高中新课程数学(新课标人教A版)选修2-2《3.1.2复数的几何意义》导学案

§3.1.2复数的几何意义教学设计1.知识与技能理解复数的几何意义；根据复数的几何意义，在复平面内能描出复数的点；会运用复数的几何意义判断复数所在的象限及求复数的模. 通过类比实数的几何意义学习复数的几何意义，类比向量求模来学习求复数的模，培养学生的逻辑思维能力.3.情感态度与价值观通过复数的几何意义的学习，培养学生数形结合的数学思想，从而激发学生学习数学的兴趣.重点：复数的几何意义以及复数的模；难点：复数的几何意义及模的综合应用.1.引入新课实数的几何意义：复习：实数与数轴上的点一一对应，从而实数可以用数轴上的点来表示，这是实数的几何意义.实数 ←−−−→一一对应数轴上的点 (数) (形)思考:类比实数,复数的几何意义是什么?2.探究新知探究一：复平面及复数的几何意义（一）提问：在什么情况下，复数唯一确定？回答：给出复数的实部和虚部时，复数唯一确定.即，以z 的实部和虚部组成的一个有序实数对(a,b)与复数z之间是一一对应飞关系.思考：有序实数对（a，b）的几何意义是什么？复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以用什么几何量来表示？结论：复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以用直角坐标系中的点Z（a，b）来表示.一一对应平面坐标系内的点因此：复数←−−−→(数) (形)复平面的定义：用直角坐标系来表示复数的坐标平面叫做复平面. 其中，x轴------实轴；y轴------虚轴.讨论：一般地，实轴上的点，虚轴上的点，各象限内的点分别表示什么样的数？归纳：实轴上的点表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数；各象限内的点表示实部不为零的虚数.例1：在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应点：(1)在第二象限；(2)在直线y＝x上；分别求实数m的取值范围.练习、在复平面内，若复数z=(a²-a-6)/(a+3)+(a²-2a-15)i(a∈R)对应的点z满足下列条件：(1)在复平面内的x轴上方；(2)在y轴上；分别求实数a的取值范围.探究二：复数的几何意义（二）若以原点O为起点，点Z（a，b）为终点构造向量，则直角坐标系中的点Z(a,b)与向量OZ成一一对应的关系.因此，复数z＝a＋bi与复平面内的点Z（a，b）和向量OZ是一个三角对应关系.探究三：复数的模复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以用向量OZ表示，向量OZ的模叫做复数z的模，记作|z|或|a＋bi|，那么|a＋bi|的计算公式是什么？例2：(1)若复数z对应的点在直线y＝2x上，且|z|＝√5，则复数z ＝( )A．1＋2i B．－1－2iC．±1±2i D．1＋2i或－1－2i (2)设复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，且|z1|＜|z2|，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－1,1)C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)3.小结与布置作业小结：（1）复平面： x轴------实轴；y轴------虚轴.（2）复数z＝a＋bi与复平面内的点Z（a，b）和向量OZ是一个三角对应关系.（3）复数的模：|z|=|a＋bi|.作业：练习册课时跟踪检测（八）本节课主要是在复数概念的基础之上让同学们在复数的代数表达式与复平面内的点以及向量之间建立联系.旨在培养学生数形结合的思想和意识.在本节课的教学过程中，通过对知识点和相关例题的研究，基本达到了预设的教学目标，在知识、能力、思想方面是同学们对复数及其几何意义有了更深刻、更全面的认识.当然，本节课也存在着不足之处：第一是教学过程中一些叙述不够严谨，这体现了自身教学素养的不足，还有待提高；第二是板书的书写和布局还有待改进；第三是在以后的教学过程中还要更加地关注学生，争取让所有学生都融入到教学环境中来.。

《3.1.2复数的几何意义》教学设计【教学分析】复数的几何意义是学生在学习完复数后的一节课，它在复数内容中起着承上启下的关键作用，它是我们研究复数运算的重要基础，所以学习好本节内容很重要。

而之前学生已经学习过实数的几何意义，实数的绝对值的意义，所以通过类比学生很容易理解复数的几何意义。

【教学目标】1.知识与技能理解复数的几何意义；根据复数的几何意义，在复平面内能描出复数对应的点；会运用复数的几何意义判断复数所在的象限及求复数的模。

通过类比实数的几何意义学习复数的几何意义，类比向量求模来学习求复数的模，培养学生的逻辑思维能力。

3.情感、态度与价值观通过复数的几何意义的学习，培养学生数形结合的数学思想，从而激发学生学习数学的兴趣。

教学重点与难点重点：复数的几何意义及复数的模；难点：复数的几何意义及复数的模的应用。

【教法与学法】教法：本节课主要让学生类比实数的几何意义和实数的绝对值的几何意义，探究出复数的几何意义；类比求向量的模的公式探究出求复数模的公式。

学法：建议学生通过已学内容大胆探索复数的几何意义、复数的模的定义及公式。

【教具准备】三角板、多媒体等【教学过程】一、复习引入1.复数的定义是什么？2.复数的代数形式是什么？3.如何定义两个复数相等的？【设计意图】通过对上节课内容的复习，为本节课的学习做好铺垫。

二、推进新课回顾：实数的几何意义是什么呢？实数可以用数轴上的点来表示思考：类比实数的几何意义，复数的几何意义是什么呢？【设计意图】通过类比，找出复数与有序实数对、坐标点的一一对应关系，从而找到复数的几何意义。

（一）复平面如图，点Z的横坐标是a，纵坐标是b,复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面。

x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。

（二）复数的几何意义（1）【练习】1.填空复平面内的原点(0,0)表示( );实轴上的点(2,0)表示( )；虚轴上的点(0,-1)表示( );点(-2,3)表示( ).2.下列命题中的假命题是（）.(A)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；(B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；(C)在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；(D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数.【设计意图】让学生更加深入的认识复平面。

3.1.2 复数的几何意义●三维目标1．知识与技能理解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数；了解复数模的概念及几何意义，会求复数的模．2．过程与方法渗透转化、数形结合等数学思想和方法，提高分析、解决问题的能力．3．情感、态度与价值观引导学生观察现象、发现问题、提出观点、验证结论、培养良好的学习思维品质．●重点难点重点：复数的几何意义及复数的模．难点：复数的几何意义及模的综合应用．树立复数与坐标平面内的点的一一对应、复数与向量的一一对应的意识，是将复数由代数形式引向几何形式的关键环节，通过图形展示，让学生直观、形象的探索其内在联系，可以降低理解难度．●教学建议建议本课在教师的指导下作小范围的必要的教学探索活动，使整个教学更有序，更有效，激发学生兴趣，锻炼学生毅力，兴趣是学习良好的开端，毅力是学习的保证．让学生由实数的绝对值的几何意义，类比复数模的几何意义，探索复数模的几何应用．可以利用多媒体教学，展示复数与坐标平面的对应关系及复数模的几何意义，引导学生利用数形结合的思想去分析问题、解决问题．●教学流程创设问题情境，引出问题，引导学生认识复数几何意义．了解复数模的定义、作用、计算方法．让学生自主完成填一填，使学生进一步了解复数与平面内的点的对应关系，复数与向量的对应关系．引导学生分析例题1的已知条件和问题(1)(2)应满足的条件．学生自主完成求解过程，教师指导完善．完成互动探究．学生分组探究例题2解法，总结利用复数相等条件求参数的规律方法．完成变式训练．完成当堂双基达标，巩固所学知识及应用方法．并进行反馈矫正．归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识，强调重点内容和规律方法．学生自主完成例题3互动探究，老师抽查完成情况，对出现问题及时指导．让学生自主分析例题3，老师适当点拨解题思路，学生分组讨论给出解法．老师组织解法展示，引导学生总结解题规律．【问题导思】1．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )与有序实数对(a ，b )有怎样的对应关系？【提示】 一一对应．2．有序实数对与直角坐标平面内的点有怎样的对应关系？【提示】 一一对应．3．复数集与平面直角坐标系中的点集之间能一一对应吗？【提示】 一一对应．建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．【问题导思】1．平面直角坐标系中的点Z 与向量OZ →有怎样的对应关系？【提示】 一一对应．2．复数集与平面直角坐标系中以原点为起点的向量集合能一一对应吗？【提示】 一一对应．(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )―→一一对应 复平面内的点Z (a ，b )．(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )―→一一对应 平面向量OZ →.为方便起见，我们常把复数z ＝a ＋b i 说成点Z 或说成向量OZ →，并且规定，相等的向量表示同一个复数．向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|，且r ＝a 2＋b 2(r ≥0，且r ∈R ).复平面内的点同复数的对应关系例题1 实数m 取什么值时，复平面内表示复数z ＝2m ＋(4－m 2)i 的点(1)位于虚轴上；(2)位于第三象限．【思路探究】 找出复数z 的实部、虚部，结合(1)(2)的要求写出满足的条件．【自主解答】 复数z ＝2m ＋(4－m 2)i 对应复平面内点的坐标P 为(2m,4－m 2)．(1)若P 在虚轴上，则⎩⎨⎧ 2m ＝0，4－m 2≠0，即m ＝0. (2)若点P 在第三象限，则⎩⎨⎧2m ＜0，4－m 2＜0，解得m ＜－2. ∴当点P 位于第三象限时，实数m 的范围是(－∞，－2)．规律方法1．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )复平面内的点(a ，b )． 2．判断复数对应点的位置，关键是找出相应复数的实部和虚部．互动探究在题设不变的情况下，求满足下列条件的实数m .(1)在实轴上；(2)在直线y ＝x 上．【解】 (1)若点在实轴上，则4－m 2＝0，即m ＝±2.(2)若点在直线y ＝x 上，则4－m 2＝2m ，解得m ＝－1±5.复数的模的求法例题2 已知复数z 满足z ＋|z |＝2＋8i ，求复数z .【思路探究】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，代入等式后，可利用复数相等的充要条件求出a ，b .【自主解答】 法一 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2，代入方程得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i ，∴⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝8，解得⎩⎨⎧a ＝－15，b ＝8.∴z ＝－15＋8i. 法二 原式可化为 z ＝2－|z |＋8i ，∵|z |∈R ，∴2－|z |是z 的实部，于是|z |＝2－|z |2＋82， 即|z |2＝68－4|z |＋|z |2，∴|z |＝17.代入z ＝2－|z |＋8i 得z ＝－15＋8i.规律方法计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．变式训练求复数z 1＝6＋8i 及z 2＝－12－2i 的模，并比较它们的模的大小． 【解】 |z 1|＝36＋64＝10，|z 2|＝－122＋－22＝14＋2＝32，|z 1|>|z 2|.复数的模及其几何意义 例题3 已知复数z 1＝－3＋i ，z 2＝－12－32i ， (1)求|z 1|与|z 2|的值，并比较它们的大小．(2)设复平面内，复数z 满足|z 2|≤|z |≤|z 1|，复数z 对应的点Z 的集合是什么？【思路探究】 (1)利用复数模的定义来求解．若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2.(2)先确定|z |的范围，再确定点Z 满足的条件，从而确定点Z 的图形．【自主解答】 (1)|z 1|＝－32＋12＝2. |z 2|＝－122＋－322＝1. ∵2＞1，∴|z 1|＞|z 2|.(2)由(1)知|z 2|≤|z |≤|z 1|，则1≤|z |≤2.因为不等式|z |≥1的解集是圆|z |＝1上和该圆外部所有点的集合，不等式|z |≤2的解集是圆|z |＝2上和该圆的内部所有点组成的集合，所以满足条件1≤|z |≤2的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以1和2为半径的两圆及所夹的圆环．规律方法1．两个复数不全为实数时不能比较大小；而任意两个复数的模均可比较大小．2．复数模的意义是表示复数对应的点到原点的距离，这可以类比实数的绝对值，也可以类比以原点为起点的向量的模来加深理解．3．|z 1－z 2|表示点z 1，z 2两点间的距离，|z |＝r 表示以原点为圆心，以r 为半径的圆．互动探究如果将本题中|z 2|≤|z |≤|z 1|，改为|z 2|＜|z |＜|z 1|，复数z 对应的点Z 的集合是什么？【解】 |z 2|＜|z |＜|z 1|⇒1＜|z |＜2，则复数z 的轨迹为以原点O 为圆心，1、2为半径的圆环且不包括边界，注意区别.因对复数的模理解不到位而导致错误典例 试研究方程x 2－5|x |＋6＝0在复数集上解的个数．【错解】 将方程变为|x |2－5|x |＋6＝0⇒|x |＝2或|x |＝3⇒x ＝±2或x ＝±3，故共有4个．【错因分析】 这里常出现将|x |看成“绝对值”从而出现错误的解法，注意这里|x |是一个复数的模，它不等同于实数的绝对值，x 2也不能写成|x |2.【防范措施】 (1)认真审题，看清限制范围是实数还是复数．(2)弄清复数的模与实数绝对值的区别．(3)理解|z |的意义及|z |的计算方法．(4)善于利用转化思想，把复数方程转化为实数方程组求解．【正解】 设x ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则原方程可化为a 2－b 2－5a 2＋b 2＋6＋2ab i ＝0⇒⎩⎨⎧a 2－b 2－5a 2＋b 2＋6＝0，2ab ＝0⇒⎩⎨⎧ a ＝±2，b ＝0或⎩⎨⎧ a ＝±3，b ＝0或⎩⎨⎧ a ＝0，b ＝±1， 即x ＝±2或x ＝±3或x ＝±i.故方程在复数集上的解共有6个．课堂小结1．复数的几何意义有两种：复数和复平面内的点一一对应，复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应．2．研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的实虚部的问题，也可以结合图形利用几何关系考虑．。

选修2-2（人教A）第三章数系的扩充与复数的引入【课题】：3.1.2 复数的几何意义【教学时间】：【学情分析】：教学对象是高二的学生，学生已经学过代数、解析几何的相关知识,所以本节课要求学生通过类比实数的几何意义自己探索复数的几何意义，由于学生已经学过平面向量及其几何表示、坐标表示，得到用平面向量来表示复数就比较容易了.【教学目标】：（1）知识与技能：了解复数的几何意义，会用复平面的点和向量来表示复数；（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合的思想方法，加深对复数几何意义的理解；（3）情感态度与价值观：培养学生用联系的观点分析、解决问题的能力。

.【教学重点】：复数的代数形式和复数的向量表示.【教学难点】：复数的向量表示.【课前准备】：powerpoint课件【教学过程设计】：六、作业1、在复平面内，复数2)31(1i ii+++对应的点位于 （ B ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2、复数iz -=11的共轭复数是 （ B ） A ．i 2121+ B ．i 2121- C ．i -1 D ．i +13、对于任意两个复数,111i y x z +=i y x z 222+=)(2,2,1,1R y x y x ∈.定义运算“⊙”为1z ⊙2z =21x x +21y y ，设非零复数21,w w 在复平面内对应的点分别为21,P P ，点O 为坐标原点，如果1w ⊙2w =0,那么在△21OP P 中，∠21OP P 的大小为2π. 4、在复平面内指出与复数i z i z i z i z +-=-=+=+=2,23,32,214321 对应的点4321,,,Z Z Z Z .试判断这四个点是否在同一个圆上？并证明你的结论.解：因为︱1z ︱=52122=+，︱2z ︱=5，︱3z ︱=5，︱4z ︱=5，所以，4321,,,Z Z Z Z 这四个点都在以圆点为圆心，半径为5的圆上.5、如果P 是复平面内表示表示复数a +bi （a ，b ∈R ）的点，分别指出在下列条件下点P 的位置：（！）a >0，b>0; (2) a <0,b>o; (3)a =0,b ≤0; (4)b<0.解：（1）第一象限 （2）第二象限 （3）位于原点或虚轴的下半轴上 （4）位于实轴下方6、设,bi a z +=满足下列条件的点Z 的集合是什么图形?(1);20<<b (2).16,0,022<+>>b a b a。

复数的几何意义学习目标：1.能知道复平面、实轴、虚轴等概念．2．能用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数以及它们之间的一一对应关系．3．能知道复数模的概念，会求复数的模．重点：重点：1.理解并掌握复数的几何意义，并能适当应用．2．复数的模．难点：复数的几何意义．方法：合作探究一新知导学1．复平面的定义建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做__________，y轴叫做__________，实轴上的点都表示实数，除了__________外，虚轴上的点都表示纯虚数．2．复数的几何意义(1)每一个复数都由它的__________和__________唯一确定，当把实部和虚部作为一个有序数对时，就和点的坐标一样，从而可以用点表示复数，因此复数与复平面内的点是__________关系．(2)若复数z＝a＋bi(a、b∈R)，则其对应的点的坐标是_______，不是(a，bi)．(3)复数与复平面内____________的向量也可以建立一一对应关系．如图：在复平面内复数z＝a＋bi(a、b∈R)可以用点___或向量表示复数z＝a＋bi(a、b∈R)与点Z(a，b)和向量的一一对应关系如右上图：牛刀小试1．已知a、b∈R，那么在复平面内对应于复数a－bi，－a－bi的两个点的位置关系是( )A．关于x轴对称 B．关于y轴对称C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称课堂随笔:2．复数z ＝－1－2i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限 D ．第四象限 3．设复数z ＝a ＋bi 对应的点在虚轴右侧，则( ) A ．a ＞0，b ＞0 B ．a ＞0，b ＜0 C ．b ＞0，a ∈R D ．a ＞0，b ∈R 3．复数的模 复数z ＝a ＋bi(a 、b ∈R)对应的向量为O ，则O 的模叫做复数z 的模，记作|z|且|z|＝a2＋b2 当b ＝0时，z 的模就是实数a 的绝对值． 4．复数模的几何意义 复数模的几何意义就是复数z ＝a ＋bi 所对应的点Z(a ，b)到原点(0,0)的__________． 由向量的几何意义知，|z1－z2|表示在复平面内复数z1与z2对应的两点之间的__________． 牛刀小试 4．(2014·武汉市调研)复数z ＝m(3＋i)－(2＋i)(m ∈R，i 为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 5．复数i ＋i2的模等于__________. 6．设复数z 的模为17，虚部为－8，则复数z ＝________. 7．比较复数z1＝3＋4i 及z2＝－12－2i 的模的模的大小．命题方向（一）复数的几何意义 【例一】在复平面内，若复数z ＝(m2＋2m －8)＋(m2－3m ＋2)i 对应的点分别满足下列要求，试求复数z ： 在虚轴上(不包括原点)； (2)在实轴负半轴上； (3)在第一、三象限的角平分线上．跟踪训练１：若复数(m2－3m －4)＋(m2－5m －6)i 对应的点在虚轴上，则实数m 的值是( ) A ．－1 B ．4 C ．－1和4 : D ．－1和6 命题方向（二）复数模的计算 【例二】已知复数z 满足z ＋|z|＝2＋8i ，求复数z. 跟踪训练2：下列各复数的模不是1的为( ) －i B ．i C ．12－32i D ．12＋12i命题方向（三）综合应用 【例三】 已知复数z ＝3＋ai ，且|z|＜4，求实数a 的取值范围． 跟踪训练3：若z ＋|z|＝2，则复数z ＝__________. （四）准确掌握复数模的几何意义 【例四】已知复数z 满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z 对应点的轨迹是( ) A ．1个圆 B ．线段 C ．2个点 D ．2个圆 课时小结： 课后作业 一、选择题 1．复数z ＝－2＋i ，则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限后记与感悟:2．若OZ →＝(0，－3)，则OZ →对应的复数为( ) A ．0 B ．－3 C ．－3i D ．33．复数z ＝1＋(2－sinθ)i 在复平面内对应的点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．复数z 与它的模相等的充要条件是( )A ．z 为纯虚数B ．z 是实数C ．z 是正实数D ．z 是非负实数5．已知复数z ＝(m －3)＋(m －1)i 的模等于2，则实数m 的值为( )A ．1或3B ．1C ．3D ．26．已知平行四边形OABC ，O 、A 、C 三点对应的复数分别为0、1＋2i 、3－2i ，则向量AB →的模|AB →|等于( )A ． 5B ．2 5C ．4D ．13二、填空题7．已知复数x2－6x ＋5＋(x －2)i 在复平面内的对应点在第三象限，则实数x 的取值范围是________.8．已知复数z1＝－2＋3i 对应点为Z1，Z2与Z1关于x 轴对称，Z3与Z2关于直线y ＝－x 对称，则Z3点对应的复数为z ＝________.9．若复数z ＝(m2－9)＋(m2＋2m －3)i 是纯虚数，其中m ∈R ，则|z|＝________.三、解答题10．如果复数z ＝(m2＋m －1)＋(4m2－8m ＋3)i(m ∈R)对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围．答案：牛刀小试 1、B ； 2、C ； 3、D ； 4、B 5、2；6、±15－8i ；7、|z1|＞|z2|例一 解析：(1)若复数z 对应的点在虚轴上(不包括原点)，则m2＋2m －8＝0且m2－3m ＋2≠0，∴m ＝－4，此时z ＝30i.(2)若复数z 对应的点在实轴负半轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧ m2＋2m －8<0，m2－3m ＋2＝0，解得m ＝1，此时z ＝－5.(3)若复数z 对应的点在第一、三象限的角平分线上，即在直线y ＝x 上，即m2－3m ＋2＝m2＋2m －8，∴m ＝2，此时z ＝0.跟踪训练 1、C例二 解析：设z ＝a ＋bi(a ，b∈R)，代入等式后，可利用复数相等的充要条件求出a ，b.解法一：设z ＝a ＋bi(a 、b ∈R)，则|z|＝a2＋b2，代入方程得a ＋bi ＋a2＋b2＝2＋8i ，∴⎩⎨⎧ a ＋a2＋b2＝2b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－15b ＝8.∴z ＝－15＋8i.解法二：原式可化为z ＝2－|z|＋8i ，∵|z|∈R ，∴2－|z|是z 的实部，于是|z|＝(2－|z|)2＋82，即|z|2＝68－4|z|＋|z|2，∴|z|＝17.代入z ＝2－|z|＋8i 得z ＝－15＋8i.跟踪训练2、D例三 解析：解法一：∵z ＝3＋ai(a ∈R)，∴|z|＝32＋a2，。

§3.1.2复数的几何意义教学目标：知识与技能：理解复数与从原点出发的向量的对应关系过程与方法：了解复数的几何意义情感、态度与价值观：画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用教学重点：复数与从原点出发的向量的对应关系．教学难点：复数的几何意义。

教具准备：多媒体、实物投影仪。

教学设想：复数z=a+bi(a 、b ∈R)与有序实数对(a ，b)是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z=a+bi(a 、b ∈R)，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a ，b)惟一确定.教学过程：学生探究过程：1.若(,)A x y ，(0,0)O ，则(),OA x y =2. 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --= 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差3. 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=即 AB =OB -OA =( x 2, y 2) - (x 1,y 1)= (x 2- x 1, y 2- y 1)讲授新课：复平面、实轴、虚轴：复数z=a+bi(a 、b ∈R)与有序实数对(a ，b)是b Z(a ，b)a o yx这是因为对于任何一个复数z=a+bi(a 、b ∈R)，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a ，b)惟一确定，如z=3+2i 可以由有序实数对(3，2)确定，又如z=－2+i 可以由有序实数对(－2，1)来确定；又因为有序实数对(a ，b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对(3，2)它与平面直角坐标系中的点A ，横坐标为3，纵坐标为2，建立了一一对应的关系 由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系.点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z=a+bi(a 、b ∈R)可用点Z(a ，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.在复平面内的原点(0，0)表示实数0，实轴上的点(2，0)表示实数2，虚轴上的点(0，－1)表示纯虚数－i ，虚轴上的点(0，5)表示纯虚数5i非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(－2，3)表示的复数是－2+3i ，z=－5－3i 对应的点(－5，－3)在第三象限等等.复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 复数z a bi =+←−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b 这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.１．复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ 2. 复数z a bi =+←−−−→一一对应平面向量OZ 例1．（2020年辽宁卷）若35ππ44θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则复数(cos sin )(sin cos )i θθθθ++-在复平面内所对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解：选B . 例2．（2020上海理科、文科）已知复数z 1=cos θ－i ，z 2=sin θ+i ，求| z 1·z 2|的最大值和最小值.[解] |)sin (cos cos sin 1|||21i z z θθθθ-++=⋅.2sin 412cos sin 2)sin (cos )cos sin 1(22222θθθθθθθ+=+=-++= 故||21z z ⋅的最大值为,23最小值为2. 例3．（2020北京理科）满足条件||||z i i -=+34的复数z 在复平面上对应点的轨迹是（ ）A. 一条直线B. 两条直线C. 圆D. 椭圆解：选C.巩固练习：课后作业：课本第106页 习题3. 1 A 组4，5，6 B 组1,2教学反思：复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 复数z a bi =+←−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b 这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.1．（2000广东，全国文科、理科，江西、天津理科）在复平面内，把复数i 33-对应的向量按顺时钟方向旋转3π，所得向量对应的复数是：（ B ） （A ）23 （B ）i 32- （C ）3i 3- （D ）3+i 32． (1992全国理科、文科)已知复数z 的模为2,则│z -i│的最大值为：( D )(A)1 (B)2 (C) (D)33．（2020北京理科）若C z ∈且|22|,1|22|i z i z --=-+则的最小值是（ B ）A ．2B ．3C ．4D ．54．（2020年上海卷）若,a b 为非零实数，则下列四个命题都成立：①10a a+≠ ②()2222a b a ab b +=++ ③若a b =，则a b =± ④若2a ab =，则a b =则对于任意非零复数,a b ，上述命题仍然成立的序号是_____。

§3.1.2复数的几何意义教学目标:1 •知识与技能：理解复数与从原点出发的向量的对应关系2.过程与方法：了解复数的儿何意义3•情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念（复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部）理解并掌握复数相等的有关概念教学重点：复数与从原点出发的向量的对应关系;教学难点：虚数单位/的引进及复数的概念.教学过程设计（一入情景引入，激发兴趣。

【教师引入】:我们知道实数可以用数轴上的点來表示。

对应A数轴上的点（形）实数的几何摸型:那么，类比实数的表示，可以用什么來表示复数？一个复数由什么确定?（二八探究新知，揭示概念1.若A(兀,y), 0(0,0),则OA = (x,y)2.若d = b = (x2.y2),则a^b = (x x +x2,y} +y2),a-b = (x{ _兀2』1 _)‘2)两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差3.若B(x2,y2),则AB = (兀2-兀i?2 - X)-个向量的能标等于表示此向量的有向线段的终点出标减去始点的地标即AB = OB-OA = ( x2, y2) 一(x b yi)= (xz- x b yz- yi)复平面、实轴、虚轴: 可以由一个有序实数对H惟一确定，如沪3+2,可以由有序实数对（3, 2）确定，又如沪一2+,可以由有序实数对（-2, 1）来确定；又因为有序实数对（&,方）与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对（3, 2）它与平面直角坐标系屮的点弭，横坐标为3,纵坐标为2,建立了一一对应的关系由此可知，复数集与平而直角坐标系中的点集Z间可以建立一一对应的关系.点Z 的横坐标是日，纵坐标是力，复数沪Mbi （a 、Z?WR ）iJ 用点Z （日，力）表示，这个建立了直角坐标系 來表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为（0, 0）,它所确定的复数是沪0+0U0表 示是实数•故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数（三）、分析归纳，抽象概括在复平面内的原点（0, 0）表示实数0,实轴上的点（2, 0）表示实数2,虚轴上的点（0, —1）表示纯虚数 —i,虚轴上的点（0, 5）表示纯虚数5/非纯虚数对应的点在四个象限，例如点（一2, 3）表示的复数是一2+3/, z —5-3/对应的点（一5, -3） 在第三象限等等.复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的 一个复数和它对应.这就是复数的一种几何意义•也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.1 .复平面内的点Z （d,b ）〈 対应〉平面向量蒂2.复数z = a + bi < —妙》平而向量旋（四）、知识应用，深化理解例1下列命题为假命题的是:A 在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；B 在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上;C 在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；D 在复平血内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数;例2在复平ifij 内，若复数z=（龙一2） + （龙一3/〃+2） i 对应的点⑴在虚轴上；（2）在第二彖限；（3）在直线分别求实数刃的取值范围.复数沪臼+/力（臼、方ER ）与有序实数対（臼，力）是—对 y因为对于任何一个复数卡bid 、方ER ）,由复数相等的 bZ(a, b) 应关系这是 定义可知,解复数z= (/»—/»—2) + (异一3/〃+2) i的实部为/；—/〃一2,虚部为卅一3m+2.⑴由题意得刃一2 = 0.解得7/7=2 或m= — \.(2)由题意得力一刃一2〈0骄一3/〃+2>0—1〈〃K2刃>2或〃K1・・・一1加1.(3)由已知得龙一/〃一2=〃/—3/〃+2,故加=2.例3求下列复数的模：(1) Zi=-5i (2) z2=-3+4i (3) z3=5-5i (4) Z4=l+mi (m^R) (5) z5=4a-3ai (a<0)(五)、归纳小结、布置作业(愼數的几何意义(简称复平面)X 轴——实轴y 轴——虚轴|赠:小学五年级数学竞赛题1.把自然数1.2.3.4…… 的前几项顺次写下得到一个多位数1234567891011 .................. 已知这个 多位数至少有十位,并且是9和11的倍数.那么它至少有几位？2.在做两个数的乘法时，甲把被剩数的个位数字看错了，得结果是255,乙把被剩数的十位 数字看错了，得结果是365,那么正确的乘积是多少？3. 将23分成三个不同的奇数之和，共有几种不同的分法?4、把自然数1、2、3、4 ........... 的前几项顺次写下得到一个多位数12345678910111213…… 已 知这个多位数至少有十位，并且是9的倍数，那么它最少有几位数？5、恰有两位数字相同的三位数共有儿个?6、有一群小孩，他们中任意5个孩子的年龄之和比50少，所有孩子的年龄之和是202,这群孩子至(数) (形)建立了平面直角 坐标系来表示复数的z=a+bi少有儿人？7、甲乙两同学按先后顺序摆多米诺骨牌，要求摆成正方形，由于每人手里一次只能拿10块，故每次每人摆10块。

复数的几何意义一、教学分析《复数的几何意义》是高中数学人教A版选修2-2第三章《数系的扩充与复数的引入》的第一节第二课时，是学生在学习数系的扩充与复数的概念后的一节课，它的学习能帮助学生进一步认识复数和理解复数概念，是研究复数的运算、性质和应用主要基础，它在本章节学习内容中起着承上启下的关键作用。

二、学情分析教学对象是高二的学生，学生已经学过代数、解析几何的相关知识,本节课要求学生通过类比实数的几何意义自己探索复数的几何意义，由于学生已经学过平面向量及其几何表示、坐标表示，得到用平面向量来表示复数就比较容易了三、教学目标依据教材特点、新课标的教学要求和学生的认知水平，确定教学目标如下：1理解复数的几何意义；根据复数的几何意义，在复平面内能描出复数的点；会运用复数的几何意义判断复数所在的象限及求复数的模2通过类比实数的几何意义学习复数的几何意义，类比向量求模来学习求复数的模，培养学生的逻辑思维能力3通过复数的几何意义的学习，培养学生类比，转化和数形结合的数学思想，从而激发学生学习数学的兴趣四、教学重点和难点根据新课标要求和教材定位以及学情分析确定本节课：教学重点：复数的几何意义以及复数的模；教学难点：复数的几何意义及模的综合应用五、教学与学法教法：本节主要让学生类比实数的几何意义，探究出复数的几何意义；类比求向量的模公式探究出求复数模的公式学法：建议学生通过已学内容大胆探索复数的几何意义、复数的模的定义及公式六、教学支持条件主要教学支持条件：三角板、多媒体等七、教学过程设计（一）复习回顾问题1 在几何上，我们用什么来表示实数问题2 复数的代数形式是什么？一个复数可由什么确定？问题3 类比实数的表示，在几何上可以用什么来表示复数设计意图：创设问题情境，使学生明确这里要解决什么问题，联系旧知识，了解解决问题的大致方向。

提出问题,激发学生学习兴趣。

师生活动：教师提出问题，学生思考回答，教师再评价、引导。