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有限元单元类型及单元刚度矩阵

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[工学]第4章 平面问题的有限元法-3刚度矩阵

[工学]第4章 平面问题的有限元法-3刚度矩阵
* 1 1 * 2 * 3 3
* T
F
T
* * * * * x x y * * y z z xy xy yz yz zx zx
({ } )
T
e T
R
e
(f)
而单元内的应力在虚应变上所做的功为
tdxdy
(g)
这里我们假定单元的厚度t为常量。把（d）式及（4-16） 式代入上式，并将提到积分号的前面，则有
({ } )
e T
B D B
T
e
tdxdy
根据虚位移原理，由（f）和（h）式可得到单元的虚功方程 即 e T e e T e T ({ } ) R ({ } ) B D B tdxdy 注意到虚位移是任意的，所以等式两边与相乘的项应该相等， 即得
R
e
B D Btdxdy
T
e
记
k B D B tdxdy
e T
(4-24) (4-25)
则有
R k
e e
e
上式就是表征单元的节点力和节点位移之间关系的刚 度方程，[k]e就是单元刚度矩阵。如果单元的材料是均质的 ，那么矩阵 [D] 中的元素就是常量，并且对于三角形常应 变单元，[B]矩阵中的元素也是常量。当单元的厚度也是常 量时,因 dxdy ,所以式(4-24)可简写为
1 2 4 7 11 3 5 8 6 9 10 15
12
13
14
图 4-6 a
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 15
2
3
4
5

optistruct 单元刚度矩阵

optistruct 单元刚度矩阵

optistruct 单元刚度矩阵
在有限元分析中，单元刚度矩阵（Element Stiffness Matrix）是用于描述一个单元对应的局部坐标系下的刚度性质的矩阵。

OptiStruct是一种常用的有限元分析软件，它也根据单元的几何形状和材料特性计算出单元的刚度矩阵。

单元刚度矩阵描述了单元受力和变形之间的关系，它可以用于计算整个结构的全局刚度矩阵。

OptiStruct使用几何非线性、材料非线性和接触等特性来计算单元刚度矩阵。

根据不同的单元类型（如线性、非线性、壳单元等），OptiStruct采用不同的方法和公式来计算单元刚度矩阵。

一般来说，单元刚度矩阵的计算需要考虑以下几个方面：
1. 几何刚度：单元的形状和尺寸对刚度矩阵的计算有影响，如线性单元的刚度矩阵与单元长度有关。

2. 材料性质：材料的弹性模量和泊松比等材料特性对刚度矩阵的计算有影响。

3. 边界条件：单元所在的整体结构的边界条件对刚度矩阵的计算也有影响。

4. 单元类型：不同的单元类型具有不同的刚度矩阵计算方法。

了解单元刚度矩阵的计算对于进行有限元分析模拟和结果预测非常重要。

通过OptiStruct等有限元分析软件，可以方便地计算出各种类型的单元刚度矩阵，并进一步分析结构的强度和刚度等性能。

有限元分析中常用单元类型与单位制

有限元分析中常用单元类型与单位制

SOLID453-D结构实体单元产品：MP ME ST <> <> PR <> <> <> PP EDSOLID45单元说明solid45单元用于构造三维实体结构.单元通过8个节点来定义,每个节点有3个沿着xyz方向平移的自由度.单元具有塑性,蠕变,膨胀,应力强化,大变形和大应变能力。

有用于沙漏控制的缩减积分选项。

有关该单元的细节参看ANSYS, 理论参考中的SOLID45部分。

类似的单元有适用于各向异性材料的solid64单元。

Solid45单元的更高阶单元是solid95。

图 45.1 SOLID45几何描述SOLID45输入数据该单元的几何形状、结点位置、坐标系如图45.1: "SOLID45 几何描述"所示。

该单元可定义8个结点和正交各向异性材料。

正交各向异性材料方向对应于单元坐标方向。

单元坐标系方向参见坐标系部分。

单元荷载参见结点和单元荷载部分。

压力可以作为表面荷载施加在单元各个表面上，如图45.1: "SOLID45 几何描述"所示。

正压力指向单元内部。

可以输入温度和流量作为单元节点处的体载荷。

节点 I 处的温度 T(I) 默认为 TUNIF。

如果不给出其它节点处的温度，则默认等于 T(I)。

对于任何其它的输入方式，未给定的温度默认为 TUNIF。

对于流量的输入与此类似，只是默认值用零代替了TUNIF。

KEYOPT(1)用于指定包括或不包括附加的位移形函数。

KEYOPT(5)和KEYOPT(6)提供不同的单元输出选项（参见单元输出部分）。

当KEYOPT(2)=1时，该单元也支持用于沙漏控制的均匀缩减（1点）积分。

均匀缩减积分在进行非线性分析时有如下好处：∙相对于完全积分选项而言，单元刚度集成和应力（应变）计算需要更少的CPU时间，而仍能获得足够精确的结果。

∙当单元数量相同时，单元历史存储记录（.ESAV 和 .OSAV）的长度约为完全积分（2×2×2）的1/7。

abaqus 单元刚度矩阵

abaqus 单元刚度矩阵

Abaqus 单元刚度矩阵——解析有限元分析中的基本工具引言（Introduction）：有限元分析（Finite Element Analysis，FEA）是一种广泛应用于工程和科学领域的数值模拟方法。

它通过将复杂的连续体划分为简单的几何形状，并对每个几何单元进行数学建模，来近似求解实际问题。

在有限元分析中，单元刚度矩阵是一个重要的概念，它描述了单元的刚度特性，对于计算整体系统的行为非常有用。

本文将重点介绍Abaqus软件中的单元刚度矩阵。

首先，我们将简要回顾有限元分析的基本概念和步骤。

接着，我们将探讨单元刚度矩阵的定义和计算方法。

然后，我们将通过一个简单的示例案例来说明单元刚度矩阵的应用。

最后，我们将总结单元刚度矩阵在有限元分析中的重要性和应用前景。

有限元分析基础（Basics of Finite Element Analysis）：有限元分析的基本步骤通常包括几何建模、网格剖分、物理特性分配、边界条件设置和结果解析等。

在进行数学建模时，连续体被分割成称为单元的小体积区域，每个单元内部的行为则通过数学公式进行描述。

这些单元通常是三角形、四边形、六面体等几何形状。

单元刚度矩阵的定义（Definition of Element Stiffness Matrix）：单元刚度矩阵是描述单元在给定边界条件下的刚度特性的矩阵。

它由单元的几何属性、材料特性和积分算法决定。

在Abaqus软件中，单元刚度矩阵是通过数值积分方法计算得出的。

单元刚度矩阵计算方法（Calculation of Element Stiffness Matrix）：单元刚度矩阵的计算涉及到单元的几何形状、材料特性、积分算法等因素。

不同类型的单元有不同的刚度计算方法，通常包括弹性理论和数值积分。

以Abaqus中的三角形单元为例，其刚度矩阵通常可以通过以下步骤计算：1.定义单元的几何属性，如节点坐标。

2.根据几何属性和材料特性，计算出单元的刚度矩阵表达式。

汽车结构有限元分析03单元类型及单元分析

汽车结构有限元分析03单元类型及单元分析
1.一维单元分析 ； 2.二维单元分析； 3.三维单元分析 ； 4.板壳单元 ； 5.其它各种单元介绍； 6.单元选用；
1.一维单元分析
主要有：杆单元、梁单元、管单元等 。
1.1杆单元---最简单的两节点一维单元， 用于杆件承受轴向力分析。
设杆单元横截面积为Ａ，长度为l，轴 向分布载荷q为(x) 。单元2个节点的位移 向量为： e ui u j T
由空间弹性力学几何方程，得应变表达式：
{} [B]{ }e [[B1 ][B2 ][B20 ]]{ }e
由空间弹性力学物理方程，单元内的应力可 以表示成：
[ ] [D][ ] [D][B]{ }e [S]{ }e
单元刚度矩阵为 ：
[k]e
[B]T [D][B]dV
[k1e1
[k
e 21
这其中设定单元位移模式，利用虚功 原理建立单元节点力与节点位移关系并组建 单元刚度矩阵的过程，我们将其称为单元分 析。
为了使有限元法的解在单元尺寸逐步趋 小时能够收敛于精确解，所构造的单元位移 函数必须满足以下三方面的条件：
1）位移模式中必须包括反映刚体位移的项；
2）位移模式中必须包括反映常应变的线性位 移项；
这样空间梁单元就由3个节点组成i,，j,k 点必
须在一个平面内，但不能共线。i节点到j节
点为单元坐标系的x轴，y轴(或z轴)在节点i、
j和k构成的平面上且与x轴垂直，应用右手定
则可以确定另一坐标iz, 轴j, k(或y轴)。
三点
确定后，单元坐标系即确定，梁单元的截面
方位也就完全确定下来。所增加的一个用于
] ]
[k1e2 ]
[k
e 22
]
[k1e20
[k

有限元分析及工程应用-2016第五章

有限元分析及工程应用-2016第五章

5.1 轴对称问题有限单元法
机械学院
（1）三角形截面环形单元 1）位移模式
qe ui wi u j wj uk wk T
与平面三角形单元相似，仍选取线 性位移模式，即：
u w

a1 a4

a2r a5r

aa36zz
u Niui N ju j Nkuk
,
A2

1 2 2(1 )
单元中除了剪应力外其 它应力分量也不是常量
在轴对称情况下，由虚功原理可推导出单元刚度矩阵
K e VBT DBddrdz 2 BT DBrdrdz
5.1 轴对称问题有限单元法
机械学院
（1）三角形截面环形单元
2）单元刚度矩阵
K e VBT DBddrdz
Loads>Apply>Structural>Displacement>Symmetry B.C.>On Lines，用鼠标在图形窗口上拾取编号为“1”和“3”的线段 ，单击[OK]，就会在这两条线上显示一个“S”的标记，即 为对称约束条件。
(7)施加面力：Main Menu>Solution>Define Loads>Apply>Structural>Pressure>On Lines，用鼠标在图形 窗口上拾取编号为“4”，单击[OK] 在“VALUE Load PRES value”后面的输入框中输入“10”，然后单击[OK]即可
5.1 轴对称问题有限单元法
机械学院
（3）应用实例 (3)建立几何模型：
MainMenu>Preprocessor>Modeling>Create>Areas>Rectangle>By Dimension，在出现的对话框中分别输入：X1=5，X2=10，Y1=0， Y2=20，单击[OK]。

有限元分析1

有限元分析1

有限单元法的形成与发展
我国的力学工作者为有限元方法的初期发展做出了许多贡献，其 中比较著名的有：陈伯屏（结构矩阵方法），钱令希（余能原理）， 钱伟长（广义变分原理），胡海昌（广义变分原理），冯康（有限 单元法理论）。遗憾的是，从1966年开始的近十年期间，我国的研究 工作受到阻碍。
有限元法不仅能应用于结构分析，还能解决归结为场问题的工程 问题，从二十世纪六十年代中期以来，有限元法得到了巨大的发展， 为工程设计和优化提供了有力的工具。
根据结点的平衡条件，得
( Fxie ) FLxi å e ( Fxje ) FLyi å e
e
单元e的结点力，用结点位移表示，代入得到用结点位移 表示的平衡方程。 K FL 单元综合的目的就是要求出结点位移。结点位移求出后， 可进一步求出各单元的应力。
3 单元位移函数
2 有限单元法的计算步骤
弹性力学平面问题的有限单元法包括三个主要步骤： 1、离散化 2、单元分析 3、单元综合
¼ Í
2-7
2 有限单元法的计算步骤
1、离散化 有限单元法的基础是用所谓有限个单元的集合体 来代替原来的连续体，因而必须将连续体简化为由 有限个单元组成的离散体。对于平面问题，最简单， 因而最常用的单元是三角形单元。这些单元在结点 处用铰相连，荷载也移置到结点上，成为结点荷载。
有限单元法的形成与发展
第二类问题，通常可以建立它们应遵循的基本方程，即微分方程 和相应的边界条件。例如弹性力学问题，热传导问题，电磁场问题 等。由于建立基本方程所研究的对象通常是无限小的单元，这类问 题称为连续系统。 尽管已经建立了连续系统 的基本方程，由于边界条件 的限制，通常只能得到少数 简单问题的精确解答 。对于 许多实际的工程问题 ，还无 法给出精确的解答，例如图 示V6引擎在工作中的温度分 布。为解决这个困难 ，工程 师们和数学家们提出了许多 近似方法。

optistruct 单元刚度矩阵

optistruct 单元刚度矩阵

optistruct 单元刚度矩阵【实用版】目录1.什么是单元刚度矩阵2.单元刚度矩阵的作用3.如何计算单元刚度矩阵4.举例说明单元刚度矩阵的应用5.总结正文一、什么是单元刚度矩阵单元刚度矩阵是在结构力学中，用来描述梁单元在弯曲或扭转过程中的刚度特性的矩阵。

它可以用来计算结构在受力情况下的变形，或者用来分析结构的稳定性。

单元刚度矩阵是由梁单元的几何参数和材料性能决定的，因此在不同的受力情况下，单元刚度矩阵可能会发生变化。

二、单元刚度矩阵的作用单元刚度矩阵在结构力学中有着非常重要的作用。

首先，它可以用来计算结构在受力情况下的变形。

在有限元分析中，我们将结构划分为许多小的单元，然后通过计算每个单元的刚度矩阵，可以得到结构在受力情况下的变形。

其次，单元刚度矩阵可以用来分析结构的稳定性。

通过分析单元刚度矩阵的特征值和特征向量，可以判断结构在受力情况下是否稳定。

三、如何计算单元刚度矩阵计算单元刚度矩阵需要考虑梁单元的几何参数和材料性能。

在计算过程中，需要先计算出梁单元的转动惯量和侧向位移。

然后，通过位移法整理得到梁单元刚度矩阵。

具体的计算过程可能会涉及到一些复杂的数学运算，但是通过专业的结构力学知识可以得到正确的结果。

四、举例说明单元刚度矩阵的应用假设我们有一个梁结构，它由三个单元组成。

我们需要计算在施加一定荷载情况下，梁的变形情况。

首先，我们需要计算每个单元的刚度矩阵。

然后，将每个单元的刚度矩阵组合成一个总的刚度矩阵。

接着，我们将荷载作用在梁的节点上，并使用总的刚度矩阵计算出每个节点的位移。

最后，我们可以通过位移计算出梁的变形情况。

这个过程充分说明了单元刚度矩阵在结构力学中的应用。

五、总结单元刚度矩阵是描述梁单元在弯曲或扭转过程中的刚度特性的矩阵。

它可以用来计算结构在受力情况下的变形，或者用来分析结构的稳定性。

单元刚度矩阵的计算需要考虑梁单元的几何参数和材料性能，通过专业的结构力学知识可以得到正确的结果。

单元类型及单元刚度矩阵课件

单元类型及单元刚度矩阵课件

面积单元的刚度矩阵可以通过解析方 法或数值方法计算得到。
它具有四个节点，每个节点具有三个 自由度：x、y和z方向的位移。
体积单元
体积单元是一种几何 形状，通常用于模拟 结构中的三维实体或 区域。
体积单元的刚度矩阵 可以通过解析方法或 数值方法计算得到。
它具有八个节点，每 个节点具有三个自由 度：x、y、z方向的 位移。
移。
线性单元的刚度矩阵可以通过解 析方法或数值方法计算得到。
角点单元
角点单元是一种特殊类型的线 性单元，通常用于模拟结构中 的角点或连接两个线性单元的 节点。
它具有三个自由度：x、y和z方 向的位移。
角点单元的刚度矩阵可以通过 解析方法或数值方法计算得到。
面积单元
面积单元是一种几何形状，通常用于 模拟结构中的平面区域或曲面上的小 区域。
单击此处添加正文，文字是您思想的提一一二三四五 六七八九一二三四五六七八九一二三四五六七八九文， 单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了最终 呈现发布的良好效果单击此4*25}
通过稳定性分析，可以评估结构的承载安全性和预防 失稳的措施。
PART 04
单元类型选择与注意事项
选择依据
计算精度
根据模型精度要求选择合适的单 元类型，例如，对于复杂形状或 精细结构，应选择高阶单元以提
2023 WORK SUMMARY
单元类型及单元刚度 矩阵课件
REPORTING
CATALOGUE
• 单元类型介绍 • 单元刚度矩阵
PART 01
单元类型介绍
线性单元
线性单元是一种简单的几何形状， 通常用于模拟结构中的直线段或 平面区域。
它具有两个节点，每个节点具有 三个自由度：x、y和z方向的位

ansys单元刚度矩阵

ansys单元刚度矩阵

ansys单元刚度矩阵
ANSYS单元刚度矩阵是一种表示有限元模型中单元刚度的矩阵形式。

在有限元分析中，刚度矩阵是一个关键的概念，它描述了单元的刚度和其对整个结构的贡献。

刚度矩阵的形式是一个对称矩阵，其中对角线上的元素表示单元的刚度，而非对角线上的元素表示单元在不同方向上的耦合刚度。

ANSYS使用有限元法对结构进行建模和分析。

在建立有限元模型时，将结构分割成许多小的单元，并计算每个单元的刚度矩阵。

这些单元刚度矩阵在组装时组合成整个结构的总刚度矩阵。

然后，通过求解总刚度矩阵的特征值和特征向量，可以确定结构的自由振动频率和模式，并且可以计算结构的应力和应变分布。

ANSYS提供了各种单元类型和材料模型，以便用户可以构建适合其特定应用的模型。

对于不同类型的单元，ANSYS使用不同的数学公式计算单元刚度矩阵。

用户还可以输入自定义的单元刚度矩阵，以便在模型中使用。

总之，ANSYS单元刚度矩阵是有限元模型中的重要概念，可以帮助工程师分析和设计各种结构和设备。

- 1 -。

有限元法基础重点归纳(精)

有限元法基础重点归纳(精)
29、常应变三角形单元:当单元确定后。矩阵B是常量,单元中任一点的应变分量也是常量的单元。
30、有限元法的任务:建立和求解整个弹性体的节点位移和节点力之间的关系的平衡方程。31、单元刚度矩阵:表达了单元节点位移与节点力之间的转换关系。
32、单元刚度矩阵的性质:①单元刚度矩阵中每个元素有明确的物理意义②K e是对称矩阵③K e的每一行或每一列元素之和为零,因此K e为奇异矩阵④K e不随单元的平行移动或作n π角度的转动而改变。33、刚度集成法集成规律:①先对每个单元求出其单元刚度矩阵K e ,而且以分块形式按节点编号顺序排列②将单元刚度矩阵扩大阶数为2n*2n ,并将单元刚度矩阵中的子块按局部码与总码的对应关系,搬到扩大后的矩阵中,形成单元贡献矩阵K e。③将所有单元贡献矩阵同一位置上的分块矩阵简单叠加成总体刚度矩阵中的一个子矩阵,各行各列都按以上步骤即形成总体刚度矩阵K。34、整体刚度矩阵的性质:①整体刚度矩阵是对称矩阵②整体刚度矩阵中每一元素的物理意义:整体刚度矩阵的第一列元素代表使第一个节点在x方向有一单元位移,而其余节点位移皆为零时必须在节点上施加的里。对于K的其余各列也有类似意义③整体刚度矩阵K的主对角线上的元素总是正的④整体刚度矩阵K是一个稀疏阵⑤整体刚度矩阵K是一个奇异阵。35、带形矩阵:整体刚度矩阵K的非零元素分布在以主对角线为中心的斜带形区域内的矩阵。
γxy
=E 1−μ
2∗
1−μ2
γxy
42、制造位移函数:{u (x,y =α1+α2x +α3y
v (x,y =α4+α5x +α6y
43、等参单元精度比四边形单元高,四边形精度比三角形精度高。
44、轴对称问题:很多工程物件,它们的几何形状承受的载荷以及约束条件都对称于其一固定轴,这即为对称轴,此时载荷作用下的位移、应变和应力也对称于该对称轴的问题。45、等参数单元:优点:①形状方位任意,适应性好,精度高,容易构造高阶单元②具有统一形式,规律性强,采用数值积分算,程序处理方便③高阶等参单元精度高,描述复杂边界,形状能力强,所需单元少。缺点:①单元各方向尺寸要尽量接近②单元边界不能过于曲折,不能有拐点折点,尽量接近直线或抛物线③边之间夹角要尽量接近直角④单元形状不能过度畸变,边中节点不能过于偏离中间。46、有限元法基础理论:弹性力学,材料力学

有限元 2-弹性力学平面问题有限单元法(2.6四结点四边形等参元,2.7八结点曲线四边形等参元,2.8问题补充)

有限元 2-弹性力学平面问题有限单元法(2.6四结点四边形等参元,2.7八结点曲线四边形等参元,2.8问题补充)

存在的。换句话说，为了使上述等参元能保持较好的精度，整体坐标系下所划分的任意四边形单元必须是
凸四边形，即任意内角都不能大于180°。四边形也不能太歪斜，否则会影响其精度。
利用雅可比的逆矩阵，即可求出整体坐标系下形函数的偏导数：
⎧∂Ni ⎫
⎧∂Ni ⎫
⎪ ⎪ ⎨
∂x
⎪
⎪
⎪ ⎬
=
[J
]−1
⎪ ⎨
∂ξ
⎪ ⎪ ⎬
i=i,j,m,p
为了实现上述结点坐标之间的变换，可利用母元的形函数，得出(ξ,η)和(x,y)之间的坐标变换式。
图形变换具有如下性质: 1. 母元中的坐标线对应于等参元的直线； 2. 四结点正方形母元对应于四个结点可以任意布置的直边四边形等参元； 3. 变换式(2-6-1)能保证相邻等参元的边界位移彼此协调。
《有限元》讲义
2.6 四结点四边形单元
(The four-node quadrilateral element)
前面介绍了四结点的矩形单元 其位移函数:
U = α1 + α 2 x + α3 y + α 4 xy V = α5 + α 6 x + α 7 y + α8 xy
为双线性函数，应力，应变在单元内呈线性变化， 比常应力三角形单元精度高。但它对边界要求严格。本 节介绍的四结点四边形等参元，它不但具有较高的精度，而且其网格划分也不受边界的影响。
对任意四边形单元（图见下面）若仍直接采用前面矩形单元的位移函数，在边界上它便不再是线性 的（因边界不与x,y轴一致），这样会使得相邻两单元在公共边界上的位移可能会出现不连续现象（非协 调元），而使收敛性受到影响。可以验证，利用坐标变换就能解决这个问题，即可以通过坐标变换将整体 坐标中的四边形（图a）变换成在局部坐标系中与四边形方向无关的边长为2的正方形。

有限元单元刚度矩阵计算方法

有限元单元刚度矩阵计算方法

有限元单元刚度矩阵计算方法
有限元单元刚度矩阵是有限元分析中的一个关键组成部分，它描述了结构中每个元素在承受载荷时的刚度响应。

以下是一个计算有限元单元刚度矩阵的基本步骤：
1. 确定元素类型和参数：首先需要确定所使用的元素类型（例如，杆、梁、板、壳等），以及这些元素的参数，如横截面面积、惯性矩、厚度等。

2. 建立局部坐标系：为每个元素建立一个局部坐标系。

在局部坐标系中，可以方便地描述元素内部的应力和应变。

3. 计算应变矩阵：根据有限元理论，计算元素两端的节点坐标差值，并由此得到应变矩阵。

4. 计算应力矩阵：根据材料的物理性质和胡克定律（Hooke's law），将应变矩阵转换为应力矩阵。

5. 形成刚度矩阵：将应力矩阵乘以相应的刚度系数，得到该元素的刚度矩阵。

6. 组装整体刚度矩阵：将所有元素的局部刚度矩阵组合起来，形成整体结构的刚度矩阵。

7. 施加边界条件和载荷：根据实际问题的边界条件和载荷，对整体刚度矩阵进行修正。

8. 求解线性方程组：通过求解修正后的线性方程组，得到结构中每个节点的位移。

以上步骤仅为有限元分析中的一种基本方法，实际应用中可能还需要考虑更多的因素，如非线性行为、材料失效等。

此外，有限元分析软件（如ANSYS、SolidWorks等）通常已经内置了这些计算过程，用户可以直接调用相应的功能进行有限元分析，而无需手动编写代码。

汽车结构有限元分析03单元类型及单元分析

汽车结构有限元分析03单元类型及单元分析
这样空间梁单元就由3个节点组成， 点必须 在一个平面内，但不能共线。i节点到j节点为单 元坐标系的x轴，y轴(或z轴)在节点i、j和k构成 的平面上且与x轴垂直，应用右手定则可以确定 另一坐标z轴(或y轴)。 三点确定后，单元坐 标系即确定，梁单元的截面方位也就完全确定下 来。所增加的一个用于定向的参考点k，也是构 建空间刚架有限元模型的内容，汽车不结构能有限忽元分析略03单。元类型及单
目前使用的梁单元除一次梁单 元外，还有二次梁单元、曲梁单 元和锥梁单元等。二次梁单元是 由三个节点确定的抛物线，曲梁 单元是由两个节点决定的、具有 曲率半径的圆弧，而锥梁单元则 是采用两个节点处截面积不等的 线性梁。
汽车结构有限元分析03单元类型及单 元分析
上述在局部坐标系中得出的杆单元或梁 单元刚度矩阵，由于整体结构中各杆梁位 置不同、倾角不同，有限元模型要求一个 单元在整体坐标系中能够任意定位，这就 需要建立两种坐标系下的转换关系。对平 面桁架、空间桁架、平面刚架与空间刚架， 都需要建立这种坐标变换关系。
形函数的构成要分成八个角点的形函 数和各棱边中节点的形函数两种情况表述。 其表达式如下：
汽车结构有限元分析03单元类型及单 元分析
由空间弹性力学几何方程，得应变表达式： 由空间弹性力学物理方程，单元内的应力可以
表示成： 单元刚度矩阵为 ：
汽车结构有限元分析03单元类型及单 元分析
实体单元可以直接利用三维CAD所做好的 实体模型，所以非常容易理解。实体单元能够 适用于所有的结构，但其节点数或单元数可能 非常之多。虽然板梁结构都可以采用实体单元 建模，但对于符合板或梁形式的结构还是采用 梁单元或板壳单元为佳，其精度完全满足工程 结构设计要求。采用实体单元分析所花费时间 一般较采用梁单元与板单元为多，另外三维网 格调整是比较困难的，用板梁单元建立的模型， 截面内力容易判断，在初期设计阶段，更易于 评价计算结果。

单元刚度矩阵推导步骤

单元刚度矩阵推导步骤

单元刚度矩阵推导步骤单元刚度矩阵是在有限元分析中用于描述单元位移与力的关系的矩阵。

它是由单元的物理和几何性质计算得出的。

下面将详细介绍单元刚度矩阵的推导步骤。

1. 选择单元类型和材料模型首先，需要选择单元类型和材料模型。

不同的单元类型具有不同的形状和自由度，而材料模型则描述了材料的物理性质。

这些因素将影响最终的单元刚度矩阵。

2. 定义单元的几何形状和尺寸接下来，需要定义单元的几何形状和尺寸。

这通常涉及选择节点（或顶点）的位置，并确定单元的尺寸和形状。

这些信息将用于计算单元刚度矩阵。

3. 建立局部坐标系为了计算单元刚度矩阵，需要建立一个局部坐标系。

这个坐标系将用于描述单元内力和位移的关系。

通常，局部坐标系的原点设在单元的中心，x轴沿单元的长度方向，y轴沿宽度方向（对于矩形单元），z轴则垂直于xy平面。

4. 确定单元的物理性质单元刚度矩阵还取决于单元的物理性质，如弹性模量、泊松比、密度等。

这些性质将用于计算单元刚度矩阵中的元素。

5. 建立平衡方程根据弹性力学的平衡方程，可以建立单元的平衡方程。

对于一个三维单元，平衡方程可以表示为：[F] = [B] * [u]其中，[F]是作用在单元上的力向量，[u]是位移向量，[B]是应变-位移矩阵（或称为应变矩阵）。

该矩阵包含了由于位移引起的应变信息。

6. 计算应变-位移矩阵根据几何形状和尺寸，可以计算应变-位移矩阵[B]。

该矩阵描述了位移如何引起应变的变化。

对于三维单元，应变-位移矩阵通常具有以下形式：[B] = [B1 B2 B3; B4 B5 B6; B7 B8 B9]其中，B1-9是应变-位移矩阵的元素。

这些元素可以通过几何关系和物理性质计算得出。

7. 建立单元刚度矩阵使用弹性力学的公式，可以将平衡方程重写为：[K] * [u] = [F]其中，[K]是单元刚度矩阵，它描述了力和位移之间的关系。

通过将应变-位移矩阵[B]和弹性模量等物理性质代入公式中，可以计算出单元刚度矩阵[K]。

有限单元法知识点总结

有限单元法知识点总结

有限单元法知识点总结1. 有限元法概述有限单元法（Finite Element Method ，简称FEM）是一种数值分析方法，适用于求解工程结构、热传导、流体力学等领域中的强耦合、非线性、三维等问题，是一种求解偏微分方程的数值方法。

有限元法将连续的物理问题抽象为由有限数量的简单几何单元（例如三角形、四边形、四面体、六面体等）组成的离散模型，通过对单元进行适当的数学处理，得到整体问题的近似解。

有限元法广泛应用于工程、材料、地球科学等领域。

2. 有限元法基本原理有限元法的基本原理包括离散化、加权残差法和形函数法。

离散化是将连续问题离散化为由有限数量的简单单元组成的问题，建立有限元模型。

加权残差法是选取适当的残差形式，并通过对残差进行加权平均，得到弱形式。

形函数法是利用一组适当的形函数来表示单元内部的位移场，通过形函数的线性组合来逼近整体位移场。

3. 有限元法的步骤有限元法的求解步骤包括建立有限元模型、建立刚度矩阵和载荷向量、施加边界条件、求解代数方程组和后处理结果。

建立有限元模型是将连续问题离散化为由简单单元组成的问题，并确定单元的连接关系。

建立刚度矩阵和载荷向量是通过单元的应变能量和内力作用，得到整体刚度矩阵和载荷向量。

施加边界条件是通过给定位移或力的边界条件，限制未知自由度的取值范围。

求解代数方程组是将有限元模型的刚度方程和载荷方程组成一个大型代数方程组，通过数值方法求解。

后处理结果是对数值结果进行处理和分析，得到工程应用的有用信息。

4. 有限元法的元素类型有限元法的元素类型包括结构单元、板壳单元、梁单元、壳单元、体单元等。

结构单元包括一维梁单元、二维三角形、四边形单元、三维四面体、六面体单元。

板壳单元包括各种压力单元、弹性单元、混合单元等。

梁单元包括梁单元、横梁单元、大变形梁单元等。

壳单元包括薄壳单元、厚壳单元、折叠单元等。

体单元包括六面体单元、锥体单元、八面体单元等。

5. 有限元法的数学基础有限元法的数学基础包括变分法、能量方法、有限元插值等。

简述有限单元法结构刚度矩阵的特点

简述有限单元法结构刚度矩阵的特点

简述有限单元法结构刚度矩阵的特点
有限单元法结构刚度矩阵是建立在有限元理论基础上而获得的独立矩阵，它利用一系列有限元端点对空间位移的线性近似关系来描述整体挠度的特征，因而可以准确描述结构体的受力特性。

结构刚度矩阵通常用于求解结构的受力特性，它的特点有：
1、结构刚度矩阵具有完整性：所有有限单元的挠度关系都可以表示为结构刚度矩阵的形式，也就是说，结构刚度矩阵可以描述整个结构体的挠度特性；
2、结构刚度矩阵简单精确：结构刚度矩阵的计算和求解非常简单，能够准确建立有限元模型；
3、结构刚度矩阵具有灵活性：结构刚度矩阵可以容易地根据不同形状的有限元或不同布局方式的有限元而进行调整；
4、结构刚度矩阵能够提高精度：结构刚度矩阵能够较好地消除模型假设对结构受力特性的影响，从而提高模型的精度。

- 1 -。

abaqus 单元刚度矩阵

abaqus 单元刚度矩阵

abaqus 单元刚度矩阵Abaqus是一种常用于有限元分析的强大软件工具。

在有限元分析中，单元刚度矩阵是一项关键的计算任务。

本文将介绍Abaqus中的单元刚度矩阵计算方法，并探讨其在有限元分析中的重要性。

一、简介有限元分析是一种数值计算方法，广泛应用于工程领域中各种结构的力学分析。

它将连续体问题离散化为有限数量的单元，通过近似解法来模拟连续体的力学行为。

在有限元分析中，单元是构成结构的基本单元，通过将整个结构划分为单元网格来进行分析。

每个单元的性质由其刚度矩阵定义。

二、单元刚度矩阵的定义在有限元分析中，单元刚度矩阵描述了单元的刚度特性。

它是一个关于单元节点坐标和材料特性的方阵。

单元刚度矩阵可以表示为：[K] = ∫(B^T × D × B) dV其中，[K]为单元刚度矩阵，B为单元形函数的导数矩阵，D为材料的弹性矩阵。

通过该公式，可以计算出每个单元的刚度矩阵，并用于整个结构的力学分析。

三、Abaqus中的单元刚度矩阵计算方法Abaqus提供了一种方便的方法来计算单元刚度矩阵。

用户只需定义模型的几何形状、材料特性和加载条件等，Abaqus会自动生成并计算每个单元的刚度矩阵。

下面以一维梁单元为例，介绍Abaqus中的单元刚度矩阵计算方法。

1. 定义材料特性和几何形状在Abaqus中，用户需要定义梁单元的材料特性和几何形状。

例如，用户可以指定梁单元的杨氏模量、截面积和长度等。

2. 划分单元网格用户需要将整个结构划分为单元网格。

在案例中，用户可以通过指定节点坐标和单元的连接关系来定义横截面上的单元。

3. 定义加载条件用户需要定义加载条件，例如施加在梁单元上的力或弯矩。

这些加载条件将影响单元刚度矩阵的计算。

4. 进行数值计算在完成上述定义后，Abaqus将自动生成并计算每个单元的刚度矩阵。

用户可以根据需要选择求解方法和精度设置。

四、单元刚度矩阵的应用单元刚度矩阵在有限元分析中起到至关重要的作用。

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Fξ j(2) x
l
0
1
x xi x xj
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元
●一次杆单元
根据形状函数的定义，我们知道，形状函数是 描述或反映单元内点位移与单元节点位移的关系。 对于上述问题，已知节点位移为ui,uj,而要求节点 间任一内点的位移，显然可以根据线性插值来计算 （二点一次拉氏插值），即
N1 (l x) l; N2 x l
u
x 0
l l
u1
x0 l 0
u2
u
N1
N2
uu12
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元
●一次杆单元
代入 ，有
令 1 1 ; 2
所以单元内点位移为
单元应变
N1 1 ; N2
得 N1 1; N2 2
u(x) 1
2
uu12
du dx
Al BT
DBdx
EA 3l
1
7 8
元素的计算
8 8 16
k11
EA l2
l 0
(41
2
1) dx
EA 7 3l
可以直接应用
x2 x1
1mn2dx
( x2
x1 )
(m!)(n!) (m n 1)!
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元
EA l2
l 0
(42
1)2dx
EA 7 3l
k33
EA l2
l 0
(41
42
)2dx
EA 16 3l
k12
EA l2
l
0 (42 1)(42 1)dx
EA 1 3l
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元 元素的计算
一、形状函数类型及其特征
在第二章中，曾经讨论过单元内点位移函数假设 适应满足的4项原则。
●包含单元的刚体位移 ●包含单元的常应变状态 ●保证不偏惠各坐标轴 ●保证单元内位移连续
体现位移函数完备性 体现位移函数几何不变性 体现位移函数协调性
一、形状函数类型及其特征
要保证位移函数的几何不变性，位移函数多项 式的各项应根据帕斯卡三角形来选择。
第三章 单元类型及单元刚度矩阵
一、形状函数类型及其特征
ngrange型形状函数
2.Hermite型形状函数
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元
2.三次梁单元
三、二维单元及其单元刚度阵
1.三角形单元
2.矩形单元
四、三维单元及其单元刚度阵
1.六面体单元
2.四面体单元
3.曲线等参元
第三章 单元类型及单元刚度矩阵
u1
所以单元内点位移为
u(x) N1
N2
N
3
u2
单元应变
u3
1 dN1
l
d
dN2
d
dN1
d
uu12 u3
B
e
几何矩阵为
B
1 l
(41
1)
(42 1)
(41 42 )
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元
●二次杆单元
单元应力为 E D E
单元刚度矩阵
7 1 8
k e
Ni X j 0
m
2. Ni Xi 1
i 1
3.保证所定义位移函数在相邻单元之间的连续
工程4实.保际证中所有定一义种位结移构函，数特反征映为常：应存变在状一态个长维，但 相对而言又不像平面应变那样，长短比略小，且载荷可 以为任意。比较典型的是井架、塔架等框架结构，这类 结构可用有限元中的一维单元来离散，根据问题的不同， 一维单元又可分为杆单元和梁单元。
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元 杆单元受轴向力，在单元端点处无弯矩和扭矩作用，
将此单元独立出来进行受力分析时为二力杆。根据单元 形状函数的阶次，又可分为一次杆单元和二次杆单元。
●一次杆单元 单元有两个节点，如图所示，编号为i、j,采用局部
坐标 ，记 x l，并取i为x坐标的原点，则有
F i(1)
1.杆单元
●二次杆单元 单元有三个节点，如图所示，端点编号为i、j,
三个节点依次为1、3、2。单元位移可以根据抛物 线插值（亦称三点两次拉氏插值）获得，即
同样令
0
1
x xi x xj
1 1 ; 2
F
Fξ
i(1)
(3)
j(2) x
l
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元
●二次杆单元
u(
x)
(
x (
l
2 l
)(x )(l)
l
)
u1
(
x
0)(x l(l )
l 2
)
u2
(x (l
0)(x )( l )
l)
u3
2
2
22
令 N1 (2 1)( 1) 212 1 N2 2 2 222 2 N3 4 (1 ) 412
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元
●二次杆单元
二维单元的帕斯卡三角形
1
x
y
x2
xy
y2
x3
x2 y
xy 2
y3
一、形状函数类型及其特征
1
x
y
三
z
维 的
x2
xy
y2
帕
zx
yz
斯
z2
卡
x3
x2 y
xy 2
y3
三
zx 2
xyz
y2z
角
z2x
yz 2
形
z3
一、形状函数类型及其特征
形状函数应该满足以下条件
1.
Ni
X
l
1 0
l i l i
Ni Xi 1
一、形状函数类型及其特征
ngrange型形状函数，这时节点广义位移为节 点位移，不含节点位移导数，它与单元的几何形状、 单元节点分布和节点数有关。所以，该类形状函数 在单元几何形状、节点分布和节点数一定时也随之 确定。
2.Hermite型形状函数，其节点广义位移包含节点 位移和节点位移导数。
有限元法的基本原理是将结构划分成单元，在单 元内用较简单的函数描述单元位移，即
u~(x) m Ni (x)qi i 1
这是对单元位移u(x)的近似。在前面两章的介绍 中，我们讲过，是用单元的节点位移来描述单元内 点位移，这里所用的变量qi，是节点位移的一种推 广，即一组广义坐标，或称广义节点位移，包括节 点位移和节点位移导数。Ni为形状函数。根据单元 广义节点位移的不同，形状函数分两类：Langrange 和Hermite型。
V
AlBT DB
代入，得
EA 1 l 1
1
1
这是一次杆单元的单刚阵，它对 称、对角线元素大于零且奇异！
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元
●一次杆单元
当上述单元用于描述仅受扭转变形的杆件时， 其单刚阵类似于一次杆单元的单刚阵，为：
ke
GJ l
1 1
1
1
Mn
Mn
ξ
i(1)
j(2) x
l
二、一维单元及其单元刚度阵
du
d
d
dx
1 du
l d
1 l
dN1
d
11 l
1uu12
B
e
dN2
d
uu12
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元
●一次杆单元
所以，几何矩阵为 B 1 l 1 l
单元应力为 E
D E 弹性矩阵
单元刚度矩阵通式为 k e BT DBdV
k e AlBT DBdx