有限元 单元刚度矩阵单元方程推导

各单元的单元刚度矩阵一）杆件单元刚度矩阵局部坐标系中：整体坐标系中：αμαλsin ;cos ==二、）梁单元刚度矩阵剪弯梁局部坐标系下：坐标转换矩阵为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1111][l EA ke ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI k z z z z z z z z z z z z z z z z e 46612266122661246612][223223223223[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=ααααααααcos sin 00sin cos 0000cos sin 00sin cos T轴剪弯梁局部坐标系下：坐标转化矩阵为：三、）平面三节点三角形单元刚度矩阵{}[]{}e N δδ=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=m j i m j i N N N N N N N 000000][ )(21y c x b a AN i i i i ++=； ),,(m j i i = j m m j i y x y x a -=，m j i y y b -=，j m i x x c -=。

单元为等腰直角三角形，直角边长为1。

泊松比为0，弹性模量为1。

（单元节点编号为逆时针i ，j ，m ；直角顶点为m ）[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------=l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EA l EA l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EA l EA K e 460260612061200000260460612061200000222322222223[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=1000000sin cos 0000sin cos 0000001000000cos sin 0000sin cos ααααααααT⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=23211212102302121110002*********][E k e 1)集中力：}{][}{P N R T e =⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧y x y x m m j j i i m m j j i i P P N N N N N N Y X Y X Y X p p ),(000000 2)体力：⎰⎰=tdxdy p N R T e }{][}{3）分布面力：⎰=s T e tds P N R }{][}{例题3：在均质、等厚的三角形单元ijm 的ij 边上作用有沿x 方向按三角形分布的载荷，求移置后的结点载荷。

第二章有限单元法的基本原理作为一种比较成熟的数值计算方法，有限元的数学基础是变分原理。

经过半个过世纪的发展，它的数学基础已经比较完善。

从数学角度分析，有限元法是以变分原理和剖分插值为基础的数值计算方法。

它广泛的应用于解算各种类型的偏微分方程，特别对椭圆型方程，因为椭圆型方程的边值问题等价于适当的变分问题，即能量积分的级值问题。

通过变分，导出相应的泛涵，再把作用域从几何上剖分为足够小的单元，这样就能够用简单的图形去拟合复杂的边界，用简单的初等函数去模拟单元的性质。

在解算中先对每个单元进行分析，后在通过连接单元的节点对作用域的整体进行分析，就是对泛涵求极值，从而把一个复杂的偏微分方程求解问题，变成解线形代数方程组的问题。

尽管这样会出现大量的未知数，由于采用了矩阵分析的方法，总体上很有规律，适合编制程序用计算机完成。

通常的数学考虑包括这些：1）从古典变分方法原理去定义微分方程边值问题的广义解以及在古典变分方法的框架对有限元进行理论分析。

2）保证偏微分方程边值问题的提法正确，即要求解存在、唯一和稳定，即保证数值解法是可靠的。

3）有限元中重要的一点是采用了分块多项式插值函数，因此，有限元的误差估计转化为插值逼近的误差估计问题。

4）有限元的收敛性和误差估计。

由于本文是应用有限元的理论解决大地测量中的问题，因此，这里将不讨论上叙问题，而是从固体力学的基本方程出发，通过虚功原理建立起离散化的有限元方程。

另外，还以八节点六面体单元为例，简要叙述了实际中最常用的等参单元的概念及其数值变化的一些公式。

§2.1 弹性力学基本方程有限元法中经常要用到弹性力学的基本方程，这里写出这些方程的矩阵表达式。

2-1-1、平衡方程对任意一点的受力情况分析，沿坐标轴方向x, y ,z分解得到平衡方程0*00000000=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂z y xxz yz xy z y x F F F z yzz x y z y x τττσσσ 记为： 0=+F A σ其中A 是微分算子，F 是体积力向量。

有限元单元方程推导过程1.引言有限元分析是一种数值计算方法，用于求解结构力学、流体动力学等领域的物理问题。

在有限元分析中，有限元单元是构成整个有限元模型的基本单元，通过推导有限元单元的方程，可以实现对结构或系统的精确分析和计算。

本文将从有限元方法的基本原理出发，详细介绍有限元单元方程的推导过程。

2.有限元方法基本原理有限元方法是将连续的物理问题离散化，转化为有限个代表性元素的集合，通过对每个元素施加适当的边界条件和力学方程，最终得到整个系统的解。

有限元方法通过有限元单元之间的相互作用，从而模拟整个系统的行为。

3.有限元单元的概念有限元单元是有限元模型中最小的离散单元，它是对实际的结构或系统进行离散化的结果。

不同的物理问题和结构，可以采用不同类型的有限元单元进行离散化，如梁单元、壳单元、板单元等。

4.有限元单元方程的一般形式有限元单元方程的一般形式可以表示为：\[K_{e}U_{e}=F_{e}\]其中\(K_{e}\)为有限元单元的刚度矩阵，\(U_{e}\)为有限元单元的位移矢量，\(F_{e}\)为有限元单元的荷载矢量。

5.有限元单元方程推导的基本步骤有限元单元方程的推导主要包括以下几个基本步骤：5.1 单元刚度矩阵的推导首先需要根据有限元单元的几何形状和材料性质，推导出单元刚度矩阵。

单元刚度矩阵可以通过对单元内部的应变能量或者应力-应变关系进行积分得到。

5.2 单元位移矢量的表示在推导单元方程过程中，需要选择合适的位移矢量表示方式，可以采用基函数展开的方法，将位移矢量表示为一组未知系数乘以基函数的线性组合形式。

5.3 单元荷载矢量的求解单元荷载矢量是由外部施加的荷载和边界条件共同决定的，在推导单元方程的过程中需要将这些荷载转化为局部坐标系下的形式，并利用位移矢量的表示方式，将荷载矢量表达为位移矢量和未知系数的线性组合。

5.4 单元方程的组装需要将单元刚度矩阵、位移矢量和荷载矢量组装成完整的单元方程，可以通过坐标变换或者有限元单元之间的关系对单元方程进行组装。

有限元考试复习资料（含习题答案）1试说明用有限元法解题的主要步骤。

（1）离散化：将一个受外力作用的连续弹性体离散成一定数量的有限小的单元集合体，单元之间只在结点上互相联系，即只有结点才能传递力。

（2）单元分析：根据弹性力学的基本方程和变分原理建立单元结点力和结点位移之间的关系。

（3）整体分析：根据结点力的平衡条件建立有限元方程，引入边界条件，解线性方程组以及计算单元应力。

（4）求解方程，得出结点位移（5）结果分析，计算单元的应变和应力。

2.单元分析中,假设的位移模式应满足哪些条件,为什么?要使有限元解收敛于真解，关键在于位移模式的选择，选择位移模式需满足准则：（1）完备性准则：（2）连续性要求。

P210面简单地说，当选取的单元既完备又协调时，有限元解是收敛的，即当单元尺寸趋于0时，有限元解趋于真正解，称此单元为协调单元；当单元选取的位移模式满足完备性准则但不完全满足单元之间的位移及其导数连续条件时，称为非协调单元。

3.什么样的问题可以用轴对称单元求解？在工程问题中经常会遇到一些实际结构，它们的几何形状、约束条件和外载荷均对称某一固定轴，我们把该固定轴称为对称轴。

则在载荷作用下产生的应力、应变和位移也都对称此轴。

这种问题就称为轴对称问题。

可以用轴对称单元求解。

4.什么是比例阻尼?它有什么特点?其本质反映了阻尼与什么有关?答:比例阻尼:由于多自由度体系主振型关于质量矩阵与刚度矩阵具有正交性关系，若主振型关于阻尼矩阵亦具有正交性,这样可对多自由度地震响应方程进行解耦分析。

比例阻尼的特点为具有正交性。

其本质上反应了阻尼与结构物理特性的关系。

5.何谓等参单元?等参单元具有哪些优越性?①等参数单元(简称等参元)就是对坐标变换和单元内的参变量函数(通常是位移函数)采用相同数目的节点参数和相同的插值函数进行变换而设计出的一种单元。

①优点:可以很方便地用来离散具有复杂形体的结构。

由于等参变换的采用使等参单元特性矩阵的计算仍在单元的规则域内进行，因此不管各个积分形式的矩阵表示的被积函数如何复杂，仍然可以方便地采用标准化的数值积分方法计算。

《有限元分析基础教程》（曾攀）笔记⼆-梁单元有限元⽅程推导不得不说，Mathematica 真是个好东西，以前学习有限元的时候，对于书中的⽅程推导，看到了就看过去了，从没有想过要⾃⼰推导⼀遍，原因是⼿⼯推导太复杂。

有了MM ，原来很复杂的东西突然变得简单了。

1.单元⼏何描述上图是纯弯梁单元，长度l ，弹模E ，⾯积A ，惯性矩I 。

两个节点1和2的位移列阵为q e =[v 1,θ1,v 2,θ2]Tv 是挠度(defection)，或者叫位移；θ是转⾓(slope)。

需注意的是v 和θ的⽅向，⼀个是向上，⼀个是逆时针。

两个节点的节点⼒矩阵为P e =[P v 1,M 1,P v 2,M 2]T当然实际情况往往是在梁的长度⽅向上作⽤有荷载，⽽不是只在节点处有，这时就要进⾏荷载等效，后⾯会有说明。

注意这两个矩阵都是列矩阵。

需要注意的是，节点⼒矩阵表⽰的的是节点上的所有的⼒，不仅包括荷载引起的等效节点⼒，还包括节点的反⼒，反⼒矩等。

2.单元位移场表达由于有4个位移节点的已知条件，那么假设纯弯曲梁单元的位移挠度函数具有四个待定系数，如下形式v (x )=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3对于两端节点，位移和转⾓分别为v 1,θ1,v 2,θ2，注意挠曲线⽅程在⼀点出的导数值即为改点的转⾓，所以四个边界条件为v (0)=v 1v ′(0)=θ1v (L )=v 2v ′(L )=θ2使⽤MM 求解⽅程组将求得的待定系数带⼊原⽅程，可得将四个位移合并同类项，可以得到即最终的挠曲线⽅程vfea 为 vfea =θ1x 3L 2−2x 2L +x +θ2x 3L 2−x 2L +v12x 3L 3−3x 2L 2+1+v23x 2L 2−2x 3L 3如果令ζ=x L ，上式中位移前的系数组成的矩阵称之为形函数矩阵，也就是常说的形函数。

即v (x )=N (x )q e 3.单元应变场，应⼒场的表达应变的表达式为ε=−yv ″其中B(x)=-yN''(x)，B(x)叫做单元的⼏何矩阵，表⽰应变与位移的⼏何关系。

有限元基础讲解
有限元分析是一种工程数值分析方法，用于解决复杂结构的力学问题。

它将结构划分为有限数量的小单元，通过对这些小单元进行数值计算，得到整个结构的力学行为。

有限元分析的基本步骤包括：
1. 离散化：将结构划分为有限数量的小单元，如三角形、四边形、六面体等。

每个小单元具有一些自由度，用于描述该单元的位移、应力等信息。

2. 建立单元刚度矩阵：根据单元的几何形状和材料性质，计算每个小单元的刚度矩阵。

刚度矩阵描述了小单元受力和位移之间的关系。

3. 组装全局刚度矩阵：将所有小单元的刚度矩阵组装成整个结构的全局刚度矩阵。

这个过程涉及到将小单元的自由度与整个结构的自由度进行匹配。

4. 施加边界条件：确定结构的边界条件，如固支、受力等。

将这些边界条件转化为对应的约束条件，将其应用于全局刚度矩阵中。

5. 求解方程：将约束条件应用于全局刚度矩阵，得到未知位移的方程。

通过求解这些方程，可以得到结构的位移、应力等信息。

6. 后处理：根据求解结果，进行后处理分析。

可以计算结构的应力、变形、位移等，并进行可视化展示。

有限元分析的优点包括可以处理复杂的几何形状和边界条件，具有较高的计算精度和灵活性。

但也存在一些限制，如需要对结构进行合理的离散化、需要大量的计算资源等。

单元刚度矩阵推导的两种方法：
一拉伸杆，长度为l ，截面积为A ，弹性模量为E ,在杆端力F 作用下，杆端产生位移为∆，求F 和∆的关系。

1 结构力学方法：
平衡条件 F A =σ A
F =σ 几何关系 l
∆=ε 物理关系 εσE =
由以上三式可得 l
E E A
F ∆===εσ
所以得节点力和节点位移之间的关系
2 利用插值函数及虚位移原理：
假设单元的位移函数，当单元很小时，往往可以取线性分布，即 b ax u +=
式中的参数，由节点位移来决定：
0=x ， 0=u ， 得0=b
l x =， ∆=u ， 得l
a ∆= 由位移的微分可得应变：
l
a dx
b ax d dx du ∆==+==)(ε 物理关系 εσE =
节点力和节点位移之间的关系由虚位移原理求得：
22
00∆=⎪⎭⎫ ⎝⎛∆===∆⎰⎰l EA Al l E Adx E Adx F l l εεσε 同样得到：。