2018年高考数学一轮复习专题36基本不等式教学案文!

基本不等式及其应用一、教学分析设计【教材分析】人教版普通高中课程标准试验教科书分不同的章节处理不等式问题。

在必修5的第三章中，首先介绍了不等关系与不等式；然后是一元二次不等式及其解法，二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题；最后在第四节介绍基本不等式。

在选修教材《不等式选讲》中对不等式与绝对值不等式、证明不等式的基本方法、柯西不等式与排序不等式、数学归纳法证明不等式作了更详细的介绍。

并在书中还安排章节复习了基本不等式，并将其推广到三元的形式。

基本不等式从数学上凸显了沟通基础数学知识间的内在联系的可行性。

基本不等式的课程标准内容为：探索并了解基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决简单的最值问题。

教学要求为：了解基本不等式的代数背景、几何背景以及它的证明过程；理解算数平均数、几何平均数的概念；会用基本不等式解决简单的最值问题；通过基本不等式的实际应用，感受数学的应用价值（说明：突出用基本不等式解决问题的基本方法，不必推广到三个变量以上的情形）。

《考试说明》中内容为：会用基本不等式解决简单的最值问题。

通过对比分析，他们的共同都有“会用基本不等式解决简单的最值问题”。

基本不等式与函数（包括三角函数）、数列、解析几何等内容均有丰富的联系，在《考试说明》中属于C及内容（含义：对该知识有实质性的认识并能与已有知识建立联系，掌握内容与形式的变化；有关技能已经形成，能用它来解决简单的有关问题）。

【学生分析】从知识储备上看，高三学生已经基本掌握了不等式的简单性质和证明，并能用不等式及不等式组抽象出实际问题中的数学模型，也具备一定的几何知识。

从思维特点看，学生了解了不等关系的数学模型是解决实际问题的重要工具，具备一定的归纳、猜想、演绎证明和抽象思维的能力。

【目标分析】结果性目标：1、能在具体的问题情景中，通过抽象概括、数学建模以及逻辑推理获得基本不等式；2、掌握基本不等式应用的条件“一正二定三相等”，和基本不等式的常见变形；3、会用基本不等式解决一些简单的实际问题。

高三一轮复习 6.4 基本不等式【教学目标】1.了解基本不等式的证明过程．2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．【重点难点】1.教学重点：会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题；2.教学难点：学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力；【教学策略与方法】自主学习、小组讨论法、师生互动法【教学过程】1．函数y ＝x 2＋2x ＋2x ＋1(x >－1)的图象最低点的坐标是( )A ．(1,2)B ．(1，－2)C ．(1,1)D ．(0,2)【解析】 由题意得y ＝x ＋12＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1，∵x >－1，∴x ＋1>0，∴y ≥2x ＋1×1x ＋1＝2当且仅当x ＋1＝1x ＋1，即(x ＋1)2＝1(x >－1)时等号成立，此时x ＝0.即函数图象的最低点的坐标为(0,2)． 【答案】 D2．已知x >0，则xx 2＋4的最大值为________．【解析】 x x 2＋4＝1x ＋4x，∵x >0，∴4x >0，∴x x 2＋4＝1x ＋4x ≤12x ·4x＝14，当且仅当x ＝4x (x >0)，即x ＝2时等号成立，∴x x 2＋4的最大值为14.【答案】 143．已知正实数x ，y 满足x ＋2y －xy ＝0，则x ＋2y 的最小值为________．【解析】 由x >0，y >0，x ＋2y －xy ＝0成立．【答案】 (1)B (2)95 跟踪训练：1．已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥m a ＋3b 恒成立，则m 的最大值为( ) A ．9 B ．12 C ．18 D ．24【解析】 因为a >0，b >0，不等式3a ＋1b≥m a ＋3b恒成立，所以m ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋3b ⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1b min ，因为(a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1b ＝6＋9b a ＋a b ≥6＋29b a ·a b ＝12，当且仅当a ＝3b 时取等号，所以m 的最大值为12.【答案】 B2．若点A (1,1)在直线mx ＋ny －2＝0上，其中mn >0，则1m ＋1n 的最小值为________．【解析】 因为点A (1,1)在直线mx ＋ny －2＝0上，所以m ＋n －2＝0，即m 2＋n 2＝1，所以1m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋n 2＝12＋12＋n 2m ＋m2n ≥1＋2n 2m ·m 2n ＝2，当且仅当n 2m ＝m 2n，即m 2定成本g (n )与科技成本的投入次数n 的关系是g (n )＝80n ＋1.若水晶产品的销售价格不变，第n 次投入后的年利润为f (n )万元．①求出f (n )的表达式；②求从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？【解析】 (1)设楼房设计为n 层时，平均每平方米建筑面积的成本费为y 元，依题意得 y＝2 000＋400n ＋40[1＋2＋3＋…＋n －1n ＝2 000＋380n ＋20n 2n ＝20⎝ ⎛⎭⎪⎫100n ＋n ＋19≥20×(2×10＋19)＝780.(当且仅当n ＝10时等号成立)． 【答案】 10(2)①第n 次投入后，产量为(10＋n )万件，销售价格为100元，固定成本为80n ＋1元，科技成本投入为100n 万元．所以，年利润为f (n )＝(10＋n )⎝⎛⎭⎪⎫100－80n ＋1－100n (n ∈N *)．②由①知f (n )＝(10＋n )⎝⎛⎭⎪⎫100－80n ＋1－100 n ＝1 000－80⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1＋9n ＋1≤520(万元)．当且仅当n ＋1＝9n ＋1，即n ＝8时，利润最高，最高利润为520万元．所以，从今年算起第8年利润最高，最高利润为520万元．跟踪训练：1.某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ，公园由形状为长方形A 1B 1C 1D 1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4 000 m 2，人行道的宽分别为4 m 和10 m(如图所示)．(1)若设休闲区的长和宽的比|A 1B 1||B 1C 1|＝x (x >1)，求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数S (x )的解析式；(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽该如何设计？ 【解】 (1)设休闲区的宽为a m ，则长为ax m ，由a 2x ＝4 000，得a ＝2010x.则S (x )＝(a ＋8)(ax ＋20)＝a 2x ＋(8x ＋20)a ＋160＝4[错误解法] z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1y ＝xy ＋x y ＋y x ＋1xy＝⎝⎛⎭⎪⎫xy ＋1xy ＋⎝⎛⎭⎪⎫x y ＋y x≥2xy ·1xy ＋2y x ·xy ＝2＋2＝4.[错解分析] 分析上述解题过程指出错误所在并分析原因．提示：连续两次运用基本不等式．错误原因：第一个等号成立的条件是xy ＝1，第二个等号成立的条件是x ＝y ，两个等号不能同时成立．[自我纠正] z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1y ＝xy ＋1xy ＋y x ＋x y ＝xy ＋1xy ＋x ＋y 2－2xy xy＝2xy ＋xy －2.令t ＝xy,0<t ＝xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝14.由f (t )＝t ＋2t 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14上单调递减，故当t ＝14时，f (t )＝t ＋2t 有最小值334.所以当x ＝y ＝12时，z 有最小值254.【答案】 254。

1.已知0,0m n >>，且81mn =，则m n +的最小值为( )A ．18B ．36C ．81D ．243【答案】A【解析】∵m >0，n >0，∴m ＋n ≥2mn ＝18.当且仅当m ＝n ＝9时，等号成立．2.若24(,0)a M a R a a+=∈≠，则M 的取值范围为( ) A ．(][),44,-∞-+∞ B ．(],4-∞-C ．[)4,+∞D ．[]4,4- 【答案】A【解析】M ＝a 2＋4a ＝a ＋4a ，当a >0时，M ≥4；当a <0时，M ≤－4.3.已知01x <<，则(33)x x -取得最大值时x 的值为( )A.13 B. 12 C. 34 D. 23【答案】B【解析】∵0<x <1，∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3221⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x ＝34.当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时，“＝”成立．4．若实数,x y 满足1xy =，则222x y +的最小值为________． 【答案】2 2【解析】x 2＋2y 2＝x 2＋(2y )2≥2x (2y )＝22， 当且仅当x ＝2y 且xy ＝1时等号成立． 所以x 2＋2y 2的最小值为2 2.5.若把总长为20m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________2m . 【答案】25【解析】设一边长为x m ，则另一边长可表示为(10－x )m ，由题知0<x <10，则面积S ＝x (10－x )≤2210⎪⎭⎫⎝⎛-+x x ＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时等号成立，故当矩形的长与宽相等，且都为5 m 时面积取到最大值25 m 2.二、温故知新 夯实基础12a b+≤(1)基本不等式成立的条件：0,0a b >>. (2)等号成立的条件：当且仅当a b =. 2．几个重要的不等式(1) 222(,)a b ab a b R +≥∈；(2)2b aa b+≥ (,a b 同号)； (3) 2()(,)2a b ab a b R +≤∈；(4222()(,)22a b a b a b R ++≤∈． 3．算术平均数与几何平均数设0,0a b >>，则,a b 的算术平均数为2a b+两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知0,0x y >>，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x y =时，x y +有最小值是(简记：积定和最小)．(2)如果x y +是定值q ，那么当且仅当x y =时，xy 有最大值是24q (简记：和定积最大)．三、典例剖析 思维拓展考点一 利用基本不等式求最值1.(2018·常州调研)若实数x 满足4x >-，则函数9()4f x x x =++的最小值为________． 【答案】2【解析】∵x ＞－4，∴x ＋4＞0， ∴f (x )＝x ＋9x ＋4＝x ＋4＋9x ＋4－4≥2(x ＋4)·9x ＋4－4＝2，当且仅当x ＋4＝9x ＋4，即x ＝－1时取等号．故f (x )＝x ＋9x ＋4的最小值为2.【易错点】(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的条件． 【方法点拨】拼凑法求最值拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．2.若直线220(0,0)mx ny m n --=>>过点(1,2)-，则12m n+的最小值为( )A ．2B ．6C ．12D ．3+【答案】D【解析】因为直线2mx －ny －2＝0(m >0，n >0)过点(1，－2)， 所以2m ＋2n －2＝0，即m ＋n ＝1，所以1m ＋2n ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+nm 21(m ＋n )＝3＋n m ＋2mn ≥3＋22，当且仅当“n m ＝2mn ，即n ＝2m ”时取等号，所以1m ＋2n的最小值为3＋22，故选D.【易错点】(1)条件的灵活变形，确定或分离出常数是基础； (2)已知等式化成“1”的表达式，是代数式等价变形的关键； (3)利用基本不等式求最值时注意基本不等式的前提条件． 【方法点拨】常数代换法求最值的步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； (4)利用基本不等式求解最值．3.若正数,x y 满足2610x xy +-=，则2x y +的最小值是( )A.223B.23C.33D.233【答案】223【解析】因为正数x ，y 满足x 2＋6xy －1＝0， 所以y ＝1－x 26x.由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >0，1－x 26x>0解得0<x <1.所以x ＋2y ＝x ＋1－x 23x ＝2x 3＋13x≥22x 3·13x ＝223， 当且仅当2x 3＝13x ，即x ＝22，y ＝212时取等号．故x ＋2y 的最小值为223.【易错点】利用基本不等式求最值应满足的三个条件要谨记 (1)一正：各项或各因式均为正； (2)二定：和或积为定值；(3)三相等：各项或各因式能取到使等号成立的值．利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法．【方法点拨】通过消元法求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．考点二 基本不等式的实际应用1.经调查测算，某产品的年销售量(即该厂的年产量) x 万件与年促销费用m 万元(0m ≥)满足31kx m =-+ (k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2017年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2017年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2017年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？【答案】(1)y ＝28－16m ＋1－m (m ≥0)(2)促销费用投入3万元时，利润最大，为21万元．【解析】(1)由题意可知，当m ＝0时，x ＝1， ∴1＝3－k ，解得k ＝2，即x ＝3－2m ＋1，每1万件产品的销售价格为1.5×8＋16xx (万元)，∴2017年的利润y ＝x ⎪⎭⎫⎝⎛+⋅x x 1685.1－(8＋16x ＋m ) ＝4＋8x －m ＝4＋8⎪⎭⎫ ⎝⎛+-123m －m ＝28－16m ＋1－m (m ≥0)． ∴利润y 表示为年促销费用的函数关系式是y ＝28－16m ＋1－m (m ≥0)．(2)由(1)知y ＝－⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++1116m m ＋29(m ≥0)．∵m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥216m ＋1·(m ＋1)＝8， 当且仅当16m ＋1＝m ＋1，即m ＝3时取等号．∴y ≤－8＋29＝21，即当m ＝3时，y 取得最大值21.∴当该厂家2017年的促销费用投入3万元时，厂家获得的利润最大，为21万元． 【易错点】注意变量的实际取值范围【方法点拨】利用基本不等式求解实际应用题的方法(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．考点三 基本不等式综合运用1.设,x y 满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，则32a b+的最小值为( )A.256 B. 83 C. 113D ．4 【答案】D【解析】不等式组在直角坐标系中所表示的平面区域如图中的阴影部分所示．由z ＝ax ＋by 得y ＝－a b x ＋zb ，当z 变化时，它表示经过可行域的一组平行直线，其斜率为－a b ，在y 轴上的截距为zb，由图可知当直线经过点A (4,6)时，在y 轴上的截距最大，从而z 也最大，所以4a ＋6b ＝12，即2a ＋3b ＝6，所以3a ＋2b ＝2a ＋3b 6·⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a 23＝16⎪⎭⎫ ⎝⎛+++a b b a 9466≥4，当且仅当a ＝32，b ＝1时等号成立．【易错点】不能转化成基本不等式的形式【方法点拨】通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．四、举一反三 成果巩固考点一 利用基本不等式求最值1.已知54x <，则1()4245f x x x =-+-的最大值为________． 【答案】1【解析】因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-x x 45145＋3≤－2＋3＝1. 当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.2.已知正实数,x y 满足24xy x y ++=，则x y +的最小值为________． 【答案】 26－3【解析】因为xy ＋2x ＋y ＝4，所以x ＝4－y y ＋2.由x ＝4－yy ＋2>0，得－2<y <4，又y >0，则0<y <4，所以x ＋y ＝4－y y ＋2＋y ＝6y ＋2＋(y ＋2)－3≥26－3，当且仅当6y ＋2＝y ＋2(0<y <4)，即y ＝6－2时取等号．3.实数,x y 满足22x y +=，则39x y+的最小值是________． 【答案】6【解析】利用基本不等式可得3x ＋9y ＝3x ＋32y ≥23x ·32y ＝23x＋2y.∵x ＋2y ＝2，∴3x ＋9y ≥232＝6，当且仅当3x ＝32y ，即x ＝1，y ＝12时取等号．考点二 基本不等式的实际应用1. (2017·江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是__ _. 【答案】30【解析】一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x ×6＋4x ＝4⎪⎭⎫⎝⎛+x x 900≥8900x·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.2.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为21825y x x =-+- (x ∈N *)，则该公司年平均利润的最大值是________万元． 【答案】8【解析】每台机器运转x 年的年平均利润为y x ＝18－⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x25，而x >0，故y x ≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．3.某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ，公园由形状为长方形的休闲区A 1B 1C 1D 1和人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4 000 m 2，人行道的宽分别为4 m 和10 m(如图所示)．(1)若设休闲区的长和宽的比1111(1)A B x x B C =>，求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数()S x 的解析式；(2)要使公园所占面积最小，则休闲区1111A B C D 的长和宽该如何设计？【答案】(1)S (x )＝8010⎪⎭⎫⎝⎛+x x 25＋4 160(x >1(2)长和宽应分别设计为100 m,40 m 【解析】(1)设休闲区的宽为a m ，则长为ax m ， 由a 2x ＝4 000，得a ＝2010x.则S (x )＝(a ＋8)(ax ＋20)＝a 2x ＋(8x ＋20)a ＋160＝4 000＋(8x ＋20)·2010x＋160＝8010⎪⎭⎫⎝⎛+x x 25＋4 160(x >1)． (2)S (x )＝8010⎪⎭⎫⎝⎛+x x 25＋4 160≥8010×22x ·5x＋4 160＝1 600＋4 160＝5 760，当且仅当2x ＝5x，即x ＝2.5时，等号成立，此时a ＝40，ax ＝100. 所以要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽应分别设计为100 m,40 m.考点三 基本不等式综合运用1.设(1,2)=-OA ，(,1)a =-OB ，(,0)b =OC (0,0a b >>，O 为坐标原点)，若,,A B C 三点共线，则21a b+的最小值是( ) A ．4 B. 92C ．8D ．9 【答案】D【解析】∵AB ＝OB －OA ＝（a －1，1），AC ＝OC －OA ＝(－b －1,2)，若A ，B ，C 三点共线，则有AB ∥AC ，∴(a －1)×2－1×(－b －1)＝0，∴2a ＋b ＝1，又a >0，b >0， ∴2a ＋1b ＝b a 12+·(2a ＋b )＝5＋2b a ＋2a b≥5＋2 2b a ·2ab＝9， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2b a ＝2a b ，2a ＋b ＝1，即a ＝b ＝13时等号成立．2.已知()3(1)32x xf x k =-++，当x R ∈时，()f x 恒为正值，则k 的取值范围是( )A ．(],1-∞- B ．(),1-∞C ．()1-D ．()1,1-。

专题36 基本不等式1.了解基本不等式的证明过程．2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．1.均值不等式：ab ≤a ＋b2(1)均值不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号.(3)其中a ＋b2称为正数a ，b a ，b 的几何平均数.2.几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号.(2)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号.(3)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (4)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号. 3.利用均值不等式求最值 已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 简记：积定和最小). (2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24(简记：和定积最大).高频考点一 配凑法求最值【例1】 (1)已知x ＜54，求f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值；(2)求函数y ＝x －1x ＋3＋x －1的最大值.所以y ＝tt 2＋1＋3＋t ＝tt 2＋t ＋4.当t ＝0，即x ＝1时，y ＝0； 当t ＞0，即x ＞1时，y ＝1t ＋4t＋1， 因为t ＋4t≥24＝4(当且仅当t ＝2时取等号)，所以y ＝1t ＋4t＋1≤15， 即y 的最大值为15(当t ＝2，即x ＝5时y 取得最大值).【方法规律】(1)应用均值不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用均值不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件.(2)在利用均值不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用均值不等式.【变式探究】 (1)若对∀x ≥1，不等式x ＋1x ＋1－1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是________.(2)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________.解析 (1)因为函数f (x )＝x ＋1x －1在[1，＋∞)上单调递增，所以函数g (x )＝x ＋1＋1x ＋1－2在[0，＋∞)上单调递增，所以函数g (x )在[1，＋∞)的最小值为g (1)＝12，因此对∀x ≥1不等式x ＋1x ＋1－1≥a 恒成立，所以a ≤g (x )最小值＝12，故实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12. (2)y ＝x 2＋2x －1＝（x 2－2x ＋1）＋（2x －2）＋3x －1＝（x －1）2＋2（x －1）＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2. 当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立. 答案 (1)⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12 (2)23＋2 高频考点二 常数代换或消元法求最值【例2】 (1)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值为________. (2)已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________. 解析 (1)法一 由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝⎛⎭⎪⎫15y ＋35x＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5(当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立)，(2)由已知得x ＝9－3y1＋y .法一 (消元法)因为x ＞0，y ＞0，所以0＜y ＜3， 所以x ＋3y ＝9－3y1＋y ＋3y＝121＋y＋3(y ＋1)－6≥2121＋y·3（y ＋1）－6＝6， 当且仅当121＋y ＝3(y ＋1)，即y ＝1，x ＝3时，(x ＋3y )min ＝6. 法二 ∵x ＞0，y ＞0，9－(x ＋3y )＝xy ＝13x ·(3y )≤13·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y 时等号成立.设x ＋3y ＝t ＞0，则t 2＋12t －108≥0， ∴(t －6)(t ＋18)≥0，又∵t ＞0，∴t ≥6.故当x ＝3，y ＝1时，(x ＋3y )min ＝6. 答案 (1)5 (2)6【方法规律】条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用均值不等式求解最值；三是对条件使用均值不等式，建立所求目标函数的不等式求解.【变式探究】 (1)已知x >0，y >0且x ＋y ＝1，则8x ＋2y的最小值为________.(2)已知正数x ，y 满足x ＋2y －xy ＝0，则x ＋2y 的最小值为( ) A.8 B.4 C.2D.0∴x ＋2y ＝(x ＋2y )×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝4y x＋xy＋4≥4＋4＝8.答案 (1)18 (2)A高频考点三 均值不等式在实际问题中的应用【例3】 运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值. 解 (1)设所用时间为t ＝130x(h)，故当x ＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元.【方法规律】(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用均值不等式求得函数的最值. (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)求解. 【变式探究】 某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)，平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76 000vv 2＋18v ＋20l.(1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为______辆/时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时. 解析 (1)当l ＝6.05时，F ＝76 000vv 2＋18v ＋20×6.05，∴F ＝76 000v v 2＋18v ＋121＝76 000v ＋121v＋18≤76 0002v ·121v＋18＝1 900，当且仅当v ＝121v，即v ＝11时取“＝”.∴最大车流量F 为1 900辆/时. (2)当l ＝5时，F ＝76 000v v 2＋18v ＋20×5＝76 000v ＋100v＋18，∴F ≤76 0002v ·100v＋18＝2 000，当且仅当v ＝100v，即v ＝10时取“＝”.∴最大车流量比(1)中的最大车流量增加2 000－1 900＝100辆/时. 答案 (1)1 900 (2)1001.【2016高考天津理数】设变量x ，y 满足约束条件20,2360,3290.x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩则目标函数25z x y =+的最小值为（ ） （A ）4- （B ）6 （C ）10 （D ）17【答案】B【解析】可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中(0,2),(3,0),(1,3)A B C ，直线z 25x y =+过点B 时取最小值6，选B.2.【2016高考山东理数】若变量x ，y 满足2,239,0,x y x y x ì+?ïïïï-?íïï锍ïî则22x y +的最大值是（ ）（A ）4 （B ）9 （C ）10 （D ）12【答案】C3.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21281002f x m x n x m n =-+-+≥≥，在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812【答案】B【解析】2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，822n m --≥-即212m n +≤.226,182m nm n mn +⋅≤∴≤.由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，8122n m --≤-即218m n +≤.28129,22n m n m mn +⋅≤∴≤.由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以(182)(1828)816mn n n =-<-⨯⨯=，所以最大值为18.选B..4.【2015高考陕西，理9】设()ln ,0f x x a b =<<，若p f =，()2a bq f +=，1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是（ ）A ．q r p =<B ．q r p =>C ．p r q =< D ．p rq =>【答案】C【解析】p f ==()ln 22a b a bq f ++==，11(()())ln 22r f a f b ab =+==()ln f x x =在()0,+∞上单调递增，因为2a b +>()2a bf f +>，所以q p r >=，故选C ． 5．（2014·辽宁卷）对于c >0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋4b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，3a －4b ＋5c的最小值为________．【答案】－26．（2014·山东卷）若⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋b x 6的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为________．【答案】2【解析】T r ＋1＝C r6(ax 2)6－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫b x r＝C r 6a 6－r ·b r x 12－3r ，令12－3r ＝3，得r ＝3，所以C 36a 6－3b 3＝20，即a 3b 3＝1，所以ab ＝1，所以a 2＋b 2≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ，且ab ＝1时，等号成立．故a 2＋b 2的最小值是2.7．(2014·福建卷)要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 ( ) A ．80元 B ．120元 C ．160元D ．240元【解析】设底面矩形的长和宽分别为a m ，b m ，则ab ＝4(m 2)．容器的总造价为20ab ＋2(a ＋b )×10＝80＋20(a ＋b )≥80＋40ab ＝160(元)(当且仅当a ＝b 时等号成立)．故选C.【答案】C8．(2014·重庆卷)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是________．【答案】7＋4 39．（2014·四川卷）已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( ) A ．2 B ．3 C.1728 D.10【答案】B【解析】由题意可知，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0.设A (y 21，y 1)，B (y 22，y 2)，∴OA →·OB →＝y 1y 2＋y 21y 22＝2，10．(2013年高考山东卷)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当z xy取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为( )A ．0 B.98 C ．2 D.94【解析】含三个参数x ，y ，z ，消元，利用基本不等式及配方法求最值．z ＝x 2－3xy ＋4y 2(x ，y ，z ∈R ＋)，∴z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2xy ＝x y ＋4y x －3≥2 x y ·4y x－3＝1. 当且仅当x y ＝4yx ，即x ＝2y 时“＝”成立，此时z ＝x 2－3xy ＋4y 2＝4y 2－6y 2＋4y 2＝2y 2，∴x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y 2＝－2y 2＋4y ＝－2 (y －1)2＋2. ∴当y ＝1时，x ＋2y －z 取最大值2. 【答案】C11．（2013·重庆卷）（3－a ）（a ＋6）(－6≤a≤3)的最大值为( ) A ．9 B.92 C ．3 D.3 22【答案】B【解析】因为－6≤a≤3，所以（3－a ）（a ＋6）≤（3－a ）＋（a ＋6）2＝92，当且仅当3－a ＝a ＋6，即a ＝－32时等号成立，故选B.1.下列不等式一定成立的是( )A.lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)B.sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C.x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1＜1(x ∈R )答案 C2.若2x＋2y＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A.[0，2]B.[－2，0]C.[－2，＋∞)D.(－∞，－2]解析 22x ＋y≤2x＋2y＝1，所以2x ＋y≤14，即2x ＋y ≤2－2，所以x ＋y ≤－2. 答案 D3.若a ，b 都是正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b 的最小值为( ) A.7 B.8 C.9 D.10解析 ∵a ，b 都是正数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4a b ≥5＋2b a ·4a b＝9，当且仅当b ＝2a >0时取等号.故选C.答案 C4.若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( )A.1ab ≤14B.1a ＋1b ≤1C.ab ≥2D.a 2＋b 2≥8答案 D 5.若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为( ) A. 2 B.2 C.2 2 D.4解析 依题意知a ＞0，b ＞0，则1a ＋2b ≥22ab ＝22ab ，当且仅当1a ＝2b，即b ＝2a 时，“＝”成立.因为1a ＋2b ＝ab ，所以ab ≥22ab，即ab ≥22， 所以ab 的最小值为22，故选C.答案 C6.若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是( ) A.43 B.53 C.2 D.54解析 由x ＞0，y ＞0，得4x 2＋9y 2＋3xy ≥2·(2x )·(3y )＋3xy (当且仅当2x ＝3y 时等号成立)，∴12xy ＋3xy ≤30，即xy ≤2，∴xy 的最大值为2.答案 C7.已知a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则1a ＋2b的最小值为( ) A.4 B.22 C.8 D.16解析 由a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋b ab，得ab ＝1， 则1a ＋2b ≥21a ·2b ＝2 2.当且仅当1a ＝2b ，即a ＝22，b ＝2时等号成立.故选B. 答案 B8.已知函数f (x )＝x ＋a x＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a 的值是( )A.12B.32C.1D.2 解析 由题意可得a >0，①当x >0时，f (x )＝x ＋ax＋2≥2a ＋2，当且仅当x ＝a 时取等号；②当x <0时，f (x )＝x ＋a x ＋2≤－2a ＋2，当且仅当x ＝－a 时取等号.所以⎩⎨⎧2－2a ＝0，2a ＋2＝4，解得a ＝1.答案 C9.正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________.解析 ∵a ，b 是正数，∴ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，解得ab ≥3，即ab ≥9.答案 [9，＋∞)10.已知实数m ，n 满足m ·n >0，m ＋n ＝－1，则1m ＋1n的最大值为________. 解析 ∵m ·n >0，m ＋n ＝－1，∴m <0，n <0， ∴1m ＋1n ＝－(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ≤－2－2n m ·m n ＝－4，当且仅当m ＝n ＝－12时，1m ＋1n 取得最大值－4.答案 －411.若对于任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞ 12.某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元.解析 设工厂和仓库之间的距离为x 千米，运费为y 1万元，仓储费为y 2万元，则y 1＝k 1x (k 1≠0)，y 2＝k 2x(k 2≠0)， ∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，∴k 1＝5，k 2＝20，∴运费与仓储费之和为⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋20x 万元， ∵5x ＋20x ≥25x ×20x ＝20，当且仅当5x ＝20x，即x ＝2时，运费与仓储费之和最小，为20万元.答案 2 20。

第四节 基本不等式【考纲下载】1．了解基本不等式的证明过程．2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )；b a ＋ab≥2(a ，b 同号)．ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则：(1)如果积xy 是定值P ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2P (简记：积定和最小)．(2)如果和x ＋y 是定值P ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是P 24(简记：和定积最大)．1．有人说：(1)函数y ＝x ＋1x的最小值是2； (2)f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2的最小值是4；(3)当a >0时，a 3＋1a2的最小值是2a .你认为这三种说法正确吗？为什么？提示：不正确．(1)中忽视了条件x >0；(2)中cos x ∈(0,1)，利用基本不等式求最值时，“＝”不能成立；(3)2a 不是定值．2．x >0且y >0是x y ＋y x≥2的充要条件吗？提示：不是．当x >0且y >0时，x y ＋y x ≥2；但x y ＋y x≥2时，x ，y 同号即可．1．下列不等式中正确的是( )A ．若a ∈R ，则a 2＋9>6aB ．若a ，b ∈R ，则a ＋bab≥2 C ．若a ，b >0，则2lg a ＋b2≥lg a ＋lg bD ．若x ∈R ，则x 2＋1x 2＋1>1 解析：选C ∵a >0，b >0，∴a ＋b2≥ab .∴2lga ＋b2≥2lg ab ＝lg ab ＝lg a ＋lg b .2．若x >0，y >0，且x ＋y ＝13，则xy 的最大值为( )A.233 B ．2 3 C.19 D.136解析：选D ∵x >0，y >0，∴13＝x ＋y ≥2xy ，即xy ≤16，∴xy ≤136.3．已知x >0，y >0，z >0，x －y ＋2z ＝0，则xzy2的( ) A ．最小值为8 B ．最大值为8C ．最小值为18D ．最大值为18解析：选Dxz y 2＝xz x ＋2z2＝xz x 2＋4xz ＋4z 2＝1x z ＋4z x＋4≤18.当且仅当x z ＝4zx，即x ＝2z 时取等号．4．若a >0，b >0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是________(填写所有正确命题的序号)．①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④a 3＋b 3≥3；⑤1a ＋1b≥2.解析：令a ＝b ＝1，可排除命题②④；由2＝a ＋b ≥2ab ，得ab ≤1，故命题①正确；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝4－2ab ≥2，故命题③正确；1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝2ab≥2，故命题⑤正确．答案：①③⑤5．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品________件．解析：记平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为f (x )，则f (x )＝800＋x8×x ×1x ＝800x ＋x8≥2800x ×x 8＝20，当且仅当800x ＝x8，即x ＝80(x >0)时，等号成立．故每批应生产产品80件，可使f (x )最小．答案：80易误警示(七)忽视基本不等式成立的条件致误[典例] (2014·徐州模拟)已知正数a ，b 满足2a 2＋b 2＝3，则a b 2＋1的最大值为________．[解题指导] a b 2＋1＝a 2b 2＋1＝22×2a 2b 2＋1.[解析] a b 2＋1＝22×2a b 2＋1≤22×12(2a 2＋b 2＋1)＝24×(3＋1)＝ 2.当且仅当2a ＝b 2＋1，且2a 2＋b 2＝3，即a 2＝1，b 2＝1时，等号成立．所以a b 2＋1的最大值为 2.[答案] 2[名师点评] 1.本题易错解为：因为a b 2＋1≤12(a 2＋b 2＋1)2，等号成立的条件是a ＝b 2＋1，即a 2＝43，b 2＝13，所以a b 2＋1的最大值为43.错误的原因是：12(a 2＋b 2＋1)不是定值，不符合利用基本不等式的前提．2．利用基本不等式求积的最大值时，要保证和为定值；求和的最小值时，要保证积为定值．定值是利用基本不等式的前提．已知正实数x ，y 满足xy ＝1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x y＋y ⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋x 的最小值为________．解析：依题意知，⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y ⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋x ＝1＋y 2x ＋x 2y ＋1≥2＋2y 2x ×x 2y＝4，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立，故⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y ⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋x 的最小值为4. 答案：4。

基本不等式编者：杨卓一、知识回顾1.几个重要不等式（1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若（2）2222,2(2||2)a b R a b ab a b ab ab ∈+≥+≥≥若、则或（当仅当a=b 时取等号） （3）如果a ,b 都是正数，那么.2a b +（当仅当a=b 时取等号） 最值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则： ○1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大. 注意：○1前提：“一正、二定、三相等”，如果没有满足前提，则应根据题目创设情境；还要注意选择恰当的公式；○2“和定 积最大，积定 和最小”，可用来求最值；○3均值不等式具有放缩功能，如果有多处用到，请注意每处取等的条件是否一致。

0,2b a ab a b>+≥(5)若则（当仅当a=b 时取等号） 2.几个著名不等式（1）平均不等式： 如果a ,b 都是正数，那么2112a b a b +≤≤≤+（当仅当a=b 时取等号）（2）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()()2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≥≤或 则称f(x)为凸（或凹）函数.二、课前预习1、（05福建卷）下列结论正确的是______________.A ．当101,lg 2lg x x x x >≠+≥且时 B．02x >≥当时 C ．x x x 1,2+≥时当的最小值为2 D ．当xx x 1,20-≤<时无最大值 2、下列函数中，最小值为22的是______________.A ．x x y 2+=B ．)0(sin 2sin π<<+=x x x yC ．x x e e y -+=2D ．2log 2log 2x x y +=3、若,210<<a 则下列不等式中正确的是___________. A ．log (1)1a a -> B ．x x a )21(≤ C ．)1cos()1cos(a a -<+ D ．n n a a <-)1( 4、若实数a 、b 满足的最小值是则b a ba 22,2+=+_________. 5、函数11122+++=x x y 的值域为 ． 6、已知x >0，y >0且x +y =5，则lg x +lg y 的最大值是 ． 7、若正数,a b 满足3aba b =++，则ab 的取值范围是_____________________. 三、例题分析例1、(1)已知x >0，y >0且x +2y =1，求xy 的最大值，及xy 取最大值时的x 、y 的值．(2)x 、y 、a 、b ∈R +，a 、b 为常数，且1=+y b x a ，求x+y 的最小值.例2．(1)利用基本不等式求22+=x xy 的最值？当0<x<1时，如何求212++=x x y 的最大值.(2)已知0a>，求函数2y =例3、（05江苏卷）设数列｛a n ｝的前项和为n S ,已知a 1=1, a 2=6, a 3=11,且, ,,3,2,1 =n(Ⅱ)求数列｛a n ｝的通项公式;(Ⅲ)证明不等式1m n >对任何正整数、都成立.例4．若直角三角形的内切圆半径为1，求其面积的最小值.例5．某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池（平面图如下）， 由于地形限制，长、宽都不能超过16米，如果池外圈周壁建造单价为每米400元，中间 两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造间价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计， 试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价。

规律总结：练习：1.已知y x ,为正实数，且,12=+y x 求y x 11+的最小值. 2. （2010重庆7）已知x >0，y >0,x +2y +2xy =8，则x +2y 的最小值是 .A. 3B. 4C. 29D. 1122.基本不等式的实际应用【例3】如图动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.（1）现有可围36 m 长钢筋网材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？（2）若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长度最小？达标练习 1.函数()43f x x x=++在(],2-∞-上 . A.无最大值，有最小值7 B.无最大值，有最小值-1C.有最大值7，有最小值-1D.有最大值-1，无最小值-12.（2010四川11）设0a ＞b ＞，则()211a ab a a b ++-的最小值是 . （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）43.(2009天津)设0,>b a ，若3是ba 33与的等比中项，则b a 11+的最小值为 . 4.若a 、b 、c 为正实数，且a (a +b +c )+bc =4-23,则2a +b +c 的最小值为 .5. 函数1(01)xy aa a -=>≠，的图象恒过定点A ，若点A 在直线10(0)mx ny mn +-=>上，则11m n+的最小值为 ． 6.设正数y x ,满足1222=+y x ，则21y x +的最大值为 . 课堂小结 （1） （2） 作业1、已知正数a,b,x,y 满足a+b=10,ybx a +=1，x+y 的最小值为18，求a,b 的值. 2、（2009湖北）围建一个面积为360m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位：元)。

高三一轮复习6。

4 基本不等式
【教学目标】
1。

了解基本不等式的证明过程．
2.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题．【重点难点】
1。

教学重点:会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题;
2。

教学难点:学会对知识进行整理达到系统化,提高分析问题和解决问题的能力;
【教学策略与方法】
自主学习、小组讨论法、师生互动法
【教学过程】
为4 m和10 m(如图所示)．
（1）若设休闲区的长和宽的比错误!＝x（x>1），求公园ABCD 所占面积S关于x的函数S(x）的解析式；
（2）要使公园所占面积最小，则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？
【解】(1)设休闲区的宽为a m，则长为ax m，
由a2x＝4 000,得a＝错误!.则S(x)＝(a＋8)（ax＋20）＝a2x＋(8x＋20)a＋160＝4 000＋(8x＋20)·错误!＋160＝80错误!错误!＋4 160(x>1)．。