第八章 导行电磁波(二)

Ez
E0
sin
m
a
x sin n
b
ye j(tkz z)
Hx
j kc2
n
a
E0
s
in
m
a
x cos n
b
ye j(tkz z)
Hy
j kc2
m
a
E0
c
os
m
a
x sin n
b
ye j(tkz z )
式中：
k 2ck 2xk 2y
m
a
2
n
b
2
在矩形波导中TM波的传输常数为
kc2 k 2
n D S
n B 0
对于TM波， 其边界条件为
Ez c 0
Ez
I (z)
j
t2
I (z)
j
kc2
由于kc≠0，所以有
0 c
对于TE波，其边界条件为
H z 0 n c
用横向分布函数表示时有 0
n c
对于TEM波，其边界条件为 Et c 0
或者是用横向分布函数表示为
0 n c
8.2 矩形波导
2 kc2 k 2
对于理想导波系统，k 为实数，而kc是由导波系
统横截面的边界条件决定的，也是实数。这样随着工作频率的 不同， γ2可能有下述三种情况：
(1) γ2<0， 即γ=jβ。此时导行波的场为
E E(u1, u2 )e j(tz)
(2) γ2>0，即γ=α。此时导行波的场为
E E(u1, u2 )eaxe jt
g p
0 r r
3. 相速、群速和色散
(1) 相速。
p

现在我们用分离变量法首先解(8-2-2a)。令
Ex = Ex ( x, y, z ) = X ( x )Y ( y ) Z ( z )
如同 7-2 节，我们有
d2 X + k x2 X = 0 2 dx d 2Y 2 + ky Y =0 dy 2 d2 Z + k z2 Z = 0 dz 2
式中 k x2 + k y2 + k z2 = k 2 。由于电磁波沿正 z 轴方向传播，且波导管四壁为理想导体， 上 面微分方程的解的形式为：
y y=b
o
x x=a
z
图 8-2-1 宽为a、高为 b 的矩形波导管
8-2-1 场分布 在我们这里的讨论中，我们假定波导管的四壁为理想导体，其中的介质为理想 介质(σ = 0, ρf = 0)，电磁波沿 z 轴方向传播。波导管中，电磁场的解属于时变电磁场 边值问题。因此，方程(7-1-3)成为：
∇2 E + k 2 E = 0 ∇i E = 0
∂Ex ∂E y ∂Ez ∂Ez + + = =0 ∂x ∂y ∂z ∂z
将其写成一般形式
∂En =0 ∂n
(8-1-2)
பைடு நூலகம்
式中 n 为理想导体表面法向方向。此式说明，电场法向分量的法向偏导数为零。式 (8-2-1)和(8-2-2)即为理想导体的边界条件。
2
第八章 导行电磁波
8-2 矩形波导
矩形波导管是一个宽 a 高为 b，a ≥ b，的中空矩形金属导管。一般我们取矩 形波导管横断面为平面，如图 8-2-1 所示。
1
事实上，双导线(或平行板)、同轴线、矩形波导、园波导、带状线、微带线、介质 波导都属于导波系统。一般我们又将其归为传输线。 双导线是由两根具有一定半径的导线构成；平行板传输线是由两平行金属板构成； 同轴线是由外包金属和一根导线同轴构成，其间充有介质 (也可不充)； 矩形波导管是 一矩形金属管；园波导是一金属园管；带状线是由三条平行金属板构成； 微带线由金 属底板、介质层和金属带构成；介质波导是一介质棍(如常见的光纤)。这些传输线因特 性不同而用于不同场合。例如双导线适合于传输 100 Mz 以下的电磁波，而光纤用于传 输光波。

第八章 导行电磁波8.1 有一内充空气、截面尺寸为()a b b a ab ⨯<<的矩形波导，以主模工作在20%。

若要求工作频率至少高于主模截止频率的20%。

(1) 给出尺寸a 和b 的设计(2) 根据设计的尺寸，计算在工作频率时的波导波长和波阻抗。

解：(1)根据单模传输的条件，工作波长小于主模的截止波长而大于次高模的截止波长。

对于()a b b a ab ⨯<<的矩形波导，其主模为TE 11，相应的截止波长()102c a λ=。

当波导尺寸2a b <时，其次高模为TE 01，相应的截止波导()012c b λ=。

(TE 20的截止波长()20c a λ=)()()1001c c f f ==由题意，则有()()9101031020%c c f f ⨯-≥()()9010131020%c c f f -⨯≥解得 0.06,0.04a m b m ≥≤ 且2a b <(2)取7,4a cm b cm ==，此时()101 2.14c f G H z ==0.7= 相速度为883104.2910/0.7p v m s ⨯===⨯波导波长为 894.291014.29310p p v cm fλ⨯===⨯波阻抗为10377538.60.7TE Z ===Ω8.2 在尺寸为 222.8610.16a b mm ⨯=⨯得矩形波导中，传输TE 10模，工作频率30G H z 。

(1)求截止波长c λ，波导波长g λ，和波阻抗10T E Z 。

(2)若波导的宽边尺寸增大一倍，上述参数如何变化？还能传输什么模式？ (3)若波导的窄边尺寸增大一倍，上述参数如何变化？还能传输什么模式？ 解：截止波长c λ、波导波长g λ，和波阻抗可由相应的公式直接求解。

当波导尺寸发生变化，相应模式的截止波长(截止频率)将发生变化，从而导致参数10,,c g TE Z λλ 的变化。

由于模式的截止波长(截止频率)发生了变化，而工作频率不变，致使波导中原本不能传输的模式成为可以传输的模式(或波导中原本可以传输的模式变为不能传输的模式)。

t h = jkzH z
c
t e = jkzEz
f
由以上 6 个表达式可见,只要求出 Ez Hz 其它分量就可顺利得到
5、建波方程
2E k2E 0
t2 kz2 E k 2E t2E kc2E 0
2H k2H 0
t2H kc2H 0
k
2 c
k2
k
2 z
z jkz
E e x, y ezEz x, y e jkzz
z
z
jkzE
z
jkz
x
ex
y
ey
z
ez
t
jkzez
4、将已设场解及上式代入到场方程中，得：
t h = j Ezez a
t e = - jHzez d
t Hzez = jkzez h je b t Ezez = jkzez e jh e
Exyz = exEx x, y eyEy x, y ezEz x, ye jkzz = e ezEz x, ye jkzz
Hxyz = exHx x, y eyHy x, y ezHz x, ye jkzz = h ezHz x, ye jkzz
3、建场方程
H = jE E = - jH H = 0 E = 0
由式(a) (c) (d)(f)：
t e = 0 t h = 0 t e = 0
∵梯无旋∴横场有一标量位Φe ∵腔内无源∴
t h = 0
t2e
2e
x2
+
2e
y 2
=
0
由前TE和TM模的计算可知：
由式(b)和Hz
=0
：h
=
kz
e
ez