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第30讲 连续系统的状态方程的建立

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建立状态方程

建立状态方程

模型
RiL
iL (t
(t) )
L diL (t dt
C dvc (t) dt
)

vc
(t
)

e(t
)
(1) (2)
LC
d
2vc (t) dt 2

RC
dvc (t) dt

vc
(t)

e(t )
2. iL (t)vc (t)在e(t) 的作用下，是一些随时间变化的量，若知道
这些量的变化清况，对这个电路会有更全面了解，导数是描述 一个变量随另一个变量变化情况的物理量。所以只要能得到
输出方程： r(t) =C(t) +De(t)
状态变量：选积分器的输出 连续：电容、电感、离散、 E1延时器的输出
信号流图 一.信号流图：用一些点和支路来描述系统。 点：称为结点，表示系统中变量或信号的点。 支路：带箭头的线段，表示信号的传输路径、传输方向。
x1, x2 , x3 是输入结点，只有输出。
(t ) (t)


1
L 0

e(t

)
状态方程
r(t) 0
1viLc
(t ) (t)
输出方程
五、一些基本概念
1.状态：指系统的运动状态，只表示系统的一组最少变量。只 要知道 t 是t0 这组变量及 时t 的t0 输入，那么就能确定系统 在任何时间 t 的t0 行为。
例：若有两个状态 x1(t) , x2 (t) ，则状态向量
x(t)


x1 x2
(t) (t)
状态空间是由 x1(t) , x2 (t) 为轴构成的二维空间。 5、状态轨迹：在状态空间中状态矢量随时间变化而描出的路径。
线性定常连续系统状态空间表达式的建立

线性定常连续系统状态空间表达式的建立


(2.45)
状态变量的选取：对于这种情况不能选输出及其各 y ，… ， 阶导数作为状态变量。因为如果把 y ， y ( n −1) 作为状态变量，则状态方程为
⎧ x1 = x 2 ⎪ ⎪ x 2 = x3 ⎪ ⎨ ⎪x = x n ⎪ n −1 ⎪ x n = −a 0 x1 − a1 x 2 − ⎩
(1) 微分方程不含输入量的导数项
微分方程一般描述为
y ( n ) + a n −1 y ( n −1) +
状态变量选为
x1 = y x2 = y x n = y ( n −1 )
+ a1 y + a 0 y = bu
x1 = x 2
则
x2 = x3 x n −1 = x n x n = y (n)
⎡ bn ⎤ ⎢b ⎥ ⎢ n −1 ⎥ ⎢bn − 2 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ b1 ⎥ ⎥ ⎢ b ⎢ ⎦ ⎣ 0 ⎥
（2.57）
从 式 （ 2.56 ） 可 见 ， 当 b1 = 得 h0 =
= bn = 0
， b0 = b
时可
= hn−1 = 0 hn = b ，代入式(2.55)可得式(2.44)，就是 ，
− a1h0 )u
− a 0 h0 )u
选择待定系数，使中输入信号的各阶导数项的系数 均为零，即
⎧bn − h0 = 0 ⎪b − h − a h = 0 n −1 1 n −1 0 ⎪ ⎪ ⎨bn − 2 − h2 − a n −1 h1 − a n − 2 h0 = 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩b1 − hn −1 − a n −1 hn − 2 − a n − 2 hn −3 −
由微分方程求状态空间表达式
¾系统的实现问题 对于给定的系统微分方程或传递函数，寻求对应的 状态空间描述而不改变系统的输入-输出特性，称此 状态空间描述是系统的一个状态空间实现。由于所选 状态变量不同，其状态空间描述也不同，故其实现方 法有多种。 通过实现可以构造一个与原系统输入输出等价的系 统以便进行状态估计等，从而实现状态反馈控制，改 善系统控制特性。 所求得的状态空间描述中，状态变量数量最少，各 矩阵的维数最小，构造硬件系统时所需的积分器个数 最少，称为最小实现。
K3.04-连续系统状态方程的建立-由框图流图

K3.04-连续系统状态方程的建立-由框图流图

连续系统状态方程的建立-由框图/流图
知识点K3.04
连续系统状态方程的建立-由框图/流图
主要内容：
1.由框图/流图建立连续系统状态方程的方法 2.利用Matlab建立状态方程
基本要求：
掌握由框图/流图方程建立连续系统状态方程/输出方程的方法
1
连续系统状态方程的建立-由框图/流图 K3.04 连续系统状态方程的建立-由框图/流图 例1 LTI系统框图和流图如图，列状态方程和输出方程。
解：(⑴)选状态变量：选积分器输出为状态变量，如图。
2
连续系统状态方程的建立-由框图/流图
(2) 状态方程：
x1 x2
x2 a0
x1
a1x2
f
(3) 输出方程： y b0 x1 b1x2 b2 (a0 x1 a1x2 f ) (b0 a0b2 )x1 (b1 a1b2 )x2 f
(4) 矩阵形式：
状态方程：
x1 x2
0 a0
1
a1
x1
x2
0 1
f
输出方程： y b0 a0b2
b1
a1b2
x1 x2
f
3
连续系统状态方程的建立-利用Matlab
连续系统状态方程的建立-利用Matlab
MATLAB提供了一个tf2ss函数，它能把描述系统的 微分方程转化为等价的状态空间方程，调用形式如下：
解：% 详见扩展资源F8001 b = [0 0 1]; a = [1 5 10]; [A,B,C,D]=tf2ss(b,a)
状态方程：
x1 x2
5 1
10 0
x1
x2
1 0
f
输出方程：
y 0
1
信号与系统 连续时间LTI系统状态方程的建立

信号与系统 连续时间LTI系统状态方程的建立

2
1 (t ) iL (t )

2 ( t ) i L (t ) iC t


R2 1



y (t )

x1 (t )

1 C F 2
3 (t ) vC (t )
x2 (t )
电容Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ在节点KCL：
d C 3 (t ) 1 (t ) 2 (t ) dt
电容C所在节点KCL：
d C 3 (t ) 1 (t ) 2 (t ) dt
电感L1所在网孔KVL：
d L1 1 (t ) R11 (t ) 3 (t ) x1 (t ) dt
16/48
信号与系统
三、由电路图建立状态方程
R1 2 L1 1H
a
1
L2
1 H 3
； 。
y1 (t ), y2 (t ),, yq (t )
3/48
信号与系统
一、连续时间LTI系统状态方程的一般形式

则系统的状态方程为：
1 (t ) f1 1 (t ), 2 (t ),, n (t ), x1 (t ), x2 (t ),, x p (t ), t
2 (t ) f 2 1 (t ), 2 (t ),, n (t ), x1 (t ), x2 (t ),, x p (t ), t
L1
iL1 t
iL3 t L3
L1
iL1 t
iS t
iL2 t
L2
图3
iL2 t
L2
图4
12/48
信号与系统
三、由电路图建立状态方程
例：列写如图所示电路的状态方程，若输出信号为电压 y (t ) ，
线性定常连续系统状

线性定常连续系统状


, q k a k q k 1 a k k !q 0
q0=x(0)
○ 因此, x(t)的解表达式可写为
x(t) 1a ta 2 2 !t2 ...a kk !tk . .x .(0 )eaxt(0 )
1. 上述求解标量微分方程的级数展开法,可推广至求解向量状态
方程的解。
○ 为此,设其解为t的向量幂级数,即 ● x(t)=q0+q1t+q2t2+…+qktk+…
直接求解法 点击此处添加正文，请言简意赅的阐述观点。
拉氏变换法 讨论非齐次状态方程的解,以及
解表达式的意义 点击此处添加正文，请言简意赅的阐述观点。
输出方程的解 点击此处添加正文，请言简意赅的阐述观点。
目 录
一．直接求解法
○ 将状态方程x’=Ax+Bu移项,可得 ○ x’-Ax=Bu
将上式两边左乘以e-At,则有
线性定常连续系统状态方程的解 ❖ 求解状态方程是进行动态系统分析与综合的基础,是进行定量分
析的主要方法。
❖ 本节讲授的状态方程求解理论是建立在状态空间上,以矩阵代数 运算来描述的定系数常微分方程解理论。
❖ 下面基于矩阵代数运算的状态方程解理论中,引入了状态转移矩 阵这一基本概念。
❖ 该概念对我们深刻理解系统的动态特性、状态的变迁(动态演变) 等都是非常有帮助的,对该概念必须准确掌握和深入理解。
四．对于n n阶的d 方e 阵A tA 和A Be ,A 下t 式e A 仅tA 当,AB =( BtA)时 才A 成(t立) (t)A d t ○ e(A+B)t=eAteBt
五．[Φ(t)]n=Φ(nt) 六．Φ(t2-t1)Φ(t1-t0)=Φ(t2-t0)
9-3连续时间系统状态方程的建立

9-3连续时间系统状态方程的建立


表示为矢量矩阵形式
状态方程 输入方程 其中
d k dt λ(t ) = A ×kλ k×1(t ) + Bk×mem×1(t ) k×1
[r(t)]r×1 = Cr×kλ k×1(t) + Dr×mem×1(t)
d dt d d dt λ (t ) = dt d dt λ 1 (t ) λ 2 (t ) ... λ k (t )
状态方程和输出方程分析的示意结构图
D(t)
e(t )
B(t )
∑
d λ(t) dt
1 p
λ (t )
C(t )
∑
r(t )
A(t)
1 d 是积分环节， 是积分环节，它的输入为 λ ( t )，输出为λ ( t )。 p dt
பைடு நூலகம்
若A,B,C,D矩阵是t的函数，表明系统是线性时变 A,B,C,D矩阵是 的函数， 矩阵是t 的，对于线性时不变系统，A,B,C,D的各元素都 对于线性时不变系统，A,B,C,D的各元素都 为常数，不随t改变。 为常数，不随t改变。
d11 d12 ... d1m d21 d22 ... d2m D= .... .... dr1 dr2 ... drm
r1 (t ) e1 (t ) r (t ) e (t ) 2 e (t ) = 2 r (t ) = ... ... rr (t ) e m (t )
此系统为k 阶系统， 此系统为k 阶系统，输入信号的最高次导数也 为k 次,系统函数为 k k −1 b 0 s + b1 s + ... + b k −1 s + b k H (s ) = k s + a 1 s k −1 + ... + a k −1 s + a k 为便于选择状态变量， 为便于选择状态变量，系统函数表示成 b 0 + b1 s −1 + ... + b k −1 s − k + 1 + b k s − k H (s ) = 1 + a 1 s −1 + ... + a k −1 s − k + 1 + a k s − k
连续系统的状态变量方程求解

连续系统的状态变量方程求解

连续系统的状态变量方程求解连续系统的状态变量方程求解通常采用数值方法，例如龙格-库塔法（Runge-Kutta）等。

在这个过程中，需要将连续系统的状态方程离散化，即将连续时间步长的微分方程转化为离散时间步长的离散方程。

求解离散方程可采用递推的方式，根据系统的初始条件和上一时刻的状态变量值，计算出当前时刻的状态变量值。

以下是一个求解连续系统状态变量方程的步骤：1. 确定连续系统的状态变量方程。

例如，给定线性定常系统dx/dt = Ax + Bu，其中x为状态变量，A和B为系统矩阵。

2. 离散化。

将状态变量方程转化为离散方程。

常见的离散化方法有前项差分变换、后项差分变换和Tustin变换。

具体变换方法取决于系统的特性以及所需的数值稳定性和精度。

例如，使用Tustin变换将连续系统离散化，得到离散状态方程x[k+1] = A*x[k] + B*u[k]。

3. 初始化。

给定初始条件，如x[0] 和u[0]，初始化状态变量值。

4. 数值求解。

使用数值方法（如龙格-库塔法）递推计算离散方程，得到一系列状态变量值x[1], x[2], ...，以及对应的输出值y[1], y[2], ...。

5. 分析结果。

根据求解得到的状态变量值和输出值，分析系统的性能，如稳定性、收敛速度等。

在MATLAB中，可以使用ode45等函数求解连续系统的状态变量方程。

以下是一个简单的示例：```MATLAB定义系统矩阵A、B和输入信号uA = [1 0; -1 1];B = [0 1];u = [1; 0.5];定义初始条件x0 = [1; 2];设置求解参数tspan = [0, 10];options = odeset('RelTol', 1e-6, 'AbsTol', 1e-6);求解状态变量方程[x, u] = ode45(@(t, x) A*x + B*u, tspan, x0, options);绘制状态变量曲线figure;plot(t, x(:, 1), 'b', 'LineWidth', 2);hold on;plot(t, x(:, 2), 'r', 'LineWidth', 2);xlabel('Time');ylabel('State Variables');legend('x1', 'x2');```这个示例中，我们使用ode45函数求解了一个线性定常系统在给定输入信号下的状态变量演化。

K3.04 连续系统状态方程的建立—由框图、流图

K3.04 连续系统状态方程的建立—由框图、流图


(2) 状态方程：

x1 x2

x2 a0
x1

a1x2

f
(3) 输出方程： y b0 x1 b1x2 b2 (a0 x1 a1x2 f ) (b0 a0b2 )x1 (b1 a1b2 )x2 f
(4) 矩阵形式：状态来自程： x1 x2
连续系统状态方程的建立-由框图/流图
知识点K3.04
连续系统状态方程的建立-由框图/流图
主要内容：
1.由框图/流图建立连续系统状态方程的方法 2.利用Matlab建立状态方程
基本要求：
掌握由框图/流图方程建立连续系统状态方程/输出方程的方法
1
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状态方程：

x1 x2


5 1
10 0
x1

x2


1 0
f
输出方程：
y 0
1

x1 x2

%运行可得 A=
-5 -10 10 B= 1 0 C= 01 D= 0
5
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例2 已知系统函数为
H (s)
1
s2 5s 10
利用Matlab建立系统的状态空间方程。
4
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连续系统状态方程的建立-利用Matlab
解：% 详见扩展资源F8001 b = [0 0 1]; a = [1 5 10]; [A,B,C,D]=tf2ss(b,a)
第30讲 连续系统的状态方程的建立

第30讲 连续系统的状态方程的建立

第6章 连续与离散系统的状态变量分析
•本章导读： •输入-输出法或端口法：对于单输入-单输出系统，仅研究系统的 输出与输入之间的外部特性，不关心系统内部状态的变化过程。 •对多输入-多输出的复杂系统，不仅要关心系统的输出，还要研 究系统内部变量的变化规律，才能达到对系统的设计和控制要求。 •状态变量法又称为内部法，它以描述系统内部特性的状态变量为 分析依据，通过一组状态方程和输出方程，将状态变量和系统的 输入和输出变量联系起来，进而分析系统的外部特性。
y (t ) 0 1 L 0 f (t ) u C (t )
对于一个有m个输入，k个输出的n阶线性 微分方程所描述的系统，可以用一组一阶微 分方程（状态方程）和一组代数方程（输出 方程）加以描述，即 :
a11 1 x x a21 2 an1 xn a12 an 2
状态向量：n 个状态变量组成的列向量形式
x(t ) x1 (t ) x2 (t )
xn (t )
x (t )
T
状态与起始状态：状态变量在某一时刻t0的值就是系统在时 T x(t0 ) x1 (t0 ) x2 (t0 ) xn (t0 ) 刻t0的状态：
状态变量在0-时刻的值称为系统的起始状态。即:

C

此方法称为状态变量或状态空间分析法； i L ( t ), uC ( t )为状态变量。
名词定义
状态：状态可理解为事物的某种特征。状态发生变化意味着事物
有了发展和变化，所以状态是划分事物发展阶段的依据。系统的 状态就是指系统的过去、现在和将来的状况。 状态变量：能够表示系统状态的变量。表示动态系统的一组最 少变量（被称为状态变量），只要知道 t=t0 时这组变量和 t t0 时的输入，那么就能完全确定系统在 t t0 任何时间的行为。
信号与系统 连续时间LTI系统状态方程的建立

信号与系统 连续时间LTI系统状态方程的建立



n (t ) f n 1 (t ), 2 (t ),, n (t ), x1 (t ), x2 (t ),, x p (t ), t
系统的输出方程为： y1 (t ) g1 1 (t ), 2 (t ), , n (t ), x1 (t ), x2 (t ), , x p (t ), t
1 (t ) d11 (t ) 2 d 21 n (t ) d q1
d12 d1 p x1 (t ) x (t ) d 22 d 2 p 2 d q 2 d qp x p (t )
b1 p x1 (t ) x (t ) b2 p 2 bnp x p (t )
λ (t ) Aλ (t ) Bx (t )
信号与系统
一、连续时间LTI系统状态方程的一般形式
y1 t c111 t c12 2 t c1n n t d11 x1 t d12 x2 t d1 p x p t y2 t c211 t c22 2 t c2n n t d 21 x1 t d 22 x2 t d 2 p x p t …… yq t cq11 t cq 22 t cqn n t d q1 x1 t d q 2 x2 t d qp x p t
连续时间系统的状态方程是状态变量的一阶微分联立方程组， 设系统有 n 个状态变量

1 (t ), 2 (t ),, n (t ) ；

状态变量的一阶导数用 1 (t ), 2 (t ),, n (t ) 表示；
信号与系统§9-3 连续时间系统状态方程的建立

信号与系统§9-3 连续时间系统状态方程的建立

§9.3 连续时间系统状态方程的建立一．状态方程的一般形式和建立方法概述状态方程表示为矢量矩阵形式状态方程和输出方程分析的示意结构图状态变量的特性二．由电路图直接建立状态方程三．由系统的输入-输出方程或流图建立状态方程四．将系统函数分解建立状态方程 X 第 * 页北京邮电大学电子工程学院2002.3 状态方程的一般形式和建立方法概述由电路图直接建立状态方程由系统的输入-输出方程或流图建立状态方程将系统函数分解建立状态方程一个动态连续系统的时域数学模型可利用信号的各阶导数来描述。

作为连续系统的状态方程表现为状态变量的联立一阶微分方程组，即为系统的k个状态变量。

m个输入信号 r个输出信号输出方程如果系统是线性时不变的，则状态方程和输出方程是状态变量和输入信号的线性组合，即：状态方程输入方程是积分环节，它的输入为，输出为。

若矩阵是的函数，表明系统是线性时变的，对于线性时不变系统，的各元素都为常数，不随改变。

每一状态变量的导数是所有状态变量和输入激励信号的函数；每一微分方程中只包含有一个状态变量对时间的导数；输出信号是状态变量和输入信号的函数。

通常选择动态元件的输出作为状态变量，在连续系统中是选积分器的输出。

建立给定系统的状态方程的方法分为直接法和间接法两类：直接法――主要应用于电路分析、电网络（如滤波器）的计算机辅助设计；间接法――常见于控制系统研究。

(1)选取独立的电容上电压和电感中电流为状态变量，有时也选电容电荷与电感磁链。

中必然包含，注意只能将此项放在方程左边； (2)对包含有电容的回路列写回路电压方程，其中必然包括，对连接有电容的节点列节点电流方程，其 (3)把方程中非状态变量用状态变量表示； (4)把状态方程和输出方程用矩阵形式表示。

状态变量的个数等于系统的阶数；对于较简单的电路，用直观的方法容易列写状态方程。

当电路结构相对复杂时，往往要借助计算机辅助设计（CAD）技术。

假定某一物理系统可用如下微分方程表示此系统为k 阶系统，输入信号的最高次导数也为k 次系统函数为为便于选择状态变量，系统函数表示成当用积分器来实现该系统时，其流图如下取积分器的输出作为状态变量，如图中所标的状态方程输出方程表示成矢量矩阵的形式状态方程输出方程简化成对应A,B,C,D的矩阵分别为。

K3.02 连续系统状态方程的建立—由RLC电路


5
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连续系统状态方程的建立-由RLC电路
状态变量: x1 iL1, x2 iL2 , x3 uC
输出变量:
y1 uL2 , y2 uab
列输出方程：

x1 iL1, x2 iL2 , x3 uC
输出变量:
y1 uL2 , y2 uab
列状态方程:
第一步:关于 L1x1, L2x2 (电感电压)列KVL方程：
L1x1 uL1 f1 x3 R(x1 x2 ) f2 Rx1 Rx2 x3 f1 f2
y1
y2
uL2 uab

L2 x2 Rx1 Rx2 x3 f2 ic R f2 Rx1 Rx2 f2
矩阵形式：
y1

y
2


R R
R R
1 0

x1 x2 x3


0 0
1 f1
(1) iL1 、iL2 (2) iL1 、iL3 (3) iL2 、iL3 为状态变量
3
(1)uc、iL1 (2)uc、iL2 为状态变量
Xidian University, ICIE. All Rights Reserved
连续系统状态方程的建立-由RLC电路
（2）直观编写法步骤:
例2
状态变量:
L2 x2 uL2 x3 R(x1 x2 ) f2 Rx1 Rx2 x3 f2
第二步:关于 Cx3 (电容电流)列KCL方程：
Cx3 iC x1 x2

ssch8_2连续时间系统状态方程和输出方程的建立_1127


由模拟框图建立状态方程和输出方程
x1(t)
q1(t) s 1
y1(t)
a1
x2(t)
s1 q2(t)
y2(t)
a2
写成矩阵形式：
状态方程
q1(t)
q2
(t
)
a1 0
0 a2
q1 q2
(t) (t)
1
0
0 x1(t)
1
x2
(t
)
输出方程
y1(t)
y2
(t
)
1
1
状态空间变量分析
※ 系统状态变量分析的基本概念和普遍形式 ※ 连续时间系统状态方程和输出方程的建立 ※ 离散时间系统状态方程和输出方程的建立 ※ 连续时间系统状态方程和输出方程的求解 ※ 离散时间系统状态方程和输出方程的求解
连续时间系统状态方程和输出方程的建立
连续系统常以电路、微分方程、系统函数或模拟框图 的方式描述，由此建立连续系统的状态方程和输出方程。
输出方程
q1(t) q2(t)
q2
(t
)
y ''(t)
x(t)
2q1(t)
3q2 (t )
y(t) = q1(t)
由微分方程建立状态方程和输出方程
状态方程的矩阵形式为
q1(t)
q2
(t
)
0 2
1 3
q1 q2
(t ) (t )
0
1
x(t )
输出方程的矩阵形式为
y(t) 1
0
q1(t) q2 (t)
q1(t)
q2(t)
解： 选取积分器输出端为状态变量q1(t)和q2(t) 围绕积分器输入端列出状态方程：

连续系统的状态方程的求解

因而x(t)的时域表示式为：
x(t) L1 Φ(s)x0 L1 Φ(s)BF(s)
零输入分量
零状态分量
连续系统状态方程的s域解法
y(t)的时域表示式为：
y t C L 1 Φ ( s ) x 0 L 1 C Φ ( s ) B D F ( s )
零输入响应
零状态响应
y t L 1 C Φ ( s ) x 0 L 1 C Φ ( s ) B D F ( s )
1
2
1
0
1 s 1
1
0
s
1s
1
1
0 1
1
0
1 1
0
0
s 1
s
s
1 s
s 1
1
s 1 0
连续系统状态方程的s域解法
（3）求响应y(t)
Y (s) C Φ (s)x 0 H (s)F (s)
1
0
1
1 s 1
1
0
2
s
s
1s
1
1
1 0
s
1 s
s 1
s 1
s
2
s
3
2
s
2
s
3
s 1
3
2
s
2
s
3
7 s
3
10 s2
7 5
s 3 s 2
7e3t (t) 10e2t (t)
x(t)
7e3t (t) 5e2t (t)
例2 已建立状态方程和输出方程为
d
d t
d
d t
x1
t
x2
t
1
0
2 1
x x

连续时间系统状态方程的建立


1 2 2 3 状态方程 k 1 k a a a a et k 1 k 1 2 2 k 1 1 k k
输出方程 r t bk 1 bk 12 b2k 1 b1k b0 ak 1 ak 12 a2k 1 a1k et
d dt 1 t f1 1 t , 2 t , , k t ; e1 t , e2 t , , em t , t d 2 t f 2 1 t , 2 t ,, k t ; e1 t , e2 t ,, em t , t dt d t f t , t ,, t ; e t , e t , , e t , t k k 1 2 k 1 2 m dt
d i L1 t i L1 t vC t et dt d i L 2 t vC t i L 2 t dt 写成矩阵形式 d 1 1 d t vC t 0 vC t 0 d 2 2 i L1 t 1 1 0 i L1 t 1 e t dt 0 1 i L 2 t 0 d 1 i L 2 t d t
(2)对包含有电容的回路列写回路电压方程，其中必然 ，对连接有电容的结点列结点电流方程，其 包括 L d i L t dt d vC t 中必然包含 C ，注意只能将此项放在方程左边。 dt (3)把方程中非状态变量用状态变量表示。
(4)把状态方程和输出方程用矩阵形式表示。 状态变量的个数 k 等于系统的阶数。 对于较简单的电路，用直观的方法容易列写状态方程。 当电路结构相对复杂时，往往要借助计算机辅助设计 （CAD）技术。

3连续系统状态方程的解

T T T
(1) (2)
状态矢量 输出矢量 输入矢量 为系统矩阵(LTI系统为常量矩阵）
y t y1 t y2 t ...yn t Amxn , Bnxp , Cqxn , Dqxp
f t f1 t f 2 t ... f n t
一、状态方程的解：
求解方法：时域法，变换法 LTI系统的状态方程为一组常系数一阶线性微分方程，即常系数 . 线性方程。 e At xt e At A xt e At B f t At 对1式两边乘 e 移项得 d At d At At d At
qxpqxnnxpmxn第一项只与初始状态有关为系统状态变量的零输入响应第二项只与输入矢量有关为系统状态矢量的零状态响应
§3、连续系统状态方程的解
连续系统
xt A xt B f t yt C xt D f t
xt x1 t x2 t ...xn t
0


h11 t ... h1 p t ... ... ... hq1 t ... hqp t
e xt e dt dt xt e dt

xt e

B f t
e At xt e At0 xt0 e A B f d
t t0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
xt e
A t t 0
xt0 e At B f d

1 t t0 t0 t , 1 t t 可证明： 系统的零输入解： xt e At t xt0 t t0 xt0 t x0 一般解： xt t x0 t Bf t 系统输出： yt C t x0 C t B * f t D f t 其中零状态响应 y f t C t B * f t D f t C t B D t * f t ht * f t ht C t B D t 叫冲激响应矩阵

信号课件--§8.2连续系统状态方程的建立

R2iR2(t) + uS2(t) - x2(t) = 0 代入整理得
1 1 R 1 0 u ( t ) x ( t ) x ( t ) L s 1 1 L L 1 1 1 1 u ( t ) x ( t ) x ( t ) 2 2 2 s 0 C R C 2 2 R C
系统输出端，有 y(t) = 6x1 -4 x2
x2
-2
可见H(s)相同的系统， 状态变量的选择并不 唯一。
例2 某系统框图如图，状态变量如图标示，试列 出其状态方程和输出方程。 解 对三个一阶系统
y 2 (t) ∑ f(t)
1 (t) 1 x s 1 2 (t) s 4 x s 2
x x y 1 1 2
1 1 s 1 f(t) -1
画出串联形式的信号流图 设状态变量x1(t)、 x2(t)
x
1 4
y1 1
2 x
s1
-2
2
x x f 1 1
x1
x2
y(t)
设中间变量 y1(t)
y x 4 x 3 x f 1 1 1 1
x y 2 x 3 x 2 x f 2 1 2 1 2
例：电路如图，以电阻R1上的电压uR1和电阻R2上的电 流iR2为输出，列写电路的状态方程和输出方程。 解 选状态变量 x1(t) = iL(t), x2(t) = uC(t) Lx 1(t)+R1x1(t)+x2(t) = uS1(t)
R1 u R1 u S1 uC C u S2 iL L
a a
Y ( s ) 1 0 X ( s )
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dt L d u (t ) 1 dt C C
L
L iL (t ) L f (t ) u (t ) 0 0 C
输出方程：表示系统输出与输入和状态变量之间关 例如： 系的方程。 i (t )
c12 c 22 ck 2
• x Ax + Bf y Cx + Df

a22
a1n x1 b11 a2 n x2 b21 ann xn bn1
b12 b22 bn 2
模拟图建立法
由模拟图（包括框图和流图）建立状态方程比电路图法更直 观、更简单。其一般步骤如下： 选取积分器的输出（或微分器的输入）作为状态变量。 围绕加法器列出状态方程和输出方程。
例1
解：
H (s)
s4 s 6 s 2 11s 6
3
用流图的串联结构形式建立状态方程。 把 H ( s ) s 3 6 s 2 11s 6作因式分解
例
写出下图所示电路的状态方程和输出方程。
1
1H
iL1 t
解：
A


1H
iL 2 t
1
et
i1 t
2F
u C t

i2 t
u t

选电感电流 i L1 ( t ), i L 2 ( t ) 和电容两端电压 uC ( t ) 作为 状态变量 d 对结点A列结点电流方程：i L1 ( t ) i L 2 ( t ) 2 d t uC ( t )
以 u C (t ), iL (t )为变量列方程：
d RiL (t ) L i L (t ) u C (t ) f (t ) dt
f (t )
R
L
C
uC t

u C (t )
1 C
iL (t ) d t 写为:
t
d 1 u C (t ) iL (t ) dt C
y (t ) 0 1 L 0 f (t ) u C (t )
对于一个有m个输入，k个输出的n阶线性 微分方程所描述的系统，可以用一组一阶微 分方程（状态方程）和一组代数方程（输出 方程）加以描述，即 :
a11 1 x x a21 2 an1 xn a12 an 2
x(0 ) x1 (0 ) x2 (0 ) xn (0 )
T
状态空间：状态向量
x( t) 所在的空间。 即：以n个状态变量为坐标轴而构成的n维空间
状态方程：表示系统状态变量与输入之间关 系的方程。 对n阶系统，状态方程是由n个一阶微分方程（差 分方程）组成的方程组。 d 1 R 例如： 1 i (t )
即有
1 C uC (t ) R i (t ) 2 L L
图1
(t ) X
A
X (t )
则
(t ) AX (t ) X
— 状态方程
列写状态方程的方法： 选择状态变量； 对连接电容的节点列写KCL方程； 对包含电感的网孔（回路）列写KVL方程； 消去非状态变量，整理为标准形式的状态方程。
1 s 4 1 H (s) s 1 s 2 s 3
s4
画成流图形式
1
x 3 1 s x3

1
1 x2

1 s x2
4
x 1 x1 1 s 1
3

1
f (t )
y (t )
1
2
选积分器输出为状态变量
x1 3 x1 4 x2 ( x3 2 x2 ) 3 x1 2 x2 x3 x2 2 x2 x3 x3 x3 f (t )
第6章 主要内容


6.1 6.2 6.3
连续系统的状态方程的建立 连续系统的状态方程的求解方法 离散系统的状态方程的建立和求解
第 30 讲
连续系统的状态方程的建立

状态变量的概念
状态变量是一组反映系统内部状态变化规律的量 。如x1(t)， x2(t)，， xn(t)，它们在t = t0时刻的 数值连同t t0时的输入，可以唯一地确定t > t0任 一时刻的状态和其它各个响应。

C


此方法称为状态变量或状态空间分析法； i L ( t ), uC ( t )为状态变量。
名词定义
状态：状态可理解为事物的某种特征。状态发生变化意味着事物
有了发展和变化，所以状态是划分事物发展阶段的依据。系统的 状态就是指系统的过去、现在和将来的状况。 状态变量：能够表示系统状态的变量。表示动态系统的一组最 少变量（被称为状态变量），只要知道 t=t0 时这组变量和 t t0 时的输入，那么就能完全确定系统在 t t0 任何时间的行为。
第6章 连续与离散系统的状态变量分析
•本章导读： •输入-输出法或端口法：对于单输入-单输出系统，仅研究系统的 输出与输入之间的外部特性，不关心系统内部状态的变化过程。 •对多输入-多输出的复杂系统，不仅要关心系统的输出，还要研 究系统内部变量的变化规律，才能达到对系统的设计和控制要求。 •状态变量法又称为内部法，它以描述系统内部特性的状态变量为 分析依据，通过一组状态方程和输出方程，将状态变量和系统的 输入和输出变量联系起来，进而分析系统的外部特性。
在电系统中，独立的电容上电压uC(t)和电感电流 iL(t)有资格称为状态变量。

状态方程与输出方程
对图1，由KCL和KVL，得
L
diL R 2iL u C 0 dt
例
C
du C u C iL 0 dt R1
1 du C R C dt di 11 L dt L
状态变量分析法优点
(1)可以提供系统的内部信息，使人们能够比较容易地解 决那些与系统内部情况有关的分析设计问题。
(2)一阶微分（或差分）方程组便于计算机进行 数值计算；
(3)便于分析多输入－多输出系统； (4)容易推广应用于时变系统或非线性系统。
系统的描述
1. 输入－输出描述 •主要研究单输入－单输出系统； •着眼于系统的外部特性； •基本模型为系统函数。 2. 状态变量分析法 •产生于20世纪50至60年代； •卡尔曼(R. E. Kalman)引入； •利用状态变量描述系统的内部特性； •多运用于多输入－多输出系统； •用n个状态变量的一阶微分（或差分）方 程组来描述系统 。
d12 d 22 dk2


b1m f1 b2 m f2 bnm f m
d 1m f 1 d 2m f2 d km f m
y1 c11 y c 2 21 y k c k 1

c1n x1 d 11 c2 n x 2 d 21 c kn x n d k 1
电路图建立法



(1) 选取电路中所有电容上的电压和电感上的电流作为状态变量。 (2) 利用KCL写出每一个电容的电流 与其他状态变量和输入量之间的关系式。 (3) 利用KVL写出每一个电感的电压 与其他状态变量和输入量之间的关系式。 (4) 若第(2)步和第(3)步所得到的KCL和KVL方程中含有非状态变量，则应利用 适当的节点KCL方程和回路KVL方程将非状态变量消去。 (5) 将第(2)步和第(3)步（或第(4)步）所得到的关系式整理成标准形式, 即 得到电路的状态方程。 (6) 由KCL和KVL写出状态变量和输入量与输出量之间的关系，即得到电路的输 出方程。
R 1 1 d i ( t ) i ( t ) u ( t ) f (t ) L C dt L L L L d u (t ) 1 i (t ) C L C dt
将
R 1 1 d iL (t ) iL (t ) uC (t ) f (t ) dt L L L 写为矩阵形式： d u (t ) 1 i (t ) C L C dt
对包含电容的回路 i1 ( t ), i 2 ( t )列回路电压方程：
e ( t ) i L1 ( t ) d i ( t ) uC ( t ) d t L1
uC ( t ) d i (t ) iL2 (t ) d t L2
d 1 1 分别用 x1， x2， x3 表示 u ( t ) i ( t ) iL 2 (t ) C L 1 整理：d t 2 2 uC (t )， iL1 (t )， iL 2 (t ) d i L1 ( t ) i L1 ( t ) u C ( t ) e ( t ) dt 分别用y，f 表示 d iL 2 (t ) u C (t ) iL 2 (t ) u (t )，e(t ) dt 1 1 写成矩 0 1 x x1 0 2 2 x 1 1 0 x 1 f 阵形式： 2 2 （状态方程） x 1 0 1 x3 0 3 x1 y 0 0 1 x 输出方程为： 2 x3
例2
H (s)
s4 s 6 s 2 11s 6
第6章 连续与离散系统的状态变量分析
•本章导读： •状态变量分析的优点是： •（1）能够提供系统内部信息，同时观测并处理多个系统变量， 从系统内部研究系统的稳定性； •（2）不仅适用于分析单输入-单输出的线性时不变系统，也适用 于分析非线性、时变、多输入、多输出系统；