02-04 单元刚度矩阵

1§2-4 单元刚度矩阵第四步：利用平衡方程，建立节点力和节点位移之间的关系，即用单元节点位移表示节点力。

上节己给出了用节点位移表示单元应力和应变。

本节来推导单元节点力和节点位移之间的关系。

一、 节点力和节点位移间的关系节点力是指弹性体离散化之后，外载、约束和其他单元通过节点作用在某一单元上的力。

对于己从整体结构中取出来的单元来说，作用在其上的节点力就是外力。

这些节点力在单元内部会引起相应的应力。

当整体处于平衡状态时，单元在节点力作用下也处于平衡状态。

在平面问题中节点力有二个分量，分别用U 和V 加节点号下标表示该节点水平和垂直节点力分量(有时还再加单元号上标表示该单元上的节点力)。

节点力的方向以节点对单元的力沿坐标正方向为正，反之为负。

对三节点三角形单元来讲，共有六个节点力分量(如图2-11所示)。

用列阵表示为：{}[][]eTTT TTijm iijj m m F F F F U V UV U V ==； {}[] (Ti i i F U V i ,j ,m= (2-24) 1． 虚位移原理为了推导单元的节点力与单元节点位移之间的关系，要用到虚位移原理。

2． 节点力和节点位移间的关系虚位移原理在一处于平衡状态的单元上的数学描述为：单元上节点力(外力)在某一虚位移上所作的虚功应等于单元应力(内力)在相应虚应变上所作的虚功。

设单元节点处的虚位移为{}**********()()()eTTTTTii j m iijjmm u v u v u v δδδδ⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦；{}*iδ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧**i i v u (i,j,m ) (2-25) 采用和真实位移相同的位移模式，则单元内各点的虚位移为[]eTN vuf }]{[}{****δ== (a)相应虚应变为{}[]{}εδ**=B e(b)2 于是虚功方程可写成{}{}⎰⎰=eT e T e ytx F d d }{)}({**σεδ (2-26)将(b)式及(2-18)式代入上式，得[]{}[][]{}({}){}()d d **δδδe T eeTeeF B D B x yt =⎰⎰根据矩阵乘法逆序法则，上式可以写成[][][]{}({}){}({})d d **δδδeTeeTTeeF B D B x yt =⎰⎰由于列阵{}e*δ中的元素是常量，即与单元内点的位置坐标x ，y 无关，上式右边的T e )}({*δ可以提到积分号前面去。

又由于虚位移可以是任意的，所以矩阵T e )}({*δ也是任意的，因此等式两边与它相乘的矩阵应当相等，于是得[][][]{}e eT e yt x B D B F δ⎰⎰=d d }{ (2-27) 令[][][][]eTK B D B tdxdy =⎰⎰ (2-28) 则(2-27)式得{}{}[]F K e ee=δ (2-29)这就是节点力与节点位移之间的关系式。

由于〔D 〕中的元素是常量，而且在线性位移模式的情况下，〔B 〕中的元素也是常量，同时，d d x y =∆⎰⎰(单元面积)，则公式(2-27)与(2-28)就简化为[][][]{}{}T e e F B D B t δ=∆ (2-30)[][][][]K B D B t eT=∆ (2-31)矩阵eK ][反映了单元节点力与节点位移之间的关系，所以称其为单元的刚度矩阵。

矩阵eK ][表示该单元各节点沿坐标方向发生单位位移时引起的节点力，它决定于单元的形状，大小，方位和弹性常数，而与单元的位置无关，即不随单元或坐标轴的平行移动而改变。

3二、 单元刚度矩阵的计算为了计算单元刚度矩阵e K ][的值，将(2-31)式展开可得[][][][][][]TiTejij m T mB K B D B B B t B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤=∆⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦[][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][]T TTi ii j i m TTTj i j j j m T TT m i m j m m ii ij im ji jj jm m im j m m B D B B D B B D B B D B B D B B D B B D B B D B B D B k k k k k k k k k ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦(2-32)对于6自由度的三角形三节点单元，其单元刚度矩阵为6×6阶方阵。

其中子矩阵[]rs k (r ,s =i ,j ,m )是九个2×2阶方阵，它们写成一个统一的计算格式，即[][][][]Trs r s k B D B t =∆ (r ,s =i,j,m ) (2-33)式中01[]0201[]02rr Tr r r s s sss b c B c b b B c c b ⎡⎤=⎢⎥∆⎣⎦⎡⎤⎢⎥=⎢⎥∆⎢⎥⎣⎦(r ，s =i ，j ，m )对于平面应力问题21122[]114(1)22r s r s r s r s rs r s r s r s r s b b c c b c c b Et k c b b c c c b b μμμμμμμ--⎡⎤++⎢⎥=⎢⎥---∆⎢⎥++⎢⎥⎣⎦(r ,s =i,j,m ) (2-34)对于平面应变问题121221211[]121241(12)12121r s r s r s r s rs r s r s r s r sb bc c b c c b E tk c b b c c c b b μμμμμμμμμμμμμμ--⎡⎤++⎢⎥---⎢⎥=--+-∆⎢⎥++⎢⎥---⎣⎦（）（）（）（）（）（）（）（）（） (r ,s =i,j,m ) (2-35)4三、 单元刚度矩阵的物理意义单元刚度矩阵e K ][表示三角形单元抵抗变形的能力，即表示了节点位移e }{δ与节点力e F }{之间的关系。

将(2-29)式写成下面形式{}[][][]{}{}=[][][]{}{}[][][]{}i ii ij im i j ji jj jm j m m im j m m m F k k k F k k k F k k k δδδ⎡⎤⎧⎫⎧⎫⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎩⎭⎩⎭⎣⎦ (2-36)根据矩阵乘法可得{}[]{}[]{}[]{}{}[]{}[]{}[]{}{}[]{}[]{}[]{}i ii i ij j im m j ji i jj j jm m m m i i m j j m m m F k k k F k k k F k k k δδδδδδδδδ=++=++=++ (2-37) 从(2-37)式的第一式可以看出，[]ii k 、[]ij k 、[]im k 分别表示使节点i 、节点j 与节点m 产生单位位移时，在节点i 上所需要施加的节点力的大小，即在单元节点i 处产生的作用力。

◆ []{}ij j k δ则表示节点j 产生j δ位移时，在节点i 处所产生的弹性力，其余类推。

由此可知： ◆ 子矩阵[]rs k 表示使节点s (s =i,j,m 〕产生单位位移时，在节点r (r =i,j,m )处所产生弹性力的大小。

现将单元刚度矩阵子矩阵展开成如下形式[]rsrs rs rsrs k k k k k ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦并将(2-37)式中节点力列阵eF }{与节点位移列阵e}{δ均展开成6×1阶列矩阵，则（2-29）式所列平衡方程为i iii ij ij im im i i ii ij im im i i ij i i j i ji jj jj jm jm j j j j ji jj jm jm j i jj mm m i m j m m m m m i m j m m m im jm mm m m im jk k k k k k U u k k k k k k Vv k k k k k k U u V v k k k k k k U u k k k k k k V v k k k k k k ⎡⎤⎧⎫⎧⎫⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎢⎥=⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭⎢⎥⎣⎦(2-38) 由此可见，单元刚度矩阵中的每一个元素都有其明显的物理意义，即表示后一下标所示的节点5的某一方向上产生单位位移时，在前一下标所示的节点的某一方向上所产生的作用力。

其中元素rs k (r 、s =i,j,m )的下标上有“一”的表示水平方向，没有“一”的表示垂直方向。

例如：◆ j i k 表示节点i 在水平方向产生单位位移时，在节点i 所产生的水平作用力。

◆ j i k 表示节点j 在垂直方向产生单位位移时，在节点i 所产生的水平作用力。

◆ i k 表示节点j 在水平方向产生单位位移时，在节点i 所产生的垂直作用力。

◆ ij k 表示节点j 在垂直方向产生单位位移时，在节点i 所产生的垂直作用力。

其余类推。

同时可以得出：单元一个节点上的节点力分量是本单元上三个节点六个位移分量对其提供贡献的总和，即U ku k v V k u k v r r ss r s s s i j mr rs s rs s s i j m =+=+⎫⎬⎪⎭⎪==∑∑()(),,,, r =i,j,m (2-39)这其中包括该节点对自己做出的贡献和其它节点对该节点提供的贡献，即节点之间互相做出贡献。

但应注意分清所求节点力之点(r )与提供贡献之点(s )，即s 节点对r 节点提供贡献，其单元刚度子矩阵为][rs k 。

四、 单元刚度矩阵的特性1. 对称性，就是说单元刚度矩阵是一个对称矩阵。

根据(2-34)式，将单元刚度矩阵eK ][中各元素相互对照便得21()4(1)2i i i i Et k b c c b k μμμ-=+=-∆21()4(1)2i j i j Et k b b c c k μμ-=+=-∆21()4(1)2i i i i ij ji Et k c b b c k μμμ-=+=-∆余类推。

由此可见，在单元刚度矩阵这个6×6阶方阵中，对称于主对角线的元素都两两相等，所以它是一个对称矩阵，即6[]ii i i j i ji jj eji jj j m i m j m m m i m j m im jm m m m m im jk k k k k k K k k k k k k k k k k k k k k k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦对称单元刚度矩阵的对称性是由在弹性体上功的互等定理而来的。