高考数学第一轮总复习100讲：96 11.3 相互独立事件同时发生的概率

11.3 相互独立事件同时发生的概率●高考大纲了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率．一、知识梳理1.相互独立事件：事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响，这样的两个事件叫相互独立事件.2.独立重复实验：如果在一次试验中某事件发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，这个事件恰好发生k 次的概率为P n （k ）=C k n p k （1－p ）n －k . 3.关于相互独立事件也要抓住以下特征加以理解：第一，相互独立也是研究两个事件的关系；第二，所研究的两个事件是在两次试验中得到的；第三，两个事件相互独立是从“一个事件的发生对另一个事件的发生的概率没有影响”来确定的.4.互斥事件与相互独立事件是有区别的：两事件互斥是指同一次试验中两事件不能同时发生，两事件相互独立是指不同试验下，二者互不影响；两个相互独立事件不一定互斥，即可能同时发生，而互斥事件不可能同时发生.5.事件A 与B 的积记作A ·B ，A ·B 表示这样一个事件，即A 与B 同时发生.当A 和B 是相互独立事件时，事件A ·B 满足乘法公式P （A ·B ）=P （A ）·P （B ），还要弄清A ·B ，B A ⋅的区别. A ·B 表示事件A 与B 同时发生，因此它们的对立事件A 与B 同时不发生，也等价于A 与B 至少有一个发生的对立事件即B A +，因此有A ·B ≠B A ⋅，但A ·B =B A +.二、基础训练【例1】 把n 个不同的球随机地放入编号为1，2，…，m 的m 个盒子内，求1号盒恰有r 个球的概率. n r n r n mm --)1(C 【例2】 假设每一架飞机引擎在飞行中故障率为1－P ，且各引擎是否故障是独立的，如果至少50%的引擎能正常运行，飞机就可以成功地飞行，问对于多大的P 而言，4引擎飞机比2引擎的飞机更为安全？【例3】（全国卷Ⅲ）设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响。

【优化方案】2014届高考数学一轮复习 11.3 相互独立事件同时发生的概率课时闯关 理（含解析）人教版一、选择题1．若事件E 与F 相互独立，且P (E )＝P (F )＝14，则P (E ·F )的值等于( )A ．0 B.116C.14D.12 解析：选B.E ·F 代表E 与F 同时发生，∴P (E ·F )＝P (E )·P (F )＝116.故选B.2．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为45，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是( )A.16625B.96625C.192625D.256625解析：选B.由独立重复试验的概率公式知所求概率为C 24·(45)2·(15)2＝96625，故选B.3．在某高校举办的运动会上，甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜，根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛甲获胜的概率是( )A ．0.216B ．0.36C ．0.432D ．0.648 解析：选D.甲获胜分两种情况：①甲∶乙＝2∶0，其概率为(0.6)2＝0.36.②甲∶乙＝2∶1，其概率为[C 120.6×(1－0.6)×0.6]＝0.288. ∴甲获胜的概率为0.648.4．设两个相互独立事件A 、B 都不发生的概率为19，则A 与B 都发生的概率范围是( )A ．[0，89]B ．[19，59]C ．[23，89]D ．[0，49]解析：选D.设事件A 、B 发生的概率分别为P (A )＝x ，P (B )＝y ，∴P (A B )＝P (A )P (B )＝(1－x )(1－y )＝19.∴1＋xy ＝19＋x ＋y ≥19＋2xy .∴xy ≤23或xy ≥43(舍去)，∴0≤xy ≤49.5．(2011·高考湖北卷)如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为( )A ．0.960B ．0.864C ．0.720D ．0.576解析：选B.法一：由题意知K ，A 1，A 2正常工作的概率分别为P (K )＝0.9，P (A 1)＝0.8，P (A 2)＝0.8，∵K ，A 1，A 2相互独立，∴A 1，A 2至少有一个正常工作的概率为P (A 1A 2)＋P (A 1 A 2)＋P (A 1A 2)＝(1－0.8)×0.8＋0.8×(1－0.8)＋0.8×0.8＝0.96. ∴系统正常工作的概率为P (K )[P (A 1A 2)＋P (A 1 A 2)＋P (A 1A 2)]＝0.9×0.96＝0.864.法二：A 1，A 2至少有一个正常工作的概率为 1－P (A 1 A 2)＝1－(1－0.8)(1－0.8)＝0.96， ∴系统正常工作的概率为P (K )[1－P (A 1 A 2)]＝0.9×0.96＝0.864. 二、填空题6．(2011·高考重庆卷)将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________．解析：正面出现的次数比反面出现的次数多，则正面可以出现4次，5次或6次，所求概率P ＝C 46⎝ ⎛⎭⎪⎫126＋C 56⎝ ⎛⎭⎪⎫126＋C 66⎝ ⎛⎭⎪⎫126＝1132. 答案：11327．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于__________．解析：记“该选手回答对第i 个问题”为事件A i (i ＝1,2,3,4,5)，且P (A i )＝0.8.选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮则该选手第二个问题必回答错，第三、第四个问题必回答对，∴所求事件概率P ＝P (A 2·A 3·A 4)＝P (A 2)·P (A 3)·P (A 4)＝(1－0.8)×0.8×0.8＝0.128.答案：0.1288．某厂有三个顾问，假定每个顾问发表的意见正确的概率为0.8.现就某事可行与否征求各顾问的意见，并按顾问中多数人的意见作出决策，作出正确的决策的概率是______．解析：至少有两个顾问作出正确决定即可．P ＝C 23·0.82·0.2＋0.83＝0.896. 答案：0.896 三、解答题 9．某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和B ，系统A 在任意时刻发生故障的概率为110.求系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率．解：设“系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为事件D ，那么P (D )＝C 23·110·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1102＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1103＝9721 000＝243250.故系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率为243250.10．(2012·高考大纲全国卷)乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．(1)求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率； (2)求开始第5次发球时，甲得分领先的概率．解：记A i 表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i 分，i ＝0,1,2； B i 表示事件：第3次和第4次这两次发球，甲共得i 分，i ＝0,1,2；A 表示事件：第3次发球，甲得1分；B 表示事件：开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2；C 表示事件：开始第5次发球时，甲得分领先．(1)B ＝A 0·A ＋A 1·A ，P (A )＝0.4，P (A 0)＝0.42＝0.16， P (A 1)＝2×0.6×0.4＝0.48，P (B )＝P (A 0·A ＋A 1·A )＝P (A 0·A )＋P (A 1·A )＝P (A 0)P (A )＋P (A 1)P (A )＝0.16×0.4＋0.48×(1－0.4)＝0.352.(2)P (B 0)＝0.62＝0.36，P (B 1)＝2×0.4×0.6＝0.48， P (B 2)＝0.42＝0.16，P (A 2)＝0.62＝0.36. C ＝A 1·B 2＋A 2·B 1＋A 2·B 2.P (C )＝P (A 1·B 2＋A 2·B 1＋A 2·B 2) ＝P (A 1·B 2)＋P (A 2·B 1)＋P (A 2·B 2) ＝P (A 1)P (B 2)＋P (A 2)P (B 1)＋P (A 2)P (B 2) ＝0.48×0.16＋0.36×0.48＋0.36×0.16 ＝0.307 2.11．(探究选做)(2012·高考重庆卷)甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响．(1)求乙获胜的概率；(2)求投篮结束时乙只投了2个球的概率．解：设A k 、B k 分别表示甲、乙在第k 次投篮投中，则P (A k )＝13，P (B k )＝12(k ＝1,2,3)．(1)记“乙获胜”为事件C ，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P (C )＝P (A －1B 1)＋P (A －1B －1A －2B 2)＋P (A －1B －1A －2B －2A －3B 3)＝P (A －1)P (B 1)＋P (A －1)P (B －1)P (A －2)P (B 2)＋P (A －1)P (B －1)P (A －2)P (B －2)P (A －3)P (B 3) ＝23×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝1327. (2)记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件D ，则由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P (D )＝P (A －1B －1A －2B 2)＋P (A －1B －1A －2B －2A 3)＝P (A －1)P (B －1)P (A －2)P (B 2)＋P (A －1)P (B －1)P (A －2)P (B －2)P (A 3) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫122×13＝427.。

11.3 相互独立事件同时发生的概率●知识梳理1.相互独立事件：事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响，这样的两个事件叫相互独立事件.2.独立重复实验：如果在一次试验中某事件发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，这个事件恰好发生k 次的概率为P n （k ）=C k n p k （1－p ）n －k. 3.关于相互独立事件也要抓住以下特征加以理解：第一，相互独立也是研究两个事件的关系；第二，所研究的两个事件是在两次试验中得到的；第三，两个事件相互独立是从“一个事件的发生对另一个事件的发生的概率没有影响”来确定的.4.互斥事件与相互独立事件是有区别的：两事件互斥是指同一次试验中两事件不能同时发生，两事件相互独立是指不同试验下，二者互不影响；两个相互独立事件不一定互斥，即可能同时发生，而互斥事件不可能同时发生.5.事件A 与B 的积记作A ·B ，A ·B 表示这样一个事件，即A 与B 同时发生. 当A 和B 是相互独立事件时，事件A ·B 满足乘法公式P （A ·B ）=P （A ）·P （B ），还要弄清A ·B ，B A ⋅的区别. A ·B 表示事件A 与B 同时发生，因此它们的对立事件A 与B 同时不发生，也等价于A 与B 至少有一个发生的对立事件即B A +，因此有A ·B ≠B A ⋅，但A ·B =B A +.●点击双基1.（2004年辽宁，5）甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p 1，乙解决这个问题的概率是p 2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是A.p 1p 2B.p 1（1－p 2）+p 2（1－p 1）C.1－p 1p 2D.1－（1－p 1）（1－p 2） 解析：恰有一人解决就是甲解决乙没有解决或甲没有解决乙解决，故所求概率是p 1（1－p 2）+p 2（1－p 1）.答案：B2.将一枚硬币连掷5次，如果出现k 次正面的概率等于出现k +1次正面的概率，那么k 的值为A.0B.1C.2D.3解析：由C k 5（21）k （21）5－k =C 15+k （21）k +1·（21）5－k －1， 即C k 5=C 15+k ，k +（k +1）=5，k =2.答案：C3.从应届高中生中选出飞行员，已知这批学生体型合格的概率为31，视力合格的概率为61，其他几项标准合格的概率为51，从中任选一学生，则该生三项均合格的概率为（假设三项标准互不影响）A.94 B.901 C.54 D.95 解析：P =31×61×451=901.答案：C4.一道数学竞赛试题，甲生解出它的概率为21，乙生解出它的概率为31，丙生解出它的概率为41，由甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为________. 解析：P =21×32×43+ 21×31×43+ 21×32×41=2411. 答案：2411 5.一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是31.那么这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率是________.解析：因为这位司机在第一、二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯，所以P =（1－31）（1－31）×31=274.答案：274●典例剖析【例1】 （2004年广州模拟题）某班有两个课外活动小组，其中第一小组有足球票6张，排球票4张；第二小组有足球票4张，排球票6张.甲从第一小组的10张票中任抽1张，乙从第二小组的10张票中任抽1张.（1）两人都抽到足球票的概率是多少?（2）两人中至少有1人抽到足球票的概率是多少?解：记“甲从第一小组的10张票中任抽1张，抽到足球票”为事件A ，“乙从第二小组的10张票中任抽1张，抽到足球票”为事件B ；记“甲从第一小组的10张票中任抽1张，抽到排球票”为事件A ，“乙从第二小组的10张票中任抽1张，抽到排球票”为事件B ，于是P （A ）=106= 53，P （A ）=52； P （B ）=104= 52，P （B ）=53. 由于甲（或乙）是否抽到足球票，对乙（或甲）是否抽到足球票没有影响，因此A 与B 是相互独立事件.（1）甲、乙两人都抽到足球票就是事件A ·B 发生，根据相互独立事件的概率乘法公式，得到P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）=53·52=256.答：两人都抽到足球票的概率是256. （2）甲、乙两人均未抽到足球票（事件A ·B 发生）的概率为P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）=52·53=256. ∴两人中至少有1人抽到足球票的概率为 P =1－P （A ·B ）=1－256=2519. 答：两人中至少有1人抽到足球票的概率是2519. 【例2】 有外形相同的球分别装在三个不同的盒子中，每个盒子中有10个球.其中第一个盒子中有7个球标有字母A ，3个球标有字母B ；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个.试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A 的球，则在第二个盒子中任取一球；若第一次取得标有字母B 的球，则在第三个盒子中任取一球.如果第二次取得的球是红球，则称试验成功，求试验成功的概率.解：设事件A ：从第一个盒子中取得一个标有字母A 的球；事件B ：从第一个盒子中取得一个标有字母B 的球，则A 、B 互斥，且P （A ）=107，P （B ）=103；事件C ：从第二号盒子中取一个红球，事件D ：从第三号盒子中取一个红球，则C 、D 互斥，且P （C ）=21，P （D ）=108=54. 显然，事件A ·C 与事件B ·D 互斥，且事件A 与C 是相互独立的，B 与D 也是相互独立的.所以试验成功的概率为P =P （A ·C +B ·D ）=P （A ·C ）+P （B ·D ）=P （A ）·P （C ）+P （B ）·P （D ）=10059. ∴本次试验成功的概率为10059. 【例3】 （2004年福州模拟题）冰箱中放有甲、乙两种饮料各5瓶，每次饮用时从中任意取1瓶甲种或乙种饮料，取用甲种或乙种饮料的概率相等.（1）求甲种饮料饮用完毕而乙种饮料还剩下3瓶的概率；（2）求甲种饮料被饮用瓶数比乙种饮料被饮用瓶数至少多4瓶的概率. 解：（1）由题意知，甲种已饮用5瓶，乙种已饮用2瓶. 记“饮用一次，饮用的是甲种饮料”为事件A ，则p =P （A ）=21. 题（1）即求7次独立重复试验中事件A 发生5次的概率为P 7（5）=C 57p 5（1－p ）2=C 27（21）7=12821. （2）有且仅有3种情形满足要求：甲被饮用5瓶，乙被饮用1瓶；甲被饮用5瓶，乙没有被饮用；甲被饮用4瓶，乙没有被饮用.所求概率为P 6（5）+P 5（5）+P 4（4）=C 65p 5（1－p ）+C 55p 5+C 44p 4=163. 答：甲饮料饮用完毕而乙饮料还剩3瓶的概率为12821，甲饮料被饮用瓶数比乙饮料被饮用瓶数至少多4瓶的概率为163. ●闯关训练 夯实基础1.若A 与B 相互独立，则下面不相互独立事件有 A.A 与AB.A 与BC. A 与BD. A 与B解析：由定义知，易选A. 答案：A2.在某段时间内，甲地不下雨的概率为0.3，乙地不下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨相互无影响，则这段时间内两地都下雨的概率是A.0.12B.0.88C.0.28D.0.42 解析：P =（1－0.3）（1－0.4）=0.42. 答案：D3.某学生参加一次选拔考试，有5道题，每题10分.已知他解题的正确率为53，若40分为最低分数线，则该生被选中的概率是________.解析：该生被选中，他解对5题或4题.∴P =（53）5+C 45×（53）4×（1－53）=31251053. 答案：312510534.某单位订阅大众日报的概率为0.6，订阅齐鲁晚报的概率为0.3，则至少订阅其中一种报纸的概率为________.解析：P =1－（1－0.6）（1－0.3）=0.72. 答案：0.72 培养能力5.在未来3天中，某气象台预报每天天气的准确率为0.8，则在未来3天中， （1）至少有2天预报准确的概率是多少？（2）至少有一个连续2天预报都准确的概率是多少？ 解：（1）至少有2天预报准确的概率即为恰有2天和恰有3天预报准确的概率，即C 23·0.82·0.2+C 33·0.83=0.896.∴至少有2天预报准确的概率为0.896.（2）至少有一个连续2天预报准确，即为恰有一个连续2天预报准确或3天预报准确的概率为2·0.82·0.2+0.83=0.768.∴至少有一个连续2天预报准确的概率为0.768.6.（2004年南京模拟题）一个通讯小组有两套设备，只要其中有一套设备能正常工作，就能进行通讯.每套设备由3个部件组成，只要其中有一个部件出故障，这套设备就不能正常工作.如果在某一时间段内每个部件不出故障的概率为p ，计算在这一时间段内，（1）恰有一套设备能正常工作的概率； （2）能进行通讯的概率.解：记“第一套通讯设备能正常工作”为事件A ，“第二套通讯设备能正常工作”为事件B .由题意知P （A ）=p 3，P （B ）=p 3，P （A ）=1－p 3，P （B ）=1－p 3.（1）恰有一套设备能正常工作的概率为P （A ·B + A ·B ）=P （A ·B ）+P （A ·B ） =p 3（1－p 3）+（1－p 3）p 3=2p 3－2p 6.（2）方法一：两套设备都能正常工作的概率为 P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）=p 6.至少有一套设备能正常工作的概率，即能进行通讯的概率为 P （A ·B + A ·B ）+P （A ·B ）=2p 3－2p 6+p 6=2p 3－p 6. 方法二：两套设备都不能正常工作的概率为 P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）=（1－p 3）2. 至少有一套设备能正常工作的概率，即能进行通讯的概率为1－P （A ·B ）=1－P （A ）·P （B ）=1－（1－p 3）2=2p 3－p 6. 答：恰有一套设备能正常工作的概率为2p 3－2p 6，能进行通讯的概率为2p 3－p 6. 7.已知甲袋中有3个白球和4个黑球，乙袋中有5个白球和4个黑球.现从两袋中各取两个球，试求取得的4个球中有3个白球和1个黑球的概率.解：从甲袋中取2个白球，从乙袋中取1个黑球和1个白球的概率为2723C C ×291415C C C =635； 从甲袋中取1个黑球和1个白球，从乙袋中取2个白球的概率为271413C C C ×2925C C =6310. 所以，取得的4个球中有3个白球和1个黑球的概率为635+6310=6315=215. 探究创新8.（2004年湖南）甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为41，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为121，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为92. （1）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；（2）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率. 解：（1）设A 、B 、C 分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件，由题设条件有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⋅=⋅=⋅,92)(,121)(,41)(C A P C B P B A P即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⋅=-⋅=-⋅.92)()(,121)](1[)(,41)](1[)(C P A P C P B P B P A P由①③得P （B ）=1－89P （C ）， 代入②得27［P （C ）］2－51P （C ）+22=0. 解得P （C ）=32或911（舍去）. 将P （C ）=32分别代入③②可得P （A ）=31，P （B ）=41， 即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是31，41，32.（2）记D 为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验至少有一个一等品的事件，则 P （D ）=1－P （D ）=1－［1－P （A ）］［1－P （B ）］［1－P （C ）］=1－32·43·31=65. 故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为65. ●思悟小结1.应用公式时，要注意前提条件，只有对于相互独立事件A 与B 来说，才能运用公式P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）.2.在学习过程中，要善于将较复杂的事件分解为互斥事件的和及独立事件的积，或其对立事件.3.善于将具体问题化为某事件在n 次独立重复试验中发生k 次的概率. ●教师下载中心 教学点睛1.首先要搞清事件间的关系（是否彼此互斥、是否互相独立、是否对立），当且仅当事件A 和事件B 互相独立时，才有P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）.2.A 、B 中至少有一个发生：A +B .（1）若A 、B 互斥：P （A +B ）=P （A ）+P （B ），否则不成立. （2）若A 、B 相互独立（不互斥）.法一：P （A +B ）=P （A ·B ）+P （A ·B ）+P （A ·B ）； 法二：P （A +B ）=1－P （A ·B ）；法三：P （A +B ）=P （A ）+P （B ）－P （AB ）.① ② ③3.某些事件若含有较多的互斥事件，可考虑其对立事件的概率，这样可减少运算量，提高正确率.要注意“至多”“至少”等题型的转化，如例1.4.n 次独立重复试验中某事件发生k 次的概率P n （k ）=C k n p k （1－p ）n －k正好是二项式［（1－p ）+p ］n 的展开式的第k +1项. 拓展题例【例1】 把n 个不同的球随机地放入编号为1，2，…，m 的m 个盒子内，求1号盒恰有r 个球的概率.解法一：用独立重复试验的概率公式.把1个球放入m 个不同的盒子内看成一次独立试验，其中放入1号盒的概率为P =m1.这样n 个球放入m 个不同的盒子内相当于做n 次独立重复试验.由独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率公式知，1号盒恰有r 个球的概率 P n （r ）=C r np r（1－p ）n －r=C r n·（m 1）r ·（1－m 1）n －r =nrn r n m m --⋅)1(C .解法二：用古典概型.把n 个不同的球任意放入m 个不同的盒子内共有m n 个等可能的结果.其中1号盒内恰有r 个球的结果数为C r n （m －1）n －r ，故所求概率P （A ）=nrn r n mm --)1(C .答：1号盒恰有r 个球的概率为nrn r n m m --)1(C .【例2】 假设每一架飞机引擎在飞行中故障率为1－P ，且各引擎是否故障是独立的，如果至少50%的引擎能正常运行，飞机就可以成功地飞行，问对于多大的P 而言，4引擎飞机比2引擎的飞机更为安全？分析：4引擎飞机可以看作4次独立重复试验，要能正常运行，即求发生k 次（k ≥2）的概率.同理，2引擎飞机正常运行的概率即是2次独立重复试验中发生k 次（k ≥1）的概率，由此建立不等式求解.解：4引擎飞机成功飞行的概率为C 24P 2（1－P ）2+C 34P 3（1－P ）+C 44P 4=6P 2（1－P ）2+4P 3（1－P ）+P 4. 2引擎飞机成功飞行的概率为C 12P （1－P ）+C 22P 2=2P （1－P ）+P 2.要使4引擎飞机比2引擎飞机安全，只要6P 2（1－P ）2+4P 3（1－P ）+P 4≥2P （1－P ）+P 2. 化简，分解因式得（P －1）2（3P －2）≥0. 所以3P －2≥0， 即得P ≥32. 答：当引擎不出故障的概率不小于32时，4引擎飞机比2引擎飞机安全.。

11.3相互独立事件同时发生的概率●知识梳理1.相互独立事件：事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫相互独立事件.2.独立重复实验：如果在一次试验中某事件发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，这个事件恰好发生k次的概率为P n（k）p k（1－p）n－k.=C kn3.关于相互独立事件也要抓住以下特征加以理解：第一，相互独立也是研究两个事件的关系；第二，所研究的两个事件是在两次试验中得到的；第三，两个事件相互独立是从“一个事件的发生对另一个事件的发生的概率没有影响”来确定的.4.互斥事件与相互独立事件是有区别的：两事件互斥是指同一次试验中两事件不能同时发生，两事件相互独立是指不同试验下，二者互不影响；两个相互独立事件不一定互斥，即可能同时发生，而互斥事件不可能同时发生.5.事件A与B的积记作A·B，A·B表示这样一个事件，即A与B同时发生.当A和B是相互独立事件时，事件A·B满足乘法公式P（A·B）=P（A）·P（B），还要弄清A·B，BA⋅的区别.A·B表示事件A与B 同时发生，因此它们的对立事件A与B同时不发生，也等价于A与B 至少有一个发生的对立事件即BA⋅，但A+，因此有A·B≠BA ·B =B A +.●点击双基1.（2019年辽宁，5）甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p 1，乙解决这个问题的概率是p 2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是A.p 1p 2B.p 1（1－p 2）+p 2（1－p 1）C.1－p 1p 2D.1－（1－p 1）（1－p 2） 解析：恰有一人解决就是甲解决乙没有解决或甲没有解决乙解决，故所求概率是p 1（1－p 2）+p 2（1－p 1）.答案：B2.将一枚硬币连掷5次，如果出现k 次正面的概率等于出现k +1次正面的概率，那么k 的值为A.0B.1C.2D.3 解析：由C k 5（21）k （21）5－k =C 15+k （21）k +1·（21）5－k －1，即C k 5=C 15+k ，k +（k +1）=5，k =2.答案：C3.从应届高中生中选出飞行员，已知这批学生体型合格的概率为31，视力合格的概率为61，其他几项标准合格的概率为51，从中任选一学生，则该生三项均合格的概率为（假设三项标准互不影响） A.94B.901C.54D.95 解析：P =31×61×451=901. 答案：C4.一道数学竞赛试题，甲生解出它的概率为21，乙生解出它的概率为31，丙生解出它的概率为41，由甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为________.解析：P =21×32×43+21×31×43+21×32×41=2411. 答案：2411 5.一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是31.那么这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率是________.解析：因为这位司机在第一、二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯，所以P =（1－31）（1－31）×31=274. 答案：274 ●典例剖析【例1】（2019年广州模拟题）某班有两个课外活动小组，其中第一小组有足球票6张，排球票4张；第二小组有足球票4张，排球票6张.甲从第一小组的10张票中任抽1张，乙从第二小组的10张票中任抽1张.（1）两人都抽到足球票的概率是多少?（2）两人中至少有1人抽到足球票的概率是多少?解：记“甲从第一小组的10张票中任抽1张，抽到足球票”为事件A ，“乙从第二小组的10张票中任抽1张，抽到足球票”为事件B ；记“甲从第一小组的10张票中任抽1张，抽到排球票”为事件A ，“乙从第二小组的10张票中任抽1张，抽到排球票”为事件B ，于是P （A ）=106=53，P （A ）=52；P （B ）=104=52，P （B ）=53.由于甲（或乙）是否抽到足球票，对乙（或甲）是否抽到足球票没有影响，因此A 与B 是相互独立事件.（1）甲、乙两人都抽到足球票就是事件A ·B 发生，根据相互独立事件的概率乘法公式，得到P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）=53·52=256. 答：两人都抽到足球票的概率是256. （2）甲、乙两人均未抽到足球票（事件A ·B 发生）的概率为 P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）=52·53=256. ∴两人中至少有1人抽到足球票的概率为P =1－P （A ·B ）=1－256=2519. 答：两人中至少有1人抽到足球票的概率是2519.【例2】有外形相同的球分别装在三个不同的盒子中，每个盒子中有10个球.其中第一个盒子中有7个球标有字母A ，3个球标有字母B ；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个.试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A 的球，则在第二个盒子中任取一球；若第一次取得标有字母B 的球，则在第三个盒子中任取一球.如果第二次取得的球是红球，则称试验成功，求试验成功的概率.解：设事件A ：从第一个盒子中取得一个标有字母A 的球；事件B ：从第一个盒子中取得一个标有字母B 的球，则A 、B 互斥，且P（A ）=107，P （B ）=103；事件C ：从第二号盒子中取一个红球，事件D ：从第三号盒子中取一个红球，则C 、D 互斥，且P （C ）=21，P（D ）=108=54. 显然，事件A ·C 与事件B ·D 互斥，且事件A 与C 是相互独立的，B 与D 也是相互独立的.所以试验成功的概率为P =P （A ·C +B ·D ）=P （A ·C ）+P （B ·D ）=P （A ）·P （C ）+P （B ）·P （D ）=10059. ∴本次试验成功的概率为10059. 【例3】（2019年福州模拟题）冰箱中放有甲、乙两种饮料各5瓶，每次饮用时从中任意取1瓶甲种或乙种饮料，取用甲种或乙种饮料的概率相等.（1）求甲种饮料饮用完毕而乙种饮料还剩下3瓶的概率；（2）求甲种饮料被饮用瓶数比乙种饮料被饮用瓶数至少多4瓶的概率.解：（1）由题意知，甲种已饮用5瓶，乙种已饮用2瓶.记“饮用一次，饮用的是甲种饮料”为事件A ，则p =P （A ）=21. 题（1）即求7次独立重复试验中事件A 发生5次的概率为P 7（5）=C 57p 5（1－p ）2=C 27（21）7=12821. （2）有且仅有3种情形满足要求：甲被饮用5瓶，乙被饮用1瓶；甲被饮用5瓶，乙没有被饮用；甲被饮用4瓶，乙没有被饮用.所求概率为P 6（5）+P 5（5）+P 4（4）=C 65p 5（1－p ）+C 55p 5+C 44p 4=163. 答：甲饮料饮用完毕而乙饮料还剩3瓶的概率为12821，甲饮料被饮用瓶数比乙饮料被饮用瓶数至少多4瓶的概率为163.●闯关训练夯实基础1.若A 与B 相互独立，则下面不相互独立事件有A.A 与AB.A 与BC.A 与BD.A 与B解析：由定义知，易选A.答案：A2.在某段时间内，甲地不下雨的概率为0.3，乙地不下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨相互无影响，则这段时间内两地都下雨的概率是A.0.12B.0.88C.0.28D.0.42解析：P =（1－0.3）（1－0.4）=0.42.答案：D3.某学生参加一次选拔考试，有5道题，每题10分.已知他解题的正确率为53，若40分为最低分数线，则该生被选中的概率是________.解析：该生被选中，他解对5题或4题.∴P =（53）5+C 45×（53）4×（1－53）=31251053. 答案：31251053 4.某单位订阅大众日报的概率为0.6，订阅齐鲁晚报的概率为0.3，则至少订阅其中一种报纸的概率为________.解析：P =1－（1－0.6）（1－0.3）=0.72.答案：0.72培养能力5.在未来3天中，某气象台预报每天天气的准确率为0.8，则在未来3天中，（1）至少有2天预报准确的概率是多少？（2）至少有一个连续2天预报都准确的概率是多少？解：（1）至少有2天预报准确的概率即为恰有2天和恰有3天预报准确的概率，即C23·0.82·0.2+C33·0.83=0.896.∴至少有2天预报准确的概率为0.896.（2）至少有一个连续2天预报准确，即为恰有一个连续2天预报准确或3天预报准确的概率为2·0.82·0.2+0.83=0.768.∴至少有一个连续2天预报准确的概率为0.768.6.（2019年南京模拟题）一个通讯小组有两套设备，只要其中有一套设备能正常工作，就能进行通讯.每套设备由3个部件组成，只要其中有一个部件出故障，这套设备就不能正常工作.如果在某一时间段内每个部件不出故障的概率为p，计算在这一时间段内，（1）恰有一套设备能正常工作的概率；（2）能进行通讯的概率.解：记“第一套通讯设备能正常工作”为事件A，“第二套通讯设备能正常工作”为事件B.由题意知P（A）=p3，P（B）=p3，P （A ）=1－p 3，P （B ）=1－p 3.（1）恰有一套设备能正常工作的概率为P （A ·B +A ·B ）=P （A ·B ）+P （A ·B ）=p 3（1－p 3）+（1－p 3）p 3=2p 3－2p 6.（2）方法一：两套设备都能正常工作的概率为P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）=p 6.至少有一套设备能正常工作的概率，即能进行通讯的概率为P （A ·B +A ·B ）+P （A ·B ）=2p 3－2p 6+p 6=2p 3－p 6.方法二：两套设备都不能正常工作的概率为P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）=（1－p 3）2.至少有一套设备能正常工作的概率，即能进行通讯的概率为1－P （A ·B ）=1－P （A ）·P （B ）=1－（1－p 3）2=2p 3－p 6.答：恰有一套设备能正常工作的概率为2p 3－2p 6，能进行通讯的概率为2p 3－p 6.7.已知甲袋中有3个白球和4个黑球，乙袋中有5个白球和4个黑球.现从两袋中各取两个球，试求取得的4个球中有3个白球和1个黑球的概率.解：从甲袋中取2个白球，从乙袋中取1个黑球和1个白球的概率为2723C C ×291415C C C =635； 从甲袋中取1个黑球和1个白球，从乙袋中取2个白球的概率为271413C C C ×2925C C =6310. 所以，取得的4个球中有3个白球和1个黑球的概率为635+6310=6315=215. 探究创新8.（2019年湖南）甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为41，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为121，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为92. （1）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；（2）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率.解：（1）设A 、B 、C 分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件， 由题设条件有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⋅=⋅=⋅,92)(,121)(,41)(C A P C B P B A P 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⋅=-⋅=-⋅.92)()(,121)](1[)(,41)](1[)(C P A P C P B P B P A P ① ② ③由①③得P （B ）=1－89P （C ）， 代入②得27［P （C ）］2－51P （C ）+22=0.解得P （C ）=32或911（舍去）. 将P （C ）=32分别代入③②可得P （A ）=31，P （B ）=41， 即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是31，41，32. （2）记D 为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验至少有一个一等品的事件，则P （D ）=1－P （D ）=1－［1－P （A ）］［1－P （B ）］［1－P （C ）］=1－32·43·31=65. 故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为65. ●思悟小结1.应用公式时，要注意前提条件，只有对于相互独立事件A 与B 来说，才能运用公式P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）.2.在学习过程中，要善于将较复杂的事件分解为互斥事件的和及独立事件的积，或其对立事件.3.善于将具体问题化为某事件在n 次独立重复试验中发生k 次的概率.●教师下载中心教学点睛1.首先要搞清事件间的关系（是否彼此互斥、是否互相独立、是否对立），当且仅当事件A和事件B互相独立时，才有P（A·B）=P （A）·P（B）.2.A、B中至少有一个发生：A+B.（1）若A、B互斥：P（A+B）=P（A）+P（B），否则不成立.（2）若A、B相互独立（不互斥）.法一：P（A+B）=P（A·B）+P（A·B）+P（A·B）；法二：P（A+B）=1－P（A·B）；法三：P（A+B）=P（A）+P（B）－P（AB）.3.某些事件若含有较多的互斥事件，可考虑其对立事件的概率，这样可减少运算量，提高正确率.要注意“至多”“至少”等题型的转化，如例1.4.n次独立重复试验中某事件发生k次的概率P n（k）=C knp k（1－p）n－k正好是二项式［（1－p）+p］n的展开式的第k+1项.拓展题例【例1】把n个不同的球随机地放入编号为1，2，…，m的m 个盒子内，求1号盒恰有r个球的概率.解法一：用独立重复试验的概率公式.把1个球放入m个不同的盒子内看成一次独立试验，其中放入1号盒的概率为P=m1.这样n个球放入m个不同的盒子内相当于做n次独立重复试验.由独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率公式知，1号盒恰有r个球的概率P n（r）=C rn p r（1－p）n－r=C rn·（m1）r·（1－m1）n－r=nrnrnmm--⋅)1(C.解法二：用古典概型.把n个不同的球任意放入m个不同的盒子内共有m n 个等可能的结果.其中1号盒内恰有r 个球的结果数为C r n （m－1）n －r ，故所求概率P （A ）=n r n r n m m --)1(C .答：1号盒恰有r 个球的概率为nr n r n m m --)1(C . 【例2】假设每一架飞机引擎在飞行中故障率为1－P ，且各引擎是否故障是独立的，如果至少50%的引擎能正常运行，飞机就可以成功地飞行，问对于多大的P 而言，4引擎飞机比2引擎的飞机更为安全？分析：4引擎飞机可以看作4次独立重复试验，要能正常运行，即求发生k 次（k ≥2）的概率.同理，2引擎飞机正常运行的概率即是2次独立重复试验中发生k 次（k ≥1）的概率，由此建立不等式求解.解：4引擎飞机成功飞行的概率为C 24P 2（1－P ）2+C 34P 3（1－P ）+C 44P 4=6P 2（1－P ）2+4P 3（1－P ）+P 4.2引擎飞机成功飞行的概率为C 12P （1－P ）+C 22P 2=2P （1－P ）+P 2.要使4引擎飞机比2引擎飞机安全，只要6P 2（1－P ）2+4P 3（1－P ）+P 4≥2P （1－P ）+P 2.化简，分解因式得（P －1）2（3P －2）≥0.所以3P －2≥0，即得P ≥32. 答：当引擎不出故障的概率不小于32时，4引擎飞机比2引擎飞机安全.。

§10.5　事件的相互独立性与条件概率、全概率公式第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布2024年高考数学一轮复习课件（新高考版）考试要求1.了解两个事件相互独立的含义.2.理解随机事件的独立性和条件概率的关系，会利用全概率公式计算概率.内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练第一部分1.相互独立事件(1)概念：对任意两个事件A 与B ，如果P (AB )＝__________成立，则称事件A 与事件B 相互独立，简称为独立.P (A )·P (B)B2.条件概率(1)概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝______为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.(2)两个公式①利用古典概型：P(B|A)＝_______；P(A)P(B|A)②概率的乘法公式：P(AB)＝___________.3.全概率公式一般地，设A1，A2，…，A n是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪A n＝Ω，且P(A i)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝______________.常用结论1.如果事件A1，A2，…，A n相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…A n)＝P(A1)P(A2)…P(A n).2.贝叶斯公式：设A1，A2，…，A n是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪A n＝Ω，且P(A i)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)对于任意两个事件，公式P (AB )＝P (A )P (B )都成立.( )(2)若事件A ，B 相互独立，则P (B |A )＝P (B ).( )(3)抛掷2枚质地均匀的硬币，设“第一枚正面朝上”为事件A ，“第2枚正面朝上”为事件B ，则A ，B 相互独立.( )(4)若事件A 1与A 2是对立事件，则对任意的事件B ⊆Ω，都有P (B )＝P (A 1)P (B |A 1)＋P (A 2)P (B |A 2).( )√×√√1.甲、乙两人独立地破解同一个谜题，破解出谜题的概率分别为则谜题没被破解出的概率为√设“甲独立地破解出谜题”为事件A，“乙独立地破解出谜题”为事件B，2.在8件同一型号的产品中，有3件次品，5件合格品，现不放回地从中依次抽取2件，在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是√当第一次抽到次品后，还剩余2件次品，5件合格品，由题意得，居民甲第二天去A 食堂用餐的概率P ＝0.5×0.6＋0.5×0.5＝0.55.3.智能化的社区食堂悄然出现，某社区有智能食堂A ，人工食堂B，居民甲第一天随机地选择一食堂用餐，如果第一天去A 食堂，那么第二天去A 食堂的概率为0.6；如果第一天去B 食堂，那么第二天去A 食堂的概率为0.5，则居民甲第二天去A 食堂用餐的概率为_____.0.55第二部分例1　(1)(2021·新高考全国Ⅰ)有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则√A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立事件甲与事件丙同时发生的概率为0，P(甲丙)≠P(甲)P(丙)，故A错误；事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，故D错误.(2)(2023·临沂模拟)“11分制”乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10∶10平后，若甲先发球，两人又打了2个球后该局比赛结束的概率为______；若乙先发球，两人又打了4个球后该局比赛结束，则甲获胜的概率为 _____.0.50.1记两人又打了X个球后结束比赛，设双方10∶10平后的第k个球甲获胜为事件A k(k＝1,2,3…)，＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5.思维升华求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积.(2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算.跟踪训练1　小王某天乘火车从重庆到上海，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求：(1)这三列火车恰好有两列火车正点到达的概率；由题意得A，B，C之间相互独立，所以恰好有两列火车正点到达的概率为＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.(2)这三列火车恰好有一列火车正点到达的概率；恰好有一列火车正点到达的概率为＝0.8×0.3×0.1＋0.2×0.7×0.1＋0.2×0.3×0.9＝0.092.(3)这三列火车至少有一列火车正点到达的概率.三列火车至少有一列火车正点到达的概率为＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.例2　(1)(2022·哈尔滨模拟)七巧板是中国民间流传的智力玩具.据清代陆以湉《冷庐杂识》记载，七巧板是由宋代黄伯思设计的宴几图演变而来的，原为文人的一种室内游戏，后在民间逐步演变为拼图版玩具.到明代，七巧板已基本定型为由如图所示的七块板组成：五块等腰直角三角形(其中两块小型三角形、一块中型三角形和两块大型三角形)、一块正方形和一块平行四边形，可以拼成人物、动物、植物、房亭、楼阁等1 600种以上图案.现从七巧板中取出两块，已知取出的是三角形，则两块板恰好是全等三角形的概率为√设事件A为“从七巧板中取出两块，取出的是三角形”，事件B为“两块板恰好是全等三角形”，(2)逢年过节走亲访友，成年人喝酒是经常的事，但是饮酒过度会影响健康，某调查机构进行了针对性的调查研究.据统计，一次性饮酒4.8两，诱发某种疾病的频率为0.04，一次性饮酒7.2两，诱发这种疾病的频率为0.16.将频率视为概率，已知某人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病，则他还能继续饮酒2.4两，不诱发这种疾病的概率为√记事件A：这人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病，事件B：这人一次性饮酒7.2两未诱发这种疾病，则事件B|A：这人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病，继续饮酒2.4两不诱发这种疾病，则B⊆A，AB＝A∩B＝B，P(A)＝1－0.04＝0.96，P(B)＝1－0.16＝0.84，思维升华求条件概率的常用方法(3)缩样法：去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解.跟踪训练2　(1)(2023·六盘山模拟)已知5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回.在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为√设事件A＝“第1次抽到代数题”，事件B＝“第2次抽到几何题”，由题意知，第一次击中与否对第二次没有影响，②在仅击中一次的条件下，第二次击中的概率是_____.例3　(1)一份新高考数学试卷中有8道单选题，小胡对其中5道题有思路，3道题完全没有思路.有思路的题做对的概率是0.9，没有思路的题只能猜一个答案，猜对答案的概率为0.25，则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为√设事件A表示“小胡答对”，事件B表示“小胡选到有思路的题”.则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率(2)在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知当发送信号0时，被接收为0和1的概率分别为0.93和0.07；当发送信号1时，被接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的，则接收的信号为1的概率为√A.0.48B.0.49C.0.52D.0.51设事件A＝“发送的信号为0”，事件B＝“接收的信号为1”，思维升华利用全概率公式解题的思路(1)按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件A i(i＝1,2，…，n).(2)求P(A i)和所求事件B在各个互斥事件A i发生条件下的概率P(A i)P(B|A i).(3)代入全概率公式计算.跟踪训练3　(1)设甲乘汽车、动车前往某目的地的概率分别为0.4,0.6，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.7,0.9，则甲正点到达目的地的概率为√A.0.78B.0.8C.0.82D.0.84设事件A表示“甲正点到达目的地”，事件B表示“甲乘动车到达目的地”，事件C表示“甲乘汽车到达目的地”，由题意知P(B)＝0.6，P(C)＝0.4，P(A|B)＝0.9，P(A|C)＝0.7.由全概率公式得P(A)＝P(B)P(A|B)＋P(C)P(A|C)＝0.6×0.9＋0.4×0.7＝0.54＋0.28＝0.82.(2)(2022·郑州模拟)第24届冬奥会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行，中国邮政陆续发行了多款纪念邮票，其图案包括“冬梦”“冰墩墩”和“雪容融”等.小王有3张“冬梦”、2张“冰墩墩”和2张“雪容融”邮票；小李有“冬梦”“冰墩墩”和“雪容融”邮票各1张.小王现随机取出一张邮票送给小李，分别以A1，A2，A3表示小王取出的是“冬梦”“冰墩墩”和“雪容融”的事件；小李再随机取出一张邮票，以B表示他取出的邮票是“冰墩墩”的事件，则P(B|A2)＝_____，P(B)＝_____.第三部分A.事件A与B互斥B.事件A与B对立√C.事件A与B相互独立D.事件A与B既互斥又相互独立∴P(AB)＝P(A)P(B)≠0，∴事件A与B相互独立，事件A与B不互斥也不对立.4个都不能正常照明的概率为(1－0.8)4＝0.001 6，只有1个能正常照明的概率为4×0.8×(1－0.8)3＝0.025 6，所以至少有两个能正常照明的概率是1－0.001 6－0.025 6＝0.972 8.2.(2023·开封模拟)某盏吊灯上并联着4个灯泡，如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是0.8，那么在这段时间内该吊灯上的灯泡至少有两个能正常照明的概率是A.0.819 2B.0.972 8C.0.974 4D.0.998 4√3.根据历年的气象数据可知，某市5月份发生中度雾霾的概率为0.25，刮四级以上大风的概率为0.4，既发生中度雾霾又刮四级以上大风的概率为0.2.则在发生中度雾霾的情况下，刮四级以上大风的概率为√A.0.8B.0.625C.0.5D.0.1设“发生中度雾霾”为事件A，“刮四级以上大风”为事件B，所以P(A)＝0.25，P(B)＝0.4，P(AB)＝0.2，4.(2022·青岛模拟)甲、乙两名选手进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，若采用三局二胜制，则甲最终获胜的概率为√A.0.36B.0.352C.0.288D.0.648由题意可得甲最终获胜有两种情况：一是前两局甲获胜，概率为0.6×0.6＝0.36，二是前两局甲一胜一负，第三局甲胜，概率为×0.6×0.4×0.6＝0.288，这两种情况互斥，∴甲最终获胜的概率P＝0.36＋0.288＝0.648.记事件A 为“该考生答对题目”，事件B 1为“该考生知道正确答案”，事件B 2为“该考生不知道正确答案”，则P (A )＝P (A |B 1)·P (B 1)＋P (A |B 2)·P (B 2)＝1×0.5＋0.25×0.5＝0.625.5.某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为0.5，知道正确答案时，答对的概率为100%，而不知道正确答案时猜对的概率为25%，那么他答对题目的概率为A.0.625B.0.75C.0.5D.0.25√6.将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，A表示事件“医生甲派往①村庄”； B表示事件“医生乙派往①村庄”； C表示事件“医生乙派往②村庄”，则A.事件A与B相互独立B.事件A与C相互独立√。