3.3 线性时变连续系统状态方程的解

Ch.3 线性系统的时域分析
目录(1/1)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
目 录
� � � � � � � � 概述 3.1 线性定常连续系统状态方程的解 3.2 状态转移矩阵及其计算 3.3 线性时变连续系统状态方程的解 3.4 线性定常连续系统的离散化 3.5 线性定常离散系统状态方程的解 3.6 Matlab问题 本章小结
状态转移矩阵的性质 (4/8)
4) 对角线矩阵的状态转移矩阵。 如果时变的系统矩阵A(t) 如下表示的对角线矩阵。 A(t)=diag{a11(t) a22(t) … ann(t)} 式中,aii(t)(i=1,2,…,n)为标量函数,则A(t)的状态转移矩阵Φ (t,t0)为如下对角线矩阵。 Φ(t,t0)=diag{ϕ11(t,t0) ϕ22(t,t0) … ϕnn(t,t0)} 式中 , ϕii(t,t0)(i=1,2,…,n) 为满足如下标量微分方程的状态转 移函数
Φ (t , t0 ) = I + ∫ A(τ1 )Φ (τ1 , t0 )dτ1
t0 t
状态转移矩阵的求解(2/7)
Φ(t , t0 ) = I + ∫ A(τ 1 ) Φ(τ 1 , t 0 )dτ 1
t0 t
� 如果将上式中积分号内的Φ(τ1,t0)再按上式展开,则有
Φ(τ1 , t0 ) = I + ∫ A(τ 2 )Φ(τ 2 , t0 )dτ 2
̇ ( t , t ) = A ( t ) Φ (t , t ) ⎧Φ i 0 i i 0 ⎨ ⎩ Φ i (t 0 , t 0 ) = I
i = 1, 2,..., l
—例 3-9 6/8)— 状态转移矩阵的性质(6/8)
9 求如下时变系统的状态转移矩阵Φ(t,t0)。 � 例33-9
⎡ 0 ̇=⎢ x ⎢ ⎣0 1 ⎤ x (t + 1)2 ⎥ ⎥ 0 ⎦
—例 3-9 7/8)— 状态转移矩阵的性质(7/8)
� 因此
A(t1)A(t2)=A(t2)A(t1) ∀t1，t2
即矩阵A(t)和∫A(τ)dτ与满足可交换条件,可由指数展开式方 法计算状态转移矩阵,即
t ⎡ Φ (t , t0 ) = exp ∫ A(τ )dτ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ t0 ⎦
1 ⎤ ⎡ ⎡ 1 ⎤ ⎤ ⎡ 0 0 t 1 ⎥ +⋯ 2⎥ ⎢ (τ + 1)2 ⎥ dτ + ⎢ ( τ + 1) =I+∫ ⎢ d τ t0 ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ 2! ⎢ ∫t0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎥ 0 ⎥ ⎣0 ⎦ ⎣0 ⎦ ⎥ ⎣ ⎢ ⎦
故有 Φ(t2,t0)x(t0)=Φ(t2,t1)Φ(t1,t0)x(t0) 由于上式对任意初始状态x(t0)都成立,所以有 Φ(t2,t0)=Φ(t2,t1)Φ(t1,t0)
状态转移矩阵的性质 (3/8)
3) 可逆性 Φ-1(t,t0)=Φ(t0,t) 证明 由性质1)和2),有 Φ(t,t0)Φ(t0,t)=Φ(t,t)=I 故Φ-1(t,t0)=Φ(t0,t)成立。
2) (1/2) 线性时变连续系统状态方程的解(1/
3.3 线性时变连续系统状态方程的解
� 严格说来,实际控制对象都是时变系统,其系统结构或参数随 时间变化。 � 如电机的温升导致电阻以及系统的数学模型变化;电子 器件的老化使其特性也发生变化; � 火箭燃料的消耗导致其质量以及运动方程的参数的 变化等。 � 但是,由于时变系统的数学模型较复杂,且不易于系统分 析、优化和控制,因此只要实际工程允许,都可将慢时变 系统在一定范围内近似地作为定常系统处理。 � 但对控制目标要求较高的高精度控制系统,需作为时变 系统处理。
t0 τ1
� 然后按此法继续迭代下去,并将各展开式代入式(3-59),可 得
Φ (t , t0 ) = I + ∫ = I +∫
t t0 t τ1 ⎡ A(τ1 )⎢ I + ∫ A(τ 2 )Φ(τ 2 , t0 )dτ 2 ⎤ dτ1 ⎥ t ⎣ 0 ⎦ t τ1 τ2 ⎡ A(τ1 )dτ1 + ∫ A(τ 1 ) ∫ A(τ 2 ) ⎢ I + ∫ A(τ 3 )Φ(τ 3 , t0 )dτ 3 ⎤ dτ 2 dτ 1 ⎥ t0 t0 t ⎣ 0 ⎦ t τ1 t0 t0
x(t0)=Φ(t0,t0)x(t0)=x(t0)
说明式x(t)=Φ(t,t0)x(t0)满足齐次状态方程及其初始条件。 � 根据微分方程解的唯一性，所以它是齐次状态方程的解。 � 时变系统齐次状态方程的解表示了系统自由运动的特性,也代 表了初始状态x(t0)的转移,其转移特性完全由状态转移矩阵Φ (t,t0)决定。
̇ii (t , t0 ) = aii (t )ϕ ii ( t, t0 ) ⎧ϕ ⎨ ⎩ϕii (t0 , t0 ) = 1
i = 1, 2,..., n
即
t ⎡ ϕii (t , t0 ) = exp ⎢∫ aii (τ )dτ ⎤ ⎥ ⎣ t0 ⎦
状态转移矩阵的性质 (5/8)
5) 块对角矩阵的状态转移矩阵。 如果时变的系统矩阵A(t) 如下表示的块对角矩阵。 A(t)=block-diag{A1(t) A2(t) … Al(t)} 式中,Ai(t)(i=1,2,…,l)为mi×mi维的分块矩阵函数,则A(t)的状 态转移矩阵Φ(t,t0)为如下块对角矩阵。 Φ(t,t0)=block-diag{Φ1(t,t0) Φ2(t,t0) … Φl(t,t0)} 式中 , Φi(t,t0)(i=1,2,…,l) 为满足如下矩阵微分方程的状态转 移矩阵
状态转移矩阵的求解(7/7)
� 上述A(t)和∫A(τ)dτ可交换条件一般较难以检验是否成立。 � 事实上,根据该可交换条件有
∫ [ A(t ) A(τ ) − A(τ ) A(t )] dτ ≡ 0
t0
t
� 上式对于任意时间变量t和t0都成立的充分必要条件是:对 于任意的t1和t2,下式成立 A(t1)A(t2)=A(t2)A(t1) � 所以,实际上较易于检验的条件可取代A(t)和∫A(τ)dτ可交 换条件,成为时变系统的状态转移矩阵的解可表示为指数 矩阵形式的充分必要条件。
状态转移矩阵的性质 (1/8)
2. 状态转移矩阵的性质
� 时变系统的状态转移矩阵的性质如下。 1) Φ(t,t)=I 2) 传递性 Φ(t2,t1)Φ(t1,t0)=Φ(t2,t0)
状态转移矩阵的性质 (2 /8) (2/8)
证明 由于
x(t2)=Φ(t2,t0)x(t0)
且
x(t2)=Φ(t2,t1)x(t1)=Φ(t2,t1)Φ(t1,t0)x(t0)
t t d 1 1 t ⎡ ⎤ exp ∫ A(τ )dτ = A(t ) + A(t ) ∫ A(τ )dτ + ∫ A (τ )dτ A (t ) + ⋯ ⎢ ⎥ t0 ⎣ t0 ⎦ dt 2 2 t0
� 根据状态转移矩阵的解表达式,状态转移矩阵Φ(t,t0)的导 数可表示为
t ̇ Φ(t , t0 ) = A(t ) + A(t )∫ A(τ 2 )dτ 2 + ⋯ t0
状态转移矩阵的求解(5/7)
� 将该指数表达形式的右边展开成级数形式,有
2 t 1 exp ⎡ ∫ A(τ )d τ ⎤ = I + ∫ A(τ )d τ + ⎡ ∫ A(τ )d τ ⎤ + ⋯ ⎢ ⎥ t0 ⎥ ⎣ t0 ⎦ ⎣ t0 ⎦ 2! ⎢
t
t
如果上式是系统的状态转移矩阵,它必须满足状态转移矩阵的定 义式。 � 于是,将上式的两边对时间取导数,
状态转移矩阵的求解(6/7)
� 比较上述两式可知,只有A(t)和∫A(τ)dτ满足乘法可交换条件时, 时变系统的状态转移矩阵可以表示为指数形式。 � 因此,线性时变连续系统齐次状态方程的解也可表示为指 数形式,即
t ⎡ ̇ (t ) = exp ∫ A(τ )d τ ⎤ x(t0 ) x ⎢ ⎥ ⎣ t0 ⎦
t0 t
= I + ∫ A(τ1 )dτ1 + ∫ A(τ 1 ) ∫ A(τ 2 )dτ 2 dτ1
t0
+ ∫ A(τ1 )∫ A(τ 2 )∫
t0 t0
t
τ1
τ2
t0
τ3 ⎡ A(τ 3 )⎢ I + ∫ A(τ 4 )Φ(τ 4 , t 0 )dτ 4 ⎤ dτ 3dτ 2 dτ1 ⎥ t ⎣ 0 ⎦
状态转移矩阵的求解(4/7)
� 当时变的系统矩阵A(t)满足如下条件
A(t ) ∫ A(τ )d τ = ∫ A(τ )d τ A(t)
t0 t0 t t
时,时变系统的状态转移矩阵的解可以表示为
t ⎡ Φ(t , t0 ) = exp ⎢ ∫ A(τ )dτ ⎤ ⎥ ⎣ t0 ⎦
的指数形式。 � 也就是说,只有A(t)与∫A(τ)dτ满足矩阵乘法的可交换条件 时,上述指数表达形式的解才成立。 � 下面对这个条件给予证明。
线性时变连续系统的状态转移矩阵(1/1)
3.3.2 线性时变连续系统的状态转移矩阵
� 下面进一步讨论前面引入的状态转移矩阵,主要内容为: � 状态转移矩阵的求解 � 状态转移矩阵的性质
状态转移矩阵的求解(1/7)
1. 状态转移矩阵的求解
� 对于线性时变连续系统,状态转移矩阵Φ(t,t0)是如下矩阵微 分方程和初始条件 Φ’(t)=A(t)Φ(t), Φ(t)|t=0=I 的解,它是一个n×n维的关于时间变量t和t0的矩阵函数。 � 为了求得状态转移矩阵Φ(t,t0)的表达式,可在时间域内对该 矩阵微分方程积分,即有
� 当系统没有外部输入作用时,线性时变连续系统的状态方程 为齐次状态方程,可表示为 x’(t)=A(t)x(t) � 这里讨论其满足初始状态