高三数学上学期12月月考试题含解析 2
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创作；朱本晓
2022年元月元日
创作；朱本晓
2022年元月元日 海安高级中学2021届高三数学上学期12月月考试题〔含解析〕
一.填空题〔本大题一一共14小题，每一小题5分，一共70分，请将答案填写上在答题卷相应的位置上．〕 ．假设集合，，那么 ． 【答案】 【解析】
因为，所以
考点：集合运算
满足，那么_____________． 【答案】 【解析】 分析：设，代入，由复数相等的条件列式求得的值得答案．
详解：由，得， 设， 由得，即，解得，
所以，那么．
点睛：此题考察复数代数形式的乘除运算，考察了复数相等的条件以及复数模的求法，是根底题，着重考察了考生的推理与运算才能．
3.执行如下图的程序框图，输出的s值为_______. 创作；朱本晓
2022年元月元日
创作；朱本晓
2022年元月元日 【答案】
【解析】
【分析】
直接模拟运行程序即得解.
【详解】s=1-,k=2,s=,k=3,输出s=.故答案为：
【点睛】此题主要考察程序框图，意在考察学生对这些知识的掌握程度和分析推理才能.
4.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜测的研究中获得了世界领先的成果．哥德巴赫猜测是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和〞，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是_______. 【答案】
【解析】
【分析】
利用列举法先求出不超过30的所有素数，利用古典概型的概率公式进展计算即可．
【详解】在不超过30的素数中有，2，3，5，7，11，13，17，19，23，29一共10个，
从中选2个不同的数有45种，
和等于30的有〔7，23〕，〔11，19〕，〔13，17〕，一共3种，
那么对应的概率P， 创作；朱本晓
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创作；朱本晓
2022年元月元日 故答案为：
【点睛】此题主要考察古典概型的概率和组合数的计算，意在考察学生对这些知识的掌握程度和分析推理才能. 的离心率为，那么该双曲线的渐近线方程为__________． 【答案】
【解析】 试题分析：由题意，那么，而双曲线的渐近线方程为，因此方法为．
考点：双曲线的性质． 中，，，，那么__________． 【答案】
【解析】 试题分析：
考点：正余弦定理解三角形
的解为 ．
【答案】
【解析】
设，那么
考点：解指对数不等式
，那么其母线与轴的夹角的大小为 ．
【答案】
【解析】 创作；朱本晓
2022年元月元日
创作；朱本晓
2022年元月元日 由题意得：母线与轴的夹角为
考点：圆锥轴截面
【名师点睛】掌握对应几何体的侧面积，轴截面面积计算方法.如 圆柱的侧面积，圆柱的外表积，圆锥的侧面积，圆锥的外表积，球体的外表积，圆锥轴截面为等腰三角形. 视频 ，那么 【答案】
【解析】 试题分析：∵，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为．
考点：三角恒更变化．
视频
和，其中，，的项是互不相等的正整数，假设对于任意，的第项等于的第项，那么________
【答案】2
【解析】
由，假设对于任意的第项等于的第项，
那么，那么
所以，
所以. 创作；朱本晓
2022年元月元日
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2022年元月元日 ，假设无最大值，那么实数的取值范围是__． 【答案】
【解析】
【分析】
假设f〔x〕无最大值，那么，或者，解得答案．
【详解】f′〔x〕，
令f′〔x〕＝0，那么x＝±1，
假设f〔x〕无最大值，那么，或者，
解得：a∈〔﹣∞，﹣1〕．
故答案为：
【点睛】此题主要考察导数和分段函数的最值，意在考察学生对这些知识的掌握程度和分析推理才能. 中，，为边上的点，与的面积分别为和．过作于，于，那么 ．
【答案】
【解析】 由题意得：，又,因为DEAF四点一共圆，因此
考点：向量数量积，解三角形
O：，定点，过点A的直线l与圆O相较于B，C两点，两点B，C均在x轴上方，假设OC平分，那么直线l的斜率为________. 创作；朱本晓
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2022年元月元日 【答案】
【解析】
【分析】 由角平分线的定义知，设出点B〔x1，y1〕，由此求出点C的坐标，代入圆的方程求出x1，y1，得出点B的坐标，从而求出直线l的斜率kAB．
【详解】由OC平分∠AOB知，，
设点B〔x1，y1〕，点C〔x，y〕， 那么，
即〔x﹣x1，y﹣y1〕〔3﹣x，﹣y〕，
由向量相等解得x，yy1； 又1, ①
x2+y21， ∴,②；
由①②解得x1，y1＝±，
∴点B〔，〕；
∴直线l的斜率为kAB． 故答案为：．
【点睛】此题考察了角平分线定理与直线和圆的方程应用问题，是中档题． 创作；朱本晓
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2022年元月元日 a，b满足，那么的最小值是_______． 【答案】
【解析】
【分析】 由=2a++，代换后利用根本不等式即可求解．
【详解】正实数a，b满足2a+b=3，
∴2a+b+2=5， 那么=2a++=2a+b+2+﹣4 =1+=1+〔〕[2a+〔b+2〕] =1+〔4+〕=， 当且仅当且2a+b=3即a=，b=时取等号， 即的最小值是． 故答案为：
【点睛】在利用根本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑〞等技巧，使其满足根本不等式中“正〞(即条件要求中字母为正数)、“定〞(不等式的另一边必须为定值)、“等〞(等号获得的条件)的条件才能应用，否那么会出现错误
二.解答题〔本大题一一共6小题，一共计90分，请在答题纸指定区域内答题，解答时应写出文字说明、证明过程或者演算步骤．〕
15.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD，E，F分别为AD，PB的中点.
〔1〕求证：PE⊥BC；
〔2〕求证：EF∥平面PCD. 创作；朱本晓
2022年元月元日
创作；朱本晓
2022年元月元日
【答案】〔1〕详见解析；〔2〕详见解析.
【解析】
【分析】
(1)先证明平面PE⊥BC即得证.(2) 取中点，连接.证明，再证明EF∥平面PCD.
【详解】〔1〕∵，且为的中点，∴. ∵平面平面，平面平面， ∴平面. ∵面，∴PE⊥BC.
〔2〕如图，取中点，连接.
∵分别为和的中点，∴，且. ∵四边形为平行四边形，且为的中点， ∴， ∴，且，∴四边形为平行四边形， ∴. 又平面，平面， ∴平面.
【点睛】此题主要考察空间位置关系的证明，意在考察学生对这些知识的掌握程度和空间想象分析推理才能. 创作；朱本晓
2022年元月元日
创作；朱本晓
2022年元月元日 ="4tan" xsin〔〕cos〔〕 .
〔Ⅰ〕求f〔x〕的定义域与最小正周期；
〔Ⅱ〕讨论f〔x〕在区间[]上的单调性.
【答案】〔Ⅰ〕，；〔Ⅱ〕在区间上单调递增, 在区间上单调递减.
【解析】
试题分析：〔Ⅰ〕先利用诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式将函数化为根本三角函数：，再根据正弦函数的性质求定义域、最小正周期；〔Ⅱ〕根据〔Ⅰ〕的结论，研究函数f〔x〕在区间[]上单调性.
试题解析：〔Ⅰ〕的定义域为.
.
所以,的最小正周期 〔Ⅱ〕令函数的单调递增区间是 由,得 设，易知.
所以, 当时,在区间上单调递增,在区间上单调递减.
【考点】三角函数性质，诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式
【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进展分析，擅长用角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数根本关系式、两角和与差的正、余弦公式、二倍角公式、辅助角公式等，选用恰当的公式，是解决三角问题的关键，明确角的范围，开方时正负取舍是解题正确的保证. 对于三角函数来说，常常是先化为y＝Asin〔ωx＋φ〕＋k的形式，再利用三角函数的性质求解．三角恒等变换要坚持创作；朱本晓
2022年元月元日
创作；朱本晓
2022年元月元日 构造同化原那么，即尽可能地化为同角函数、同名函数、同次函数等，其中切化弦也是同化思想的表达；降次是一种三角变换的常用技巧，要灵敏运用降次公式． 视频
17.在某海滨城附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城A〔看做一点〕的东偏南角方向，300 km的海面P处，并以20km / h的速度向西偏北45°方向挪动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10km / h的速度不断增大．
〔1〕 问10小时后，该台风是否开场侵袭城A，并说明理由； 〔2〕 城A受到该台风侵袭的持续时间是为多久？
【答案】〔1〕否；〔2〕小时.
【解析】
【分析】 建立直角坐标系，那么城A〔0，0〕，当前台风中心，设t小时后台风中心P的坐标为〔x，y〕，由题意建立方程组，能求出10小时后，该台风还没有开场侵袭城A．〔2〕t小时后台风侵袭的范围可视为以为圆心，60+10t为半径的圆，由此利用圆的性质能求出结果． 【详解】〔1〕如图建立直角坐标系， 那么城，当前台风中心， 创作；朱本晓
