2020学年上海市格致中学高二下学期期中数学试题(解析版)

2020-2021学年上海中学高二下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共6小题，共18.0分）1.设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列四个命题中假命题的是()A. 若则B. 若则C. 若则D. 若，则2.如图，设平面α∩平面β=EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别为B，D，如果再增加一个条件，就可以推出BD⊥EF.现有：①AC⊥β；②AC//EF；③AC与CD在β内的射影在同一条直线上．那么上述三个条件中能成为增加条件的个数是()A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个3.如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，AB=AC，E是BC的中点，则下列叙述不正确的是()A. AC//平面A1B1C1B. AE⊥B1C1C. AC⊥平面ABB1AD. AE⊥EB14.已知点B、C在二面角α−l−β的棱l上，A∈α，D∈β，AB⊥l，CD⊥l，AB=2，BC=1，CD=3，若AD的长为2√5，则二面角α−l−β的大小为()A. 150°B. 120°C. 60°D. 30°5.已知向量a⃗=(x,−1)，b⃗ =(y,2)，且a⃗⊥b⃗ ，则|a⃗+b⃗ |的最小值为()A. 0B. 1C. 2D. 36.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的体积为16√2，点P在正方形A1B1C1D1上，且A1，C到P的距离分别为2，2√3，则直线CP与平面BDD1B1，所成角的正切值为()A. √22B. √33C. 12D. 13二、单空题（本大题共12小题，共36.0分）7.如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E(E在A，O之间)，EF⊥BC，垂足为F.若，则AB=6，CF⋅CB=5，则AE=______．8.在三棱柱中侧棱垂直于底面，，，，且三棱柱的体积为3，则三棱柱的外接球的表面积为．9.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1M=AN=√2a4，则MN与A1B1所成的角为______．10.如图，在一个60°的二面角的棱上，有两个点A、B，AC，BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且AB=2，AC=3，BD=4，则CD的长为______．11.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图)，，，，则这个平面图形的面积是;12.抛物线上一点到直线的距离最短的点的坐标是()A. (1,1)B. ()C.D. (2,4)13.如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E是棱CC1上的一个动点，平面BED1交棱AA1于点F.给出下列四个结论：①存在点E，使得A1C1//平面BED1F；②存在点E，使得B1D⊥平面BED1F；③对于任意的点E，平面A1C1D⊥平面BED1F；④对于任意的点E，四棱锥B1−BED1F的体积均不变．其中，所有正确结论的序号是______．14.如图，矩形ABCD中，AB=2AD=2，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE，若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻转过程中，对于下列说法：①|CA|≥|CA1|.②若点A1在平面ABCD的射影为O，则点O在∠BAD的平分线上．③一定存在某个位置，使DE⊥AC1④若|CA1|=√3，则平面A1DE⊥平面ABCD其中正确的说法是______ ．15.DB1⊥面ACD1．D⊥BC1；三棱锥A−1P的积不变；A1P//面AD；其正确的命题的号是______ ．16.在四面体A−BCD中，AB=AC=AD=BC=BD=2，若四面体A−BCD的外接球的体积V=8√2π，则CD=______．317.四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，AB=2，PA=2√3，3 E为BC中点，F在棱PD上，则当EF与平面PAD所成角最大时，点B到平面AEF的距离为______ ．18.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，下面结论中正确的是________(把正确结论的序号都填上)．①BD//平面CB1D1；②AC1⊥平面CB1D1；③AC1与底面ABCD所成角的正切值是．三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）19.在图1中，△ABC和△ACD都是直角三角形，AB=BC=√6，∠CAD=30°，∠ACD=90°.将△ABC沿AC折起，使得AB⊥BD，如图2．(1)证明：平面ABC⊥平面ACD；(2)若E，F分别为AD，CD的中点，求二面角B−EF−A的大小．20.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，E为PD上的动点．(1)确定E的位置，使PB//平面AEC；(2)设PA=AB=1，且在第(1)问的结论下，求平面AEC与平面ADE夹角的余弦值．21.如图，在四棱锥P−ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB=1，PA=2．(Ⅰ)证明：直线CE//平面PAB；(Ⅱ)求三棱锥E−PAC的体积．22.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=BC=CC1=2，AB⊥BC，点M，N分别是CC1，B1C的中点，G是棱AB上的动点．(Ⅰ)求证：B1C⊥平面BNG；(Ⅱ)若G点是AB的中点，求证：CG//平面AB1M；(Ⅲ)求二面角M−AB1−B的余弦值．【答案与解析】1.答案：C解析：试题分析：设m∩α=O，过O与直线n的平面β，利用线面平行的性质得线线平行，再由线线平行得线线垂直，来判断A是否正确；根据平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面，来判断B是否正确；借助图形，若l//α，α⊥β，直线l与平面β的位置关系不确定，由此可判断C是否正确；根据平行平面中的一个垂直于一条直线，另一个也垂直于这条直线，由此判断D是否正确．考点：空间的线面的位置关系．2.答案：C解析：解：①因为AC⊥β，且EF⊂β，所以AC⊥EF．又AB⊥α，且EF⊂α，所以EF⊥AB．因为AC∩AB=A，AC⊂平面ACBD，AB⊂平面ACBD，所以EF⊥平面ACBD，因为BD⊂平面ACBD，所以BD⊥EF．所以①可以成为增加的条件．②若AC//EF，则AC//平面α，所以BD//AC，所以BD//EF．所以②不可以成为增加的条件．AC与α，β所成的角相等，AC与EF不一定，可以是相交、可以是平行、也可能垂直，所以EF与平面ACDB不垂直，所以就推不出EF与BD垂直．所以②不可以成为增加的条件．③AC与CD在β内的射影在同一条直线上因为CD⊥α且EF⊂α所以EF⊥CD．所以EF与CD在β内的射影垂直，AC与CD在β内的射影在同一条直线上所以EF⊥AC因为AC∩CD=C，AC⊂平面ACBD，CD⊂平面ACBD，所以EF⊥平面ACBD，因为BD⊂平面ACBD所以BD⊥EF．所以③可以成为增加的条件．故选：C ．利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．本题考查能成为增加条件的命题个数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．3.答案：C解析：解：三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，由AC//A 1C 1，AC ⊄平面A 1B 1C 1，可得AC//A 1B 1C 1，故A 正确；由AB =AC ，E 是BC 的中点，可得AE ⊥BC ，BC//B 1C 1，即有AE ⊥B 1C 1，故B 正确； 由侧棱AA 1⊥底面A 1B 1C 1，可得AC ⊥AA 1，但AC 不一定垂直于AB ，可得AC 不一定垂直于平面ABB 1A 1，故C 错误；由AE ⊥BC ，AE ⊥BB 1，可得AE ⊥平面BB 1C 1C ，则AE ⊥EB 1，故D 正确．故选：C ．由线面平行的判定定理可判断A ；由线线垂直的判定可判断B ；由线面垂直的判定定理可判断C ；由线面垂直的判定定理和性质可判断D ．本题考查空间线线、线面的位置关系，考查平行和垂直的判定和性质，考查空间想象能力和推理能力，属于基础题．4.答案：B解析：解：由条件，知AB ⊥l ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，CD ⊥l ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∵AB =2，BC =1，CD =3，AD =2√5，∴|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗=4+1+9+2×2×3×cos <AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ >=20， ∴cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ >=12． ∴<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ >=60°，由图可知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 所成角与二面角α−l −β的平面角互补，∴二面角的大小为120°．故选：B ．将向量AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 转化成AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后由等式两边同时平方即可求出cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ >，进一步求得二面角α−l −β的大小．本题考查了二面角的计算，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题． 5.答案：D解析：解：由题意，因为向量a ⃗ =(x,−1)，b ⃗ =(y,2)，且a ⃗ ⊥b ⃗ ，所以xy =2，所以|a ⃗ +b ⃗ |2=(x +y)2+1=x 2+y 2+2xy +1≥4xy +1=9，所以|a ⃗ +b⃗ |≥3； 故选D ．首先求出xy ，然后利用x ，y 表示|a ⃗ +b ⃗ |，利用基本不等式求最小值．本题考查了向量的坐标运算以及利用基本不等式求最值．6.答案：A解析：本题考查了空间距离与线面角的计算，判断P 点位置是关键，属于中档题．根据勾股定理计算C 1P ，结合A 1P 得出P 为A 1C 1的中点，再构造直角三角形计算线面角即可． 解：设正方体的边长为a ，则a 3=16√2，故a =2√2，∴A 1C 1=√2a =4，∵CP =√CC 12+C 1P 2=2√3，∴C 1P =2，又A 1P =2，∴P 为线段A 1C 1的中点，设AC ∩BD =O ，则OC ⊥平面BDD 1B 1，故∠CPO 为直线CP 与平面BDD 1B 1所成角，∴tan∠CPO=OCOP =22√2=√22．故选：A．7.答案：1解析：解：在Rt△BCE中，EC2=CF⋅CB=5，∴EC2=5．∵AB⊥CD，∴CE=ED．由相交弦定理可得AE⋅EB=CE⋅ED=CE2=5．∴(3−OE)⋅(3+OE)=5，解得OE=2，∴AE=3−OE=1．故答案为1．在Rt△BEC中，由射影定理可得EC2=CF⋅CB，由垂径定理可得CE=ED，再利用相交弦定理即可求出AE．熟练掌握射影定理、垂径定理、相交弦定理是解题的关键．8.答案：解析：解：该直三棱柱的底面是直角三角形，另一直角边长为，斜边长为．设三棱柱高为，则有．取三棱柱上下底面直角三角形斜边的中点并连接，由平面几何的性质可知，斜边连线中点即为外接球球心，球半径为，所以，外接球的表面积为．9.答案：π2解析：本题考查异面直线及其所成角，训练了利用空间向量求解空间角，是基础题．以C1为坐标原点，分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求出。

高二（下）期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）A. B. C. 2π D. 4π2.如图，在大小为45°的二面角A-EF-D中，四边形ABFE与CDEF都是边长为1的正方形，则B与D两点间的距离是（ ）A. B. C.1 D.3.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ）A. B. C. D.4.在正方体ABCD-A′B′C′D′中，若点P（异于点B）是棱上一点，则满足BP与AC′所成的角为45°的点P的个数为（ ）A. 0B. 3C. 4D. 6二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.如果一条直线与两条直线都相交，这三条直线共可确定______个平面．6.已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于______．7.若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=______．8.如图，以长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为（4，3，2），则的坐标是______．9.若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为______（结果用反三角函数值表示）．10.已知圆柱Ω的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，A，B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图，若直线OA与BC所成角的大小为，则=______．11.已知△ABC三个顶点到平面α的距离分别是3，3，6，则其重心到平面α的距离为______（写出所有可能值）12.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则的取值范围是______．13.如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去△AOB，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A、（B）、C、D、O为顶点的四面体的体积为______．14.某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则3x+4y的最大值为______15.已知A、B、C、P为半径为R的球面上的四点，其中AB、AC、BC间的球面距离分别为、、，若，其中O为球心，则x+y+z的最大值是______16.如图，在四面体ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，过EF任作一个平面α分别与直线BC，AD相交于点G，H，则下列结论正确的是______．①对于任意的平面α，都有直线GF，EH，BD相交于同一点；②存在一个平面α0，使得点G在线段BC上，点H在线段AD的延长线上；③对于任意的平面α，都有S△EFG=S△EFH；④对于任意的平面α，当G，H在线段BC，AD上时，几何体AC-EGFH的体积是一个定值．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.现在四个正四棱柱形容器，1号容器的底面边长是a，高是b；2号容器的底面边长是b，高是a；3号容器的底面边长是a，高是a；4号容器的底面边长是b，高是b ．假设a≠b，问是否存在一种必胜的4选2的方案（与a、b的大小无关），使选中的两个容器的容积之和大于余下的两个容器的容积之和？无论是否存在必胜的方案，都要说明理由18.如图，已知圆锥底面半径r=20cm，O为底面圆圆心，点Q为半圆弧的中点，点P为母线SA的中点，PQ与SO所成的角为arctan2，求：（1）圆锥的侧面积；（2）P，Q两点在圆锥侧面上的最短距离．19.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠DAB为直角，AB∥CD，AD＝CD＝2AB＝2PA＝2，E、F分别为PC、CD的中点．（1）试证：CD⊥平面BEF；（2）求BC与平面BEF所成角的大小；（3）求三棱锥P﹣DBE的体积．20.如图，P-ABC是底面边长为1的正三棱锥，D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点，截面DEF∥底面ABC，且棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）．（1）证明：P-ABC为正四面体；（2）若，求二面角D-BC-A的大小（结果用反三角函数值表示）；（3）设棱台DEF-ABC的体积为V，是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台DEF-ABC有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由（注：用平行于底的截面截棱锥，该截面与底面之间的部分称为棱台，本题中棱台的体积等于棱锥P-ABC的体积减去棱锥P-DEF的体积）．21.火电厂、核电站的循环水自然通风冷却塔是一种大型薄壳型建筑物．建在水源不十分充分的地区的电厂，为了节约用水，需建造一个循环冷却水系统，以使得冷却器中排出的热水在其中冷却后可重复使用，大型电厂采用的冷却构筑物多为双曲线型冷却塔．此类冷却塔多用于内陆缺水电站，其高度一般为75～150米，底边直径65～120米．双曲线型冷却塔比水池式冷却构筑物占地面积小，布置紧凑，水量损失小，且冷却效果不受风力影响；它比机力通风冷却塔维护简便，节约电能；但体形高大，施工复杂，造价较高（以上知识来自百度，下面题设条件只是为了适合高中知识水平，其中不符合实际处请忽略．图1）（1）图2为一座高100米的双曲线冷却塔外壳的简化三视图（忽略壁厚），其底面直径大于上底直径．已知其外壳主视图与左视图中的曲线均为双曲线，高度为100m，俯视图为三个同心圆，其半径分别为40m，m，30m，试根据上述尺寸计算主视图中该双曲线的标准方程（m为长度单位米）．（2）试利用课本中推导球体积的方法，利用圆柱和一个倒放的圆锥，计算封闭曲线：，y=0，y=h，绕y轴旋转形成的旋转体的体积为______（用a，b，h表示）（用积分计算不得分，图3、图4）现已知双曲线冷却塔是一个薄壳结构，为计算方便设其内壁所在曲线也为双曲线，其壁最厚为0.4m（底部），最薄处厚度为0.3m（喉部，即左右顶点处）．试计算该冷却塔内壳所在的双曲线标准方程是______，并计算本题中的双曲线冷却塔的建筑体积（内外壳之间）大约是______m3（计算时π取3.14159，保留到个位即可）（3）冷却塔体型巨大，造价相应高昂，本题只考虑地面以上部分的施工费用（建筑人工和辅助机械）的计算，钢筋土石等建筑材料费用和和其它设备等施工费用不在本题计算范围内．超高建筑的施工（含人工辅助机械等）费用随着高度的增加而增加．现已知：距离地面高度30米（含30米）内的建筑，每立方米的施工费用平均为：400元/立方米；30米到40米（含40米）每立方米的施工费用为800元/立方米；40米以上，平均高度每增加1米，每立方米的施工费用增加100元．试计算建造本题中冷却塔的施工费用（精确到万元）答案和解析1.【答案】B【解析】解：如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体．V=2×S•h=2×πR2•h=2×π×（）2×=．故选：B．画出图形，根据圆锥的体积公式直接计算即可．本题考查圆锥的体积公式，考查空间想象能力以及计算能力．是基础题．2.【答案】D【解析】解：∵四边形ABFE与CDEF都是边长为1的正方形，∴==0，又大小为45°的二面角A-EF-D中，∴•=1×1×cos（180°-45°）=-．∵=，∴=+++=3-，∴=．故选：D．由=，利用数量积运算性质展开即可得出．本题考查了数量积运算性质、向量的多边形法则、空间角，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．1的正方形，则B与C两点间的距离是（ ）改为则B与D两点间的距离是（？？？？3.【答案】B【解析】解：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则L=2πr，∴=（2πr）2h，∴π=．故选：B．根据近似公式V≈L2h，建立方程，即可求得结论．本题考查圆锥体积公式，考查学生的阅读理解能力，属于基础题．【解析】解：建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设棱长AB=1，B（1，0，1），C（1，1，1）．①在Rt△AA′C中，tan∠AA′C==，因此∠AA′C≠45°．同理A′B′，A′D′与A′C所成的角都为arctan°．故当点P位于（分别与上述棱平行）棱BB′，BA，BC上时，与A′C所成的角都为arctan°，不满足条件；②当点P位于棱AD上时，设P（0，y，1），（0≤y≤1），则=（-1，y，0），=（1，1，1）．若满足BP与AC′所成的角为45°，则＞|==，化为y2+4y+1=0，无正数解，舍去；同理，当点P位于棱B′C上时，也不符合条件；③当点P位于棱A′D′上时，设P（0，y，0），（0≤y≤1），则=（-1，y，-1），=（1，1，1）．若满足BP与AC'所成的角为45°，则＞|==，化为y2+8y-2=0，∵0≤y≤1，解得y=3-4，满足条件，此时点P．④同理可求得棱A′B′上一点P，棱A′A上一点P．而其它棱上没有满足条件的点P．综上可知：满足条件的点P有且只有3个．故选：B．通过建立空间直角坐标系，通过分类讨论利用异面直线的方向向量所成的夹角即可找出所有满足条件的点P的个数．熟练掌握通过建立空间直角坐标系，通过分类讨论利用异面直线的方向向量所成的夹角得到异面直线所成的角是解题的关键．5.【答案】1或2或3【解析】解：如果三条直线都交于一点，且三线不共面，则每两条直线都确定一个平面，共确定3个平面；如果三条直线两两相交，交于不同的三点，则只确定1个平面；如果两条直线异面，另一条与其均相交，则只确定2个平面；如果两条直线平行，另一条与其均相交，则只确定1个平面．综上，这三条直线共可确定1或2或3个平面．故答案为：1或2或3．讨论这两条直线的位置情况，从而得出三条直线所确定的平面数．本题考查了由直线确定平面的应用问题，是平面的基本性质与推论的应用问题，是基础题目．【解析】解：球的体积为36π，设球的半径为R，可得πR3=36π，可得R=3，该球主视图为半径为3的圆，可得面积为πR2=9π．故答案为：9π．由球的体积公式，可得半径R=3，再由主视图为圆，可得面积．本题考查球的体积公式，以及主视图的形状和面积求法，考查运算能力，属于基础题．7.【答案】4【解析】解：由题意可得，正棱柱的底面是变长等于a的等边三角形，面积为•a•a•sin60°，正棱柱的高为a，∴（•a•a•sin60°）•a=16，∴a=4，故答案为：4．由题意可得（•a•a•sin60°）•a=16，由此求得a的值．本题主要考查正棱柱的定义以及体积公式，属于基础题．8.【答案】（-4，3，2）【解析】解：如图，以长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，∵的坐标为（4，3，2），∴A（4，0，0），C1（0，3，2），∴．故答案为：（-4，3，2）．由的坐标为（4，3，2），分别求出A和C1的坐标，由此能求出结果．本题考查空间向量的坐标的求法，考查空间直角坐标系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．9.【答案】arccos【解析】解：设圆锥母线与轴所成角为θ，∵圆锥的侧面积是底面积的3倍，∴==3，即圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，故圆锥的轴截面如下图所示：则cosθ==，∴θ=arccos，故答案为：arccos由已知中圆锥的侧面积是底面积的3倍，可得圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，在轴截面中，求出母线与底面所成角的余弦值，进而可得母线与轴所成角．本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知得到圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，是解答的关键．10.【答案】【解析】解：如图，过A作与BC平行的母线AD，连接OD，则∠OAD为直线OA与BC所成的角，大小为．在直角三角形ODA中，因为，所以．则．故答案为过A作与BC平行的母线AD，由异面直线所成角的概念得到∠OAD为．在直角三角形ODA中，直接由得到答案．本题考查了异面直线所成的角，考查了直角三角形的解法，是基础题．11.【答案】0，2，4【解析】解：如图，设A、B、C在平面α上的射影分别为A′、B′、C′，△ABC的重心为G，连接CG交AB于中点E，又设E、G在平面α上的射影分别为E′、G′，则E′∈A′B'，G′∈C′E'，设AA'=BB'=3，CC'=6，EE'=3，由CG=2GE，在直角梯形EE′C′C中可求得GG′=4；当AB和C在平面α的两侧，由于EE'：CC'=1：2，可得GG′=0；当AB垂直于平面α，由中位线定理可得GG'=2．故答案为：0，2，4．根据题意画出图形，设A、B、C在平面α上的射影分别为A′、B′、C′，△ABC的重心为G，连接CG交AB于中点E，又设E、G在平面α上的射影分别为E′、G′，利用平面图形：直角梯形EE′C′C中数据可求得△ABC的重心到平面α的距离GG′即可．本题考查棱锥的结构特征、三角形的重心，考查计算能力，空间想象能力，是基础题，三角形重心是三角形三边中线的交点．重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．12.【答案】[0，1]【解析】【分析】本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量的数量积公式，属于中档题．建立空间直角坐标系，求出有关点的坐标可得、、、的坐标，再由=1-λ∈[0，1]，可得的取值范围．【解答】解：以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴，以所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系．则D（0，0，0）、C（0，1，0）、A（1，0，0）、B（1，1，0）、D1（0，0，1）．∴=（0，1，0）、（-1，-1，1）．∵点P在线段BD1上运动，∴=λ•=（-λ，-λ，λ），且0≤λ≤1．∴=+=+=（-λ，1-λ，λ），∴=1-λ∈[0，1]，故答案为[0，1]．13.【答案】【解析】解：翻折后的几何体为底面边长为4，侧棱长为2的正三棱锥，高为所以该四面体的体积为=．故答案为：根据题意，求出翻折后的几何体为底面边长，侧棱长，高，即可求出棱锥的体积．本题考查棱锥的体积，考查计算能力，是基础题．14.【答案】【解析】解：根据几何体得三视图转换为几何体为：所以：利用三视图的关系，构造成四棱锥体，所以：x2=1+4-y2，整理得：x2+y2=5，故：（3x+4y）2≤（32+42）（x2+y2），整理得：．故答案为：5首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的边长关系式和不等式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，不等式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．15.【答案】【解析】解：依题意，OA⊥OC，OB⊥OC，又OA∩OB=O，所以OC⊥平面OAB，以OA，OC所在直线分别为x轴，y轴，O为坐标原点立空间坐标系，则=（R，0，0），=（0，R，0）因为OA与OB夹角为，所以不妨设=（R，R，0），如图，则=（（x+）R，R，R），因为P在球O上，所以||=R，所以+y2R2+=R2，即+y2+=1，所以由柯西不等式[12+12+][+y2+]≥1×（x+）+1×y+×=x+y+z，解得x+y+z≤=．故答案为：．以OA，OC所在直线分别为x轴，y轴建立空间坐标系，求出，，的坐标，根据P在球O上，得到||的长度为R，再结合柯西不等式即可得到结论．本题考查了球面距离，空间向量的坐标运算，向量的模，柯西不等式等知识，属于中档题．16.【答案】③，④【解析】解：①取AD的中点H，BC的中点G，则EGFH在一个平面内，此时直线GF∥EH∥BD，因此不正确；②不存在一个平面α0，使得点G在线段BC上，点H在线段AD的延长线上；③分别取AC、BD的中点M、N，则BC∥平面MENF，AD∥平面MENF，且AD与BC 到平面MENF的距离相等，因此对于任意的平面α，都有S△EFG=S△EFH．④对于任意的平面α，当G，H在线段BC，AD上时，可以证明几何体AC-EGFH的体积是四面体ABCD体积的一半，因此是一个定值．综上可知：只有③④正确．故答案为：③④．①取AD的中点H，BC的中点G，则EGFH在一个平面内，此时直线GF∥EH∥BD；②不存在一个平面α0，使得点G在线段BC上，点H在线段AD的延长线上；③分别取AC、BD的中点M、N，则BC∥平面MENF，AD∥平面MENF，且AD与BC 到平面MENF的距离相等，可得对于任意的平面α，都有S△EFG=S△EFH．④对于任意的平面α，当G，H在线段BC，AD上时，可以证明几何体AC-EGFH的体积是四面体ABCD体积的一半．本题考查了线面平行的判定与性质定理、三角形的中位线定理，考查了推理能力和计算能力，属于难题．17.【答案】解：存在一种必胜的4选2的方案（与a、b的大小无关），使选中的两个容器的容积之和大于余下的两个容器的容积之和．理由如下：若选中3号容器与4号容器，则V3+V4＞V1+V2，即a3+b3＞a2b+ab2（a≠b，a ，b＞0）．证明如下：a3+b3-（a2b+ab2）=（a+b）（a2-ab+b2）-ab（a+b）=（a+b）（a-b）2．∵a≠b，a，b＞0，∴（a+b）（a-b）2＞0．∴a3+b3＞a2b+ab2（a≠b，a，b＞0），即V3+V4＞V1+V2．因此存在必胜方案是：选中3号容器与4号容器．【解析】存在一种必胜的4选2的方案（与a、b的大小无关），使选中的两个容器的容积之和大于余下的两个容器的容积之和．理由如下：若选中3号容器与4号容器，则V3+V4＞V1+V2，即a3+b3＞a2b+ab2（a≠b，a，b＞0）．通过作差即可证明结论．本题考查了乘法公式、不等式的性质、作差法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（1）过点P作PH⊥底面圆O，交AC于H，连接HQ，∵圆锥底面半径r=20cm，O为底面圆圆心，点Q为半圆弧的中点，点P为母线SA的中点，∴PH=，OQ⊥AC，OH=10，可得：HQ==10，∵PH∥SO，∴∠HPQ是PQ与SO所成的角，∵PQ与SO所成的角为arctan2，∴tan∠HPQ==2，∴HQ=2PH=SO，解得SO=10，l=SA==30，∴圆锥的侧面积：S=πrl=π×20×30=600π（cm2）．（2）作圆锥的侧面展开图，线段PQ即为所求最短距离．由已知OQ⊥SO，OQ⊥SA，∴OQ⊥OA，故Q是弧AB的中点，即Q是扇形弧的点．因为扇形弧长即为圆锥底面周长4π，由（1）知SO=10，母线SA=30，从而扇形的中心角为，∴∠QSA=，在△QSA中，SP=15，由余弦定理得：PQ===5，P，Q两点在圆锥侧面上的最短距离5cm．【解析】（1）过点P作PH⊥底面圆O，交AC于H，连接HQ，求出HQ的值，找出PQ与SO所成的角，求得SO、SA的值，再计算圆锥的侧面积；（2）作圆锥的侧面展开图，找出所求的最短距离，利用余弦定理求出即可．本题考查了求圆锥的体积、多面体和旋转体表面上的最短距离问题，主要根据几何体的结构特征、直角三角形、题中的条件，求出锥体的母线长和高，进而求出对应的值，考查了分析和解决问题的能力．本题需注意最短距离的问题最后都要转化为平面上两点间的距离的问题．19.【答案】（1）证明：∵AB∥CD，CD=2AB，F为CD的中点，∴四边形ABFD为平行四边形，又∠DAB为直角，∴DC⊥BF，又PA⊥底面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD，∵DC⊥AD，故DC⊥平面PAD，∴DC⊥PD，在△PCD内，E、F分别是PC、CD的中点，EF∥PD，∴DC⊥EF．由此得DC⊥平面BEF；（2）解：由（1）知，DC⊥平面BEF，则∠CBF为BC与平面BEF所成角，在Rt△BFC中，BF=AD=2，CF=，∴tan，则BC与平面BEF所成角的大小为；（3）解：由（1）知，CD⊥平面PAD，则平面PDC⊥平面PAD，在Rt△PAD中，设A到PD的距离为h，则PA•AD=PD•h，得h=，∴A到平面PDC的距离为，即B到平面PDC的距离为，，∴V P-DBE=V B-PDE==．【解析】（1）先证四边形ABFD为平行四边形，又∠DAB为直角，可得DC⊥BF，再由已知证明DC⊥PD，可得DC⊥EF，由线面垂直的判定可得DC⊥平面BEF；（2）由（1）知，DC⊥平面BEF，则∠CBF为BC与平面BEF所成角，求解三角形即可；（3）由（1）知，CD⊥平面PAD，则平面PDC⊥平面PAD，在Rt△PAD中，设A到PD 的距离为h，利用等面积法求得h，得A到平面PDC的距离为，即B到平面PDC的距离为，再利用等体积法求三棱锥P-DBE的体积．本题考查直线与平面垂直的判定，考查线面角的求法，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．20.【答案】（1）证明：∵棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等，∴DE+EF+FD=PD+OE+PF．又∵截面DEF∥底面ABC，∴DE=EF=FD=PD=PE=PF，∠DPE=∠EPF=∠FPD=60°，∴P-ABC是正四面体；（2）解：取BC的中点M，连拉PM，DM．AM．∵BC⊥PM，BC⊥AM，∴BC⊥平面PAM，BC⊥DM，则∠DMA为二面角D-BC-A的平面角．设P-ABC的各棱长均为1，∴PM=AM=，由D是PA的中点，得sin∠DMA==，∴∠DMA=arcsin；（3）存在满足条件的直平行六面体．棱台DEF-ABC的棱长和为定值6，体积为V．设直平行六面体的棱长均为，底面相邻两边夹角为α，则该六面体棱长和为6，体积为sinα=V．∵正四面体P-ABC的体积是，∴0＜V＜，0＜8V＜1．可知α=arcsin（8V）故构造棱长均为，底面相邻两边夹角为arcsin（8V）的直平行六面体即满足要求．【解析】（1）利用已知条件证明DE=EF=FD=PD=PE=PF，∠DPE=∠EPF=∠FPD=60°，从而证明P-ABC为正四面体；（2）PD=DA=，取BC的中点M，连拉PM，DM．AM．说明∠DMA为二面角D-BC-A 的平面角．解三角形DMA求二面角D-BC-A的大小；（3）存在满足条件的直平行六面体．设直平行六面体的棱长均为，底面相邻两边夹角为α，利用该六面体棱长和为6，体积为sinα=V．求出α=arcsin（8V）底面相邻两边夹角为arcsin（8V）的直平行六面体即满足要求．本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，平面与平面平行的性质，二面角及其度量，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．21.【答案】πa2h+-=1 6728【解析】解：（1）建立平面直角坐标系，如图所示，设双曲线方程为-=1，则a=30，设B（，n），C（40，n-100），代入双曲线方程可得：-=1…①-=1…②由①②解得b=30，n=30．∴该双曲线的标准方程为；（2）把y=h代入双曲线方程可得x-=1，解得x2=（a2+），令圆柱的底面半径为a，高为h，倒置圆锥的底面半径为，高为h，则对任意的0≤h′≤h，双曲线旋转体的截面面积为π（a2+），圆柱的截面面积为πa2，设圆锥的截面半径为r，则，解得r=，∴圆锥的截面面积为π，∴双曲线旋转体的截面面积等于圆柱的截面面积与圆锥截面面积的和，∴双曲线旋转体的体积=圆柱的体积+圆锥的体积．∴V=πa2h+．设冷却塔的内壳双曲线方程为-=1，则a′=30-0.3=29.7，且点（39.6，-70）在双曲线上，把（39.6，-70）代入-=1可得b′2=6300．故冷却塔内壳所在双曲线方程为：．冷却塔的建筑体积为V=π•302•30++π•302•70+-π•29.72•30--π•29.72•70-=π•302•100-π•29.72•100+-=100π•（302-29.72）+=π•（302-29.72）（100+）=6728立方米．故答案为：πa 2h +，，6728．（3）冷却塔在地面以上30米以内的建筑体积为：π•302•70+-π•302•40--（π•29.72•70+-π•29.72•40-）=π•302•30+-π•29.72•30-=π•30•（302-29.72）+=π•（302-29.72）（30+）=2518.6立方米，冷却塔在地面30米以上和40米以下的部分体积为：π•302•40+-π•302•30--（π•29.72•40+-π•29.72•30-）=π•（302-29.72）（10+）=672.8立方米，冷却塔在地面40米以上的部分体积为2（π•302•30+-π•29.72•30-）=2π•（302-29.72）（30+）=3536.7立方米，∴建造本题中的冷却塔的费用为2518.6×400+672.8×800+3536.7×（800+100×60）≈1516万元（相差±2万之内都算正确）．（1）建立平面直角坐标系，设出双曲线的方程，应用待定系数法可得a ，b ，进而得到所求双曲线的标准方程；（2）应用圆柱和圆锥的体积公式，以及待定系数法，可得所求体积和双曲线的方程；（3）分别计算冷却塔在地面以上30米以内的建筑体积和冷却塔在地面30米以上和40米以下的部分体积，再计算建造本题中的冷却塔的费用．本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查双曲线在实际问题中的应用，考查方程思想和运算能力，属于难题．。

2019-2020学年上海市黄浦区格致中学高二下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共12.0分） 1. 下列命题中正确的个数是( )①∃x ∈R ，x ≤0；②至少有一个整数，它既不是合数也不是质数； ③∃x ∈{x|x 是无理数}，x 2是无理数．A. 0B. 1C. 2D. 32. 若α，β，γ为空间中的三个平面，则下列命题中是真命题的是( )A. 若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γB. 若α⊥β，β⊥γ，则α//γC. 若α//β，β⊥γ，则α//γD. 若α//β，β⊥γ，则α⊥γ3. 如图所示，平面内z 1，z 2对应的向量分别是OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|z 1+z 2|=( ) A. 2 B. 3 C. 2 √2 D. 3 √34. 6.用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的五位数的个数是( )A. 48B. 36C. 28D. 20二、单空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 已知x ，y ∈R ，若xi +2=y −i ，i 2=−1，则x −y = ______ ．6. 已知A(−1,1)，B(2,2)，若直线l 过点P(0,−1)，且与线段AB 相交，则直线l 的斜率取值范围是______ ．7. 复数1−i(1+i)2(i 是虚数单位)的虚部为 ．8. 已知圆x 2+y 2=4与圆x 2+y 2−6x +2y +6=0关于直线l 对称，则直线l 方程______ ． 9. 两平行直线2x +3y −8=0与2x +3y +18=0之间的距离d =______． 10. 平面区域{3y +2x −1≥0y +4x −7≤0y −x −2≤0的外接圆的方程是______．11. 已知F 1(−1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB|=3，则C 的方程为______．12. 若C n 2=C n−12+C n−13(n ≥2,n ∈N ∗)，则n =______．13. 为了了解某学校2000名高中男生的身体发育情况，抽查了该校100名高中男生的体重情况．根据所得数据画出样本的频率分布直方图，据此估计该校高中男生体重在70～78kg 的人数为______ ．14. 如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是______．15. 高三某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考，已知这位同学在物理、化学、政治科目考试中达A +的概率分别为78、34、512，这三门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得2个A +的概率是______．16. 观察下面两个推理过程及结论：(1)若锐角A ，B ，C 满足A +B +C =，以角A ，B ，C 分别为内角构造一个三角形，依据正弦定理和余弦定理可得到等式：(2)若锐角A ，B ，C 满足A +B +C =，则=，以分别为内角构造一个三角形，依据正弦定理和余弦定理可以得到的等式：则：若锐角A ，B ，C 满足A +B +C =，类比上面推理方法，可以得到一个等式是 ．三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）17. 已知(3√a −3a)n 的展开式的各项系数之和等于(43b −1√5b )5展开式中的常数项，求(3√a −3a)n 展开式中含a −1的项的二项式系数．18.过一个点可以有多少个平面？过两个点呢？过不共线的三个点呢？19.在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄．为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的种植方法共有多少种？20.设A，B为曲线C：x2=y上两点，A与B的横坐标之积为−1．(Ⅰ)试判断直线AB是否恒过定点，并说明理由；(Ⅱ)设曲线C在点A、B处的两条切线相交于点M，求点M的纵坐标．【答案与解析】1.答案：D解析：本题考查了简单命题真假的判定、实数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．①由实数的性质即可判断出正误．②取数1满足条件；③取x=π即可判断出正误．解：①∃x∈R，x≤0.正确；②至少有一个整数，它既不是合数也不是质数，正确，例如数1满足条件；③∃x∈{x|x是无理数}，x2是无理数，正确，例如x=π．综上可得：①②③都正确．故选：D．2.答案：D解析：解：根据空间面面关系可知，若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ或α//γ，故A、B均错误；当α//β，β⊥γ，则α⊥γ，故C错误，D正确，故选：D．利用空间面面关系逐一进行判断本题考查命题真假性的判断，涉及空间面面关系定理，属于基础题．3.答案：A解析：解：由图可知z1=−2−i，z2=i，所以z1+z2=−2，所以|z1+z2|=2；故选：A．由复数的几何意义得到z1，z2对应的复数，求出z1+z2的坐标再求模．本题考查了复数的几何意义以及复数运算求模；关键是由图形得到复数的坐标．4.答案：C解析：本题主要考查排列的内容.采用特殊元素优先法进行排列即可．解：如果0夹在1，3之间则有种排法，如果0不夹在1，3之间又不在首位则有种排法．∴一共有种排法．故选：C．5.答案：−3解析：解：因为x，y∈R，若xi+2=y−i，所以x=−1，y=2，x−y=−3．故答案为：−3．通过复数相等，求出x，y，然后求解x−y的值．本题考查复数的相等，复数的基本运算，考查计算能力．6.答案：k≤−2或k≥32解析：解：如图，∵k PA=1+1−1−0=−2，k PB=−1−20−2=32，∴直线l的斜率的取值范围是k≤−2或k≥32．故答案是：k≤−2或k≥32．直接由题意画出图形，求出P与AB端点连线的斜率得答案．本题考查了直线的斜率，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．7.答案：−12解析：试题分析：根据复数代数形式的乘法运算及除法运算，我们可将复数1−i(1+i)2(i是虚数单位)，化成a+bi(a,b∈R)的形式，进而得到其虚部．∵复数1−i(1+i)2=1−i2i=−12−12i故复数1−i(1+i)2(i是虚数单位)的虚部为−12故答案为：−128.答案：3x−y−5=0解析：解：由于两个圆的圆心分别为O(0,0)、C(3,−1)，由题意可得直线l即为两个圆的圆心连接成的线段的中垂线，求得CO的中点为(32,−12)，CO的斜率为−13，故直线l的斜率为3，利用点斜式求得直线l的方程为：y+12=3(x−32)，即3x−y−5=0，故答案为：3x−y−5=0．由题意可得直线l即为两个圆的圆心连接成的线段的中垂线，求得CO的中点为(32,−12)，CO的斜率为−13，可得直线l的斜率为3，利用点斜式求得直线l的方程．本题主要考查两个圆关于一条直线对称的性质，利用点斜式求直线的方程，属于中档题．9.答案：2√13解析：解：两平行直线2x+3y−8=0与2x+3y+18=0之间的距离d=√4+9=2√13，故答案为：2√13．由题意直接利用两条平行线间的距离公式，求得结果．本题主要考查两条平行线间的距离公式，属于基础题．10.答案：x2+y2−113x−95y−125=0解析：解：根据题意可知不等式组{3y +2x −1≥0y +4x −7≤0y −x −2≤0，表示的平面区域为△ABC ，联立{3y +2x −1=0y +4x −7=0⇒{x =2y =−1；{3y +2x −1=0y −x −2=0⇒{x =−1y =1；{y +4x −7=0y −x −2=0⇒{x =1y =3． 可得A(−1,1)，B(2,−1)，C(1,3)，故可设圆的方程为：x 2+y 2+Dx +Ey +F =0； 把A ，B ，C 三点坐标代入得：{D +3E +F +10=02D −E +F +5=0−D +E +F +2=0；解得：D =−113，E =−95，F =−125． 则所求圆的方程为：x 2+y 2−113x −95y −125=0；故答案为：x 2+y 2−113x −95y −125=0．根据已知和图形可知，不等式组围成的平面区域是一个三角形，分别求出外接圆的圆心和半径即可得到圆的方程．本题主要考查学生会根据二元一次不等式组得到一个平面区域，会根据条件求圆的方程．学生做题时应注意利用数形结合的思想解决数学问题．11.答案：x 24+y 23=1解析：解： 设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1，(a >b >0)∵可得c =√a 2−b 2=1，∴a 2−b 2=1，①AB 经过右焦点F 2且垂直于x 轴， 且|AB|=3， A(1,32)，(1,−32)， 代入方程得出：1a2+(32)2b 2=1，②联合①②得出a 2=4，b 2=3，∴椭圆C 的方程为：x 24+y 23=1，故答案为：x 24+y 23=1 设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1，(a >b >0)，根据题目条件得出a 2−b 2=1，①，1a2+(32)2b 2=1，②由①②联合求解即可．本题考察了椭圆的几何性质，方程的求解，属于中档题，关键是运用待定系数法求解，列出方程组即可．12.答案：5解析：解：由题意可得，C n 2=C n−12+C n−13=C n 3，即C n 2=C n3，从而n =2+3=5． 故答案为5．由题意以及组合数的性质可得C n 2=C n−12+C n−13=C n3，可以求得n =5． 本题主要考查组合数的性质，正确运用组合数的性质是解题的关键，属于基础题．13.答案：240解析：本题考查了统计中的频率分布直方图知识，解决频率分布直方图有关的问题，一定要注意频率分布直方图中的纵坐标是，求某范围内的频率应该等于此范围内的纵坐标的和乘以组距．属于基础题． 解：∵每组的频率等于该组相应的小矩形的面积，即样本的频率分布直方图的纵坐标乘以组距， ∴由频率分布直方图得到体重在70～78kg 的男生的频率为(0.02+0.01)×4=0.12， 又∵频数之比等于频率之比，设该校高中男生体重在70～78kg 的人数为x 人， ∴0.121=x2000，解得，x =240，∴该校高中男生体重在70～78kg 的人数为240人． 故答案为240．14.答案：(0,1)解析：解：根据题意，若方程x 2+ky 2=2即x 22+y 22k=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则有2k >2， 解可得：0<k <1， 即实数k 的取值范围是(0,1)； 故答案为：(0,1)．根据题意，将方程变形为即x 22+y 22k=1，由椭圆的标准方程的形式分析可得2k>2，解可得k 的取值范围，即可得答案．本题考查椭圆的标准方程，注意将椭圆的方程变形为标准方程．15.答案：151192解析：解：设这位同学在物理、化学、政治科目考试中达A +的事件分别为A ，B ，C ， ∵这位同学在物理、化学、政治科目考试中达A +的概率分别为78、34、512， ∴P(A)=78，P(B)=34，P(C)=512，这三门科目考试成绩的结果互不影响， 则这位考生至少得2个A +的概率：P =P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=78×34×712+78×14×512+18×34×512+78×34×512=151192． 故答案为：151192．设这位同学在物理、化学、政治科目考试中达A +的事件分别为A ，B ，C ，则P(A)=78，P(B)=34，P(C)=512，这位考生至少得2个A +的概率：P =P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)． 本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16.答案：解析：试题分析：根据题意，由于锐角A，B，C满足A+B+C=，以角A，B，C分别为内角构造一个三角形，依据正弦定理和余弦定理可得到等式：，锐角A，B，C满足A+B+C=，类比上面推理方法，，故答案为。

上海中学高二（下）期中数学试卷试题数：22，总分：01.（填空题，3分）三个平面两两垂直，它们的交线交于一点O ，空间有一点P 到三个面的距离分别为3、4、5，则OP 的长为___ ．2.（填空题，3分）已知正四棱锥的底面边长为2，高为3，则正四棱锥的侧面积为___ ．3.（填空题，3分）正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，异面直线BC 1与AC 所成角的大小为___ °．4.（填空题，3分）正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，二面角A-CD-A 1的大小为___ ．5.（填空题，3分）水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，若A 1C 1=2，△ABC 的面积为2 √2 ，则A 1B 1的长为___ ．6.（填空题，3分）长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为4的正方形，高为2，则顶点A 1到截面AB 1D 1的距离为___ ．7.（填空题，3分）已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为4，E 、F 分别为A 1D 1、AA 1的中点，过C 1、E 、F 的正方体的截面周长为___ ．8.（填空题，3分）在各棱长都等于1的正四面体O-ABC 中，若点P 满足 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =xOA⃗⃗⃗⃗⃗ +yOB ⃗⃗⃗⃗⃗ +zOC⃗⃗⃗⃗⃗ (x +y +z =1) ，则 |OP ⃗⃗⃗⃗⃗ | 的最小值为___ ． 9.（填空题，3分）如图，矩形ABCD 的长AB=2，宽AD=x ，若PA⊥平面ABCD ，矩形的边CD 上至少有一个点Q ，使得PQ⊥BQ ，则x 的范围是___ ．10.（填空题，3分）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在鳖臑A-BCD中，AB⊥平面BCD，且有BD⊥CD，AB=BD=2，CD=1，点P是AC上的一个动点，则三角形PBD的面积的最小值为___ ．11.（填空题，3分）在我国古代数学名著《九章算术》中将底面为直角三角形，侧棱垂直于底面的三棱柱称之为堑堵，如图，在堑堵ABC-A1B1C1中，AB=BC，AA1＞AB，堑堵的顶点C1的取值范围是___ ．到直线A1C的距离为m，C1到平面A1BC的距离为n，则mn12.（填空题，3分）正四面体ABCD的棱CD在平面α上，E为棱BC的中点，当正四面体ABCD绕CD旋转过程中，直线AE与平面α所成最大角的余弦值为___ ．13.（单选题，3分）已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m || α，n⊥β，则（）A.m || lB.m || nC.n⊥lD.m⊥n14.（单选题，3分）如果PA、PB、PC两两垂直，那么点P在平面ABC内的投影一定是△ABC（）A.重心B.内心C.外心D.垂心15.（单选题，3分）如图所示，点P在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PA=AB，则PB与AC所成的角是（）A.90°B.60°C.45°D.30°16.（单选题，3分）如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1，所有棱长均为2，则二面角A-BC-A1的余弦值为（）A. 13 B. √63C. √217D. 2317.（单选题，3分）在平面直角坐标系中，A（-2，3），B（3，-2），沿x轴把直角坐标系折成60°的二面角，则AB 的长为（）A. √2B.2 √11C.3 √2D.4 √218.（单选题，3分）等腰直角△ABC斜边CB上一点P满足CP≤ 14CB，将△CAP沿AP翻折至△C′AP，使二面角C′-AP-B为60°，记直线C′A，C′B，C′P与平面APB所成角分别为α，β，γ，则（）A.α＜β＜γB.α＜γ＜βC.β＜α＜γD.γ＜α＜β19.（问答题，0分）如图，四边形ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．PO= √2，AB=2．（1）求棱锥P-ABCD体积；（2）求证：平面PAC⊥平面BDE．20.（问答题，0分）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=4，AD=3，AA1=2．E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB=FB=1．（Ⅰ）求二面角C-DE-C1的正切值；（Ⅱ）求直线EC1与FD1所成的余弦值．21.（问答题，0分）如图① ，有一个长方体形状的敞口玻璃容器，底面是边长为20cm的正方形，高为30cm，内有20cm深的溶液．现将此容器倾斜一定角度α（图② ），且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上（图① 、② 均为容器的纵截面）．（1）要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，角α的最大值是多少；（2）现需要倒出不少于3000cm3的溶液，当α=60°时，能实现要求吗？请说明理由．22.（问答题，0分）已知四边形ABCD是矩形，BC=kAB（k∈R），将△ABC沿着对角线AC 翻折，得到△AB1C，设顶点B1在平面ABCD上的投影为O．（1）若点O恰好落在边AD上，① 求证：AB1⊥平面B1CD；② 若B1O=1，AB＞1．当BC取到最小值时，求k的值（2）当k= √3时，若点O恰好落在△ACD的内部（不包括边界），求二面角B1-AC-D的余弦值的取值范围．。

上海市2020版高二下学期期中数学试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）(2018·山东模拟) 若复数，则的共轭复数的虚部为（）A .B .C .D .2. （2分） (2016高二下·黄骅期中) 已知随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），且P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）=0.954 4，P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=0.6826．若μ=4，σ=1，则P（5＜X＜6）=（）A . 0.1359B . 0.1358C . 0.2718D . 0.27163. （2分） (2017高二下·吉林期末) 若（是虚数单位），则（）A .B .C .D .4. （2分）以下说法，正确的个数为（）．①公安人员由罪犯的脚印的尺寸估计罪犯的身高情况，所运用的是类比推理．②农谚“瑞雪兆丰年”是通过归纳推理得到的．③由平面几何中圆的一些性质，推测出球的某些性质这是运用的类比推理．④个位是5的整数是5的倍数，2375的个位是5，因此2375是5的倍数，这是运用的演绎推理．A . 0B . 2C . 3D . 45. （2分）已知随机变量X的分布列为，则P（2＜X≤4）=（）A .B .C .D .6. （2分）(2018·绵阳模拟) 下表是某厂节能降耗技术改造后生产某产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对照数据，用最小二乘法得到关于的线性回归方程，则（）A . 0.25B . 0.35C . 0.45D . 0.557. （2分） (2017高二下·沈阳期末) 如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、A1、A2正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为（）A . 0.960B . 0.864C . 0.720D . 0.5768. （2分） (2017高二下·中山期末) 从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）=（）A .B .C .D .9. （2分） (2016高二下·郑州期末) 将5本不同的数学用书放在同一层书架上，则不同的放法有（）A . 50B . 60C . 120D . 9010. （2分）某电视台的一个综艺栏目对六个不同的节目排演出顺序，最前只能排甲或乙，最后不能排甲，则不同的排法共有（）A . 240种B . 288种C . 192种D . 216种11. （2分）（x+y+3）5展开式中不含y的各项系数之和为（）A . 25B . 35C . 45D . （x+3）512. （2分） (2016高二下·南安期中) 某校数学学科中有4门选修课程，3名学生选课，若每个学生必须选其中2门，则每门课程都有学生选的不同的选课方法数为（）A . 84B . 88C . 114D . 118二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二下·湖北期中) 某大厦有一部电梯，若该电梯在底层有5个乘客，且每位乘客在第10层下电梯的概率为，用ξ表示5位乘客在第10层下电梯的人数，则随机变量ξ的期望E（ξ）=________．14. （1分） (2016高二下·姜堰期中) 展开（1+2x）3=1+6x+mx2+8x3 ，则m=________．15. （1分） (2017高一上·马山月考) 同时投掷两个骰子，它们点数之和不大于4的概率是________．16. （1分） (2020高二上·吉林期末) 下列有关命题的说法正确的是________.①命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为：若x≠1，则x2－3x＋2≠0②x＝1是x2－3x＋2＝0的充分不必要条件③若p∧q为假命题，则p，q均为假命题④对于命题p：∃x∈R，使得x2＋x＋1<0，则非p：∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0三、解答题： (共6题；共60分)17. （10分） (2015高二下·赣州期中) 已知的展开式中，前三项系数成等差数列．（1）求第三项的二项式系数及项的系数；（2）求含x项的系数．18. （5分）(2020·淮南模拟) 高铁、移动支付、网购与共享单车被称为中国的新四大发明，为了解永安共享单车在淮南市的使用情况，永安公司调查了100辆共享单车每天使用时间的情况，得到了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中的值；（Ⅱ）现在用分层抽样的方法从前3组中随机抽取8辆永安共享单车，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2辆，求其中恰有1辆的使用时间不低于50分钟的概率；（Ⅲ）为进一步了解淮南市对永安共享单车的使用情况，永安公司随机抽取了200人进行调查问卷分析，得到如下2×2列联表：经常使用偶尔使用或不用合计男性50100女性40合计200完成上述2×2列联表，并根据表中的数据判断是否有85%的把握认为淮南市使用永安共享单车的情况与性别有关？附：0.150.100.050.0250.0102.072 2.7063.841 5.024 6.63519. （10分）为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如表数据：单价x（元）88.28.48.68.89销量y（件）908483m7568根据最小二乘法建立的回归直线方程为，（1）试求表格中m的值；（2）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从建立的回归方程，且该产品的成本是5元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入﹣成本）20. （10分）(2020·淮北模拟) 有着“中国碳谷”之称的安徽省淮北市，名优特产众多，其中“塔山石榴”因其青皮软籽、籽粒饱满、晶莹剔透、汁多味甘而享誉天下.现调查表明，石榴的甜度与海拔、日照时长、昼夜温差有着极强的相关性，分别用表示石榴甜度与海拔、日照时长、温差的相关程度，并对它们进行量化：0表示一般，1表示良，2表示优，再用综合指标的值评定石榴的等级，若则为一级；若则为二级；若则为三级. 近年来，周边各地市也开始发展石榴的种植，为了了解目前石榴在周边地市的种植情况，研究人员从不同地市随机抽取了12个石榴种植园，得到如下结果：种植园编号A B C D E F种植园编号G H I J K L（1）若有石榴种植园120个，估计等级为一级的石榴种植园的数量；（2）在所取样本的二级和三级石榴种植园中任取2个，表示取到三级石榴种植园的数量，求随机变量的分布列及数学期望.21. （15分） (2018高二下·赤峰期末) 如图是某市年月日至日的空气质量指数趋势图，某人随机选择年月日至月日中的某一天到达该市，并停留天.（1）求此人到达当日空气质量指数大于的概率；（2）设是此人停留期间空气质量指数小于的天数，求的分布列与数学期望；（3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）22. （10分）(2017·河西模拟) 春节来临，有农民工兄弟A、B、C、D四人各自通过互联网订购回家过年的火车票，若订票成功即可获得火车票，即他们获得火车票与否互不影响．若A、B、C、D获得火车票的概率分别是，其中p1＞p3 ，又成等比数列，且A、C两人恰好有一人获得火车票的概率是．（1）求p1，p3的值；（2）若C、D是一家人且两人都获得火车票才一起回家，否则两人都不回家．设X表示A、B、C、D能够回家过年的人数，求X的分布列和期望EX．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共6题；共60分)17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、。

2024高二数学期中考试题及答案一、选择题（每小题3分，共计60分）1. 已知函数f(x)=2x^3-3x^2-12x+5，求f(-1)的值是多少？A) -9 B) -7 C) 7 D) 92. 若集合A={1,2,3,4}，集合B={2,3,4,5}，则A∪B的元素个数是多少？A) 4 B) 5 C) 7 D) 83. 设函数f(x)=4x-1，g(x)=2x+3，求满足f(g(x))=1的x的值。

A) 0 B) -1 C) 1 D) 24. 在等差数列an中，若a1=3，d=4，an=19，则n的值是多少？A) 4 B) 5 C) 6 D) 75. 已知直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度是多少？A) 5 B) 7 C) 25 D) 49二、填空题（每小题4分，共计40分）1. 若集合A={1,2,3,4,5}，集合B={4,5,6,7}，则A∩B的元素个数是_________。

2. 设函数f(x)=3x+2，则f(-1)的值是_________。

3. 在等差数列an中，若a1=2，d=3，an=23，则n的值是_________。

4. 男生与女生的比例是3:5，班级总人数为80，女生人数是_________。

5. 若正方形的边长为x+2，其面积是_________。

6. 已知平行四边形的底边长为5，高为3，其面积是_________。

7. 若正方形的对角线长为10，边长是_________。

8. 设函数f(x)=x^2+2x-1，g(x)=x-1，则f(g(2))的值是_________。

9. 若直角三角形的两条直角边分别为6和8，斜边的长度是_________。

10. 设集合A={a,b,c}，集合B={c,d,e}，则A×B的元素个数是_________。

三、解答题（共计40分）1. 若函数f(x)满足f(2x-1)=2x^2-2x，则求f(x)的表达式。

2. 已知数列{an}的通项公式为an=n^2-3n-4，求数列{an}的首项和前6项的和。

期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1. 当我们停放自行车时，只要将自行车旁的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了（）A.三点确定一平面B.不共线三点确定一平面C.两条相交直线确定一平面D.两条平行直线确定一平面2.正方体被平面所截得的图形不可能是（）A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形3.如图正方体ABCD-A B C D的棱长为2，线段B D上有两个动点E、F，且EF=，则下列结论中错误的是（）A. C.AC⊥BE三棱锥A-BEF的体积为定值B.D.EF∥平面ABCD△AEF的面积△与BEF的面积相等4.由一些单位立方体构成的几何图形，主视图和左视图如图所示，则这样的几何体体积的最小值是（）（每个方格边长为1）A.5B.6C.7D.8二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）5. 设a，b是平面M外两条直线，且a∥M，那么a∥b是b∥M的______条件．6.已知直线a，b及平面α，下列命题中：①；②；③；④的序号都填上）．．正确命题的序号为______（注：把你认为正确7. 8. 9.地球北纬45°圈上有A，B两地分别在东经80°和170°处，若地球半径为R，则A，B 两地的球面距离为______．如果一个球和立方体的每条棱都相切，那么称这个球为立方体的棱切球，那么单位立方体的棱切球的体积是______．若三棱锥S-ABC的所有的顶点都在球O的球面上．SA⊥平面ABC．SA=AB=2，AC=4，∠BAC=，则球O的表面积为______．11111110. 如图所示，四棱锥 P -ABCD 的底面 ABCD 是边长为 a 的正方形，侧棱 PA =a ，PB =PD = a ，则它的 5 个面中，互相垂直的面有 ______对．11. 如图由一个边长为 2 的正方形及四个正三角形构成，将 4 个正三角形沿着其与正方形的公共边折起后形成的四棱锥的 体积为______．12. 有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图），∠ABC =45°，AB =AD =1， DC ⊥BC ，则这块菜地的面积为______．13. 四面体的 6 条棱所对应的 6 个二面角中，钝二面角最多有______个．14. 在平面 △中ABC 的角 C 的内角平分线 CE 分△ABC 面积所成的比= ，将这个结论类比到空间：在三棱锥 A -BCD 中，平面 DEC 平分二面角 A -CD -B 且与 AB 交于 E ，则类比的结论为______．三、解答题（本大题共 4 小题，共 48.0 分） 15. 在正方体 ABCD -A B C D 中，E ，F 分别是 BC ，A D 的中点．求证：空间四边形 B EDF 是菱形．1 1 1 1 1 1116. 在棱长为 2 的正方体 ABCD -AB C D 中，（如图）E 是棱 C D 的中点，F 是侧面 AA D D 的中心． （1）求三棱锥 A -D EF 的体积；（2）求异面直线 A E 与 AB 的夹角；（3）求 EF 与底面 A B C D 所成的角的大小．（结 果用反三角函数表示）17. 如图，在正三棱柱 ABC -AB C 中，AA =2AB ，N 是 CC 的中点，M 是线段 AB 上的动点，且 AM =λAB ． （1）若，求证：MN ⊥AA ；（2）求二面角 B -AB -N 的余弦值；（3）若直线 MN 与平面 ABN 所成角的大小为 θ，求 sin θ 的最大值．18. 平面图形很多可以推广到空间中去，例如正三角形可以推广到正四面体，圆可以推 广到球，平行四边形可以推广到平行六面体，直角三角形也可以推广到直角四面体， 如果四面体 ABCD 中棱 AB ，AC ，AD 两两垂直，那么称四面体 ABCD 为直角四面 体．请类比直角三角形中的性质给出 2 个直角四面体中的性质，并给出证明．（请1 1 1 11 1 1 1 1 111 1 1 1 1 1 1 111 111在结论1～3中选择1个，结论4，5中选择1个，写出它们在直角四面体中的类似结论，并给出证明，多选不得分，其中h表示斜边上的高，r，R分别表示内切圆与外接圆的半径）条件结论1结论2结论3结论4结论5直角三角形ABCAB⊥ACAB2+AC2=BC2sin2B+sin2C=1==（2R）2=（AB2+BC2+CA2）直角四面体ABCD AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD答案和解析1.【答案】B【解析】解：自行车前后轮与撑脚分别接触地面，此时三个接触点不在同一条线上， 所以可以确定一个平面，即地面，从而使得自行车稳定．故选：B ．自行车前后轮与撑脚分别接触地面，使得自行车稳定，此时自行车与地面的三个接触点 不在同一条线上．本题考查不同线的三个点确定一个平面，属于简单题． 2.【答案】C【解析】【分析】平面与正方体相交与不同的位置，可以出现不同的几何图形，不可能出现正五边形 本题考查了用平面截正方体，明确几何体的特征，是解好本题的关键．本题属基础题． 【解答】 解：如图所示，平面与正方体相交与不同的位置，可以出现正三角形，正方形，正六边 形，不可能出现正五边形，．故选：C ． 3.【答案】D【解析】【分析】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 连结 BD ，则 AC ⊥平面 BB D D ，BD ∥B D ，点 A 、B 到直线 B D 的距离不相等，由此 能求出结果．【解答】解：连结 BD ，因为 AC ⊥BD ，AC ⊥ 则 AC ⊥平面 BB D D ∴AC ⊥BE ，由于 BD ∥B D ， 易得 EF ∥平面 ABCD ，，第 5 页，共 13 页1 1 1 1 1 1 1 1 1 1又定值，定值所以三棱锥A-BEF的体积为定值，从而A，B，C正确．∵点A、B到直线B D的距离不相等，11∴△AEF的面积△与BEF的面积不相等，故D错误．故选：D．4.【答案】C【解析】解：通过主视图和左视图分析出原几何体的形状如图所示，可知最少共有7个单位立方体．则几何体的体积最小值为7．故选：C．通过主视图和左视图分析出原几何体的形状，可以得到原几何体的体积本题考查由三视图还原几何体，空间想象能力，属于基础题．5.【答案】充分不必要【解析】解：证明充分性：若a∥b，结合a∥M，且b在平面M外，可得b∥M，是充分条件；证明必要性：若b∥M，结合a∥M，且a，b是平面M外，则a，b可以平行，也可以相交或者异面，所以不是必要条件．故a∥b是b∥M的“充分不必要”故答案为：充分不必要．判断由a∥b能否得到b∥M，再判断由b∥M能否得到a∥b即可．本题考查空间线面平行，线线平行之间的关系，充分条件和必要条件，属于简单题．6.【答案】④【解析】解：对于①若b⊥α，a⊥b，则a⊂α或a∥α；对于②，a⊥b，b∥α则a也可与α平行；对于③a⊂α时，不成立；对于④，根据两条平行线中有一条垂直于平面，则另一条也垂直于平面，故正确故答案为④．对于四个选项一一进行判断，不成立可列举反例验证说明．本题的考点是平面的基本性质及推论，主要考查线、面的位置关系，注意掌握反例排除．7.【答案】R【解析】解：地球表面上从A地（北纬45°，东经80°）到B地（北纬45°，西经170°），，经度差是90°．A，B两地都在北纬45°上，对应的纬圆半径是∴AB=R，得球心角是．∴A，B两地的球面距离是．第6 页，共13 页故答案为：．由于甲、乙两地在同一纬度圈上，计算经度差，求出甲、乙两地对应的A B弦长，以及球心角，然后求出球面距离．本题考查球面距离及其他计算，考查空间想象能力，是基础题．8.【答案】【解析】解：球和立方体的每条棱都相切，则球的直径为立方体的面对角线长度，∴单位立方体的棱切球的半径为，则球的体积为．故答案为：．由题意画出图形，求得球的半径，再计算体积得答案．本题考查空间想象能力，球的体积计算，是基础题．9.【答案】20π【解析】【分析】本题考查三棱锥、球、勾股定理等基础知识，考查抽象概括能力、数据处理能力、运算求解能力，考查应用意识、创新意识，考查化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想，是中档题．由余弦定理求出BC=2，利用正弦定理得∠ABC=90°．从△而ABC截球O所得的圆O′的半径r=AC=2，进而能求出球O的半径R，由此能求出球O的表面积．【解答】解：如图，三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，∵SA⊥平面ABC．SA=AB=2，AC=4，∠BAC=，∴BC==2∴AC2=BC2+AB2，∴∠ABC=90°．，∴△ABC截球O所得的圆O′的半径r=AC=2，∴球O的半径R==，∴球O的表面积S=4πR2=20π．故答案为：20π．10.【答案】5【解析】解：底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱PA=a，PB=PD=a，可得PA⊥底面ABCDPA⊂平面PAB，PA⊂平面PAD，可得：面PAB⊥面ABCD，面PAD⊥面ABCD，AB⊥面PAD，可得：面PAB⊥面PAD，BB⊥面PAB，可得：面PAB⊥面PBC，CC⊥面PAD，可得：面PAD⊥面PCD；故答案为：5先找出直线平面的垂线，然后一一列举出互相垂直的平面即可．本题考查平面与平面垂直的判定，考查棱锥的结构，是基础题．11.【答案】【解析】解：由已知中由一个边长为2的正方形及四个正三角形构成故该棱锥的底面面积S=2×2=4侧高为正三角形的高则棱锥的高h==故折起后形成的四棱锥的体积V==故答案为：由已知中正四棱锥的展开图为一个边长为2的正方形及四个正三角形，我们可以分别计算出棱锥的底面面积和高，代入棱锥体积公式，即可求出折起后形成的四棱锥的体积．本题考查的知识点是棱棱的体积，其中根据已知条件，计算出棱锥的底面面积，及结合正四棱锥中（其中h为棱锥的高，H为棱锥的侧高，a为底面的棱长）求出棱锥的高，是解答本题的关键．12.【答案】2+【解析】解：DC=AB sin45°=，BC=AB sin45°+AD=+1，S梯形=（AD+BC）DC=（2+）=+，S=S梯形=2+．故答案为：2+求出直观图中，DC，BC，S，然后利与用平面图形与直观图形面积的比是梯形求出平面图形的面积．，ABCDABCDABCD本题考查斜二测画法，直观图与平面图形的面积的比例关系的应用，考查计算能力．13.【答案】3【解析】解：将三棱锥的顶点，向下压到与底重合，侧面的3个二面角都是180°，将这个顶点稍稍提高一点点，离开底面，此时3个侧面的二面角都是钝角．故答案为：3．通过定性分析，对四面体取特殊情况可以得到钝二面角的个数本题考查利用极限思想，通过定性分析来解决问题，属于简单题．14.【答案】【解析】【分析】本题考查了类比推理，将平面中的性质类比到空间．三角形的内角平分线定理类比到空间三棱锥，根据面积类比体积，长度类比面积，从而得到．解：在平面△中ABC的角C的内角平分线CE△分ABC面积所成的比=，将这个结论类比到空间：在三棱锥A-BCD中，平面DEC平分二面角A-CD-B且与AB交于E，则类比的结论为根据面积类比体积，长度类比面积可得：故答案为：．15.【答案】证明：取AD中点G，连接FG，BG，可得B B∥FG，BB=FG，，∴四边形B1BGF为平行四边形，则BG∥B F，由ABCD-A B C D为正方体，且E，G分别为BC，AD的中点，可得BEDG为平行四边形，∴BG∥DE，BG=DE，则B F∥DE，且B F=DE，∴四边形B1EDF为平行四边形，△由B BE≌△B△A F，可得B E=B F，∴四边形B1EDF是菱形；．【解析】由题意画出图形，取AD中点G，连接FG，BG，可证四边形B BGF为平行四边形，得BG∥B F，再由ABCD-A B C D为正方体，且E，G分别为BC，AD的中点，可得BEDG为平行四边形，得BG∥DE，BG=DE，从而得到B F∥DE，且B F=DE，进一步得到四边形B EDF为平行四边形，再由△B△BE≌△B△A F，可得B E=B F，得到四边形B EDF是菱形；本题考查正方体内线段之间的关系，空间四边形的证明，属于简单题．16.【答案】解：（1）由题意知，×1=；== ••h=×（×2×1）111111111111111 1111111 1111111（2）∵A B ∥AB ，∴∠EA B 或其补角即为异面直线 A E 与 AB 所成角， △在EA B ，A E =EB = ，A B =2，∴cos ∠EA B == = ，∴异面直线 A E 与 AB 所成角为 arccos ；（3）取 A D 中点 M ，联结 MF ， ∵MF ∥AA 且 A A ⊥平面 ABCD ，∴MF ⊥平面 A B C D ， ∴∠FEM 即为 EF 与底面 A MF = AA =1，ME=∴tan ∠FEM = = = ，B C D 所成的角，∴EF 与底面 AB C D 所成的角的大小为 arctan ．【解析】（1）对三棱锥 A -D EF 换底，换成以 F 为顶点 △，A D E 为底的三棱锥，求出 底 △面A D E 的面积和对应的高，得到所求的体积； （2）找到异面直线 A E 与 AB 所成的角， △在EA B 内由余弦定理求出； （3）找出直线 EF 与底面 A B C D 所成的角，再计算大小．本题考查三棱锥等体积转化，求异面直线所成的角，直线与平面所成的角，属于中档题． 17.【答案】解：（1）取 AA 中点 D ，联结 MD 和 ND ，∵λ=，∴M 为 AB 中点，又 D 为 AA 中点，∴MD ∥B A ，∵BA ⊥AA ，∴MD ⊥AA ，同理 ND ⊥AA ，∴AA ⊥平面 MND ，∴MN ⊥AA ；（2）取 AB 中点 E ，A B 中点 F ，联结 EN 、EF 、FN ，1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1则 EN ⊥AB ，EF ⊥AB ，∠FEN 即为二面角 B -AB -N 的平面角， 设 AB =2a （a ＞0），则 EF =4a ，EN =FN = a ，∴cos ∠FEN = =，即二面角 B -AB -N 的余弦值为；（3）设 AB =2a （a ＞0），M 到平面 ABN 的距离为 d ，=λ 则 S △ABM= •2a • △S ABNa ==λ• •2a •4a =4λa 2a 2；，由等体积法，V 三棱锥=V ，即 •S 三棱锥• △ABMa = •S •d ， △ABM可得 d =λa ，而 MN ==2a，∴sinθ==•=•=•≤• =，当且仅当 = ，即 λ= 时，等号成立，即 sin θ 的最大值为 ．【解析】（1）取 AA 中点 D ，通过线线垂直证明 AA ⊥平面 MND ，从而得到 MN ⊥AA ； （2）取 AB 中点 E ，A B 中点 F ，联结 EN 、EF 、FN ，则∠FEN 即为二面角 B -AB -N 的 平面角，再利用余弦定理求出其余弦值．（3）利用等体积法，求出M 到平面 ABN 的距离及 MN 的长度，从而表示出 sin θ 关于 λ 的函数，求出最大值．本题考查通过线面垂直证明线线垂直，二面角的求法，以及线面角的正弦值的表示，属 于中档题．18.【答案】解： △记ABC △、ABD 、△ACD 、△BCD 的面积依次为 S 、S 、S 、S ，平面 BCD 与 AB 、AC 、AD 所成角依次为 α、β、γ，点 A 到平面 BCD 的距离为 d ，r ，R 分别表示内切球与外接球的半径，内切球的球心为 O ，条件直角三角形 ABCAB ⊥AC直角四面体 ABCD AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ⊥AD结论 1AB 2+AC 2=BC 2结论 2sin 2B +sin 2C =1sin 2α+sin 2β+sin 2γ=1结论 3=结论 4=结论 5（2R ）2= （AB 2+BC 2+CA 2）（2R ）2=AB 2+AC 2+BC 21 1 N -ABM M -ABN 1 1 1 1 1 1 12 3第11 页，共13 页证明：设AB=a、AC=b、AD=c，过A作AE⊥BC，垂足为E，联结DE，过A作AH⊥DE，垂足为H，易证：DE⊥BC，AH⊥平面BCD，则d=AH，结论1：==，在△R t ABC中，．DE==AE=，=；∴结论2：d=AH===．同理，sinβ=∴sinα===1；∴sin2α+sin2β+sin2γ=结论3：∵d=，∴=，，，sinγ=，又==，∴结论4：∵V=V+V+V+V，∴=+．从而=，即；结论5：将直角四面体ABCD补形成为以AB、AC、AD为长、宽、高的长方体，则长方体的体对角线即为直角四面体ABCD的外接球的直径，即（2R）2=AB2+BC2+CA2．【解析】在得到结论时，直角三角形中的长度类比成直角四面体的面积，角度类比成二面角，等面积类比成等体积，外接圆类比成外接球．结论1：分别表示、、，然后证明结论2：△在DAE中利用等面积法，表示出高d，然后分别表示sin2α、sin2β、sin2γ，再证明sin2α+sin2β+sin2γ=1结论3：利用结论2中得到的d的表达式，再表示出，再证明D-ABC O-ABC OABD O-ACD O-BCD结论 4：内切球的球心与四个顶点相连接，把三棱锥分成四个小的三棱锥，利用 V =V +V +V +V 进行证明 结论 5：将直角四面体 A BCD 补形成为以 AB 、AC 、AD 为长、宽、高的长方体，再进行 证明．本题考查平面图形向立体图形的推广，涉及到侧面积的表示，线面角的表示，几何体的 体积分割法求内切球半径，补齐几何体求外接球半径等，属于难题．D -ABC O -ABC O -ABD O -ACD O -BCD。

高二数学下学期期中试题（含解析）一：选择题。

1.直线与平面所成角的范围______． 【答案】0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】 由直线与平面所成角的定义可得.【详解】解：根据直线与平面所成角的定义可得 直线与平面所成角的范围为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查直线和平面所成的角基本概念.2.已知(1,4,2),(2,1,3)a b =-=-r r ，则a b +=r r ____．【解析】【分析】 利用空间向量的坐标运算法则求出a b +r r ，由此能求出结果. 【详解】解：∵(1,4,2),(2,1,3)a b =-=-r r∴()=1,3,5a b +--r r ∴a b +==r r 【点睛】本题考查空间向量的坐标运算法则以及利用坐标求模，熟练掌握向量的坐标运算法则是解决此题的关键.3.已知直线l 的一个方向向量(4,3,1)d =u r ，平面α的一个法向量(,3,5)n m =-r ，且//l α，则m =____【答案】1-【解析】【分析】由题意可得，根据线面平行可得d n ⊥u r r ，则=0d n u r rg ，进而得到4950m +-=，解得即可. 【详解】解：由题意可得d n ⊥u r r ，则4950m +-=解得1m =-【点睛】本题主要考查了直线与平面的位置关系，根据线面平行、线面垂直的性质得到平面的法向量与平行于平面的直线垂直，考查了空间向量垂直的坐标表示.4.在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A B 与AD 所成的角大小为___． 【答案】2π 【解析】【分析】由题意可得，AD ⊥平面11ABB A ，从而得到1AD A B ⊥，即可得到答案.【详解】解：在正方体1111ABCD A B C D -中，∵AD ⊥平面11ABB A ，1A B ⊂平面11ABB A∴1AD A B ⊥∴异面直线1A B 与AD 所成的角的大小为2π 故答案为：2π. 【点睛】本题主要考查了异面直线及其所成的角，线面垂直的性质定理.5.已知圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30o ，则该圆锥的侧面积为_．【答案】50π【解析】【分析】根据勾股定理得出圆锥的底面半径，代入侧面积公式计算即可得出结论.【详解】解：设底面的半径为r ，则sin 3010=5r =⨯o∴该圆锥的侧面积510=50S ππ=⨯⨯故答案为：50π【点睛】本题考查了圆锥的性质和侧面积公式，解决本题的关键是根据勾股定理求得圆锥底面半径.6.二面角l αβ--为60o ，异面直线a 、b 分别垂直于α、β，则a 与b 所成角的大小是____【答案】60o【解析】【分析】根据二面角的定义，及线面垂直的性质，我们可得若两条直线a 、b 分别垂直于α、β两个平面，则两条直线的夹角和二面角相等或互补，由于已知的二面角l αβ--为60o ，故异面直线所成角与二面角相等，即可得到答案.【详解】解：根据二面角的定义和线面垂直的性质设异面直线a 、b 的夹角为θ∵二面角l αβ--为60o ，异面直线a 、b 分别垂直于α、β则两条直线的夹角和二面角相等或互补，∴60οθ=故答案为：60o【点睛】本题主要考查二面角的定义、异面直线所成的角和线面垂直的性质.7.下列四个结论中假命题的序号是_____．①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②平行于同一直线的两直线平行；③若直线a ，b ，c 满足//a b ，b c ⊥，则a c ⊥；④若直线a ，b 是异面直线，则与a ，b 都相交的两条直线是异面直线．【答案】①④【解析】【分析】根据空间中线面的位置关系的判定和性质或举反例即可判断.【详解】解：对于①，若l α⊥，则α内任意两条直线都与l 垂直，显然命题①是假命题； 对于②，由平行公理可知命题②是真命题；对于③，将直线a 平移到b 的位置，由于b c ⊥，故而a c ⊥，故命题③是真命题； 对于④，在直线a 上取P 点，在直线b 上取点A ，B ，则PA ，PB 都与a ，b 相交，显然PA ，PB 相交，故命题④是假命题.故答案为：①④【点睛】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系和性质，熟练掌握直线与平面之间的位置关系是解决此题的关键.8.互不重合的三个平面可以把空间分成_____个部分【答案】4、6、7、8【解析】分析】将互不重合的三个平面的位置关系分为：三个平面互相平行；三个平面有两个平行，第三个平面与其它两个平面相交；三个平面交于一线；三个平面两两相交且三条交线平行；三个平面两两相交且三条交线交于一点；五种情况分类讨论，即可得到答案.【详解】解：若三个平面互相平行，则可将空间分为4部分；若三个平面有两个平行，第三个平面与其它两个平面相交，则可将空间分为6部分； 若三个平面交于一线，则可将空间分为6部分；若三个平面两两相交且三条交线平行(联想三棱柱三个侧面的关系)，则可将空间分为7部分； 若三个平面两两相交且三条交线交于一点(联想墙角三个墙面的关系)，则可将空间分为8部分；故互不重合的三个平面可以把空间分成4、6、7、8个部分.【点睛】本题以平面分空间的分类讨论为载体，考查了空间中平面与平面之间的位置关系，考查了学生的空间想象能力.9.已知四面体ABCD 中，2AB CD ==，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，且异面直线AB 与CD 所成的角为3π，则EF =____.【答案】1【解析】【分析】取BD 中点O ，连结EO 、FO ，推导出EO ＝FO ＝1，πEOF 3∠=，或2πEOF 3∠=，由此能求出EF ．【详解】取BD 中点O ，连结EO 、FO ，∵四面体ABCD 中，AB ＝CD ＝2，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，且异面直线AB 与CD 所成的角为π3， ∴EO∥CD，且EO 1CD 12==，FO∥AB，且FO 1AB 2==1， ∴∠EOF 是异面直线AB 与CD 所成的角或其补角， ∴πEOF 3∠=，或2πEOF 3∠=， 当∠EOF π3=时，△EOF 是等边三角形，∴EF＝1．当2πEOF 3∠=时，EF ==故答案为：1．【点睛】本题考查异面直线所成角的应用，注意做平行线找到角是关键，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，是易错题10.设地球半径为R，若A、B两地均位于北纬45o，且两地所在纬度圈上的弧长为24R，则A、B之间的球面距离是_____（结果用含有R的代数式表示）【答案】3Rπ【解析】【分析】由题意可得：北纬45o圈的半径是22R，并且得到AB R=，所以A、B两地所在的球心角为60︒，即可得出答案.【详解】解：由题意可得：北纬45o2∵在北纬45o圈上有A、B两地，它们在纬度圈上的弧长等于24R∴过A、B两点的小圆的圆心角为90o，即AB R=∴A、B两地所在的球心角为60︒∴A、B两地间的球面距离为3Rπ故答案为：3R π. 【点睛】本题考查球面距离及相关计算，解决此类问题的关键是熟练掌握球面距离以及解三角形的有关知识，考查学生的计算能力与想象能力.11.已知三棱锥P -ABC ，若PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且12PA PB PC ===，，D 为面ABC 上的动点，则PD 的最小值为___． 【答案】23【解析】【分析】根据题意利用等体积法计算P 点到平面ABC 的距离，即为PD 的最小值.【详解】解：∵PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且1PA PB ==，=2PC∴AB AC BC ===∴C 点到AB 的距离为2∴ABC ∆的面积为1322设点P 到平面ABC 的距离为h ，则11131123232h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯ ∴23h = 即PD 的最小值为23故答案为：23【点睛】本题考查了点、线、面间的距离计算，考查了等体积法.12.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为_______。

上海市2020年高二下学期期中数学试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）设是虚数单位，则等于（）A . 1B . 4C . 2D .2. （2分）已知函数的图象上一点及邻近一点，则等于（）A . 4B . 4+2 xC . 4+ xD .3. （2分） (2019高二下·湘潭月考) 已知数列为等差数列，，，数列的前项和为，若对一切，恒有，则能取到的最大整数是（）A . 6B . 7C . 8D . 94. （2分） (2017高三上·会宁期末) 设函数f（x）=xm+ax的导函数f′（x）=2x+1，则 f（﹣x）dx的值等于（）A .B .C .D .5. （2分）两曲线，y=x2在x∈[0，1]内围成的图形面积是（）A .B .C . 1D . 26. （2分） (2016高一上·广东期中) 已知函数y=x2+2x+a（a∈R）的图象如图所示，则下列函数与它的图象对应正确的是（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高二下·昌平期中) 用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（）A . 6n﹣2B . 8n﹣2C . 6n+2D . 8n+28. （2分）(2019高二下·凤城月考) 已知函数，若关于的方程有5个不同的实数解，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .9. （2分）(2017·武邑模拟) 已知函数f（x）= （ω＞0，|φ|＜，a∈R）在区间[﹣3，3]上的图象如图所示，则可取（）A . 4πB . 2πC . πD .10. （2分）(2017·莱芜模拟) 抛物线C1：的焦点与双曲线C2：的右焦点的连线交C1于第一象限的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=（）A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分） (2017高二下·长春期末) 若z＝4＋3i，则＝________.12. （1分）已知函数，则f'（1）=________．13. （1分） (2016高二下·银川期中) 已知f（x）= •sinx，则f′（1）=________．14. （1分） (2017高二下·濮阳期末) 在△ABC中，不等式 + + ≥ 成立；在四边形ABCD中，不等式 + + + ≥ 成成立；在五边形ABCDE中，不等式 + + + + ≥ 成立．猜想在n边形中，不等式________成立．15. （1分）有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b⊊平面α，直线a⊈平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线α”的结论显然是错误的，这是因为________①大前提错误②小前提错误③推理形式错误④非以上错误．三、解答题 (共6题；共45分)16. （10分） (2017高二下·武汉期中) 综合题。

上海市2020版高二下学期期中数学试卷（理科）B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高二上·定州期末) 若命题P：所有的对数函数都是单调函数，则￢P为（）A . 所有对数函数都不是单调函数B . 所有的单调函数都不是对数函数C . 存在一个对数函数不是单调函数D . 存在一个单调函数都不是对数函数2. （2分）(2019·淮南模拟) 在平面直角坐标系中，设点，定义，其中为坐标原点，对于下列结论：符合的点的轨迹围成的图形面积为8；设点是直线：上任意一点，则；设点是直线：上任意一点，则使得“ 最小的点有无数个”的必要条件是；设点是圆上任意一点，则．其中正确的结论序号为A .B .C .D .3. （2分）抛物线方程为y2=12x，则下列说法正确的是（）A . 抛物线通径长为5B . 焦点在y轴上C . 抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6D . 过此抛物线焦点的弦中最短的弦长为104. （2分）(2018·肇庆模拟) 设为实数，命题甲：，命题乙：，则甲是乙的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分） (2015高二上·湛江期末) 已知点F ，直线l：，点B是l上的动点．若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是（）A . 双曲线B . 椭圆C . 圆D . 抛物线6. （2分） (2015高二上·三明期末) 已知F1（﹣1，0），F2（1，0）是椭圆C1与双曲线C2共同的焦点，椭圆的一个短轴端点为B，直线F1B与双曲线的一条渐近线平行，椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1 ， e2 ，则e1+e2取值范围为（）A . [2，+∞）B . [4，+∞）C . （4，+∞）D . （2，+∞）7. （2分） (2019高二上·南阳月考) 已知直线与抛物线C：及其准线分别交于M，N两点，F为抛物线的焦点，若，则m等于（）A .B .C .D .8. （2分） (2015高三上·福建期中) 已知，是两个非零向量，给定命题p：| + |=| |+| |，命题q：∃t∈R，使得 =t ；则p是q的（）A . 充分但不必要条件B . 必要但不必要条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件9. （2分）已知F1, F2是椭圆的两个焦点，若满足的点M总在椭圆的内部，则椭圆离心率的取值范围是（）A . （0, 1)B .C .D .10. （2分） (2019高一上·漯河月考) 若函数的值域是R，则a的取值范围是（）A .B .C .D .11. （2分）设双曲线的左,右焦点分别为,过的直线l交双曲线左支于A,B两点,则的最小值为（）A .B . 11C . 12D . 1612. （2分） (2019高三上·广东月考) 下列有关命题的说法错误的是（）A . 若“ ”为假命题，则、均为假命题；B . 若、是两个不同平面，，，则；C . “ ”的必要不充分条件是“ ”；D . 若命题：，，则命题：：， .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）若m≠n，两个等差数列m、a1、a2、n与m、b1、b2、b3、n的公差为d1和d2 ，则的值为________．14. （1分） (2020高二下·乌拉特前旗月考) 点M是椭圆上任意点，则点M到直线的距离的最大值为________.15. （1分）(2016·山东模拟) 椭圆C：的右焦点为F，双曲线的一条渐近线与椭圆C交于A，B两点，且AF⊥BF，则椭圆C的离心率为________．16. （1分） (2015高二上·金台期末) 已知椭圆过A（﹣3，0）和B（0，4）两点，则椭圆的标准方程是________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分） (2015高三上·石家庄期中) 已知条件p：A={x|x2﹣2mx+m2﹣4≤0，x∈R，m∈R}，条件q：B={x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈R}．（1）若A∩B={x|0≤x≤3}，求实数m的值；（2）若q是￢p的充分条件，求实数m的取值范围．18. （5分）已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同，直线l的极坐标方程为：ρ=，点P（2cosα，2sinα+2），参数α∈R．求点P轨迹的直角坐标方程.19. （10分）已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线经过坐标原点，并且两条渐近线与以点A（0，）为圆心、1为半径的圆相切，双曲线C的一个焦点与点A关于直线y=x对称．（1）求双曲线C的渐近线和双曲线的方程；（2）设直线y=mx+1与双曲线C的左支交于P、Q两点，另一直线l经过M（﹣2，0）及线段PQ的中点N，求直线l在y轴的截距b的取值范围．20. （5分） (2016高二上·吉安期中) 若直线L：mx+y+2=0与线段AB有交点，其中A（﹣2，3），B（3，2），求m的取值范围．21. （10分） (2016高二下·信宜期末) 已知直线 x+y﹣ =0经过椭圆C： + =1（a＞b＞0）的右焦点和上顶点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点（0，﹣2）的直线l与椭圆C交于不同的A，B两点，若∠AOB为钝角，求直线l的斜率k的取值范围．22. （10分） (2019高二上·田阳月考) 已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为，过的直线与椭圆交于两点，且的周长为（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆分别交于两点，且，试问点到直线的距离是否为定值，证明你的结论．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共50分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。

2019-2020学年上海市格致中学高二下学期期末数学试题一、单选题1．某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人，为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生120人，则该样本中的高二学生人数为( ) A ．80 B ．96C ．108D ．110【答案】C【解析】设高二总人数为x 人，由总人数及抽样比列方程组求解即可． 【详解】设高二总人数为x 人，抽取的样本中有高二学生y 人 则高三总人数为()50x -个，由题可得：()500501*********x x y x ⎧++-=⎪⎨=⎪⎩，解得：108y =.故选C 【点睛】本题主要考查了分层抽样中的比例关系，考查方程思想，属于基础题． 2．下列命题正确的是（ ）A ．如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行B ．如果一条直线垂直于一个平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面C ．如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面D ．如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 【答案】D【解析】由直线与直线位置关系，可判断出A 错；由线面垂直的判定定理，判断B 错；由直线与平面位置关系判断C 错；从而选D ． 【详解】解：如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行，或相交，或异面，故A 错误；如果一条直线垂直于一个平面内的两条平行直线，那么这条直线不一定垂直于这个平面，故B 错误；如果一条平面外直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面，但平面内直线不满足条件，故C 错误；果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行，故D 正确； 【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了空间线面关系的判定，难度不大，属于基础题．3．“20>z ”是“z 是非零实数”的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要 【答案】C【解析】设(),,z a bi a b R =+∈，由题意结合复数的运算及性质可得0a =或0b =，分类讨论即可得0a ≠、0b =；当z 是非零实数，则20>z ；由充分条件和必要条件的概念即可得解. 【详解】设(),,z a bi a b R =+∈，则2222z a b abi =-+， 若20>z ，则0a =或0b =， 当0a =时，220z b =->不存在， 当0b =时，220z a =>即0a ≠， 所以若20>z ，则z 是非零实数； 若z 是非零实数，则20>z ；所以“20>z ”是“z 是非零实数”的充要条件. 故选：C. 【点睛】本题考查了复数的运算及复数性质的应用，考查了充分条件、必要条件的判断，属于中档题.4．设12,F F 是椭圆22194x y +=的两焦点，A 与B 是该椭圆的右顶点与上顶点，P 是该椭圆上的一个动点，O 是坐标原点，记2122s OP F P F P =-⋅.在动点P 在第一象限内从A 沿椭圆向左上方运动到B 的过程中，s 的大小变化情况为（ ）A ．逐渐变大B ．逐渐变小C ．先变大后变小D ．先变小后变大【答案】B【解析】设(,)P x y ，然后由向量数量积的坐标表示求出s 为x 的函数后，根据函数性质可得结论． 【详解】设(,)P x y ，由椭圆方程知12(F F ， 2221222()()()s OP F P F P x y x y x y =-⋅=+-⋅2222222()(5)5x y x y x y =+--+=++2225415999x x x ⎛⎫=+-+=+ ⎪⎝⎭，随x 的减小而变小， 故选：B. 【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算，掌握向量数量积的的坐标表示是解题基础．二、填空题5．设()1224i z i +⋅=-（i 为虚数单位），则z =__________. 【答案】2【解析】利用复数的除法法则可得z ，可求得z ，进而利用复数的模长公式可求得z 的值. 【详解】()1224i z i +⋅=-，()()()()2412246868121212555i i i i z i i i i -----∴====--++-，6855z i ∴=-+，因此，2z ==.故答案为：2. 【点睛】本题考查复数模长的计算，同时也考查了复数的除法与共轭复数概念的应用，考查计算能力，属于基础题.6．双曲线22312x y -=的两渐近线的夹角大小为______. 【答案】3π； 【解析】根据双曲线的方程，求得其见解析的方程，利用直线的夹角公式，即可求解. 【详解】由双曲线22312x y -=，可化为221412x y -=，可得双曲线的两条渐近线的方程为y =， 设双曲线的两条渐近线夹角为θ且[0,]2πθ∈，则tan θ==3πθ=，即两条渐近线的倾斜角分别为3π. 故答案为：3π. 【点睛】本题主要考查了以双曲线为载体，求解两直线的夹角，其中解答中熟记双曲线的几何性质，合理可用直线的夹角公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7．以抛物线24y x =的焦点F 为圆心，与抛物线的准线相切的圆的标准方程为________．【答案】()2214x y -+=【解析】首先求得抛物线的焦点坐标，也即圆心的坐标，根据焦点到抛物线的距离求得半径，由此写出圆的标准方程. 【详解】因为抛物线24y x =的焦点为圆心即(10)，，与抛物线的准线相切的圆的半径为：2． 所求圆的方程为：()2214x y -+=． 故答案为：()2214x y -+=． 【点睛】本小题主要考查抛物线的几何性质，考查圆的标准方程，属于基础题.8．若直线1:2310l x y +-=的方向向量是直线2:20l ax y a -+=的法向量，则实数a的值等于__________. 【答案】32【解析】由题意结合直线方向向量、法向量的概念可得12l l ⊥，再由直线垂直的性质即可得解. 【详解】直线1l 的方向向量是直线2l 的法向量，∴12l l ⊥，∴230a -=，解得32a =. 故答案为：32. 【点睛】本题考查了直线方向向量、法向量概念的应用，考查了直线垂直的性质，属于基础题. 9．双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m =________ 【答案】14-【解析】根据题意，结合双曲线方程，列式计算即可. 【详解】由双曲线方程可得0m <，焦点坐标在y 轴上，故可得虚轴长为2， 又因为虚轴长是实轴长的2倍，故可得4=，解得14m =-.故答案为：14-. 【点睛】本题考查由,a b 之间的关系，求双曲线方程中参数值的问题，属基础题.10．在长方体1111ABCD A B C D -中，若1AB BC ==，1AA =则异面直线1BD 与1CC 所成角的大小为______.【答案】4π【解析】画出长方体1111ABCD A B C D -,再将异面直线1BD 与1CC 利用平行线转移到一个三角形内求解角度即可. 【详解】画出长方体1111ABCD A B C D -可得异面直线1BD 与1CC 所成角为1BD 与1DD 之间的夹角,连接BD .则因为1AB BC ==,则2BD =,又12AA =,故12BD DD ==,又1BD DD ⊥,故1BDD 为等腰直角三角形,故14DD B π∠=,即异面直线1BD 与1CC 所成角的大小为4π故答案为4π 【点睛】本题主要考查立体几何中异面直线的角度问题,一般的处理方法是将异面直线经过平行线的转换构成三角形求角度,属于基础题型.11．如图，在过正方体1111ABCD A B C D -的任意两个顶点的所有直线中，与直线1AC 异面的直线的条数为______．【答案】12【解析】由异面直线的概念，一一列举出与1AC 异面的直线即可.【详解】由题中正方体可得与1AC 异面的直线有：11A B ，11A D ，1BB ，1DD ,BC ，CD ；1A D ,1 B C ,1 A B ，1CD ，BD ，11B D ，共12条.故答案为12 【点睛】本题主要考查异面直线，熟记概念即可，属于基础题型.12．如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，(25,0)F -为椭圆C 的左焦点，P 为椭圆C 上一点，满足||||OP OF =且||4PF =，则椭圆C 的标准方程为__________.【答案】2213616x y +=【解析】由已知可得 25c =，而由||||5OP OF ==||4PF =，可求出点P 的坐标，再将点P 的坐标代入椭圆方程中，再结合222a b c =+，可求出22a b ，的值. 【详解】解：由题意设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，因为(25,0)F -为椭圆C 的左焦点，所以25c =， 因为||||OP OF =，所以||||25OP OF == 设点P 的坐标为(,)P m n ，则22114(25)222OF n ⋅=⨯-， 解得5n =，则228(25)55m ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭所以点P 的坐标为55⎛ ⎝， 因为P 为椭圆C 上一点， 所以223664155a b += 因为22220a b c -==，所以解得2236,16a b ==，所以椭圆的标准方程为2213616x y +=，故答案为：2213616x y +=【点睛】此题考查的是椭圆的简单的几何性质，考查了运算能力，属于中档题.13．某班共有4个小组，每个小组有2人报名参加志愿者活动．现从这8人中随机选出4人作为正式志愿者，则选出的4人中至少有2人来自同一小组的概率为________． 【答案】2735【解析】先求出从这8人中随机选出4人的选法总数，再求出选出的4人中至少有2人来自同一小组的不同选法总数，再求概率. 【详解】从这8人中随机选出4人作为正式志愿者有4870C =种不同的选法.选出的4人中至少有2人来自同一小组分为下列情况：(1)恰好有2人来自同一小组,有1211432248C C C C =种（2）4个人来自2个不同的小组（每个小组2个人）有246C = 所以选出的4人中至少有2人来自同一小组有48654+=种选法. 则选出的4人中至少有2人来自同一小组的概率为54277035P == 故选项为：2735. 【点睛】本题考查组合问题，求古典概率的问题，属于中档题.14．作一个平面截正方体1111ABCD A B C D -得到一个多边形(包括三角形)截面，那么截面形状可能是__________.(填上所有你认为正确的选项的序号)①正三角形；②正方形；③菱形；④非正方形的矩形；⑤正五边形；⑥正六边形 【答案】①②③④⑥【解析】由题意结合正方体的几何特征，依次画出图形即可得解. 【详解】对于①，作一个平面截正方体得到的截面形状可能是正三角形，如图：故①正确；对于②、③，作一个平面截正方体得到的截面形状可能是正方形，如图：当E、F、G、H分别为所在棱的中点时，符合要求，故②、③正确；对于④，作一个平面截正方体得到的截面形状可能是非正方形的矩形，如图：故④正确；对于⑤，作一个平面截正方体得到的截面形状可能是五边形，但不可能是正五边形，故⑤错误；对于⑥，作一个平面截正方体得到的截面形状可能是正六边形，如图：若E 、F 、G 、H 、K 、M 分别为所在各棱的中点时，符合要求， 故⑥正确.故答案为：①②③④⑥. 【点睛】本题考查了正方体几何特征的应用及截面形状的求解，考查了空间思维能力，属于基础题.15．已知复数z 满足||1z =，则|i ||i |z z ++-的最大值是__________. 【答案】2【解析】设cos sin (,0)2z i θθθπ=+≤<，则化简可得2sincos2cos2222z i z i θθθθ++-=++-；然后分类讨论去绝对值，在根据三角函数的性质，即可求出结果． 【详解】设cos sin (,0)2z i θθθπ=+≤< ．则2222cos sin 1()cos sin )1(z i z i θθθθ++-=+++-()()2221sin 21sin 2sin cos 2sin cos 2222θθθθθθ=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭+⎝-=⎭+-2sincos2cos2222θθθθ=++-．02θπ≤<，02θπ∴≤<．当0,24θπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，20sin cos 1222θθ≤≤≤≤， 所以22cos2z i z i θ+-=+，z i z i ++-的最大值是22；当3,244θππ∈⎛⎤ ⎥⎝⎦时，22cos sin 12222θθ-≤<<≤， 所以22sin2z i z i θ++-=，z i z i ++-的最大值是22 ；当3,24θππ∈⎛⎫⎪⎝⎭时，221cos ,0sin 2222θθ-<<-<<，所以sin cos 22θθ<， 22cos 2z i z i θ++-=-，22z i z i ++-<．综上，z i z i ++-的最大值是22． 故答案为：22． 【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义,考查复数模的求法,训练了利用三角函数求最值,是中档题．16．在平面直角坐标系中，动点P （x ，y ）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，记点P 的轨迹为曲线W ，给出下列四个结论： ①曲线W 关于原点对称； ②曲线W 关于直线y ＝x 对称；③曲线W 与x 轴非负半轴，y 轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于；④曲线W 上的点到原点距离的最小值为22其中，所有正确结论的序号是________． 【答案】②③④ 【解析】【详解】试题分析：由题意22(1)(1)x y x y +=-+-化简得1xy x y ++=，用(,)x y --代方程中的(,)x y 所得方程与原方程不相同，因此①错；把原方程中,x y 互换，方程不变，因此曲线关于直线y x =对称，②正确；当0,0x y ≥≥时，方程为1xy x y ++=，即211y x =-+，记(1,0),(0,1)A B ，曲线211y x =-+(0,0)x y≥≥在OAB∆内部，而12OABS∆=，因此③正确；当0xy≥时，曲线方程为211yx=-+，当0xy≤时，方程为1(0)x y=≤或1(0)y x=≤，由于曲线关于直线y x=对称，由{211y xyx==-+，解得21{21xy=-=-或21{21xy=--=--，曲线W上点到原点的最短距离为22(21)(21)22-+-=-，④正确，故填②③④.【考点】曲线的方程与方程的曲线．【名师点晴】本题考查曲线的方程与方程的曲线．解析几何的本质就是用代数方法研究几何的性质，为了研究曲线的性质，我们就要求出曲线的方程，求曲线方程的基本步骤:（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x，y）表示曲线上任意一点M的坐标; （2）写出适合条件p的点M的集合P={M|p（M）};（3）用坐标表示条件p（M），列出方程f（x，y）=0;（4）化方程f（x，y）=0为最简形式;（5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.三、解答题17．已知3(nxx的二项展开式中，所有二项式系数之和为1024.（1）求n的值，并求展开式所有项的系数之和；（2）写出展开式中所有x的整数次幂的项.【答案】（1）10， 1；（2）3360，51024x -.【解析】（1）由题意结合二项式系数的性质可得21024n =，即可求得n ；令1x =，即可得展开式所有项的系数之和；（2）由题意结合二项式定理可得10展开式的通项公式，分别令4r =、10r =，即可得解.【详解】（1）因为n的二项展开式中，所有二项式系数之和为1024，所以21024n =，解得10n =；令1x =，则展开式所有项的系数之和为101=；（2）由题意可得10展开式的通项公式为：()()1020510326110101022rr r rrr r rr r r T C C xC x ----+⎛=⋅⋅=⋅-⋅=⋅-⋅ ⎝， 当4r =时，()()20544061010223360r rrC xC x -⋅-⋅=⋅-⋅=， 当10r =时，()()20510105561010221024r rr C xC x x ---⋅-⋅=⋅-⋅=，所以展开式中x 的整数次幂的项为3360，51024x -. 【点睛】本题考查了二项式系数的性质及二项式定理的应用，考查了运算求解能力，熟练掌握二项式定理、合理赋值是解题关键，属于中档题.18．已知关于x 的方程210x tx ++=的两个根是1x ､2x . （1）若12x i =+(i 为虚数单位)，求2x 与t 的值；（2）若t 是实数，且12||x x -=，求t 的值.【答案】（1）22i 5x -=，12455t i =--；（2），.【解析】（1）利用韦达定理，分别求得2x 与t 的值；；（2）若t 是实数，利用求根公式，根据两个根是共轭复数，且可以为实根，可以为虚根，结合题中条件，列出等量关系式，从而求得结果. 【详解】（1）根据121x x ⋅=，得22111222215i i x x i --====++， 利用12x x t +=-，所以2124(2)555i t i i -=-++=--， （2）根据题意，2t x -=，所以12x x -==当240t ->时，有26t =，t =当240t -<=，即242t -=-，所以t = 所以t的值为，. 【点睛】该题考查的是有关在复数域内求一元二次方程的根的问题，涉及到的知识点有韦达定理，分类讨论的思想，属于中档题目.19．等腰直角△AOB 内接于抛物线2:2C y px =(0p >)，其中O 为抛物线的顶点，OA OB ⊥，△AOB 的面积是16.（1）求抛物线C 的方程；（2）抛物线C 的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于M ､N 两点，交y 轴于点E ，若1EM MF λ=，2EN NF λ=，证明：12λλ+是一个定值.【答案】（1）24y x =；（2）证明见解析.【解析】（1）设点()11,A x y ，()22,B x y ，由抛物线方程、两点之间距离公式可得12x x =，结合面积即可得点A 坐标，代入即可得解；（2）设直线():10MN x my m =+≠，点()33,M x y ，()44,N x y ，由平面向量的知识可得34123412y y m y y λλ⎛⎫++=--⋅ ⎪⎝⎭，联立方程组，结合韦达定理即可得证. 【详解】（1）设点()11,A x y ，()22,B x y ，则2112y px =，2222y px =，因为△AOB 为等腰直角三角形，OA OB ⊥，所以22221122x y x y +=+，所以22112222x px x px ，化简得()()121220x x x x p -++=，由1>0x ，20x >，0p >可得1220x x p ，所以120x x -=即12x x =，所以点A 、点B 关于x 轴对称， 又△AOB 的面积是16，所以AO = 不妨设点()4,4A ，所以1624p =⋅，解得2p =， 所以抛物线C 的方程为24y x =；（2）证明：由题意可知点()1,0F ，直线MN 的斜率存在且不为0， 设直线():10MN x my m =+≠，点()33,M x y ，()44,N x y ， 所以点10,E m ⎛⎫-⎪⎝⎭，331,x y EM m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=，()331,x y MF -=-，441,x y EN m ⎛⎫+ =⎪⎝⎭， ()441,x y NF -=-，因为1EM MF λ=，2EN NF λ=，所以3133111y m y my λ+=---=，4244111y m y my λ+=---=，所以34123434111112y y my my m y y λλ⎛⎫++=----=--⋅ ⎪⎝⎭， 由241y x x my ⎧=⎨=+⎩消去x 可得2440y my --=，>0∆， 所以344y y m +=，344y y =-， 所以3412341142214y y m m y y m λλ⎛⎫++=--⋅=--⋅=- ⎪-⎝⎭， 所以12λλ+是一个定值, 且121λλ+=-. 【点睛】本题考查了抛物线方程的求解及直线、平面向量与抛物线的综合应用，考查了运算求解能力，属于中档题.20．已知在空间四边形ABCD 中，AB AD =，CB CD =，连结空间四边形的两条对角线AC ､BD .（1）求证：AC BD ⊥；（2）若6AB BC ==，8AC BD ==，求异面直线AB 与CD 的所成角.(用反余弦表示)【答案】（1）证明见解析；（2）7arccos 9. 【解析】（1）取BD 中点E ，连接AE 、CE ，由题意结合平面几何的知识可得AE BD ⊥、CE BD ⊥，由线面垂直的判定可得BD ⊥平面ACE ，再由线面垂直的性质即可得证； （2）取BC 中点F ，取AC 中点G ，连接,,EF FG GE ，由题意可得GFE ∠或其补角即为异面直线AB 与CD 的所成角，计算出EG 后，结合余弦定理即可得解. 【详解】（1）证明：取BD 中点E ，连接AE 、CE ，如图：因为AB AD =，CB CD =，所以AE BD ⊥，CE BD ⊥， 又AECE E =，所以BD ⊥平面ACE ，因为AC ⊂平面ACE ，所以AC BD ⊥；（2）取BC 中点F ，取AC 中点G ，连接,,EF FG GE ，如图：由6AB AD CD BC ====，8AC BD ==， 所以//FG AB 且132FG AB ==，//EF CD 且132EF CD ==， 所以GFE ∠或其补角即为异面直线AB 与CD 的所成角，所以221252AE CE AB BD ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭EG AC ⊥， 所以22122EG AE AC ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 在GFE 中，2229947cos 22339FG FE GE GFE FG FE +-+-∠===⋅⨯⨯，所以异面直线AB 与CD 所成的角为7arccos 9. 【点睛】本题考查了线面垂直的性质与判定的应用及异面直线所成角的求解，考查了空间思维能力与运算求解能力，属于中档题.21．已知椭圆2222:1x y a bΓ+=(0a b >>)的焦距为2，椭圆Γ的左､右焦点分别为1F ､2F ，过右焦点2F 作x 轴的垂线交椭圆于A ､B 两点，||3AB =. （1）求椭圆Γ的方程；（2）过右焦点2F 作直线交椭圆于C ､D 两点，若△1CDF 的内切圆的面积为π，求△1CDF 的面积； （3）已知222:O x y b +=，R 为圆上一点(R 在y 轴右侧)，过R 作圆的切线交椭圆Γ于M ､N 两点，试问△2MNF 的周长是否为一定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）14CDF S =；（3）是，24MNF l=.【解析】（1）由题意结合椭圆的性质可得221a b -=，再由点31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭即可求得2a 、2b ，即可得解；（2）由题意结合椭圆的性质可得△1CDF 的周长1CDF l ，再由1112CDF CDF Sl r =⋅（r 为内切圆半径）即可得解；（3）按照MN 斜率是否存在讨论，当直线MN 斜率存在时，设:MN y kx m =+，()()1122,,,M x y N x y ，由两点之间距离公式、椭圆性质可得焦半径2NF 、2MF ，联立方程结合韦达定理、弦长公式可得MN ，再由直线MN 与圆相切可得()2231m k =+，代入运算即可得解.【详解】（1）由椭圆焦距为2可得2221c a b =-=，()21,0F ， 又过右焦点2F 作x 轴的垂线交椭圆于A 、B 两点，||3AB =，不妨设点31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则2223121a b⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，解得24a =，23b =， 所以椭圆Γ的方程为22143x y +=；（2）由题意△1CDF 的周长1121248CDF lCF CF DF DF a =+++==，又△1CDF 的内切圆的面积为π，所以△1CDF 的内切圆的半径为1r =， 所以△1CDF 的面积11142CDF CDF Sl r =⋅=；（3）由题意22:3O x y+=，圆心为()0,0若MN斜率不存在时，不妨设点,M N ⎭⎭，此时△2MNF 的周长2224MNF lNF MF MN =++==； 当直线MN 斜率存在时，设:MN y kx m =+，()()1122,,,M x y N x y ，则2211143x y +=即2211334x y =-，则21122MF x ====-， 同理，22122NF x =-， 由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得()2224384120k x kmx m +++-=，>0∆， 则21212228412,4343km m x x x x k k -+=-=++， 由直线MN 与O=()2231m k =+，所以MN ==222434343k k k ===+++， 因为R 在y 轴右侧，所以0km <，所以()221212211142244422243km MF NF x x x x k +=-+-=-+=+=+44==， 所以△2MNF 的周长222MNF l MF NF MN =++22444343k k =-+=++； 综上，△2MNF 的周长为一定值，且周长24MNF l =.【点睛】本题考查了椭圆方程的确定、椭圆性质的应用、直线与椭圆的综合应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于难题.。

上海市格致中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（测试90分钟内完成，总分100分，试后交答题卷）友情提示：昨天，你既然经历了难苦的学习，今天，你必将赢得可喜的收获！祝你：城实守信，沉着冷静，细致踏实，自信自强，去迎接胜利！一、填空题：（本题共有12个小题，1-6每小题3分，7-12每小题4分，满分42分）1. 若直线与互相垂直，则的值为_________.2. 已知为可导函数，且，则____________．3. 已知抛物线的焦点为，是抛物线上一点，若，则点的横坐标为________.4. 已知数列为等比数列，其前项和为，且，公比为，则______.5. 若，则值为__________.6. 直线与平面所成角为， 则直线与平面内的任意一条直线所成角的取值范围是______.7. 方程表示一个圆，则实数的取值范围是______.8. 如图，在正三棱柱中，，为的中点，为线段上的点.则的最小值为__________9. 已知a >b >0，椭圆C 1的方程为＝1，双曲线C 2的方程为＝1，C 1与C 2的离心率之积C 2的渐近线方程为________．的1:210l ax y ++=2:(1)10l x a y +++=a ()y f x =(2)4'=f 0(22)(2)lim h f h f h →+-=24y x =F P ||3PF =P {}n a n n S 13a =4q =5S =109C C n n =21C n PA ABC π3PA ABC 22420x y kx y k ++++=k 111ABC A B C -122AB AA ==N 11A C M 1AA MN MB +2222x y a b +2222x y a b -10. 上海国际电影节影片展映期间，某影院准备在周日某放映厅安排放映4部电影，两部纪录片和两部悬疑片，当天白天有5个时段可供放映（5个连续的场次），则两部悬疑片不相邻（中间隔空场也叫不相邻），且当天最先放映的一定是悬疑片的排片方法有______种（结果用数字表示）．11. 如图，已知是椭圆的左焦点，为椭圆的下顶点，点是椭圆上任意一点，以为直径作圆，射线与圆交于点，则的取值范围为______.12. 已知曲线与曲线，且曲线和恰有两个不同的交点，则实数m 的取值范围为____________.二、选择题：（本题共有4个小题，每小题4分，满分16分）13. 已知为两个随机事件，则“为互斥事件”是“为对立事件”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件14. 函数的导函数，满足关系式，则的值为（ ）A. B. C. D. 15. 已知三条直线，，将平面分为六个部分，则满足条件的的值共有（ ）A 个 B. 2个 C. 个 D. 无数个16. 已知长方体中，，，为矩形内一动点，设二面角为，直线与平面所成的角为，若，则三棱锥体积的最小值是（ ）的.F 22143x y +=A P PF N ON N Q AQ 2211:x C y m +=2:22C y x =+1C 2C A B ､A B ､A B ､()f x ()f x '()()222ln f x x xf x '=+-()2f '72-7212-121:220l x y -+=2:20l x -=3:0+=l x ky k 131111ABCD A B C D -2AB =BC =13AA =P 1111D C B A P AD C --αPB ABCD βαβ=11P A BC -A. B. C. D. 三、解答题：（本题共有4大题，满分42分．解题时要有必要的解题步骤）17. 已知圆C 经过、两点，且圆心在直线上．（1）求圆C 的方程；（2）若直线经过点且与圆C 相切，求直线的方程．18. 已知等比数列为增数列，满足，前3项和.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前n 项和.19. 如图，在四棱锥中，平面平面ABCD ，，，M 为棱PC 中点．（1）证明：平面PAD ；（2）若，（i ）求二面角的余弦值；（ii ）在线段PA 上是否存在点Q ，使得点Q 到平面BDM？若存在，求出PQ 的值；若不存在，说明理由．20. 已知双曲线与圆交于点第一象限，曲线为、上取满足的部分．（1）若，求b 值；（2）当，与x 轴交点记作点、，P是曲线上一点，且在第一象限，且，求；的的1-(3,2)A (1,6)B 2y x =l (1,3)P -l {}n a 23a =313S ={}n a 32331log log n n n b a a ++=⋅{}n b n T P ABCD -PDC ⊥,AD DC AB DC ⊥∥112AB CD AD ===//BM 1PC PD ==P DM B --2212:14x y bΓ-=2222:4(0)x y b b Γ+=+>(),(A A A x y )Γ1Γ2ΓA x x >A x =b =2Γ1F 2F Γ18PF =12F PF ∠（3）过点斜率为的直线l 与曲线只有两个交点，记为M 、N ，用b 表示，并求的取值范围．上海市格致中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 简要答案一、填空题：（本题共有12个小题，1-6每小题3分，7-12每小题4分，满分42分）【1题答案】【答案】【2题答案】【答案】8【3题答案】【答案】2【4题答案】【答案】【5题答案】【答案】210【6题答案】【答案】【7题答案】【答案】【8题答案】【9题答案】20,22b D ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2b -ΓOM ON ⋅ OM ON ⋅23-1023ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦()(),44,-∞⋃+∞【答案】xy ＝0【10题答案】【答案】【11题答案】【答案】【12题答案】【答案】二、选择题：（本题共有4个小题，每小题4分，满分16分）【13题答案】【答案】B【14题答案】【答案】A【15题答案】【答案】C【16题答案】【答案】C三、解答题：（本题共有4大题，满分42分．解题时要有必要的解题步骤）【17题答案】【答案】（１） ；（２）【18题答案】【答案】（1）（2）【19题答案】【答案】（1）证明略（2）（i ）；（ii ）存在，【20题答案】4422⎡⎣()13,14,4⎛⎤⎧⎫-∞-⋃⋃+∞⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭22(2)(4)5x y -+-=250250x y x y -+=+-=或13n n a -=()22n n +PQ =【答案】（1）；（2）；（3），．2b =1211arccos 16PF F ∠=24OM ON b ⋅=+ (6)++∞。

格致中学高二期末数学试卷一. 填空题1.设()1224i z i +⋅=-（i 为虚数单位），则z =__________. 【答案】2 【解析】 【分析】利用复数的除法法则可得z ，可求得z ，进而利用复数的模长公式可求得z 的值.【详解】()1224i z i +⋅=-，()()()()2412246868121212555i i i i z i i i i -----∴====--++-，6855z i ∴=-+，因此，2z ==.故答案为：2.【点睛】本题考查复数模长的计算，同时也考查了复数的除法与共轭复数概念的应用，考查计算能力，属于基础题.2.双曲线22312x y -=的两渐近线的夹角大小为______. 【答案】3π； 【解析】 【分析】根据双曲线的方程，求得其见解析的方程，利用直线的夹角公式，即可求解.【详解】由双曲线22312x y -=，可化为221412x y -=，可得双曲线的两条渐近线的方程为y =， 设双曲线的两条渐近线夹角为θ且[0,]2πθ∈，则tan θ==3πθ=，即两条渐近线的倾斜角分别为3π. 故答案为3π. 【点睛】本题主要考查了以双曲线为载体，求解两直线的夹角，其中解答中熟记双曲线的几何性质，合理可用直线的夹角公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.以抛物线24y x =的焦点F 为圆心，与抛物线的准线相切的圆的标准方程为________．【答案】()2214x y -+= 【解析】 【分析】首先求得抛物线的焦点坐标，也即圆心的坐标，根据焦点到抛物线的距离求得半径，由此写出圆的标准方程.【详解】因为抛物线24y x =的焦点为圆心即(10)，，与抛物线的准线相切的圆的半径为：2． 所求圆的方程为：()2214x y -+=． 故答案为：()2214x y -+=．【点睛】本小题主要考查抛物线的几何性质，考查圆的标准方程，属于基础题.4.若直线1:2310l x y +-=的方向向量是直线2:20l ax y a -+=的法向量，则实数a 的值等于__________. 【答案】32【解析】 【分析】由题意结合直线方向向量、法向量的概念可得12l l ⊥，再由直线垂直的性质即可得解. 【详解】直线1l 的方向向量是直线2l 的法向量，∴12l l ⊥，∴230a -=，解得32a =. 故答案为：32. 【点睛】本题考查了直线方向向量、法向量概念的应用，考查了直线垂直的性质，属于基础题. 5.双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m =________【答案】14- 【解析】 【分析】根据题意，结合双曲线方程，列式计算即可.【详解】由双曲线方程可得0m <，焦点坐标在y 轴上，故可得虚轴长为12m-，实轴长为2， 又因为虚轴长是实轴长的2倍， 故可得124m -=，解得14m =-.故答案为：14-. 【点睛】本题考查由,a b 之间的关系，求双曲线方程中参数值的问题，属基础题.6.在长方体1111ABCD A B C D -中，若1AB BC ==，12AA =，则异面直线1BD 与1CC 所成角的大小为______. 【答案】4π【解析】 【分析】画出长方体1111ABCD A B C D -,再将异面直线1BD 与1CC 利用平行线转移到一个三角形内求解角度即可. 【详解】画出长方体1111ABCD A B C D -可得异面直线1BD 与1CC 所成角为1BD 与1DD 之间的夹角,连接BD .则因为1AB BC ==,则2BD =,又12AA =,故12BD DD ==,又1BD DD ⊥,故1BDD 为等腰直角三角形,故14DD B π∠=,即异面直线1BD 与1CC 所成角的大小为4π故答案为4π 【点睛】本题主要考查立体几何中异面直线的角度问题,一般的处理方法是将异面直线经过平行线的转换构成三角形求角度,属于基础题型.7.如图，在过正方体1111ABCD A B C D -的任意两个顶点的所有直线中，与直线1AC 异面的直线的条数为______．【答案】12 【解析】 【分析】由异面直线的概念，一一列举出与1AC 异面的直线即可.【详解】由题中正方体可得与1AC 异面的直线有：11A B ，11A D ，1BB ，1DD ,BC ，CD ；1A D ,1 B C ,1 A B ，1CD ，BD ，11B D ，共12条.故答案为12【点睛】本题主要考查异面直线，熟记概念即可，属于基础题型.8.如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，(25,0)F -为椭圆C 的左焦点，P 为椭圆C 上一点，满足||||OP OF =且||4PF =，则椭圆C 的标准方程为__________.【答案】2213616x y +=【解析】 【分析】由已知可得 25c =，而由||||25OP OF ==||4PF =，可求出点P 的坐标，再将点P 的坐标代入椭圆方程中，再结合222a b c =+，可求出22a b ，的值.【详解】解：由题意设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，因为(F -为椭圆C 的左焦点，所以c =因为||||OP OF =，所以||||OP OF ==设点P 的坐标为(,)P m n ，则11422OF n ⋅=⨯，解得n =，则m ==， 所以点P 的坐标为⎛ ⎝， 因为P 为椭圆C 上一点， 所以223664155a b += 因为22220a b c -==，所以解得2236,16a b ==，所以椭圆的标准方程为2213616x y +=，故答案为：2213616x y +=【点睛】此题考查的是椭圆的简单的几何性质，考查了运算能力，属于中档题.9.某班共有4个小组，每个小组有2人报名参加志愿者活动．现从这8人中随机选出4人作为正式志愿者，则选出的4人中至少有2人来自同一小组的概率为________． 【答案】2735【解析】 【分析】先求出从这8人中随机选出4人的选法总数，再求出选出的4人中至少有2人来自同一小组的不同选法总数，再求概率.【详解】从这8人中随机选出4人作为正式志愿者有4870C =种不同的选法.选出的4人中至少有2人来自同一小组分为下列情况：(1)恰好有2人来自同一小组,有1211432248C C C C =种（2）4个人来自2个不同的小组（每个小组2个人）有246C = 所以选出的4人中至少有2人来自同一小组有48654+=种选法.则选出的4人中至少有2人来自同一小组的概率为54277035P == 故选项为：2735. 【点睛】本题考查组合问题，求古典概率的问题，属于中档题.10.作一个平面截正方体1111ABCD A B C D -得到一个多边形(包括三角形)截面，那么截面形状可能是__________.(填上所有你认为正确的选项的序号)①正三角形；②正方形；③菱形；④非正方形的矩形；⑤正五边形；⑥正六边形 【答案】①②③④⑥ 【解析】 【分析】由题意结合正方体的几何特征，依次画出图形即可得解.【详解】对于①，作一个平面截正方体得到的截面形状可能是正三角形，如图：故①正确；对于②、③，作一个平面截正方体得到的截面形状可能是正方形，如图：当E 、F 、G 、H 分别为所在棱的中点时，符合要求， 故②、③正确；对于④，作一个平面截正方体得到的截面形状可能是非正方形的矩形，如图：故④正确；对于⑤，作一个平面截正方体得到的截面形状可能是五边形，但不可能是正五边形，故⑤错误； 对于⑥，作一个平面截正方体得到的截面形状可能是正六边形，如图：若E 、F 、G 、H 、K 、M 分别为所在各棱的中点时，符合要求， 故⑥正确.故答案为：①②③④⑥.【点睛】本题考查了正方体几何特征的应用及截面形状的求解，考查了空间思维能力，属于基础题. 11.已知复数z 满足||1z =，则|i ||i |z z ++-的最大值是__________. 【答案】2【解析】 【分析】设cos sin (,0)2z i θθθπ=+≤<，则化简可得coscos2222z i z i θθθθ++-=+-；然后分类讨论去绝对值，在根据三角函数的性质，即可求出结果． 【详解】设cos sin (,0)2z i θθθπ=+≤< ．则z i z i ++-===coscos2222θθθθ=++-．02θπ≤<，02θπ∴≤<．当0,24θπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，0sin cos 1222θθ≤≤≤≤，所以2z i z i θ+-=+，z i z i ++-的最大值是当3,244θππ∈⎛⎤⎥⎝⎦时，cos sin 12222θθ-≤<<≤，所以2z i z i θ++-=，z i z i++-的最大值是；当3,24θππ∈⎛⎫⎪⎝⎭时，1cos sin 2222θθ-<<-<<，所以sin cos 22θθ<， 2z i z i θ++-=-，z i z i ++-<综上，z i z i ++-的最大值是 故答案为：【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义,考查复数模的求法,训练了利用三角函数求最值,是中档题．12. 在平面直角坐标系中，动点P （x ，y ）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，记点P 的轨迹为曲线W ，给出下列四个结论： ①曲线W 关于原点对称；②曲线W关于直线y＝x对称；③曲线W与x轴非负半轴，y 轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于；④曲线W上的点到原点距离的最小值为22-其中，所有正确结论的序号是________．【答案】②③④【解析】【详解】试题分析：由题意22(1)(1)x y x y+=-+-，化简得1xy x y++=，用(,)x y--代方程中的(,)x y所得方程与原方程不相同，因此①错；把原方程中,x y互换，方程不变，因此曲线关于直线y x=对称，②正确；当0,0x y≥≥时，方程为1xy x y++=，即211yx=-+，记(1,0),(0,1)A B，曲线211yx=-+ (0,0)x y≥≥在OAB∆内部，而12OABS∆=，因此③正确；当0xy≥时，曲线方程为211yx=-+，当0xy≤时，方程为1(0)x y=≤或1(0)y x=≤，由于曲线关于直线y x=对称，由{211y xyx==-+，解得21{21xy=-=-或21{21xy=--=--，曲线W上点到原点的最短距离为22(21)(21)22-+-=-，④正确，故填②③④.考点：曲线的方程与方程的曲线．【名师点晴】本题考查曲线的方程与方程的曲线．解析几何的本质就是用代数方法研究几何的性质，为了研究曲线的性质，我们就要求出曲线的方程，求曲线方程的基本步骤:（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x，y）表示曲线上任意一点M的坐标;（2）写出适合条件p的点M的集合P={M|p（M）};（3）用坐标表示条件p （M ），列出方程f （x ，y ）=0; （4）化方程f （x ，y ）=0为最简形式;（5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.二. 选择题13.某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人，为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生120人，则该样本中的高二学生人数为( ) A. 80 B. 96C. 108D. 110【答案】C 【解析】 【分析】设高二总人数为x 人，由总人数及抽样比列方程组求解即可． 【详解】设高二总人数为x 人，抽取的样本中有高二学生y 人 则高三总人数为()50x -个，由题可得：()500501350120500x x y x ⎧++-=⎪⎨=⎪⎩，解得：108y =.故选C【点睛】本题主要考查了分层抽样中的比例关系，考查方程思想，属于基础题． 14.下列命题正确的是（ ）A. 如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行B. 如果一条直线垂直于一个平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面C. 如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面D. 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 【答案】D 【解析】 【分析】由直线与直线位置关系，可判断出A 错；由线面垂直的判定定理，判断B 错；由直线与平面位置关系判断C 错；从而选D ．【详解】解：如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行，或相交，或异面，故A 错误； 如果一条直线垂直于一个平面内的两条平行直线，那么这条直线不一定垂直于这个平面，故B 错误； 如果一条平面外直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面，但平面内直线不满足条件，故C 错误；果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行，故D 正确；【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了空间线面关系的判定，难度不大，属于基础题． 15.“20>z ”是“z 是非零实数”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要【答案】C 【解析】 【分析】设(),,z a bi a b R =+∈，由题意结合复数的运算及性质可得0a =或0b =，分类讨论即可得0a ≠、0b =；当z 是非零实数，则20>z ；由充分条件和必要条件的概念即可得解. 【详解】设(),,z a bi a b R =+∈，则2222z a b abi =-+， 若20>z ，则0a =或0b =， 当0a =时，220z b =->不存在， 当0b =时，220z a =>即0a ≠， 所以若20>z ，则z 是非零实数； 若z非零实数，则20>z ；所以“20>z ”是“z 是非零实数”的充要条件. 故选：C.【点睛】本题考查了复数的运算及复数性质的应用，考查了充分条件、必要条件的判断，属于中档题.16.设12,F F 是椭圆22194x y +=的两焦点，A 与B 是该椭圆的右顶点与上顶点，P 是该椭圆上的一个动点，O 是坐标原点，记2122s OP F P F P =-⋅.在动点P 在第一象限内从A 沿椭圆向左上方运动到B 的过程中，s 的大小变化情况为（ ）A. 逐渐变大B. 逐渐变小C. 先变大后变小D. 先变小后变大【答案】B 【解析】 【分析】设(,)P x y ，然后由向量数量积的坐标表示求出s 为x 的函数后，根据函数性质可得结论．【详解】设(,)P x y ，由椭圆方程知12(F F ， 2221222()()()s OP F P F P x y x y x y =-⋅=+-⋅2222222()(5)5x y x y x y =+--+=++2225415999x x x ⎛⎫=+-+=+ ⎪⎝⎭，随x 的减小而变小，故选：B.【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算，掌握向量数量积的的坐标表示是解题基础．三. 解答题17.已知n的二项展开式中，所有二项式系数之和为1024. （1）求n 的值，并求展开式所有项的系数之和； （2）写出展开式中所有x 的整数次幂的项. 【答案】（1）10， 1；（2）3360，51024x -. 【解析】 【分析】（1）由题意结合二项式系数的性质可得21024n =，即可求得n ；令1x =，即可得展开式所有项的系数之和；（2）由题意结合二项式定理可得10展开式的通项公式，分别令4r =、10r =，即可得解.【详解】（1）因为n的二项展开式中，所有二项式系数之和为1024，所以21024n =，解得10n =；令1x =，则展开式所有项的系数之和为101=；（2）由题意可得10展开式的通项公式为：()()1020510326110101022rr r rrr r rr r r T C C xC x ----+⎛=⋅⋅=⋅-⋅=⋅-⋅ ⎝， 当4r =时，()()20544061010223360r rrC xC x -⋅-⋅=⋅-⋅=， 当10r =时，()()20510105561010221024r rr C x C x x ---⋅-⋅=⋅-⋅=，所以展开式中x的整数次幂的项为3360，51024x -.【点睛】本题考查了二项式系数的性质及二项式定理的应用，考查了运算求解能力，熟练掌握二项式定理、合理赋值是解题关键，属于中档题.18.已知关于x 的方程210x tx ++=的两个根是1x ､2x . （1）若12x i =+(i 为虚数单位)，求2x 与t 的值； （2）若t 是实数，且12||x x -=，求t 的值. 【答案】（1）22i 5x -=，12455t i =--；（2），.【解析】 【分析】（1）利用韦达定理，分别求得2x 与t 的值；；（2）若t是实数，利用求根公式，根据两个根是共轭复数，且可以为实根，可以为虚根，结合题中条件，列出等量关系式，从而求得结果.【详解】（1）根据121x x ⋅=，得22111222215i ix x i --====++， 利用12x x t +=-，所以2124(2)555i t i i -=-++=--，（2）根据题意，2t x -=，所以12x x -==当240t ->时，有26t =，t =当240t -<=，即242t -=-，所以t =所以t的值为，.【点睛】该题考查的是有关在复数域内求一元二次方程的根的问题，涉及到的知识点有韦达定理，分类讨论的思想，属于中档题目.19.等腰直角△AOB 内接于抛物线2:2C y px =(0p >)，其中O 为抛物线的顶点，OA OB ⊥，△AOB 的面积是16. （1）求抛物线C的方程；（2）抛物线C 的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于M ､N 两点，交y 轴于点E ，若1EM MF λ=，2EN NF λ=，证明：12λλ+是一个定值.【答案】（1）24y x =；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）设点()11,A x y ，()22,B x y ，由抛物线方程、两点之间距离公式可得12x x =，结合面积即可得点A 坐标，代入即可得解；（2）设直线():10MN x my m =+≠，点()33,M x y ，()44,N x y ，由平面向量的知识可得34123412y y m y y λλ⎛⎫++=--⋅ ⎪⎝⎭，联立方程组，结合韦达定理即可得证. 【详解】（1）设点()11,A x y ，()22,B x y ，则2112y px =，2222y px =，因为△AOB 为等腰直角三角形，OA OB ⊥，所以22221122x y x y +=+，所以22112222x px x px ，化简得()()121220x x x x p -++=，由1>0x ，20x >，0p >可得1220x x p ，所以120x x -=即12x x =，所以点A 、点B 关于x 轴对称， 又△AOB 的面积是16，所以AO = 不妨设点()4,4A ，所以1624p =⋅，解得2p =， 所以抛物线C 的方程为24y x =；（2）证明：由题意可知点()1,0F ，直线MN 的斜率存在且不为0，设直线():10MN x my m =+≠，点()33,M x y ，()44,N x y ， 所以点10,E m ⎛⎫-⎪⎝⎭，331,x y EM m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=，()331,x y MF -=-，441,x y EN m ⎛⎫+ =⎪⎝⎭， ()441,x y NF -=-，因为1EM MF λ=，2EN NF λ=，所以3133111y m y my λ+=---=，4244111y m y my λ+=---=，所以34123434111112y y my my m y y λλ⎛⎫++=----=--⋅ ⎪⎝⎭， 由241y x x my ⎧=⎨=+⎩消去x 可得2440y my --=，>0∆， 所以344y y m +=，344y y =-， 所以3412341142214y y m m y y m λλ⎛⎫++=--⋅=--⋅=- ⎪-⎝⎭， 所以12λλ+是一个定值, 且121λλ+=-.【点睛】本题考查了抛物线方程的求解及直线、平面向量与抛物线的综合应用，考查了运算求解能力，属于中档题.20.已知在空间四边形ABCD 中，AB AD =，CB CD =，连结空间四边形的两条对角线AC ､BD .（1）求证：AC BD ⊥；（2）若6AB BC ==，8AC BD ==，求异面直线AB 与CD 的所成角.(用反余弦表示) 【答案】（1）证明见解析；（2）7arccos 9. 【解析】 【分析】（1）取BD 中点E ，连接AE 、CE ，由题意结合平面几何的知识可得AE BD ⊥、CE BD ⊥，由线面垂直的判定可得BD ⊥平面ACE ，再由线面垂直的性质即可得证；（2）取BC 中点F ，取AC 中点G ，连接,,EF FG GE ，由题意可得GFE ∠或其补角即为异面直线AB 与CD 的所成角，计算出EG 后，结合余弦定理即可得解.【详解】（1）证明：取BD 中点E ，连接AE 、CE ，如图：因为AB AD =，CB CD =，所以AE BD ⊥，CE BD ⊥，又AECE E =，所以BD ⊥平面ACE ，因为AC ⊂平面ACE ，所以AC BD ⊥；（2）取BC 中点F ，取AC 中点G ，连接,,EF FG GE ，如图：由6AB AD CD BC ====，8AC BD ==， 所以//FG AB 且132FG AB ==，//EF CD 且132EF CD ==， 所以GFE ∠或其补角即为异面直线AB 与CD 的所成角，所以221252AE CE AB BD ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭EG AC ⊥， 所以22122EG AE AC ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 在GFE 中，2229947cos 22339FG FE GE GFE FG FE +-+-∠===⋅⨯⨯，所以异面直线AB 与CD 所成的角为7arccos9. 【点睛】本题考查了线面垂直的性质与判定的应用及异面直线所成角的求解，考查了空间思维能力与运算求解能力，属于中档题.21.已知椭圆2222:1x y a bΓ+=(0a b >>)的焦距为2，椭圆Γ的左､右焦点分别为1F ､2F ，过右焦点2F 作x 轴的垂线交椭圆于A ､B 两点，||3AB =. （1）求椭圆Γ的方程；（2）过右焦点2F 作直线交椭圆于C ､D 两点，若△1CDF 的内切圆的面积为π，求△1CDF 的面积；（3）已知222:O x y b +=，R 为圆上一点(R 在y 轴右侧)，过R 作圆的切线交椭圆Γ于M ､N 两点，试问△2MNF 的周长是否为一定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）14CDF S =；（3）是，24MNF l=.【解析】 【分析】（1）由题意结合椭圆的性质可得221a b -=，再由点31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭即可求得2a 、2b ，即可得解； （2）由题意结合椭圆的性质可得△1CDF 的周长1CDF l ，再由1112CDF CDF Sl r =⋅（r 为内切圆半径）即可得解；（3）按照MN 斜率是否存在讨论，当直线MN 斜率存在时，设:MN y kx m =+，()()1122,,,M x y N x y ，由两点之间距离公式、椭圆性质可得焦半径2NF 、2MF ，联立方程结合韦达定理、弦长公式可得MN ，再由直线MN 与圆相切可得()2231m k =+，代入运算即可得解. 【详解】（1）由椭圆焦距为2可得2221c a b =-=，()21,0F ， 又过右焦点2F 作x 轴的垂线交椭圆于A 、B 两点，||3AB =，不妨设点31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则2223121a b⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，解得24a =，23b =， 所以椭圆Γ的方程为22143x y +=；（2）由题意△1CDF 的周长1121248CDF lCF CF DF DF a =+++==，又△1CDF 的内切圆的面积为π，所以△1CDF 的内切圆的半径为1r =， 所以△1CDF 的面积11142CDF CDF Sl r =⋅=；（3）由题意22:3O x y +=，圆心()0,0若MN斜率不存在时，不妨设点,22M N ⎫-⎪⎪⎭⎭，此时△2MNF 的周长2224MNF lNF MF MN =++==； 当直线MN 斜率存在时，设:MN y kx m =+，()()1122,,,M x y N x y ，则2211143x y +=即2211334x y=-， 则21122MF x ====-，同理，22122NF x =-， 由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得()2224384120k x kmx m +++-=，>0∆， 则21212228412,4343km m x x x x k k -+=-=++，由直线MN 与O=()2231m k =+，所以MN ==222434343k k k ===+++， 因为R 在y 轴右侧，所以0km <，所以()221212221114224442224343km MF NF x x x x k k +=-+-=-+=+=-++44==， 所以△2MNF 的周长222MNF lMF NF MN =++22444343k k =-+=++； 综上，△2MNF 的周长为一定值，且周长24MNF l=.【点睛】本题考查了椭圆方程的确定、椭圆性质的应用、直线与椭圆的综合应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于难题.。