第2章3_单元刚度方程和单元刚度矩阵

1§2-4 单元刚度矩阵第四步：利用平衡方程，建立节点力和节点位移之间的关系，即用单元节点位移表示节点力。

上节己给出了用节点位移表示单元应力和应变。

本节来推导单元节点力和节点位移之间的关系。

一、 节点力和节点位移间的关系节点力是指弹性体离散化之后，外载、约束和其他单元通过节点作用在某一单元上的力。

对于己从整体结构中取出来的单元来说，作用在其上的节点力就是外力。

这些节点力在单元内部会引起相应的应力。

当整体处于平衡状态时，单元在节点力作用下也处于平衡状态。

在平面问题中节点力有二个分量，分别用U 和V 加节点号下标表示该节点水平和垂直节点力分量(有时还再加单元号上标表示该单元上的节点力)。

节点力的方向以节点对单元的力沿坐标正方向为正，反之为负。

对三节点三角形单元来讲，共有六个节点力分量(如图2-11所示)。

用列阵表示为：{}[][]eTTT TTijm iijj m m F F F F U V UV U V ==； {}[] (Ti i i F U V i ,j ,m= (2-24) 1． 虚位移原理为了推导单元的节点力与单元节点位移之间的关系，要用到虚位移原理。

2． 节点力和节点位移间的关系虚位移原理在一处于平衡状态的单元上的数学描述为：单元上节点力(外力)在某一虚位移上所作的虚功应等于单元应力(内力)在相应虚应变上所作的虚功。

设单元节点处的虚位移为{}**********()()()eTTTTTii j m iijjmm u v u v u v δδδδ⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦；{}*iδ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧**i i v u (i,j,m ) (2-25) 采用和真实位移相同的位移模式，则单元内各点的虚位移为[]eTN vuf }]{[}{****δ== (a)相应虚应变为{}[]{}εδ**=B e(b)2 于是虚功方程可写成{}{}⎰⎰=eT e T e ytx F d d }{)}({**σεδ (2-26)将(b)式及(2-18)式代入上式，得[]{}[][]{}({}){}()d d **δδδe T eeTeeF B D B x yt =⎰⎰根据矩阵乘法逆序法则，上式可以写成[][][]{}({}){}({})d d **δδδeTeeTTeeF B D B x yt =⎰⎰由于列阵{}e*δ中的元素是常量，即与单元内点的位置坐标x ，y 无关，上式右边的T e )}({*δ可以提到积分号前面去。

１.1 有限单元法中“离散”的含义是什么？有限单元法是如何将具有无限自由度的连续介质问题转变成有限自由度问题的？位移有限元法的标准化程式是怎样的?(１)离散的含义即将结构离散化，即用假想的线或面将连续体分割成数目有限的单元,并在其上设定有限个节点;用这些单元组成的单元集合体代替原来的连续体,而场函数的节点值将成为问题的基本未知量。

(２）给每个单元选择合适的位移函数或称位移模式来近似地表示单元内位移分布规律，即通过插值以单元节点位移表示单元内任意点的位移。

因节点位移个数是有限的,故无限自由度问题被转变成了有限自由度问题。

(３）有限元法的标准化程式:结构或区域离散，单元分析,整体分析,数值求解。

１.3 单元刚度矩阵和整体刚度矩阵各有哪些性质?各自的物理意义是什么?两者有何区别?单元刚度矩阵的性质：对称性、奇异性（单元刚度矩阵的行列式为零)。

整体刚度矩阵的性质:对称性、奇异性、稀疏性。

单元Ｋiｊ物理意义Ｋij 即单元节点位移向量中第ｊ个自由度发生单位位移而其他位移分量为零时,在第ｊ个自由度方向引起的节点力。

整体刚度矩阵K 中每一列元素的物理意义是:要迫使结构的某节点位移自由度发生单位位移，而其他节点位移都保持为零的变形状态，在所有个节点上需要施加的节点荷载。

2．２什么叫应变能?什么叫外力势能？试叙述势能变分原理和最小势能原理，并回答下述问题：势能变分原理代表什么控制方程和边界条件？其中附加了哪些条件？(1)在外力作用下,物体内部将产生应力σ和应变ε，外力所做的功将以变形能的形式储存起来,这种能量称为应变能。

(2)外力势能就是外力功的负值。

（3）势能变分原理可叙述如下:在所有满足边界条件的协调位移中，那些满足静力平衡条件的位移使物体势能泛函取驻值，即势能的变分为零δ∏p=δ Uε+δV=0此即变分方程。

对于线性弹性体,势能取最小值,即δ2∏Ｐ=δ2Uε+δ2Ｖ≥０此时的势能变分原理就是著名的最小势能原理。

第十章、矩阵位移法授课题目：第一节概述第二节单元坐标系中的单元刚度方程和单元刚度矩阵教学目的与要求：1．掌握整体刚度矩阵中的位移矩阵和结点力矩阵 2．掌握局部坐标系中刚度矩阵教学重点与难点：重点：结构的离散化，自由式杆件的单元刚度矩阵难点：无教学方法：讲授法教学手段：多媒体、板书教学措施：理论分析与实际工程相结合讲解讲授内容:第十章、矩阵位移法第一节概述结构矩阵分析方法是电子计算机进入结构力学领域而产生的一种方法。

它是以传统结构力学作为理论基础，以矩阵作为数学表述形式，以电子计算机作为计算手段，三位一体的方法。

1.结构的离散化由若干根杆件组成的结构称为杆件结构.使用矩阵位移法分析结构的第一步，是将结构“拆散”为一根根独立的杆件，这一步骤称为离散化。

为方便起见，常将杆件结构中的等截面直杆作为矩阵位移法的独立单元，这就必然导致结构中杆件的转折点、汇交点、支承点、截面突变点、自由端、材料改变点等成为连接各个单元的结点。

只要确定了杆件结构中的全部结点,结构中各结点间的所有单元也就随之确定了。

(a)(b)2。

结点位移和结点力由于矩阵位移法不再为了简化计算而忽略杆件的轴向变形,因此，对于平面刚架中的每个刚结点而言，有三个相互独立的位移分量：水平方向的线位移分量u，竖直方向的线位移分量v，和结点的转角位移分量q。

对于这三个分量，本章约定线位移与整体坐标系方向一致为正,转角以顺时针转向为正,反之为负.结点荷载是指作用于结点上的荷载.本章约定结点集中力和支反力均以与整体坐标系方向相同时为正，反之为负。

结点集中力偶和支座反力偶以顺时针转向为正，反之为负.()()N 1Q 23N 4Q 56e e i i e i i ee j j j j Ff F f M f F f F f M f ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦F F F()()123456e e i i e i i ee j j j j u v u v δδθδδδθδ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦δδδ3。

单元刚度矩阵推导步骤单元刚度矩阵是在有限元分析中用于描述单元位移与力的关系的矩阵。

它是由单元的物理和几何性质计算得出的。

下面将详细介绍单元刚度矩阵的推导步骤。

1. 选择单元类型和材料模型首先，需要选择单元类型和材料模型。

不同的单元类型具有不同的形状和自由度，而材料模型则描述了材料的物理性质。

这些因素将影响最终的单元刚度矩阵。

2. 定义单元的几何形状和尺寸接下来，需要定义单元的几何形状和尺寸。

这通常涉及选择节点（或顶点）的位置，并确定单元的尺寸和形状。

这些信息将用于计算单元刚度矩阵。

3. 建立局部坐标系为了计算单元刚度矩阵，需要建立一个局部坐标系。

这个坐标系将用于描述单元内力和位移的关系。

通常，局部坐标系的原点设在单元的中心，x轴沿单元的长度方向，y轴沿宽度方向（对于矩形单元），z轴则垂直于xy平面。

4. 确定单元的物理性质单元刚度矩阵还取决于单元的物理性质，如弹性模量、泊松比、密度等。

这些性质将用于计算单元刚度矩阵中的元素。

5. 建立平衡方程根据弹性力学的平衡方程，可以建立单元的平衡方程。

对于一个三维单元，平衡方程可以表示为：[F] = [B] * [u]其中，[F]是作用在单元上的力向量，[u]是位移向量，[B]是应变-位移矩阵（或称为应变矩阵）。

该矩阵包含了由于位移引起的应变信息。

6. 计算应变-位移矩阵根据几何形状和尺寸，可以计算应变-位移矩阵[B]。

该矩阵描述了位移如何引起应变的变化。

对于三维单元，应变-位移矩阵通常具有以下形式：[B] = [B1 B2 B3; B4 B5 B6; B7 B8 B9]其中，B1-9是应变-位移矩阵的元素。

这些元素可以通过几何关系和物理性质计算得出。

7. 建立单元刚度矩阵使用弹性力学的公式，可以将平衡方程重写为：[K] * [u] = [F]其中，[K]是单元刚度矩阵，它描述了力和位移之间的关系。

通过将应变-位移矩阵[B]和弹性模量等物理性质代入公式中，可以计算出单元刚度矩阵[K]。

第2章6_结构刚度方程和总刚度矩阵结构刚度方程和总刚度矩阵是结构力学中非常重要的概念，它们用于描述和计算结构的刚度性能。

本文将介绍结构刚度方程和总刚度矩阵的概念和计算方法。

一、结构刚度方程结构刚度方程是描述结构在外力作用下的平衡条件，它是求解结构的基本方程之一、结构刚度方程可以通过两种方法求解：力法和位移法。

力法是通过约束方程求解结构的内力和位移，而位移法是通过位移方程求解结构的内力和位移。

力法是求解结构刚度方程的传统方法，它是通过平衡条件来建立结构刚度方程。

假设一个结构有n个节点和m个单元，每个节点都有3个自由度（x、y和z方向的位移），那么这个结构的刚度方程可以表示为：[K]{u}={F}其中，[K]是结构的刚度矩阵，{u}是结构的位移矢量，{F}是结构的外力矢量。

结构的刚度矩阵可以通过单元刚度矩阵的叠加得到，单元刚度矩阵是由单元几何形状和材料性质决定的。

结构的外力矢量可以由结构上的荷载和边界条件决定。

位移法是通过位移方程求解结构的刚度方程。

位移法是一种更简便的方法，它通过位移方程建立结构的刚度方程。

位移法假设结构的每个节点位移已知，然后通过位移反推出结构的内力。

结构的刚度方程可以表示为：{F}=[K]{u}其中，{F}是结构的外力矢量，[K]是结构的总刚度矩阵，{u}是结构的位移矢量。

位移法的优势是简化了计算，但需要提前知道结构的位移，这可能对一些实际案例不适用。

总刚度矩阵是结构的刚度矩阵的简化形式。

它是一个方阵，其对角线上是结构中各个节点自由度的刚度系数之和，非对角线上是结构中各个单元的耦合刚度系数。

总刚度矩阵可以用以下公式计算：[K]=\sum[K_i]其中，[K_i]是第i个单元的刚度矩阵。

总刚度矩阵的计算方法主要有两种：组装法和单元刚度法。

组装法是将单元的刚度矩阵按照节点的自由度进行组装。

对于一个结构来说，将所有单元的刚度矩阵组装起来就得到了总刚度矩阵。

单元刚度法是将每个单元的刚度矩阵相加，得到总刚度矩阵。

单元刚度矩阵的计算 -回复
单元刚度矩阵的计算是有一定复杂性的，需要根据具体的有限元模型及载荷情况进行计算。

一般来说，单元刚度矩阵的计算可以分为两步：建立单元刚度矩阵的方程式，以及求解方程式得到刚度矩阵。

建立单元刚度矩阵的方程式需要先利用有限元理论对结构进行离散化，将结构分割成若干个单元。

然后，在每个单元内分别建立单元刚度矩阵的方程式，考虑到每个单元都具有规律性，所以可以先建立一个一般的单元刚度矩阵的方程式，然后通过坐标变换等方法转化为特定单元中的方程式。

具体地讲，单元刚度矩阵的计算可以采用有限元理论中的形函数方法，通过利用形函数和单元的积分关系来求解单元刚度矩阵。

在具体实现中，可以考虑使用数值积分方法，如高斯积分等。

通过将形函数和数值积分方法代入单元刚度矩阵方程式，即可得到单元刚度矩阵的表达式。

求解方程式得到刚度矩阵时，可以采用线性方程组求解的方法，如高斯消元法、LU分解法、雅可比迭代法等。

求解得到的刚
度矩阵可以用于后续分析计算中。

总之，单元刚度矩阵的计算需要综合运用有限元理论、数值分析方法和线性方程组求解方法等知识，同时也需根据具体情况做出适当的假设和近似，才能得到合理可靠的结果。

单元刚度矩阵的计算-回复首先，我们需要了解刚度是什么。

刚度是指材料抵抗形变的性质。

在结构中，它表示了结构单元（如梁或柱）受到外部力作用时的形变反应。

刚度可以用它对这些力的反应程度来测量。

计算单元刚度矩阵的第一步是建立结构单元的局部坐标系。

局部坐标系是以结构单元自身为参考的坐标系，用于描述结构单元的几何特征和材料性质。

接下来，需要确定结构单元的几何特征和材料性质。

这包括结构单元的长度、截面形状、材料弹性模量等。

这些参数将用于计算结构单元的刚度。

然后，需要建立结构单元的位移-应变关系。

位移-应变关系是描述结构单元变形特征的方程。

它可以通过应变能原理或力平衡方程得到。

接下来，可以使用有限元分析方法推导出结构单元的刚度矩阵。

有限元分析方法将连续的结构分割为离散的有限单元，然后对每个单元进行力学分析。

在计算单元刚度矩阵时，可以使用单元的位移-应变关系和材料性质来推导出刚度矩阵的公式。

最后，根据结构单元的连通性和边界条件，可以将单元刚度矩阵组装成整个结构的刚度矩阵。

这样可以得到整个结构的刚度参数。

计算单元刚度矩阵的过程中，还需要注意以下几个问题：1.确保结构单元的局部坐标系的选择是合理的，以便正确描述结构单元的几何特征。

2.确保位移-应变关系的推导是准确的，可以选择适当的理论或公式来得到位移-应变关系。

3.在有限元分析方法中，需要选择适当的数值方法和积分方法来计算刚度矩阵。

4.在组装整个结构的刚度矩阵时，需要正确处理结构单元之间的连通性和边界条件。

总之，单元刚度矩阵的计算是一个繁琐而重要的任务。

它需要合理的坐标系选择、准确的位移-应变关系、适当的数值方法和正确的组装过程。

通过计算出单元的刚度矩阵，可以通过有限元分析方法分析结构的静力性能。

rur r u r =-+=πππεθ22)(2由于各点在圆周方向上无位移，因而剪应变θr v 和r v θ均为零。

将应变写成向量的形式，那么{}⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧∂∂+∂∂∂∂∂∂=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=r w z u z w r u r u rz z r γεεεεθ根据上式，可推导出几何方程{}[]{})(e B ϕε=其中几何矩阵[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∆=ij jikiikjkkj ji ik kj k j i ijkjjkz r z r z rr r r r z r N r z r N r z r N z z z B 0000),(0),(0),(00021 3.弹性方程和弹性矩阵[D]依照广义虎克定律，同样可以写出在轴对称中应力和应变之间的弹性方程，其形式为[])(1θσσσε+-=z r r u E [])(1z r u E σσσεθθ+-=[])(1θσσσε+-=r z z u Erz rz Er τμ)1(2+=所以弹性方程为{}[]{}εσD = 式中应力矩阵{}{}T rz z r τσσσσθ=弹性矩阵[]⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----+=221000010101)21)(1(μμμμμμμμμμμμED 4.单元刚度矩阵[])(e k与平面问题相同，仍用虚功原理来建立单元刚度矩阵，其积分式为[][][][]dV B D B k VT e ⎰=)(在柱面坐标系中，drdz dV π2=将drdz dV π2=代入[][][][]dV B D B k VT e ⎰=)(，那么[][][][]rdrdz B D B k T e ⎰⎰=π2)(即为轴对称问题求单元刚度矩阵的积分式。

与弹性力学平面问题的三角形单元不同，在轴对称问题中，几何矩阵[B]内有的元素〔如rz r N i ),(等〕是坐标r 、z 的函数，不是常量。