﹣4）、B（0，4）、C（﹣6，0），求：（1）BC边上的高AD所在直线的一般式方程；（2）BC边上的中线AM所在直线的一般式方程．【考点】IJ：直线的一般式方程与直线的垂直关系．【解答】解：（1）是高AD所在直线的一个法向量，故l AD：3x+2y﹣1=0；（2）BC的中点M（﹣3，2），是BC边所在直线的一个方向向量，故l AM：x+y+1=0．16．（8分）已知复数z1=（2x+1）+i，z2=y+（2﹣y）i．（1）若z1=z2，且x，y∈R，求z1；和|z1|；（2）若z1=z2，且x∈R，y为纯虚数，求z1．【考点】A8：复数的模．【解答】解：（1）∵z1=（2x+1）+i，z2=y+（2﹣y）i，z1=z2，且x，y∈R，∴．∴；（2）由y为纯虚数，设y=bi（b∈R）∴z2=bi+（2﹣bi）i=b+（b+2）i，又∵z1=z2，x∈R，∴⇒，∴z1=﹣1+i．17．（10分）已知关于x的方程x2﹣x+m=0m∈R）的两根为x1、x2，且|x1|+|x2|=3，求m的值．解：∵x1、x2是x2﹣x+m=0的两个根，∴，∵|x1|+|x2|=3，x12+2|x1x2|+x22=9．（x1+x2）2﹣2x1x2+2|x1x2|=9，即1﹣2m+2|m|=9，解得m=﹣2．请你仔细阅读上述解题过程，判断是否有错误．如果有，请指出错误之处，并写出正确的解答过程．【考点】3V：二次函数的性质与图象．【解答】解：解题过程不正确．（2分）当两根正确的解答过程如下：x1、x2为虚根时，．（4分）∵x1、x2是x2﹣x+m=0的两个根，∴，①当△≥0即时，方程有两个实数根．∵|x1|+|x2|=3，∴．，即1﹣2m+2|m|=9，解得m=﹣2．（6分）②当△＜0即时，方程有一对共轭虚根．∵=|x2|2=m，∴|x1|==，解得m=，（9分）综上所述，m=﹣2或m=．（10分）18．（10分）在平面直角坐标xO中，动点P到两点，的距离之和为4，设动点的轨迹C．（Ⅰ）写出C的方程；（Ⅱ）设直线y=kx+1与C交于A、B两点k为何值时？【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．【解答】解：（Ⅰ）∵在平面直角坐标xO中，动点P到两点，的距离之和为4，∴曲线C是焦点在y轴上的椭圆，设其方程为，由题意知2a=4，c=，则b=1，∴曲线C的方程为．（2）联立，化简，得（4+k2）x2+2kx﹣3=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，∴y1y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1=﹣+1=﹣+1，∵，∴=x1x2+y1y2=﹣﹣+1=0，解得k=．∴k=时，．19．（12分）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η＜0，则称点P1，P2被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线．（1）求证：点A（1，2），B（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔；（2）若直线y=kx是曲线x2﹣4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为E，求E的方程，并证明y轴为曲线E的分隔线．【考点】IG：直线的一般式方程与直线的性质．【解答】解：（1）把点（1，2）、（﹣1，0）分别代入x+y﹣1可得η=（1+2﹣1）（﹣1﹣1）=﹣4＜0，∴点（1，2）、（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔．（2）联立可得（1﹣4k2）x2=1，根据题意，此方程无解，故有1﹣4k2≤0，∴|k|≥．当|k|≥时，对于直线y=kx，曲线x2﹣4y2=1上的点（﹣1，0）和（1，0）满足η=﹣k2＜0，即点（﹣1，0）和（1，0）被y=kx分隔．故实数k的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．（3）设点M（x，y），则•|x|=1，故曲线E的方程为[x2+（y﹣2）2]x2=1 ①．对任意的y0，（0，y0）不是上述方程的解，即y轴与曲线E没有公共点．又曲线E上的点（1，2）、（﹣1，2）对于y轴（x=0）满足η=1×（﹣1）=﹣1＜0，即点（﹣1，2）和（1，2）被y轴分隔，所以y轴为曲线E的分隔线．。

上海高二下学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题： (共14题；共14分)1. （1分）复数z=在复平面内对应点所在的象限是________2. （1分）已知向量=(-1,x,3),=(2,-4,y)，且，那么x+y的值为________3. （1分）平行四边形OABC各顶点对应的复数分别为zO＝0，zA＝2＋ i，zB＝－2a＋3i，zC＝－b＋ai，则实数a－b为________．4. （1分） (2016高二上·清城期中) 在△ABC中，若角A，B，C成等差数列，且边a=2，c=5，则S△abc=________．5. （1分）已知i是虚数单位，则i2015=________6. （1分）已知向量 =（﹣3，2）， =（﹣1，0），且向量与垂直，则实数λ的值为________．7. （1分）（3+4i）（﹣2﹣3i）=________8. （1分） (2016高二下·赣榆期中) 用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为________．9. （1分） (2016高一上·扬州期末) 如图所示，在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=3，E是边CD的中点，= ，若• =﹣4，则sin∠BAD=________．10. （1分）用数学归纳法证明，从到，左边需要增乘的代数式为________.11. （1分） (2016高一上·渝中期末) 已知向量，，则向量与的夹角为________．12. （1分） (2018高二下·济宁期中) 如图1，在中，，，是垂足，则，该结论称为射影定理.如图2，在三棱锥中，平面，平面，为垂足，且在内，类比射影定理，可以得到结论：________．13. （1分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB= ，BC=1，PA=2，E为PD的中点，则直线BE与平面ABCD所成角的正切值为________．14. （1分） (2018高三上·张家口期末) 将正整数对作如下分组，第组为，第组为，第组为，第组为则第组第个数对为________．二、解答题 (共6题；共45分)15. （5分）已知z、为复数，（1+3i）z为实数，且,求16. （10分） (2017高二下·中山期末) 在各项为正的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足Sn= （an+ ），（1）求a1，a2，a3；（2）由（1）猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．17. （5分） (2015高二下·福州期中) 用分析法证明：当x≥4时， + ＞ + ．18. （5分）已知向量 =（λ，﹣2）， =（﹣3，5），若向量与的夹角为钝角，求λ的取值范围．19. （10分） (2016高一下·定州期末) 已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，a1=b1=1，且b3S3=36，b2S2=8（n∈N*）．（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）若an＜an+1，求数列{anbn}的前n项和Tn．20. （10分）(2017·盐城模拟) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，面PAD⊥底面ABCD，且△PAD 是边长为2的等边三角形，PC= ，M在PC上，且PA∥面BDM．（1）求直线PC与平面BDM所成角的正弦值；（2）求平面BDM与平面PAD所成锐二面角的大小．参考答案一、填空题： (共14题；共14分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题 (共6题；共45分)15-1、16-1、16-2、17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、。

2016-2017学年上海市华师大二附中高二（下)期中数学试卷一、填空题1．向量对应复数﹣3+2i，则向量所对应的复数为．2．复数z=（m2﹣m﹣4)+（m2﹣5m﹣6）i(m∈R），如果z是纯虚数，那么m= ．3．平面α的斜线与α所成的角为30°，那此斜线和α内所有不过斜足的直线中所成的角的最大值为．4．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,如果对角线AC1与过点A的相邻三个面所成的角分别是α，β，γ，那么cos2α+cos2β+cos2γ=．5．若复数|z﹣3i｜=5,求｜z+2｜的最大值和最小值．6．异面直线a与b所成的角为50°,P为空间一点，则过P点且与a，b所成的角都是50°的直线有条．7．圆锥底面半径为10，母线长为30，从底面圆周上一点，绕侧面一周再回到该点的最短路线的长度是．8．已知集合A={z｜z=i+i2+i3+…+i n,n∈N＊}，B={z|z=z1•z2,z1∈A，z2∈A}，则集合B中的元素共有个．9．设x1，x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，若x1是虚数,是实数,则S=1+= ．10．（理科）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，在正方体的表面上与点A距离为的点的集合形成一条曲线,则这条曲线的长度为．二、选择题（4&＃215；4=16）11．下列命题中,错误的是（）A．过平面α外一点可以作无数条直线与平面α平行B．与同一个平面所成的角相等的两条直线必平行C．若直线l垂直平面α内的两条相交直线，则直线l必垂直平面αD．垂直于同一个平面的两条直线平行12．下列命题中，错误的是( )A．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形B．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个C．圆锥的轴截面是所有过顶点的界面中面积最大的一个D．当球心到平面的距离小于球面半径时，球面与平面的交线总是一个圆13．已知复数z1,z2满足｜z1﹣|=|1﹣z1z2｜｜，则有（) A．|z1|＜0且|z2|＜1 B．｜z1|＜1或｜z2|＜1 C．|z1|=1且｜z2｜=1 D．｜z1｜=1或｜z2|=114．如图，正四面体ABCD的顶点A，B,C分别在两两垂直的三条射线Ox,Oy，Oz上，则在下列命题中，错误的为( ）A．O﹣ABC是正三棱锥B．直线OB∥平面ACDC．直线AD与OB所成的角是45°D．二面角D﹣OB﹣A为45°三、解答题（8+10+12+14）15．已知复数z1满足（1+i）z1=﹣1+5i，z2=a﹣2﹣i，其中i为虚数单位，a∈R，若＜｜z1｜,求a的取值范围．16．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=1，BC=2,E为PD的中点．(1）求直线CE与平面ABCD所成角的大小;(2)求二面角E﹣AC﹣D的大小，(结果用反三角函数值表示）17．如图，在正三棱锥A﹣BCD中,AB=,点A到底面BCD的距离为1，E为棱BC的中点．（1）求异面直线AE与CD所成角的大小;（结果用反三角函数值表示)（2）求正三棱锥A﹣BCD的表面积．18．已知z是实系数方程x2+2bx+c=0的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点为P z，(1）若（b，c)在直线2x+y=0上,求证：P z在圆C1:（x﹣1)2+y2=1上；（2）给定圆C：（x﹣m）2+y2=r2(m、r∈R，r＞0），则存在唯一的线段s满足：①若P z在圆C上，则（b，c）在线段s上；②若（b，c)是线段s上一点（非端点）,则P z在圆C上、写出线段s的表达式，并说明理由;(3)由（2）知线段s与圆C之间确定了一种对应关系，通过这种对应关系的研究，填写表（表中s1是（1）中圆C1的对应线段)．线段s与线段s1的关系m、r的取值或表达式s所在直线平行于s1所在直线s所在直线平分线段s12016-2017学年上海市华师大二附中高二(下)期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．向量对应复数﹣3+2i，则向量所对应的复数为3﹣2i ．【考点】A2：复数的基本概念．【分析】根据向量复数的几何意义进行求解即可．【解答】解：向量对应复数﹣3+2i，则向量对应向量坐标为（﹣3,2），则向量所对应的坐标为（3，﹣2)，则定义的复数为3﹣2i，故答案为：3﹣2i2．复数z=（m2﹣m﹣4）+(m2﹣5m﹣6）i（m∈R）,如果z是纯虚数，那么m= ．【考点】A2：复数的基本概念．【分析】根据纯虚数的定义建立方程进行求解即可．【解答】解：∵z是纯虚数，∴，得得m=,故答案为：3．平面α的斜线与α所成的角为30°，那此斜线和α内所有不过斜足的直线中所成的角的最大值为90°．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】斜线和α内所有不过斜足的直线为异面直线，由此能求出此斜线和α内所有不过斜足的直线中所成的角的最大角．【解答】解:∵斜线和α内所有不过斜足的直线为异面直线，∴此斜线和α内所有不过斜足的直线中所成的角的最大角为90°．故答案为：90°．4．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，如果对角线AC1与过点A的相邻三个面所成的角分别是α,β，γ，那么cos2α+cos2β+cos2γ= 2 ．【考点】MI:直线与平面所成的角．【分析】由已知得cosα=，cosβ=，cosγ=，由此能求出cos2α+cos2β+cos2γ的值．【解答】解:∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1C1⊥面AB1，∴AC1与面AB1所成的角为∠C1AB1=α，同理AC1与面AD1所成的角为∠C1AD1=β,AC1与面AC所成的角为∠C1AC=γ，∵cosα=，cosβ=，cosγ=，∴cos2α+cos2β+cos2γ=++=++===2．故答案为：2．5．若复数｜z﹣3i|=5，求｜z+2|的最大值和最小值．【考点】A4:复数的代数表示法及其几何意义；A8：复数求模．【分析】利用圆的复数形式的方程和复数形式的两点间的距离公式即可得出．【解答】解:如图，满足|z﹣3i|=5的复数z所对应的点是以C（0,3）为圆心,5为半径的圆．｜z+2|表示复数z所对应的点Z和点A（﹣2，0)的距离，由题设z 所对应的点在圆周上，而此圆周上的点到点A距离的最大值与最小值是过A的圆周的直径被A点所分成的两部分．∴｜AC｜==．∴|z+2|max=5+，|z+2｜min=5﹣．6．异面直线a与b所成的角为50°，P为空间一点，则过P点且与a，b所成的角都是50°的直线有 2 条．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】把异面直线a,b平移到相交，使交点为P，此时∠APB=50°，过P点作直线c平分∠APB，直线从c向两边转到d时与a，b所成角单调递增，必有经过50°，由此能求出结果．【解答】解：把异面直线a，b平移到相交，使交点为P,此时∠APB=50°,过P点作直线c平分∠APB，这时c与a，b所成角为25°,过P点作直线d垂直a和b，这时d与a，b所成角为90°，直线从c向两边转到d时与a，b所成角单调递增，必有经过50°，由题意满足条件的直线有2条．故答案为：2．7．圆锥底面半径为10，母线长为30，从底面圆周上一点，绕侧面一周再回到该点的最短路线的长度是30．【考点】LH：多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【分析】作出侧面展开图，则扇形的弦长为最短距离．【解答】解:圆锥的侧面展开图为半径为30，弧长为20π的扇形AOB，∴最短距离为AB的长．扇形的圆心角为=,∴AB==30．故答案为：30．8．已知集合A=｛z|z=i+i2+i3+…+i n，n∈N＊}，B=｛z｜z=z1•z2，z1∈A，z2∈A｝，则集合B中的元素共有7 个．【考点】15:集合的表示法．【分析】由题意并且结合复数的有关运算可得:集合A=｛1，1+i，i，0｝,进而得到B={1，1+i，i，2i，﹣1+i，﹣1，0｝．【解答】解:由题意可得：集合A=｛z｜z=1+i+i2+…+i n，n∈N＊}=｛1,1+i，i,0｝，所以B=｛z｜z=z1•z2，z1、z2∈A｝=｛1，1+i，i,2i,﹣1+i，﹣1，0}，所以集合B中共有7个元素．故答案是：7．9．设x1，x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，若x1是虚数,是实数,则S=1+= ﹣2 ．【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】设x1=s+ti（s，t∈R，t≠0）．则x2=s﹣ti．则x1+x2=2s,x1x2=s2+t2．利用是实数,可得3s2=t2．于是x1+x2=2s，x1x2=s2+t2．+1=0，取=ω，则ω2+ω+1=0，ω3=1．代入化简即可得出．【解答】解：设x1=s+ti（s，t∈R，t≠0）．则x2=s﹣ti．则x1+x2=2s，x1x2=s2+t2．∵==+i是实数,∴3s2t﹣t3=0，∴3s2=t2．∴x1+x2=2s，x1x2=s2+t2．∴4s2==+2x1x2=x1x2，∴+1=0,取=ω，则ω2+ω+1=0，∴ω3=1．则S=1+=1+ω+ω2+ω4+ω8+ω16+ω32 =0+ω+ω2+ω+ω2=﹣2．故答案为：﹣2．10．（理科)正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,在正方体的表面上与点A距离为的点的集合形成一条曲线，则这条曲线的长度为．【考点】G7：弧长公式；L2：棱柱的结构特征．【分析】本题首先要弄清楚曲线的形状,再根据曲线的性质及解析几何知识即可求出长度．【解答】解:由题意，此问题的实质是以A为球心、为半径的球在正方体ABCD﹣A1B1C1D1各个面上交线的长度计算，正方体的各个面根据与球心位置关系分成两类:ABCD、AA1DD1、AA1BB1为过球心的截面,截痕为大圆弧,各弧圆心角为、A1B1C1D1、B1BCC1、D1DCC1为与球心距离为1的截面,截痕为小圆弧，由于截面圆半径为r=,故各段弧圆心角为．∴这条曲线长度为3••+3••=故答案为二、选择题（4&#215；4=16）11．下列命题中，错误的是（)A．过平面α外一点可以作无数条直线与平面α平行B．与同一个平面所成的角相等的两条直线必平行C．若直线l垂直平面α内的两条相交直线,则直线l必垂直平面αD．垂直于同一个平面的两条直线平行【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】应用直线与平面平行的判定定理可判断A；由直线与平面所成的角的概念可判断B；由直线与平面垂直的判定定理可判断C；由直线与平面垂直的性质定理，可判断D．【解答】解：A．由直线与平面平行的判定定理可知A正确，且它们在同一个平面内；B．与同一个平面所成的角相等的两条直线可能平行、相交或异面，故B错；C．由直线与平面垂直的判定定理，可知C正确;D．由直线与平面垂直的性质定理，可知D正确．故选B．12．下列命题中，错误的是（)A．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形B．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个C．圆锥的轴截面是所有过顶点的界面中面积最大的一个D．当球心到平面的距离小于球面半径时，球面与平面的交线总是一个圆【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据旋转体的结构特征进行分析判断．【解答】解：对于A，圆锥的轴截面都是以母线为腰，以底面直径为底边的等腰三角形，故A正确；对于B，圆柱过母线的截面为矩形，一边为圆柱的高，另一边为圆柱底面圆的弦,∴当另一半为底面直径时截面最大,故B正确；对于C，设圆锥任意两条母线的夹角为θ,则过此两母线的截面三角形面积为l2sinθ，∴当圆锥轴截面的顶角为钝角,则当θ=时,过顶点的截面中面积最大，故C错误；对于D，球心到平面的距离小于球面半径时，球被平面分成两部分,截面为圆，故D正确．故选C．13．已知复数z1，z2满足｜z1﹣｜=｜1﹣z1z2|｜，则有（) A．｜z1｜＜0且|z2｜＜1 B．|z1｜＜1或|z2|＜1 C．｜z1|=1且｜z2｜=1 D．|z1|=1或|z2｜=1【考点】A4:复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用，结合，化简出，通过分解因式推出z1,z2中至少又一个值为1可得答案．【解答】解：由|z1﹣｜=|1﹣z1z2|，得，即=，∴=，∴=．∴，即．得或．∴|z1｜=1或｜z2|=1．故选：D．14．如图，正四面体ABCD的顶点A，B,C分别在两两垂直的三条射线Ox,Oy，Oz上，则在下列命题中，错误的为（)A．O﹣ABC是正三棱锥B．直线OB∥平面ACDC．直线AD与OB所成的角是45°D．二面角D﹣OB﹣A为45°【考点】MB：空间点、线、面的位置．【分析】结合图形,逐一分析答案，运用排除、举反例直接计算等手段，找出正确答案．【解答】解：对于A，如图ABCD为正四面体，∴△ABC为等边三角形，又∵OA、OB、OC两两垂直，∴OA⊥面OBC，∴OA⊥BC．过O作底面ABC的垂线，垂足为N，连接AN交BC于M，由三垂线定理可知BC⊥AM,∴M为BC中点，同理可证，连接CN交AB于P,则P为AB中点,∴N为底面△ABC中心，∴O﹣ABC是正三棱锥,故A正确．对于B，将正四面体ABCD放入正方体中，如图所示,显然OB与平面ACD不平行．则答案B不正确．对于C，AD和OB成的角,即为AD和AE成的角,即∠DAE=45°，故C正确．对于D，二面角D﹣OB﹣A即平面FDBO与下底面AEBO成的角,故∠FOA为二面角D﹣OB﹣A的平面角，显然∠FOA=45°，故D正确．综上，故选：B．三、解答题(8+10+12+14）15．已知复数z1满足（1+i）z1=﹣1+5i，z2=a﹣2﹣i,其中i为虚数单位，a∈R,若＜｜z1｜，求a的取值范围．【考点】A2:复数的基本概念；A5：复数代数形式的乘除运算；A8：复数求模．【分析】先求复数Z1,然后代入＜|z1｜，解二次不等式即可求出a的范围．【解答】解：由题意得z1==2+3i,于是=|4﹣a+2i｜=，|z1｜=.＜，得a2﹣8a+7＜0，1＜a＜7．16．如图,四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=1,BC=2，E为PD的中点．（1）求直线CE与平面ABCD所成角的大小；（2）求二面角E﹣AC﹣D的大小，（结果用反三角函数值表示）【考点】MT：二面角的平面角及求法；MI：直线与平面所成的角．【分析】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴,AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线CE与平面ABCD所成角的大小．(2）先求出平面AEC的法向量和平面ACD的法向量，利用向量法能求出二面角E﹣AC﹣D的大小．【解答】解:（1)以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则C（1,2，0），D(0，2，0），P(0，0，1），E（0，1，）,=（﹣1，﹣1，），平面ABCD的法向量=(0，0,1），设直线CE与平面ABCD所成角为θ，则sinθ===，．∴直线CE与平面ABCD所成角的大小为arcsin．（2）=(0，1，），=（1，2,0)，设平面AEC的法向量=（x，y,z）,则，取y=1，得=（﹣2，1，﹣2）,平面ACD的法向量=（0,0，1），设二面角E﹣AC﹣D的大小为θ，则cosθ=｜|==．θ=arccos．∴二面角E﹣AC﹣D的大小为．17．如图,在正三棱锥A﹣BCD中，AB=，点A到底面BCD的距离为1，E为棱BC的中点．(1）求异面直线AE与CD所成角的大小；（结果用反三角函数值表示)（2）求正三棱锥A﹣BCD的表面积．【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；LM:异面直线及其所成的角．【分析】(1)作出棱锥的高，利用勾股定理和等边三角形的性质计算底面边长，再计算斜高，利用余弦定理求出要求角的余弦值；(2）直接代入面积公式计算即可．【解答】解：(1）作AO⊥平面BCD，垂足为O，则O为等边三角形△ABC的中心，AO=1，连结OB,则OB==2,设△ABC的边长为a，则OB===2，∴a=2．连结OE，则OE==1，取BD的中点F，连结EF，AF．则EF∥CD，EF=a=，∴∠AEF是异面直线AE与CD所成角,∵AE=AF==，∴cos∠AEF==，∴异面直线AE与CD所成角为arccos．（2）三棱锥的表面积S=+=3+3．18．已知z是实系数方程x2+2bx+c=0的虚根,记它在直角坐标平面上的对应点为P z，(1）若(b，c）在直线2x+y=0上,求证：P z在圆C1:（x﹣1）2+y2=1上;（2）给定圆C:（x﹣m）2+y2=r2(m、r∈R，r＞0）,则存在唯一的线段s满足：①若P z在圆C上，则（b，c）在线段s上；②若（b，c）是线段s上一点(非端点)，则P z在圆C上、写出线段s的表达式，并说明理由；（3)由（2）知线段s与圆C之间确定了一种对应关系，通过这种对应关系的研究，填写表(表中s1是（1）中圆C1的对应线段)．线段s与线段s1的关系m、r的取值或表达式s所在直线平行于s1所在直线s所在直线平分线段s1【考点】A2：复数的基本概念；JE：直线和圆的方程的应用．【分析】（1）（b,c）在直线2x+y=0上，求出方程的虚根，代入圆的方程成立，就证明P z在圆C1:(x﹣1）2+y2=1上;（2）①求出虚根，虚根在定圆C:(x﹣m）2+y2=r2（m、r∈R,r＞0）,推出c=﹣2mb+r2﹣m2，则存在唯一的线段s满足（b，c）在线段s上；②(b,c)是线段s上一点（非端点）,实系数方程为x2+2bx﹣2mb+r2﹣m2=0，b∈（﹣m﹣r，﹣m+r）此时△＜0，求出方程的根P z，可推出P z在圆C上．(3）由（2)知线段s与圆C之间确定了一种对应关系，直接填写表．【解答】解：(1）由题意可得2b+c=0,解方程x2+2bx﹣2b=0，得∴点或，将点P z代入圆C1的方程，等号成立,∴P z在圆C1：（x﹣1）2+y2=1上(2）当△＜0，即b2＜c时，解得,∴点或，由题意可得（﹣b﹣m）2+c﹣b2=r2，整理后得c=﹣2mb+r2﹣m2,∵△=4(b2﹣c）＜0，（b+m）2+c﹣b2=r2,∴b∈（﹣m﹣r，﹣m+r）∴线段s为：c=﹣2mb+r2﹣m2,b∈［﹣m﹣r，﹣m+r]若(b，c）是线段s上一点（非端点），则实系数方程为x2+2bx﹣2mb+r2﹣m2=0,b∈(﹣m﹣r，﹣m+r）此时△＜0，且点在圆C上(3）表线段s与线段s1的关系m、r的取值或表达式s所在直线平行于s1所在直线m=1，r≠1s所在直线平分线段s1r2﹣（m﹣1）2=1，m≠1线段s与线段s1长度相等（1+4m2）r2=52017年6月18日。

2016-2017学年上海市高二（下）期中数学试卷一、填空题1．抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为．2．方向向量为，且过点A（3，4）的直线的一般式方程为．3．若复数z满足，则= ．4．直线x+y﹣2=0和ax﹣y+1=0的夹角为，则a的值为．5．已知点（﹣4，0）是椭圆kx2+3ky2=1的一个焦点，则k= ．6．如果实数x，y满足线性约束条件，则z=x﹣y+1的最小值等于．7．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为．8．参数方程（t为参数），化为一般方程为．9．以椭圆3x2+13y2=39的焦点为顶点，以为渐近线的双曲线方程为．10．M是抛物线y=4x2+1上的一个动点，且点M是线段OP的中点（O为原点），P的轨迹方程为．11．某地球仪上北纬60°纬线长度为6πcm，则该地球仪的体积为cm3．12．若圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=1（a＞0）上总存在两个点到原点的距离为1，则a的取值范围是．二、选择题13．命题p：a≥1；命题q：关于x的实系数方程x2﹣2x+a=0有虚数解，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件14．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为S1、S2，则S1：S2=（）A．1：1 B．2：1 C．3：2 D．4：115．如图，在下列四个几何体中，它们的三视图（主视图、左视图、俯视图）中有且仅有两个相同，而另一个不同的几何体是（）A．（2）（3）（4） B．（1）（2）（3） C．（1）（3）（4） D．（1）（2）（4）16．如果函数y=|x|﹣2的图象与曲线C：x2+y2=λ恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（）A．{2}∪（4，+∞）B．（2，+∞）C．{2，4} D．（4，+∞）三、简答题17．直角坐标系中，已知动点P（x，y）到定点F（0，2）的距离与它到y=﹣1距离之差为1，（1）求点P的轨迹C（2）点A（3，1），P在曲线C上，求|PA|+|PF|的最小值，并求此时点P的坐标．18．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3，过A1、C1、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如下所示的几何体ABCD﹣A1C1D1．（1）若A1C1的中点为O1，求异面直线BO1与A1D1所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）求点D到平面A1BC1的距离d．19．复数z满足z+（1﹣2i）z+（1+2i）=3，求|z|的最大值．20．已知直线l：kx﹣y+1+2k=0，k∈R（1）直线过定点P，求点P坐标；（2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设三角形OAB的面积为4，求出直线l方程．21．椭圆C：过点M（2，0），且右焦点为F（1，0），过F的直线l与椭圆C相交于A、B两点．设点P（4，3），记PA、PB的斜率分别为k1和k2．（1）求椭圆C的方程；（2）如果直线l的斜率等于﹣1，求出k1•k2的值；（3）探讨k1+k2是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出k1+k2的取值范围．2016-2017学年上海市师大二附中高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为 2 ．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】直接利用抛物线的性质求解即可．【解答】解：抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为：p=2．故答案为：2．2．方向向量为，且过点A（3，4）的直线的一般式方程为2x﹣y﹣2=0 ．【考点】IG：直线的一般式方程．【分析】根据点向式方程计算即可【解答】解：方向向量为，且过点A（3，4）的方程为=，即2x﹣y﹣2=0，故答案为：2x﹣y﹣2=0．3．若复数z满足，则= ．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算；A8：复数求模．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求值．【解答】解：∵==，∴．故答案为：．4．直线x+y﹣2=0和ax﹣y+1=0的夹角为，则a的值为2±．【考点】IV：两直线的夹角与到角问题．【分析】先求出两条直线的斜率，再利用两条直线的夹角公式求得a的值．【解答】解：直线x+y﹣2=0的斜率为﹣1，和ax﹣y+1=0的斜率为a，直线x+y﹣2=0和ax﹣y+1=0的夹角为，∴tan==||，求得a==2﹣，或a==2+，故答案为：2±．5．已知点（﹣4，0）是椭圆kx2+3ky2=1的一个焦点，则k= ．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆的焦点坐标，列出方程求解即可．【解答】解：点（﹣4，0）是椭圆kx2+3ky2=1的一个焦点，可得：，解得k=．故答案为：．6．如果实数x，y满足线性约束条件，则z=x﹣y+1的最小值等于﹣2 ．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线y=﹣x可得当直线经过点A（﹣2，1）时，z 取最小值，代值计算可得．【解答】解：作出线性约束条件，所对应的可行域（如图），变形目标函数可得y=x+1+z，平移直线y=x可知，当直线经过点A（﹣2，1）时，截距取最小值，z取最小值，代值计算可得z的最小值为z=﹣2﹣1+1=﹣2故答案为：﹣2．7．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为45°．【考点】MI：直线与平面所成的角；L3：棱锥的结构特征．【分析】先做出要求的线面角，把它放到一个直角三角形中，利用直角三角形中的边角关系求出此角．【解答】解：如图，四棱锥P﹣ABCD中，过P作PO⊥平面ABCD于O，连接AO，则AO是AP在底面ABCD上的射影．∴∠PAO即为所求线面角，∵AO=，PA=1，∴cos∠PAO==．∴∠PAO=45°，即所求线面角为45°．故答案为45°．8．参数方程（t为参数），化为一般方程为x+y﹣2=0 ．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】参数方程消去参数t，能求出其一般方程．【解答】解：∵参数方程（t为参数），∴消去参数t，得：x=1+（1﹣y），整理，得一般方程为：x+y﹣2=0．故答案为：x+y﹣2=0．9．以椭圆3x2+13y2=39的焦点为顶点，以为渐近线的双曲线方程为．【考点】KI：圆锥曲线的综合．【分析】求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的顶点坐标，结合双曲线的渐近线方程，求解即可．【解答】解：以椭圆3x2+13y2=39的焦点为（±，0），则双曲线的顶点（±，0），可得a=，以为渐近线的双曲线，可得b=，所求的双曲线方程为：．故答案为：．10．M是抛物线y=4x2+1上的一个动点，且点M是线段OP的中点（O为原点），P的轨迹方程为y=2x2+2 ．【考点】KK：圆锥曲线的轨迹问题．【分析】设出P的坐标，求出M的坐标，动点M在抛物线y=4x2+1上运动，点M满足抛物线方程，代入求解，即可得到P的轨迹方程．【解答】解：设P的坐标（x，y），由题意点M为线段OP的中点，可知M（，），动点M在抛物线y=4x2+1上运动，所以=4+1，所以y=2x2+2动点P的轨迹方程为：y=2x2+2．故答案为：y=2x2+2．11．某地球仪上北纬60°纬线长度为6πcm，则该地球仪的体积为288 cm3．【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】地球仪上北纬60°纬线的周长为6πcm，可求纬圆半径，然后求出地球仪的半径，再求体积．【解答】解：由题意：地球仪上北纬60°纬线的周长为6πcm，纬圆半径是：3cm，地球仪的半径是：6cm；地球仪的体积是：π×63=288cm3，故答案为：288π．12．若圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=1（a＞0）上总存在两个点到原点的距离为1，则a的取值范围是（0，）．【考点】JA：圆与圆的位置关系及其判定．【分析】转化题目，为两个圆的位置关系，通过圆心距与半径和与差的关系列出不等式求解即可．【解答】解：圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=1（a＞0）上总存在两个点到原点的距离为1，转化为：以原点为圆心1为半径的圆与已知圆相交，可得1﹣1＜＜1+1，可得0＜2，即a∈（0，）．故答案为：（0，）二、选择题13．命题p：a≥1；命题q：关于x的实系数方程x2﹣2x+a=0有虚数解，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据复数的有关性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：若关于x的实系数方程x2﹣2x+a=0有虚数解，则判别式△＜0，即8﹣4a＜0，解得a＞2，∴p是q的必要不充分条件，故选：B14．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为S1、S2，则S1：S2=（）A．1：1 B．2：1 C．3：2 D．4：1【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】根据圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设为球的半径为1，结合圆柱的表面积的公式以及球的表面积即可得到答案．【解答】解：由题意可得：圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设球的半径为1，所以等边圆柱的表面积为：S1=6π，球的表面积为：S2=4π．所以圆柱的表面积与球的表面积之比为S1：S2=3：2．故选C．15．如图，在下列四个几何体中，它们的三视图（主视图、左视图、俯视图）中有且仅有两个相同，而另一个不同的几何体是（）A．（2）（3）（4） B．（1）（2）（3） C．（1）（3）（4） D．（1）（2）（4）【考点】L7：简单空间图形的三视图．【分析】主视图、左视图、俯视图中有且仅有两个相同，需要看出四个图形的三视图，圆柱的侧视图与主视图一样，圆锥的侧视图与主视图一样，四棱柱侧视图与主视图一样，得到结果．【解答】解：要找三视图中有且仅有两个相同，而另一个不同的几何体，需要看出所给的四个几何体的三视图，正方体的三视图都是正方形，都相同，不合题意，圆柱的侧视图与主视图一样，符合题意，圆锥的侧视图与主视图一样，符合题意，四棱柱侧视图与主视图一样，符合题意，故符合题意的有（2）（3）（4）三个，故选A．16．如果函数y=|x|﹣2的图象与曲线C：x2+y2=λ恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（）A．{2}∪（4，+∞）B．（2，+∞）C．{2，4} D．（4，+∞）【考点】J8：直线与圆相交的性质．【分析】根据题意画出函数y=|x|﹣2与曲线C：x2+y2=λ的图象，抓住两个关键点，当圆O 与两射线相切时，两函数图象恰好有两个不同的公共点，过O作OC⊥AB，由三角形AOB为等腰直角三角形，利用三线合一得到OC为斜边AB的一半，利用勾股定理求出斜边，即可求出OC的长，平方即可确定出此时λ的值；当圆O半径为2时，两函数图象有3个公共点，半径大于2时，恰好有2个公共点，即半径大于2时，满足题意，求出此时λ的范围，即可确定出所有满足题意λ的范围．【解答】解：根据题意画出函数y=|x|﹣2与曲线C：x2+y2=λ的图象，如图所示，当AB与圆O相切时两函数图象恰好有两个不同的公共点，过O作OC⊥AB，∵OA=OB=2，∠AOB=90°，∴根据勾股定理得：AB=2，∴OC=AB=，此时λ=OC2=2；当圆O半径大于2，即λ＞4时，两函数图象恰好有两个不同的公共点，综上，实数λ的取值范围是{2}∪（4，+∞）．故选A三、简答题17．直角坐标系中，已知动点P（x，y）到定点F（0，2）的距离与它到y=﹣1距离之差为1，（1）求点P的轨迹C（2）点A（3，1），P在曲线C上，求|PA|+|PF|的最小值，并求此时点P的坐标．【考点】IW：与直线有关的动点轨迹方程．【分析】（1）设P（x，y），由两点间距离公式和点到直线的距离公式列出方程，由此能求出曲线C的方程；（2）要使|PA|+|PF|的值最小，则三点P，A，F三点共线，此时点P为直线AF与抛物线的交点即可【解答】解：（1）（1）设P（x，y），∵动点P（x，y）到定点F（0，2）的距离与它到y=﹣1距离之差为1，∴，整理得x2=8y∴点P的轨迹C是以原点为顶点，对称轴为y轴的抛物线．（2）如图，要使|PA|+|PF|的值最小，则三点P，A，F三点共线，此时点P为直线AF与抛物线的交点．直线AF方程：x+3y﹣6=0由得P（，）|PA|+|PF|的最小值为．18．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3，过A1、C1、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如下所示的几何体ABCD﹣A1C1D1．（1）若A1C1的中点为O1，求异面直线BO1与A1D1所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）求点D到平面A1BC1的距离d．【考点】MK：点、线、面间的距离计算；LM：异面直线及其所成的角．【分析】（1）建立空间直角坐标系．求出相关点的坐标，求出．利用空间向量的连结求解异面直线BO1与A1D1所成的角．（2）求出平面ABD的法向量．通过空间向量的距离公式求解即可．【解答】（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分，第2小题满分．（理科）解：（1）按如图所示建立空间直角坐标系．由题知，可得点D（0，0，0）、B（2，2，0）、D1（0，0，3）、A1（2，0，3）、C1（0，2，3）．由O1是A1C1中点，可得O1（1，1，3）．于是，．设异面直线BO1与A1D1所成的角为θ，则．因此，异面直线BO1与A1D1所成的角为．（2）设是平面ABD的法向量．∴又，∴取z=2，可得即平面BA1C1的一个法向量是．∴=．19．复数z满足z+（1﹣2i）z+（1+2i）=3，求|z|的最大值．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】设z=a+bi（a，b∈R），则，代入z+（1﹣2i）z+（1+2i）=3，得（a+1）2+（b+2）2=8．则z在复平面内所对应点的轨迹为以（﹣1，﹣2）为圆心，以为半径的圆．数形结合求|z|的最大值．【解答】解：设z=a+bi（a，b∈R），则，代入z+（1﹣2i）z+（1+2i）=3，得（a2+b2+2a+4b）+（b﹣2a﹣b+2a）i=3，即a2+b2+2a+4b=3，化为（a+1）2+（b+2）2=8．∴z在复平面内所对应点的轨迹为以（﹣1，﹣2）为圆心，以为半径的圆．∴|z|=，则|z|的最大值为．20．已知直线l：kx﹣y+1+2k=0，k∈R（1）直线过定点P，求点P坐标；（2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设三角形OAB的面积为4，求出直线l方程．【考点】IO：过两条直线交点的直线系方程．【分析】（1）由kx﹣y+1+2k=0，可得k（x+2）+（1﹣y）=0可得直线l：kx﹣y+1+2k=0必过直线x+2=0，1﹣y=0的交点（﹣2，1）（2）令y=0，得A（﹣）；令x=0，得B（0，1+2k）三角形OAB的面积为s===4，解得k【解答】解：（1）由kx﹣y+1+2k=0，可得k（x+2）+（1﹣y）=0∴直线l：kx﹣y+1+2k=0必过直线x+2=0，1﹣y=0的交点（﹣2，1）∴P（﹣2，1）．（2）∵直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，∴k＞0令y=0，得A（﹣）；令x=0，得B（0，1+2k）三角形OAB的面积为s===4解得k=∴直线l方程为：x﹣2y+4=021．椭圆C：过点M（2，0），且右焦点为F（1，0），过F的直线l与椭圆C相交于A、B两点．设点P（4，3），记PA、PB的斜率分别为k1和k2．（1）求椭圆C的方程；（2）如果直线l的斜率等于﹣1，求出k1•k2的值；（3）探讨k1+k2是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出k1+k2的取值范围．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）利用已知条件求出b，即可求解椭圆方程．（2）直线l：y=﹣x+1，设AB坐标，联立利用韦达定理以及斜率公式求解即可．（3）当直线AB的斜率不存在时，不妨设A，B，求出斜率，即可；当直线AB的斜率存在时，设其为k，求直线AB：y=k（x﹣1），联立直线与椭圆的方程组，利用韦达定理以及斜率公式化简求解即可．【解答】解：（1）∵a=2，又c=1，∴，∴椭圆方程为…（2）直线l：y=﹣x+1，设A（x1，y1）B（x2，y2），由消y得7x2﹣8x﹣8=0，有，．……（3）当直线AB的斜率不存在时，不妨设A（1，），B（1，﹣），则，，故k1+k2=2．…当直线AB的斜率存在时，设其为k，则直线AB：y=k（x﹣1），设A（x1，y1）B（x2，y2），由消y得（4k2+3）x2﹣8k2x+（4k2﹣12）=0，有，．…=…。