2021年高三上学期12月月考数学试卷 含解析
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实用文档 2021年高三上学期12月月考数学试卷 含解析
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答卷纸相应的位置）
1．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={1，2，3，5}，则∁U（A∩B）= ．
2．若实数a满足，其中i是虚数单位，则a= ．
3．双曲线的两条渐近线方程为 ．
4．若变量x，y满足约束条件则z=2x+y的最大值 ．
5．函数f（x）=（sinx﹣cosx）2的最小正周期为 ．
6．函数f（x）=xlnx的减区间是 ．
7．若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2cm的半圆，则该圆锥的高为 cm．
8．在等比数列{an}中，Sn为其前n项和，已知a5=2S4+3，a6=2S5+3，则此数列的公比q为 ．
9．已知椭圆（a＞b＞0），A为左顶点，B为短轴一顶点，F为右焦点且AB⊥BF，则这个椭圆的离心率等于 ．
10．设f（x）=x2﹣3x+a，若函数f（x）在区间（1，3）内有零点，则实数a的取值范围为 ． 精品文档
实用文档 11．在△ABC中，已知•=4，||=3，M、N分别是BC边上的三等分点，则= ．
12．已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=2x﹣2，则不等式f（x﹣1）≤2的解集是 ．
13．已知圆O：x2+y2=1，圆M：（x﹣a）2+（y﹣a+4）2=1．若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB=60°，则实数a的取值范围为 ．
14．设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c为常数）的导函数为f′（x）．对任意x∈R，不等式f（x）≥f′（x）恒成立，则的最大值为 ．
二、解答题（本大题共6个小题，共90分，请在答题卷区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知acosC+ccosA=2bcosA．
（1）求角A的值；
（2）求sinB+sinC的取值范围．
16．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是侧面AA1B1B对角线的交点，F是侧面AA1C1C对角线的交点，D是棱BC的中点．求证：
（1）EF∥平面ABC；
（2）平面AEF⊥平面A1AD． 精品文档
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17．某城市A计划每天从蔬菜基地B处给本市供应蔬菜，为此，准备从主干道AD的C处（不在端点A、D处）做一条道路CB，主干道AD的长为60千米，设计路线如图所示，测得蔬菜基地B在城市A的东偏北60°处，AB长为60千米，设∠BCD=θ，运输汽车在主干道AD上的平均车速为60千米/小时，在道路CB上的平均车速为20千米/小时．
（1）求运输汽车从城市A到蔬菜基地B处所用的时间t关于θ的函数关系式t（θ），并指出其定义域；
（2）求运输汽车从城市A到蔬菜基地B处所用的时间t的最小值．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点F是椭圆E： =1（a＞b＞0）的左焦点，A，B，C分别为椭圆E的右、下、上顶点，满足，椭圆的离心率为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若P为线段FC（包括端点）上任意一点，当取得最小值时，求点P的坐标；
（3）设M为线段BC（包括端点）上的一个动点，射线MF交椭圆于点N，若，求实数λ的取值范围．
19．已知数列{an}中，a2=1，前n项和为Sn，且． 精品文档
实用文档 （1）求a1，a3；
（2）求证：数列{an}为等差数列，并写出其通项公式；
（3）设，试问是否存在正整数p，q（其中1＜p＜q），使b1，bp，bq成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由．
20．已知函数f（x）=﹣ax（x＞0且x≠1）．
（1）若函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，求实数a的最小值；
（2）若∃x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的取值范围．
附加题
21．设是矩阵的一个特征向量，求实数a的值．
22．在极坐标系中，设直线θ=与曲线ρ2﹣10ρcosθ+4=0相交于A，B两点，求线段AB中点的极坐标．
23．一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1，1，1，2，2，3，现从袋中一次随机抽取3个球．
（1）若有放回的抽取3次，求恰有2次抽到编号为3的小球的概率；
（2）记球的最大编号为X，求随机变量X的分布列与数学期望．
24．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x﹣y﹣2=0，抛物线C：y2=2px（p＞0）．
（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；
（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q．
①求证：线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；
②求p的取值范围．
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xx学年江苏省苏州市张家港市暨阳中学高三（上）12月月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答卷纸相应的位置）
1．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={1，2，3，5}，则∁U（A∩B）= {2，4，6} ．
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】先利用并集的定义，求出全集U=A∪B，再利用交集的定义求出A∩B，再利用补集的定义求得 集合∁U（A∩B）．
【解答】解：∵集合A={1，3，5}，B={1，2，3，5}，
∴A∩B={1，3，5}，又全集U={1，2，3，4，5，6}，
∴集合∁U（A∩B）={2，4，6}，
故答案为：{2，4，6}．
2．若实数a满足，其中i是虚数单位，则a= 2 ．
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】由条件可得2+ai=2i（1﹣i），再利用两个复数相等的充要条件，求得a的值．
【解答】解：∵实数a满足，∴2+ai=2i（1﹣i），∴2+ai=2+2i，解得 a=2，
故答案为 2．
3．双曲线的两条渐近线方程为 ．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．
【解答】解：∵双曲线的a=4，b=3，焦点在x轴上 精品文档
实用文档 而双曲线的渐近线方程为y=±x
∴双曲线的渐近线方程为
故答案为：
4．若变量x，y满足约束条件则z=2x+y的最大值 4 ．
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，
平移直线y=﹣2x+z，
由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C（2，0）时，直线y=﹣2x+z的截距最大，
此时z最大．
将C的坐标代入目标函数z=2x+y，
得z=2×2+0=4．即z=2x+y的最大值为4．
故答案为：4
5．函数f（x）=（sinx﹣cosx）2的最小正周期为 π ．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．
【分析】化简函数的表达式为 一个角的一个三角函数的形式，然后利用周期公式求出函数的周期．
【解答】解：函数f（x）=（sinx﹣cosx）2=1﹣2sinxcosx=1﹣six2x；
所以函数的最小正周期为：T=， 精品文档
实用文档 故答案为：π．
6．函数f（x）=xlnx的减区间是 ．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】先求定义域，再令导数≤0解不等式，取交集可得．
【解答】解：由题意函数的定义域为（0，+∞），
求导数可得f′（x）=x′lnx+x（lnx）′
=1+lnx，令f′（x）=1+lnx≤0，
解之可得x≤
故函数的减区间为：
故答案为：
7．若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2cm的半圆，则该圆锥的高为 cm．
【考点】点、线、面间的距离计算．
【分析】根据半圆的周长等于圆锥底面圆的周长求出底面圆的半径，再根据圆锥的轴截面图形求高即可．
【解答】解：设圆锥的底面圆半径为r，则2πr=2π⇒r=1cm，
∴h==cm．
故答案是．
8．在等比数列{an}中，Sn为其前n项和，已知a5=2S4+3，a6=2S5+3，则此数列的公比q为 3 ．
【考点】等比数列的前n项和．
【分析】分q=1，及q≠1，两种情况，结合等比数列的通项公式及求和公式分别表示已知，解方程可求q
【解答】解：∵a5=2S4+3，a6=2S5+3，
若q=1，则，不符合题意
若q≠1 精品文档
实用文档 ∴
两式相减整理可得，
∴
∴q=3
故答案为：3
法二：∵a5=2S4+3，a6=2S5+3，
两式相减可得，a6﹣a5=2（s5﹣s4）=2a5
即a6=3a5
∴q=3
故答案为：3
9．已知椭圆（a＞b＞0），A为左顶点，B为短轴一顶点，F为右焦点且AB⊥BF，则这个椭圆的离心率等于 ．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】先求出A、B、F的坐标，由 AB⊥BF及a，b、c的关系建立关于离心率e的方程，解方程求得椭圆C的离心率e．
【解答】解：由题意得 A（﹣a，0）、B（0，b），F（c，0），
∵AB⊥BF，∴，
∴（a，b）•（c，﹣b）=ac﹣b2=ac﹣a2+c2=0，
∴e﹣1+e2=0，
解得e=，
故答案为：．
10．设f（x）=x2﹣3x+a，若函数f（x）在区间（1，3）内有零点，则实数a的取值范围为
（0，] ．
【考点】函数零点的判定定理；函数奇偶性的性质．
