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电磁场与电磁波第7章、导行电磁波

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电磁场理论-导行电磁波

电磁场理论-导行电磁波

第7章 导行电磁波
上式给出了 g、 和 c 之间的关系。 c 由导波系统的截 面形状、尺寸和模式决定，可以根据具体导波结构求出。 对于 TEM 模， c ，所以 g
可见，TEM 模的波导波长等于填充相同介质的无界空 间中的波长。
(3) 相速
由vp
，可得
TE
和
TM
波相速：
vp
v
v
1 ( c )2
第七章 导行电磁波
第7章 导行电磁波
电磁波除了在无限空间传播外，还可以在某种特定 结构的内部或周围传输，这些结构起着引导电磁波传输 的作用，这种电磁波称为导行电磁波(简称导波)，引导 电磁波传输的结构称为导波结构。导波结构可以由金属 材料构成，也可以由介质材料构成，还可以由金属和介 质共同构成。这里主要讨论在其轴线方向上截面形状、 面积以及所填充媒质均不变的均匀导波结构。无限长的 平行双导线、同轴线、金属波导、介质波导以及微带传 输线等等都是常用的导波结构。
0
，可得：
对 TM 模
Ez 0
对 TE 模，由
(k 2
2
)Et
j
ez
t Hz
t Ez
可得
(k
2
2
)n
Et
j
n ez t H z
n t Ez
j
n ez t H z
0
j n ez t H z
j (n t Hz )ez j
(n ez )t H z
j
H z n
ez
H z 0 n
第7章 导行电磁波
第7章 导行电磁波
1、纵向分量与横向分量的关系
导波结构中电磁场满足无源区域的麦克斯韦方程组：
H

电动力学教程 第7章 导行电磁波

电动力学教程 第7章 导行电磁波

对于TEM波，λc=∞，
0 g r r
7.2 矩形波导
矩形波导的结构如图所示，假定其内的填充介质为理想
介质。矩形波导内只能传播TE波或TM波而不能传播TEM波。 7.2.1 矩形波导中的TM波
2 Ez 2 Ez 2 k c Ez 0 2 2 x y
Ez ( x, y ) X ( x)Y ( y )

1 2
m n a b
2
2
截止波长
c

fc

2 m n a b
2 2
式中 v 1/ 为无限大介质中的电磁波的波速。
截止状态
当工作频率低于截止频率时，即 f < fc，γ为正实数，此
3. 横磁波(TM波)
7.1.1 横电磁波(TEM波)
根据纵横关系，横向场分量不为0的条件是
2 γTEM k2 0
即
γTEM jk jω με
定义 ：导行波的波阻抗 Z
导波系统中，沿波的传播方向构成右手螺旋关系的横 向电场和横向磁场之比，即 x
Ey Ex Z Hy Hx
z
y
m n kc k k a b
2 x 2 y
在矩形波导中TE波的传输常数为
2 2 kc2 k 2 k x ky k2
m n 2 a b
2
2
(2) 当y=0时，Ez=0，
Ez c2c3 sin kx x 0
欲使上式对所有 x值都成立，则c3应为零。此时c2不能为零， 因为若c2等于零，则Ez在非边界处也恒为零，这与TM波的 情况不符，因此只能取c3等于零。

《电磁场与电磁波》课件第七章

《电磁场与电磁波》课件第七章

1
0 0

ln
D
d
120 ln
D
D d
2
2
d
300
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7-3 无损传输线的工作状态
• 一、波的反射 • 二、传输线中电压波的特点
• 三、传输线与负载的阻抗匹配
• 四、例题
一、波的反射
V ( z ) V0 e
I (z)



j z
V ( z ) V0 e
a
E 0 ( x , y ) dl V0e
jkz
任一导体在位置z处的电流为：
H ( x , y , z ) H 0 ( x , y )e
jk z z
I(z)
H ( x , y , z ) dl
l
I(z) e
jkz

l
H 0 ( x , y ) dl I 0e
I (z)



j z
V
0
e
j z
V0

e
j z
ZC
Rg
ZC
上页 下页 返回
Eg
ZC
ZL
z
V V

定义终端电压反射系数为：
(z 0) (z 0)

V0 V0

z0

传输线上各点的电压和电流分别为： 在z=0处
V ( z ) V (e
0 j z
上页 下页 返回
e
j
j z
)
E 1 x E 0 (e
i
jk 1 z
Re
j

电磁场与电磁波第七章

电磁场与电磁波第七章
2.TE波和TM波 若电场在电磁波传播方向上的分量 Ez= 0 ，即电场仅在横
截面内，则此种波型称为横电波，简称 TE 波或 H 波。 若磁场在电磁波传播方向上的分量 Hz= 0 ，即磁场仅在横截面
内，则此种波型称为横磁波，简称 TM 波或 E 波。 TE 波和 TM 波的 kc 0。常用的TE波和TM波传输系统是单导
其中
T
1 k c2
h1u1
h2u2
h2 u 2
h1u1
（7-1-12b）
第七章 导行电磁波
7.2 导行波波型的分类以及导行波的传输特性
7.2.1 导行波波型的分类
导行波的波型是指能够单独存在于导行系统中的电磁波的 场结构形式，也称为传输模式。导行波波型大致分为三类。
1.TEM波
决于传播常数 ，而 满足关系：
2
k
2 c
k2
（7-2-1）
对于无损耗的理想导行系统, k 2 是实数， 为工作
波长，kc 是由导行系统边界条件和传输模式所决定的本征值，也
是实数。令 kc c
2 c
，c 称为截止波长。因此，随着工作
波长的不同， 2 的取值有三种可能，即 2 > 0， 2 < 0, 2 = 0。
E(u1 ,u2 , z) E(u1 ,u2 ) e- z （7-1-2a）
H (u1 ,u2 , z) H (u1 ,u2 ) e- z （7-1-2b）
第七章 导行电磁波
拉普拉斯算子可写为
2
2 T
2 z 2
（7-1-3）
将式（7-1-2）和（7-1-3）代入式（7-1-1），可得 E (u1, u2)、 H (u1, u2) 满足的方程为

电磁场与电磁波理论第7章

电磁场与电磁波理论第7章

7-3
《电磁场与电磁波理论》
第7章均匀波导中的导行电磁波
传输线的基本概念
♥ 常见的传输线的——平行双线、同轴线、微带线、波导管、 介质棒等等.
7-4
《电磁场与电磁波理论》
第7章均匀波导中的导行电磁波
传输线的基本概念
♥ 传输线〔波导〕——用来引导电磁波做定向传播的一种导 波结构.
♥ 导行电磁波〔导波〕——在传输线引导下做定向传播的电 磁波.
第7章均匀波导中的导行电磁波
横向场和纵向场的亥姆霍兹方程
广义柱坐标系 四点假设 纵向场和横向场的导波方程
7-7
《电磁场与电磁波理论》
第7章均匀波导中的导行电磁波
纵向场和横向场的导波方程
♥ 导行电磁波的纵向场和横向场
——导行电磁波的纵向场 ——导行电磁波的横向场
7-8
《电磁场与电磁波理论》
第7章均匀波导中的导行电磁波
♥ 矩形波导中传播的模式必须满足的条件是
〔〕
◘ 对于给定频率的激励源,有可能产生许多的模式,但是只有 满足传播条件的模式才能在波导中传播.反之,要使某一种 模式能在波导中传播,其工作频率必须满足传播条件.
◘ 矩形波导的截止频率不仅与波导的尺寸有关,还与模指数有 关.因此,当波导的尺寸一定时,随着工作频率的的改变,矩形 波导可以多模传播,也可以单模传播,甚至也可以处于截止 状态〔没有模式可以传播〕.
7-24
《电磁场与电磁波理论》
第7章均匀波导中的导行电磁波
1. 矩形波导中的TE模
♥ 矩形波导中的TE模的纵向场的解的特点
◘ 由于有无穷多组解,所以有无穷多个TE模；
◘ 每一对 值都对应着一种波型,故称之为 模；
◘
被称为波型指数或模指数；

2020年电磁场与电磁波第七章

2020年电磁场与电磁波第七章
如图所示矩形波导，宽边尺寸为a，窄边尺寸为b。
波导内填充介电参数为 , 的理想媒质，波导
壁为理想导体。由于矩形波导是单导体波导，故 不能传输TEM波。 7.2.1 矩形波导中的场分布 1. 矩形波导中TM波的场分布 对于TM波，因为 H z 0，波导中的电磁场量由 Ez 决定。在给定的矩形波导中，Ez 满足下面的波动 方向和边界条件：

Ex Hy

j
1
1
Hx
ZTM
Ey, Hy
ZTM
Ex
即：
H

1 ZTM
ez

E
2. 横电波(TE波)
在传播方向上没有电场分量，即 Ez 0 ,
Hx



kc
2
H z x
,Hy



kc2
H z y
Ex

j
kc2
H z y
, Ey

j
E y x
Ex y
jH z
H z y
H y

jEx

H z x
H x

jE y
H y x
H x y

jEz
可以将上面六式中的横向分量由纵向分量 给出：
式中
Hx


1 kc2
(
H z x

j
Ez y
)
Hy


1 kc2

f
v v 1 ( fc )2
f
其中 v 是无界空间的相速度
波阻抗：
波阻抗：
k 1 ( fc )2

ZTM

电磁场与波课件教学PPT-第七章 导行电磁波-精品文档


2Exk2Ex0， 2Hxk2Hx0 —— 横向场方程 2Eyk2Ey0， 2Hyk2Hy0
2 E z k 2 E z 0 ， 2 H z k 2 H z 0—— 纵向场方程
利用解形式化简为：
由于
Ez(x,y,z)Ez(x,y)ez Hz(x,y,z)Hz(x,y)ez
xa
O
边界条件：Ez |x00 Ez |xa0 Ez |y00 Ez |yb0
分离变量法求解偏微分方程： E z(x,y)f(x)g(y)
第七章 导行电磁波
16
电磁场与电磁波
偏微分方程化为微分方程求解：

f
(x)kx2
f
(x)
0
g(y)ky2g(y) 0
f(0)0, f(a)0 g(0)0, g(b)0


H z y
)
Ex

k
1
2 c
(

E z x

j
H z) y
Ey

1
k
2 c
(
E z y

j
H z) x
kc2 2 k2
9
电磁场与电磁波
2. 场方程（分析方法）
根据亥姆霍兹方程 2 E k 2 E 0 ， 2 H k 2 H 0 其场分量形式即为：
电磁场与电磁波
分类分析时变电磁场问题
共性问题
个性问题
0 t
电磁波的
j 典型代表 t
均匀平面波
电磁波的 传输
波导
电磁波的 辐射
天线
第4章
√
第5、6章
√√
第7章
第七章 导行电磁波

谢处方《电磁场与电磁波》(第4版)课后习题-第7章 导行电磁波【圣才出品】

第7章　导行电磁波（一）思考题7.1 什么是导波系统？什么是均匀导波系统？答：导波系统是指引导电磁波沿一定方向传播的装置。

均匀导波系统是指在任何垂直于电磁波传播方向的横截面上，导波装置具有相同的截面形状和截面面积及介质特性。

7.2 写出均匀导波系统中的纵向场分量与横向场分量的关系。

答：均匀导波系统中纵向场分量与横向场分量的关系：7.3 写出矩形波导中纵向场分量Ez 、H z 满足的方程和边界条件。

答：矩形波导中E z 满足下面的波动方程和边界条件：H z 满足下面的波动方程和边界条件：7.4 沿均匀波导传播的波有哪三种基本模式？答：横电磁波（TEM），横磁波（TM），横电波（TE）。

7.5 波阻抗的定义是什么？答：波阻抗在数值上等于与传播方向垂直的横截面内，相互垂直的电场与磁场分量之比。

7.6 试叙述均匀导波系统中的TEM波、TM波和TE波的传播特性。

答：在均匀导波系统中，（1）TEM波的传播特性：传播常数相速度波阻抗（2）TM波的传播特性：E z满足标量波动方程其传播条件f＞f c（或λ＜λc）传播常数波导波长相速度波阻抗（3）TE波的传播特性H z满足标量波动方程，其传播条件，传播常数，波导波长，相速度和TM波的形式相同。

波阻抗7.7 写出a×b矩形波导中TM波和TE波的截止波数、截止频率、相位常数、波导波长、相速度、波阻抗及传播条件。

答：a×b矩形波导中TM波和TE波截止波数截止频率相位常数波导波长相速度波阻抗传播条件f＞f c（或λ＜λc）7.8 矩形波导中的波是否存在色散？答：矩形波导中的波存在色散。

7.9 试说明为什么单导体的空心或填充电介质的波导管不能传播TEM波。

答：如果空心或填充电介质的波导管内存在TEM波，则磁场矢量应在横截面内，磁力线在横截面内形成闭合曲线，沿闭合磁力线的磁场积分应等于与之交链即轴向的电流，波导管不存在轴向的传导电流，因此必要求有轴向位移电流，这就要求存在轴向电场，而TEM波在传播方向上不存在电磁场。

电磁场与电磁波七章讲解


的频率为矩形波导的截止频率或临界频率， 用 fc 表示。
对于尺寸为a×b的矩形波导，其传播常数为

k
2 x

k
2 y
k2


m
a
2


n
b
2
2
c
1

( m )2 ( n )2
a
b

fc

2
1

( m )2 ( n )2
a
b
尺寸为a×b的矩形 波导截止频率
14:01
电磁场与电磁波
第7章 导行电磁波
关于矩形波导截止频率的说明：
cos

n
b
x

cos

n
b
y

e

z
y

e

z


H
y


j

kc2
m
a
E0
cos

m
a
x

sin

n
b
y

e

z
式中：
kc2

kx2

k
2 y


2

k2

( m
a
)2

( n
b
)2
14:01
电磁场与电磁波
第7章 导行电磁波
2 TEM
k2

0
TEM
k2 jk j

相速度：v p

k

《电磁场与电磁波》(第四版)习题集：第7章 导行电磁波

第7章 导行电磁波前面我们讨论了电磁波在无界空间的传播以及电磁波对平面分界面的反射与透射现象。

在这一章中我们将讨论电磁波在有界空间的传播，即导波系统中的电磁波。

所谓导波系统是指引导电磁波沿一定方向传播的装置，被引导的电磁波称为导行波。

常见的导波系统有规则金属波导（如矩形波导、圆波导）、传输线（如平行双线、同轴线）和表面波波导（如微带线），图7.0.1给出了一些常见的导波系统。

导波系统中电磁波的传输问题属于电磁场边值问题，即在给定边界条件下解电磁波动方程，这时我们可以得到导波系统中的电磁场分布和电磁波的传播特性。

在这一章中，将用该方法讨论矩形波导、圆波导和同轴线中的电磁波传播问题以及谐振腔中的场分布及相关参数。

然而，当边界比较复杂时，用这种方法得到解析解就很困难，这时如果是双导体（或多导体）导波系统且传播的电磁波频率不太高，就可以引入分布参数，用“电路”中的电压和电流等效前面波导中的电场和磁场，这种方法称为“等效传输线”法。

这一章我们还将用该方法讨论平行双线和同轴线中波的传播特性。

7.1导行电磁波概论任意截面的均匀导波系统如图7.1.1所示。

为讨论简单又不失一般性，可作如下假设： （1）波导的横截面沿z 方向是均匀的，即导波内的电场和磁场分布只与坐标x ,y 有关，与坐标z 无关。

（2）构成波导壁的导体是理想导体，即σ=∞。

（3）波导内填充的媒质为理想介质，即0σ=，且各向同性。

（4）所讨论的区域内没有源分布，即0ρ=0=J 。

a 矩形波导b 圆柱形波导c 同轴线传输线d 双线传输线e 微带线图7.0.1 常见的几种导波系统（5）波导内的电磁场是时谐场，角频率为ω。

设波导中电磁波沿+z 方向传播，对于角频率为ω的时谐场，由假设条件（1）和（2）可将其电磁场量表示为()()()(),,,,,,,z z x y z x y e x y z x y e γγ--==E E H H (7.1.1)式中γ称为传播常数，表征导波系统中电磁场的传播特性。

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由
2 kc
k
2
2
k
2 2
2 kc
mπ nπ a b
2
2
得到矩形波导中的传播常数为
mπ nπ 2 2 kc k2 k a b
2 2
0 所对应的频率（波长）称为截止频率（波长）
为例，则该导波系统中的电场与磁场可以分别表示
为
E ( x, y, z） E ( x, y）e z
，
H ( x, y, z） H ( x, y）e z
。
j
为传播常数
E 2 E 2 E 2 k E 0 2 2 2 y z x 2 2 2 H H H 2 k H 0 2 2 2 y z x
2 Es z2 0 ，因此
2 xy E s 0
比较式（7-10）与式（7-12）可见，TEM波电场所满足 的微分方程与同一系统处在静态场中其电场所满足的微分 方程相同，又由于它们的边界条件相同，因此，它们的场 结构完全一样，由此得知：任何能建立静电场的导波系统 必然能够维持TEM波。 平行双导线、同轴线以及带状线等能够建立静电场，因 此他们可以传播TEM波。金属波导中不可能存在静电场，因 此金属波导不可能传播TEM 波。
E E E
es
H TEM波 H
es
H
es
TM波
TE波
可以证明，能够建立静电场的导波系统必然能够传输TEM波。 根据麦克斯韦方程也可说明金属波导不能传输TEM波。
几种常用导波系统的主要特性 名 称 波 形 电磁屏蔽
差 好 差
使用波段
> 3m > 10cm 厘米波
双导线 同轴线 带状线
TEM波 TEM波 TEM波
类似地可以导出矩形波导中TE波的各个分量为
mπ nπ H z H 0 cos x cos a b y e jk z z
Hx j
k z H 0 mπ mπ nπ x cos sin 2 kc a a b
1 Ex 2 kc
1 Ey 2 kc
E z H z x j y
E z H z y j x
1 Hx 2 kc
E z H z j y x
TE01 TE20 TM1
1
TE10 截
止 区
2a
0
a

c
2a
时，全部模式被截止，是截止区。
a 2a 时，只能传播波 T E10 ，是单模工作区。
0 a 时，传播多个模式的波，称为多模工作区。
要求矩形波导工作在单模工作区。波导宽壁尺寸应满 足
取
。工程上常 ，窄壁尺寸应满足 a b 2 2 a 0.7 ， b (0.4 ~ 0.5)a 。
（1）m 和 n可以取不同的值，因此，和每取一组值，式 （7-32）就表示波导中TM波的一种传播摸式，以 TMmn 表示，所以波导中可以有无限多个TM模式。
（2）m表示场量在波导宽边上变化的半个驻波的数目，n 表 示场量在波导窄边上变化的半个驻波的数目。由 E z 的表达 式可以看出和不能取为零，所以矩形波导中最低阶的TM模式 是 T M11 波。 （3）波导中的电磁波沿x、y方向为驻波分布，沿z方向为行 波分布。
代入前式即可求出矩形波导中TM 波的各个分量为
mπ nπ jk z z E z E0 sin x sin ye a b
k z E0 mπ mπ nπ jk z z Ex j 2 cos x sin y e kc a a b
第7章、导行电磁波
7.1
7.2
电磁波沿均匀导波系统传播的一般解
矩形波导
7.3
7.4
圆波导
同轴线
7.5
7.6
波导中的传输功率与损耗
谐振腔
第7章、导行电磁波
沿一定的途径传播的电磁波称为导行电磁波， 传输导行波的系统称为导波系统。 常用的导波系统有双导线、同轴线、带状线、
微带、金属波导等。本章仅介绍同轴线和金属波导。
代入波动方程得 即 对于TEM波，当
2 xy E
2E 2 2 2 k 2 E 2 xy E ( k ) E 0 z
2 2 xy E k c E 0
2 kc 0
2 xy E 0
表明传播TEM波的导波系统中，电场必须满足横向拉普拉斯方程。
已知静电场在无源区域中满足拉普拉斯方程，即 2 E 0 s 对于沿Z方向均匀一致的导波系统
2 kc k 2 2 (2f c ) 2
即
fc
kc 2π

1 2
m n a b
2
2
当
f f c 时， k z 为实数，因子 e jk z z 代表向正z 方
fc kz f 1
微
带
准TEM波
TE或TM波 TE或TM波 TE或TM波
差
好 好 差
厘米波
厘米波、毫米波 厘米波、毫米波 光波
矩形波导 圆波导 光 纤
证明：
在直角坐标系下，矢量拉普拉斯算符可分解为与横截面坐标有 关的 2 和与纵坐标有关的 xy
2 z
两部分，即
2 2 2 2 2 2 xy z x2 y2 z2
尤其是矩形金属波导的传播特性。
这些导波系统的结构如下图示。
双导线
同轴线
矩形波导
圆波导
带状线
微
带
介质波导 光 纤
7.1
电磁波沿均匀导波系统传播的一般解
横向场分量与纵向场分量之间的关系
7.1.1
首先设导波系统是无限长的，根据导波系统横
截面的形状选取直角坐标系或者圆柱坐标系，令其
沿z 轴放置，且传播方向为正 z 方向。以直角坐标
由前获知，上式包含了六个直角坐标分量 E x , E y , E z
及
Hx, Hy , Hz
，它们分别满足齐次标量亥姆霍兹方程。
根据导波系统的边界条件，利用分离变量法即可求解这 些方程。
但是实际上并不需要求解六个坐标分量，因为它们
不是完全独立的。根据麦克斯韦方程，可以求出x 分量 及y 分量和z 分量的关系为
z z
E0 mπ mπ nπ jk z H y j 2 cos x sin y e kc a a b
式中
2 kc
2 kx
2 ky
m n a b
2
2
由式（7-32）可见：
2 2
电磁波在波导中的相速度为
vp

kz

v fc 1 f
2

v 1 c
2
电磁波在波导中传播时所对应的波长称为波导波长，
g
vp f

fc 1 f
2


1 c
E z H z j x y
1 Hy 2 kc
式中 k 2 2 k 2 c
k 2 2
这种方法称为纵向场法。
7.1.2
电磁波沿均匀导波系统传播的一般解
TEM波、TE波及TM波的电场方向及磁场方向与传播方向的 关系如下图示。
为了求解上述方程，采用分离变量法。令 E z 0 ( x、y) X ( x)Y ( y)
代入上式，得
X Y kc2 X Y
式中X"表示X对x的二阶导数，Y"表示Y对y的二阶导数。
X Y kc2 X Y
由于上式中的第二项仅为y 函数，而右端为常数， 因此，若将此式对x 求导，得知左端第一项应为常数。 若对y 求导，得知第二项应为常数。
2
式中为电磁波在参数为
也称为工作波长。
，
的无限大媒质中的波长，
波导中的横向电场与横向磁场之比定义为波导的波抗。
TM波的波阻抗为 Z E x TM
Hy
Ey Hx

。 fc kz 1 1 f c
k z E0 nπ mπ nπ jk z z E y j 2 sin x cos y e kc b a b
Hx j
E0 nπ mπ nπ jk z x cos y e sin 2 kc b a b
y e jk z z
Hy j Ex j
k z H 0 nπ mπ nπ x sin cos 2 kc b a b kc2
kc2
y e jk z z y e jk z z
H 0 nπ
mπ nπ cos x sin b a b
2
向传播的波。 当 f f c 时， k z 为虚数，因子 e jk z z e
此式表明时变电磁场没有传播，而是沿正Z 方向不断衰
减的凋落场。电磁波在波导中传播的条件是 f f c 。
相应的截止波长为
c
v fc 2 m n a b
2
2
TE波的波阻抗为 Z TE
kz

fc 1 f
2


1 c