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电磁波第七章讲解

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电磁场理论-导行电磁波

电磁场理论-导行电磁波

第7章 导行电磁波
上式给出了 g、 和 c 之间的关系。 c 由导波系统的截 面形状、尺寸和模式决定，可以根据具体导波结构求出。 对于 TEM 模， c ，所以 g
可见，TEM 模的波导波长等于填充相同介质的无界空 间中的波长。
(3) 相速
由vp
，可得
TE
和
TM
波相速：
vp
v
v
1 ( c )2
第七章 导行电磁波
第7章 导行电磁波
电磁波除了在无限空间传播外，还可以在某种特定 结构的内部或周围传输，这些结构起着引导电磁波传输 的作用，这种电磁波称为导行电磁波(简称导波)，引导 电磁波传输的结构称为导波结构。导波结构可以由金属 材料构成，也可以由介质材料构成，还可以由金属和介 质共同构成。这里主要讨论在其轴线方向上截面形状、 面积以及所填充媒质均不变的均匀导波结构。无限长的 平行双导线、同轴线、金属波导、介质波导以及微带传 输线等等都是常用的导波结构。
0
，可得：
对 TM 模
Ez 0
对 TE 模，由
(k 2
2
)Et
j
ez
t Hz
t Ez
可得
(k
2
2
)n
Et
j
n ez t H z
n t Ez
j
n ez t H z
0
j n ez t H z
j (n t Hz )ez j
(n ez )t H z
j
H z n
ez
H z 0 n
第7章 导行电磁波
第7章 导行电磁波
1、纵向分量与横向分量的关系
导波结构中电磁场满足无源区域的麦克斯韦方程组：
H

第七章 时变电磁场

第七章 时变电磁场

在电导率较低的介质中 Jd Jc
在良导体中
Jd Jc
麦克斯韦认为位移电流也可产生磁场，因此前述安 培环路定律变为
l H dlS(JJd)dS
现在学习的是第8页，共66页
即 l HdlS(JD t)dS
HJD t
上两式称为全电流定律。它表明时变磁场是由传导电
流、运流电流以及位移电流共同产生的。
位移电流是由时变电场形成的，由此可见，时变电场可以 产生时变磁场。
例 已知内截面为a b 的矩形金属波导中的时变电
磁场的各分量为
y
b a
z
EyEy0sin a πxcost (kzz) HxHx0sin a πxcost (kzz) HzHz0coa πsxsi nt(kzz)
x
其坐标如图所示。试求波导中的位移电流分布和波导内
壁上的电荷及电流分布。波导内部为真空。
③ 电通密度的法向分量边界条件与介质特性有关。
在一般情况下，由高斯定律求得 D2nD1n S
或写成矢量形式 en(D 2D S
式中, S 为边界表面上自由电荷的面密度。
现在学习的是第18页，共66页
两种理想介质的边界上不可能存在表面自由电
荷，因此
D1nD2n
对于各向同性的线性介质，得
1E1n2E2n
2E 2 tE 2 J t1
2H2H J
t2
在三维空间中需要求解 6 个坐标分量。
位函数方程为一个矢量方程和一个标量方程
2A2AJ
t2
2Φ2Φ t2
在三维空间中仅需求解 4 个坐标分量。
在直角坐标系中，实际上等于求解 1 个标量方程。
现在学习的是第31页，共66页
5. 位函数方程的求解 根据静态场结果，采用类比方法推出其解。

第7章电磁波的辐射

第7章电磁波的辐射

④ 取向： E 在与赤道面平行的平面内，而 H 在子午面。 这点与电基本阵子电磁场取向正好相反。
第七章 电磁波的辐射
例 7-2 计算长度 dl=0.1λ0的电基本振子当电流振幅值 为2 mA时的辐射功率和辐射电阻。 解：辐射功率:
Pr 40
2
Idl
2
o
2
15.791W
2
辐射电阻：
dl Rr 80 7.8957 0
第七章 电磁波的辐射
例7-3.将周长为0.1λ0的细导线绕成圆环，以构造磁基
本振子，求此磁基本振子的辐射电阻。
解： 此电基本振子的辐射电阻为
a 6 1 Rr 320 320 2 0.01 0 1.9739 10 2
Pr Pr r Pin Pr PL
PL表示天线的总损耗功率。通常，发射天线的损耗功率 包括：天线导体中的热损耗、介质材料的损耗、天线附 近物体的感应损耗等。
第七章 电磁波的辐射
4、增益系数：方向性系数表示天线辐射能量的集中程 度，辐射效率表征在转换能量上的效能。将两者结合起 来 ——天线在其最大辐射方向上远点某点的功率密度与 输入功率相同的无方向性天线在同一点产生的功率密度 之比为增益系数，是表现天线总效能的一个指标。
E ( , ) E max
式中|Emax|是|E(θ，φ)|的最大值。 电（磁）基本振子的方向性函数为：F ( , ) sin
第七章 电磁波的辐射
2、方向性系数：当辐射功率相同时，天线在最大辐 射方向上远区某一点的功率密度与理想无方向性天线在 同一位置处辐射功率密度之比，为此天线的方向性系数。
第七章 电磁波的辐射
第七章 电磁波的辐射

第七章导行电磁波

第七章导行电磁波

ez
ET
（7-2-15）
第七章 导行电磁波
21
对于TEM波，有
Z WTEM
0
r 120 r
r r
（7-2-16）
4．传输功率
导行波的复坡印廷矢量为
S
1
E
H*
，利用式（7-2-15）
2
可得，沿导行系统 + z 方向传输的平均功率为
P
1 2
Re
Σ
(E
H*
)
dΣ
1 2
Re
Σ
(ET
而在其内部不存在传导电流。因此，横向磁场必然要由纵向电场
所产生的位移电流 j Ez 来维系。而TEM波的纵向场为零，
所以不可能存在TEM波。 2.TE波和TM波 若电场在电磁波传播方向上的分量 Ez 0 ，即电场仅在横截
面内，则此种波型称为横电波，简称TE波或H波。 若磁场在电磁波传播方向上的分量 H z 0 ，即磁场仅在横截
2 c
， c
称为截止波长。
因此，随着工作波长的不同， 2 的取值有三种可能，即
2 0 、 2 0 和 2 0 。
第七章 导行电磁波
16
1） 2
0，即
c
，则
为实数，导波场表示为
E(u1,u2 , z) E(u1,u2 )e- z
H (u1,u2 , z) H (u1,u2 )e-j z
第七章 导行电磁波
8
矢量方程（7-1-7a）和（7-1-7c）的求解比较困难，因此 通常并不直接求解 ET 和 H T ，而是结合导行系统的边界条
件求解标量波动方程（7-1-7b）和（7-1-7d），得到纵向场分 量后，再利用场的横向分量与纵向分量之间的关系求得所有横 向分量。场的横向分量与纵向分量之间的关系式可由麦克斯韦 方程组导出。

第七章 原子发射光谱分析 (Atomic Emission Spectrometry知识分享

第七章 原子发射光谱分析 (Atomic Emission Spectrometry知识分享
Aij —两个能级间跃迁概率； νij —发射谱线的频率； T—激发温度（T）；
Ei—激发电位（J或eV)。
Iij
gi g0
AijhijN0ekEiT
原子发射光谱 法定量的依据
基态原子密度（N0）：Iij正比于N0，N0正比于浓度。
激发电位(Excitation potential)
谱线强度与激发电位成负指数关系。在温度一定时，激发 电位越高，处于该能量状态的原子数越少，谱线强度越小。 激发电位最低的共振线通常是强度最大的线。
目前常用的光源有直流电弧(DC arc)、交流电 弧(AC arc)、高压火花(electric spark)及电感耦合等离 子体（ICP）。
1. 直流电弧
优点：电极头温度相对比较高（4000至7000K，与 其它光源比），蒸发能力强、绝对灵敏度高、背景小；
缺点：放电不稳定，且弧较厚，自吸现象严重，故 不适宜用于高含量定量分析，但可很好地应用于矿石 等的定性、半定量及痕量元素的定量分析。
微波光谱法
4×10-7~4×10-10 核磁共振波谱法
高能辐射区
γ射线 能量最高，核能级跃迁 X射线 内层电子能级的跃迁
光学光谱区
(10nm-1000 μm)
紫外光 可见光
原子和分子外层电子能级的跃迁
红外光 分子振动能级和转动能级的跃迁
波谱区
微波 分子转动能级及电子自旋能级跃迁 无线电波 原子核自旋能级的跃迁
2．电磁波谱：电磁辐射按波长顺序排列就称光谱。
光谱区域 γ射线 X射线 远紫外光 近紫外光
光 可见光 学 近红外光 区 中红外光
远红外光
微波
无线电波
波长 5～140pm 10-3～10nm 10～200nm 200～380nm 380～780nm 0.78～2.5μm 2.5～50μm

第七章 均匀平面电磁波

第七章 均匀平面电磁波

4 107 120 1 109 36
第七章 均匀平面电磁波
四.传播特性 5.波印廷矢量
E0 cos(t kz ) S E H a x E0 cos(t kz ) a y 2 E0 az cos2 (t kz )
②等相位面:任一固定时刻,相位相同的点组成的面.
③等相位面方程:
t kz x 常数
④显然随t增加,等相位面必向Z增加方向移动,也即某 一定的E x 值向Z增加的方向移动,也即整个波形向Z增 加方向移动,即向+Z方向传播的简谐波.
第七章 均匀平面电磁波
二.所以波动方程及解:
⑤等相位面上各点相位相等，随时间推移和位置变化始终=常数 等相位面垂直于传播方向(+Z). 小结：

大小上是波阻抗的倍数关系。
(3)瞬时值形式： 将此式乘 e jt取实部可得时域关系式(略)
第七章 均匀平面电磁波
四.传播特性
根据波动方程的解及电磁场关系式不妨设： E a x E 0 cos(t kz ) E0 H a y cos(t kz ) a y H 0 cos(t kz )
2 2 1 T T f

第七章 均匀平面电磁波
四.传播特性
4.波阻抗 电场与磁场复振幅之比,称平面波的波阻抗
E0 k k H0

一般为复数，在理想媒质中,η为实数,即此时 E和H 的相位相同，
如果是真空/空气，则为
0
0 0
第七章 均匀平面电磁波
三.电磁场的关系
E x E x0 cos(t kz x ) Re[Ex e ] 其中 E E e jkz

电磁场与电磁波(第7章)1

电磁场与电磁波(第7章)1
Ex

ez Ex H x H y H z e y z (ex t e y t ez t ) z 0
由此可得
H x H z t t 0
H
x
H y Ex z t 和 H 均与时间无关，因此它们不是波动的部分，故可取
定义
无损耗介质是一种理想情况，在这里指电导率
0
平面波中的电场复数表示形式
E ex Ex ex E0 exp[i(t kz)]＝ex E0 exp[i(t kz / )]
理解
电场矢量的方向是 x 方向，电磁波则是沿 z 方向传播
波速为
v / k 1/ k / v
0
及
Jc 0
H E B t t B 0或 H 0 H E t
一般媒质中的麦克斯韦方程组变为： D 0
( H ) ( D) ( E ) t t
7.3 平面电磁波在有损耗介质中的传播
定义
实际的介质都是有损耗的，因此，研究波在有损耗介质中的传 播具有实际意义。有损耗介质也称为耗散介质，在这里是指电 导率 0 ,但仍然保持均匀、线性及各向同性等特性。 有损耗介质中出现的传导 电流会使在其中传播的电 磁波发生能量损耗，从而 导致波的幅值随着传播距 离的增大而下降。研究表 明，传播过程中幅值下降 的同时，波的相位也会发 生变化，致使整个传输波 的形状发生畸变，如图所 示 平面波在有耗介质中的传播
1. 等效介电系数
对于随时间按照正弦规规律变化的电磁场，其复数形式的麦克斯韦方程中有
E i H H Jc i E E i E

电磁场与电磁波课后习题及答案七章习题解答 (2)

电磁场与电磁波课后习题及答案七章习题解答 (2)

《电磁场与电磁波》习题解答 第七章 正弦电磁波求证在无界理想介质内沿任意方向e n （e n 为单位矢量）传播的平面波可写成j()e n r t m βω⋅-=e E E 。

解 E m 为常矢量。

在直角坐标中故 则 而 故可见，已知的()n j e r t m e βω⋅-=E E 满足波动方程 故E 表示沿e n 方向传播的平面波。

试证明：任何椭圆极化波均可分解为两个旋向相反的圆极化波。

：解 表征沿+z 方向传播的椭圆极化波的电场可表示为式中取显然，E 1和E 2分别表示沿+z 方向传播的左旋圆极化波和右旋圆极化波。

在自由空间中，已知电场3(,)10sin()V/my z t t z ωβ=-E e ，试求磁场强度(,)z t H 。

解 以余弦为基准，重新写出已知的电场表示式这是一个沿+z 方向传播的均匀平面波的电场，其初相角为90︒-。

与之相伴的磁场为 均匀平面波的磁场强度H 的振幅为1A/m 3π，以相位常数30rad/m 在空气中沿z -e 方向传播。

当t=0和z=0时，若H 的取向为y -e，试写出E 和H 的表示式，并求出波的频率和波长。

解 以余弦为基准，按题意先写出磁场表示式 与之相伴的电场为由rad/m β=30得波长λ和频率f 分别为 '则磁场和电场分别为一个在空气中沿ye +方向传播的均匀平面波，其磁场强度的瞬时值表示式为（1）求β和在3ms t =时，z H =的位置；（2）写出E 的瞬时表示式。

解（1）781π10πrad /m rad /m 0.105rad /m 31030β==⨯==⨯在t =3ms 时，欲使H z =0，则要求 若取n =0，解得y =。

考虑到波长260mπλβ==，故因此，t =3ms 时，H z =0的位置为（2）电场的瞬时表示式为在自由空间中，某一电磁波的波长为0.2m 。

当该电磁波进入某理想介质后，波长变为0.09m 。

设1r μ=，试求理想介质的相对介电常数r ε以及在该介质中的波速。

《电磁场与电磁波》(第四版)习题集：第7章 导行电磁波

《电磁场与电磁波》(第四版)习题集：第7章 导行电磁波

第7章 导行电磁波前面我们讨论了电磁波在无界空间的传播以及电磁波对平面分界面的反射与透射现象。

在这一章中我们将讨论电磁波在有界空间的传播，即导波系统中的电磁波。

所谓导波系统是指引导电磁波沿一定方向传播的装置，被引导的电磁波称为导行波。

常见的导波系统有规则金属波导（如矩形波导、圆波导）、传输线（如平行双线、同轴线）和表面波波导（如微带线），图7.0.1给出了一些常见的导波系统。

导波系统中电磁波的传输问题属于电磁场边值问题，即在给定边界条件下解电磁波动方程，这时我们可以得到导波系统中的电磁场分布和电磁波的传播特性。

在这一章中，将用该方法讨论矩形波导、圆波导和同轴线中的电磁波传播问题以及谐振腔中的场分布及相关参数。

然而，当边界比较复杂时，用这种方法得到解析解就很困难，这时如果是双导体（或多导体）导波系统且传播的电磁波频率不太高，就可以引入分布参数，用“电路”中的电压和电流等效前面波导中的电场和磁场，这种方法称为“等效传输线”法。

这一章我们还将用该方法讨论平行双线和同轴线中波的传播特性。

7.1导行电磁波概论任意截面的均匀导波系统如图7.1.1所示。

为讨论简单又不失一般性，可作如下假设： （1）波导的横截面沿z 方向是均匀的，即导波内的电场和磁场分布只与坐标x ,y 有关，与坐标z 无关。

（2）构成波导壁的导体是理想导体，即σ=∞。

（3）波导内填充的媒质为理想介质，即0σ=，且各向同性。

（4）所讨论的区域内没有源分布，即0ρ=0=J 。

a 矩形波导b 圆柱形波导c 同轴线传输线d 双线传输线e 微带线图7.0.1 常见的几种导波系统（5）波导内的电磁场是时谐场，角频率为ω。

设波导中电磁波沿+z 方向传播，对于角频率为ω的时谐场，由假设条件（1）和（2）可将其电磁场量表示为()()()(),,,,,,,z z x y z x y e x y z x y e γγ--==E E H H (7.1.1)式中γ称为传播常数，表征导波系统中电磁场的传播特性。

垂直极化波

垂直极化波

E1 xˆEi0e jk1z
H1
yˆ
Ei0
1
e
jk1z
透射波为： E1 xˆEi0Te jk1z
H1
yˆ
Ei0
1
Te jk1z
电磁场与电磁波 第七章 平面电磁波的反射与折射，导行电磁波
①区中任一点的合成电场强度和磁场强度可表为
E1 xˆEi 0 (e jk1z e jk1z )
,
v Ei
v vv
Hi
Hr
1
1
(zˆ) Er
yˆ
Er0
1
e jk1z
O v
z
Er
k1
11
2 1
,1
1 1
在介质空E间内xˆ任(E一i0e点 j的k1z 电 E场r0：e jk1z )
v v v
Hr
边界条件：理想导体表面上电场强度切向分量为零。
z0 时
Ei0 Er0 0
Er0 Ei0
yˆ
Et0
2
e jk2z
根据边界条件： 在 z 0 处有：
x
1 ,1
v Ei
v v v1
Hi vO Er
v v1 v
Hr
2 ,2
v Et
v v v2
Ht
z
E1t E2t
H1t H2t
电磁场与电磁波 第七章 平面电磁波的反射与折射，导行电磁波
则：
Ei0 Er0 Et0
Ei0 Er0 Et0
H1
yˆ
Ei0
1
(e jk1z
e jk1z )
②区中任一点的电场强度和磁场强度分别为
E2 Et xˆTE i 0e jk2z

物理光学-第七章：光的偏振与晶体光学基础

物理光学-第七章：光的偏振与晶体光学基础
v s 为光线速度（射线速度，能量传播速度）
一、偏振光和自然光的特点
由麦克斯韦理论知：
光波是一种横波，即它的光矢量始终是与传
播方向垂直的。


kE0 kB0

B

1


k

E
1.线偏振光：光矢量的振动方向在传播过程 中（在自由空间中）保持不变，只是它的大 小在随位相改变，即为线偏振光。
2.振动面：线偏振光的光矢量与传播方向组 成的面。
2、由二向色性产生线偏振光 二向色性：某些各向异性的晶体对不同振动 方向的偏振光有不同的吸收系数的性质。
晶体的二向色性与光波波长有关，当振动方 向互相垂直的两束线偏振白光通过晶体后会 呈现出不同的颜色。此为二向色性这个名称 的由来。
§7－1偏振光和自然光
此外，有些原本各向同性的介质在受到外界 作用时会产生各向异性，它们对光的吸收本 领也随着光矢量的方向而变。把介质的这种 性质也称为二向色性。
§7－1偏振光和自然光
6.部分偏振光：自然光在传播过程中，若受 到外界的作用造成各个振动方向上的强度 不等，使某一方向振动比其它方向占优势， 即为部分偏振光。它可看成是由自然光和 线偏振光混合而成。
7.偏振度：线偏振光在部分偏振光总强度中 所占的比例： PIP ImaxImin
It ImaxImin
我们把这时的最小透射光强与两偏振器透光 轴互相平行时的最大透射光强之比称为消光 比，它是衡量偏振器件质量的重要参数。
§7－2晶体的双折射
当一束单色光在各向异性晶体的界面折射时， 一般可以产生两束折射光，这种现象称为双 折射。双折射现象比较显著的是方解石 （CaCO3）. 实验现象：取一块冰洲石（方解石的一种） 放在一张有字的纸上，我们将看到双重的像， 且冰洲石内的两个像浮起的高度是不同的， （此是光的折射引起的，折射率越大，像浮 起的高度越大）。

第7章-平面电磁波对理想介质与理想导体分界面的垂直入射

第7章-平面电磁波对理想介质与理想导体分界面的垂直入射
第7章 均匀平面波对理想介质-良导 体分界面的垂直入射
主讲： 赵朋程
西安电子科技大学物理与光电工程学院
7.2 对理想导体的分界面的垂直入射
建立图示坐标系
z < 0中，媒质1 为理想介质， 1、1 1 0 z > 0中，媒质 2 为理想导体 2
入射波沿x方向线极化
E+
x
入
H+
反
E y
从斯耐尔折射定律可知，对于非磁性媒质，当 1 2 (即波从光密
媒质入射到光疏媒质)时
sini 2 1 sint 1
即：透射角大于入射角。很明显，当入射角增大为某一特定角度时，
透射角t

2
。当入射角进一步增大时，就将不再存在透射波——
全反射，此时在分界面上电磁波反射系数模为1。
120
(evz ) (evx

jevy
)e
j
z

E0
120
(evy

jevx )e j z
v vv H合＝Hi Hvr 感应电流为：J s

n)
v H
z=0

(evz )
v H合

E0
60
(evx

jevy )
（4）合成波电场强度为：
v E
v Ei
v Er
(evx

v H
－＝evy
Em

(e jkz
e jkz )
evy
2

Em
cos kz
合成场的实数（瞬时）形式：
v E合

Re[
jevx 2Em
sin

电磁场与电磁波第7章 电磁波的辐射

电磁场与电磁波第7章 电磁波的辐射
是球面波。由于等相位面上任意点的E、H
振幅不同，所以又是非均匀平面波。Eθ/Hφ=η是一常数，等于媒 质的波阻抗。
第七章 电磁波的辐射
③ 场的振幅：远区场的振幅与r成反比；与I、dl/λ成正比。 值得注意，场的振幅与电长度dl/λ有关，而不是仅与几何尺寸dl 有关。
④ 场的方向性：远区场的振幅还正比于sinθ，在垂直于天线 轴 的 方 向 (θ=90°) ， 辐 射 场 最 大 ； 沿 着 天 线 轴 的 方 向 (θ=0°) ， 辐射场为零。这说明电基本振子的辐射具有方向性， 这种方向 性也是天线的一个主要特性。
k1r(k1)r2(k1)r3,ejkr1
ErjI2dc lro 3 s42p r3co s
第七章 电磁波的辐射
EjI2ds lir3n 4pr3sin
H
Idlsin 4r2
式中p=Qdl是电偶极矩的复振幅。 因为已经把载流短导线看成一 个振荡电偶极子，其上下两端的电荷与电流的关系是I=jωQ。
H J j E E J m j H D B m
第七章 电磁波的辐射
2.
当kr>>1时，r>>λ/2π，即场点P与源点距离r远大于波长λ的 区域称为远区。 在远区中，
k1r(k1r)2 (k1r)3
远区电磁场表达式简化为
E
j
Idl2ksinejkr 4r
j
Idlsinejkr 2r
E
j
Idlskinejkr 4r
j
Idlsinejkr 2r
第七章 电磁波的辐射
以空气中的波阻抗 0
0 120 0
代入， 可得
Pr
402
Idl2
2
式 中 I 的 单 位 为 A( 安 培 ) 且 是 复 振 幅 值 ， 辐 射 功 率 Pr 的 单 位 为 W(瓦)，空气中的波长λ0的单位为m(米)。

【学习】第七章正弦平面电磁波

【学习】第七章正弦平面电磁波

]
二、麦克斯韦方程组的复数形式 很明显，对于时谐场
电子科技大学
E t R e [jE m e j t], B t R e [jB m e j t]
故由麦克斯韦方程组微分形式，可得：
H Je E B B0
D t
t (B((HEmemmejejtj)tt))0(Jjm BmjejDt m)ejt
5.3 时变电磁场的能量
电子科技大学
1 Poynting定理
时变电磁场具有能量已被大量的事实所证 明。时变电磁场可以脱离电荷或电流而在 空间存在，且随时间的变化在空间以波动 形式传播。那么时变电磁场的能量又以何 种形式存在于空间，它是否随电磁波的传 播而在空间传播？首先来讨论时变电磁场 能量的守恒与转化关系。
R e [ ( e x E x m e y E y m e z E z m ) e jw t]
Re[Emejwt ]
式中：E mexE xm eyE ym ezE zm
同理，可得：
DHRRee[[DHmmeejwjwtt]]
J Re[Jmejwt ]
Re[mejwt ]
B
Re[Bmejwt
t
j H jk ( E 0 e jkr)
H
kE
k 为表示波传播方向
的单位矢量。
同理可以推得： E H k
电子科技大学
从公式可知：均匀平面电磁波中电场幅度和磁场幅度 之比为一定值。定义电场幅度和磁场幅度比为媒质本征
阻抗，用 表示，即：
＝ E ——媒质本征阻抗 H
特殊地：真空（自由空间）的本振阻抗为：
☺☺
0
π
2π 3π
电子科技大学
实数首形先式考为察：Em e jkz 。其

第七章_波动

第七章_波动
(1) x = 0 处质元振动的速度： υ dy0 0.1π sin( πt φ ) dt
t = 0 时： 0.1π 0.1π sinφ φ π 2
x = 0 处质元的振动方程： 1
y0 0.1cos π( t 2 ) ( m )
波函数： y 0.1cos π( t x 1 ) 0.1 sinπ( t x ) ( m ) 2
E增大时，体积元从一侧吸收能量； E减小时，从
另一侧输出能量，从而实现能量的传递。
2、波的能流、能流密度：
能流：单位时间内通过某一面积的波的能量。 平均能流： E w uS 1 2 A2 u S
2
能流密度（波的强度）： 通过垂直于波传播方向单位面积的平均能流。
I E w u 1 2 A2 u
(2) t = 1s 时：
y 0.1 sinπ( 1 x ) 0.1 sin πx ( m )
y/m
0.1
1
3 x/m
o
2
(3) x = 0.5m 处质元的振动方程：
y
0.1 sinπ( t 1 ) 0.1cos πt ( m )
x0.5 m
2
习题习7-题12 7-12：一正弦横波沿一张紧的弦从左向右传播，A=10cm, λ= 200cm, u = 100 cm/s。t = 0 时，弦左端经平衡位置向下运 动。求：(1) 弦左端振动方程；(2) 波函数；(3) x=150cm处质 元的振动方程；(4) 弦上质点的最大振动速度；(5) t=3.25s时， x = 150cm 处质元的位移和速度。
λ
22 2
0.1 sinπ( t x ) ( m )
(3) x=150cm处质元的振动方程为： y 0.1 sinπ( t 1.5 ) ( m )
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Ez (x, y, z)、Hz (x, y, z) —— 纵向分量
电磁场与电磁波
第7章 导行电磁波
8
横向场分量与纵向场分量的关系
直角坐标系中展开
Ez y
Ey

j H x
E

j H

Ez x
Ex

j H y
Ey x
Ex y
j H z
k 1 ( fcmn / f )2 k 1 ( / cmn )2



vpmn mn k
1 ( fcmn / f )2 k
波导波长
gmn

2π


k
2π
2π

1 ( fcmn / f )2 k
电磁场与电磁波
第7章 导行电磁波
20
波阻抗
ZTMmn

mn j
★ 波导内的电磁场为时谐场。波沿 + z 方向传播。
电磁场与电磁波
第7章 导行电磁波
7
1、场矢量 对于均匀波导，导波的电磁场矢量为
E(x, y, z) E(x, y)e z H (x, y, z) H (x, y)e z
场分量：
Ex (x, y, z) Ex (x, y)e z Ey (x, y, z) Ey (x, y)e z
电磁场与电磁波
第7章 导行电磁波
21
例7.2.1 在尺寸为 ab 22.86mm10.16mm的矩形波导中，
传输TE10 模，工作频率10GHz。
（1）求截止波长、波导波长和波阻抗；
（2）若波导的宽边尺寸增大一倍，上述参数如何变化？还能
传输什么模式？
（3）若波导的窄边尺寸增大一倍，上述参数如何变化？还能
其中：
mn
k2 cmn
k2

k2 cmn
2
矩形波导中的TEmn 波和TMmn 波的传播特性与电磁波的波数 k 和截止波数kcmn 有关。
当 kcmn > k 时，γmn为实数， emn为z 衰减因子
—— 相应模式的波不能在矩形波导中传播。
波阻抗
ZTMmn

mn j
电磁场与电磁波
第7章 导行电磁波
15
所以TE波的场分布
Hz
(x,
y,
z)

Hm
cos(
mπ a
x)
cos( nπ b
y)e
z
Hx (x,
y,
z)


kc2
mπ a
Hm
sin( mπ a
x) cos( nπ b
y)e z
H y (x,
y, z)


kc2
nπ b
Hm
cos( mπ a
x) sin( nπ b

kc2 )Hz (x,
y)

0
y
z
边界条件
H z x
|x0
0
H z x
|xa 0
xa
b
O
H z y
|y0
0
H z y
|yb 0
其解为
Hz
(x,
y)

Hm
cos( mπ a
x) cos(nπ b
y)
kcmn
( mπ)2 ( nπ)2
a
b
m 0，1，2，3, n 0，1，2，3,
传输什么模式？
解：（1）截止波长 c10 2a 2 22.86 45.72 mm
fc10 2a
1
0 0

3108 2 22.26103
6.56109 Hz
g10
0
1 ( fc10
f )2
电磁场与电磁波
第7章 导行电磁波
16
3. 矩形波导中的TM 波和TE波的特点
m 和n 有不同的取值，对于m 和n 的每一种组合都有相应的截 止波数kcmn 和场分布，即一种可能的模式，称为TMmn 模或 TEmn 模；
不同的模式有不同的截止波数kcmn ；
由于对相同的m 和n，TMmn 模和TEmn 模的截止波数kcmn 相 同， 这种情况称为模式的简并；


j
kc2
mπ a
mπ Em cos( a
x) sin( nπ b
y)e z
Hz (x, y, z) 0
m 1，2，3,
n 1，2，3,
电磁场与电磁波
第7章 导行电磁波
14
2. 矩形波导中的TE波的场分布
对于TE波，Ez= 0，波导内的电磁场由Hz 确定
方程
(
2 x2

2 y2

mn

k

1 ( fcmn f )2

结论：
j


Z TEmn mn

mn k
1 ( fcmn
f )2

当工作频率 f 大于截止频率fcmn 时，矩形波导中可以传 播相 应的TEmn 模式和TMmn 模式的电磁波；
当工作频率 f 小 于或等于截止频率fcmn时，矩形波导中不能 传播相 应的TEmn 模式和TMmn 模式的电磁波。

1 kc2
(
Ez x

j
H z y
)
Ey

1 kc2
(
Ez y

j
H z x
)
kc2 2 k 2
电磁场与电磁波
第7章 导行电磁波
9
导波的分类
如果 Ez= 0， Hz= 0，E、H 完全在横截面内，这种波被称为 横电磁波，简记为 TEM 波，这种波型不能用纵向场法求解；
Hx (x, y, z) H x (x, y)e z H y (x, y, z) H y (x, y)e z
Ez (x, y, z) Ez (x, y)e z
Hz (x, y, z) H z (x, y)e z
其中：
Ex (x, y, z)、Ey (x, y, z)、H x (x, y, z)、H y (x, y, z) —— 横向分量

a
k y

nπ b
g( y)
C sin( nπ
y)

b
m 1，2，3, n 1，2，3,
故
Ez (x,
y)

f
( x) g ( y)

Em
sin(
mπ a
x)sin( nπ b
y)
k2 cmn

kx2m

k
2 yn

( mπ )2 a
( nπ )2 b
截止波数只与波导 的结构尺寸有关。
直角坐标系中展开
H z y
Hy

j Ex

H

j E
H z
x
Hx

j Ey
H y x
H x y

j Ez
Hx

1 kc2
( j
Ez y

H z x
)
Hy

1 kc2
(
j
Ez x

H z y
)
Ex
问题，即

f
(x)

k x2
f
(x)

0
f (0) 0, f (a) 0

g
(
y)

k
2 y
g
(
y)

0
g(0) 0, g(b) 0
kx2

k
2 y

kc2
两个固有值问题的解为一系列分离的固有值和固有函数:
kx

mπ a

f
(x)

Asin( mπ
x)
第7章 导行电磁波
6
7.1 导行电磁波概论
分析均匀波导系统时，
做如下假定：
★ 波导是无限长的规则直波 导，其横截面形状可以任 意，但沿轴向处处相同， 沿z 轴方向放置。
★ 波导内壁是理想导体，即 = 。
★ 波导内填充均匀、线性、各向同性无耗媒质，其参数 、 和 均为实常数。
★ 波导内无源，即 ＝0，J ＝0。

2 y2

kc2 )Ez (x,
y)

0
边界条件 Ez |x0 0 Ez |xa 0
y
b
z
Ez |y0 0 Ez |yb 0
xa
O
利用分离变量法可求解此偏微分方程的边值问题。
电磁场与电磁波
第7章 导行电磁波
12
设 Ez 具有分离变量形式，即 Ez (x, y) f (x)g( y) 代入到偏微分方程和边界条件中，得到两个常微分方程的固有值

k
j
1 (kcmn k)2
j
j
Z TEmn mn
k
1 (kcmn
k)2
纯虚数
电磁场与电磁波
第7章 导行电磁波
18
当 kcmn = k 时，γmn= 0，
—— 相应模式的波也不能在矩形波导中传播。
由 kcmn k 定义
截止角频率：cmn
kcmn

电磁场与电磁波
第7章 导行电磁波
1
电磁场与电磁波
第7章 导行电磁波
2
导行电磁波 —— 被限制在某一特定区域内传播的电磁波
导波系统 —— 引导电磁波从一处定向传输到另一处的装置