2019-2020北京市西城区高一上学期期末考试数学试卷及答案

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2019北京市西城区高一（上）期末数学 2019.1 试卷满分：150分考试时间：120分钟A卷 [三角函数与平面向量] 本卷满分：100分（A）向右平移6个单位（B）向右平移3个单位（C）向左平移π6个单位（D）向左平移π3个单位11．若1cos2θ=−，且θ为第三象限的角，则tanθ=______．12．已知向量(1,2)=a．与向量a共线的一个非零向量的坐标可以是______．13．如果πtan()0(0)3x x +=>，那么x 的最小值是______．14．如图，已知正方形ABCD ．若AD AB AC λμ⎯⎯→⎯⎯→⎯⎯→=+，其中λ，μ∈R ，则λμ=______． 15．在直角坐标系xOy 中，已知点(3,3)A ，(5,1)B ，(2,1)P ，M 是坐标平面内的一点．① 若四边形APBM 是平行四边形，则点M 的坐标为______； ② 若2PA PB PM ⎯⎯→⎯⎯→⎯⎯→+=，则点M 的坐标为______．16．设函数π()sin()3f x x ω=+．若()f x 的图象关于直线6x π=对称，则ω的取值集合是_____.三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知(0,)2απ∈，且3sin 5α=．（Ⅰ）求πsin()4α−的值；（Ⅱ）求2πcos tan()24αα++的值．18．（本小题满分12分）函数()sin()f x A x ωϕ=+的部分图象如图所示，其中0,0,||πA ωϕ>><． （Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）求()f x 在区间[,]2ππ上的最大值和最小值；（Ⅲ）写出()f x 的单调递增区间．在直角坐标系xOy 中，已知点(1,0)A −，B ，(cos ,sin )C θθ，其中[0,]2θπ∈．（Ⅰ）求AC BC ⋅的最大值；（Ⅱ）是否存在[0,]2θπ∈，使得△ABC 为钝角三角形？若存在，求出θ的取值范围；若不存在，说明理由．B 卷 [学期综合]本卷满分：50分1．若集合{|03}A x x =<<，{|12}B x x =−<<，则A B =_____． 2．函数21()log f x x=的定义域为_____. 3．已知三个实数123a =，b =，3log 2c =．将,,a b c 按从小到大排列为_____．4．里氏震级M 的计算公式为：0lg lg M A A =−，其中00.005A =是标准地震的振幅，A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅．在一次地震中，测震仪记录的地震曲线的最大振幅是500，则此次地震的里氏震级为_____级；8级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的_____倍．5．已知函数21,2,(),3.x x x c f x x c x −⎧+−⎪=⎨<⎪⎩≤≤≤若0c =，则()f x 的值域是____；若()f x 的值 域是1[,2]4−，则实数c 的取值范围是_____．二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6．（本小题满分10分）已知函数2()1xf x x =−． （Ⅰ）证明：()f x 是奇函数；（Ⅱ）判断函数()f x 在区间(1,1)−上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明．已知函数2()f x ax x =+定义在区间[0,2]上，其中[2,0]a ∈−． （Ⅰ）若1a =−，求()f x 的最小值； （Ⅱ）求()f x 的最大值．8．（本小题满分10分）已知函数()f x 的定义域为D ．若对于任意12,x x D ∈，且12x x ≠，都有1212()()2()2x x f x f x f ++<，则称函数()f x 为“凸函数”．（Ⅰ）判断函数1()2f x x =与2()f x =（Ⅱ）若函数()2x f x a b =⋅+（,a b 为常数）是“凸函数”， 求a 的取值范围；（Ⅲ）写出一个定义在1(,)2+∞上的“凸函数”()f x ，满足0()f x x <<．（只需写出结论）数学试题答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1. D2. C3. B4. C5. B6. D7. D8. B9.A 10.A二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.(2,4)（答案不唯一） 13.2π314.1− 15.(6,3)；(4,2) 16.{|61,}k kωω=+∈Z 注：第15题每空2分.三、解答题：本大题共3小题，共36分.17.（本小题满分12分）（Ⅰ）解：因为π0,2α∈()，3sin5α=，所以cosα=……………………2分45=．……………………3分所以πsin()cos)42ααα−=−……………………5分=．……………………6分（Ⅱ）解：因为3sin5α=，4cos5α=，所以sintancosααα=……………………8分34=．……………………9分所以2π1cos1tancos tan()2421tanααααα++++=+−……………………11分7910=．……………………12分18. （本小题满分12分）（Ⅰ）解：由图象可知 3A =． ……………………1分因为 ()f x 的最小正周期为 66T 7ππ=−=π， 所以 2Tω2π==． ……………………3分 令 262ϕππ⨯+=， 解得 6ϕπ=，适合||ϕ<π． 所以 π()3sin(2)6f x x =+． ……………………5分（Ⅱ）解：因为[,]2x π∈π，所以π2[,]666x 7π13π+∈． ……………………6分 所以，当π13π266x +=，即πx =时，()f x 取得最大值32； ……………………8分 当π3π262x +=，即2π3x =时，()f x 取得最小值3−． ……………………10分 （Ⅲ）解：()f x 的单调递增区间为[,]36k k πππ−π+（k ∈Z ）． ……………………12分19.（本小题满分12分）（Ⅰ）解：(cos 1,sin )AC θθ=+，(cos ,sin BC θθ=−． ……………………2分所以 (cos 1)cos sin (sin AC BC θθθθ⋅=+⋅+⋅ ……………………3分cos 1θθ=−+π2cos()13θ=++． ……………………4分因为 [0,]2θπ∈，所以 π[,]336θπ5π+∈． ……………………5分所以 当ππ33θ+=，即0θ=时，AC BC ⋅取得最大值2． ……………………6分（Ⅱ）解：因为||2AB =，||AC =，||BC =又 [0,]2θπ∈，所以 sin [0,1]θ∈，cos [0,1]θ∈，所以 ||2AC ≤，||2BC ≤．所以 若△ABC 为钝角三角形，则角C 是钝角，从而0CA CB ⋅<．………………8分由（Ⅰ）得π2cos()103θ++<，解得π1cos()32θ+<−． ……………………9分所以 π(,]336θ2π5π+∈， 即(,]32θππ∈． ……………………11分 反之，当(,]32θππ∈时，0CA CB ⋅<，又 ,,A B C 三点不共线，所以 △ABC 为钝角三角形．综上，当且仅当(,]32θππ∈时，△ABC 为钝角三角形． ……………………12分B 卷 [学期综合] 满分50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.1.{|13}x x −<<2.{|01x x <<，或1}x >3.c b a <<4.5；10005.1[,)4−+∞；1[,1]2注：第4题、第5题每空2分. 二、解答题：本大题共3小题，共30分. 6.（本小题满分10分）（Ⅰ）解：函数()f x 的定义域为{|1}D x x =≠±. ……………………1分对于任意x D ∈，因为 2()()()1xf x f x x −−==−−−， ……………………3分所以 ()f x 是奇函数． ……………………4分 （Ⅱ）解：函数2()1xf x x =−在区间(1,1)−上是减函数． ……………………5分 证明：在(1,1)−上任取1x ，2x ，且 12x x <， ……………………6分则 1212211222221212(1)()()()11(1)(1)x x x x x x f x f x x x x x +−−=−=−−−−． ……………………8分 由 1211x x −<<<，得 1210x x +>，210x x −>，2110x −<，2210x −<，所以 12()()0f x f x −>，即 12()()f x f x >. 所以 函数2()1xf x x =−在区间(1,1)−上是减函数. ……………………10分 7.（本小题满分10分）（Ⅰ）解：当1a =−时， 2211()()24f x x x x =−+=−−+． ……………………2分所以 ()f x 在区间1(0,)2上单调递增，在1(,2)2上()f x 单调递减．因为 (0)0f =，(2)2f =−，所以 ()f x 的最小值为2−． ……………………4分 （Ⅱ）解：① 当0a =时，()f x x =． 所以 ()f x 在区间[0,2]上单调递增，所以 ()f x 的最大值为(2)2f =． ……………………5分当20a −<≤时，函数2()f x ax x =+图像的对称轴方程是12x a=−. ………6分 ② 当1022a <−≤，即124a −−≤≤时，()f x 的最大值为11()24f a a−=−. ………8分 ③ 当104a −<<时，()f x 在区间[0,2]上单调递增，所以 ()f x 的最大值为(2)42f a =+． ……………………9分综上，当124a −−≤≤时，()f x 的最大值为11()24f a a−=−；当104a −<≤时，()f x 的最大值为42a +． ……………………10分8.（本小题满分10分）（Ⅰ）解：对于函数1()2f x x =，其定义域为R ．取120,1x x ==，有12()()(0)(1)2f x f x f f +=+=，1212()2()222x x f f +==，所以 1212()()2()2x x f x f x f ++=， 所以 1()2f x x =不是“凸函数”．…………2分对于函数 2()f x =[0,)+∞． 对于任意12,[0,)x x ∈+∞，且12x x ≠，由222221212[()()][2()]02x x f x f x f ++−=−=−<， 所以 221212[()()][2()]2x x f x f x f ++<． 因为 12()()0f x f x +>，122()02x x f +>，所以 1212()()2()2x x f x f x f ++<， 所以 2()f x =4分 （Ⅱ）解：函数()2x f x a b =⋅+的定义域为R ． 对于任意12,x x ∈R ，且12x x ≠， 1212()()2()2x x f x f x f ++− 12122(2)(2)2(2)x x x x a b a b a b +=⋅++⋅+−⋅+ ……………………5分12122(2222)x x x x a +=+−⨯12222(22)x x a =−． (7)分依题意，有12222(22)0x x a −<．因为 12222(22)0x x −>，所以 0a <． ……………………8分（Ⅲ）1()()2f x x >．（注：答案不唯一）……………………10分word 下载地址。

北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷 高一数学 第1页（共11页）北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷高一数学 2020.1本试卷共5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分（选择题 共50分）一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{|2,}A x x k k ==∈Z ，{|33}B x x =-<<，那么A B =I （ ） （A ）{1,1}- （B ）{2,0}- （C ）{2,0,2}-（D ）{2,1,0,1}--（2）方程组220,2x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是（ ）（A ）{(1,1),(1,1)}-- （B ）{(1,1),(1,1)}-- （C ）{(2,2),(2,2)}-- （D ）{(2,2),(2,2)}-- （3）函数11y x =+-的定义域是（ ） （A ）[0,1) （B ）(1,)+∞ （C ）(0,1)(1,)+∞U（D ）[0,1)(1,)+∞U（4）下列四个函数中，在(0,)+∞上单调递减的是（ ） （A ）1y x =+（B ）21y x =-（C ）2x y =（D ）12log y x =（5）设2log 0.4a =，20.4b =，0.42c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） （A ）a b c << （B ）a c b <<（C ）b a c <<（D ）b c a <<（6）若0a b >>，0c d <<，则一定有（ ） （A ）ac bd < （B ）ac bd >（C ）ad bc <（D ）ad bc >北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷 高一数学 第2页（共11页）（7）设,a b ∈∈R R ．则“a b >”是“||||a b >”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）某种药物的含量在病人血液中以每小时20%的比例递减．现医生为某病人注射了 2000mg 该药物，那么x 小时后病人血液中这种药物的含量为（ ） （A ）2000(10.2)mg x - （B ）2000(10.2)mg x - （C ）2000(10.2)mg x - （D ）20000.2mg x ⋅（9）如图，向量a b -等于（ ）（A ）123e e - （B ）123e e - （C ）123e e -+ （D ）123e e -+（10）某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y ，观影人数记为 x ，其函数图像如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y 与x 的函数图像．给出下列四种说法：① 图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本； ② 图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本； ③ 图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变； ④ 图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本． 其中，正确的说法是（ ） （A ）①③ （B ）①④（C ）②③（D ）②④北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷 高一数学 第3页（共11页）第二部分（非选择题 共100分）二、填空题共6小题，每小题4分，共24分。

北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷高三数学参考答案 2020.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．D 3．D 4．C 5．A 6．A 7．B 8．D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．10 101311．3 12．313．答案不唯一，如2211648x y -=14．1232；5注：第14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为31()2cos cos )2f x x x x =⋅-……………… 2分23sin cos cos x x x=-3112cos222x x --……………… 5分π1sin(2)62x =--， ……………… 7分所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==. ……………… 8分（Ⅱ）因为π02x -≤≤，所以7πππ2666x ---≤≤． ……………… 9分所以当ππ262x -=-，即π6x =-时，()f x 取得最小值32-. ……………… 11分 当π7π266x -=-，即π2x =-时，()f x 取得最大值0． ……………… 13分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设事件：“在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人”为M，………………1分由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42，………………2分所以在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人的概率193929 ()10050 P M+==. ………………3分（Ⅱ）由题意，X的所有可能取值为：0，1，2.……………… 4分因为在2018年从A市到B市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取1人次，此人为老年人概率是151755=，……………… 5分所以022116(0)C(1)525P X==⨯-=，……………… 6分12118(1)C(1)5525P X==⨯⨯-=，……………… 7分22211(2)C()525P X==⨯=. ……………… 8分所以随机变量X的分布列为：X012P1625825125……………… 9分故16812()0122525255E X=⨯+⨯+⨯=. ……………… 10分（Ⅲ）答案不唯一，言之有理即可.如可以从满意度的均值来分析问题，参考答案如下：由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为：521012511011652121115⨯+⨯+⨯=++，乘坐飞机的人满意度均值为：410145702241475⨯+⨯+⨯=++，……………… 12分因为11622 155>，所以建议甲乘坐高铁从A市到B市. …………… 13分17．（本小题满分14分）B 1CD B AA 1C 1E解：（Ⅰ）由题意，三棱柱111ABC A B C -为正三棱柱. 连接1A C . 设11A C AC E =I ，则E 是1A C 的中点. 连接DE . 由D ，E 分别为BC 和1A C 的中点，得1//DE A B . ……………… 2分又因为DE ⊂平面1AC D ，1A B ⊄平面1AC D ，所以1//A B 平面1AC D . ……………… 4分 （Ⅱ）取11B C 的中点F ，连接DF .因为△ABC 为正三角形，且D 为BC 中点， 所以AD BC ⊥.由D ，F 分别为BC 和11B C 的中点，得1//DF BB ，又因为1BB ⊥平面ABC ， 所以DF ⊥平面ABC ， 所以DF AD ⊥，DF BC ⊥.分别以DC ，DF ，DA 为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系，… 5分 则3)A ，1(1,2,0)C ，(1,0,0)C ，(0,0,0)D ，(1,0,0)B -，所以1(1,2,0)DC =u u u u r ，3)DA =u u u r ，(3)CA =-u u u r ，1(0,2,0)CC =u u u u r， …… 6分设平面1AC D 的法向量1111(,,)x y z =n ， 由10DA ⋅=u u u r n ，110DC ⋅=u u u u r n ，得11130,20,z x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩令11y =，得1(2,1,0)=-n . ……………… 8分 设平面1AC C 的法向量2222(,,)x y z =n ， 由20CA ⋅=u u u r n ，120CC ⋅=u u u u r n ，得22230,20,x z y ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩令21z =，得2(3,0,1)=n . ……………… 9分B 1CD BAA 1C 1zyxF设二面角1C AC D --的平面角为θ，则 121215|cos |||||||θ⋅==⋅n n n n ， 由图可得二面角1C AC D --为锐二面角， 所以二面角1C AC D --15. ……………… 10分 （Ⅲ）结论：直线11A B 与平面1AC D 相交. ……………… 11分 证明：因为(1,0,3)AB =-u u u r，11//A B AB ，且11=A B AB ，所以11(1,0,3)A B =-u u u u r. ……………… 12分 又因为平面1AC D 的法向量1(2,1,0)=-n ，且11120A B ⋅=≠u u u u rn ，所以11A B u u u u r 与1n 不垂直，所以11A B ⊄平面1AC D ，且11A B 与平面1AC D 不平行，故直线11A B 与平面1AC D 相交. ……………… 14分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意，得(3,0)F ，直线(3)l y k x =：（0k ≠）， ……………… 2分 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立22(3),1,4y k x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得2222(41)83(124)0k x k x k +-+-=，…… 3分显然0∆>，21283k x x += ……………… 4分则点M 的横坐标212432M x x k x +==， ……………… 5分 因为2430M k x =>， 所以点M 在y 轴的右侧. ……………… 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得点M 的纵坐标23(3)41M M ky k x k -==+. ……………… 7分即2433(k kM .所以线段AB 的垂直平分线方程为：23143()k k y x k +=-. ……… 8分 令0x =，得233(0,)41k D k +；令0y =，得2233(,0)41k C k +. ……………… 9分 所以△ODC 的面积22221333327||22(41)ODCk k k k S k ∆⋅=⋅⋅+， ……… 10分△CMF 的面积222213333(1)|||3|22(41)CMFk k k k S k ∆+⋅=⋅⋅=+. …… 11分 因为△ODC 与△CMF 的面积相等，所以22222227||3(1)||2(41)2(41)k k k k k k ⋅+⋅=++，解得24k =±.所以当△ODC 与△CMF 的面积相等时，直线l 的斜率24k =±. ……… 13分19．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由21()e 2x f x x =+，得()e x f x x '=+, ……………… 2分 所以(0)1f =，(0)1f '=.所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为10x y -+=. …………… 4分 （Ⅱ）由21()e 2x f x x x =-+，得()e 1x f x x '=-+， 则(0)0f '=. … …………… 5分 当0x >时，由e 10,0x x ->>，得()e 10x f x x '=-+>，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； ……………… 7分 当0x <时，由e 10,0x x -<<，得()e 10x f x x '=-+<， 所以函数()f x 在(,0)-∞上单调递减.综上，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞. … 8分（Ⅲ）由21()2f x x x b ++≥，得e (1)0x a x b -+-≥在x ∈R 上恒成立.设()e (1)x g x a x b =-+-， ……………… 9分 则()e (1)x g x a '=-+.由()e (1)0xg x a '=-+=，得ln(1)x a =+，（1a >-）. ……………… 10分随着x 变化，()g x '与()g x 的变化情况如下表所示：x (,ln(1))a -∞+ ln(1)a + (ln(1),)a ++∞()g x '-0 +()g x↘极小值↗所以()g x 在(,ln(1))a -∞+上单调递减，在(ln(1),)a ++∞上单调递增. 所以函数()g x 的最小值为(ln(1))(1)(1)ln(1)g a a a a b +=+-++-.由题意，得(ln(1))0g a +≥，即 1(1)ln(1)b a a a --++≤. …………… 12分 设()1ln (0)h x x x x =->，则()ln 1h x x '=--.因为当10e x <<时，ln 10x -->； 当1e x >时，ln 10x --<， 所以()h x 在1(0,)e 上单调递增，在1(,)e +∞上单调递减.所以当1e x =时，max 11()()1e eh x h ==+. 所以当11e a +=，1(1)ln(1)b a a a =+-++，即11e a =-，2eb =时，b a -有最大值为11e+. …………… 14分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）答案不唯一. 如{1,2,3,,100}A =L ；……………… 3分（Ⅱ）假设存在一个0{101,102,,200}x ∈L 使得0x A ∈, ……………… 4分 令0100x s =+，其中s ∈N 且100s ≤≤1，由题意，得100s a a A +∈， ……………… 6分由s a 为正整数，得100100s a a a +>，这与100a 为集合A 中的最大元素矛盾， 所以任意{101,102,,200}x ∈L ，x A ∉. ……………… 8分 （Ⅲ）设集合{201,202,,205}A I L 中有(15)m m ≤≤个元素，100m a b -=， 由题意，得12100200m a a a -<<<L ≤，10011002100200m m a a a -+-+<<<<L ， 由（Ⅱ），得100100m a b -=≤. 假设100b m >-，则1000b m -+>. 因为10010010055100b m m -+-+=<-≤， 由题设条件，得100100m b m a a A --++∈，因为100100100100200m b m a a --+++=≤， 所以由（Ⅱ）可得100100100m b m a a --++≤， 这与100m a -为A 中不超过100的最大元素矛盾，所以100100m a m --≤， 又因为121001m a a a -<<<L ≤，i a ∈N ，所以(1100)i a i i m =-≤≤. ……………… 10分任给集合{201,202,203,204}的1m -元子集B ，令0{1,2,,100}{205}A m B =-L U U ， 以下证明集合0A 符合题意：对于任意,i j 00)(1i j ≤≤≤1，则200i j +≤.若0i j A +∈，则有m i j +≤100-，所以i a i =，j a j =，从而0i j a a i j A +=+∈.故集合0A 符合题意，……………… 12分所以满足条件的集合A 的个数与集合{201,202,203,204}的子集个数相同， 故满足条件的集合A 有4216=个. ……………… 13分。

北京市西城区2019年数学高一上学期期末试卷一、选择题1．已知集合()22{|log 815}A x y x x ==-+，{|1}B x a x a =<<+，若A B ⋂=，则a 的取值范围是( ) A ．(],3-∞B ．(],4-∞C ．()3,4D ．[]3,42．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为,BC CD 的中点，则异面直线AF 和1D E 所成角的大小为（ ）A.30B.45C.60D.903．函数()2cos sin f x x x =+在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是（ ）A ．12B ．12+-C ．-1D ．124．在直角梯形ABCD 中，AB AD DC AB AD DC 2AB 4⊥===，，，，E F 、分别为AB BC 、的中点，以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 的中点为P （如图所示）．若AP AF ED λμ=+，其中，λμR ∈、，则λμ-的值是（ ）A ．4B ．4CD ．345．函数的大致图象是A. B. C. D.6．设函数()(),f x g x 的定义域为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论中正确的是 A ．()()f x g x 是偶函数B ．()()f x g x 是奇函数C ．()()f x g x 是奇函数D ．()()f x g x 是奇函数7．不等式250ax x c ++>的解集为11|32x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭,则,a c 的值为( ) A ．6,1a c == B ．6,1a c =-=- C ．1,1a c ==D ．1,6a c =-=-8．已知：()sin cos f x a x b x =+，()2sin()13g x x πω=++，若函数()f x 和()g x 有完全相同的对称轴，则不等式()2g x >的解集是 A ．(,)()62k k k z ππππ-+∈ B ．(2,2)()62k k k z ππππ-+∈C ．(2,2)()6k k k z πππ+∈ D ．(,)()6k k k z πππ+∈9．如图，在ABC △中，AD AB ⊥，3BC BD =，||1AD =，则AC AD ⋅=（ ）A.10．函数()f x 是周期为4的偶函数,当[]0,2x ∈时，()1f x x =-,则不等式()0xf x >在[]1,3-上的解集是 ( ) A ．()1,3B ．()1,1-C ．()()1,01,3- D ．()()1,00,1-U11．将函数y=sinx 图象上所有的点向左平移3π个单位长度，再将图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图象的函数解析式为（ ） A ．sin 23x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．sin 26x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C ．sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭12．，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ） ①若，，则； ②若，，则； ③若，，，则④若，，，则.A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④二、填空题13．函数2()log [sin(2)]4f x x π=++__________．14．已知幂函数在上是减函数，则实数的值为__________．15．如图，ABC ∆是等腰直角三角形，AB AC ==,D E 是线段BC 上的动点，且13DE BC =，则AD AE 的取值范围是_____.16．某公司租地建仓库，每月土地占用费1y （万元）与仓库到车站的距离（公里）成反比.而每月库存货物的运费2y （万元）与仓库到车站的距离（公里）成正比.如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用1y 和2y 分别为2万元和8万元，由于地理位置原因.仓库距离车站不超过4公里.那么要使这两项费用之和最小，最少的费用为_____万元. 三、解答题17．已知一个口袋有3个白球，1个黑球，这些球除颜色外全部相同，现将口袋中的球随机逐个取出，并依次放入编号为1，2，3，4的抽屉内. （1）求编号为2的抽屉内放黑球的概率；（2）口袋中的球放入抽屉后，随机取出两个抽屉中的球，求取出的两个球是一黑一白的概率. 18．张先生和妻子李女士二人准备将家庭财产100万元全部投资兴办甲、乙两家微型企业，计划给每家微型企业投资50万元，张先生和妻子李女士分别担任甲、乙微型企业的法人根据该地区以往的大数据统计，在10000家微型企业中，若干年后，盈利的有5000家，盈利的有2x 家，持平的有2x 家，亏损的有x 家．求x 的值，并用样本估计总体的原理计算：若干年后甲微型企业至少盈利的可能性用百分数示；张先生加强了对企业的管理，预计若干年后甲企业一定会盈利，李女士由于操持家务，预计若干年后盈利情况与该地区以往的大数据统计吻合求若干年后李女士拥有的家庭财产数量的期望值婚姻期间财产各占一半．19．已知,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边． (1)若ABC ∆的面积，求,a b 的值；(2)若，且，试判断ABC ∆的形状．20．如图，四棱锥S ＝ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD,SD ＝AD ＝a,点E 是SD 上的点，且DE ＝a(0<≦1).(Ⅰ)求证：对任意的（0、1），都有AC ⊥BE:(Ⅱ)若二面角C-AE-D 的大小为600C ，求的值。

北京市西城区2019-2020学年上学期期末考试高一数学试题试卷满分：150分考试时间：120分钟A卷 [必修模块4] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求-2的值可以是（的二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.11. sin45π= _____.12. 如图所示，D为ABC△中BC边的中点，设AB=a，AC=b，则BD=_____.（用a，b表示）13. 角α终边上一点的坐标为(1,2)，则tan2α=_____.14. 设向量(0,2),a b==，则,a b的夹角等于_____.15. 已知(0,)α∈π，且cos sin8απ=-，则α=_____.16. 已知函数()sinf x xω=（其中0ω>）图象过(,1)π-点，且在区间(0,)3π上单调递增，则ω的值为_______.三、解答题：本大题共3小题，共36分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知2απ∈π(,)，且3sin5α=.（Ⅰ）求tan()4απ-的值；（Ⅱ）求sin2cos1cos2ααα-+的值．AB CD18．（本小题满分12分）如图所示，C B ，两点是函数()sin(2)3f x A x π=+（0>A ）图象上相邻的两个最高点，D 点为函数)(x f 图象与x 轴的一个交点.（Ⅰ）若2=A ，求)(x f 在区间[0,]2π上的值域； （Ⅱ）若CD BD ⊥，求A 的值．19．（本小题满分12分）如图，在ABC △中，1AB AC ==，120BAC ∠=. （Ⅰ）求AB BC ⋅的值；（Ⅱ）设点P 在以A 为圆心，AB 为半径的圆弧BC 上运动，且AP xAB y AC =+，其中,x y ∈R . 求xy 的最大值.B 卷 [学期综合] 本卷满分：50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 把答案填在题中横线上. 1．设U =R ，{|0}A x x =>，{|1}B x x =>，则U A B =ð_____．2．2log =_____，31log 23+=_____．3．已知函数()f x =1,2,1.x x x x ⎧-⎪⎨⎪<⎩≥1,且()(2)0f a f +=，则实数a = _____．4．已知函数)(x f 是定义在R 上的减函数，如果()(1)f a f x >+在[1,2]x ∈上恒成立，那么实数a 的取值范围是_____．ABCP5． 通过实验数据可知，某液体的蒸发速度y (单位：升/小时)与液体所处环境的温度x (单位：℃)近似地满足函数关系ekx by +=（e 为自然对数的底数，,k b 为常数). 若该液体在0℃的蒸发速度是0.1升/小时，在30℃的蒸发速度为0.8升/小时，则该液体在20℃的蒸发速度为_____升/小时． 二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6．（本小题满分10分）已知函数26()1xf x x =+. （Ⅰ）判断函数)(x f 的奇偶性，并证明你的结论； （Ⅱ）求满足不等式(2)2xxf >的实数x 的取值范围． 7．（本小题满分10分）设a 为实数，函数2()2f x x ax =-．（Ⅰ）当1a =时，求()f x 在区间[0,2]上的值域；（Ⅱ）设函数()()g x f x =，()t a 为()g x 在区间[0,2]上的最大值，求()t a 的最小值. 8．（本小题满分10分）设函数()f x 定义域为[0,1]，若()f x 在*[0,]x 上单调递增，在*[,1]x 上单调递减，则称*x 为函数()f x 的峰点，()f x 为含峰函数．（特别地，若()f x 在[0,1]上单调递增或递减，则峰点为1或0）对于不易直接求出峰点*x 的含峰函数，可通过做试验的方法给出*x 的近似值. 试验原理为：“对任意的1x ，2(0,1)x ∈，12x x <，若)()(21x f x f ≥，则),0(2x 为含峰区间，此时称1x 为近似峰点；若12()()f x f x <，则)1,(1x 为含峰区间，此时称2x 为近似峰点”．我们把近似峰点与*x 之间可能出现．．．．的最大距离称为试验的“预计误差”，记为d ，其值为=d }}1,m ax {},,m ax {m ax {212121x x x x x x ---（其中},max{y x 表示y x ,中较大的数）． （Ⅰ）若411=x ，212=x ．求此试验的预计误差d ．（Ⅱ）如何选取1x 、2x ，才能使这个试验方案的预计误差达到最小？并证明你的结论（只证明1x 的取值即可）．（Ⅲ）选取1x ，2(0,1)x ∈，12x x <，可以确定含峰区间为2(0,)x 或1(,1)x . 在所得的含峰区间内选取3x ，由3x 与1x 或3x 与2x 类似地可以进一步得到一个新的预计误差d '．分别求出当411=x 和125x =时预计误差d '的最小值．（本问只写结果，不必证明）北京市西城区2019-2020学年上学期期末考试高一数学试题参考答案试卷满分：150分考试时间：120分钟A卷 [必修模块4] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求【知识点】三角函数应用【试题解析】因为，是第二或三象限角，或终边在x轴负半轴，又，是第一或三象限角，所以，是第三象限的角，故答案为：C【答案】C【试题解析】因为，故答案为：B【答案】B【试题解析】因为向量共线，所以，得，故答案为：B【答案】B【知识点】三角函数的图像与性质【试题解析】因为在是减函数，在先增后减，在是减函数，在是增函数，故答案为：C【答案】C【试题解析】因为所以，是最小正周期为的奇函数故答案为：D【答案】D【试题解析】因为所以，可以将函数的图象向右平移个单位长度故答案为：D【答案】D的值可以是（【知识点】三角函数的图像与性质【试题解析】因为直线是函数图象的一条对称轴，所以，，由选项可知a只能是。

北京市西城区2019-2020学年度第一学期期末检测试卷九年级数学一、选择题（本题共16分，每小题2分）1. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，如果AC =3，AB =5，那么sin B 等于（ ）．A .35 B . 45 C . 34 D . 432.点1(1,)A y ，2(3,)B y 是反比例函数6y x =-图象上的两点，那么1y ，2y 的大小关系是（）．A .12y y >B .12y y =C .12y y <D .不能确定3.抛物线2(4)5y x =--的顶点坐标和开口方向分别是（ ）.A .(4,5)-，开口向上B .(4,5)-，开口向下C .(4,5)--，开口向上D .(4,5)--，开口向下4.圆心角为60︒，且半径为12的扇形的面积等于（ ）.A .48πB .24πC .4πD .2π5.如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，如果∠ACD =34°，那么∠BAD等于（ ）．A ．34°B ．46°C ．56°D ．66°6.如果函数24y x x m =+-的图象与x 轴有公共点，那么m 的取值范围是（ ）.A .m ≤4B .<4mC . m ≥4-D .>4m -7.如图，点P 在△ABC 的边AC 上，如果添加一个条件后可以得到△ABP ∽△ACB ，那么以下添加的条件中，不．正确的是（ ）．A ．∠ABP =∠CB ．∠APB =∠ABCC ．2AB AP AC =⋅D ．AB ACBP CB =8.如图，抛物线32++=bx ax y (a ≠0)的对称轴为直线1x =，如果关于x 的方程082=-+bx ax (a ≠0)的一个根为4，那么该方程的另一个根为（ ）．A ．4-B ．2-C ．1D ． 3二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 抛物线23y x =+与y 轴的交点坐标为 .10. 如图，在△ABC 中，D ，E 两点分别在AB ，AC 边上，DE ∥BC ，如果23=DB AD ，AC =10，那么EC = .11. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，第一象限内的点(,)P x y与点(2,2)A 在同一个反比例函数的图象上，PC ⊥y 轴于点C ，PD ⊥x 轴于点D ，那么矩形ODPC 的面积等于 .12.如图，直线1y kx n =+(k ≠0)与抛物22y ax bx c =++(a ≠0)分别交于(1,0)A -，(2,3)B -两点，那么当12y y >时，x 的取值范围是 .13. 如图，⊙O 的半径等于4，如果弦AB 所对的圆心角等于120︒，那么圆心O 到弦AB 的距离等于 .14.2017年9月热播的专题片《辉煌中国——圆梦工程》展示的中国桥、中国路等超级工程展现了中国现代化进程中的伟大成就，大家纷纷点赞“厉害了，我的国！”片中提到我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏通长江大桥（如图1所示）主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列.在图2的主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨BD 的中点为E ，最长的斜拉索CE 长577 m ，记CE 与大桥主梁所夹的锐角CED ∠为α，那么用CE 的长和α的三角函数表示主跨BD 长的表达式应为BD = (m) .15.如图，抛物线2 (0)y ax bx c a =++≠与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，其中点B 的坐标为(4,0)B ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，CE ∥AB ，并与抛物线的对称轴交于点E .现有下列结论：①0a >；②0b >；③420a b c ++<；④4AD CE +=.其中所有正确结论的序号是 .16. 如图，⊙O 的半径为3，A ，P 两点在⊙O 上，点B 在⊙O 内，4tan 3APB ∠=，AB AP ⊥.如果OB ⊥OP ，那么OB 的长为 .三、解答题（本题共68分，第17－20题每小题5分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题7分）17．计算：22sin30cos 45tan60︒+︒-︒．18．如图，AB ∥CD ，AC 与BD 的交点为E ，∠ABE=∠ACB ．（1）求证：△ABE ∽△ACB ；（2）如果AB=6，AE=4，求AC ，CD 的长．19．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线1C ：22y x x =-+．（1）补全表格：抛物线 顶点坐标 与x 轴交点坐标 与y 轴交点坐标 22y x x =-+ (1,1) (0,0)（2）将抛物线1C 向上平移3个单位得到抛物线2C ，请画出抛物线1C ，2C ，并直接回答：抛物线2C 与x 轴的两交点之间的距离是抛物线1C 与x 轴的两交点之间距离的多少倍．20．在△ABC 中，AB=AC=2，45BAC ∠=︒．将△ABC 绕点A 逆时针旋转α度（0<α<180）得到△ADE ，B ，C 两点的对应点分别为点D ，E ，BD ，CE 所在直线交于点F ．（1）当△ABC 旋转到图1位置时，∠CAD = （用α的代数式表示），BFC ∠的 度数为 ︒；（2）当α=45时，在图2中画出△ADE ，并求此时点A 到直线BE的距离．21．运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高图1 图2度h （m ）与它的飞行时间t （s ）满足二次函数关系，t 与h 的几组对应值如下表所示．t （s ）0 0.5 1 1.5 2 … h （m ）0 8.75 15 18.75 20 … （1）求h 与t 之间的函数关系式（不要求写t 的取值范围）；（2）求小球飞行3 s 时的高度；（3）问：小球的飞行高度能否达到22 m ？请说明理由．22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，双曲线k y x=（k ≠0）与直线12y x =的交点为(,1)A a -，(2,)B b 两点，双曲线上一点P 的横坐标为1，直线P A ，PB 与x 轴的交点分别为点M ，N ，连接AN ．（1）直接写出a ，k 的值；（2）求证：PM=PN ，PM PN ⊥．23．如图，线段BC 长为13，以C 为顶点，CB 为一边的α∠满足5cos 13α=．锐角△ABC 的顶点A 落在α∠的另一边l 上，且 满足4sin 5A =．求△ABC 的高BD 及AB 边的长，并结合你的 计算过程画出高BD 及AB 边．（图中提供的单位长度供补全图形使用）24．如图，AB 是半圆的直径，过圆心O 作AB 的垂线，与弦AC 的延长线交于点D ，点E 在OD 上，=DCE B ∠∠．（1）求证：CE 是半圆的切线；（2）若CD=10，2tan 3B =，求半圆的半径． 25．已知抛物线G ：221y x ax a =-+-（a 为常数）．（1）当3a =时，用配方法求抛物线G 的顶点坐标；（2）若记抛物线G 的顶点坐标为(,)P p q ．①分别用含a 的代数式表示p ，q ；②请在①的基础上继续用含p 的代数式表示q ；③由①②可得，顶点P 的位置会随着a 的取值变化而变化，但点P 总落在 的图象上．A ．一次函数B ．反比例函数C ．二次函数（3）小明想进一步对（2）中的问题进行如下改编：将（2）中的抛物线G 改为抛物线H ：22y x ax N =-+（a 为常数），其中N 为含a 的代数式，从而使这个新抛物线H 满足：无论a 取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上．请按照小明的改编思路，写出一个符合以上要求的新抛物线H 的函数表达式：（用含a 的代数式表示），它的顶点所在的一次函数图象的表达式y kx b=+（k ，b 为常数，k ≠0）中，k= ，b= ．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线M ：2(0)y ax bx c a =++≠经过(1,0)A -，且顶点坐标为(0,1)B ．（1）求抛物线M 的函数表达式；（2）设(,0)F t 为x 轴正半轴．．．上一点，将抛物线M 绕点F 旋转180°得到抛物线1M ． ①抛物线1M 的顶点1B 的坐标为 ；②当抛物线1M 与线段AB 有公共点时，结合函数的图象，求t 的取值范围．27．如图1，在Rt △AOB 中，∠AOB =90°，∠OAB =30°，点C 在线段OB 上，OC =2BC ，AO 边上的一点D 满足∠OCD =30°．将△OCD 绕点O 逆时针旋转α度（90°<α<180°）得到△OC D ''，C ，D 两点的对应点分别为点C '，D '，连接AC '，BD '，取AC '的中点M ，连接OM ．（1）如图2，当C D ''∥AB 时，α= °，此时OM 和BD '之间的位置关系为 ；（2）画图探究线段OM 和BD '之间的位置关系和数量关系，并加以证明．28．在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 两点的坐标分别为(2,2)A ，(2,2)B -．对于给定的线段AB 及点P ，Q ，给出如下定义：若点Q 关于AB 所在直线的对称点Q '落在△ABP 的内部（不含边界），则称点Q 是点P 关于线段AB 的内称点．（1）已知点(4,1)P -．①在1(1,1)Q -，2(1,1)Q 两点中，是点P 关于线段AB 的内称点的是____________；②若点M 在直线1y x =-上，且点M 是点P 关于线段AB 的内称点，求点M 的横坐标M x 的取值范围；（2）已知点(3,3)C ，⊙C 的半径为r ，点(4,0)D ，若点E 是点D 关于线段AB 的内称点，且满足直线DE 与⊙C 相切，求半径r 的取值范围．。

北京市西城区 2019—2019学年度第一学期期末试卷高一数学参照答案及评分标准A 卷[必修模块4] 满分100分一、：本大共10小，每小 4分，共40分.1.C ；2.B ；3.B ；4.C ；5. D ；6. D ； ；8.A ；9.C ； 10.D.二、填空：本大共6小，每小 4分，共 24分.11.2； 12. 1(ba )；13.4 ；22314.； 15.；16.3.382三、解答：本大共 3小，共 36分.17.（本小分 12分）解：（Ⅰ）因( ,)，且sin3，2 5因此cos1 sin 24 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分5因此tansin3⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分cos.4因此tan() tan 17.⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分1tan4（Ⅱ）由（Ⅰ）知，sin22si ncos24⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分，251 cos22cos 232 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分25sin2cos 24 4 1因此25 5⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分1cos232.825（本小分12分）（Ⅰ）由意f ( )2sin(2 x)，x 3因0x，因此02x.因此2x4⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分3.233因此3sin(2x)1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分23因此3f(x) 2，函数f(x)的域[3,2] .⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分（Ⅱ）由已知(,) ， 13，( ,0) ,⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分A C( ,A) D12 312因此( , )， 3DBDC ( ,A).44因BDCD ，因此DB32A 20 ，解得A3 DC ，DBDC.164又A0，因此 A3⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分.419.（本小分 12分）解：（Ⅰ）ABBCAB (AC AB)AB AC21 13AB.22（Ⅱ）成立如所示的平面直角坐系，B(1,0)，C(1,3).2 2P(cos,sin )，[0,]，3由APxAB yAC ，得(cos ,sin )x(1,0)y(1 3).C,22因此cosxy,sin3y .22因此xcos3sin，y23sin ，33xy23sincos2sin 23sin211cos23333 32(3sin21cos2 ) 1 3 2 2 321sin(2).363 因[0,2]，2[6 , ].366因此，当 26 ，即，xy 的最大1.23⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分yPx AB⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10分⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12分B 卷[学期综合]满分50分一、填空：本大共5小，每小4分，共20分.1. {x|0x1}；2. 1,6；3.1；4. {aa2}；5. .2注：2每空2分.二、解答：本大共 3小，共30分.6.（本小分 10分）解:（Ⅰ）因f(x)6x，因此f( x)x 6x f(x).⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分因此f(x)x212 1奇函数.⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分（Ⅱ）由不等式f(2x)2x，得62x2x .⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分22x1整理得22x5，⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分因此2xlog 25，即x1log 25.⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分2（本小分10分）解: （Ⅰ）当a1，f(x)x 22x .二次函数象的称x1，张口向上.因此在区[0,2]上，当x 1，f(x)的最小1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分 当x0 或x2 ，f(x)的最大0.⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分因此f(x)在区[0, 2]上的域[ 1,0].⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分（Ⅱ）注意到f(x)x 2 2ax 的零点是0和2a ，且抛物张口向上.当a0 ，在区[0,2]上g(x) f(x)x 22ax ，g(x)的最大t(a)g(2)4 4a .⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分当0a1，需比g(2)与g(a)的大小，g(a)g(2)a 2 (44a)a 24a 4，因此，当0 a2 2 2 ，g(a) g(2) 0 ；当 2 22a1 ，g(a)g(2)0 .因此，当 0 a2 22 ，g(x)的最大 t(a) g(2) 44a .⋯⋯⋯5分当22 2 a 1，g(x)的最大t(a)g(a)a 2.⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分当1 a 2，g(x)的最大t(a)g(a) a 2 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分当a2 ，g(x)的最大t(a) g(2)4a4 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分44a,a 2 2 2,因此，g(x)的最大值 t(a) a 2, 2 2 2 a 2,4a 4,a 2.因此，当a2 2 2时，t(a)的最小值为12 82.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）由已知x 11，x 21 .42因此dmax{max{x 1,x 2x 1},max{x 2 x 1,1 x 2}}1 1 1 1max{ 1 11max{max{,},max{,}},}.44421 42 2（Ⅱ）取x 11，x 2，此时试验的估计偏差为.333以下证明，这是使试验估计偏差达到最小的试验设计.9分10分4分5分证明：分两种情况议论 x 1点的地点.①当x 11时，如下图，3假如1 x2 2d 1 x 21 ，那么；3 33 假如2x 2 1，那么 d x 2 x 113 .3当x 1 11 . ②，dx 133综上，当x 1113 时，d .3(同理可适当x 22时，d1 )33即x 11，x 2时，试验的估计偏差最小.33（Ⅲ）当x 11和x 12时估计偏差d 的最小值分别为45注：用平常语言表达证明过程也给分 .1x 1 12 3 3 4 5 67 89 10 11 12 13 14 15 1617和1.45x 217分8分10分。

2019-2020学年北京北京高一上数学期末试卷一、填空题1. 已知直线方程为y −3=−√3x −4，则该直线的倾斜角是________.2. 经过点A (2,−1)且与直线3x +4y −6=0平行的直线方程为________.3. 设z =(2−i )2（i 为虚数单位），则复数z 的模为________．4. 设向量a →=(1,2)，b →=(2,3)，若向量λa →+b →与向量c →=(−4,−7)共线，则λ=________.5. 已知向量a →，b →夹角为45∘，且|a →|=1，|2a →−b →|=√10，则|b →|=________．6. 直线l 的方程为5ax −5y −a +3=0，则直线l 必过定点________.7. 以A (1,3)和B (−5,1)为端点的线段AB 的中垂线方程是________．8. 与直线3x +4y +2=0的距离等于l 的直线方程为________.9. 在△ABC 中，下列命题中所有正确命题的代号是________. ①AB →−AC →=BC →； ②AB →+BC →+CA →=0→；③若(AB →+AC →)⋅(AB →−AC →)=0，则△ABC 为等腰三角形； ④若AC →⋅AB →>0，则△ABC 为锐角三角形．10. 已知i 是虚数单位，m ，n ∈R ，且m +2i =2−ni ，则m+nim−ni 的共轭复数为________．11. 经过点M (2,2)且在两轴上截距相等的直线是________．12. 若关于x ，y 的方程x 2+y 2−2x −4y +m =0表示圆，则实数m 的取值范围是________．13. 已知圆的方程为(x −1)2+(y −1)2=9，过圆内一点P (2,3)作弦，则最短弦长为________.14. 若圆(x −4)2+(y +3)2=r 2(r >0)上有且只有两个点到直线4x −3y −6=0的距离为2，则半径r 的取值范围是________．15. 如图，ABCD 是边长为4的正方形，动点P 在以AB 为直径的圆弧APB 上，则PC →⋅PD →的取值范围是________．16. 如图，α∈(0,π2)∪(π2,π)，当∠xOy =α时，定义平面坐标系xOy 为 α− 仿射坐标系．在α−仿射坐标系中，任意一点P 的斜坐标这样定义：e 1→，e 2→分别为与x 轴、y 轴正向相同的单位向量，若OP →=xe →1+ye →2，则记为OP →=(x,y)．若在仿射坐标系中，已知a →=(m,n )，b →=(s,t )，下列结论中正确的是________．①若a →=b →，则m =s ，n =t ； ②若a →//b →，则mt −ns =0； ③若a →⊥b →，则ms +nt =0 ；④若m =t =1，n =s =2，且a →与b →的夹角π3，则α=2π3．17. 设两个非零向量e 1→和e 2→不共线． （1）如果 AB →=e 1→+e 2→，BC→=2e 1→+8e 2→，CD→=3e 1→−3e 2→，求证：A ，B ，D 三点共线；（2）若|e 1→|=2，|e 2→|=3，e 1→与e 2→的夹角为60∘，是否存在实数m ，使得me 1→+e 2→与e 1→−e 2→垂直？18. 如图，已知△OCB 中，B 、C 关于点A 对称，D 是将OB 分成2:1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA →=a →，OB →=b →．（1）用a →，b →表示向量OC →，DC →．（2）若OE →=λOA →，求实数λ的值．19. 已知在平行四边形ABCD 中，AB →与AC →对应的复数分别是2+3i 和1+4i ． （1）分别求AD →，BD →对应的复数；（2）若以AC 为一边，构造一个等边△ACP ，求AP →对应的复数．20. 在直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心的圆与直线x −√3y −4=0相切． （1）求圆O 的方程；（2）若已知点P (1,2) ，过点P 作圆O 的切线，求切线的方程；（3）设点M (x,y )为圆O 上任一动点，写出y−2x−1的取值范围（直接写答案）．21. 已知一曲线是与定点P (52，−2),Q (7,−2)距离之比为12的点的轨迹， （1）求此曲线C 方程；（2）若点T (m,−2)在曲线C 的内部，求m 的取值范围；（3）是否存在斜率是l 的直线l ，使l 被曲线C 截得的弦AB ，且以AB 为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l 的方程；若不存在，说明理由．参考答案与试题解析2019-2020学年北京北京高一上数学期末试卷一、填空题1.【答案】【考点】直线的倾斜角【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】【考点】复数的模【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】【考点】平行向量的性质平面向量共线（平行）的坐标表示【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】【考点】平面向量数量积的运算向量的模【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】【考点】直线系方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】【考点】直线系方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】【考点】直线的一般式方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】【考点】命题的真假判断与应用平面向量数量积的运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】i【考点】复数的运算【解析】利用复数相等，求出m，n然后求解复数的代数形式．【解答】m，n∈R，且m+2i＝2−ni，可得m=2，n=−2，m+ni m−ni =2−2i2+2i=1−i1+i=(1−i)(1−i)2=−i．它的共轭复数为i，故答案为i．11.【答案】【考点】直线的截距式方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】m<5（或(−∞, 5)）【考点】二元二次方程表示圆的条件【解析】根据圆的一般式方程x2+y2+dx+ey+f=0(d2+e2−4f>0)，列出不等式4+16−4m>0，求m的取值范围．【解答】解：关于x，y的方程x2+y2−2x−4y+m=0表示圆时，应有4+16−4m>0，解得m<5，故答案为：(−∞, 5)．13.【答案】【考点】直线与圆的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答14.【答案】【考点】直线与圆的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答15.【答案】[0, 16]【考点】平面向量数量积的运算【解析】以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立如图坐标系，可得C(2, 4)，D(−2, 4)，P(2cosα, 2sinα)，得到PC→、PD→坐标，用向量数量积的坐标公式化简，得PC→⋅PD→=16−16sinα，再结合α∈[0, π]，不难得到PC→⋅PD→的取值范围．【解答】解：以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立如图坐标系则圆弧APB方程为x2+y2=4，(y≥0)，C(2, 4)，D(−2, 4)因此设P(2cosα, 2sinα)，α∈[0, π]∴PC→=(2−2cosα, 4−2sinα)，PD→=(−2−2cosα, 4−2sinα)，由此可得PC→⋅PD→=(2−2cosα)(−2−2cosα)+(4−2sinα)(4−2sinα)=4cos2α−4+16−16sinα+4sin2α=16−16sinα化简得PC→⋅PD→=16−16sinα∵α∈[0, π]，sinα∈[0, 1]∴当α=0或π时，PC→⋅PD→取最大值为16；当α=π2时，PC→⋅PD→取最小值为0．由此可得PC→⋅PD→的取值范围是[0, 16]故答案为：[0, 16]16.【答案】【考点】向量加减混合运算及其几何意义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答17.【答案】【考点】向量的共线定理平行向量的性质 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 18. 【答案】解：（1）由题意知A 是BC 的中点，且OD →=23OB →， 由平行四边形法则得OB →+OC →=2OA →， 则OC →=2OA →−OB →=2a →−b →，则DC →=OC →−OD →=2a →−b →−23b →=2a →−53b →． （2）由图知EC → // DC →，∵ EC →=OC →−OE →=2a →−b →−λa →=(2−λ)a →−b →，DC →=2a →−53b →， ∴2−λ2=−1−53，解得λ=45．【考点】向量加减混合运算及其几何意义 【解析】（1）根据平行四边形的法则结合向量的基本定理即可用a →，b →表示向量OC →，DC →． （2）根据向量关系的条件建立方程关系，求实数λ的值． 【解答】解：（1）由题意知A 是BC 的中点，且OD →=23OB →，由平行四边形法则得OB →+OC →=2OA →， 则OC →=2OA →−OB →=2a →−b →，则DC →=OC →−OD →=2a →−b →−23b →=2a →−53b →． （2）由图知EC → // DC →，∵ EC →=OC →−OE →=2a →−b →−λa →=(2−λ)a →−b →，DC →=2a →−53b →， ∴2−λ2=−1−53，解得λ=45．19.【答案】【考点】平行向量的性质 复数的运算 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 20.【答案】 【考点】直线与圆的位置关系 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 21.【答案】 【考点】圆锥曲线的轨迹问题与直线有关的动点轨迹方程【解析】此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答。