2018年高考数学专题23基本初等函数理

高考数学专题复习：基本初等函数知识网络目标认知考试大纲要求：1.理解常数函数、一次函数、二次函数、反比例函数的概念、图象与性质。

2．指数函数(1)了解指数函数模型的实际背景．(2)理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．(3)理解指数函数的概念，并理解指数函数的单调性与函数图象通过的特殊点．(4)知道指数函数是一类重要的函数模型．3．对数函数(1)理解对数函数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．(2)理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握函数图象通过的特殊点．(3)知道对数函数是一类重要的函数模型；(4)了解指数函数与对数函数互为反函数．4．幂函数(1)了解幂函数的概念．(2)结合函数的图象，了解它们的图象的变化情况．重点：掌握几种基本初等函数的图像和性质，二次函数的最值，二次方程实数根的分布等。

难点：指、对数函数的图像和性质，二次函数、二次方程、二次不等式等之间的关系知识要点梳理知识点一：初中学过的函数（一）函数的图象与性质常函数一次函数反比例函数二次函数表达式（）（）（）（）式子中字母的含义及X围限定图象、及其与坐标轴的关系单调性注意:1.过原点的直线的方程,图象,性质；2.函数的最高次项的系数能否为零。

（二）二次函数的最值1.二次函数有以下三种解析式：一般式：（），顶点式：（），其中顶点为，对称轴为直线，零点式：（），其中是方程的根2. 二次函数（）在区间上的最值：二次函数（）在区间上的最大值为M，最小值为m，令.（1）（2）（3）（4）（1）若，则，；（2）若，则，；（3）若，则，；（4）若，则，.注意:1．二次函数的最值只可能在三处取得：两个区间端点以及顶点的函数值；2. 求二次函数的最值一般要数形结合。

知识点二：幂、指数、对数的运算1.方根的定义、性质：(1)，，；(2)，，。

2.指数性质与运算法则：，，，，，3.对数性质：若a＞0且a≠1，则，，（3）零与负数没有对数，对数运算法则：若a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，b＞0且b≠1，则，，（4）换底公式4.指数与对数式的恒等变形：；。

专题2.2 函数定义域、值域【考纲解读】【直击考点】题组一 常识题1．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是________．A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x【答案】D 【解析】y ＝10lg x＝x ，定义域与值域均为(0，＋∞)，只有选项D 满足题意．2．已知函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[－2，3]，则y ＝f (2x －1)的定义域为________．【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，52 【解析】 由x ∈[－2，3]，得x ＋1∈[－1，4]，由2x －1∈[－1，4]，得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，52 3．[教材改编] 函数f (x )＝8－xx ＋3的定义域是________． 【答案】(－∞，－3)∪(－3，8]【解析】要使函数有意义，则需8－x ≥0且x ＋3≠0，即x ≤8且x ≠－3，所以其定义域是(－∞，－3)∪(－3，8]． 题组二 常错题4．函数y ＝f (cos x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋2π3(k ∈Z )，则函数y ＝f (x )的定义域为________．【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1【解析】 由于函数y ＝f (cos x )的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋2π3(k ∈Z )，所以u ＝cos x 的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以函数y ＝f (x )的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1.5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ∈[0，1]，92－32x ，x ∈（1，3]，当t ∈[0，1]时，f [f (t )]∈[0，1]，则实数t 的取值范围是______________． 【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤log 373，1【解析】 因为t ∈[0，1]，所以f (t )＝3t ∈[1，3]，所以f [f (t )]＝f (3t)＝92－32·3t ∈[0，1]，即73≤3t≤3，所以log 373≤t ≤1.6．若函数f (x )＝x －4mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是________．【答案】⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34. 【解析】函数的定义域为R ，即mx 2＋4mx ＋3≠0恒成立．①当m ＝0时，符合题意；②当m ≠0时，Δ＝(4m )2－4×m ×3<0，即m (4m －3)<0，解得0<m <34.综上所述，实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34.题组三 常考题7．若一系列函数的解析式相同、值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y ＝x 2，值域为{1，4}的“同族函数”共有________个． 【答案】98． 函数f (x )＝lg(x 2＋x －6)的定义域是________． 【答案】{x |x <－3或x >2}【解析】 要使函数有意义，则需x 2＋x －6>0，解得x <－3或x >2.9．设函数f (x )在区间[0，1]上有意义，若存在x ∈R 使函数f (x －a )＋f (x ＋a )有意义，则a 的取值范围为________. 【答案】 [－2，－1].【知识清单】1 函数的定义域1．已知函数解析式,求定义域,其主要依据是使函数的解析式有意义,主要形式有:(1)分式函数,分母不为0；(2)偶次根式函数,被开方数非负数； (3)一次函数、二次函数的这定义域为R ； （4）0x 中的底数不等于0； （5）指数函数x y a =的定义域为R ；（6）对数函数log a y x =的定义域为{}|0x x >； （7）sin ,cos y x y x ==的定义域均为R ；（8）tan y x =的定义域均为|,2x x k k z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭； 2.求抽象函数的定义域:（1）由()y f x =的定义域为D ，求[()]y f g x =的定义域，须解()f x D ∈; （2）由[()]y f g x =的定义域D ，求()y f x =的定义域，只须解()g x 在D 上的值域就是函数()y f x = 的定义域;（3）由[()]y f g x =的定义域D ，求[()]y f h x =的定义域.3.实际问题中的函数的定义域，除了使解析式本身有意义，还要使实际问题有意义. 2 函数的值域 函数值域的求法:(1)利用函数的单调性:若y=f(x)是 [a,b]上的单调增(减)函数,则f(a),f(b)分别是f(x)在区间[a,b]上取得最小(大)值,最大(小)值.(2)利用配方法:形如2(0)y ax bx c a =++≠型,用此种方法,注意自变量x 的范围. (3)利用三角函数的有界性,如sin [1,1],x ∈-cos [1,1]x ∈-.(4)利用“分离常数”法:形如y=ax b cx d ++ 或2ax bx ey cx d++=+ (a,c 至少有一个不为零)的函数,求其值域可用此法.(5)利用换元法:形如y ax b =+,可用此法求其值域. (6)利用基本不等式:(7)导数法:利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值,然后求出值域【考点深度剖析】定义域是函数的灵魂，高考中考查的定义域多以填空形式出现，难度不大；有时也在解答题的某一小问当中进行考查；值域是定义域与对应法则的必然产物，值域的考查往往与最值联系在一起，难度中等．【重点难点突破】考点1 函数的定义域 【1-1】函数y（＋）的定义域为_________．【答案】(－∞，－1)∪(－1，0)．【1-2】函数22-25+1+)cos (=x x log y 的定义域为_________．【答案】33x x ππ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭【解析】由已知条件，自变量x 需满足22log cos 10250x x +≥⎧⎨-≥⎩得1cos 22,23355x k x k k Z x ππππ⎧≥⇒-+≤≤+∈⎪⎨⎪-≤≤⎩ 所以33x ππ-≤≤故而所求函数定义域为33x x ππ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭.【1-3】设()x x x f -+=22lg，则⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为________．【答案】()()2,11,2 --【解析】由202x x +>-得，()f x 的定义域为{}|22x x -<<.故22,222 2.xx⎧-<<⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩，解得()()4,11,4x ∈--.故⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为()()2,11,2 -- 【1-4】若函数f (x )＝ 2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________． 【答案】[－1,0]【思想方法】(1)已知具体函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解． (3)对抽象函数：①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；②若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．【温馨提醒】对于含有字母参数的函数定义域，应注意对参数取值的讨论；对于实际问题的定义域一定要使实际问题有意义；而分段函数的定义域是各段区间的并集、各个段上的定义域交集为空集，即各个段的端点处不能重复． 考点2 函数的值域【2-1】求函数y ＝x ＋4x(x <0)的值域．【答案】(－∞，－4]．【解析】∵x <0，∴x ＋4x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －4x ≤－4，当且仅当x ＝－2时等号成立． ∴y ∈(－∞，－4]． ∴函数的值域为(－∞，－4]．【2-2】 求函数y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])的值域． 【答案】[0,15]．【解析】(配方法)y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，∵y ＝(x ＋1)2－1在[0,3]上为增函数， ∴0≤y ≤15，即函数y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])的值域为[0,15]． 【2-3】 求函数y ＝1－x21＋x 2的值域．【答案】(－1,1]．【2-4】 求函数f (x )＝x －1－2x .的值域．【答案】1(,]2-∞.【解析】法一：(换元法)令1－2x ＝t ，则t ≥0且x ＝1－t22，于是y ＝1－t 22－t ＝－12(t ＋1)2＋1，由于t ≥0，所以y ≤12，故函数的值域是1(,]2-∞.法二：(单调性法)容易判断f (x )为增函数，而其定义域应满足1－2x ≥0，即x ≤12，所以11()22y f ≤=即函数的值域是1(,]2-∞.【2-5】 求函数y ＝x 2－xx 2－x ＋1的值域．【答案】1[,1)3-【思想方法】求函数值域常用的方法(1)配方法，多适用于二次型或可转化为二次型的函数． (2)换元法． (3)基本不等式法． (4)单调性法． (5)分离常数法．【温馨提醒】求函数值域的方法多样化，需结合函数解析式的特点选用恰当的方法【易错试题常警惕】分段函数的参数求值问题，一定要注意自变量的限制条件． 如：已知实数0a ≠，函数()2,12,1x a x f x x a x +<⎧=⎨--≥⎩，若()()11f a f a -=+，则a 的值为_______．【分析】当0a >时，11a -<，11a +>，由()()11f a f a -=+得2212a a a a -+=---，解得32a =-，不合题意；当0a <时，11a ->，11a +<，由()()11f a f a -=+得 1222a a a a -+-=++，解得34a =-．所以a 的值为34-．【易错点】没有对a 进行讨论，以为11a -<，11a +>直接代入求解而致误；求解过程中忘记检验所求结果是否符合要求而致误． 【练一练】函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2 x ，x >0，4x ，x ≤0，则f (f (－1))的值为________.【答案】－2【解析】∵f (－1)＝4－1＝14，∴f (f (－1))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝log 2 14＝－2.。

专题03基本初等函数考纲解读明方向分析解读1.考查映射与函数的定义域、分段函数的解析式和求函数值.2.求函数的解析式和定义域具有综合性,有时渗透在解答题中,特别是结合函数图象考查数形结合能力.3.本节内容在高考中分值为5分左右,属于中低档题.2018年高考全景展示1．【2018年全国卷Ⅲ理】设，，则A. B. C. D.【答案】B点睛：本题主要考查对数的运算和不等式，属于中档题。

2．【2018年浙江卷】已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．【答案】 (1,4)【解析】分析:根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数的取值范围. 详解：由题意得或，所以或，即，不等式f (x )<0的解集是当时，，此时，即在上有两个零点；当时，，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为.点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 3．【2018年浙江卷】我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。

凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为，，，则当时，___________，___________．【答案】 8 11【解析】分析:将z 代入解方程组可得x ,y 值. 详解：点睛：实际问题数学化，利用所学的知识将陌生的性质转化为我们熟悉的性质，是解决这类问题的突破口． 4.【2018年江苏卷】函数的定义域为________．【答案】[2，+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域. 详解：要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为.点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.2017年高考全景展示1.【2017天津，理6】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（A ）a b c << （B ）c b a << （C ）b a c <<（D ）b c a <<【答案】C【考点】 指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.2.【2017北京，理5】已知函数1()3()3x xf x =-，则()f x（A ）是奇函数，且在R 上是增函数 （B ）是偶函数，且在R 上是增函数 （C ）是奇函数，且在R 上是减函数 （D ）是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A 【解析】试题分析：()()113333xx xx f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数是奇函数，并且3x 是增函数，13x⎛⎫ ⎪⎝⎭是减函数，根据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数，故选A. 【考点】函数的性质【名师点睛】本题属于基础题型，根据奇偶性的定义()f x -与()f x 的关系就可以判断函数的奇偶性，判断函数单调性的方法，1.平时学习过的基本初等函数的单调性；2.函数图象判断函数的单调性；3.函数的四则运算判断，增函数+增函数=增函数，增函数-减函数=增函数，判断函数的单调性；4.导数判断函数的单调性.3.【2017北京，理8】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN 最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）（A ）1033（B ）1053（C ）1073（D ）1093【答案】D 【解析】试题分析：设36180310M x N == ，两边取对数，36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，即MN最接近9310，故选D. 【考点】对数运算【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是36180310x =时，两边取对数，对数运算公式包含log log log a a a M N MN +=，log log log a a aM M N N-=，log log na a M n M =. 2016年高考全景展示1.【2016课标3理数】已知432a =，254b =，1325c =，则（ ）（A ）b a c << （B ）a b c << （C ）b c a << （D ）c a b << 【答案】A 【解析】试题分析：因为422335244a b ==>=，1223332554c a ==>=，所以b a c <<，故选A ． 考点：幂函数的图象与性质．【技巧点拨】比较指数的大小常常根据三个数的结构联系相关的指数函数与对数函数、幂函数的单调性来判断，如果两个数指数相同，底数不同，则考虑幂函数的单调性；如果指数不同，底数相同，则考虑指数函数的单调性；如果涉及到对数，则联系对数的单调性来解决．2.【2016高考江苏卷】设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[1,1)-上，,10,()2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩其中.a ∈R 若59()()22f f -= ，则(5)f a 的值是 . 【答案】25-【解析】51911123()()()()22222255f f f f a a -=-==⇒-+=-⇒=， 因此32(5)(3)(1)(1)155f a f f f ===-=-+=-考点：分段函数，周期性质【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值.3.【2016高考江苏卷】函数y 的定义域是 . 【答案】[]3,1-【解析】试题分析：要使函数有意义，必须2320x x --≥，即2230x x +-≤，31x ∴-≤≤．故答案应填：[]3,1-， 考点：函数定义域【名师点睛】函数定义域的考查，一般是多知识点综合考查，先列，后解是常规思路.列式主要从分母不为零、偶次根式下被开方数非负、对数中真数大于零等出发，而解则与一元二次不等式、指对数不等式、三角不等式联系在一起.4.【2016年高考北京理数】设函数33,()2,x x x af x x x a ⎧-≤=⎨->⎩.①若0a =，则()f x 的最大值为______________； ②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是________. 【答案】2，(,1)-∞-. 【解析】试题分析：如图作出函数3()3g x x x =-与直线2y x =-的图象，它们的交点是(1,2)A -，(0,0)O ，(1,2)B -，由2'()33g x x =-，知1x =是函数()g x 的极大值点，考点：1.分段函数求最值；2.数形结合的数学思想.【名师点睛】1.分段函数的函数值时，应首先确定所给自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系．若自变量值为较大的正整数，一般可考虑先求函数的周期．若给出函数值求自变量值，应根据每一段函数的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否属于相应段自变量的范围；2.在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知的函数的单调性，因此掌握一次函数、二次函数、幂函数、对数函数等的单调性，将大大缩短我们的判断过程．。

专题2.3基本初等函数【二年咼考】1.【2017课标1,理11】设x 、y 、z 为正数，且2x =3y = 5z ，则2.【2017天津，理6】已知奇函数f (x)在R 上是增函数，g(x)=xf(x).若a = g(—log 2 5.1) ,b=g(2°.8),c 二g(3)，贝U a , b , c 的大小关系为 (A) a ::: b ::: c (B) c ::: b ::: a(C) b ::: a ::: c( D) b ::: c ::: a【答案】C【解析】因为f (x)是奇函数且在 R 上是增函数，所以在x ■ 0时，f(x) • 0,从而g(x)=xf(x)是R上的偶函数，且在［0,：：)上是增函数，a =g(-log 25.1)= g(log 2 5.1), 20.8 ：：： 2，又 4 ： 5.V ：： 8 , 则 2 :: log 2 5.1 ：： 3，所以即 0 20.8 ::: log 2 5.1 ：： 3,g(20j ：： g(log 25.1) ：： g(3)，所以 b ：： a :: c ，故选 C.3.【2017北京，理8】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数 N 约为1080.则下列各数中与 M 最接近的是()(参考数据：Ig3 -0.48)N(A ) 1033 (B ) 1053 (C ) 1073 ( D ) 1093【答案】D【解析】设竺=工=上；，两边取对数,Jg-lg -lg 10s " =S61xlg 3-80 = 93.28 ,所以N lu 10x = 10?13ft ,即芈最接近评，故选D ・N4214.【2016高考新课标3理数】已知a = 23 , b = 45 , c - 253，则()(A ) b :: a ： ： c (B ) a :: b ： c(C ) b : : c ： a (D ) c ：： a ：： b【答案】A【解析】因为A. 2x <3y <5z 【答案】DB. 5z <2x <3yC. 3y <5z <2xD. 3y <2x <5z【解析】试题分析：令 2x= 3y=5z = k(k 1)，则 x = log 2 k ,y^gk, z^gk乙如里塵,3y lg 2 3lg k lg82x5z 2lg k _lg2 坐=空「，则2x ：：：5z ，故选D. 5lg k lg324-32-a^22c = 253= 53• 43二a，所以b a ■■■■ c，故选A.5 b a5.【2016高考浙江理数】已知 a >b >1.若log a b +log b a = , a =b ，贝U a = , b =.2 【答案】4 2 1 5 【解析】设|o g b a 二t,则t 1，因为t t =2= a =b 2，因此t 2 2a =b =• b =b =• 2b =b =• b =2,a =4. 6. [ 2016高考上海理数】已知点 (3,9)在函数f (x) = 1 a x 的图像上，则 f (x)的反函数f 」(x)= 【答案】log 2(x -1) 【解析】将点(3,9)带入函数f x =1 • a x 的解析式得a = 2，所以f x = 1 2x ，用y 表示x 得1x =log 2(y -1)，所以 f x =log 2(x -1). 7. [ 2016高考天津理数】已知函数 f (x )=llog a (x+1)+1,x 王 0 2x (aTxgxg (a >0,且 a z 1)在 R 上单调 递减，且关于x 的方程I f (x) r 2 - x 恰好有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是( )2 23 12 3 1 (A ) (0, 2] ( B ) [ 2 , -] (C ) [ 1 , 2] { -} ( D ) [ 1 , 3 34 3 3 4 3【答案】C 【解析】由/S在盘上递减可知3—4o 20 1 &%屮5产产T 由康皿讣 j 恰好有两个不相等i i 7 3 的实数解』可知3&垄2严—丄2, -X =—时』抛物线，二^+^也―习爼+衍与直线 a S 3 4y = 2-x 相切』也符合题—实数盘的去范围是[亍 』故选C+ &【2016高考上海理数】已知 a ・R ，函数f(x^log 2(^ a). x (1)当a =5时，解不等式f(x) -0 ； (2) 若关于x 的方程f(x)-log 2[(a-4)x • 2a -5] =0的解集中恰好有一个元素， 求a 的取值范围;_ 1(3)设a 0，若对任意t [^,1]，函数f (x)在区间[t,t 1]上的最大值与最小值的差不超过1,求a 的取值范围.门 \1 ( 1 \【解析】(1)由 Iog2 *5 J-：「0，得 5 1，解得 x - ：, 0, •「il x 丿 x I4丿1 2(2) —二 a -4 x • 2a -5, a -4 x 2 • a -5 x -1 = 0，当 a =4 时，x =-1，经检验，满x1足题意•当a=3时，x 1=x 2--1，经检验，满足题意.当 a -■ 3且a -■ 4时，X r, x 2 - -1,a —41 1% =x 2. x 1是原方程的解当且仅当a 0，即a 2 ； x 2是原方程的解当且仅当 a ・0,即X 1a •于是满足题意的a • 1,2 1.综上，a 的取值范围为1,2丄丁3,4 /.单调递减.函数 f x 在区间l.t,t 11上的最大值与最小值分别为 f t ,f (t )—f(t+1)=log2 ?+a 卜心垃 丿 11 1 1t-,1成立.因为a 0，所以函数y=at 2 • a -1 t -1在区间-,1上单调递增，t 时，y3 1 3 1 2 一2、 有最小值 a ，由 a -- 0，得a 亠.故a 的取值范围为 ，■::.42423]3丿9. 【2015高考四川，理8】设a, b 都是不等于1的正数，则“ 3a ■ 3b 3 ”是“ log a 3 ：：： log b 3 ” 的()(A )充要条件 (B )充分不必要条件(C )必要不充分条件(D )既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】若333，则a b 1，从而有log a 3 log b 3，故为充分条件.若log a 3 < log b 3不1 a b一定有a b 1，比如.a , b = 3，从而333不成立.故选B.3X 2 1 1(3)当 0 ：：： X"i ：：： x 2 时， a a , Iog 2 为X 2f 1—+a >log2 「1 )—+ a<X 1丿<X 2丿—a 叨即at 2 • aT t -1_0,对任意t 1，所以f x 在0,亠「]上10. 【2015高考天津，理7】已知定义在R上的函数f x =25-1 ( m为实数)为偶函数，记a = f (log0.53),^ f (Iog2 5 ),c = f (2m )，则a,b,c 的大小关系为()(A) a ::: b ::: c ( B) a ：：：c ::: b ( C) c ：；a . ■ b ( D)c . ■ b ... a【答案】C【解析】因为函数/(x) = 2^'-l为偶函数'所以即/(x) = 2W-l,所以g/Q eg 心3) =/(log占卜2禺L1 = 2呻一1 = 3 -1 = 2,A = /(log15)=2b&5-l = 4^=/(2/M)= /(0)=2°-l-0J^c<a<b f故选C・11.【2015高考浙江，理18】已知函数f (x^x2ax b(a,^ R)，记Mab)是| f(x)|在区间［-1,1］上的最大值.(1)证明：当|a |_2时，M (a,b) _2 ；(2)当a，b满足M (a,b)乞2，求|a| |b|的最大值•2a a a【解析】(1)由f(x) =(x • —)2• b，得对称轴为直线X ，由|a|_2，得2 4 2I -；1-1，故f(x)在［-1,1］上单调，••• M(a,b)二max{| f(1)|,| f(-1)|}，当a_2 时，由f(1) 一f (一1) =2a 一4，得max{ f (1), f (一1)} 一2，即M (a,b) 一2，当a 乞-2时，由f(-1) - f (1)= -2a 一4，得max{ f (-1), - f (1)} 一2，即M (a,b) 一2，综上，当|a |_2 时，M(a,b) 一2 ； (2)由M (a,b)辽得|1 a b|=| f(1)匸2 , |1 -a b 冃f(-1)匸2，故|a b亞3 ,|a b|,ab _ 0|a—b|_3，由|a| |b| ，得|a| |b|_3，当a=2 , b - -1 时，|a| |b|=3 ,|a-b|,ab ：：0且|x22x-1|在［-1,1］上的最大值为2，即M(2,-1) = 2 |a| |b|的最大值为3..【2017考试大纲】1. 指数函数(1) 了解指数函数模型的实际背景.(2) 理解有理指数幕的含义，了解实数指数幕的意义，掌握幕的运算.(3) 理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点.(4) 知道指数函数是一类重要的函数模型.2. 对数函数了解对(1) 理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；数在简化运算中的作用•(2) 理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点•(3) 知道对数函数是一类重要的函数模型•⑷了解指数函数y =a x(a .0,a=1)与对数函数y=log a X(a .0,a=1)互为反函数•3. 幕函数(1) 了解幕函数的概念•1 12 3⑵结合函数y =x, y =x2, y =x3, y ,y=x2的图像，了解它们的变化情况•x【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题,对基本初等函数的考查，大部分是以基本初等函数的性质为依托，结合运算推理解决问题，高考中一般以选择题和填空的形式考查•纯基本初等函数的试题，一般考查指对数式的基本运算性质•【2018年咼考复习建议与咼考命题预测】由前三年的高考命题形式，幕函数新课标要求较低，只要求掌握幕函数的概念，图像与简单性质，仅限于几个特殊的幕函数，关于幕函数常以5种幕函数为载体，考查幕函数的概念、图象与性质，多以小题形式出现，属容易题•二次函数的图象及性质是近几年高考的热点；用三个“二次”间的联系解决问题是重点，也是难点•题型以选择题和填空题为主，若与其他知识点交汇，则以解答题的形式出现•指数函数在历年的高考题中占据着重要的地位•对指数函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题•为此，我们要熟练掌握指数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数进行变形处理•高考题目形式多以指数函数为载体的复合函数来考察函数的性质•同时它们与其它知识点交汇命题，则难度会加大•对数函数在历年的高考题中占据着重要的地位•从近几年的高考形势来看，对对数函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题•为此，我们要熟练掌握对数运算法则，明确算理，能对常见的对数型函数进行变形处理•高考题目形式多以对数函数为载体的复合函数来考察函数的性质•同时它们与其它知识点交汇命题，则难度会加大•基本初等函数是考察函数、方程、不等式很好的载体，预测2018年高考继续会对基本初等函数图象和性质的考察•尤其注意以基本初等函数特别是指对函数为模型的抽象函数的考察，这种题型只给出定义域内满足某些运算性质的法则，往往集定义域、值域、单调性、奇偶性与一身，全面考察学生对函数概念和性质的理解【2018年高考考点定位】 高考对基本初等函数的考查有三种主要形式：一是比较大小；二是基本初等函数的图象和性质；三是 基本初等函数的综合应用，其中经常以分段函数为载体考察函数、方程、不等式等知识的相联系 【考点1】指数值、对数值的比较大小【备考知识梳理】 指数函数y = a x （a • 0,a =1），当a 1时，指数函数在（-：：「::）单调递增；当0 ■ a ::: 1时，指数函对数函数y=log a x （a 0,^-1），当a 1时，对数函数在（0, •：：）单调递增；当0 ：：： a ：：： 1时，对数 函数在（0, •：：）单调递减.幕函数y =xd 图象永远过（1,1），且当a >0时，在（0, +处）时，单调递增；当a < 0时，在 x • （0, •二）时，单调递减【规律方法技巧】指数值和对数值较大小，若指数值有底数相同或指数相同，可以考虑构造指数函数和幕函数和对数函数，通过考虑单调性，进而比较函数值的大小；其次还可以借助函数图象比较大小 .若底数和指数不相同时，可考虑选取中间变量，指数值往往和1比较；对数值往往和 0、1比较.【考点针对训练】11 a = log 23,b =2 3,c = log 1 ——，贝U a 、330大小关系是【答案】A<(7 = log a 3 < 2,0 <i = 2^ (l.e = loEj^O)3「则虽 b 、芒的大小关系是0.8 12.【天津市耀华中学20XX届高三第一次校模拟】若心叮,「3，宀3，贝（）1.【吉林省实验中学 20XX 届高三第九次模拟】已知b 、c 的A. c a bB. a c bC. a b cD. c ba【解析】由题意可得:c>a>b.本题选择A 选项.本题选择A 选项.【考点2】指数函数的图象和性质 【备考知识梳理】y = a xa >10<a <1图像i(0,1)y-aA.Ar (0,1) i …y —1----1 ---- 0 r i 丈0 p 1富定义域 R 值域(0，+m )性质 当 x >0 时,y >1; x <0 时，0<y <1 当 x >0 时，0<y <1; x <0 时，y >1过定点(0,1)在(-m,+m )上是增函数在(一8,+8 )上是减函数【规律方法技巧】1 研究指数函数性质时， 一定要首先考虑底数 a 的范围，分a • 1和0 ：：： a ：：： 1两种情况讨论，因为两 种情况单调性不同，相应地图象也不同2、 与指数函数有关的函数的图像的研究，往往利用相应指数函数的图像，通过平移、对称变换得到 其图像.3、 一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像数形结合求解. 【考点针对训练】 1.【云南省民族中学A. a ::: b ::: c B . a ::: c ::: bC. c ：； a .■ bD. b .. a ■■ c【答案】A【解析】由题意可得: a ... b ：：：c.a = In 1 :：: 0,02 ，则:20XX届高三适应性考试(三)】设函数•的图象与的图象关于直I*线尸T 对称，且/(-!)+/(-4)=1,则Q 二 _________________【答案】-2【解析】由函数y = f(x)的豳与尹=2^的團象关于直线卩=-丸对称，可得f{x) = -a-]og 2(-x)f 由/(-2)+/H) = b 可得： p —1。

基本初等函数一、指数函数1、指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n次方根用符号表示；当n 是偶数时，正数a 的正的n次方根用符号表示，负的n次方根用符号表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．②式子这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：n a =；当n为奇数时，a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,mnaa m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈2、指数函数及其性质（4）指数函数1、化简下列各式（其中各字母均为正数）:（1）;)(65312121132ba ba b a ⋅⋅⋅⋅--2、已知实数a 、b满足等式b a )31()21(=0＜b ＜a;②a ＜b＜0;③0＜a ＜b;④b ＜a ＜0;⑤a=b. （ ）A.1个B.2个C.3个D.43、求下列函数的单调递增区间：y=262--x x .二、对数函数 1、对数与对数运算 （1）对数的定义①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数． ②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =． （3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即l o geN （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aMM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N a N = ⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且2、对数函数及其性质（5）对数函数1、计算：（1）)32(log 32-+（2）21lg 4932-34lg8+lg 245.变式训练1：化简求值.（1）log 2487+log 212-21log 242-1;（2）(lg2)2+lg2·lg50+lg25;（3）(log 32+log 92)·(log 43+log 83).2、比较下列各组数的大小.（1）log 332与log 556;2）log 1.10.7与log 1.20.7;（3）已知log 1b ＜log 1a ＜log 1c,比较2b ,2a ,2c 的大小关系.变式训练2：已知0＜a ＜1,b ＞1,ab ＞1，则log a bb bba1log ,log,1的大小关系是 （ ）A.log a bb bba1log log1<<B.bb b b aa1log 1log log<< C.b b b a ba1log 1log log << D.b b b a a b log 1log 1log <<三、幂函数 （1）幂函数的定义一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．（2（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)． ③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当qpα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则qp y x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则qp y x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q py x =是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．1、写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性：（1）3y x=（2）12y x=（3）2y x-=（4）22y x x-=+（5）1122y x x-=+（6）1124()3()f x x x=+-变式训练1：讨论下列函数的定义域、值域，奇偶性与单调性：（1）5y x=（2）43y x-=（3）54y x=（4）35y x-=（5）12y x-=2、比较大小：（1）1122 1.5,1.7（2）33 (1.2),(1.25) --（3）112 5.25,5.26,5.26---（4）30.53 0.5,3,log0.53、已知幂函数223m my x--=（m Z∈）的图象与x轴、y轴都无交点，且关于原点对称，求m的值．变式训练2：证明幂函数12()f x x=在[0,)+∞上是增函数．分析：直接根据函数单调性的定义来证明．答案： 指数：1、解：原式=.100653121612131656131212131=⋅=⋅=⋅-+-+--b a baba ba b a2、B3、令u=x 2-x-6,则y=2u ,u=x 2-x-6的对称轴是x=21,在区间［21，+∞）上u=x 2-x-6是增函数.y=2uy=262--x x 在区间［21，+∞）上是增函数故函数y=262--x x 的单调递增区间是［21，+∞）对数： 1、（1）设)32(log 32-+=x,(2+3)x =2-3=321+=（2+3）-1,∴x=-1.（2）原式=21（lg32-lg49）-34lg821+21lg245=21 (5lg2-2lg7)-34×2lg 23+21(2lg7+lg5)=25lg2-lg7-2lg2+lg7+21lg5=21lg2+21lg5=21lg(2×5)= 21lg10=21.变式训练1： (1)原式=log 2487+log 212-log 242-log 22=log 2.232log 221log 242481272322-===⨯⨯⨯-（2）原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2.（3）原式=(.452lg 63lg 5·3lg 22lg 3)2lg 33lg 2lg 23lg (·)3lg 22lg 3lg 2lg ==++2、（1）∵log 332＜log 31=0,log 556＞log 51=0,∴log 332＜log 556.(2)方法一 ∵0＜0.7＜1,1.1＜ 1.2,0＞2.1log 1.1log 7.00.7>,∴2.1log 11.1log 17.07.0<,即由换底公式可得log 1.10.7＜log 1.20.7.方法二 作出y=log1.1x 与y=log 1.2x 的图象.如图所示两图象与x=0.7相交可知log 1.10.7＜log 1.20.7.(3)∵y=x 21log 为减函数，且c a b 212121log log log<<,∴b ＞a ＞c,而y=2x 是增函数，∴2b ＞2a ＞2c .变式训练2：C 幂函数：1、（1）此函数的定义域为R ，33()()()f x x x f x -=-=-=- ∴此函数为奇函数．（2）12y x ==[0,)+∞ 此函数的定义域不关于原点对称 ∴此函数为非奇非偶函数． （3）221y x x-==∴此函数的定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞ 2211()()()f x f x x x-===-∴此函数为偶函数 （4）22221y x x x x-=+=+∴此函数的定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞ 222211()()()()f x x x f x x x -=-+=+=- ∴此函数为偶函数（5）1122y x x-=+=[0,)+∞ 此函数的定义域不关于原点对称∴此函数为非奇非偶函数（6）1124()3()f x x x =+-=0x x ≥⎧∴⎨-≥⎩ 0x ∴=∴此函数的定义域为{0} ∴此函数既是奇函数又是偶函数变式训练1、分析：要求幂函数的定义域和值域，可先将分数指数式化为根式． 解：（1）定义域R ，值域R ，奇函数，在R 上单调递增．（2）定义域(,0)(0,)-∞⋃+∞，值域(0,)+∞，偶函数，在(,0)-∞上单调递增， 在(0,)+∞ 上单调递减．（3）定义域[0,)+∞，值域[0,)+∞，偶函数，非奇非偶函数，在[0,)+∞上单调递增．（4）定义域(,0)(0,)-∞⋃+∞，值域(,0)(0,)-∞⋃+∞，奇函数，在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递减．（5）定义域(0,)+∞，值域(0,)+∞，非奇非偶函数，在(0,)+∞上单调递减． 2、（1）∵12y x =在[0,)+∞上是增函数，1.5 1.7<，∴11221.5 1.7< （2）∵3y x =在R 上是增函数， 1.2 1.25->-，∴33( 1.2)( 1.25)->- （3）∵1y x -=在(0,)+∞上是减函数，5.25 5.26<，∴115.25 5.26-->；∵ 5.26x y =是增函数，12->-，∴125.26 5.26-->；综上，1125.25 5.26 5.26--->> （4）∵300.51<<，0.531>，3log 0.50<，∴30.53log 0.50.53<<3、分析：幂函数图象与x 轴、y 轴都无交点，则指数小于或等于零；图象关于原点对称，则函数为奇函数．结合m Z ∈，便可逐步确定m 的值． 解：∵幂函数223m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，∴2230m m --≤，∴13m -≤≤；∵m Z ∈，∴2(23)m m Z --∈，又函数图象关于原点对称，∴223m m --是奇数，∴0m =或2m =．变式训练2：证明：设120x x ≤<则11221212()()f x f x x x -=-==12x x <120x x ∴-<0>12()()0f x f x ∴-< 即12()()f x f x <∴此函数在[0,)+∞上是增函数。

第2讲函数概念与基本初等函数本讲分三小节，分别为函数的概念、基本初等函数、函数的值域，建议用时4.5课时．重点应当放在对函数三要素的基本求法与对基本初等函数的图象与性质的梳理上．对于函数的图象与性质，掌握了基本初等函数图象的作法，就把握了基本初等函数的性质，因此应以引导学生理解、记忆、应用基本初等函数的图象为主要教学目标．对于一次分式函数和对勾函数，由于这两类函数常见而易用，因此对其图象与性质也需要达到相当的要求．另外，我们在处理较为复杂的初等函数问题（其中）总是设法将其转化为基本初等函数问题，因此对这种转化能力的培养也是本讲的重点与难点．第一小节为函数的概念，共3道例题．其中例1主要讲解函数的定义域；例2主要讲解函数的对应法则；例3主要讲解函数的解析式；此外还安排了关于映射的一道拓展题，该题难度较大，教师可以根据情况选用．第二小节为基本初等函数，共7道例题．其中例4主要讲解幂与对数的运算；例5主要讲解指、对、幂函数的性质；例6主要讲解指数函数与对数函数的图象；例7主要讲解二次函数的性质；第三小节为函数的值域，共2道例题．其中例8主要讲解根式函数的值域问题；例9主要讲解二次函数、对勾函数、分式函数的值域问题．一、函数的概念 1、映射对于非空集合A 和非空集合B ，如果对于集合A 中的任意一个元素在B 中都有惟一元素按对应法则f 与之对应，那么所有的对应关系称为从A 到B 的一个映射，记为“:f A B →”．对每个对应关系而言，集合A 中的元素称为原象，集合B 中的元素称为象．需要注意：对于映射:f A B →而言，集合A 中的每个元素均是某个对应关系下的原象，而集合B 中并非每个元素均是某个对应关系下的象．2、函数的三要素如果映射:f A B →中，A 、B 均为数集，那么就称这个映射为函数．此时所有原象组成的集合称为定义域（即A ），所有象组成的集合称为值域（即(){}|f x x A ∈）．形成函数时所涉及到的定义域、对应法则、值域称为函数的三要素．【备注】可以将映射看为函数概念的拓展，也可以将函数看作特殊的映射．由于定义域与对应法则决定着值域，因此定义域和对应法则也称为函数的两个要素．二、函数的表示法 1、列表法当函数的定义域和值域均为离散的有限数集，且对应法则不便于解析表达时，我们采用可以用列表法表示函数．有时我们也借助列表法画函数的草图．知识梳理知识结构图2、图象法将每个对应关系的原象与象看作平面直角坐标系下的点的横坐标与纵坐标，就可以用图象来表示函数．函数的图象具有很强的直观性，是研究函数的重要工具． 3、解析式法用式子表示每个对应关系中的原象与象的数值之间的联系，这种方法称为解析式法．利用函数的解析式可以简明、全面地概括对应关系，同时可以方便的求函数值． 【备注】分段函数的表示法要注意各取值区间应该无交点； 注意复合函数的书写方法．三、基本初等函数 1、指数函数⑴ 幂的运算性质p q p qa a a +⋅=，()qp p q a a ⋅=，()pp p a b a b ⋅=⋅，其中,0a b >，,p q ∈R ．【备注】注意幂的运算次序，22n是指()22n而不是()22n．⑵ 指数函数：①定义：函数(0x y a a =>，且1)a ≠称指数函数；②指数函数的性质：定义域：R ；值域：(0)+∞，；过定点：(01)，；1a >时，增函数；01a <<时，减函数．2、对数函数⑴对数的概念①定义：如果b a N =(0a >，且1)a ≠，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作log a N b =，其中a称对数的底，N 称真数． 常用对数，10log N 记作lg N ；自然对数：e log N 记作ln N ，其中e 为自然常数，e 2.71828≈． ②基本性质正数才有对数；1的对数是0；底数的对数是1． ③运算性质：如果0100a a M N >≠>>，，，，则 log ()log log a a a MN M N =+；log log log aa a MM N N=-；log log ()n a a M n M n =∈R ． ④换底公式：log log (01)log m a m NN m m a=>≠，． 【备注】可配合下面的题目复习对数的运算性质．已知()23409a a =>，则23log a = ． 【解析】 3；法一：333222233442993a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⇒=⇒= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以23log a =3232log 33⎛⎫= ⎪⎝⎭；法二：223322223333442log log log 2log 3993a a a a =⇒=⇒=⇒=．此题有多种解法，此处只给出其中两种解答．⑵对数函数①定义：函数log (0a y x a =>，且1)a ≠称对数函数，②对数函数的性质： 定义域：(0)+∞，；值域：R ；过定点：(10)，；1a >时，增函数；01a <<时，减函数． ③对数函数log a y x =与指数函数(0x y a a =>，且1)a ≠互为反函数．3、幂函数⑴幂函数的定义形如y x α=（α∈R ）的函数．需要掌握11,2,3,,12α=-时，幂函数的图象与性质； ⑵幂函数的性质① 所有的幂函数在(0)+∞，都有定义，且都过点(11)，；② 如果0α>，则幂函数过原点，且在[0)+∞，上单调递增； 如果0α<，则幂函数在(0)+∞，上单调递减．四、常见初等函数 1、二次函数形如()2f x ax bx c =++（0a ≠）的函数称为二次函数． 【备注】对于二次函数，我们需要掌握二次函数图象的作法．画二次函数图象时需要注意以下要素： ① 开口，由a 决定； ② 对称轴，由2bx a=-决定； ③ 判别式，由24b ac ∆=-决定．另外还需要注意一些特殊点，如与y 轴的交点()0,c ，与x 轴的交点，等等．2、分式函数 形如()()()g x f x h x =的函数称为分式函数，其中()g x 、()h x 均为多项式函数．若函数()g x 与()h x 均为一次函数，则称()f x 为一次分式函数；若函数()g x 与()h x 中至少有一个二次函数，而另一个为一次函数或二次函数，则称()f x 为二次分式函数． 【备注】对于分式函数，我们需要掌握⑴ 一次分式函数图象的作法（画渐近线后判断位置）； ⑵ 求定义域为R 的二次分式函数值域的判别式法； ⑶ 定义域受限的二次函数值域的求法．3、对勾函数 形如()bf x ax x=+（,0a b ≠）的函数称为对勾函数．（2011北京理）根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为 ()x A f x x A <=，≥（A c ，为常数），已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是（ ）A ．75，25B ．75，16C ．60，25D ．60，16【解析】 D ；当x A ≤时()f x 单减，x A ≥时()f x 恒为常数，30=15=，解得60c =，16A =．1、下列函数中，与函数y x =相同的函数是（ ）A ．2x y x= B．2y =C ．lg10x y =D ．2log 2x2、若函数()y f x =的定义域是[]0,2，则函数()()21f xg x x =-的定义域是（ ） A ．[]0,1 B ．[)0,1 C ．[)(]0,11,4 D ．()0,13、若函数()2443x f x mx mx -=++的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(),-∞+∞B ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭4、若实数,x y 满足()2lg 2lg lg x y x y -=+，则yx的值为（ ） A ．4 B ．1或14 C ．1或4 D ．145、“lg lg x y >”是>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6、若1x y >>，01a b <<<，则下列各式中一定成立的是（ ）A ．a b x y >B ．a b x y <C ．x y a b >D ．x y a b <7、已知函数()y f x =的图象与函数21log 1y x =+的图象关于y x =对称，则()1f 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．12D ．12-8、若函数()()log 1a f x x =+（0a >，1a ≠）的定义域和值域都是[]0,1，则a 的值为（ ）A ．13BC．2 D ．2小题热身真题再现9、已知函数()f x k =，且存在a 、b （a b <）使()f x 在[],a b 上的值域为[],a b ，则k 的取值范围是（ ）A ．9,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦C ．(]2,0-D ．9,04⎡⎫-⎪⎢⎣⎭10、设a 、b 分别为方程2log 30x x +-=和230x x +-=的根，则a b +的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4考点：函数的定义域 【例1】 ⑴函数()lg 21y x =+-的定义域为 ；⑵函数()2f x 的定义域为_______ ；⑶设()1f x -的定义域为[]2,3-，则12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的定义域为_______．【解析】 ⑴ 2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；⑵ [)3,+∞；⑶1,5⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．考点：函数的对应法则【例2】 ⑴设函数()()2log 100a x x f x x ax b x ⎧+>⎪=⎨++⎪⎩，，≤，若()32f =，()20f -=，则a b += ；⑵设函数()246060x x x f x x x ⎧-+=⎨+<⎩，≥，，则不等式()()1f x f>的解集是；⑶已知函数()11f x x x =--+．如果()()()91f f a f =+，则实数a 等于 ．【解析】 ⑴ 2；⑵ ()()3,13,-+∞；⑶ 14-．考点：函数的解析式 【例3】 ⑴若)1f=，则()f x = ；⑵已知221111x x f x x --⎛⎫= ⎪++⎝⎭，则()f x = ； ⑶已知()f x 为二次函数，且()()131f f ==，()22f =，则函数()f x = ； ⑷已知定义在R 上的函数满足()()223f x f x x +-=，则函数()f x =___________．【解析】 ⑴()2213x x f x x -+=-，[)1,x ∈+∞．⑵ ()221xf x x =+，1x ≠-．2.1函数的概念与定义域⑶ ()242f x x x =-+-． ⑷()34f x x =-+；【备注】求函数解析式的常用方法有：配凑法、换元法、待定系数法、方程组法等．用配凑法或换元法时，要注意函数的定义域； 待定系数法在已知函数的形式时用．【拓1】 已知定义在R 上的函数满足()223f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则函数()f x = ．【解析】 ()4f x x x=-；考点：映射【拓2】 （2010海淀二模文14）给定集合{1,2,3,,}n A n =，n *∈N ．若f 是n n A A →的映射，且满足：①任取,n i j A ∈，若i j ≠，则()()f i f j ≠； ②任取n m A ∈，若2m ≥，则有{(1),(2),,()}m f f f m ∈．则称映射f 为n n A A →的一个“优映射”．例如：用表1表示的映射f ：33A A →是一个“优映射”．表1 表2⑴ 44”； ⑵ 若f ：20102010A A →是“优映射”，且(1004)1f =，则(1000)(1007)f f +的最大值为_____．【解析】⑴或⑵考点：幂运算与对数运算 【例4】 ⑴设25ab m ==，且112a b+=，则m = ； ⑵(2lg 5lg8000lg 11lg 600lg 0.036lg 0.122⋅+=-- ；⑶()()3948log 2log 2log 3log 3+⋅+= ．【解析】 ⑴本小题考查幂与对数形式的互换．2.2基本初等函数⑵34； 本小题考查对数运算的性质． ⑶54； 本小题考查换底公式．【拓3】 ⑴ 已知,0a b >，()91216log log log a b a b ==+，则ba= ； ⑵ 已知()234log 3233x f x =+，则()()()()82482f f f f ++++= ．【解析】 ⑵ 2008；考点：指、对、幂函数的性质 【例5】 ⑴下列四个数中最大的是（ ）A ．()2ln 2 B ．()ln ln 2 C ． D ．ln2 ⑵若{}2|228x A x -=∈<Z ≤，{}2|log 1B x x =∈>R ，则A B R ð的元素个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 ⑶当()0,x ∈+∞时，幂函数()2531m y m m x --=--⋅为减函数，则实数m 的值为（ ）A ．2m =B ．1m =-C ．1m =-或2m =D ．m ⑷若3727a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2737b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2727c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 按照从小到大的顺序排列为（ ）．A ． a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b a c << ⑸若log 3log 30a b >>，则（ ）A ．01a b <<<B ．1a b <<C ．01b a <<<D ．1b a <<⑹若102a b <<<，则（ ）A ．22ab a >B ．22ab b >C ．()2log 1ab >-D ．()2log 2ab <-【解析】 ⑴ D ；⑵ C ；⑶ A ；⑷ B ；⑸ B ；⑹ D ；考点：指数函数、对数函数的图象 【例6】 ⑴若1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，122a x =-，12log b x =，2log c x =，则（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b c a << ⑵下列4个命题()111:023xxp x ⎛⎫⎛⎫∃∈+∞< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， ()2:01p x ∃∈，，1123log log x x >()3121:0log 2x p x x ⎛⎫∀∈+∞> ⎪⎝⎭，， 41311:0log 32xp x x ⎛⎫⎛⎫∀∈< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，其中的真命题是（ ）Ａ．13p p ， B ．14p p ， C ．23p p ， D ．24p p ， ⑶设,,a b c 均为正数，且122log aa =，121log 2bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭．则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c <<【解析】 ⑴ C ；⑵ D ； ⑶ A ．考点：二次函数的性质 【例7】 ⑴若函数()()()2f x x a bx a =++（常数a b ∈R ，）是偶函数，且其值域为(],4-∞，则该函数的解析式()f x = ； ⑵二次函数()21f x x ax =--在区间[]0,3上有最小值2-，则实数a = ； ⑶若对任意[]0,1a ∈，函数()22f x ax x a =+-恒正，则x 的取值范围是 ； ⑷已知函数()225f x x ax =-+在区间(],2-∞上是减函数，且对任意的[]12,1,1x x a ∈+，总有()()124f x f x -≤，则实数a 的取值范围是____________．【解析】 ⑴()224f x x =-+；⑵2； ⑶()1,+∞； ⑷23a ≤≤；【例8】求下列函数的值域： ⑴ ()f x ； ⑵ ()2f x x =-； ⑶ ()2f x x =+．【解析】 ⑴0,⎡⎣；⑵ 178⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，；⑶ [)2,-+∞．【拓4】 ()f x （0a <）的定义域为D ，点()(),s f t ，,s t D ∈构成正方形，则实数a的值为 ___．【解析】 4-．【例9】 ⑴已知二次函数()f x 满足()()11f x f x +=-，且()00f =，()11f =，()f x 在区间[],m n 2.2函数的值域上的值域是[],m n ，则m =________，n =____ ___； ⑵当[]3,5x ∈时，函数211x y x -=+的值域为 ； ⑶若函数()y f x =的值域是1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则函数()()()1F x f x f x =+的值域是 ；⑷已知52x ≥，则()22445x f x x x -=-+的值域是 ．【解析】 ⑴ 01，；⑵ 53,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦；⑶ 102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦；⑷ (]0,1；【拓5】 ⑴ 函数()2441x x f x x ++=+的值域是_________ _；⑵ 函数()221x f x x x =-+的值域是 ；⑶ 函数()2241x f x x x =-+，1,13x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域是____ ___．【解析】 ⑴ (][),04,-∞+∞；⑵ 40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦⑶11,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦；一、选择题 1、已知函数3log 0()2x x x f x x >⎧⎪=⎨⎪⎩≤0，，，，则19f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．4B ．14C ．4-D ．14-【解析】 B ； 2、552log 10log 0.25+=（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4【解析】 C ； 3、函数()()log 1x a f x a x =++在[]0,1上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为（ ）A ．14 B ．12C ．2D ．4 【解析】 B ． 4、设()()1232e ,2log 1,2x x f x x x -⎧<⎪=⎨-⎪⎩≥，则不等式()2f x >的解集为（ ） 课后习题A ．()()1,210,+∞B ．)+∞ C ．()()1,23,+∞ D ．()1,2【解析】 A ；5、设13log 2a =，121log 3b =，0.312c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<【解析】 B ；二、填空题 6、 若函数()()log 1a f x x =+的定义域和值域都是[]0,1，则a 的值为 ． 【解析】 2．7、 当()1,2x ∈时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 ． 【解析】 (],5-∞-令()24f x x mx =++，则()10f ≤且()20f ≤，解得5m -≤．8、给出封闭函数的定义：若对于定义域D 内的任意一个自变量0x ，都有函数值()0f x D ∈，则称函数()y f x =在D 上封闭．若定义域()0,1D =，则下列函数中，在D 上封闭的是 ．① ()31f x x =-；② ()211122f x x x =--+；③ ()1f x x =-；④ 12y x =．【解析】 ②③④． 9、设1a >，若仅有一个常数c ，使得对于任意的[],2x a a ∈，都有2,y a a ⎡⎤∈⎣⎦满足方程log log a a x y c +=，这时a 的取值的集合为 ．【解析】 {}2．三、解答题10、 已知过原点O 的一条直线与函数8log y x =的图象交于A 、B 两点，分别过点A 、B 作y 轴的平行线与函数2log y x =的图象交于C 、D 两点． ⑴ 证明：点C 、D 和原点O 在同一条直线上；⑵ 当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标．【解析】 ⑴ 证明：设A 、B 的横坐标分别为1x 、2x ，由题意知，11x >，21x >，则A 、B 的纵坐标分别为81log x 、82log x ， 因为A 、B 在过点O 的直线上，所以818212log log x x x x =． 点C 、D 坐标分别为()121,log x x 、()222,log x x ， 容易证明OC OD k k =，于是命题得证． ⑵ 当BC 平行于x 轴时，312x x =，进而8log A ．11、求函数()2123x f x x x +=++，()0,3x ∈的值域．【解析】 2,9⎛ ⎝⎦．12、已知函数2281ax x by x ++=+的最大值为9，最小值为1，求实数a 、b 的值．【解析】 5a =，5b =．13、 已知函数()2f x x bx c =++（,b c ∈R ，0b <），⑴ 当()f x 的定义域为[]0,1时，值域也是[]0,1，求,b c 的值． ⑵ 当2b =-时，函数()()f x g x x=对于任意的[)3,x ∈+∞，()0g x >恒成立，试求实数c 的取值范围．【解析】 ⑴ 2,1b c =-=；⑵ 3c >-．。

2018年高考数学辅导资料：三角函数和反三角函数的关系反三角函数是一种基本初等函数。

它是反正弦arcsinx，反余弦arccosx，反正切arctanx，反余切arccotx，反正割arcsecx，反余割arccscx这些函数的统称，各自表示其反正弦、反余弦、反正切、反余切，反正割，反余割为x的角。

它并不能狭义的理解为三角函数的反函数，是个多值函数。

三角函数的反函数不是单值函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数y=x对称。

欧拉提出反三角函数的概念，并且首先使用了“arc+函数名”的形式表示反三角函数。

反三角函数是一类初等函数。

指三角函数的反函数。

由于基本三角函数具有周期性，所以反三角函数是多值函数。

这种多值的反三角函数包括：反正弦函数、反余弦函数、反正切函数、反余切函数、反正割函数、反余割函数，分别记为Arcsinx,Arccosx,Arctanx,Arccotx,Arcsecx,Arccscx。

但是，在实函数中一般只研究单值函数，只把定义在包含锐角的单调区间上的基本三角函数的反函数，称为反三角函数，这是亦称反圆函数。

为了得到单值对应的反三角函数，人们把全体实数分成许多区间，使每个区间内的每个有定义的y 值都只能有惟一确定的x值与之对应。

为了使单值的反三角函数所确定区间具有代表性，常遵循如下条件：、为了保证函数与自变量之间的单值对应，确定的区间必须具有单调性;2、函数在这个区间最好是连续的;3、为了使研究方便，常要求所选择的区间包含0到π/2的角;4、所确定的区间上的函数值域应与整函数的定义域相同。

这样确定的反三角函数就是单值的，为了与上面多值的反三角函数相区别，在记法上常将Arc中的A改记为a，例如单值的反正弦函数记为arcsinx。

函数的概念与基本初等函数函数的概念与基本初等函数Ⅰ (3)第一节函数及其表示 (3)考点一函数的定义域 (3)考点二求函数的解析式 (5)考点三分段函数 (7)第二节函数的单调性与最值 (15)考点一确定函数的单调性(区间)) (16)考点二求函数的值域(最值)) (18)考点三函数单调性的应用 (20)第三节函数的奇偶性与周期性 (27)考点一函数奇偶性的判断 (28)考点二函数奇偶性的应用 (30)考点三函数的周期性 (31)第四节函数性质的综合问题 (38)考点一函数的单调性与奇偶性 (38)考点二函数的周期性与奇偶性 (39)考点三函数性质的综合应用 (40)第五节函数的图象 (48)考点一作函数的图象 (49)考点二函数图象的识辨 (51)考点三函数图象的应用 (53)第六节二次函数 (61)考点一求二次函数的解析式 (62)考点二二次函数的图象与性质 (64)第七节幂函数 (72)考点一幂函数的图象与性质 (73)考点二比较幂值大小 (74)第八节指数式、对数式的运算 (79)考点一指数幂的化简与求值 (80)考点二对数式的化简与求值 (82)第九节指数函数 (86)考点一指数函数的图象及应用 (87)考点二指数函数的性质及应用 (88)第十节对数函数 (95)考点一对数函数的图象及应用 (96)考点二对数函数的性质及应用 (97)第十一节函数与方程 (103)考点一函数零点个数、所在区间 (104)考点二函数零点的应用 (106)第十二节函数模型及其应用 (111)考点一二次函数、分段函数模型 (111)考点二指数函数、对数函数模型 (113)第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ第一节 函数及其表示一、基础知识1．函数与映射的概念2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．求函数定义域的策略(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发．(2)如果函数y ＝f (x )是用表格给出，则表格中x 的集合即为定义域．(3)如果函数y ＝f (x )是用图象给出，则图象在x 轴上的投影所覆盖的x 的集合即为定义域．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据.两函数值域与对应关系相同时，两函数不一定相同．(4)函数的表示法：表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．关于分段函数的3个注意(1)分段函数虽然由几个部分构成，但它表示同一个函数．(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．(3)各段函数的定义域不可以相交．考点一 函数的定义域[典例] (1)(2019·长春质检)函数y ＝ln (1－x )x ＋1＋1x的定义域是( )A ．[－1,0)∪(0,1)B ．[－1,0)∪(0,1]C ．(－1,0)∪(0,1]D ．(－1,0)∪(0,1)(2)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( )A ．(－1,1)B.⎝⎛⎭⎫－1，－12 C ．(－1,0)D.⎝⎛⎭⎫12，1 [解析] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x >0，x ＋1>0，x ≠0，解得－1<x <0或0<x <1.所以原函数的定义域为(－1,0)∪(0,1)．(2)令u ＝2x ＋1，由f (x )的定义域为(－1,0)，可知－1<u <0，即－1<2x ＋1<0，得－1<x <－12. [答案] (1)D (2)B[解题技法]1．使函数解析式有意义的一般准则(1)分式中的分母不为0；(2)偶次根式的被开方数非负；(3)y ＝x 0要求x ≠0；(4)对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1；(5)正切函数y ＝tan x ，x ≠k π＋π2(k ∈Z)； (6)实际问题中除考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求．2．抽象函数的定义域问题(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域．[题组训练]1.函数f (x )＝1ln (x ＋1)＋4－x 2的定义域为( ) A ．[－2,0)∪(0,2]B ．(－1,0)∪(0,2]C ．[－2,2]D ．(－1,2]解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，ln (x ＋1)≠0，4－x 2≥0，得－1<x ≤2，且x ≠0.2.若函数y ＝f (x )的定义域是[1,2 019]，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域是________________．解析：因为y ＝f (x )的定义域是[1,2 019]，所以若g (x )有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋1≤2 019，x －1≠0， 所以0≤x ≤2 018，且x ≠1.因此g (x )的定义域是{x |0≤x ≤2 018，且x ≠1}．答案：{x |0≤x ≤2 018，且x ≠1}考点二 求函数的解析式[典例] (1)已知二次函数f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，求f (x )；(2)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x ，求f (x )．[解] (1)法一：待定系数法因为f (x )是二次函数，所以设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (2x ＋1)＝a (2x ＋1)2＋b (2x ＋1)＋c ＝4ax 2＋(4a ＋2b )x ＋a ＋b ＋c .因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＝4，4a ＋2b ＝－6，a ＋b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－5，c ＝9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)．法二：换元法令2x ＋1＝t (t ∈R)，则x ＝t －12， 所以f (t )＝4⎝⎛⎭⎫t －122－6·t －12＋5＝t 2－5t ＋9(t ∈R)， 所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)．法三：配凑法因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5＝(2x ＋1)2－10x ＋4＝(2x ＋1)2－5(2x ＋1)＋9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)．(2)解方程组法由f (－x )＋2f (x )＝2x ， ①得f (x )＋2f (－x )＝2－x ，②①×2－②，得3f (x )＝2x ＋1－2－x .即f (x )＝2x ＋1－2－x 3. 故f (x )的解析式是f (x )＝2x ＋1－2－x 3(x ∈R)． [解题技法] 求函数解析式的4种方法及适用条件(1)待定系数法先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求出相应的待定系数．(2)换元法对于形如y ＝f (g (x ))的函数解析式，令t ＝g (x )，从中求出x ＝φ(t )，然后代入表达式求出f (t )，再将t 换成x ，得到f (x )的解析式，要注意新元的取值范围．(3)配凑法由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式．(4)解方程组法已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．[提醒] 由于函数的解析式相同，定义域不同，则为不相同的函数，因此求函数的解析式时，如果定义域不是R ，一定要注明函数的定义域．[题组训练]1.[口诀第2句]已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，则f (x )＝________________.解析：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx .又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1，即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x (x ∈R)． 答案：12x 2＋12x (x ∈R) 2.[口诀第3句]已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )＝________________.解析：令2x ＋1＝t ，得x ＝2t －1，则f (t )＝lg 2t －1，又x >0，所以t >1，故f (x )的解析式是f (x )＝lg 2x －1(x >1)． 答案：lg 2x －1(x >1) 3.[口诀第4句]已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，则f (x )＝________.解析：∵2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，①把①中的x 换成1x ，得2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x.② 联立①②可得⎩⎨⎧2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x， 解此方程组可得f (x )＝2x －1x(x ≠0)． 答案：2x －1x(x ≠0)考点三 分段函数考法(一) 求函数值 [典例] (2019·石家庄模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，a x ＋b ，x ≤0(0<a <1)，且f (－2)＝5，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3 [解析] 由题意得，f (－2)＝a －2＋b ＝5，①f (－1)＝a －1＋b ＝3，②联立①②，结合0<a <1，得a ＝12，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 3x ，x >0，⎝⎛⎭⎫12x ＋1，x ≤0，则f (－3)＝⎝⎛⎭⎫12－3＋1＝9，f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2.[答案] B[解题技法] 求分段函数的函数值的策略(1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值；(2)当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值；(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．考法(二) 求参数或自变量的值(或范围)[典例] (2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0) [解析] 法一：分类讨论法①当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时， f (x ＋1)<f (2x )，即为2－(x ＋1)<2－2x ，即－(x ＋1)<－2x ，解得x <1.因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≤0，2x >0时，不等式组无解． ③当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x ≤0，即－1<x ≤0时， f (x ＋1)<f (2x )，即为1<2－2x ，解得x <0.因此不等式的解集为(－1,0)．④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x >0，即x >0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．综上，不等式f (x ＋1)<f (2x )的解集为(－∞，0)．法二：数形结合法∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0， ∴函数f (x )的图象如图所示．结合图象知，要使f (x ＋1)<f (2x )，则需⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0， ∴x <0，故选D.[答案] D[解题技法]已知函数值(或范围)求自变量的值(或范围)的方法(1)根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围，最后将各段的结果合起来(求并集)即可；(2)如果分段函数的图象易得，也可以画出函数图象后结合图象求解．[题组训练]1．设f (x )＝⎩⎨⎧ x ，0＜x ＜1，2(x －1)，x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝( ) A ．2B ．4C ．6D ．8 解析：选C 当0＜a ＜1时，a ＋1＞1，f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∵f (a )＝f (a ＋1)，∴a ＝2a ，解得a ＝14或a ＝0(舍去)． ∴f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6.当a ≥1时，a ＋1≥2，f (a )＝2(a －1)，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ，∵f (a )＝f (a ＋1)，∴2(a －1)＝2a ，无解．综上，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝6.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤1，f (x －1)，x >1，则f (f (3))＝________. 解析：由题意，得f (3)＝f (2)＝f (1)＝21＝2，∴f (f (3))＝f (2)＝2.答案：23．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是________．解析：由题意知，可对不等式分x ≤0,0<x ≤12，x >12讨论． ①当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14， 故－14<x ≤0. ②当0<x ≤12时，原不等式为2x ＋x ＋12>1，显然成立． ③当x >12时，原不等式为2x ＋2x －12>1，显然成立． 综上可知，所求x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ 4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是____________． 解析：若a <0，则f (a )<1⇔⎝⎛⎭⎫12a －7<1⇔⎝⎛⎭⎫12a <8，解得a >－3，故－3<a <0； 若a ≥0，则f (a )<1⇔a <1，解得a <1，故0≤a <1. 综上可得－3<a <1.答案：(－3,1) [课时跟踪检测]1．下列所给图象是函数图象的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ①中当x ＞0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象；②中当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象；③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象．故选B.2．函数f (x )＝2x －1＋1x －2的定义域为( ) A ．[0,2)B ．(2，＋∞)C ．[0,2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)解析：选C 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥0，且x ≠2.3．已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( ) A.74 B ．－74C.43D ．－43解析：选A 令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，则4a －1＝6，解得a ＝74.4．(2019·贵阳检测)下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝ln x C ．y ＝13x －1D ．y ＝x ＋1x －1解析：选D 对于A ，定义域为[1，＋∞)，值域为[0，＋∞)，不满足题意；对于B ，定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足题意；对于C ，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，不满足题意；对于D ，y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，值域也是(－∞，1)∪(1，＋∞)．5．(2018·福建期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋a ，x >0，4x －2－1，x ≤0.若f (a )＝3，则f (a －2)＝( )A ．－1516B ．3C ．－6364或3D ．－1516或3解析：选A 当a >0时，若f (a )＝3，则log 2a ＋a ＝3，解得a ＝2(满足a >0)；当a ≤0时，若f (a )＝3，则4a －2－1＝3，解得a ＝3，不满足a ≤0，所以舍去．于是，可得a ＝2.故f (a －2)＝f (0)＝4－2－1＝－1516.6．已知函数y ＝f (2x －1)的定义域是[0,1]，则函数f (2x ＋1)log 2(x ＋1)的定义域是( )A ．[1,2]B ．(－1,1] C.⎣⎡⎦⎤－12，0 D ．(－1,0)解析：选D 由f (2x －1)的定义域是[0,1]， 得0≤x ≤1，故－1≤2x －1≤1， ∴f (x )的定义域是[－1,1]， ∴要使函数f (2x ＋1)log 2(x ＋1)有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤2x ＋1≤1，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0.7．下列函数中，不满足f (2 018x )＝2 018f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋2D ．f (x )＝－2x解析：选C 若f (x )＝|x |，则f (2 018x )＝|2 018x |＝2 018|x |＝2 018f (x )；若f (x )＝x －|x |，则f (2 018x )＝2 018x －|2 018x |＝2 018(x －|x |)＝2 018f (x )；若f (x )＝x ＋2，则f (2 018x )＝2 018x ＋2，而2 018f (x )＝2 018x ＋2 018×2，故f (x )＝x ＋2不满足f (2 018x )＝2 018f (x )；若f (x )＝－2x ，则f (2 018x )＝－2×2 018x ＝2 018×(－2x )＝2 018f (x )．故选C.8．已知具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数： ①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①解析：选B 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足题意；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足题意；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x<1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足题意．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.9．(2019·青岛模拟)函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________． 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x >0，1－x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >0，－1≤x ≤1⇒0<x ≤1.所以该函数的定义域为(0,1]． 答案：(0,1]10．(2019·益阳、湘潭调研)若函数f (x )＝⎩⎨⎧lg (1－x )，x <0，－2x ，x ≥0，则f (f (－9))＝________.解析：∵函数f (x )＝⎩⎨⎧lg (1－x )，x <0，－2x ，x ≥0，∴f (－9)＝lg 10＝1，∴f (f (－9))＝f (1)＝－2.答案：－211．(2018·张掖一诊)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＞0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于________．解析：∵f (1)＝2，且f (1)＋f (a )＝0，∴f (a )＝－2＜0，故a ≤0. 依题知a ＋1＝－2，解得a ＝－3. 答案：－312．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，x ≤0，－(x －1)2，x ＞0，使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，12x ＋1≥－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－(x －1)2≥－1， 解得－4≤x ≤0或0＜x ≤2， 故所求x 的取值范围是[－4,2]． 答案：[－4,2]13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ＜0，2x ，x ≥0，且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)．(1)求函数f (x )的解析式；(2)在如图所示的直角坐标系中画出f (x )的图象．解：(1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ＜0，2x ，x ≥0.(2)函数f (x )的图象如图所示．第二节函数的单调性与最值一、基础知识1．增函数、减函数定义：设函数f(x)的定义域为I：(1)增函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数．(2)减函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．增(减)函数定义中的x1，x2的三个特征一是任意性；二是有大小，即x1<x2(x1>x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可．2．单调性、单调区间若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间.有关单调区间的两个防范(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示．(2)有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接．3．函数的最值设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M或f(x)≥M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值或最小值．函数最值存在的两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．二、常用结论在公共定义域内：(1)函数f(x)单调递增，g(x)单调递增，则f(x)＋g(x)是增函数；(2)函数f (x )单调递减，g (x )单调递减，则f (x )＋g (x )是减函数； (3)函数f (x )单调递增，g (x )单调递减，则f (x )－g (x )是增函数； (4)函数f (x )单调递减，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )是减函数；(5)若k >0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k <0，则kf (x )与f (x )单调性相反； (6)函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f (x )的单调性相反；(7)复合函数y ＝f [g (x )]的单调性与y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性有关．简记：“同增异减”．考点一 确定函数的单调性(区间))[典例] (1)求函数f (x )＝－x 2＋2|x |＋1的单调区间． (2)试讨论函数f (x )＝ax x －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．[解] (1)易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x <0. 画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．(2)法一：定义法 设－1<x 1<x 2<1， f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x －1，则f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 1－1－a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－1＝a (x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1).由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0， 故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上单调递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上单调递增． 法二：导数法f ′(x )＝(ax )′(x －1)－ax (x －1)′(x －1)2＝a (x －1)－ax (x －1)2＝－a(x －1)2. 当a >0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－1,1)上单调递减； 当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1,1)上单调递增．[解题技法] 判断函数单调性和求单调区间的方法(1)定义法：一般步骤为设元―→作差―→变形―→判断符号―→得出结论．(2)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性．(3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调性及区间．(4)性质法：对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及复合函数单调性性质进行判断；复合函数单调性，可用同增异减来确定．[题组训练]1．下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( ) A ．f (x )＝2x B ．f (x )＝|x －1| C ．f (x )＝1x－xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：选C 由(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0可知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，A 、D 选项中，f (x )为增函数；B 中，f (x )＝|x －1|在(0，＋∞)上不单调；对于f (x )＝1x －x ，因为y ＝1x 与y＝－x 在(0，＋∞)上单调递减，因此f (x )在(0，＋∞)上是减函数．2．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)解析：选D 令t ＝x 2－4，则y ＝log 12t .因为y ＝log 12t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．3．判断函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，＋∞)上的单调性．解：设x 1，x 2是任意两个正数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫x 1＋a x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋a x 2＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－a )． 当0<x 1<x 2≤a 时，0<x 1x 2<a ，x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 所以函数f (x )在(0，a ]上是减函数； 当a ≤x 1<x 2时，x 1x 2>a ，x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 所以函数f (x )在[a ，＋∞)上是增函数．综上可知，函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．考点二 求函数的值域(最值))[典例] (1)(2019•深圳调研)函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为________．(2)若函数f (x )＝－ax＋b (a >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域为⎣⎡⎦⎤12，2，则a ＝________，b ＝________. (3)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－4x ，x ≤0，sin x ，x >0的最大值为________．[解析] (1)图象法函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x ≤－1，3，－1<x <2，2x －1，x ≥2.作出函数的图象如图所示．根据图象可知，函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为[3，＋∞)． (2)单调性法∵f (x )＝－ax ＋b (a >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数， ∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝12，f (x )max ＝f (2)＝2.即⎩⎨⎧－2a ＋b ＝12，－a2＋b ＝2，解得a ＝1，b ＝52.(3)当x ≤0时，f (x )＝－x 2－4x ＝－(x ＋2)2＋4，而－2∈(－∞，0]，此时f (x )在x ＝－2处取得最大值，且f (－2)＝4；当x >0时，f (x )＝sin x ，此时f (x )在区间(0，＋∞)上的最大值为1.综上所述，函数f (x )的最大值为4.[答案] (1)[3，＋∞) (2)1 52 (3)4[提醒] (1)求函数的最值时，应先确定函数的定义域．(2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数的最大值，最小的作为分段函数的最小值．[题组训练]1．函数f (x )＝x 2＋4x 的值域为________．解析：当x >0时，f (x )＝x ＋4x ≥4，当且仅当x ＝2时取等号； 当x <0时，－x ＋⎝⎛⎭⎫－4x ≥4， 即f (x )＝x ＋4x ≤－4，当且仅当x ＝－2取等号，所以函数f (x )的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)． 答案：(－∞，－4]∪[4，＋∞)2．若x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3，则函数y ＝4sin 2x －12sin x －1的最大值为________，最小值为________．解析：令t ＝sin x ，因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3， 所以t ∈⎣⎡⎦⎤－12，1，y ＝f (t )＝4t 2－12t －1， 因为该二次函数的图象开口向上，且对称轴为t ＝32，所以当t ∈⎣⎡⎦⎤－12，1时，函数f (t )单调递减，所以当t ＝－12时，y max ＝6；当t ＝1时，y min ＝－9. 答案：6 －93．已知f (x )＝x 2＋2x ＋ax ，x ∈[1，＋∞)，且a ≤1.若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立等价于x 2＋2x ＋a >0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，即a >－x 2－2x 在x ∈[1，＋∞)上恒成立．又函数y ＝－x 2－2x 在[1，＋∞)上单调递减， ∴(－x 2－2x )max ＝－3，故a >－3，又∵a ≤1，∴－3<a ≤1. 答案：(－3,1]考点三 函数单调性的应用考法(一) 比较函数值的大小[典例] 设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( )A ．f (π)>f (－3)>f (－2)B ．f (π)>f (－2)>f (－3)C ．f (π)<f (－3)<f (－2)D ．f (π)<f (－2)<f (－3)[解析] 因为f (x )是偶函数，所以f (－3)＝f (3)，f (－2)＝f (2)． 又因为函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数． 所以f (π)>f (3)>f (2)，即f (π)>f (－3)>f (－2)． [答案] A[解题技法] 比较函数值大小的解题思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．考法(二) 解函数不等式[典例] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <2，x 2，x ≥2.若f (a ＋1)≥f (2a －1)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，2]C ．[2,6]D ．[2，＋∞)[解析] 易知函数f (x )在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，∵f (a ＋1)≥f (2a －1)， ∴a ＋1≥2a －1，解得a ≤2.故实数a 的取值范围是(－∞，2]． [答案] B[解题技法] 求解含“f ”的函数不等式的解题思路先利用函数的相关性质将不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式，再根据函数的单调性去掉“f ”，得到一般的不等式g (x )>h (x )(或g (x )<h (x ))．考法(三) 利用单调性求参数的范围(或值)[典例] (2019•南京调研)已知函数f (x )＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．[解析] 设1<x 1<x 2，∴x 1x 2>1. ∵函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数， ∴f (x 1)－f (x 2)＝x 1－a x 1＋a2－⎝⎛⎭⎫x 2－a x 2＋a 2 ＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1＋a x 1x 2<0.∵x 1－x 2<0，∴1＋ax 1x 2>0，即a >－x 1x 2.∵1<x 1<x 2，x 1x 2>1，∴－x 1x 2<－1，∴a ≥－1. ∴a 的取值范围是[－1，＋∞)． [答案] [－1，＋∞)[解题技法]利用单调性求参数的范围(或值)的方法(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；(2)需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．[题组训练]1．已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >bD ．b >a >c解析：选D 由于函数f (x )的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y 轴对称，故函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52.当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，等价于函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以b >a >c .2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－x －14，x ≤1，log a x －1，x >1是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫14，12 B.⎣⎡⎦⎤14，12 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D.⎣⎡⎭⎫12，1解析：选B 由对数函数的定义可得a >0，且a ≠1.又函数f (x )在R 上单调，而二次函数y ＝ax 2－x －14的图象开口向上，所以函数f (x )在R 上单调递减，故有⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，12a≥1，a ×12－1－14≥log a1－1，即⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，0<a ≤12，a ≥14.所以a ∈⎣⎡⎦⎤14，12.[课时跟踪检测]A 级1．下列四个函数中，在x ∈(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |解析：选C 当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数，当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．2．若函数f (x )＝ax ＋1在R 上单调递减，则函数g (x )＝a (x 2－4x ＋3)的单调递增区间是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(4，＋∞)D ．(－∞，4)解析：选B 因为f (x )＝ax ＋1在R 上单调递减，所以a <0. 而g (x )＝a (x 2－4x ＋3)＝a (x －2)2－a .因为a <0，所以g (x )在(－∞，2)上单调递增．3．已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，23 B.⎣⎡⎭⎫13，23 C.⎝⎛⎭⎫12，23D.⎣⎡⎭⎫12，23解析：选D 因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13. 所以0≤2x －1＜13，解得12≤x ＜23.4．(2019·菏泽模拟)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C 由题意知当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2，又f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在相应的定义域内都为增函数，且f (1)＝－1，f (2)＝6，∴f (x )的最大值为6.5．已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3,1)是其图象上的两点，那么不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(全集为R)( )A ．(－1,2)B ．(1,4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)解析：选D 由函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3,1)是其图象上的两点，知不等式－3＜f (x ＋1)＜1即为f (0)＜f (x ＋1)＜f (3)，所以0＜x ＋1＜3，所以－1＜x ＜2，故不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－ax －5，x ≤1，a x ，x >1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3,0)B ．(－∞，－2]C ．[－3，－2]D ．(－∞，0)解析：选C 若f (x )是R 上的增函数，则应满足⎩⎪⎨⎪⎧－a2≥1，a <0，－12－a ×1－5≤a 1，解得－3≤a ≤－2.7．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为________．解析：设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3，所以函数f (x )的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t ＝x 2－2x －3在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．答案：[3，＋∞)8．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________．解析：当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2.故函数f (x )的最大值为2.答案：29．若函数f (x )＝1x 在区间[2，a ]上的最大值与最小值的和为34，则a ＝________.解析：由f (x )＝1x 的图象知，f (x )＝1x 在(0，＋∞)上是减函数，∵[2，a ]⊆(0，＋∞)，∴f (x )＝1x 在[2，a ]上也是减函数，∴f (x )max ＝f (2)＝12，f (x )min ＝f (a )＝1a ，∴12＋1a ＝34，∴a ＝4. 答案：410．(2019·甘肃会宁联考)若f (x )＝x ＋a －1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．解析：f (x )＝x ＋a －1x ＋2＝x ＋2＋a －3x ＋2＝1＋a －3x ＋2，要使函数在区间(－2，＋∞)上是增函数，需使a －3<0，解得a <3.答案：(－∞，3)11．已知函数f (x )＝1a －1x (a ＞0，x ＞0)．(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2，求a 的值． 解：(1)证明：任取x 1＞x 2＞0， 则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2，∵x 1＞x 2＞0，∴x 1－x 2＞0，x 1x 2＞0， ∴f (x 1)－f (x 2)＞0， 即f (x 1)＞f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)由(1)可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫12＝1a －2＝12，f (2)＝1a －12＝2， 解得a ＝25.12．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围． 解：(1)证明：当a ＝－2时，f (x )＝xx ＋2.任取x 1，x 2∈(－∞，－2)，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). 因为(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0， 所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 所以f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ). 因为a ＞0，x 2－x 1＞0，又由题意知f (x 1)－f (x 2)＞0， 所以(x 1－a )(x 2－a )＞0恒成立，所以a ≤1. 所以0＜a ≤1.所以a 的取值范围为(0,1]．B 级1．若f (x )＝－x 2＋4mx 与g (x )＝2mx ＋1在区间[2,4]上都是减函数，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(0,1]B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0，＋∞)D ．(0,1]解析：选D 函数f (x )＝－x 2＋4mx 的图象开口向下，且以直线x ＝2m 为对称轴，若在区间[2,4]上是减函数，则2m ≤2，解得m ≤1；g (x )＝2m x ＋1的图象由y ＝2mx 的图象向左平移一个单位长度得到，若在区间[2,4]上是减函数，则2m >0，解得m >0.综上可得，m 的取值范围是(0,1]．2．已知函数f (x )＝ln x ＋x ，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则正数a 的取值范围是________． 解析：因为f (x )＝ln x ＋x 在(0，＋∞)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a >a ＋3，a 2－a >0，a ＋3>0，解得－3<a <－1或a >3.又a >0，所以a >3. 答案：(3，＋∞)3．已知定义在R 上的函数f (x )满足：①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋1，②当x >0时，f (x )>－1. (1)求f (0)的值，并证明f (x )在R 上是单调增函数; (2)若f (1)＝1，解关于x 的不等式f (x 2＋2x )＋f (1－x )>4. 解：(1)令x ＝y ＝0，得f (0)＝－1.在R 上任取x 1>x 2，则x 1－x 2>0，f (x 1－x 2)>－1. 又f (x 1)＝f [(x 1－x 2)＋x 2]＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)＋1>f (x 2)， 所以函数f (x )在R 上是单调增函数． (2)由f (1)＝1，得f (2)＝3，f (3)＝5.由f (x 2＋2x )＋f (1－x )>4得f (x 2＋x ＋1)>f (3)， 又函数f (x )在R 上是增函数，故x 2＋x ＋1>3， 解得x <－2或x >1，故原不等式的解集为{x |x <－2或x >1}．第三节 函数的奇偶性与周期性一、基础知1．函数的奇偶性函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．若f (x )≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：(1)f (－x )＝f (x )⇔f (－x )－f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝1⇔f (x )为偶函数；(2)f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝－1⇔f (x )为奇函数．2．函数的周期性 (1)周期函数对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．周期函数定义的实质存在一个非零常数T ，使f (x ＋T )＝f (x )为恒等式，即自变量x 每增加一个T 后，函数值就会重复出现一次．(2)最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．二、常用结论1．函数奇偶性常用结论(1)如果函数f (x )是奇函数且在x ＝0处有定义，则一定有f (0)＝0；如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (|x |)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．函数周期性常用结论 对f (x )定义域内任一自变量x ： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0)． (2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a (a >0)． (3)若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a (a >0)．3．函数图象的对称性(1)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，即f (a －x )＝f (a ＋x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．(2)若对于R 上的任意x 都有f (2a －x )＝f (x )或f (－x )＝f (2a ＋x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．(3)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，即f (－x ＋b )＋f (x ＋b )＝0，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．考点一 函数奇偶性的判断[典例] 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝36－x 2|x ＋3|－3；(2)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (3)f (x )＝log 2(1－x 2)|x －2|－2；(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，x 2－x ，x >0.[解] (1)由f (x )＝36－x 2|x ＋3|－3，可知⎩⎪⎨⎪⎧ 36－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－6≤x ≤6，x ≠0且x ≠－6，故函数f (x )的定义域为(－6,0)∪(0,6]，定义域不关于原点对称，故f (x )为非奇非偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，x 2－1≥0⇒x 2＝1⇒x ＝±1，故函数f (x )的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f (x )＝0，所以f (－x )＝f (x )＝－f (x )，所以函数f (x )既是奇函数又是偶函数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，|x －2|－2≠0⇒－1<x <0或0<x <1，定义域关于原点对称．此时f (x )＝log 2(1－x 2)|x －2|－2＝log 2(1－x 2)2－x －2＝－log 2(1－x 2)x ，故有f (－x )＝－log 2[1－(－x )2]－x ＝log 2(1－x 2)x ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数． (4)法一：图象法画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，x 2－x ，x >0的图象如图所示，图象关于y 轴对称，故f (x )为偶函数．法二：定义法易知函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，当x >0时，f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，－x >0，故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )；当x <0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x >0时，－x <0，故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )，故原函数是偶函数．法三：f (x )还可以写成f (x )＝x 2－|x |(x ≠0)，故f (x )为偶函数．[题组训练]1．(2018·福建期末)下列函数为偶函数的是( ) A ．y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 B ．y ＝x 2＋e |x | C ．y ＝x cos xD ．y ＝ln|x |－sin x解析：选B 对于选项A ，易知y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4为非奇非偶函数；对于选项B ，设f (x )＝x 2＋e |x |，则f (－x )＝(－x )2＋e |－x |＝x 2＋e |x |＝f (x )，所以y ＝x 2＋e |x |为偶函数；对于选项C ，设f (x )＝x cos x ，则f (－x )＝－x cos(－x )＝－x cos x ＝－f (x )，所以y ＝x cos x 为奇函数；对于选项D ，设f (x )＝ln|x |－sin x ，则f (2)＝ln 2－sin 2，f (－2)＝ln 2－sin(－2)＝ln 2＋sin 2≠f (2)，所以y ＝ln|x |－sin x 为非奇非偶函数，故选B.2．设函数f (x )＝e x －e －x2，则下列结论错误的是( )A ．|f (x )|是偶函数B ．－f (x )是奇函数C ．f (x )|f (x )|是奇函数D ．f (|x |)f (x )是偶函数解析：选D ∵f (x )＝e x －e －x2，则f (－x )＝e －x －e x2＝－f (x )．∴f (x )是奇函数． ∵f (|－x |)＝f (|x |)，∴f (|x |)是偶函数，∴f (|x |)f (x )是奇函数．考点二 函数奇偶性的应用[典例] (1)(2019·福建三明模拟)函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝2x ，则当x >0时，f (x )＝( )A ．－2xB ．2－x C ．－2－xD ．2x(2)(2018·贵阳摸底考试)已知函数f (x )＝a －2e x ＋1(a ∈R)是奇函数，则函数f (x )的值域为( )A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－3,3)D ．(－4,4)[解析] (1)当x >0时，－x <0，∵x <0时，f (x )＝2x ，∴当x >0时，f (－x )＝2－x .∵f (x )是R 上的奇函数，∴当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－2－x .(2)法一：由f (x )是奇函数知f (－x )＝－f (x )，所以a －2e －x＋1＝－a ＋2e x ＋1，得2a ＝2e x＋1＋2e －x ＋1，所以a ＝1e x ＋1＋e x e x ＋1＝1，所以f (x )＝1－2e x ＋1.因为e x ＋1>1，所以0<1e x ＋1<1，－1<1－2e x ＋1<1，所以函数f (x )的值域为(－1,1)．法二：函数f (x )的定义域为R ，且函数f (x )是奇函数，所以f (0)＝a －1＝0，即a ＝1，所以f (x )＝1－2e x ＋1.因为e x ＋1>1，所以0<1e x ＋1<1，－1<1－2e x ＋1<1，所以函数f (x )的值域为(－1,1)．[答案] (1)C (2)A[解题技法]应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法(1)求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．(2)求解析式先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式．(3)求函数解析式中参数的值利用待定系数法求解，根据f (x )±f (－x )＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．(4)画函数图象和判断单调性利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性．[题组训练]1．(2019·贵阳检测)若函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝log 2(x ＋2)－1，则f (－6)＝( )A ．2B ．4C ．－2D ．－4解析：选C 根据题意得f (－6)＝－f (6)＝1－log 2(6＋2)＝1－3＝－2.2．已知函数f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，函数f (x )的最大值为________．解析：法一：当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝x 2＋x .又因为函数f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2－x ＝－⎝⎛⎭⎫x ＋122＋14，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14. 法二：当x >0时，f (x )＝x 2－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122－14，最小值为－14，因为函数f (x )为奇函数，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14.答案：143．(2018·合肥八中模拟)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 解析：∵f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即－x ln(a ＋x 2－x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)，从而ln[(a ＋x 2)2－x 2]＝0，即ln a ＝0，故a ＝1.答案：1考点三 函数的周期性。

新高考数学复习考点知识专题讲义第2讲基本初等函数、函数与方程[考情分析]1.基本初等函数的图象、性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小是常见题型.2.函数零点的个数判断及参数范围是高考的热点，常以压轴题形式出现．考点一基本初等函数的图象与性质核心提炼1．指数函数y＝a x(a>0，a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，a≠1)互为反函数，其图象关于y＝x对称，它们的图象和性质分0<a<1，a>1两种情况，着重关注两函数图象的异同．2．幂函数y＝xα的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，12，－1五种情况．例1(1)已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|<g(x)时，h(x)＝－g(x)，则h(x)()A．有最小值－1，最大值1B．有最大值1，无最小值C．有最小值－1，无最大值D．有最大值－1，无最小值答案C解析画出y＝|f(x)|＝|2x－1|与y＝g(x)＝1－x2的图象，它们交于A，B两点．由“规定”，在A ，B 两侧，|f (x )|≥g (x )，故h (x )＝|f (x )|；在A ，B 之间，|f (x )|<g (x )，故h (x )＝－g (x )．综上可知，y ＝h (x )的图象是图中的实线部分，因此h (x )有最小值－1，无最大值．(2)已知函数f (x )＝e x ＋2(x <0)与g (x )＝ln(x ＋a )＋2的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1e B ．(－∞，e) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，e D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－e ，1e 答案B解析由题意知，方程f (－x )－g (x )＝0在(0，＋∞)上有解， 即e －x ＋2－ln(x ＋a )－2＝0在(0，＋∞)上有解，即函数y ＝e －x 与y ＝ln(x ＋a )的图象在(0，＋∞)上有交点． 函数y ＝ln(x ＋a )可以看作由y ＝ln x 左右平移得到， 当a ＝0时，两函数有交点，当a <0时，向右平移，两函数总有交点，当a >0时，向左平移，由图可知，将函数y ＝ln x 的图象向左平移到过点(0,1)时，两函数的图象在(0，＋∞)上不再有交点，把(0,1)代入y＝ln(x＋a)，得1＝ln a，即a＝e，∴a<e.规律方法(1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a的值不确定时，要注意分a>1和0<a<1两种情况讨论：当a>1时，两函数在定义域内都为增函数；当0<a<1时，两函数在定义域内都为减函数．(2)基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化．跟踪演练1(1)函数f(x)＝ln(x2＋2)－e x－1的大致图象可能是()答案A解析当x→＋∞时，f(x)→－∞，故排除D；函数f(x)的定义域为R，且在R上连续，故排除B；f(0)＝ln2－e－1，由于ln2>ln e＝12，e－1<12，所以f(0)＝ln2－e－1>0，故排除C.(2)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝1－2－x，则不等式f(x)<－1 2的解集是()A．(－∞，－1) B．(－∞，－1] C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)答案A解析当x >0时，f (x )＝1－2－x >0. 又f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (x )<－12的解集和f (x )>12的解集关于原点对称，由1－2－x >12得2－x <12＝2－1， 即x >1，则f (x )<－12的解集是(－∞，－1)．故选A.考点二函数的零点 核心提炼判断函数零点个数的方法： (1)利用零点存在性定理判断法． (2)代数法：求方程f (x )＝0的实数根．(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y ＝f (x )的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性．考向1函数零点的判断例2(1)(2022·长沙调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x e x ，x ≤0，2－|x －1|，x >0，若函数g (x )＝f (x )－m 有两个不同的零点x 1，x 2，则x 1＋x 2等于()A．2B．2或2＋1 eC．2或3D．2或3或2＋1 e答案D解析当x≤0时，f′(x)＝(x＋1)e x，当x<－1时，f′(x)<0，故f(x)在(－∞，－1)上单调递减，当－1<x≤0时，f′(x)>0，故f(x)在(－1,0]上单调递增，所以x≤0时，f(x)的最小值为f(－1)＝－1e.又当x≥1时，f(x)＝3－x，当0<x<1时，f(x)＝x＋1.作出f(x)的图象，如图所示．因为g(x)＝f(x)－m有两个不同的零点，所以方程f(x)＝m 有两个不同的根，等价于直线y＝m与f(x)的图象有两个不同的交点，且交点的横坐标分别为x1，x2，由图可知1<m<2或m＝0或m＝－1e.若1<m<2，则x1＋x2＝2；若m ＝0，则x 1＋x 2＝3；若m ＝－1e ，则x 1＋x 2＝－1＋3＋1e ＝2＋1e .(2)设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (2－x )，当x ∈[－2,0]时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x －1，则关于x 的方程f (x )－log 8(x ＋2)＝0在区间(－2,6)上根的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4 答案C解析对于任意的x ∈R ，都有f (2＋x )＝f (2－x )， ∴f (x ＋4)＝f [2＋(x ＋2)]＝f [2－(x ＋2)]＝f (－x )＝f (x )， ∴函数f (x )是一个周期函数，且T ＝4.又∵当x ∈[－2,0]时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x －1，且函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (6)＝1，则函数y ＝f (x )与y ＝log 8(x ＋2)在区间(－2,6)上的图象如图所示，根据图象可得y ＝f (x )与y ＝log 8(x ＋2)在区间(－2,6)上有3个不同的交点，即f (x )－log 8(x ＋2)＝0在区间(－2,6)上有3个根．考向2求参数的值或取值范围例3(1)已知关于x 的方程9－|x －2|－4·3－|x －2|－a ＝0有实数根，则实数a 的取值范围是________． 答案[－3,0)解析设t ＝3－|x －2|(0<t ≤1)， 由题意知a ＝t 2－4t 在(0,1]上有解， 又t 2－4t ＝(t －2)2－4(0<t ≤1)， ∴－3≤t 2－4t <0，∴实数a 的取值范围是[－3,0)．(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋3，x >a ，x 2＋6x ＋3，x ≤a ，若函数g (x )＝f (x )－2x 恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围为____________________． 答案[－3，－1)∪[3，＋∞)解析由题意得g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3－2x ，x >a ，x 2＋6x ＋3－2x ，x ≤a ，即g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x ，x >a ，x 2＋4x ＋3，x ≤a ，如图所示，因为g(x)恰有两个不同的零点，即g(x)的图象与x轴有两个交点．若当x≤a时，g(x)＝x2＋4x＋3有两个零点，则令x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1，则当x>a时，g(x)＝3－x没有零点，所以a≥3.若当x≤a时，g(x)＝x2＋4x＋3有一个零点，则当x>a时，g(x)＝3－x必有一个零点，即－3≤a<－1，综上所述，a∈[－3，－1)∪[3，＋∞)．规律方法利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法跟踪演练2(1)已知偶函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x)＝x2－3x(x≥0)，若函数g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，－1x，x <0，则y ＝f (x )－g (x )的零点个数为()A ．1B ．3C ．2D ．4 答案B解析作出函数f (x )与g (x )的图象如图，由图象可知两个函数有3个不同的交点，所以函数y ＝f (x )－g (x )有3个零点．(2)(多选)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2a ，x <0，x 2－ax ，x ≥0，若关于x 的方程f (f (x ))＝0有8个不同的实根，则a 的值可能为() A ．－6B ．8C ．9D ．12 答案CD解析当a ≤0时，f (x )仅有一个零点x ＝0，故f (f (x ))＝0有8个不同的实根不可能成立．当a >0时，f (x )的图象如图所示，当f (f (x ))＝0时，f 1(x )＝－2a ，f 2(x )＝0，f 3(x )＝a .又f (f (x ))＝0有8个不同的实根，故f 1(x )＝－2a 有三个根，f 2(x )＝0有三个根，f 3(x )＝a 有两个根，又x 2－ax ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22－a24，所以－2a >－a 24且a <2a ，解得a >8且a >0，综上可知，a >8.专题强化练一、单项选择题1．(2022·全国Ⅰ)设a log 34＝2，则4－a 等于() A.116B.19C.18D.16 答案B解析方法一因为a log 34＝2， 所以log 34a ＝2， 所以4a ＝32＝9， 所以4－a ＝14a ＝19. 方法二因为a log 34＝2，所以a ＝2log 34＝2log 43＝log 432＝log 49，所以4－a ＝4log 94-＝14log 94-＝9－1＝19.2．函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点一定位于区间()A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(4,5)答案B解析函数f(x)＝ln x＋2x－6在其定义域上连续且单调，f(2)＝ln2＋2×2－6＝ln2－2<0，f(3)＝ln3＋2×3－6＝ln3>0，故函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点在区间(2,3)上．3．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝2－ax和g(x)＝log a(x＋2)(a>0且a≠1)的大致图象可能为()答案A解析由题意知，当a>0时，函数f(x)＝2－ax为减函数．若0<a<1，则函数f(x)＝2－ax的零点x0＝2a∈(2，＋∞)，且函数g(x)＝log a(x＋2)在(－2，＋∞)上为减函数；若a>1，则函数f(x)＝2－ax的零点x0＝2a∈(0,2)，且函数g(x)＝log a(x＋2)在(－2，＋∞)上为增函数．故A 正确．4．(2022·广东省揭阳三中模拟)已知a ，b ，c 满足4a ＝6，b ＝12log 4，c 3＝35，则()A ．a <b <cB ．b <c <aC ．c <a <bD ．c <b <a 答案B解析4a ＝6>4，a >1，b ＝12log 4＝－2，c 3＝35<1,0<c <1，故a >c >b .5．(2022·全国Ⅲ)Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：I (t )＝K 1＋e－0.23(t －53)，其中K 为最大确诊病例数．当I (t *)＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln19≈3)() A ．60B ．63C ．66D ．69 答案C 解析因为I (t )＝K1＋e －0.23(t －53)，所以当I (t *)＝0.95K 时，*0.23531et K⎛⎫-- ⎪⎝⎭+＝0.95K ，即*0.235311et ⎛⎫-- ⎪⎝⎭+＝0.95，即1＋*0.2353et ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝10.95，即*0.2353et ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝10.95－1，∴*0.2353et ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝19，∴0.23(t *－53)＝ln19， ∴t *＝ln190.23＋53≈30.23＋53≈66.6．(2022·泉州模拟)若函数y ＝log a (x 2－ax ＋1)有最小值，则a 的取值范围是() A ．1<a <2B ．0<a <2，a ≠1 C ．0<a <1D ．a ≥2 答案A解析令u (x )＝x 2－ax ＋1，函数y ＝log a (x 2－ax ＋1)有最小值，∴a >1，且u (x )min >0，∴Δ＝a 2－4<0，∴1<a <2，∴a 的取值范围是1<a <2.7．(2022·太原质检)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x ，x >0，－2x 2＋4x ＋1，x ≤0(e 为自然对数的底数)，若函数g (x )＝f (x )＋kx 恰好有两个零点，则实数k 等于() A ．－2eB ．eC ．－eD ．2e 答案C解析g (x )＝f (x )＋kx ＝0，即f (x )＝－kx ，如图所示，画出函数y ＝f (x )和y ＝－kx 的图象， －2x 2＋4x ＋1＝－kx ，即2x 2－(4＋k )x －1＝0， 设方程的两根为x 1，x 2，则Δ＝(4＋k )2＋8>0，且x 1x 2＝－12， 故g (x )在x <0时有且仅有一个零点， y ＝－kx 与y ＝f (x )在x >0时相切．当x >0时，设切点为(x 0，－kx 0)，f (x )＝e x ， f ′(x )＝e x ，f ′(x 0)＝0e x ＝－k ，0e x ＝－kx 0， 解得x 0＝1，k ＝－e.8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，x ＝0，⎝ ⎛⎭⎪⎫1e |x |＋1，x ≠0，若关于x 的方程2f 2(x )－(2a ＋3)f (x )＋3a ＝0有五个不同的解，则a 的取值范围是() A ．(1,2) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 答案D解析作出f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e |x |＋1，x ≠0的图象如图所示．设t ＝f (x )，则原方程化为2t 2－(2a ＋3)t ＋3a ＝0， 解得t 1＝a ，t 2＝32.由图象可知，若关于x 的方程2f 2(x )－(2a ＋3)f (x )＋3a ＝0有五个不同的实数解，只有当直线y ＝a 与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点时才满足条件， 所以1<a <2.又方程2t 2－(2a ＋3)t ＋3a ＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝(2a ＋3)2－4×2×3a ＝(2a －3)2>0， 解得a ≠32，综上，得1<a <2，且a ≠32. 二、多项选择题9．(2022·临沂模拟)若10a ＝4,10b ＝25，则() A ．a ＋b ＝2B ．b －a ＝1 C ．ab >8lg 22D ．b －a >lg6 答案ACD解析由10a ＝4,10b ＝25，得a ＝lg4，b ＝lg25，则a ＋b ＝lg4＋lg25＝lg100＝2，故A 正确；b－a＝lg25－lg4＝lg 254>lg6且lg254<1，故B错误，D正确；ab＝lg4·lg25＝4lg2·lg5>4lg2·lg4＝8lg22，故C正确．10．已知函数f(x)＝log a(x＋1)，g(x)＝log a(1－x)，a>0，a≠1，则()A．函数f(x)＋g(x)的定义域为(－1,1)B．函数f(x)＋g(x)的图象关于y轴对称C．函数f(x)＋g(x)在定义域上有最小值0D．函数f(x)－g(x)在区间(0,1)上是减函数答案AB解析∵f(x)＝log a(x＋1)，g(x)＝log a(1－x)，a>0，a≠1，∴f(x)＋g(x)＝log a(x＋1)＋log a(1－x)，由x＋1>0且1－x>0得－1<x<1，故A对；由f(－x)＋g(－x)＝log a(－x＋1)＋log a(1＋x)＝f(x)＋g(x)，得函数f(x)＋g(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，B对；∵－1<x<1，∴f(x)＋g(x)＝log a(1－x2)，∵y＝1－x2在[0,1)上单调递减，由复合函数的单调性可知，当0<a<1时，函数f(x)＋g(x)在[0,1)上单调递增，有最小值f(0)＋g(0)＝log a(1－0)＝0；当a>1时，函数f(x)＋g(x)在[0,1)上单调递减，无最小值，故C错；∵f(x)－g(x)＝log a(x ＋1)－log a(1－x)，当0<a<1时，f(x)＝log a(x＋1)在(0,1)上单调递减，g(x)＝log a(1－x)在(0,1)上单调递增，函数f(x)－g(x)在(0,1)上单调递减；当a>1时，f(x)＝log a(x＋1)在(0,1)上单调递增，g(x)＝log a(1－x)在(0,1)上单调递减，函数f(x)－g(x)在(0,1)上单调递增，故D错．11．(2022·淄博模拟)已知函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，对于任意x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)成立．当x ∈[0,2)时，f (x )＝2x －1.给出下列结论，其中正确的是() A ．f (2)＝0B ．点(4,0)是函数y ＝f (x )图象的一个对称中心C ．函数y ＝f (x )在区间[－6，－2]上单调递增D ．函数y ＝f (x )在区间[－6,6]上有3个零点 答案AB解析对于A ，因为f (x )为奇函数且对任意x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，令x ＝－2，则f (2)＝f (－2)＋f (2)＝0，故A 正确；对于B ，由A 知，f (2)＝0，则f (x ＋4)＝f (x )，则4为f (x )的一个周期，因为f (x )的图象关于原点(0,0)成中心对称，则(4,0)是函数f (x )图象的一个对称中心，故B 正确；对于C ，因为f (－6)＝0，f (－5)＝f (－5＋4)＝f (－1)＝－f (1)＝－1，－6<－5，而f (－6)>f (－5)，所以f (x )在区间[－6，－2]上不是单调递增的，故C 错误；对于D ，因为f (0)＝0，f (2)＝0，所以f (－2)＝0，又4为f (x )的一个周期，所以f (4)＝0，f (6)＝0，f (－4)＝0，f (－6)＝0，所以函数y ＝f (x )在区间[－6,6]上有7个零点，故D 错误． 12．对于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sinπx ，x ∈[0，2]，12f (x －2)，x ∈(2，＋∞)，则下列结论正确的是()A ．任取x 1，x 2∈[2，＋∞)，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤1B ．函数y ＝f (x )在[4,5]上单调递增C ．函数y ＝f (x )－ln(x －1)有3个零点D ．若关于x 的方程f (x )＝m (m <0)恰有3个不同的实根x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝132 答案ACD解析f (x )＝⎩⎨⎧sinπx ，x ∈[0，2]，12f (x －2)，x ∈(2，＋∞)的图象如图所示，当x ∈[2，＋∞)时，f (x )的最大值为12，最小值为－12，∴任取x 1，x 2∈[2，＋∞)，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤1恒成立，故A 正确；函数y ＝f (x )在[4,5]上的单调性和在[0,1]上的单调性相同，则函数y ＝f (x )在[4,5]上不单调，故B 错误；作出y ＝ln(x －1)的图象，结合图象，易知y ＝ln(x －1)的图象与f (x )的图象有3个交点，∴函数y ＝f (x )－ln(x －1)有3个零点，故C 正确；若关于x 的方程f (x )＝m (m <0)恰有3个不同的实根x 1，x 2，x 3，不妨设x 1<x 2<x 3，则x 1＋x 2＝3，x 3＝72，∴x 1＋x 2＋x 3＝132，故D 正确． 三、填空题13．(2022·全国Ⅱ)已知f (x )是奇函数，且当x <0时，f (x )＝－e ax .若f (ln2)＝8，则a ＝________. 答案－3解析当x >0时，－x <0，f (－x )＝－e －ax .因为函数f (x )为奇函数，所以当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝e －ax ，所以f (ln2)＝e －a ln2＝⎝⎛⎭⎪⎫12a＝8，所以a ＝－3. 14．已知函数f (x )＝|lg x |，若f (a )＝f (b )(a ≠b )，则函数g (x )＝⎩⎨⎧x 2＋22x ＋5，x ≤0，ax 2＋2bx ，x >0的最小值为________． 答案2 2解析因为|lg a |＝|lg b |，所以不妨令a <b ， 则有－lg a ＝lg b ，所以ab ＝1，b ＝1a(0<a <1)，所以g (x )＝⎩⎨⎧(x ＋2)2＋3，x ≤0，ax ＋2ax ，x >0，当x ≤0时，g (x )＝(x ＋2)2＋3≥3，取等号时x ＝－2； 当x >0时，g (x )＝ax ＋2ax ≥2ax ·2ax ＝22，当且仅当x ＝2a 时，等号成立， 综上可知，g (x )min ＝2 2.15．定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x x ＋1，x ∈[0，1)，1－|x －3|，x ∈[1，＋∞)，则函数F (x )＝f (x )－1π的所有零点之和为________．答案11－2π解析由题意知，当x <0时， f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 1－x ，x ∈(－1，0)，|x ＋3|－1，x ∈(－∞，－1]，作出函数f (x )的图象如图所示，设函数y ＝f (x )的图象与y ＝1π交点的横坐标从左到右依次为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，由图象的对称性可知，x 1＋x 2＝－6，x 4＋x 5＝6，x 1＋x 2＋x 4＋x 5＝0，令－2x 1－x ＝1π，解得x 3＝11－2π，所以函数F (x )＝f (x )－1π的所有零点之和为11－2π. 16．对于函数f (x )与g (x )，若存在λ∈{x ∈R |f (x )＝0}，μ∈{x ∈R |g (x )＝0}，使得|λ－μ|≤1，则称函数f (x )与g (x )互为“零点密切函数”，现已知函数f (x )＝e x －2＋x －3与g (x )＝x 2－ax －x ＋4互为“零点密切函数”，则实数a 的取值范围是________． 答案[3,4]解析由题意知，函数f (x )的零点为x ＝2， 设g (x )的零点为μ，满足|2－μ|≤1， 因为|2－μ|≤1，所以1≤μ≤3.21 / 21 方法一因为函数g (x )的图象开口向上，所以要使g (x )的至少一个零点落在区间[1,3]上，则需满足g (1)g (3)≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0，g (3)>0，Δ≥0，1<a ＋12<3，解得103≤a ≤4，或3≤a <103，得3≤a ≤4. 故实数a 的取值范围为[3,4]．方法二因为g (μ)＝μ2－aμ－μ＋4＝0， a ＝μ2－μ＋4μ＝μ＋4μ－1，因为1≤μ≤3，所以3≤a ≤4.故实数a 的取值范围为[3,4]．。

高三数学函数的概念与基本初等函数多选题(讲义及答案)及答案一、函数的概念与基本初等函数多选题1．一般地，若函数()f x 的定义域为[],a b ，值域为[],ka kb ，则称为的“k 倍跟随区间”；若函数的定义域为[],a b ，值域也为[],a b ，则称[],a b 为()f x 的“跟随区间”.下列结论正确的是（ ）A ．若[]1,b 为()222f x x x =-+的跟随区间，则2b =B ．函数()11f x x=+存在跟随区间 C ．若函数()f x m =1,04m ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦D ．二次函数()212f x x x =-+存在“3倍跟随区间” 【答案】ABCD 【分析】根据“k 倍跟随区间”的定义,分析函数在区间内的最值与取值范围逐个判断即可. 【详解】对A, 若[]1,b 为()222f x x x =-+的跟随区间,因为()222f x x x =-+在区间[]1,b 为增函数,故其值域为21,22b b ⎡⎤-+⎣⎦,根据题意有222b b b -+=,解得1b =或2b =,因为1b >故2b =.故A 正确； 对B,因为函数()11f x x =+在区间(),0-∞与()0,+∞上均为减函数,故若()11f x x=+存在跟随区间[],a b 则有11+11+a b b a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,解得：1212a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 故存在, B 正确.对C, 若函数()f x m =[],a b ,因为()f x m =,故由跟随区间的定义可知b m a b a m ⎧=-⎪⇒-=⎨=⎪⎩a b < 即()()()11a b a b a b -=+-+=-,因为a b <,1=.易得01≤<.所以(1a m m =-=--,令t =20t t m --=,同理t =20t t m --=,即20t t m --=在区间[]0,1上有两根不相等的实数根.故1400m m +>⎧⎨-≥⎩,解得1,04m ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦,故C 正确.对D,若()212f x x x =-+存在“3倍跟随区间”,则可设定义域为[],a b ,值域为[]3,3a b .当1a b <≤时,易得()212f x x x =-+在区间上单调递增,此时易得,a b 为方程2132x x x -+=的两根,求解得0x =或4x =-.故存在定义域[]4,0-,使得值域为[]12,0-. 故D 正确. 故选：ABCD. 【点睛】本题主要考查了函数新定义的问题,需要根据题意结合函数的性质分析函数的单调性与取最大值时的自变量值,并根据函数的解析式列式求解.属于难题.2．已知函数ln ,0()1,0x x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩，若函数(())y f f x a =+有6个不同零点，则实数a的可能取值是（ ） A ．0 B ．12-C ．1-D ．13-【答案】BD 【分析】分别代入各个选项中a 的值，选解出(())0f f x a +=中的()f x ，然后再根据数形结合可得出答案. 【详解】画出函数,0,()1,0lnx x f x x x ⎧>=⎨+⎩的图象：函数(())y f f x a =+有零点，即方程(())0f f x a +=有根的问题． 对于A ：当0a =时，(())0f f x =，故()1f x =-，()1f x =，故0x =，2x =-，1=x e，x e =， 故方程(())0f f x a +=有4个不等实根； 对于B ：当12a =-时，1(())2f f x =，故1()2f x =-，()f x =()f x =，当1()2f x =-时，由图象可知，有1个根，当()f x =2个根， 当()f x=时，由图象可知，有3个根，故方程(())0f f x a +=有6个不等实根； 对于C ：当1a =-时，(())1f f x =， 故()0f x =，()f x e =，1()f x e=， 当()0f x =时，由图象可知，有2个根， 当()f x e =时，由图象可知，有2个根， 当1()f x e=时，由图象可知，有3个根， 故方程(())0f f x a +=有7个不等实根； 对于D ：当13a =-时，1(())3f f x =，故2()3f x =-，()f x =()f x ，当2()3f x =-时，由图象可知，有1个根，当()f x =2个根， 当()f x =时，由图象可知，有3个根，故方程(())0f f x a +=有6个不等实根； 故选：BD ． 【点睛】关键点睛：本题的关键一是将问题转化为方程问题，二是先解出()f x 的值，三是根据数形结合得到每一个新的方程的根.3．已知函数2ln(1),0()21,0x x f x x ax x +≥⎧=⎨-+<⎩，其中实数 a ∈R ，则下列关于 x 的方程f 2 (x ) − (1+a )⋅ f (x ) + a = 0的实数根的情况，说法正确的有（ ） A ．a 取任意实数时，方程最多有5个根 B ．当151522a --+<<时，方程有2个根 C ．当 15a --=时，方程有3个根 D ．当 a ≤ −4时，方程有4个根 【答案】CD 【分析】先化简方程为()1f x =或()f x a =，再对a 进行分类讨论，结合图象来确定()1f x =或()f x a =分别有几个根，根据结果逐一判断选项正误即可.【详解】解：关于x 的方程f 2 (x ) − (1+ a )⋅ f (x ) + a = 0，即[][]()1()0f x f x a --=，故()1f x =或()f x a =.函数2ln(1),0()21,0x x f x x ax x +≥⎧=⎨-+<⎩中，()0,()ln 1x f x x ≥=+单调递增，()2220,(2)11x a x f x a x x a -+=-<=+-，对称轴为x a =，判别式()()411a a ∆=+-.（1）当0a ≥时，函数()f x 图象如下：由图象可知，方程()1f x =有1个根，1a >时方程()f x a =有2个根，01a ≤≤时，方程()f x a =有1个根，故1a >时已知方程有3个根，01a ≤<时，已知方程有2个根，1a =时已知方程有1个根；（2）1a =-时，函数()f x 图象如下：10a -<<时，函数()f x 图象如下：由两个图象可知，10a -≤<时，方程()1f x =有2个根，方程()f x a =没有根，故已知方程有2个根；（3）1a <-时，函数()f x 图象如下：方程()1f x =有两个根.下面讨论最小值21a -与a 的关系，由21a a -<解得152a -<， 故当15a --<时，21a a -<，直线y a =如图①，方程()f x a =有2个根，故已知方程有4个根； 当15a --=21a a -=，直线y a =如图②，方程有()f x a =有1 个根，故已知方程有3个根；1a <<-时，21a a ->，直线y a =如图③，方程()f x a =没有根，故已知方程有2个根.综上可知，a 取任意实数时，方程最多有4个根，选项A1a <<时方程有2个根，1a =时已知方程有1个根，1a >时方程有3个根，故选项B 错误；当a =3个根，C 正确；当4a ≤-<时，方程有4个根，故D 正确. 故选：CD. 【点睛】 关键点点睛：本题的解题关键在于分类讨论确定二次函数的图象，以及其最低点处21a -与a 的关系，以确定方程()f x a =的根的情况，才能突破难点.4．对于函数()()13cos ,,22132,,22x x f x f x x π⎧⎡⎤∈-⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎛⎫⎪-∈+∞ ⎪⎪⎝⎭⎩，下面结论正确的是（ ）A ．任取121,,2x x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，都有()()122f x f x -≤恒成立 B ．对于一切1,2x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，都有()()()*22N k f x f x k k =+∈ C ．函数()1ln 2y f x x ⎛⎫=--⎪⎝⎭有3个零点 D ．对任意0x >，不等式()k f x x ≤恒成立，则实数k 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】ABC 【分析】先在坐标轴中画出()y f x =的图象,根据图象可判断A 选项,结合解析式可判断B 选项,再画出1ln()2y x =-与k y x=的图象,数形结合可判断C,D 选项.【详解】在坐标轴上作出函数()f x 的图象如下图所示:由图象可知()f x 的最大值为1,最小值为1-,故选项A 正确; 由题可知()()()1312,(,)(2),(,)22221f x f x x f x f x x =-∈+∞⇒+=∈-+∞, 所以*1(2)()()()2k f x k f x k N +=∈即()2(2)k f x f x k =+,故选项B 正确;作出1ln()2y x =-的图象，因为11ln(2)ln 2232-=<，由图象可知()y f x =与1ln()2y x =-有3个交点,故选项C 正确;结合图象可知,若对任意0x >,不等式()kf x x恒成立, 即2x n =时,不等式(2)2kf n n恒成立, 又11(2)()(0)()22nnf n f ==, 所以1()22n k n ,即22n nk 在*n N ∈时恒成立, 设2()2x x g x =,则2ln 4()2xxg x -⋅'=, 故[)2,x ∈+∞时,()0g x '<,函数()g x 在[)2,+∞上单调递减, 所以[)2,x ∈+∞时,max ()(2)1g x g ==,又(1)1g =,所以max 212n n ⎛⎫= ⎪⎝⎭,即1k ,故选项D 错误.故选:ABC. 【点睛】本题主要考查分段函数的周期性及数形结合法在处理函数问题中的应用,有一定难度.5．设函数cos2cos2()22x x f x -=-，则（ ） A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增B ．()f x 的值域为33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()f x 的一个周期为πD ．4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图像关于点,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称【答案】BC 【分析】根据余弦函数及指数函数的单调性，分析复合函数的单调区间及值域，根据周期定义检验所给周期，利用函数的对称性判断对称中心即可求解. 【详解】令cos2t x =，则12222ttt t y -=-=-，显然函数12222t t tty -=-=-为增函数， 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos2t x =为减函数， 根据复合函数单调性可知，()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减， 因为cos2[1,1]t x =∈-， 所以增函数12222ttt t y -=-=-在cos2[1,1]t x =∈-时，3322y -≤≤， 即()f x 的值域为33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； 因为cos2()cos2(cos2c )os222)(2()2x x x x x x f f πππ+-+-=-=+-=，所以()f x 的一个周期为π，因为sin 2sin 2224x x f x π-⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，令sin 2sin 22(2)xx h x --=， 设(,)P x y 为sin 2sin 22(2)xx h x --=上任意一点，则(,)2P x y π'--为(,)P x y 关于,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称的点， 而sin 2(sin 2())22sin 2sin 2()22222x x x x h y x y πππ-----=-==≠--，知点(,)2P x y π'--不在函数图象上，故()h x 的图象不关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称，即4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图像不关于点,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称.故选：BC 【点睛】本题主要考查了余弦函数的性质，指数函数的性质，复合函数的单调性，考查了函数的周期性，值域，对称中心，属于难题.6．已知21,1, ()ln,1,x xf xx x⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，则关于x的方程2[()]()210f x f x k-+-=，下列正确的是（）A．存在实数k，使得方程恰有1个不同的实数解；B．存在实数k，使得方程恰有2个不同的实数解；C．存在实数k，使得方程恰有3个不同的实数解；D．存在实数k，使得方程恰有6个不同的实数解；【答案】ACD【分析】令()0f x t=≥，根据判别式确定方程2210t t k-+-=根的个数，作出()f x的大致图象，根据根的取值，数形结合即可求解.【详解】令()0f x t=≥，则关于x的方程2[()]()210f x f x k-+-=，可得2210t t k-+-=，当58k=时，()14210k∆=--=，此时方程仅有一个根12t=；当58k<时，()14210k∆=-->，此时方程有两个根12,t t，且121t t+=，此时至少有一个正根；当58k>时，()14210k∆=--<，此时方程无根；作出()f x的大致图象，如下：当58k=时，此时12t=，由图可知()f x t=，有3个不同的交点，C正确；当58k <时，此时方程有两个根12,t t ，且121t t +=，此时至少有一个正根， 当()10,1t ∈、()20,1∈t ，且12t t ≠时，()f x t =，有6个不同的交点，D 正确； 当方程有两个根12,t t ，一个大于1，另一个小于0， 此时()f x t =，仅有1个交点，故A 正确；当方程有两个根12,t t ，一个等于1，另一个等于0，()f x t =，有3个不同的交点，当58k >时，()14210k ∆=--<，此时方程无根. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题考查了根的个数求参数的取值范围，解题的关键是利用换元法将方程化为2210t t k -+-=，根据方程根的分布求解，考查了数形结合的思想，分类讨论的思想.7．已知正数,,x y z ，满足3412x y z ==，则（ ） A ．634z x y << B ．121x y z+= C ．4x y z +> D ．24xy z <【答案】AC 【分析】令34121x y z m ===>，根据指对互化和换底公式得：111log 3log 4log 12m m m x y z===，，，再依次讨论各选项即可. 【详解】由题意，可令34121x y z m ===>，由指对互化得：111,,log 3log 4log 12m m m x y z ===， 由换底公式得：111log 3,log 4,log 12m m m x y z ===，则有111x y z+=，故选项B 错误； 对于选项A ，124log 12log 9log 03m m m z x -=-=>，所以2x z >，又4381log 81log 64log 064m m m x y -=-=>，所以43y x >，所以436y x z >>，故选项A 正确；对于选项C ､D ，因为111x y z +=，所以xyz x y=+，所以()()()()2222222440x y xy x y xy x y z xy x y x y -+--==-<++，所以24xy z >，则()24z x y z +>，则4x y z +>，所以选项C 正确，选项D 错误；故选：AC. 【点睛】本题考查指对数的运算，换底公式，作差法比较大小等，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于令34121x y z m ===>，进而得111,,log 3log 4log 12m m m x y z ===，再根据题意求解.8．函数()f x 的定义域为D ，若存在区间[],m n D ⊆使()f x 在区间[],m n 上的值域也是[],m n ，则称区间[],m n 为函数()f x 的“和谐区间”，则下列函数存在“和谐区间”的是（ ） A ．()f x =B ．()222f x x x =-+C ．()1f x x x=+D ．()1f x x=【答案】ABD 【分析】根据题意，可知若()f x 在区间[],m n 上的值域也是[],m n ，则()f x 存在“和谐区间”[],m n ，且m n <，则()()f m m f n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或()()f m nf n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，再对各个选项进行运算求解,m n ，即可判断该函数是否存在“和谐区间”.【详解】解：由题得，若()f x 在区间[],m n 上的值域也是[],m n ，则()f x 存在“和谐区间”[],m n ，可知，m n <，则()()f m m f n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或()()f m nf n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，A ：())0f x x =≥，若()()f m mf n n⎧==⎪⎨==⎪⎩，解得：01m n =⎧⎨=⎩，所以()f x =“和谐区间”[]0,1；B ：()()222f x x x x R =-+∈，若 ()()222222f m m m mf n n n n ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩，解得：12m n =⎧⎨=⎩，所以()222f x x x =-+存在“和谐区间” []1,2；C ：()()10f x x x x =+≠，若()()11f m m m mf n n n n ⎧=+=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩，得1010m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故无解；若()()11f m m nmf n n mn⎧=+=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩，即 21111m n m m m n n m n ⎧+=⎪⎪⎪=⎨+⎪⎪+=⎪⎩，化简得：2210(1)m m m m ++=+， 即210m m ++=，由于2141130∆=-⨯⨯=-<，故无解； 若()0112,m n f m m <<<∴=∴= 不成立 所以()1f x x x=+不存在“和谐区间”； D ：()()10f x x x =≠，函数在()()0+-0∞∞，，， 单调递减，则 ()()11f m n mf n mn ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩， 不妨令122m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 所以()1f x x =存在“和谐区间”1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 综上得：存在“和谐区间”的是ABD. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题以函数的新定义为载体，考查函数的定义域、值域以及零点等知识，解题的关键是理解“和谐区间”的定义，考查运算能力以及函数与方程的思想.二、导数及其应用多选题9．对于函数2ln ()xf x x=，下列说法正确的有（ ） A ．()f x在x =12eB ．()f x 有两个不同的零点 C．(2)f f f <<D ．若21()f x k x>-在(0,)+∞上有解，则2e k <【答案】ACD 【分析】利用导数求出函数的单调区间，进一步求出函数的极值可判断A ；利用函数的单调性和函数值的范围判断B ；利用函数的单调性比较出函数值的大小关系判断C ；利用不等式有解问题的应用判断D ． 【详解】函数2ln ()x f x x =，所以2431ln 212ln ()(0)x x xx x f x x x x⨯-⨯-'==>， 令()0f x '=，即2ln 1x =，解得x =当0x <<()0f x '>，故()f x在上为单调递增函数．当x >()0f x '<，故()f x在)+∞上为单调递减函数．所以()f x在x =12f e=，故A 正确；当0x <<()0f x '>，()f x在上为单调递增函数，因为()10f =，所以函数()f x在上有唯一零点，当x ≥2ln ()0xf x x=>恒成立，即函数()f x在)+∞上没有零点， 综上，()f x 有唯一零点，故B 错误．由于当x >()0f x '<，()f x在)+∞上为单调递减函数，因为2>>>(2)f f f <<，故C 正确；由于21()f x k x >-在(0,)+∞上有解，故221ln 1()x k f x x x +<+=有解，所以2ln 1()max x k x +<，设2ln 1()x g x x +=，则32ln 1()x g x x --'=，令()0g x '=，解得x =当x >()0f x '<，故()f x在)+∞上为单调递减函数．当0x <<时，()0f x '>，故()f x在上为单调递增函数．所以()22max e eg x g e ==-=． 故2ek <，故D 正确．故选：ACD ． 【点睛】方法点睛：本题通过对多个命题真假的判断，综合考查导数的应用，这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.10．若存在常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”．已知函数()22x f x =（x ∈R ），()12g x x =（0x <），()ln h x e x =，（e 为自然对数的底数），则（ ）A ．()()()m x f x g x =-在0x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递减 B ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为2- C ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是[]2,1-D ．()f x 和()g x 之间存在唯一的“隔离直线”，方程为2ey =-【答案】BD 【分析】对于A ：令()()()m x f x g x =-，利用导数可确定()m x 单调性，进而作出判断； 对于B 和C ：利用二次函数的性质以及不等式恒成立的知识求出b 、k 的范围，进而作出判断；对于选项D ：根据隔离直线过()f x 和()h x 的公共点，可假设隔离直线为2e y kx =-；可得到222x ekx ≥-，再利用恒成立得出k 的值，最后尝试利用导数证明()2eh x ≤-，进而作出判断. 【详解】对于A ，()()()2122x m x f x g x x =-=-， ()322121022x m x x x x+'∴=+=>， 当x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0m x '>，()m x ∴单调递增，故A 错误； 对于B ，C ，设()f x ，()g x 的隔离直线为y kx b =+，22x kx b ≥+对任意x ∈R 恒成立，即2220x kx b --≥对任意x ∈R 恒成立， 所以21480k b ∆=+≤，所以0b ≤，又12kx b x ≤+对任意(),0x ∈-∞恒成立，即22210kx bx +-≤对任意(),0x ∈-∞恒成立，因为0b ≤，所以0k ≤且21480b k ∆=+≤，所以22k b ≤-且22b k ≤-，4248k b b ≤≤-，解得20k -≤≤，同理20b -≤≤， 所以b 的最小值为2-，k 的取值范围是[]2,0-， 故B 正确，C 错误； 对于D ，函数()f x 和()h x的图象在x =∴若存在()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k，则隔离直线方程为(2ey k x -=，即2e y kx =-，则222x ekx ≥-（x ∈R），得2220x kx e -+≥对x ∈R 恒成立，则()24420k e ∆=-≤，解得k =，此时隔离直线方程为：2ey =-，下面证明()2e h x ≤-， 令()()ln 22e e G x h x e x =--=--（0x >），则()x G x x'=，当x =()0G x '=；当0x <<()0G x '<；当x >()0G x '>；∴当x =()G x 取到极小值，也是最小值，即()0min G x G==，()()02e G x h x ∴=--≥在()0,∞+上恒成立，即()2eh x ≤-，∴函数()f x 和()h x存在唯一的隔离直线2ey =-，D 正确. 故选：BD . 【点睛】关键点睛：本题考查导数中的新定义问题的求解；解题关键是能够充分理解“隔离直线”的定义，将问题转化为根据不等式恒成立求解参数范围或参数值、或不等式的证明问题，属于难题.。