全国百强校】江西省抚州市临川区第一中学2018届高三上学期教学质量检测(二)数学(理)试题(原卷版)

2018届江西省临川一中高三模拟考试数学（文）试题一、单选题1．设集合则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：通过求解二次不等式和对数不等式化简集合M与集合N，然后直接利用交集运算求解．详解：集合M={x|x2≤4}=[﹣2，2]，N={x|log2x≤1}=（0，2]，则M∩N=（0，2]，故选：C．点睛：本题考查了交集及其运算，考查了二次不等式和对数不等式的解法，是基础题．2．在复平面内，复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由复数代数形式的除法运算化简复数z，求出其共轭复数，则答案可求．详解：∵z=∴，∴复数的共轭复数的虚部为．故选：A．点睛：本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．“为假命题”是“为真命题”的（）A. 充分必要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析：是假命题，等价于和都是假命题，为真命题等价于是假命题，因此“是假命题”是“为真命题”的充分不必要条件．故选A．【考点】充分必要条件．4．已知，则的图像是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】试题分析：根据函数的奇偶性和函数值即可判断．详解：∵f（﹣x）==﹣f（x），∴f（x）为奇函数，∴图象关于原点对称，故排除B，D当x=时，f（）=﹣1＜0，故排除C，故选：A．点睛：本题考查函数的图象的判断与应用，考查转化思想以及数形结合思想的应用．对于已知函数表达式选图像的题目，可以通过表达式的定义域和值域进行排除选项，可以通过表达式的奇偶性排除选项；也可以通过极限来排除选项.5．如图给出的是计算的值的一个程序框图，则图中执行框中的①处和判断框中的②处应填的语句是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：要计算的值需要用到直到型循环结构，按照程序执行运算，即可得解．详解：①的意图为表示各项的分母，而分母来看相差2，∴n=n+2，②的意图是为直到型循环结构构造满足跳出循环的条件，而分母从1到2016共1008项，∴i＞1009，点睛：本题考查程序框图应用，重在解决实际问题，通过把实际问题分析，经判断写出需要填入的内容，属于基础题．6．已知曲线的离心率为，且双曲线与抛物线的准线交于，则双曲线的实轴长（）A. B. C. 2 D.【答案】D【解析】试题分析：先根据抛物线方程求得准线方程，利用三角形的面积，求得A，B 坐标，结合离心率，即可求出2a．详解：设A（x，y），依题意知抛物线x2=﹣4y的准线y=．S△OAB=，，解得x=1，A（1，）．代入双曲线得…①双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为，可得：…②，解①②可得：a=．2a=2．双曲线的实轴长2．故答案为：2．点睛：本题主要考查了抛物线以及双曲线的简单性质．解题的关键是通过三角形求出A、B的坐标，是解题的关键，一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用。

江西省临川二中2018届高三（最后模拟）考试数学理试题试卷满分：150分 完卷时间：120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的. 1．复数i i i i a (2122014⋅-+是虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．14 B ．14- C ．1 D ． 1-2．已知集合{}20,A x x x N =-≤∈，{}2,B x x x Z =≤∈，则满足条件A CB ⊆⊆的集合C 的个数为（ ）A.5B.4C.3D.23．一个四棱锥的三视图如图所示，其中主视图是腰长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的体积是（ ）A ．21B ．1C ．23 D ．24．设x 1＝18，x 2＝19，x 3＝20，x 4＝21，x 5＝22，将这5个数依次输入下面的程序框图运行，则输出S 的值及其统计意义分别是( )A ．S ＝2，这5个数据的方差B ．S ＝2，这5个数据的平均数C ．S ＝10，这5个数据的方差D ．S ＝10，这5个数据的平均数5．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足(1)()0x f x '-≥，则必有（ ） Ａ．(0)(2)2(1)f f f +< Ｂ．(0)(2)2(1)f f f +≤Ｃ．(0)(2)2(1)f f f +≥ Ｄ．(0)(2)2(1)f f f +> 6．下列四个ss ：①利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“013>-a ”发生的概率为31；②“0≠+y x ”是“1≠x 或1-≠y ”的充分不必要条件； ③ss “在ABC ∆中，若B A sin sin =，则ABC ∆为等腰三角形”的否ss 为真ss ；④2，3，5，7，8，8这组数的极差与中位数相等 其中说法正确的个数是（ ） A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个7.已知点(,)M a b 在由不等式0,0,2,x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩确定的平面区域内，则点(,)N a b a b -+所在的平面区域面积是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．58.已知ABC ∆外接圆O 的半径为1，且12OA OB ⋅=- ，从圆O 内随机取一个点M ，若点M 取自ABC ∆内的概率恰为334π，则ABC ∆的形状为( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形9．如图，己知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，焦距为4，P 是双曲线右支上的一点，2F P 与y 轴交于点A ，1APF ∆的内切圆在边1PF上的切点为Q ，若|PQ | =1，则双曲线的离心率是（ ） A ．3 B ．2 C ．3 D ．2 10.在等腰梯形ABCD 中，F E ,分别是底边,AB CD 的中点，把四边形AEFD沿直线EF 折起后，点P ∈AEFD 面，设,PB PC AEFD 与面所成的角分别为21,θθ（21,θθ均不为零）.若21θθ=，则点P 的轨迹为（ ）A.直线B.圆C.椭圆D.抛物线二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．已知9(,3),(cos(),2)106m n πθ==+，若θ为锐角，且m n，则cos θ的值为 ．12.设函数()nx x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=221，其中⎰-=22cos 3ππxdx n ，则()x f 的展开式中2x的系数为_______13．方程||||(0)169x x y y λλ+=<的曲线即为函数()y f x =的图象，对于函数()y f x =，下列ss 中正确的是 .（请写出所有正确ss的序号） ①函数()y f x =在R 上是单调递减函数； ②函数()y f x =的值域是R ；③函数()y f x =的图象不经过第一象限； ④函数()y f x =的图象关于直线y x =对称；⑤函数()4()3F x f x x =+至少存在一个零点.14.已知数列{}n a 共有9项，其中，191a a ==，且对每个{}1,2,...,8i ∈，均有112,1,2i i a a +⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭。

新抚区第一高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1． 设变量x ，y满足，则2x+3y 的最大值为（ ）A ．20B ．35C ．45D ．552． 下列哪组中的两个函数是相等函数（ ） A ．()()4f x x =g B ．()()24=,22x f x g x x x -=-+ C ．()()1,01,1,0x f x g x x >⎧==⎨<⎩ D ．()()=f x x x =，g 3． 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．8+2 B ．8+8 C ．12+4 D ．16+44． 若集合A ＝{－1,1}，B ＝{0,2}，则集合{z|z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B}中的元素的个数为( )A5 B4 C3 D25． 与命题“若x ∈A ，则y ∉A ”等价的命题是（ ）A ．若x ∉A ，则y ∉AB ．若y ∉A ，则x ∈AC ．若x ∉A ，则y ∈AD ．若y ∈A ，则x ∉A 6． 设i 是虚数单位，若z=cos θ+isin θ且对应的点位于复平面的第二象限，则θ位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 7．已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，若双曲线右支上存在一点P ，使得F 2关于直线PF 1的对称点恰在y 轴上，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（ ） A ．1＜e＜B ．e＞C ．e＞D ．1＜e＜8． 已知(2,1)a =-，(,3)b k =-，(1,2)c =(,2)k =-c ，若(2)a b c -⊥，则||b =（ ） A． B． C． D【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算、数量积与模等基础知识，意在考查转化思想、方程思想、逻辑思维能力与计算能力．9． sin45°sin105°+sin45°sin15°=（ ）A ．0B．C．D ．1班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________10．3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共有（ ） A ．90种 B ．180种C ．270种D ．540种11．已知实数x ，y 满足，则目标函数z=x ﹣y 的最小值为（ ）A ．﹣2B ．5C ．6D ．712．方程（x 2﹣4）2+（y 2﹣4）2=0表示的图形是（ ）A ．两个点B ．四个点C ．两条直线D ．四条直线二、填空题13()23k x -+有两个不等实根，则的取值范围是 ．14．在数列中，则实数a= ，b= ．15．若直线x ﹣y=1与直线（m+3）x+my ﹣8=0平行，则m= ． 16．下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是____．17．已知关于的不等式20x ax b ++<的解集为(1,2)，则关于的不等式210bx ax ++>的解集 为___________.18．长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的8个顶点都在球O 的表面上，E 为AB 的中点，CE=3，异面直线A 1C 1与CE所成角的余弦值为，且四边形ABB 1A 1为正方形，则球O 的直径为 ．三、解答题19．已知函数f （x ）=（sinx+cosx ）2+cos2x （1）求f （x ）最小正周期；（2）求f （x ）在区间[]上的最大值和最小值．20．已知集合A={x|a ﹣1＜x ＜2a+1}，B={x|0＜x ＜1} （1）若a=，求A ∩B ．（2）若A ∩B=∅，求实数a 的取值范围．21．如图，已知AB为⊙O的直径，CE⊥AB于点H，与⊙O交于点C、D，且AB=10，CD=8，DE=4，EF与⊙O切于点F，BF与HD交于点G．（Ⅰ）证明：EF=EG；（Ⅱ）求GH的长．22．已知椭圆G：=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为（2，0），斜率为1的直线l与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（﹣3，2）．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）求△PAB的面积．23．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos（）=1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．（1）写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；（2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．24．设数列的前项和为，且满足，数列满足，且（1）求数列和的通项公式（2）设，数列的前项和为,求证:（3）设数列满足（），若数列是递增数列，求实数的取值范围。

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2018-2018学年江西省抚州市临川二中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题1．已知集合A={x|y=lg（x﹣1）}，B={x|x2﹣4≤0}，则A∩B=（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|1≤x≤3}C．{x|1＜x≤2}D．{x|1≤x≤2}2．已知i是虚数单位，m，n∈R，则“m=n=1”是“m2﹣1﹣2ni=﹣2i”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．若平面向量、满足||=，||=2，（﹣）⊥，则与的夹角是（）A．π B．C．D．4．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）A．B． C．D．5．下列积分值等于1的是（）A．xdx B．（﹣cosx）dxC．dx D．dx6．运行程序框图，若输入x的值为1，则输出S的值为（）A．64 B．73 C．512 D．5857．如图，在矩形ABCD中，，沿BD将矩形ABCD折叠，连接AC，所得三棱锥A﹣BCD的正视图和俯视图如图所示，则三棱锥A﹣BCD的侧视图的面积为（）A．B．C．D．8．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，若ab=8，a+b=6，，则c=（）A．2B．2C．4 D．39．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A．2，﹣ B．2，﹣ C．4，﹣ D．4，10．定义在R上的可导函数f（x），当x∈（0，+∞）时，xf′（x）﹣f（x）＞0恒成立，a=f（1），b=，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜b＜a11．已知G，N，P在△ABC所在平面内，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且分别满足++=，sin2A•+sin2B•+sin2C•=，a+b+c=，则点G，N，P依次是△ABC的（）A．重心，外心，内心 B．重心，垂心，内心C．重心，垂心，外心 D．内心，外心，重心12．已知函数f（x）=，设方程f（x）=2﹣x+b（b∈R）的四个实根从小到大依次为x1，x2，x3，x4，对于满足条件的任意一组实根，下列判断中一定正确的为（）A．x1+x2=2 B．9＜x3•x4＜25C．0＜（6﹣x3）•（6﹣x4）＜1 D．1＜x1•x2＜9二、填空题13．二项式的展开式中常数项的值为．14．已知函数f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）=lg（x+1），则f（﹣1）=．15．已知x，y满足﹣＜y＜0，且cos（+x）=，cos（﹣）=，则cos（x+）=．16．{a n}的通项公式为a n=﹣n+p，{b n}的通项公式为，设，若在数列{c n}中，c9＞c n，n∈N*，n≠9，则实数p的取值范围是．三、解答题17．已知向量=（cos，cos），=（sin，cos），函数f（x）=•．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在锐角△ABC中，已知A=，求f（B）的取值范围．18．现有4名学生参加演讲比赛，有A、B两个题目可供选择．组委会决定让选手通过掷一枚质地均匀的骰子选择演讲的题目，规则如下：选手掷出能被3整除的数则选择A题目，掷出其他的数则选择B题目．（Ⅰ）求这4个人中恰好有1个人选择B题目的概率；（Ⅱ）用X、Y分别表示这4个人中选择A、B题目的人数，记ξ=X•Y，求随机变量ξ的分布列与数学期望E（ξ）．19．如图．在直棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=，AA1=3，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动．（1）证明：AD⊥C1E；（2）当异面直线AC，C1E 所成的角为60°时，求三棱锥C1﹣A1B1E的体积．20．如图，曲线C由上半椭圆C1： +=1（a＞b＞0，y≥0）和部分抛物线C2：y=﹣x2+1（y≤0）连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q（均异于点A，B），若AP⊥AQ，求直线l的方程．21．已知函数f（x）=e x﹣ax﹣b，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．（I）当b=﹣a时，求f（x）的极小值；（Ⅱ）当f（x+1）+a≥0时，对x∈R恒成立，求ab的最大值；（Ⅲ）当a＞0，b=﹣a时，设f'（x）为f（x）的导函数，若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2，且x1＜x2，求证：f（3lna）＞f′（）．请考生从下面三题中任选其中一道作答.22．如图，已知圆O是△ABC的外接圆，AB=BC，AD是BC边上的高，AE是圆O的直径．过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F．（Ⅰ）求证：AC•BC=AD•AE；（Ⅱ）若AF=2，CF=2，求AE的长．23．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为：，曲线C的参数方程为：（α为参数）（Ⅰ）写出直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．不等式选讲24．已知关于x的不等式m﹣|x﹣2|≥1，其解集为[0，4]．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若a，b均为正实数，且满足a+b=m，求a2+b2的最小值．2018-2018学年江西省抚州市临川二中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．已知集合A={x|y=lg（x﹣1）}，B={x|x2﹣4≤0}，则A∩B=（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|1≤x≤3}C．{x|1＜x≤2}D．{x|1≤x≤2}【考点】对数函数的定义域；交集及其运算．【分析】化简集合A，B，再求它们的交集即可．【解答】解：集合A={x|y=lg（x﹣1）}={x|x＞1}，B={x|x2﹣4≤0}={x|﹣2≤x≤2}，∴A∩B={x|1＜x≤2}，故选：C．2．已知i是虚数单位，m，n∈R，则“m=n=1”是“m2﹣1﹣2ni=﹣2i”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】复数相等的充要条件；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由m，n∈R，m2﹣1﹣2ni=﹣2i，可得，解得n，m，即可判断出结论．【解答】解：由m，n∈R，m2﹣1﹣2ni=﹣2i，可得，解得n=1，m=±1．∴“m=n=1”是“m2﹣1﹣2ni=﹣2i”的充分不必要条件．故选：A．3．若平面向量、满足||=，||=2，（﹣）⊥，则与的夹角是（）A．π B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求出，代入夹角公式计算．【解答】解：∵（﹣）⊥，∴（﹣）•=0，即﹣=0，∴=2=2，∴cos＜＞==，∴的夹角是．故选：D．4．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）A．B． C．D．【考点】等比数列的前n项和．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，利用已知和等比数列的通项公式即可得到，解出即可．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵S3=a2+10a1，a5=9，∴，解得．∴．故选C．5．下列积分值等于1的是（）A．xdx B．（﹣cosx）dxC．dx D．dx【考点】定积分．【分析】根据积分公式直接进行计算即可．【解答】解：xdx==，（﹣cosx）dx=﹣sinx═﹣2，dx表式以原点为圆心以2为半径的圆的面积的一半，故dx=×4π=2π，=lnx=1．故选：D．6．运行程序框图，若输入x的值为1，则输出S的值为（）A．64 B．73 C．512 D．585【考点】程序框图．【分析】结合流程图写出前几次循环的结果，经过每一次循环判断是否满足判断框中的条件，直到满足条件输出S，结束循环，得到所求．【解答】解：经过第一次循环得到S=0+13，不满足S≥50，x=2，执行第二次循环得到S=13+23，不满足S≥50，x=4，执行第三次循环得到S=13+23+43=73，满足判断框的条件，退出循环，执行“是”，输出S=73．故选：B．7．如图，在矩形ABCD中，，沿BD将矩形ABCD折叠，连接AC，所得三棱锥A﹣BCD的正视图和俯视图如图所示，则三棱锥A﹣BCD的侧视图的面积为（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】由题意可知平面ABD⊥平面BCD，三棱锥A﹣BCD侧视图为等腰直角三角形，两条直角边分别是过B和D向AC所做的垂线，做出直角边的长度，得到侧视图的面积．【解答】解：由正视图和俯视图可知平面ABD⊥平面BCD．三棱锥A﹣BCD侧视图为等腰直角三角形，两条直角边分别是过A和C向BD所做的垂线，由等面积可得直角边长为=，∴侧视图面积为××=．故选：C8．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，若ab=8，a+b=6，，则c=（）A．2B．2C．4 D．3【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】运用正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式，化简可得角C，再由余弦定理，计算即可得到c的值．【解答】解：∵，∴由正弦定理可得：===1，∴即有2cosC=1，可得C=60°，∵ab=8，又∵a+b=6，∴由c2=a2+b2﹣2abcosC=（a+b）2﹣2ab﹣ab=（a+b）2﹣3ab=62﹣3×8=12，∴解得c=2．故选：B．9．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A．2，﹣ B．2，﹣ C．4，﹣ D．4，【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【分析】通过图象求出函数的周期，再求出ω，由（，2）确定φ，推出选项．【解答】解：由图象可知：T==，∴T=π，∴ω==2；∵（，2）在图象上，所以2×+φ=2k，φ=2kπ，（k∈Z）．∵﹣＜φ＜，∴k=0，∴φ=．故选：A．10．定义在R上的可导函数f（x），当x∈（0，+∞）时，xf′（x）﹣f（x）＞0恒成立，a=f（1），b=，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜b＜a【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】根据条件xf′（x）﹣f（x）＞0恒成立，构造函数g（x）=，然后根据导数和函数单调性之间的关系即可得到结论．【解答】解：构造函数g（x）=，则g'（x）= [f（x）﹣xf′（x）]，∵当x∈（0，+∞）时，xf′（x）﹣f（x）＞0恒成立，∴g'（x）＜0，即g（x）在（0，+∞）单调递减，∵a=f（1）==g（1），b=f（2）==g（2），c=f（）==g（）又1＜＜2，∴g （1）＞g （）＞g （2）， 即a ＞c ＞b ， 故选：B ．11．已知G ，N ，P 在△ABC 所在平面内，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且分别满足++=，sin2A •+sin2B •+sin2C •=，a +b +c =，则点G ，N ，P 依次是△ABC 的（ ）A ．重心，外心，内心B ．重心，垂心，内心C ．重心，垂心，外心D ．内心，外心，重心 【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】假设三角形内一点O 分别为内心，外心，重心，利用结论S △BOC +S △AOC +S△AOB=推导变形验证．【解答】解：（1）取AC 中点D ，连结GD ，则=2，∵++=，∴=﹣．∴2=﹣．∴G 在△ABC 的中线BD 上，同理可得G 在其它两边的中线上， ∴G 是△ABC 的重心．（2）∵S △BCN •+S △ACN •+S △ABN=∴当N 是△ABC 的外心时，设外接圆半径为r ，则S △BCN =BNC •r 2=sin2∠BAC ，S △ACN =sin ∠ACN •r 2=sin2∠ABC ，=sin∠ANB•r2=sin2∠ACB．S△ABN∴sin2∠BAC•+sin2∠ABC•+sin2∠ACB•=．（3）延长CP交AB于D，则，，∵a+b+c=，∴a（）+b（）+c=，设=k，则（ka+kb+c）+（a+b）=，∵与共线，与，不共线，∴ka+kb+c=0，a+b=，∴=﹣，∴CD为∠ACB的平分线，同理可证其它的两条也是角平分线．∴P是△ABC的内心．综上，G是三角形的重心，N是三角形的外心，P是三角形的内心．故选：A．12．已知函数f（x）=，设方程f（x）=2﹣x+b（b∈R）的四个实根从小到大依次为x1，x2，x3，x4，对于满足条件的任意一组实根，下列判断中一定正确的为（）A．x1+x2=2 B．9＜x3•x4＜25C．0＜（6﹣x3）•（6﹣x4）＜1 D．1＜x1•x2＜9【考点】分段函数的应用．【分析】由题意知函数f（x）=与函数y=2﹣x+b的图象有四个不同的交点，且交点的横坐标从左到右为x1，x2，x3，x4，作图象，从而可得0＜x1＜1＜x2＜3＜x3＜5＜x4＜6，|lg（6﹣x3）|＞|lg（6﹣x4）|，再化简可得（﹣5）（﹣7）＞0，从而解得．【解答】解：∵方程f（x）=2﹣x+b（b∈R）的四个实根从小到大依次为x1，x2，x3，x4，∴函数f（x）=与函数y=2﹣x+b的图象有四个不同的交点，且交点的横坐标从左到右为x1，x2，x3，x4，作函数f（x）=与函数y=2﹣x+b的图象如下，，由图象可知，0＜x1＜1＜x2＜3＜x3＜5＜x4＜6，故x3•x4＞9；易知|lg（6﹣x3）|＞|lg（6﹣x4）|，即lg（6﹣x3）＞﹣lg（6﹣x4），即lg（6﹣x3）+lg（6﹣x4）＞0，即36﹣6（x3+x4）+x3•x4＞1，即6（x3+x4）＜x3•x4+35，又∵x3+x4＞2，∴12＜x3•x4+35，∴（﹣5）（﹣7）＞0，∴x3•x4＜25，故9＜x3•x4＜25，故选B．二、填空题13．二项式的展开式中常数项的值为20．【考点】二项式定理的应用．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0求出常数项．=C6r x6﹣2r【解答】解：展开式的通项为T r+1令6﹣2r=0得r=3故展开式的常数项为T4=C63=20故答案为2014．已知函数f （x ）为奇函数，当x ＞0时，f （x ）=lg （x +1），则f （﹣1）= ﹣lg2 ． 【考点】函数奇偶性的性质．【分析】利用奇函数的性质，以及函数的解析式求解即可．【解答】解：函数f （x ）为奇函数，当x ＞0时，f （x ）=lg （x +1）， 则f （﹣1）=﹣f （1）=﹣lg2． 故答案为：﹣lg2．15．已知x ，y 满足﹣＜y ＜0，且cos （+x ）=，cos （﹣）=，则cos （x +）=．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得sin （+x ）和sin （﹣）的值，再利用两角差的余弦公式求得cos （x +）=cos [（+x ）﹣（﹣）]的值．【解答】解：x ，y 满足﹣＜y ＜0，且cos （+x ）=，cos （﹣）=，可得+x 和﹣都是锐角，∴sin （+x ）=，sin （﹣）=，∴cos （x +）=cos [（+x ）﹣（﹣）]=cos （+x ）cos （﹣）+sin （+x ）sin （﹣） =+=，故答案为：．16．{a n }的通项公式为a n =﹣n +p ，{b n }的通项公式为，设，若在数列{c n }中，c 9＞c n ，n ∈N *，n ≠9，则实数p 的取值范围是 17＜p ＜26 ．【考点】数列的函数特性．【分析】当a n ≤b n 时，c n =a n ，当a n ＞b n 时，c n =b n ，可知：c n 是a n ，b n 中的较小者．因为a n =﹣n +p ，所以{a n }是递减数列；因为b n =2n ﹣5，所以{b n }是递增数列，因为c 9＞c n （n ≠9），所以c 9是c n 的最大者，分类讨论即可得出．【解答】解：当a n ≤b n 时，c n =a n ，当a n ＞b n 时，c n =b n ，∴c n 是a n ，b n 中的较小者， 因为a n =﹣n +p ，所以{a n }是递减数列；因为b n =2n ﹣5，所以{b n }是递增数列， 因为c 9＞c n （n ≠9），所以c 9是c n 的最大者，则n=1，2，3，…7，8，9时，c n递增，n=9，10，…时，c n递减，因此，n=1，2，3，…7，8时，2n﹣5＜﹣n+p总成立，当n=8时，28﹣5＜﹣8+p，∴p＞16，n=9，10，11，…时，2n﹣5＞﹣n+p总成立，当n=10时，210﹣5＞﹣9+p，成立，∴p＜41，而c9=a9或c9=b9，若a9≤b9，即29﹣5≥p﹣9，所以p≤25，则c9=a9=p﹣9，∴p﹣9＞b8=28﹣5，∴p＞17，若a9＞b9，即p﹣9＞29﹣5，所以p＞25，∴c9=b9=24=16，那么c9＞c10=a10，即16＞p﹣10，∴p＜26，故17＜p＜26．故答案为：17＜p＜26三、解答题17．已知向量=（cos，cos），=（sin，cos），函数f（x）=•．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在锐角△ABC中，已知A=，求f（B）的取值范围．【考点】平面向量数量积的运算；三角函数的周期性及其求法；正弦定理．【分析】（1）利用数量积公式及三角函数公式化简f（x）．（2）求出B的范围，结合正弦函数性质得出f（B）的范围．【解答】解：（1）f（x）=cos sin+cos2=sinx+cosx+=sin（x+）+，∴f（x）的最小正周期T=2π．（2）f（B）=sin（B+）+．∵△ABC是锐角三角形，A=，∴B∈（，），∴＜B+＜，∴当B+=时，f（B）取得最大值，B+=时，f（B）取得最小值．∴f（B）的取值范围是（，]．18．现有4名学生参加演讲比赛，有A、B两个题目可供选择．组委会决定让选手通过掷一枚质地均匀的骰子选择演讲的题目，规则如下：选手掷出能被3整除的数则选择A题目，掷出其他的数则选择B题目．（Ⅰ）求这4个人中恰好有1个人选择B题目的概率；（Ⅱ）用X、Y分别表示这4个人中选择A、B题目的人数，记ξ=X•Y，求随机变量ξ的分布列与数学期望E（ξ）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】判断得出概率满足，（I）运用独立试验解决即可；（II）确定随机变量的值：X=0，1，2，3，4则Y=4，3，2，1，0，即可求解ξ的所有可能取值为0，3，4，分类求解概率，列出分布列，即可求解数学期望【解答】解：由题意知，这4个人中每个人选择A题目的概率为，选择B题目的概率为，记“这4个人中恰有i人选择A题目”为事件A i（i=0，1，2，3，4），∴，（Ⅰ）这4人中恰有一人选择B题目的概率为；（Ⅱ）ξ的所有可能取值为0，3，4，且，，，所以．19．如图．在直棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=，AA1=3，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动．（1）证明：AD⊥C1E；（2）当异面直线AC，C1E 所成的角为60°时，求三棱锥C1﹣A1B1E的体积．【考点】直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）根据直三棱柱的性质，得AD⊥BB1，等腰△ABC中利用“三线合一”证出AD ⊥BC，结合线面垂直判定定理，得AD⊥平面BB1C1C，从而可得AD⊥C1E；（2）根据AC∥A1C1，得到∠EC1A1（或其补角）即为异面直线AC、C1E 所成的角．由A1C1⊥A1B1且A1C1⊥AA1，证出A1C1⊥平面AA1B1B，从而在Rt△A1C1E中得到∠EC1A1=60°，利用余弦的定义算出C1E=2A1C1=2，进而得到△A1B1E面积为，由此结合锥体体积公式即可算出三棱锥C1﹣A1B1E的体积．【解答】解：（1）∵直棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，∴AD⊥BB1∵△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∴AD⊥BC又∵BC、BB1⊂平面BB1C1C，BC∩BB1=B∴AD⊥平面BB1C1C，结合C1E⊂平面BB1C1C，可得AD⊥C1E；（2）∵直棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC∥A1C1，∴∠EC1A1（或其补角）即为异面直线AC、C1E 所成的角∵∠BAC=∠B1A1C1=90°，∴A1C1⊥A1B1，又∵AA1⊥平面A1B1C1，可得A1C1⊥AA1，∴结合A1B1∩AA1=A1，可得A1C1⊥平面AA1B1B，∵A1E⊂平面AA1B1B，∴A1C1⊥A1E因此，Rt△A1C1E中，∠EC1A1=60°，可得cos∠EC1A1==，得C1E=2A1C1=2又∵B1C1==2，∴B1E==2×A1C1=×=由此可得V=S△20．如图，曲线C由上半椭圆C1： +=1（a＞b＞0，y≥0）和部分抛物线C2：y=﹣x2+1（y≤0）连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q（均异于点A，B），若AP⊥AQ，求直线l的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）在C1、C2的方程中，令y=0，即得b=1，设C1：的半焦距为c，由=及a2﹣c2=b2=1得a=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知上半椭圆C1的方程为+x2=1（y≥0），设其方程为y=k（x﹣1）（k≠0），代入C1的方程，整理得（k2+4）x2﹣2k2x+k2﹣4=0．（*）设点P（x p，y p），依题意，可求得点P的坐标为（，）；同理可得点Q的坐标为（﹣k﹣1，﹣k2﹣2k），利用•=0，可求得k的值，从而可得答案．【解答】解：（Ⅰ）在C1、C2的方程中，令y=0，可得b=1，且A（﹣1，0），B（1，0）是上半椭圆C1的左右顶点．设C1：的半焦距为c，由=及a2﹣c2=b2=1得a=2．∴a=2，b=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知上半椭圆C1的方程为+x2=1（y≥0）．易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为y=k（x﹣1）（k≠0），代入C1的方程，整理得（k2+4）x2﹣2k2x+k2﹣4=0．（*）设点P（x p，y p），∵直线l过点B，∴x=1是方程（*）的一个根，由求根公式，得x p=，从而y p=，∴点P的坐标为（，）．同理，由得点Q的坐标为（﹣k﹣1，﹣k2﹣2k），∴=（k，﹣4），=﹣k（1，k+2），∵AP⊥AQ，∴•=0，即 [k﹣4（k+2）]=0，∵k≠0，∴k﹣4（k+2）=0，解得k=﹣．经检验，k=﹣符合题意，故直线l的方程为y=﹣（x﹣1），即8x+3y﹣8=0．21．已知函数f（x）=e x﹣ax﹣b，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．（I）当b=﹣a时，求f（x）的极小值；（Ⅱ）当f（x+1）+a≥0时，对x∈R恒成立，求ab的最大值；（Ⅲ）当a＞0，b=﹣a时，设f'（x）为f（x）的导函数，若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2，且x1＜x2，求证：f（3lna）＞f′（）．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（I）显然f'（x）=e x﹣a，分a≤0、a＞0两种情况讨论即可；（Ⅱ）原不等式等价于e x+1≥ax+b对x∈R恒成立，分a≥0、a=0、a＞0三种情况讨论即可；（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（x）=e x﹣ax+a，从而f（3lna）=a（a2﹣3lna+1）=，a＞e2，令t=a2，，t＞e4，易得p（t）在（e4，+∞）上单调递增，从而，所以f（3lna）＞0，a＞e2；而=﹣a＜﹣a，令T=﹣a，则可证明T＜0恒成立，从而＜0．所以有f（3lna）＞f′（）．【解答】解：（I）当b=﹣a时，由函数f（x）=e x﹣ax﹣b，知f（x）=e x﹣ax+a，所以f'（x）=e x﹣a，当a≤0时，f'（x）=e x﹣a＞0，此时函数f（x）无极值；当a＞0时，令f'（x）=e x﹣a=0，得x=lna．所以函数f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，从而f（x）min=f（lna）=2a﹣alna．（Ⅱ）f（x+1）+a≥0⇔e x+1≥ax+b对x∈R恒成立，显然a≥0，所以原不等式等价于b≤e x+1﹣ax对x∈R恒成立．若a=0，则ab=0；若a＞0，则ab≤ae x+1﹣a2x．设函数h（x）=ae x+1﹣a2x，则h′（x）=ae x+1﹣a2=a（e x+1﹣a）．由h′（x）＜0，解得x＜lna﹣1；由h′（x）＞0，解得x＞lna﹣1．所以函数h（x）在（﹣∞，lna﹣1）上单调递减，在（lna﹣1，+∞）上单调递增，故．设g（a）=（a＞0），则g′（a）=a（3﹣2lna），令g′（a）=0，解得a=，由g′（a）＜0，解得a＞，由g′（a）＜0，解得0＜a＜，故g（a）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．所以，即ab，综上，ab的最大值为．（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（x）=e x﹣ax+a，a＞0，且f'（x）=e x﹣a，且函数f（x）有两个不同的零点x1，x2，且x1＜x2，=f（lna）=2a﹣alna＜0，此时f（x）极小值解得a＞e2．∵f（0）=a+1＞0，∴x2＞x1＞0，从而f（3lna）=a（a2﹣3lna+1）=，a＞e2，令t=a2，则t＞e4，所以，t＞e4，∵0，∴p（t）在（e4，+∞）上单调递增，从而，故p（t）＞0，所以f（3lna）＞0，a＞e2，而=﹣a＜﹣a，令T=﹣a，由可得，所以T=﹣a=﹣=﹣•，令，则λ＞0，所以T=（1﹣）=•，令φ（λ）=2λ﹣eλ+e﹣λ（λ＞0），则φ′（λ）=2﹣（eλ+e﹣λ）＜2﹣2=0，故φ（λ）在（0，+∞）上单调递减，所以φ（λ）＜φ（0）=0，则T＜0恒成立，从而=﹣a＜﹣a＜0，综上，有f（3lna）＞f′（）．请考生从下面三题中任选其中一道作答.22．如图，已知圆O是△ABC的外接圆，AB=BC，AD是BC边上的高，AE是圆O的直径．过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F．（Ⅰ）求证：AC•BC=AD•AE；（Ⅱ）若AF=2，CF=2，求AE的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（I）如图所示，连接BE．由于AE是⊙O的直径，可得∠ABE=90°．利用∠E与∠ACB都是所对的圆周角，可得∠E=∠ACB．进而得到△ABE∽△ADC，即可得到．（II）利用切割线定理可得CF2=AF•BF，可得BF．再利用△AFC∽△CFB，可得AF：FC=AC：BC，进而根据sin∠ACD=sin∠AEB，AE=，即可得出答案．【解答】证明：（I）如图所示，连接BE．∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE=90°．又∠E与∠ACB都是所对的圆周角，∴∠E=∠ACB．∵AD⊥BC，∠ADC=90°．∴△ABE∽△ADC，∴AB：AD=AE：AC，∴AB•AC=AD•AE．又AB=BC，∴BC•AC=AD•AE．解：（II）∵CF是⊙O的切线，∴CF2=AF•BF，∵AF=2，CF=2，∴（2）2=2BF，解得BF=4．∴AB=BF﹣AF=2．∵∠ACF=∠FBC，∠CFB=∠AFC，∴△AFC∽△CFB，∴AF：FC=AC：BC，∴AC==．∴cos∠ACD=，∴sin∠ACD==sin∠AEB，∴AE==23．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为：，曲线C的参数方程为：（α为参数）（Ⅰ）写出直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）依据极坐标和直角坐标的互化公式，把直线l的极坐标方程化为直角坐标方程．（Ⅱ）把曲线C参数方程化为普通方程的方法，再根据直线和圆的位置关系、点到直线的距离公式，求得曲线C上的点到直线l的距离的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由于直线l的极坐标方程为：，即ρsinθ﹣ρcosθ=2，化为直角坐标方程为y=x+2．（Ⅱ）由于曲线C的参数方程为：（α为参数），化为普通方程为（x﹣2）2+y2=4，表示以（2，0）为圆心、半径等于2的圆，求得圆心（2，0）到直线l的距离d==2，曲线C上的点到直线l的距离的最大值为．不等式选讲24．已知关于x的不等式m﹣|x﹣2|≥1，其解集为[0，4]．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若a，b均为正实数，且满足a+b=m，求a2+b2的最小值．【考点】二维形式的柯西不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）去掉绝对值，求出解集，利用解集为[0，4]，求m的值；（Ⅱ）利用柯西不等式，即可求a2+b2的最小值．【解答】解：（Ⅰ）不等式m﹣|x﹣2|≥1可化为|x﹣2|≤m﹣1，…∴1﹣m≤x﹣2≤m﹣1，即3﹣m≤x≤m+1，…∵其解集为[0，4]，∴，∴m=3．…（Ⅱ）由（Ⅰ）知a+b=3，∵（a2+b2）（12+12）≥（a×1+b×1）2=（a+b）2=9，∴a2+b2≥，∴a2+b2的最小值为．…2018年1月4日。

江西省抚州市临川二中2018届高三（上）第五次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设全集U是实数集R，M={x|x＞2}∪{x|x＜﹣2}，N={x|1＜x＜3}，则如图所示的阴影部分所表示的集合是（）A．{x|﹣2≤x＜1} B．{x|﹣2≤x≤2} C．{x|1＜x≤2} D．{x|x＜2}2．（5分）已知复数（为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（）A．0 B．1 C．2 D．34．（5分）下列说法正确的是（）A．“a＞b”是“a2＞b2”的充分不必要条件B．命题“∀x∈R，x2+1＞0”的否定是：∃x0∈R，x02+1＜0C．若p∧q为假命题，则p、g均为假命题D．若f（x+1）为R上的偶函数，则f（x）的图象关于直线x=1对称5．（5分）已知cos（﹣α）=，则sin（﹣2α）的值为（）A．B．﹣C．D．﹣6．（5分）下列函数中，与函数的定义域，单调性与奇偶性均一致的函数是（）A．y=sin x B．y=x2 C．D．7．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1008＞0，a1007+a1008＜0，则满足S n S n+1＜0的正整数n为（）A．2013 B．2014 C．2015 D．20168．（5分）将函数的图象向平移个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y=g（x）的图象，则下列关于函数y=g（x）的说法错误的是（）A．最小正周期为πB．初相为C．图象关于直线对称D．图象关于点对称9．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2π+B．4π+C．4π+4 D．2π+410．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（）A．B．C．D．11．（5分）设函数f（x）满足（n∈N*）且f（1）=2，则f（40）为（）A．95 B．97 C．105 D．39212．（5分）如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，l∥l1，l 与半圆相交于F，G两点，与三角形ABC两边相交于E，D两点．设弧的长为x（0＜x ＜π），y=EB+BC+CD，若l从l1平行移动到l2，则函数y=f（x）的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题：每题5分，满分20分13．（5分）已知圆O的一条直径为线段BC，A为圆上一点，∠ABC=45°，∠BCD=∠CBD=30°，则向圆O中任意投掷一点，该点落在阴影区域内的概率为．14．（5分）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若（λ，μ∈R），则=．15．（5分）在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．若四棱锥M﹣ABCD为阳马，侧棱MA⊥平面ABCD且，MA=BC=AB=2，则该阳马的外接球与内切球的表面积之和为．16．（5分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），若椭圆上存在一点P使，则该椭圆的离心率的取值范围为．三、解答题：本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（12分）据统计，目前微信用户已达10亿，2016年，诸多传统企业大佬纷纷尝试进入微商渠道，让这个行业不断地走向正规化、规范化．2017年3月25日，第五届中国微商博览会在山东济南舜耕国际会展中心召开，力争为中国微商产业转型升级．某品牌饮料公司对微商销售情况进行中期调研，从某地区随机抽取6家微商一周的销售金额（单位：百元）的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．（Ⅰ）若销售金额（单位：万元）不低于平均值的微商定义为优秀微商，其余为非优秀微商，根据茎叶图推断该地区110家微商中有几家优秀？（Ⅱ）从随机抽取的6家微商中再任取2家举行消费者回访调查活动，求恰有1家是优秀微商的概率．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和，正项等比数列{b n}中，，b2+b4=10．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）若c n是a n与b n+1的等比中项，求数列的前n项和T n．19．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，P A⊥平面ABCD，E，F分别为AD，P A的中点，点Q是BC上一个动点．（1）当Q是BC中点时，求证：平面BEF∥平面PDQ；（2）当BD⊥FQ时，求的值．20．（12分）如图，抛物线C：y2=2px的焦点为F，抛物线上一定点Q（1，2）．（1）求抛物线C的方程及准线l的方程；（2）过焦点F的直线（不经过Q点）与抛物线交于A，B两点，与准线l交于点M，记QA，QB，QM的斜率分别为k1，k2，k3，问是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3成立？若存在λ，求出λ的值；若不存在，说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=ln x﹣kx+1（k为常数），函数g（x）=x e x﹣ln（x+1），（a为常数，且a＞0）．（Ⅰ）若函数f（x）有且只有1个零点，求k的取值的集合；（Ⅱ）当（Ⅰ）中的k取最大值时，求证：ag（x）﹣2f（x）＞2（ln a﹣ln2）．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）设，，若l1，l2与曲线C分别交于异于原点的A，B两点，求△AOB的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+3|．（1）解不等式f（x）≥6；（2）记f（x）的最小值是m，正实数a，b满足2ab+a+2b=m，求a+2b的最小值．【参考答案】一、选择题1．C【解析】全集U是实数集R，M={x|x＞2}∪{x|x＜﹣2}，N={x|1＜x＜3}，∴C U M={x|﹣2≤x≤2}，∴如图所示的阴影部分所表示的集合是：（C U M）∩N={x|1＜x≤2}．故选：C．2．D【解析】∵=，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（2，﹣1），位于第四象限．故选：D．3．D【解析】，∴y′（0）=a﹣1=2，∴a=3．故答案选D．4．D【解析】A．当a=1，b=﹣1时，满足a＞b但a2＞b2不成立，∴A错误．B．命题“∀x∈R，x2+1＞0”的否定是：∃x0∈R，x02+1≤0，∴B错误．C．若p∧q为假命题，则p、g至少有一个为假命题，∴C错误．D．若f（x+1）为R上的偶函数，则f（x+1）关于y轴对称，将函数f（x+1）向右平移一个单位得到f（x），即f（x）的图象关于直线x=1对称，∴D正确．故选：D．5．B【解析】sin（﹣2α）=sin（﹣2α）=cos（）=cos[2（﹣α）]=2cos2（﹣α）﹣1∵cos（﹣α）=，∴sin（﹣2α）=2×=﹣故选B．6．D【解析】函数的定义域为R，f（﹣x）=﹣2﹣x=﹣（﹣2x），则函数为奇函数．利用函数的单调性的定义可知函数为单调递减，则A．函数的单调性不满足B．函数为偶函数，奇偶性不一致，C．函数的定义域为{x|x≠0}，定义域不一致，故选：D7．B【解析】∵a1008＞0，a1007+a1008＜0，∴公差d＜0，S2014==1007（a1007+a1008）＜0，S2015==2015a1008＞0，因此满足S n S n+1＜0的正整数n为2014．故选：B．8．D【解析】将函数的图象向左平移个单位，得到：y=2sin（4x+）的图象，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y=g（x）=2sin（2x+）的图象，所以：①函数的最小正周期为：T=π．②初相为．③当x=时，函数为最值，故图象关于x=对称．故D错误．故选：D．9．A【解析】由题意，几何体的直观图是三棱锥与圆柱的的组合体，三棱锥的底面是直角边长为2的等腰三角形，高为2，圆柱的底面半径是2，高为2，所以体积为+=2π+，故选：A．10．B【解析】模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=+ +…+的值，由于S=++…+=（1﹣）+（）+…+（）=1﹣=．故选：B．11．D【解析】∵函数f（x）满足（n∈N*）且f（1）=2，∴，∴f（40）=f（40）﹣f（39）+f（39）﹣f（38）+f（38）﹣f（37）+…+f（2）﹣f（1）+f（1）=…++2=×+2=392．∴f（40）为392．故选：D．12．D【解析】当x=0时，y=EB+BC+CD=BC=；当x=π时，此时y=AB+BC+CA=3×=2；当x=时，∠FOG=，三角形OFG为正三角形，此时AM=OH=，在正△AED中，AE=ED=DA=1，∴y=EB+BC+CD=AB+BC+CA﹣（AE+AD）=3×﹣2×1=2﹣2．如图．又当x=时，图中y0=+（2﹣）=＞2﹣2．故当x=时，对应的点（x，y）在图中红色连线段的下方，对照选项，D正确．故选D．二、填空题13．【解析】不妨设直径BC=2，∵∠ABC=45°，∠BCD=∠CBD=30°，∴S△ABC=BC•AC=×2×1=1，OD=OB tan30°=，∴S△BCD=BC•OD=×2×=，∴S阴影=S△ABC+S△BCD=1+，∵S圆=π，∴向圆O中任意投掷一点，该点落在阴影区域内的概率为P===，故答案为：14．4【解析】以向量、的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系可得=（﹣1，1），=（6，2），=（﹣1，﹣3）∵∴，解之得λ=﹣2且μ=﹣因此，==4故答案为：415．【解析】由已知可得四棱锥M﹣ABCD的直观图如下所示：其体积V=×2×2×2=，其表面积S=2×2+2××2×2+2××2×=8+4，故四棱锥M﹣ABCD的内接球半径R==2﹣，故该阳马的内切球表面积为4πR2=24π﹣16，其外接球，等于于棱长为2的正方体的外接球，故该阳马的外接球表面积为：（22+22+22）π=12π，故该阳马的外接球与内切球的表面积之和为：，故答案为：．16．【解析】在△PF1F2中，由正弦定理得：则由已知得：，即：a|PF1|=c|PF2|设点（x0，y0）由焦点半径公式，得：|PF1|=a+ex0，|PF2|=a﹣ex0则a（a+ex0）=c（a﹣ex0）解得：由椭圆的几何性质知：x0＞﹣a则，整理得e2+2e﹣1＞0，解得：或，又e∈（0，1），故椭圆的离心率：，故答案为：．三、解答题17．解：（Ⅰ）6家微商一周的销售金额分别为8，14，17，23，26，35，平均值=20.5，优秀的概率为，推断该地区110家微商中有55家优秀；（Ⅱ）从随机抽取的6家微商中再任取2家举行消费者回访调查活动，有15种，恰有1家是优秀微商，有9种，故概率为=．18．解:（1）数列{a n}的前n项和①，则：②由①②得：a n=n+1，正项等比数列{b n}中，，b2+b4=10．设公比为q则：，解得：q=3，．所以：；（2）若c n是a n与b n+1的等比中项，则：=（n+1）•3n﹣1，则：…+（n+1）•3n﹣1①，所以：…+（n+1）•3n②，①﹣②整理得：．19．证明：（1）∵E，Q分别是矩形ABCD的对边AD，BC的中点，∴ED=BQ，ED∥BQ，∴四边形BEDQ是平行四边形，∴BE∥DQ．又BE⊄平面PDQ，DQ⊂平面PDQ，∴BE∥平面PDQ，又F是P A中点，∴EF∥PD，∵EF⊄平面PDQ，PD⊂平面PDQ，∴EF∥平面PDQ，∵BE∩EF=E，BE，EF⊂平面BEF，∴平面BEF∥平面PDQ．解：（2）连接AQ，∵P A⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴P A⊥BD．∵BD⊥FQ，P A∩FQ=F，P A、FQ⊂平面P AQ，∴BD⊥平面P AQ，∵AQ⊂平面P AQ，∴AQ⊥BD，在矩形ABCD中，由AQ⊥BD，得△AQB与△DBA相似，∴AB2=AD×BQ，又AB=1，AD=2，∴BQ=，QC=，∴=．20．解：（1）把Q（1，2）代入y2=2px，得2p=4，所以抛物线方程为y2=4x，准线l的方程为x=﹣1．（2）由条件可设直线AB的方程为y=k（x﹣1），k≠0．由抛物线准线l：x=﹣1，可知M（﹣1，﹣2k），又Q（1，2），所以，把直线AB的方程y=k（x﹣1），代入抛物线方程y2=4x，并整理，可得k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，又Q（1，2），故．因为A，F，B三点共线，所以k AF=k BF=k，即，所以，即存在常数λ=2，使得k1+k2=2k3成立．21．解：（Ⅰ）①k≤0时，f'（x）＞0，则f（x）在（0，+∞）上单调递增．而f（e k﹣2）=k﹣2﹣k e k﹣2+1=k（1﹣e k﹣2）﹣1≤﹣1＜0，f（1）=1﹣k＞0，故f（x）在（e k﹣2，1）上存在唯一零点，满足题意；②k＞0时，令f'（x）＞0得，则f（x）在上单调递增；令f'（x）＜0得，则f（x）在上单调递减；若，得k=1，显然满足题意；若，则0＜k＜1，而，又，令h（x）=ln x﹣x+1，则，令h'（x）＞0，得x＜1，故h（x）在（0，1）上单调递增；令h'（x）＜0，得x＞1，故h（x）在（1，+∞）上单调递减；故h（x）≤h（1）=0，则，即，则．故f（x）在上有唯一零点，在上有唯一零点，不符题意．综上，k的取值的集合为{k|k≤0或k=1}．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，ln x≤x﹣1，当且仅当x=1时取“=“，而，故，则k=1时，ag（x）﹣2f（x）=ax e x﹣a ln（x+1）﹣2ln x+2x﹣2＞ax e x﹣a•x+2x﹣2=ax e x﹣2x﹣2，记F（x）=ax e x﹣2ln x﹣2x﹣2，则，令G（x）=ax e x﹣2，则G'（x）=a（x+1）e x＞0，故G（x）在（0，+∞）上单调递增．而G（0）=﹣2＜0，，故存在，使得G（x0）=0，即．则x∈（0，x0）时，G'（x）＜0，故F'（x）＜0；x∈（x0，+∞）时，G'（x）＞0，故F'（x）＞0．则F（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，故=．故ag（x）﹣2f（x）＞2（ln a﹣ln2）．22．解：（1）∵曲线C的参数方程是（α为参数），∴将C的参数方程化为普通方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2=25，即x2+y2﹣6x﹣8y=0．∴C的极坐标方程为ρ=6cosθ+8sinθ．（2）把代入ρ=6cosθ+8sinθ，得，∴．把代入ρ=6cosθ+8sinθ，得，∴．∴S△AOB===．23．解：（1）当x≤时，f（x）=﹣2﹣4x，由f（x）≥6解得x≤﹣2，综合得x≤﹣2，当时，f（x）=4，显然f（x）≥6不成立，当x≥时，f（x）=4x+2，由f（x）≥6，解得x≥1，综合得x≥1，所以f（x）≥6的解集是（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）．（2）f（x）=|2x﹣1|+|2x+3|≥|（2x﹣1）﹣（2x+3）|=4，即f（x）的最小值m=4．∵a•2b≤，由2ab+a+2b=4可得4﹣（a+2b）≤，解得a+2b≥，∴a+2b的最小值为．。

2017-2018学年江西省抚州市临川二中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x＞1}，B={x|x＜m}，且A∪B=R，那么m的值可以是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．22．（5分）若“p：x＞a”是“q：x＞1或x＜﹣3”的充分不必要条件，则a的取值范围是（）A．a≥1 B．a≤1 C．a≥﹣3 D．a≤﹣33．（5分）当0＜x＜1时，则下列大小关系正确的是（）A．x3＜3x＜log3x B．3x＜x3＜log3x C．log3x＜x3＜3x D．log3x＜3x＜x3 4．（5分）数列{a n}满足a1=1，a2=3，a n+1=（2n﹣λ）a n，（n=1，2…），则a3等于（）A．15 B．10 C．9 D．55．（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足f（2﹣x）=f（x），当x∈（0，1]时，f（x）=e x﹣1，则=（）A．1﹣e B．e﹣1 C．D．6．（5分）定义行列式运算=a1a4﹣a2a3．将函数的图象向左平移个单位，以下是所得函数图象的一个对称中心是（）A．B．C．D．7．（5分）实数x，y满足条件，则2x﹣y的最小值为（）A．16 B．4 C．1 D．8．（5分）《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作．书中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内投豆子，则落在其内切圆内的概率是（）A． B．C． D．9．（5分）已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．10．（5分）如图，在扇形OAB中，∠AOB=60°，C为弧AB上且与A，B不重合的一个动点，，若u=x+λy，（λ＞0）存在最大值，则λ的取值范围为（）A． B．（1，3） C． D．11．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（）A．28πB．32πC．D．12．（5分）已知函数f（x）=，若方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则x3（x1+x2）+的取值范围是（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，1]C．（﹣∞，1）D．[﹣1，1）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知b为实数，i为虚数单位，若为实数，则b=．14．（5分）在△ABC中，|+|=|﹣|，AB=2，AC=1，E，F为BC的三等分点，则•=．15．（5分）如图，点F是抛物线y2=8x的焦点，点A，B分别在抛物线及圆（x ﹣2）2+y2=16的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB的周长的取值范围是．16．（5分）设双曲线的左焦点为F1，左顶点为A，过F1作x轴的垂线交双曲线于P，Q两点，过P作PM垂直QA于M，过Q作QN垂直PA于N，设PM与QN的交点为B，若B到直线PQ的距离大于a+c，则该双曲线的离心率取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+（cosA ﹣sinA）cosB=0．（1）求角B的大小；（2）若a+c=1，求b的取值范围．18．（12分）兰州一中在世界读书日期间开展了“书香校园”系列读书教育活动．为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查．下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图，且将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”，低于60分钟的学生称为“非读书迷”．（1）根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书迷”与性别有关？（2）利用分层抽样从这100名学生的“读书迷”中抽取8名进行集训，从中选派2名参加兰州市读书知识比赛，求至少有一名男生参加比赛的概率．附：，19．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，AB=2，∠BAD=120°，PA⊥平面ABCD，M，N分别是BC，PC的中点．（1）证明：AM⊥平面PAD；（2）若H为PD的中点时，MH与平面PAD所成的角最大，且所成角的正切值为，求点A到平面PBC的距离．20．（12分）已知椭圆C：的一个焦点为F（3，0），其左顶点A在圆O：x2+y2=12上．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l：x=my+3（m≠0）交椭圆C于M，N两点，设点N关于x轴的对称点为N1（点N1与点M不重合），且直线N1M与x轴的交于点P，求△PMN面积的最大值及此时m的值．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣ax（a∈R）有两个不同的零点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）记两个零点分别为x1，x2，且x1＜x2，已知λ＞0，若不等式1+λ＜lnx1+λlnx2恒成立，求λ的取值范围．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l经过点P（﹣1，0），其倾斜角为α，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+5=0．（1）若直线l与曲线C有公共点，求α的取值范围；（2）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．选修4-5：不等式选讲23．设函数f（x）=|ax﹣1|．（1）若f（x）≤2的解集为[﹣2，6]，求实数a的值；（2）当a=2时，若存在x∈R，使得不等式f（2x+1）﹣f（x﹣1）≤7﹣3m成立，求实数m的取值范围．2017-2018学年江西省抚州市临川二中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x＞1}，B={x|x＜m}，且A∪B=R，那么m的值可以是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【解答】解：根据题意，若集合A={x|x＞1}，B={x|x＜m}，且A∪B=R，必有m＞1，分析选项可得，D符合；故选：D．2．（5分）若“p：x＞a”是“q：x＞1或x＜﹣3”的充分不必要条件，则a的取值范围是（）A．a≥1 B．a≤1 C．a≥﹣3 D．a≤﹣3【解答】解：∵“x＞a”是“x＞1或x＜﹣3”的充分不必要条件，如图所示，∴a≥1，故选：A．3．（5分）当0＜x＜1时，则下列大小关系正确的是（）A．x3＜3x＜log3x B．3x＜x3＜log3x C．log3x＜x3＜3x D．log3x＜3x＜x3【解答】解：∵0＜x＜1，∴log3x＜log31=0，0＜x3＜1，1=30＜3x，∴，故选：C．4．（5分）数列{a n}满足a1=1，a2=3，a n+1=（2n﹣λ）a n，（n=1，2…），则a3等于（）A．15 B．10 C．9 D．5【解答】解：∵a1=1，a2=3，a n+1=（2n﹣λ）a n，∴a2=2﹣λ=3，λ=﹣1．∴a3=（4﹣λ）•3=15．故选：A．5．（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足f（2﹣x）=f（x），当x∈（0，1]时，f（x）=e x﹣1，则=（）A．1﹣e B．e﹣1 C．D．【解答】解：∵在R上的奇函数f（x）满足f（2﹣x）=f（x），∴f（x﹣2）=﹣f（x），f（x﹣4）=﹣f（x﹣2）=f（x），当x∈（0，1]时，f（x）=e x﹣1，∴=f（﹣）=﹣f（）=﹣（）=1﹣．故选：C．6．（5分）定义行列式运算=a1a4﹣a2a3．将函数的图象向左平移个单位，以下是所得函数图象的一个对称中心是（）A．B．C．D．【解答】解析：，向左平移后得到y=2sin2x．所以函数y=2sin2x图象的对称中心为，令k=1时，得到．故选：B．7．（5分）实数x，y满足条件，则2x﹣y的最小值为（）A．16 B．4 C．1 D．【解答】解；画出可行域令z=x﹣y，则可变形为y=x﹣z，作出对应的直线，将直线平移至点（4，0）时，直线纵截距最小，z最大；平移至点（0，1）时，直线纵截距最大，z最小将（0，1）代入z=x﹣y得到z的最小值为﹣1∴2x﹣y的最小值为故选：D．8．（5分）《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作．书中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内投豆子，则落在其内切圆内的概率是（）A． B．C． D．【解答】解：由题意，直角三角形，斜边长为17，由等面积，可得内切圆半径r==3，∴向此三角形内投豆子，则落在其内切圆内的概率是=，故选：C．9．（5分）已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：令g（x）=x﹣lnx﹣1，则，由g'（x）＞0，得x＞1，即函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，由g'（x）＜0得0＜x＜1，即函数g（x）在（0，1）上单调递减，所以当x=1时，函数g（x）有最小值，g（x）min=g（0）=0，于是对任意的x∈（0，1）∪（1，+∞），有g（x）≥0，故排除B、D，因函数g（x）在（0，1）上单调递减，则函数f（x）在（0，1）上递增，故排除C，故选：A．10．（5分）如图，在扇形OAB中，∠AOB=60°，C为弧AB上且与A，B不重合的一个动点，，若u=x+λy，（λ＞0）存在最大值，则λ的取值范围为（）A． B．（1，3） C． D．【解答】解：设射线OB上存在为B'，使，AB'交OC于C'，由于，设，，由A，B'，C'三点共线可知x'+λy'=1，所以u=x+λy=tx'+t•λy'=t，则存在最大值1，即在弧AB（不包括端点）上存在与AB'平行的切线，所以．故选：C．11．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（）A．28πB．32πC．D．【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，其外接球，与以俯视图为底面，以4为高的正三棱柱的外接球相同，如图所示：由底面边长为4，可得底面外接圆的半径为：．由棱柱高为4，可得球心距为2，故外接球半径为，故选：C故外接球的表面积S=4πr2=4π×=故选：C．12．（5分）已知函数f（x）=，若方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则x3（x1+x2）+的取值范围是（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，1]C．（﹣∞，1）D．[﹣1，1）【解答】解：作函数f（x）=，的图象如下，由图可知，x1+x2=﹣2，x3x4=1；1＜x4≤2；故x3（x1+x2）+=﹣+x4，其在1＜x4≤2上是增函数，故﹣2+1＜﹣+x4≤﹣1+2；即﹣1＜﹣+x4≤1；故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知b为实数，i为虚数单位，若为实数，则b=﹣2．【解答】解：==+为实数，∴=0，解得b=﹣2．故答案为：﹣2．14．（5分）在△ABC中，|+|=|﹣|，AB=2，AC=1，E，F为BC的三等分点，则•=．【解答】解：由于在△ABC中，|+|=|﹣|，则∠BAC=90°，由于E，F为BC的三等分点，则=﹣，=，，又有=，=，则=，=，又由AB=2，AC=1，故•==故答案为：．15．（5分）如图，点F是抛物线y2=8x的焦点，点A，B分别在抛物线及圆（x ﹣2）2+y2=16的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB的周长的取值范围是（8，12）．【解答】解：抛物线的准线l：x=﹣2，焦点F（2，0），由抛物线定义可得|AF|=x A+2，∴△FAB的周长=|AF|+|AB|+|BF|=x A+2+（x B﹣x A）+4=6+x B，由抛物线y2=8x及圆（x﹣2）2+y2=16，得交点的横坐标为2，∴x B∈（2，6）∴6+x B∈（8，12）∴三角形ABF的周长的取值范围是（8，12）．16．（5分）设双曲线的左焦点为F1，左顶点为A，过F1作x轴的垂线交双曲线于P，Q两点，过P作PM垂直QA于M，过Q作QN垂直PA于N，设PM与QN的交点为B，若B到直线PQ的距离大于a+c，则该双曲线的离心率取值范围为．【解答】解：由题意可知：A（﹣a，0），P（﹣c，），Q（﹣c，﹣），由双曲线的对称性可知B在x轴上，设B（x，0），则BP⊥AQ，则k BP•k AQ=﹣1，∴﹣•=﹣1，则c+x=﹣，由B到直线PQ的距离d=x+c，∴|﹣丨＞a+c，则＞c2﹣a2=b2，∴＞1，由椭圆的离心率e==＞，双曲线的离心率取值范围（，+∞），故答案为：（，+∞）．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+（cosA ﹣sinA）cosB=0．（1）求角B的大小；（2）若a+c=1，求b的取值范围．【解答】解：（1）由已知得：﹣cos（A+B）+cosAcosB﹣sinAcosB=0，即sinAsinB﹣sinAcosB=0，∵sinA≠0，∴sinB﹣cosB=0，即tanB=，又B为三角形的内角，则B=；（2）∵a+c=1，即c=1﹣a，cosB=，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2ac•cosB，即b2=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac=1﹣3a（1﹣a）=3（a﹣）2+，∵0＜a＜1，∴≤b2＜1，则≤b＜1．18．（12分）兰州一中在世界读书日期间开展了“书香校园”系列读书教育活动．为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查．下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图，且将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”，低于60分钟的学生称为“非读书迷”．（1）根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书迷”与性别有关？（2）利用分层抽样从这100名学生的“读书迷”中抽取8名进行集训，从中选派2名参加兰州市读书知识比赛，求至少有一名男生参加比赛的概率．附：，【解答】（本小题满分12分）解：（1）2×2列联表如下：…（2分）K2的观测值．…（4分）因为8.249＞6.635，所以有99%的把握认为“读书迷”与性别有关．…（6分）（2）利用分层抽样抽取的8名“读书迷”中有男生3名，女生5名，分别设男生和女生为A i（i=1，2，3）、B i（i=1，2，3，4，5），…（8分）设从8名“读书迷”中选派2名，至少选派一名男生参加比赛的事件为X，则基本事件共有28种，其中至少选派一名男生参加比赛的事件有18种，…（10分）所以，．所以，至少有一名男生参加比赛的概率为．…（12分）19．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，AB=2，∠BAD=120°，PA⊥平面ABCD，M，N分别是BC，PC的中点．（1）证明：AM⊥平面PAD；（2）若H为PD的中点时，MH与平面PAD所成的角最大，且所成角的正切值为，求点A到平面PBC的距离．【解答】（本小题满分12分）（1）证明：由四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，可得∠ABC=60°，△ABC为正三角形．因为M为BC的中点，所以AM⊥BC．…（2分）又BC∥AD，因此AM⊥AD．因为PA⊥平面ABCD，AM⊂平面ABCD，所以PA⊥AM．而PA∩AD=A，所以AM⊥平面PAD．…（5分）（2）连接AH、MH．由（Ⅰ）可知：AM⊥平面PAD．则∠MHA为MH与平面PAD所成的角．AB=2，∠BAD=120°，AM=，此时．AH=，又AB=2，AD=2，所以∠ADH=45°，于是PA=2．…（10分）设点A到平面PBC的距离为d，则由V A=V P﹣ABC，得，∴．﹣PBC所以，点A到平面PBC的距离为．…（12分）20．（12分）已知椭圆C：的一个焦点为F（3，0），其左顶点A在圆O：x2+y2=12上．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l：x=my+3（m≠0）交椭圆C于M，N两点，设点N关于x轴的对称点为N1（点N1与点M不重合），且直线N1M与x轴的交于点P，求△PMN面积的最大值及此时m的值．【解答】（本小题满分12分）（1）∵椭圆C的左顶点A在圆x2+y2=12上，∴又∵椭圆的一个焦点为F（3，0），∴c=3∴b2=a2﹣c2=3∴椭圆C的方程为…（4分）（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），则直线与椭圆C方程联立化简并整理得（m2+4）y2+6my﹣3=0，∴y1+y2=，…（5分）由题设知N1（x2，﹣y2）∴直线N1M的方程为令y=0得=∴点P（4，0）．…（7分）=…（9分）=（当且仅当即时等号成立）∴当=±时，△PMN的面积最大，最大值为1．…（12分）21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣ax（a∈R）有两个不同的零点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）记两个零点分别为x1，x2，且x1＜x2，已知λ＞0，若不等式1+λ＜lnx1+λlnx2恒成立，求λ的取值范围．【解答】解：（I）依题意，函数f（x）的定义域为（0，+∞），所以方程lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同跟等价于函数与函数y=a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点．又，即当0＜x＜e时，g'（x）＞0；当x＞e时，g'（x）＜0，所以g（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减．从而．又g（x）有且只有一个零点是1，且在x→0时，g（x）→∞，在x→+∞时，g（x）→0，所以g（x）的草图如下：可见，要想函数与函数y=a在图象（0，+∞）上有两个不同交点，只需．（Ⅱ）由（I）可知x1，x2分别为方程lnx﹣ax=0的两个根，即lnx1=ax1，lnx2=ax2，所以原式等价于1+λ＜ax1+λax2=a（x1+λx2）．因为λ＞0，0＜x1＜x2，所以原式等价于．又由lnx 1=ax1，lnx2=ax2作差得，，即．所以原式等价于．因为0＜x1＜x2，原式恒成立，即恒成立．令，则不等式在t∈（0，1）上恒成立．令，则，当λ2≥1时，可见t∈（0，1）时，h'（t）＞0，所以h（t）在t∈（0，1）上单调递增，又h（1）=0，h（t）＜0在t∈（0，1）恒成立，符合题意；当λ2＜1时，可见当t∈（0，λ2）时，h'（t）＞0；当t∈（λ2，1）时，h'（t）＜0，所以h（t）在t∈（0，λ2）时单调递增，在t∈（λ2，1）时单调递减．又h（1）=0，所以h（t）在t∈（0，1）上不能恒小于0，不符合题意，舍去．综上所述，若不等式1+λ＜lnx1+λlnx2恒成立，只须λ2≥1，又λ＞0，所以λ≥1．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l经过点P（﹣1，0），其倾斜角为α，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+5=0．（1）若直线l与曲线C有公共点，求α的取值范围；（2）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．【解答】解：（1）将曲线ρ2﹣6ρcosθ+5=0化成直角坐标方程，得圆C：x2+y2﹣6x+5=0直线l的参数方程为（t为参数）将其代入圆C方程，得（﹣1+tcosα）2+（tsinα）2﹣6（﹣1+tcosα）+5=0整理，得t2﹣8tcosα+12=0∵直线l与圆C有公共点，∴△≥0，即64cos2α﹣48≥0，可得cosα≤﹣或cosα≥∵α为直线的倾斜角，得α∈[0，π）∴α的取值范围为[0，]∪[，π）（2）由圆C：x2+y2﹣6x+5=0化成参数方程，得（θ为参数）∵M（x，y）为曲线C上任意一点，∴x+y=3+2cosθ+2sinθ=3+2sin（θ+）∵sin（θ+）∈[﹣1，1]∴2sin（θ+）∈[﹣2，2]，可得x+y的取值范围是[3﹣2，3+2]．选修4-5：不等式选讲23．设函数f（x）=|ax﹣1|．（1）若f（x）≤2的解集为[﹣2，6]，求实数a的值；（2）当a=2时，若存在x∈R，使得不等式f（2x+1）﹣f（x﹣1）≤7﹣3m成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）显然a≠0，当a＞0时，解集为，，；当a＜0时，解集为，令，无解，综上所述，；（2）当a=2时，令h （x ）=f （2x +1）﹣f （x ﹣1）=|4x +1|﹣|2x ﹣3|=；由此可知，h （x ）在单调减，在和单调增，则当时，h （x ）取到最小值，由题意知，，则实数m 的取值范围是．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为yxo增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x分别在(,-∞、)+∞上为增函数，分别在[、上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。

2018届江西省抚州市临川区第一中学高三全真模拟（最后一模）数学（文）试题（解析版）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：解二次不等式得集合M，解分式不等式得集合N，再根据交集定义求结果.详解：因为，所以因为，所以因此，选C.点睛：集合的基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．2. 在复平面内，复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据分母实数化得z代数形式，再根据虚部定义得结果.详解：因为，所以,因此复数的虚部为，选B.点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为3. “为假命题”是“为真命题”的（）A. 充分必要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析：是假命题，等价于和都是假命题，为真命题等价于是假命题，因此“是假命题”是“为真命题”的充分不必要条件．故选A．... ... ... ... ... ... ... ... ...考点：充分必要条件．4. 已知，则的图象是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：根据函数奇偶性舍去B,D；再根据函数值舍去C.详解：因为，所以舍去B,D；因为，所以舍去C.因此选A.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．5. 如图给出的是计算的值的一个程序框图，则图中执行框中的①处和判断框中的②处应填的语句是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】分析：根据分母1，3，5，…,13规律得；由得.详解：因为分母1，3，5，…，13,所以;因为，所以因此选C.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.6. 已知双曲线的离心率为，且双曲线与抛物线的准线交于、，，则双曲线的实轴长（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先求抛物线准线方程，再根据求交点坐标，代入双曲线方程得a，求得结果.详解：因为抛物线，所以准线方程为，因为，所以,因为双曲线的离心率为，所以因此双曲线的实轴长为，选D.点睛: 抛物线的焦点为，准线为；抛物线的焦点为，准线为.7. 已知、是圆：上的两个动点，，，若是线段的中点，则的值为（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得,所以，选A.8. 已知函数的周期为，若，则（ ）A.B.C. D.【答案】B【解析】由题意得，所以，选B.9. 如图，某几何体的三视图中，俯视图是边长为的正三角形，正视图和左视图分别为直角梯形和直角三角形，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】如图所示，该几何体的直观图为四棱锥，平面平面，，故选A ．点睛：三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．10. 已知、、三地在同一水平面内，地在地正东方向处，地在地正北方向处，某测绘队员在、之间的直线公路上任选一点作为测绘点，用测绘仪进行测绘，地为一磁场，距离其不超过的范围内会对测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：如图,当点设在线段上测绘结果不准确,由于,因此,由于,所以,因此测绘时得到不准确数据的概率为,所以测绘时得到准确数据的概率为,应选A.考点：几何概型的计算公式．【易错点晴】本题将解三角形和概率有机地结合在一起,重点考查的是几何概型的计算公式和求解方法.解答时充分借助题设中提供的有效信息,以点为圆心半径为画圆,记交点为,从而将问题转化为求线段的长的问题.由于,点到的距离为,运用勾股定理求出了.然后依据题设求出得到准确数据的概率为.视频11. 已知定点，，是圆：上任意一点，点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点，则点的轨迹是（）A. 直线B. 圆C. 椭圆D. 双曲线【答案】D【解析】分析：根据三角形中位线性质以及中垂线性质得,再根据双曲线定义得结果.详解：因为N为中点，O为中点，所以因为P在线段的中垂线上，所以因此，即点的轨迹是双曲线，选D.点睛：求轨迹方程，一般有以下方法，一是定义法，动点满足圆或圆锥曲线定义；二是直接法，化简条件即得；三是转移法，除所求动点外，一般还有已知轨迹的动点，寻求两者关系是关键；四是交轨法或参数法，如何消去参数是解题关键，且需注意消参过程中的等价性.12. 已知、是函数图象上的两个不同的点，且在、两点处的切线互相垂直，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先根据导数几何意义得关系，再根据函数性质确定的取值范围.详解：由题意得，而因为、两点处的切线互相垂直，所以,当且仅当是取等号,选D.点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若向量，，则的坐标是__________．【答案】.【解析】分析：根据向量减法得结果.详解：因为，，所以点睛：向量平行：，向量垂直：，向量加减：14. 若，满足约束条件，则的最小值为__________．【答案】.【解析】分析：先作可行域，再根据目标函数表示可行域内点到坐标原点距离的平方，结合图形确定最小值取法.详解：作可行域，则的最小值为O到直线x-2y+1=0距离的平方，即为.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.15. 在锐角中，内角，，的对边分别为，，，，的面积为，则的最小值为__________．【答案】.【解析】试题分析：由题设和正弦定理可得,因的面积为即则,故应填.考点：正弦定理余弦定理基本不等式的综合运用．【易错点晴】本题考查是正弦定理余弦定理及三角形面积公式和三角变换等有关知识的综合运用.解答时充分借助题设条件,先由求出,再运用三角形的面积公式可得,即并然后运用余弦定理和基本不等式可得,最终求得的最小值为.解答过程充分体现了正弦定理的边角转换和余弦定理的构建立方程的数学思想及运用.16. 定义一：对于一个函数，若存在两条距离为的直线和，使得时，恒成立，则称函数在内有一个宽度为的通道.定义二：若一个函数对于任意给定的正数，都存在一个实数，使得函数在内有一个宽度为的通道，则称在正无穷处有永恒通道.下列函数①；②；③；④；⑤.其中在正无穷处有永恒通道的函数序号是__________．【答案】②③⑤.【解析】试题分析：①，随着的增大，函数值也在增大，无渐近线，故不存在一个实数，使得函数在内有一个宽度为的通道，故在正无穷处无永恒通道；②，随着的增大，函数值趋近于，对于任意给定的正数，都存在一个实数，使得函数在内有一个宽度为的通道，故在正无穷处有永恒通道；③，随着的增大，函数值也在增大，有两条渐近线，对于任意给定的正数，都存在一个实数，使得函数在内有一个宽度为的通道，故在正无穷处有永恒通道；④，随着的增大，函数值也在增大，无渐近线，故不存在一个实数，使得函数在内有一个宽度为ɛ的通道，故在正无穷处无永恒通道；⑤，随着的增大，函数值趋近于，趋近于轴，对于任意给定的正数，都存在一个实数，使得函数在内有一个宽度为的通道，故在正无穷处有永恒通道．故答案为：②③⑤. 考点：函数恒成立问题．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题17. 已知函数的图象经过三点，，，且在区间内有唯一的最值，且为最小值.（1）求出函数的解析式；（2）在中，，，分别是、、的对边，若且，，求的值.【答案】(1).(2).【解析】试题分析：（1）借助题设建立方程求解；（2）借助题设条件和余弦定理求解．试题解析：（1）由题意可得函数的周期，∴，又由题意当时，，∴，结合可解得，再由题意当时，，∴，∴，∴．（2）∵，∴．∵，∴由余弦定理得：，则．考点：三角函数的图象和余弦定理等有关知识及运用．18. 某市为了引导居民合理用水，居民生活用水实行二级阶梯式水价计量办法，具体如下：第一阶梯，每户居民月用水量不超过吨，价格为元/吨；第二阶梯，每户居民月用水量超过吨，超过部分的价格为元/吨.为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样获得了户居民的月用水量（单位：吨），将数据按照，，…，（全市居民月用水量均不超过吨）分成组，制成了如图1所示的频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中字母的值，并求该组的频率；（2）通过频率分布直方图，估计该市居民每月的用水量的中位数的值（保留两位小数）；（3）如图2是该市居民张某年月份的月用水量（元）与月份的散点图，其拟合的线性回归方程是.若张某年月份水费总支出为元，试估计张某月份的用水吨数.【答案】(1);.(2).(3).【解析】试题分析：（Ⅰ）根据个矩形面积和为 可得结果；（Ⅱ）利用 左右面积都是 列方程可得结果；（Ⅲ）根据前六个月平均用水量，利用回归方程估算出前六个月平均费用，总费用减去前六个月的费用和即可得结果.试题解析：（Ⅰ）∵∴第四组的频率为：（Ⅱ）因为所以8.15（Ⅲ）∵，且∴所以张某7月份的用水费为设张某7月份的用水吨数吨， ∵∴，.则张某7月份的用水吨数吨.19. 已知四棱台的上下底面分别是边长为和的正方形，且底面，点为的中点.（1）求证：平面；（2）在边上找一点，使平面，并求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析.(2).【解析】分析：(1)取中点，由平几相似得，再由底面得，又是正方形，有，因此平面，即得，最后根据线面垂直判定定理得结论，(2)在边上取一点，使，由平几知识得四边形是平行四边形，即有平面. 设，由（1）得为高，最后根据锥体体积公式求结果.详解：（1）取中点，连结，，在，∴平面.∵面，面，∴，∵是正方形，∴，又平面，平面，，∴平面，∵平面，∴.∵，，，∴，∴，∵，∴，∴，∵平面，平面，，∴平面.（2）在边上取一点，使，∵为梯形的中位线，，，∴，，又∵，∴，∴四边形是平行四边形，∴，又平面，平面，∴平面.∵平面，平面，∴，∵，，∴，设，则.∴.∴.点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.20. 已知的直角顶点在轴上，点，为斜边的中点，且平行于轴.（1）求点的轨迹方程；（2）设点的轨迹为曲线，直线与的另一个交点为.以为直径的圆交轴于、，记此圆的圆心为，，求的最大值.【答案】(1).(2).【解析】分析：(1) 设点的坐标为，表示点D,A 坐标，再根据 列方程解得点的轨迹方程；(2)设直线的方程为，与抛物线方程联立，根据韦达定理以及中点坐标公式得圆心坐标，解得半径，再根据垂径定理得，最后根据函数值域得最小值，即的最大值.详解：（1）设点的坐标为，则的中点的坐标为，点的坐标为.，，由，得，即，经检验，当点运动至原点时，与重合，不合题意舍去.所以，轨迹的方程为.（2）依题意，可知直线不与轴重合，设直线的方程为，点、的坐标分别为、，圆心的坐标为.由，可得，∴，.∴，∴.∴圆的半径.过圆心作于点，则.在中，，当，即垂直于轴时，取得最小值为，取得最大值为，所以，的最大值为.点睛：求轨迹方程，一般有以下方法，一是定义法，动点满足圆或圆锥曲线定义；二是直接法，化简条件即得；三是转移法，除所求动点外，一般还有已知轨迹的动点，寻求两者关系是关键；四是交轨法或参数法，如何消去参数是解题关键，且需注意消参过程中的等价性.21. 已知函数，都在处取得最小值.（1）求的值；（2）设函数，的极值点之和落在区间，，求的值.【答案】(1).(2).【解析】分析：(1)先求，再求，列式可得导函数变化规律，确定单调性，得到最小值取法，即得，再根据在处取得最小值得a，最后求的值；(2)求导数，再求导函数的导数，根据导函数单调性以及零点存在定理得确定零点个数及其范围，最后确定极值点之和范围，进而得到k的值.详解：（1），令得，则，的变化情况如下表：∴当时，函数取得最小值，∴，；当时，函数是增函数，在没有最小值，当时，，当且仅当，即，有最小值，∴.（2），，设，∵，∴当时，即单调递减，当时，即单调递增，由（1）得，∴时，，单调递增.时，，单调递减，∴在有唯一极大值点；∵，，在单调递增，∴在存在唯一实数，使得，∴时，，单调递减，时，，单调递增，∴函数在有唯一极小值点；∵，∴，，∵，，∴存在自然数，使得函数的所有极值点之和.点睛：函数极值问题的常见类型及解题策略(1)知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号.(2)已知函数求极值.求→求方程的根→列表检验在的根的附近两侧的符号→下结论.(3)已知极值求参数.若函数在点处取得极值，则，且在该点左、右两侧的导数值符号相反.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. [选修4-4：坐标系与参数方程]以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为.（1）写出曲线的参数方程；（2）在曲线上任取一点，过点作轴，轴的垂直，垂足分别为，，求矩形的面积的最大值.【答案】(1).(2).【解析】分析：（1）先根据将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，再写出圆的参数方程，（2）根据题意得，再根据同角三角函数关系得，，最后根据二次函数性质求最值.详解：（1）由得，所以，即，故曲线的参数方程（为参数）；（2）由（1）可设点的坐标为，，则矩形的面积为.令，，，故当时，.点睛：利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题非常简捷方便，是我们解决这类问题的好方法.椭圆参数方程：，圆参数方程：，直线参数方程：23. [选修4-5：不等式选讲]已知函数.（1）若，求函数的最小值；（2）如果关于的不等式的解集不是空集，求实数的取值范围.【答案】(1)3.(2).【解析】分析：（1）根据绝对值三角不等式得的最小值3；（2）根据绝对值三角不等式得的最小值为，再解不等式得结果.详解：（1）当时，知，当，即时取等号，∴的最小值是.（2）∵，当时取等号，∴若关于的不等式的解集不是空集，只需，解得，即实数的取值范围是. 点睛：形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法，利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此处设a＜b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；(2)几何法，利用|x－a|＋|x－b|＞c(c ＞0)的几何意义：数轴上到点x1＝a和x2＝b的距离之和大于c的全体；(3)图象法：作出函数y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的图象，结合图象求解.。

临川区第一中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 已知一三棱锥的三视图如图所示，那么它的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．1323122． cos80cos130sin100sin130︒︒-︒︒等于（ ）A B ．12 C ．12-D ．3． 四面体 中,截面 是正方形， 则在下列结论中，下列说法错误的是（）ABCD PQMNA ．B ．AC BD ⊥AC BD= C.D ．异面直线与所成的角为AC PQMN A PM BD 454． 函数（，）的部分图象如图所示，则 f （0）的值为（ ）()2cos()f x x ωϕ=+0ω>0ϕ-π<<A. B. C. D. 32-1-【命题意图】本题考查诱导公式，三角函数的图象和性质，数形结合思想的灵活应用.5． 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的x 的值是（）A ．2B ．C ．D ．36． 如果集合 ，同时满足,就称有序集对,A B {}{}{}{}1,2,3,41,1,1A B B A B =≠≠ ，A =为“ 好集对”. 这里有序集对是指当时，和是不同的集对， 那么(),A B (),A B A B ≠(),A B (),B A “好集对” 一共有（ ）个A ．个B ．个C ．个D ．个7． 给出下列结论：①平行于同一条直线的两条直线平行；②平行于同一条直线的两个平面平行；③平行于同一个平面的两条直线平行；④平行于同一个平面的两个平面平行．其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8． 函数是指数函数，则的值是（ ）2(44)xy a a a =-+A ．4B ．1或3C ．3D ．19． 已知抛物线C ：的焦点为F ，准线为，P 是上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若y x 82=l l ，则（ ）FQ PF 2==QF A ．6B ．3C ．D ．3834第Ⅱ卷（非选择题，共100分）10．设n S 是等比数列{}n a 的前项和，425S S =，则此数列的公比q =（ ）A ．-2或-1B ．1或2C.1±或2D ．2±或-111．“”是“”的（ ）24x ππ-<≤tan 1x ≤A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【命题意图】本题主要考查充分必要条件的概念与判定方法，正切函数的性质和图象，重点是单调性.12．将函数（其中）的图象向右平移个单位长度，所得的图象经过点x x f ωsin )(=0>ω4π，则的最小值是（ ）)0,43(πωA ． B ．C ．D ．3135二、填空题13．在等差数列中，，其前项和为，若，则的值等}{n a 20161-=a n n S 2810810=-S S 2016S 于.【命题意图】本题考查等差数列的通项公式、前项和公式，对等差数列性质也有较高要求，属于中等难度.n14．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】已知函数，若曲线（()()ln R xf x x a a x=+-∈122e e 1x x y +=+e 为自然对数的底数）上存在点使得，则实数的取值范围为__________.()00,x y ()()00f f y y =a 15．在空间直角坐标系中，设，，且，则.)1,3(，m A )1,1,1(-B 22||=AB =m 16．图中的三个直角三角形是一个体积为20的几何体的三视图，则__________.h =三、解答题17．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[50，60][60，70][70，80][80，90][90，100]．（1）求图中a 的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分．18．（本小题满分12分）在中，角所对的边分别为，，ABC ∆,,A B C ,,a b c 1)cos 2cos a B b A c +-=（Ⅰ）求的值； tan tan AB（Ⅱ）若，，求的面积．a =4B π=ABC ∆19．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立C 2cos ρθ=平面直角坐标系，直线的参数方程是（为参数）.243x ty t =-+⎧⎨=⎩（1）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；C （2）求曲线上任意一点到直线的距离的最大值.C 20．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（ ）AB C D21．已知椭圆的左、右焦点分别为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），P 是椭圆C 上任意一点，且椭圆的离心率为．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 1，l 2是椭圆的任意两条切线，且l 1∥l 2，试探究在x 轴上是否存在定点B ，点B 到l 1，l 2的距离之积恒为1？若存在，求出点B 的坐标；若不存在，请说明理由．　22．已知是等差数列，是等比数列，为数列的前项和，，且，{}n a {}n b n S {}n a 111a b ==3336b S =（）．228b S =*n N ∈（1）求和；n a n b （2）若，求数列的前项和．1n n a a +<11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n T临川区第一中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）一、选择题1． 【答案】 B【解析】解析：本题考查三视图与几何体的体积的计算．如图该三棱锥是边长为的正方体21111ABCD A B C D -中的一个四面体,其中，∴该三棱锥的体积为，选B ．1ACED 11ED =112(12)2323⨯⨯⨯⨯=2． 【答案】D 【解析】试题分析：原式()()cos80cos130sin80sin130cos 80130cos 210cos 30180cos30=︒︒-︒︒=︒+︒=︒=︒+︒=-︒=．考点：余弦的两角和公式.3． 【答案】B 【解析】试题分析：因为截面是正方形，所以，则平面平面，PQMN //,//PQ MN QM PN //PQ ,//ACD QM BDA 所以,由可得，所以A 正确；由于可得截面//,//PQ AC QM BD PQ QM ⊥AC BD ⊥//PQ AC //AC ，所以C 正确；因为，所以，由，所以是异面直线与PQMN PN PQ ⊥AC BD ⊥//BD PN MPN ∠PM BD所成的角，且为，所以D 正确；由上面可知，所以，而045//,//BD PN PQ AC ,PN AN MN DN BD AD AC AD==，所以，所以B 是错误的，故选B. 1,AN DN PN MN ≠=BD AC ≠考点：空间直线与平面的位置关系的判定与证明.【方法点晴】本题主要考查了空间中直线与平面的位置关系的判定与证明，其中解答中涉及到直线与平面平行的判定定理和性质定理、正方形的性质、异面直线所成的角等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，此类问题的解答中熟记点、线、面的位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键.4． 【答案】D【解析】易知周期，∴.由（），得112(1212T π5π=-=π22T ωπ==52212k ϕπ⨯+=πk ∈Z 526k ϕπ=-+π（），可得，所以，则，故选D.k Z ∈56ϕπ=-5()2cos(2)6f x x π=-5(0)2cos(6f π=-=5． 【答案】C解析：由三视图可知：原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、高分别为1、2、2的直角梯形，一条长为x 的侧棱垂直于底面．则体积为=，解得x=．故选：C ．6． 【答案】B 【解析】试题分析：因为，所以当时，；当{}{}{}{}1,2,3,41,1,1A B B A B =≠≠ ，A ={1,2}A ={1,2,4}B =时，；当时，；当时，；当时，{1,3}A ={1,2,4}B ={1,4}A ={1,2,3}B ={1,2,3}A ={1,4}B ={1,2,4}A =；当时，；所以满足条件的“好集对”一共有个，故选B.{1,3}B ={1,3,4}A ={1,2}B =考点：元素与集合的关系的判断.【方法点晴】本题主要考查了元素与集合关系的判断与应用，其中解答中涉及到集合的交集和集合的并集运算与应用、元素与集合的关系等知识点的综合考查，着重考查了分类讨论思想的应用，以及学生分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于中档试题，本题的解答中正确的理解题意是解答的关键.1111]7． 【答案】B 【解析】考点：空间直线与平面的位置关系．【方法点晴】本题主要考查了空间中直线与平面的位置关系的判定与证明，其中解答中涉及到直线与直线平行的判定与性质、直线与平面平行的判定与性质的应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中熟记直线与直线平行和直线与平面平行的判定与性质是解答的关键．8． 【答案】C 【解析】考点：指数函数的概念．9． 【答案】A解析：抛物线C ：的焦点为F （0，2），准线为：y=﹣2，y x 82=l 设P （a ，﹣2），B （m ，），则=（﹣a ，4），=（m ，﹣2），∵，∴2m=﹣a ，4=﹣4，∴m 2=32，由抛物线的定义可得|QF|=+2=4+2=6．故选A ．10．【答案】D 【解析】试题分析：当公比1-=q 时，0524==S S ，成立.当1-≠q 时，24,S S 都不等于，所以42224==-q S S S , 2±=∴q ,故选D.考点：等比数列的性质.11．【答案】A【解析】因为在上单调递增，且，所以，即.反之，当tan y x =,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭24x ππ-<≤tan tan 4x π≤tan 1x ≤时，（），不能保证，所以“”是“”tan 1x ≤24k x k πππ-<≤+πk Z ∈24x ππ-<≤24x ππ-<≤tan 1x ≤的充分不必要条件，故选A.12．【答案】D考点：由的部分图象确定其解析式；函数的图象变换．()ϕω+=x A y sin ()ϕω+=x A y sin 二、填空题13．【答案】2016-14．【答案】1,e⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】结合函数的解析式：可得：，122e e 1x x y +=+()()122221'1x x x e e y e +-=+令y ′=0，解得：x =0，当x >0时，y ′>0，当x <0，y ′<0，则x ∈（-∞，0），函数单调递增，x ∈（0，+∞）时，函数y 单调递减，则当x =0时，取最大值，最大值为e ，∴y 0的取值范围（0，e ]，结合函数的解析式：可得：，()()R lnxf x x a a x=+-∈()22ln 1'x x f x x -+=x ∈（0，e ），，()'0f x >则f （x ）在（0，e ）单调递增，下面证明f （y 0）=y 0．假设f （y 0）=c >y 0，则f （f （y 0））=f （c ）>f （y 0）=c >y 0，不满足f （f （y 0））=y 0．同理假设f （y 0）=c <y 0，则不满足f （f （y 0））=y 0．综上可得：f （y 0）=y 0．令函数．()ln xf x x a x x =+-=设，求导，()ln x g x x =()21ln 'xg x x -=当x ∈（0，e ），g ′（x ）>0，g （x ）在（0，e ）单调递增，当x =e 时取最大值，最大值为，()1g e e=当x →0时，a →-∞，∴a 的取值范围.1,e⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦点睛：（1）利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．而解答本题（2）问时，关键是分离参数k ，把所求问题转化为求函数的最小值问题．（2）若可导函数f （x ）在指定的区间D 上单调递增（减），求参数范围问题，可转化为f ′（x ）≥0（或f ′（x ）≤0）恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．15．【答案】1【解析】试题分析：，解得：，故填：1.()()()()2213111222=-+--+-=m AB 1=m 考点：空间向量的坐标运算16．【答案】【解析】试题分析：由三视图可知该几何体为三棱锥，其中侧棱底面，且为直角三角形，且VA ⊥ABC ABC ∆，所以三棱锥的体积为，解得.5,,6AB VA h AC ===115652032V h h =⨯⨯⨯==4h =考点：几何体的三视图与体积.三、解答题17．【答案】【解析】解：（1）依题意，根据频率分布直方图中各个小矩形的面积和等于1得，10（2a+0.02+0.03+0.04）=1，解得a=0.005．∴图中a 的值0.005．（2）这100名学生语文成绩的平均分为：55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73（分），【点评】本题考查频率分布估计总体分布，解题的关键是理解频率分布直方图，熟练掌握频率分布直方图的性质，且能根据所给的数据建立恰当的方程求解18．【答案】【解析】（本小题满分12分）解： （Ⅰ）由及正弦定理得1)cos 2cos a B b A c +-=， （3分）1)sin cos 2sin cos sin sin cos +cos sin A B B A C A B A B -==，∴（6分）cos 3sin cos A B B A=tan tanA B=（Ⅱ），，， （8分）tanA B ==3A π=sin 2sin a B b A===， （10分）sin sin()CA B =+=∴的面积为（12分）ABC∆111sin 2(3222ab C ==+19．【答案】（1）参数方程为，；（2）.1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩3460x y -+=145【解析】试题分析：（1）先将曲线的极坐标方程转化为直角坐标系下的方程,可得,利用圆的参数方C 22(1)1x y -+=程写出结果,将直线的参数方程消去参数变为直线的普通方程；（2）利用参数方程写出曲线上任一点坐标,C 用点到直线的距离公式,将其转化为关于的式子,利用三角函数性质可得距离最值.试题解析：（1）曲线的普通方程为，∴，C 22cos ρρθ=2220x y x +-=∴，所以参数方程为，22(1)1x y -+=1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩直线的普通方程为.3460x y -+=（2）曲线上任意一点到直线的距离为C (1cos ,sin )θθ+，所以曲线上任意一点到直线的距离的最大值为.33cos 4sin 65sin()914555d θθθϕ+-+++==≤C 145考点：1.极坐标方程；2.参数方程.20．【答案】C【解析】21．【答案】【解析】解：（1）∵椭圆的左、右焦点分别为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），P 是椭圆C 上任意一点，且椭圆的离心率为，∴=，解得，∴椭圆C 的方程为．…（2）①当l 1，l 2的斜率存在时，设l 1：y=kx+m ，l 2：y=kx+n （m ≠n ），△=0，m 2=1+2k 2，同理n 2=1+2k 2m 2=n 2，m=﹣n ，设存在，又m 2=1+2k 2，则|k 2（2﹣t 2）+1|=1+k 2，k 2（1﹣t 2）=0或k 2（t 2﹣3）=2（不恒成立，舍去）∴t 2﹣1=0，t=±1，点B （±1，0），②当l 1，l 2的斜率不存在时，点B （±1，0）到l 1，l 2的距离之积为1．综上，存在B （1，0）或（﹣1，0）．…22．【答案】（1），或，；（2）.21n a n =-12n n b -=1(52)3n a n =-16n n b -=21n n +【解析】试题解析：（1）设的公差为，的公比为，{}n a d {}n b由题意得解得或2(33)36,(2)8,q d q d ⎧+=⎨+=⎩2,2,d q =⎧⎨=⎩2,36.d q ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴，或，．21n a n =-12n n b -=1(52)3n a n =-16n n b -=（2）若，由（1）知，+1n n a a <21n a n =-∴，111111((21)(21)22121n n a a n n n n +==--+-+∴．111111(1)2335212121n n T n n n =-+-++-=-++…考点：1、等差数列与等比数列的通项公式及前项和公式；2、裂项相消法求和的应用.。

临川一中2018届高三年级全真模拟考试数学（文科）试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}2|4M x x =≤，2|0x N x x -⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭，则M N ⋂=（ ） A ．[2,2]- B ．{2} C ．(0,2] D ．(,2]-∞2.在复平面内，复数212iz i=-+的虚部为（ ）A ．25B ．25-C ．25iD ．25i -3.“p q ∨为假命题”是“p ⌝为真命题”的（ ）A ．充分必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件 4.已知1()sin 2f x x x =-，则()f x 的图象是（ ）A ．B ．C ．D ． 5.如图给出的是计算11113513+++⋅⋅⋅+的值的一个程序框图，则图中执行框中的①处和判断框中的②处应填的语句是（ ）A ．1n n =+，7i >B ．2n n =+，6i >C ．2n n =+，7i >D ．2n n =+，8i >6.已知双曲线22221y x a b -=2x =-的准线交于A 、B ，ABC S ∆，则双曲线的实轴长（ ）A ．．2 D ．7.已知A 、B 是圆O ：224x y +=上的两个动点，2AB =，5233OC OA OB =-，若M 是线段AB 的中点，则OC OM ⋅的值为（ ）A ．3B ．．2 D ．3- 8.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,0)2A πωϕ>><<的周期为π，若()1f α=，则3()2f πα+=（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．29.如图，某几何体的三视图中，俯视图是边长为2的正三角形，正视图和左视图分别为直角梯形和直角三角形，则该几何体的体积为（ ）A ．2 B ．．2 D ．410.已知O 、A 、B 三地在同一水平面内，A 地在O 地正东方向2km 处，B 地在O 地正北方向2km 处，某测绘队员在A 、B 之间的直线公路上任选一点G 作为测绘点，用测绘仪进行测绘，O 的范围内会对测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是（ ）A ．1 C ．1-．1211.已知定点1(2,0)F -，2(2,0)F ，N 是圆O ：221x y +=上任意一点，点1F 关于点N 的对称点为M ，线段1F M 的中垂线与直线2F M 相交于点P ，则点P 的轨迹是（ ） A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．双曲线12.已知11(,)A x y 、2221(,)()B x y x x >是函数()ln f x x =图象上的两个不同的点，且在A 、B 两点处的切线互相垂直，则21x x -的取值范围为（ ）A ．(0,)+∞B ．(0,2)C ．[1,)+∞D ．[2,)+∞ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若向量(3,1)a =，(7,2)b =-，则a b -的坐标是 ．14.若x ，y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩，则22Z x y =+的最小值为 ．15.在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，2sin b C B =，ABC ∆的面积为83，则2a 的最小值为 ． 16.定义一：对于一个函数()()f x x D ∈，若存在两条距离为d 的直线1y kx m =+和2y kx m =+，使得x D ∈时，12()kx m f x kx m +≤≤+恒成立，则称函数()f x 在D 内有一个宽度为d 的通道.定义二：若一个函数()f x 对于任意给定的正数ε，都存在一个实数0x ，使得函数()f x 在0[,)x +∞内有一个宽度为ε的通道，则称()f x 在正无穷处有永恒通道.下列函数①()ln f x x =；②sin ()x f x x=；③()f x =2()f x x =；⑤()xf x e -=.其中在正无穷处有永恒通道的函数序号是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题17.已知函数()()sin f x A x ωϕ=+0,0,02A πωϕ⎛⎫>><<⎪⎝⎭的图象经过三点10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭，5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭，且在区间511,1212ππ⎛⎫⎪⎝⎭内有唯一的最值，且为最小值. （1）求出函数()()sin f x A x ωϕ=+的解析式；（2）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是A 、B 、C 的对边，若124A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭且1bc =，3b c +=，求a 的值.18.某市为了引导居民合理用水，居民生活用水实行二级阶梯式水价计量办法，具体如下：第一阶梯，每户居民月用水量不超过12吨，价格为4元/吨；第二阶梯，每户居民月用水量超过12吨，超过部分的价格为8元/吨.为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样获得了100户居民的月用水量（单位：吨），将数据按照[0,2]，(2,4]，…，(14,16]（全市居民月用水量均不超过16吨）分成8组，制成了如图1所示的频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中字母a 的值，并求该组的频率；（2）通过频率分布直方图，估计该市居民每月的用水量的中位数m 的值（保留两位小数）； （3）如图2是该市居民张某2016年16月份的月用水量y （元）与月份x 的散点图，其拟合的线性回归方程是233y x =+.若张某2016年17月份水费总支出为312元，试估计张某7月份的用水吨数.19.已知四棱台1111ABCD A BC D -的上下底面分别是边长为2和4的正方形，14AA =且1AA ⊥底面ABCD ，点P 为1DD 的中点.（1）求证：1AB ⊥平面PBC ；（2）在BC 边上找一点Q ，使//PQ 平面11A ABB ，并求三棱锥1Q PBB-的体积. 20.已知ABC ∆的直角顶点A 在y 轴上，点(1,0)B ，D 为斜边BC 的中点，且AD 平行于x 轴.（1）求点C 的轨迹方程；（2）设点C 的轨迹为曲线Γ，直线BC 与Γ的另一个交点为E .以CE 为直径的圆交y 轴于M 、N ，记此圆的圆心为P ，MPN α∠=，求α的最大值.21.已知函数()ln f x x x =，1()(0)g x x x ax=+>都在0x x =处取得最小值. （1）求00()()f x g x -的值；（2）设函数()()()h x f x g x =-，()h x 的极值点之和落在区间(,1)k k +，k N ∈，求k 的值. （二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为12sin cos ρθθρ⎛⎫=++⎪⎝⎭. （1）写出曲线C 的参数方程；（2）在曲线C 上任取一点P ，过点P 作x 轴，y 轴的垂直，垂足分别为A ，B ，求矩形OAPB 的面积的最大值.23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()1f x x a x =-++. （1）若2a =，求函数()f x 的最小值；（2）如果关于x 的不等式()2f x <的解集不是空集，求实数a 的取值范围.文科数学一、选择题1-5: CBCAC 6-10: DABAA 11、12：DD 二、填空题13. (4,3)- 14. 15 15. 316. ②③⑤ 三、解答题17.解：（1）由题意可得函数的周期11521212T πππ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，∴2ω=，又由题意当512x π=时，0y =，∴5s i n 2012A πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，结合02πϕ<<可解得6πϕ=， 再由题意当0x =时，18y =，∴1sin 68A π=，∴14A =， ∴()1sin 246f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （2）∵124A f ⎛⎫=⎪⎝⎭，∴3A π=. ∵1bc =，3b c +=，∴由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-()2223936b c bc b c bc =+-=+-=-=，则a =18.解：（1）∵(0.020.040.080.13a ++++0.080.030.02)21+++⨯=， ∴0.10a =.第四组的频率为：0.120.2⨯=.（2）因为0.0220.0420.082⨯+⨯+⨯0.102(8)0.130.5m +⨯+-⨯=，所以0.50.4888.150.13m -=+≈.（3）∵17(123456)62x =+++++=，且233y x =+，∴7233402y =⨯+=.所以张某7月份的用水费为31264072-⨯=.设张某7月份的用水吨数x 吨， ∵1244872⨯=<，∴124(12)872x ⨯+-⨯=，15x =. 则张某7月份的用水吨数15吨.19.解：（1）取1AA 中点M ，连结BM ，PM ， 在////PM AD BC ，∴BM ⊂平面PBC .∵1AA ⊥面ABCD ，BC ⊂面ABCD ，∴1AA BC ⊥，∵ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥， 又AB ⊂平面11ABB A ，1AA ⊂平面11ABB A ，1ABAA A =，∴BC ⊥平面11ABB A ，∵1AB ⊂平面11ABB A ，∴1BC AB ⊥. ∵14AB AA ==，1190BAM B A A ∠=∠=，112AM BA ==， ∴11ABM A AB ∆≅∆，∴11MBA B AA ∠=∠，∵11190BAB B AA ∠=∠=，∴190MBA BAB ∠+∠=，∴1BM AB ⊥，∵BM ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，BM BC B =，∴1AB ⊥平面PBC .（2）在BC 边上取一点Q ，使3BQ =，∵PM 为梯形11ADD A 的中位线，112A D =，4AD =， ∴3PM =，//PM AD ，又∵//BQ AD ， ∴//PM BQ ，∴四边形PMBQ 是平行四边形，∴//PQ BM ，又BM ⊂平面11A ABB ，PQ ⊄平面11A ABB ， ∴//PQ 平面11A ABB .∵BC ⊥平面11ABB A ，BM ⊂平面11ABB A ，∴BQ BM ⊥，∵14AB AA ==，112AM A B ==，∴1BM AB ==设1AB BM N =，则AB AM AN BM ⋅==∴11B N AB AN =-=.∴1113B BPQ BPQ V S B N -∆=⋅113632=⨯⨯⨯=.20.解：（1）设点C 的坐标为(,)x y ，则BC 的中点D 的坐标为1(,)22x y+，点A 的坐标为(0,)2y . (1,)2y AB =-，(,)2yAC x =，由AB AC ⊥，得204y AB AC x ⋅=-=，即24y x =， 经检验，当点C 运动至原点时，A 与C 重合，不合题意舍去. 所以，轨迹Γ的方程为24(0)y x x =≠.（2）依题意，可知直线CE 不与x 轴重合，设直线CE 的方程为1x my =+，点C 、E 的坐标分别为11(,)x y 、22(,)x y ，圆心P 的坐标为00(,)x y .由241y x x my ⎧=⎨=+⎩，可得2440y my --=，∴124y y m +=，124y y =-. ∴21212()242x x m y y m +=++=+，∴2120212x x x m +==+. ∴圆P 的半径1211(2)22r CE x x ==++221(44)222m m =+=+.过圆心P 作PQ MN ⊥于点Q ，则2MPQ α∠=.在Rt PQM ∆中，0cos 2PQ x r r α==22221112222m m m +==-++，当20m =，即CE 垂直于x 轴时，cos 2α取得最小值为12，2α取得最大值为3π， 所以，α的最大值为23π.21.【解析】（1）'()ln 1f x x =+，令'()0f x =得1x e=，则()f x ，'()f x 的变化情况如下表：∴当x e =时，函数()ln f x x x =取得最小值e -，∴0x e =，0()f x e=-；当0a <时，函数()g x 是增函数，在(0,)+∞没有最小值，当0a >时，1()g x x ax =+≥当且仅当01x e==，即2a e =，()g x 有最小值02()g x e =，∴00123()()f x g x ee e -=--=-. （2）21()ln h x x x x e x =--，221'()ln h x x e x =-+，设221()ln x x e xϕ=+，∵22232'()e x x e x ϕ-=，∴当(0,x e∈时'()0x ϕ<，()x ϕ即'()h x 单调递减，当()x e∈+∞时'()0x ϕ>，()x ϕ即'()h x 单调递增，由（1）得1'()0h e =，∴1(0,)x e∈时，'()0h x >，()h x 单调递增.1(,)x e ∈+∞时，'()0h x <，()h x 单调递减，∴()h x 在有唯一极大值点1e ；∵11'(ln (ln 21)022h e e =+=-<，21'(1)0h e =>，'()h x 在()e+∞单调递增，∴在(e存在唯一实数1x ，使得1'()0h x =，∴1()x x e∈时，'()0h x <，()h x 单调递减，1(,)x x ∈+∞时，'()0h x >，()h x 单调递增，∴函数()h x 在)+∞有唯一极小值点1x ；∵23'()ln 2ln 04h e =-=，∴12(,1)x e ∈，1131(,)e x e e e ++∈， ∵312e <<，112e e+<<， ∴存在自然数1k =，使得函数()h x 的所有极值点之和11(1,2)x e +∈. 22 解：（1）由12(sin cos )ρθθρ=++得22(sin cos 1)ρρθρθ=++，所以22222x y x y +=++，即22(1)(1)4x y -+-=，故曲线C 的参数方程12cos 12sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）；（2）由（1）可设点P 的坐标为(12cos ,12sin )θθ++，[0,2)θπ∈，则矩形OAPB 的面积为(12cos )(12sin )S θθ=++12sin 2cos 4sin cos θθθθ=+++.令sin cos )[4t πθθθ=+=+∈，212sin cos t θθ=+，221312222()22S t t t =++-=+-，故当t =max 3S =+23.解：（1）当2a =时，知()1f x x a x =-++()()213x x ≥--+=，当()()210x x -+≤，即12x -≤≤时取等号，∴()f x 的最小值是3.（2）∵()1f x x a x =-++()()11x a x a ≥--+=+，当()()10x a x -+≤时取等号， ∴若关于x 的不等式()2f x <的解集不是空集，只需12a +<，解得31a -<<，即实数a 的取值范围是()3,1-.。