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山西省太原市2018-2019学年九年级上学期数学期中考试试卷一、选择题 1. 若= =2（b+d≠0），则的值为（ ）A . 1B . 2C .D . 42. 将方程（x+1）（2x-3）=1化成“ax +bx+c=0”的形式，当a=2时，则b ，c 的值分别为（ ）A .， B .， C .， D . ，3. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）A . 对角线相等B . 对角线互相平分C . 对角线互相垂直D . 对角线平分对角4. 如图，一组互相平行的直线a ，b ，c 分别与直线l ， 1交于点A ，B ，C ，D ，E ，F ，直线1 ， l 交于点O ，则下列各式不正确的是（ ）A .B .C .D .5. 一元二次方程x +6x+9=0的根的情况是（ ）A . 有两个相等的实数根B . 有两个不相等的实数偎C .只有一个实数根 D . 没有实数根6. 小明要用如图的两个转盘做“配紫色”游戏，每个转盘均被等分成若干个扇形，他同时转动两个转盘，停止时指针所指的颜色恰好配成紫色的概率为（ ）A .B .C .D . 7. 用配方法解方程x -8x+5=0，将其化为（x+a ）=b 的形式，正确的是（ ）A .B .C .D .8. 如图，△ABC 中，点P 是AB 边上的一点，过点P 作PD ∥BC ，PE ∥AC ，分别交AC ，BC于点D ，E ，连按CP ．若四边形CDPE 是菱形，则线段CP 应满足的条件是（ ） A . CP 平分 B . C . CP 是AB 边上的中线 D .9. 为宣传“扫黑除恶”专项行动，社区准备制作一幅宣传版面，喷绘时为了美观，要在矩形图案四周外围增加一圈等宽的白边，已知图案的长为2米，宽为1米，图案面积占整幅宣传版面面积的90%，若设白边的宽为x 米，则根据题意可列出方程（ ）A .B .C .D . 2121222210. 如图，在矩形ABCD 内有一点F ，FB 与FC 分别平分∠ABC 和∠BCD ，点E 为矩形ABCD 外一点，连接BE ，CE ．现添加下列条件：①EB ∥CF ，CE ∥BF ；②BE=CE ，BE=BF ；③BE ∥CF ，CE ⊥BE ；④BE=CE ，CE ∥BF ，其中能判定四边形BECF 是正方形的共有（ ）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个二、填空题11. 一元二次方程x +3x=0的解是________．12. 经过某十字路口的行人，可能直行，也可能左拐或右拐．假设这三种可能性相同，现有两人经过该路口，则恰好有一人直行，另一人左拐的概率为________．13. 如图，正方形ABCD 中，点E 是对角线BD 上的一点，BE=BC ，过点E 作EF ⊥AB ，EG ⊥BC ，垂足分别为点F ，G ，则正方形FBGE 与正方形ABCD 的相似比为________．14. 如图，正方形ABCD 中，AB=2，对角线AC ，BD 相交于点O ，将△OBC 绕点B 逆时针旋转得到△O′BC′，当射线O′C′经过点D 时，线段DC′的长为________．15. 如图，在菱形ABCD 中，AB=4，AE ⊥BC 于点E ，点F ，G 分别是AB ，AD 的中点，连接EF ，FG ，若∠EFG=90°，则FG 的长为________．三、计算题16. 解下列方程：（1） x -6x+3=0；（2） 3x （x-2）=2（x-2）．17. 如图，矩形ABCD 中，AB=4，点E ，F 分别在AD ，BC 边上，且EF ⊥BC ，若矩形ABFE ∽矩形DEFC，且相似比为1：2，求AD 的长．22景点介绍，求甲、乙两人中恰好有一人介绍，到2018年“早黑宝”的种植面积达到EFB的边长．22. 已知：如图，菱形ABCD8 ．2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.。
2018-2019学年度第一学期期中质量检测七年级数学试题一 选择题：每小题3分，共8小题，共24分。
1.-3的相反数是（ ）A.3B.-3C.31 D.-312.如图所示的花瓶中，（ ）的表面，可以看作由所给的平面图形绕虚线旋转一周形成的。
3.根据国家旅游局数据中心综合测算，2016年国庆期间，全国累计旅游收入达四千八百亿元，四千八百亿元用科学记数法表示是（ ）A.4800×108B.48×1010 D.4.8×103 D.4.8×1011 4.一个六棱柱模型如图所示，底面边长都是5cm ，侧棱长为4cm ，这个六棱柱的所有侧面的面积之和是（ ）A.20cm 2B.60cm 2C.120cm 2D.240cm 25.下列各数：0，2-，-（-2），-32，21-，其中非负数有（ ）个.A.4B.3C.2D.16.一辆汽车a 秒行驶6m 米，则它2分钟行驶（ ）.A.3m 米 B.am 10米 C.am 20米 D.am 120米7.下列说法正确的有（）①-43表示3个-4相乘；②一个有理数和它的相反数的积必为负数；③数轴上表示2和-2的点到原点的距离相等；④若a2=b2，则a=b.A.1个B.2个C.3个D.4个8.两堆棋子，将第一堆的3个棋子移动到第二堆之后，现在第二堆的棋子数是第一堆棋子的3倍，设第一堆原有m个棋子，则第二堆的棋子原有（）个。
A.3mB.3m-3C.33m D.3m-12二填空题：每小题3分，共8小题，共24分。
9.如果收入50元记作+50元，那么支出35元记作.10.将一个长方体截去一角边长一个如图的新几何体，这个新几何体有个面，条棱，个顶点.11.某市2011年元旦的最高气温为2℃，最低气温为-8℃，那么这天的最高气温比最低气温高℃.12.请写出一个只含有字母x、y的三次二项式：.13.图1和图2中所有的正方形都全等。
将图1的正方形放在图2中的（从①②③④⑤中选填）位置，所组成的图形能够围成正方体。
2018-2019学年第二学期广东二师附中中段测试高一级试题数 学本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4． 考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡和答卷一并交回．试卷要自己保存好，以方便试卷评讲课更好开展.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）1、直线013=+-y x 的倾斜角为（ ）A .30°B ．60°C ．120°D ．150°2、已知直线12:220,:410l x y l ax y +-=++=, 若12l l ⊥, 则a 的值为（ ） A . 2- B. 2 C. 12-D. 8 3、在△ABC 中，060B =，2b ac =则△ABC 一定是( ) A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形4、将一个直角边长为1的等腰直角三角形绕其一条直角边旋转一周所形成几何体的体积为（ ）A ．43π B ． 4π C ． 3π D ． 3π 5、设,m n 为两条不同的直线，α为平面，则下列结论正确的是（ ）A ．,//m n m n αα⊥⇒⊥B ． ,//m n m n αα⊥⊥⇒C ．,//m m n n αα⊥⇒⊥D ．//,////m m n n αα⇒ 6、一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位:),则该几何体的表面积为( )A ．224cm πB ．218cm πC ．245cm πD ． 248cm π 7、球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是 ( ) A ．3π B ．4π C ．2πD ．π 8、在ABC ∆中，已知222sin sin sin 3sin sin B C A A C --=．求B 的度数（ ）．A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°9、.如图所示,在正方体D C B A ABCD 111-中,若E 是A 1C 1的中点,则直线CE 垂直于( )A.AC B.BD C.1A D D.11A D . 10、已知顶点在单位圆上的ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且C b B c A a cos cos cos 2+=，422=+c b ，则ABC ∆的面积为（ ）． A.38B.34C. 3D. 2311、已知正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于E 点，将ACD ∆沿对角线折起，使得平面ABC ⊥平面ADC （如图），则下列命题中正确的是（ ）A. 直线AB ⊥直线CD ，且直线AC ⊥直线BDB. 直线AB ⊥平面BCD ，且直线AC ⊥平面BDEC. 平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ACD ⊥平面BDED. 平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ACD ⊥平面BDE12、如图所示，已知两点),(04A ),(40A ，从点),(02P 射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( ) A ．210 B ．6 C ．33 D ．25第Ⅰ卷（非选择题 共90分）二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）． 13、锐角ABC ∆中，若面积ab S 43=，则角C =___________ 14、如图，四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，E 是SA 上一点，当点E 满足条件：__________时，SC ∥平面EBD.15、如图所示，设,A B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC的距离为50m ，0045,105ACB CAB ∠=∠=后，就可以计算出,A B 两点的距离为________16、设点P 在直线30x y +=上,且P 到原点的距离与P 到直线32x y +=的距离相等,则点P 的坐标为 .三．解答题（本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 三、解答题(本大题共6题,共70分.解答须写出说明、证明过程和演算步骤. 解答写在答题卡上的指定区域内.)17、（本小题满分10分）已知直线()12:310,:20l ax y l x a y a ++=+-+=．（1）若12l l ⊥，求实数a 的值；（2）当12//l l 时，求直线1l 与2l 之间的距离．18、（本小题满分12分）如图，已知面11AA B B 垂直于圆柱底面，AB 为底面直径，C 是底面圆周上异于A B ，的一点，12AA AB ==．求证：（1）11AAC BAC ⊥平面平面；（2）求几何体1A ABC -的最大体积V ．19、（本小题满分12分）设ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a b c 、、，且3,1,2b c A B ===．（1）求a 的值； （2）求sin()4A π+的值．20、（本小题满分12分）如图，在△ABC 中，BC 边上的高所在的直线方程为210x y -+=,∠A 的平分线所在的直线方程为0y =,若点B 的坐标为（1，2）， 求：（1）点A 和点C 的坐标； （2）求△ABC 的面积．21． （本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ,1,90.2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠=︒ （1）证明：直线BC ∥平面PAD ;（2）若△PCD 的面积为27，求四棱锥P ABCD -的体积.22、（本小题满分12分）已知向量()()()2sin ,sin cos ,3cos ,sin cos (0)a x x x b x x x λλλ=+=->，函数()f x a b =⋅的最大值为2.（I ）求函数()f x 的单调递减区间；（II ）在ABC ∆中，内角A B C 、、的对边分别为2,cos 2b aa b c A c-=、、，若()0f A m ->恒成立，求实数m 的取值范围.2018-2019学年第二学期中段测试高一级试题答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 答案 B ADDCACDBBDA二、 填空题13.14.E 为SA 中点/SE=EA 15. 502m 16. 3131(,)(,)5555--或三、解答题 17、【答案】（1）由12l l ⊥知()320a a +-=，解得32a =； ……………4分 （2）当12l l ∥时，有()()230320a a a a --=⎧⎪⎨--≠⎪⎩解得3a =， (6)12:3310,:30l x y l x y ++=++=，即3390x y ++=， ……………8分距离为229142333d -==+ ……………10分 18、【答案】 （1）证明：C 是底面圆周上异于A ，B 的一点，AB 是底面圆的直径，∴ AC⊥BC． ……………1分AA 1⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴AA 1⊥BC， ……………2分又AC∩AA 1=A ， ……………3分∴BC⊥平面AA 1C ． ……………4分又BC ⊂平面BA 1C ， ……………5分∴平面AA 1C⊥平面BA 1C ． ……………6分（2）解：在Rt△ABC 中，当AB 边上的高最大时，三角形ABC 面积最大，此时AC=BC. 此时几何体1A ABC -取得最大体积. ……………8分090,2ACB AB ∠==，则由AB 2=AC 2+BC 2， ……………10分 AA 1⊥平面ABC ， AA 1是几何体1A ABC -的高所以体积max 11112332ABC V S AA ⎛=⋅=⨯⨯= ⎝23． ……12分19．解：（1）∵2A B =，∴sin sin 22sin cos A B B B ==， ………1分∴22222a c b a b ac+-=⋅， ………3分∵3,1b c ==，∴212a =，∴a = ………5分2）由（1）可得2221cos 23b c a A bc +-==-， ………7分∵0A π<<，∴sin A ………9分 ∴sin()sin cos +cos sin444A A A πππ+=13=-= ………12分 20、【答案】（1）解：由⎩⎨⎧==+-.0,012y y x 得顶点(1,0)A -． ………2分又AB 的斜率2011(1)AB k -==--．∵x 轴是A ∠的平分线，故AC 的斜率为1-，AC 所在直线的方程为(1)y x =-+① ………3分 已知BC 上的高所在直线的方程为210x y -+=，故BC 的斜率为2-， BC 所在的直线方程为22(1)y x -=--② ………4分解①，②得顶点C 的坐标为(5,6)-． ………6分 （2）()()22152645BC =-++= ………7分又直线BC 的方程是240x y +-=A 到直线的距离24655d --==………10分 所以ABC ∆的面积1164512225BC d =⋅=⨯⨯= ………12分 21、解：（1）在平面ABCD 内，因为90BAD ABC ∠=∠=，∴所以//BC AD . ………1分又BC ⊄平面,PAD AD ⊂平面PAD ， ………3分∴//BC 平面PAD ………4分（2）取AD 的中点M ，连结,PM CM .12AB BC AD ==及//BC AD ，90ABC ∠= ∴ 四边形ABCM 为正方形，∴CM AD ⊥. ………5分因为侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ， 平面PAD平面ABCD AD =，所以,PM AD PM ⊥⊥底面ABCD . ………6分 因为CM ⊂底面ABCD ，所以PM CM ⊥.… ………7分 设BC x =，则,2,3,2CM x CD x PM x PC PD x =====.取CD 的中点N ，连结PN ，则PN CD ⊥，所以142PN x =………8分 因为PCD ∆的面积为27，所以11422722x x ⨯⨯=， 解得2x =-（舍去），2x =.………10分 于是2,4,23AB BC AD PM ====.所以四棱锥P ABCD -的体积12(24)32V +=⨯⨯=………12分22、试题解析：（1）函数()•23sin cos f x a b x x λ==+()sin cos x x λ+()sin cos x x - ………1分()22sin cos sin cos x x x x λ=+-)cos2x x λ=-12cos22x x λ⎫=-⎪⎪⎝⎭2sin 26x πλ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ………2分 因为()f x 的最大值为2，所以解得1λ=. ………3分 则()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由3222262k x k πππππ+≤-≤+， ………4分 可得：3522223k x k ππππ+≤≤+，536k x k ππππ+≤≤+， 所得函数()f x 的单调减区间为()536k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，. ………6分 （2）由2222cos 22b a b c d A c bc-+-==，可得22222b ab b c a -=+-，即222b a c ab +-=. 解得1cos 2C =，即3C π=. ………8分 因为203A π<<，所以72666A πππ-<-<，1sin 2126A π⎛⎫-<-≤ ⎪⎝⎭， ………10分因为()2sin 206f A m A m π⎛⎫-=--> ⎪⎝⎭恒成立， 则2sin 26A m π⎛⎫-> ⎪⎝⎭恒成立，即1m ≤-. ………12分。
山西省太原市2018-2019学年高二下学期阶段性测评（期中）数学理试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复平面内，点表示的复数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析:一般利用复平面内复数的几何意义(复数x+yi（x,y∈R）在复平面内与点（x,y）一一对应)解答即可.详解：由复数的几何意义得点(0,-1)表示的复数为0+(-1)×i=-i.故选D.点睛：本题涉及到的知识点是复数的几何意义，复数x+yi（x,y∈R）在复平面内与点（x,y）一一对应.2. 已知函数，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：一般先求导，再求.详解：因为所以，所以=cos0-1=1-1=0,故选A.点睛：注意基本初等函数的导数，，有些同学容易记错.3. 下列结论正确的是（）A. 归纳推理是由一般到个别的推理B. 演绎推理是由特殊到一般的推理C. 类比推理是由特殊到特殊的推理D. 合情推理是演绎推理【答案】C【解析】分析：直接利用归纳推理、演绎推理、类比推理和合情推理的定义分析判断.详解：对于A选项，由于归纳推理是从个别到一般的推理，所以A不正确；对于B选项，由于演绎推理是从一般到特殊的推理，所以B不正确；对于C选项，由于类比推理是从特殊到特殊的推理，所以C正确；对于D选项，由于合情推理是归纳推理和类比推理，所以D不正确.点睛：对于归纳推理、演绎推理、类比推理和合情推理的定义要理解掌握，不要死记硬背，要理解它们之间的区别和联系.4. 已知是复平面内的平行四边形，，，三点对应的复数分别是，，，则点对应的复数为（）A. B. C. D.【答案】D详解：由题得A(-2，1),B(1，-1),C(2，2),设D(x,y)，则因为，所以，解之得x=-1,y=4.所以点D的坐标为（-1，4），所以点D对应的复数为-1+4i,故选D.点睛：本题方法比较多，但是根据求点D的坐标，是比较简单高效的一种方法，大家解题时，注意简洁高效.5. 已知推理：“因为所有的金属都能够导电，而铜能导电，所以铜是金属”.则下列结论正确的是（）A. 此推理大前提错误B. 此推理小前提错误C. 此推理的推理形式错误D. 此推理无错误【答案】C【解析】分析：一般利用三段论来分析解答. 如果三段论的大前提是范围对象A具有某性质，小前提应该是B元素属于范围对象A，结论是B具有某性质,这个推理的形式才是正确的.详解：已知推理的大前提是：因为所有的金属都能够导电，所以推理的小前提应该是说A材料是金属，结论是A能导电. 但是推理的小前提是说铜能导电，违背了三段论的推理要求，所以此推理的推理形式错误，故选C.点睛：三段论看似简单，但是遇到真正的问题，有些同学又比较含糊. 如果三段论的大前提是范围对象A具有某性质，小前提应该是B元素属于范围对象A，结论是B具有某性质,这个推理的形式才是正确的.6. 用反证法证明“三角形的三个内角中至少有一个不大于”时的假设为（）A. 三个内角中至多有一个不大于B. 三个内角中至少有两个不大于C. 三个内角都不大于D. 三个内角都大于【答案】D【解析】分析：一般利用命题的否定来解答，三角形的三个内角中至少有一个不大于的否定应该是三个内角都大于.详解：由于“三角形的三个内角中至少有一个不大于”的否定是“三个内角都大于60°”，故选D.点睛：利用反证法证明时，首先要假设原命题不成立，原命题的反面成立，所以这里涉及到命题的否定，命题的否定就是只否定命题的结论，命题的否命题是条件和结论都同时否定，这两个大家要区分开来.7. 复平面内，若与复数对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：复数对应的点在第四象限，就是说复数的实部大于零，虚部小于零，得到关于m的不等式组，解不等式组即得m的取值范围.详解：由题得，解之得0＜m＜1，故选B.点睛：本题解答主要是根据复数的几何意义来解答的，复数x+yi（x,y∈R）与复平面内的点(x,y)一一对应.8. 观察下列各式：，，，……，则的末两位数字为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题意依次求出7的乘方对应的值，归纳出末两位数出现的规律，再确定72018的末两位数．详解：根据题意得，72=49，73=343，74=2401，75=16807，76=117649，77=823543，78=5764801，79=40353607…，发现：74k﹣2的末两位数字是49，74k﹣1的末两位数字是43，74k的末两位数字是01，74k+1的末两位数字是07，（k=1、2、3、4、…），∵2018=504×4+2，∴72018的末两位数字为49，故选D.点睛：要解答本题，一定要多列举找到规律，不能只写几个就下结论,所以本题列举了8个式子，这样总结的结论才更准确.9. 函数的单调递减区间是A. B. 和 C. D.【答案】B【解析】分析：一般先求导得再解不等式得到它的解集，最后和定义域求交集，即可得到原函数的单调减区间.详解：由题得，令，所以x<1,因为x≠0，所以x＜1，且x≠0，所以函数的单调减区间为和，故选B.点睛：本题是一个易错题,容易漏掉函数的定义域,得到函数的减区间为,主要是因为没有考虑定义域{x|x≠0}.对于函数的任何问题，必须遵循定义域优先的原则，否则会出错.10. 已知函数在处的切线平行于轴，则的极大值与极小值的差为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先求导，再求出，再解方程，求出a的值，再求函数的极大值和极小值，最后求极大值和极小值的差.详解：由题得，所以故a=0,所以，所以函数f(x)在（1，+∞）和（-∞，-1）上是增函数，在（-1,1）上是减函数.∴，∴的极大值与极小值的差为2+b+2-b=4,故选C.点睛：求函数的极值的一般步骤是：求定义域求导解方程列表下结论.11. 在直角坐标平面内，由曲线，，和轴所围成的封闭图形的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先求出直线y=x和曲线xy=1的交点的横坐标，再利用定积分求出曲线，，和轴所围成的封闭图形的面积.详解：联立xy=1和y=x得x=1,(x=-1舍).由题得由曲线，，和轴所围成的封闭图形的面积为，故选A.点睛：求曲线围成的不规则的图形的面积，一般利用定积分来求解.12. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：求出函数f（x）的导数，问题转化为a≥在恒成立，令g（x）=，x∈，根据函数的单调性求出函数g(x)的最大值，即得实数a的范围．详解：：f（x）=（2a﹣1）x﹣cos2x﹣a（sinx+cosx），=2a﹣1+sin2x﹣a（cosx﹣sinx），若f（x）在递增，则≥0在恒成立，即a≥在恒成立，令g（x）=，x∈，则=，令＞0，即sinx＞cosx，解得：x＞，令＜0，即sinx＜cosx，解得：x＜，故g（x）在[0，）递减，在（，]递增，故g（x）max=g（0）或g（），而g（0）=1，g（）=，故a≥1，故选D．点睛：本题解答用到了分离参数的方法，把≥0在恒成立通过分离参数转化为a≥在恒成立,再求函数g（x）=，x∈的最大值.处理参数问题常用的有分类讨论和分离参数方法，如果分离参数不便，就利用分类讨论.大家要注意这两种方法的区别和联系.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知复数满足，则复数的共轭复数为__________．【答案】【解析】分析:先由题得到，再利用复数的除法化简得到z,最后求z的共轭复数.详解:由题得.所以z的共轭复数为2-i.故填2-i.点睛：本题主要考查复数的除法运算和共轭复数的概念，解题时，不要求出z就直接填进去了，主要还要求z的共轭复数.14. 若，则实数__________．【答案】【解析】分析：直接利用微积分基本原理化简已知，得到m的方程，求出m的值.详解：由题得，所以，∴m=2.故填2.点睛：本题主要考查微积分基本原理，关键是找到的原函数.15. “扫雷”游戏，要求游戏者找出所有的雷，游戏规则是：一个方块下面有一个雷或没有雷，如果无雷，掀开方块下面就会标有数字（如果数学是，常省略不标），此数字表明它周围的方块中雷的个数（至多八个），如图甲中的“”表示它的周围八个方块中有且仅有个雷.图乙是小明玩的游戏中的局部，根据图乙中信息，在这七个方块中，有雷的方块为__________．【答案】ADFG【解析】分析：解答时，先确定F和G有雷，再确定C,D中必有一个有雷，这时再利用假设法否定C有雷D 无雷，后面再确定A和B是否有雷.详解：第4行第7个数字2，所以F、G方块有雷. 第4行第6个数字4，说明E方块没有雷.由于第4行第4个数字3，说明C、D中必有一个有雷. 假设C有雷，D无雷. 由于第6行第7个数字2，所以第7行6、7、8、9都没有雷，第5个有雷，但是第6行第4 个数字2，这样第6行第4个数字周围就有3个雷，与题目矛盾，故C无雷，D有雷.由于第4行第3个数字1，所以B五雷，由于第4行第2个数字1，所以A有雷. 故有雷的是A、D、F、G.故填A、D、F、G.点睛：本题主要考查推理论证，在推理时主要要从简单的入手，再讨论复杂的，如果不能确定可以进行假设分析，找到矛盾和答案.16. 设函数，观察下列各式：，，，，…，，……，根据以上规律，若，则整数的最大值为__________．【答案】【解析】分析：先归纳得到f n（x）=f（f n﹣1（x））=，再求出f n（）=，最后解不等式，得到n的最大值.详解：由题意，所给的函数式的分子不变都是x，而分母是由两部分的和组成，第一部分的系数分别是1，3，7，15…2n﹣1，第二部分的数分别是2，4，8，16…2n.∴f n（x）=f（f n﹣1（x））=，∴f n（）=．∴，∴，∴整数的最大值为9.故填9.点睛：本题主要考查归纳推理，所以归纳出f n（x）=f（f n﹣1（x））=是关键.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知复数，，，是实数，为虚数单位.（1）若，求复数，；（2）若，求复数，.【答案】(1)，；(2)，.【解析】分析：（1）把代入，得到关于a、b的方程，根据复数相等的概念得到关于a、b的方程组，解方程组即可求出复数、.(2) 把代入，得到关于a、b的方程，根据复数相等的概念得到关于a、b的方程组，解方程组即可求出复数，.详解：（1）∵，∴，∴∴，；（2）∵，∴∴，∴，.点睛：本题主要考查复数的运算和复数相等的概念，属于基础题.18. 已知函数.（1）求的单调区间；（2）当时，求的值域.【答案】(1)单调增区间为和，单调减区间为；(2).【解析】分析：（1）先求导，再利用导数求函数的单调区间. (2)先写出函数在的单调区间，再根据函数的单调区间写出函数f(x)的值域.详解：（1）由题意得，，令，则或；令，则；∴的单调增区间为和，单调减区间为；（2）由（1）得在和上单调递增，在上单调递减，∵，，，，∴的值域为.点睛：本题主要考查利用导数求函数的单调区间和函数的值域，属于基础题.19. 已知点，是椭圆的左右顶点，是椭圆上异与，的点，则直线与的斜率满足.（1）类比椭圆的上述结论，写出双曲线的相应结论，并证明；（2）请利用（1）的结论解决以下问题：已知点，是双曲线的左右顶点，是该双曲线上异与，的点，若直线的斜率为，求直线的方程.【答案】(1)答案见解析；(2).【解析】分析：（1）类比椭圆的上述结论，写出双曲线的相应结论, 再证明. （2）先利用前面的结论得到再写出直线的点斜式方程化简即得直线的方程.详解：（1）已知点，是双曲线的左右顶点，双曲线上异与，的点，则直线与的斜率满足；证明：由题意得，，∴∵是双曲线上的点，∴，∴，∴直线与的斜率满足.（2）由（1）得，∵，∴，∵是双曲线的右顶点，∴，∴直线的方程为.点睛：本题主要考查类比推理的能力和圆锥曲线的基本运算，属于基础题.说明：请考生在（A）,（B）两个小题中任选一题作答.20. 已知数列满足，.（1）计算，，，根据计算结果，猜想的表达式；（2）用数学归纳法证明你猜想的结论.【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】分析：（1）计算，，，根据计算结果，猜想. （2）用数学归纳法证明猜想的结论.详解：（1）当时，；当时，；当时，，由此猜想；（2）下面用数学归纳法证明，①当时，显然成立，②假设当时猜想成立，即，由题意得，∴当时猜想也成立；由①和②，可知猜想成立，即.点睛：在利用数学归纳法证明数学问题时，一定要注意利用前面的时的假设，否则就是伪数学归纳法，是错误的.21. 已知数列的前项和为，且满足，.（1）计算，，，根据计算结果，猜想的表达式；（2）用数学归纳法证明你猜想的结论.【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】分析：（1）计算，，，根据计算结果，猜想. （2）用数学归纳法证明猜想的结论.详解：（1）当时，，∴，当时，，∴，当时，，∴，由此猜想，（2）下面用数学归纳法证明，①当时，显然成立，②假设当时猜想成立，即，由题意得，∴，∴，∴当时猜想也成立，由①和②，可知猜想成立，即.说明：请考生在（A）,（B）两个小题中任选一题作答.22. 已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，证明：在上至多有一个零点.【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】分析：（1）先求导，再对a分类讨论，求函数的单调性.(2)对a分类讨论，根据函数的图像分析每一种情况函数在上零点个数，即得在上至多有一个零点.详解：（1）由题意得①当时，令，则；令，则，∴在上单调递减，在上单调递增；②当时，令，则或，（ⅰ）当时，令，则或；令，则，∴在和上单调递增，在上单调递减；（ⅱ）当时，，∴在上单调递增；（ⅲ）当时，令，则或；令，则，∴在和上单调递增，在上单调递减；（2）由（1）得当时，在和上单调递增，在上单调递减，∴在处取得极大值，∵，∴此时在上至多有一个零点；当时，在上单调递增，∴此时在上至多有一个零点；当时，在和上单调递增，在上单调递减；∴在处取得极大值，∵，∴此时在上至多有一个零点；综上所述，当时，在上至多有一个零点.点睛：对于函数的零点问题，一般利用图像法分析解答.一般先求导，再求出函数的单调区间、最值、极值等，再画图分析函数的零点情况.23. 已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当函数有两个零点，求实数的取值范围.【答案】(1)答案见解析；(2).【解析】分析：（1）先求导，再对a分类讨论，求函数的单调区间. (2)对a分类讨论，作出函数的图像，分析出函数f(x)有两个零点所满足的条件，从而求出a的取值范围.详解:（1）由题意得①当时，令，则；令，则，∴在上单调递减，在上单调递增；②当时，令，则或，（ⅰ）当时，令，则或；令，则，∴在和上单调递增，在上单调递减；（ⅱ）当时，，∴在上单调递增；（ⅲ）当时，令，则或；令，则，∴在和上单调递增，在上单调递减；（2）由（1）得当时，在和上单调递增，在上单调递减，∴在处取得极大值，∵，∴此时不符合题意；当时，在上单调递增，∴此时不符合题意；当时，在和上单调递增，在上单调递减；∴的处取得极大值，∵，∴此时不符合题意；当时，在上单调递减，在上单调递增，∵，，∴在上有一个零点，（ⅰ）当时，令，当时，∵，∴在上有一个零点，∴此时符合题意；（ⅱ）当时，当时，，∴在上没有零点，此时不符合题意；综上所述，实数的取值范围为.点睛：对于含参的问题，注意分类讨论思想的运用. 本题的导数，由于无法直接写出函数的单调区间，所以必须要分类讨论.分类讨论时，要注意分类的起因、分类的标准、分类的过程和分类的结论.。
2018-2019学年山西省太原市高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1. 在空间直角坐标系Oxyz 中，点A （1，2，3）关于yOz 平面对称的点的坐标为（ ）A. (−1,2，3)B. (1,−2,3)C. (1,2，−3)D. (−1,−2,−3) 2. 由下列主体建筑物抽象得出的空间几何体中为旋转体的是（ ）A.B.C.D.3. 已知A （0，1），B （0，-1），则直线AB 的倾斜角为（ ）A. 0∘B. 90∘C. 180∘D. 不存在 4. 下列四面体中，直线EF 与MN 可能平行的是（ ）A.B.C.D.5. 已知点A （2，3）在直线11：2x +ay -1=0上，若l 2∥l 1，则直线l 2的斜率为（ ）A. 2B. −2C. 12D. −126. 设a ，b ，c 为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列纳论成立的是（ ）A. 若a ⊥b 且b ⊥c ，则a//cB. 若α⊥β且β⊥γ，则α//γC. 若a ⊥α且a//b ，则b ⊥αD. 若α⊥β且a//α，则a ⊥β7. 已知圆C 的一条直径的端点坐标分别是（4，1）和（-2，3），则圆C 的方程是（ ）A. (x +1)2+(y +2)2=10B. (x −1)2+(y −2)2=40C. (x −1)2+(y −2)2=10D. (x +1)2+(y +2)2=408. 一个长方体由同一顶点出发的三条棱的长度分别为2，2，3，则其外接球的表面积为（ ）A. 68πB. 17πC. 28πD. 7π9. 已知x ，y 满足不等式组{x −y +1≥02x −y −1≤0x +y +1≥0，则z =5x +2y 的最大值为（ ）A. 12B. 16C. 18D. 2010. 直线ax +y +a =0与直线x +ay +a =0在同一坐标系中的图象可能是（ ）A. B.C. D.11.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1H⊥平面AB1D1，垂足为H，给出下面结论：①直线A1H与该正方体各棱所成角相等；②直线A1H与该正方体各面所成角相等；③过直线A1H的平面截该正方体所得截面为平行四边形；④垂直于直线A1H的平面截该正方体，所得截面可能为五边形，其中正确结论的序号为（）A. ①③B. ②④C. ①②④D. ①②③12.一条光线从点P（-2，4）射出，经直线x-y+2=0反射后与圆x2+y2+4x+3=0相切，则反射光线所在直线的方程是（）A. x+√15y−2=0B. √15x+y−2=0C. x−√15y−2=0 D. √15x−y−2=0二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）13.已知点A（3，-3），B（0，2），则线段AB的中点坐标是______．14.已知直线l1：x-2y=1，l2：mx+（3-m）y+1．若l1⊥l2，则实数m=______．15.某三棱锥的三视图如图所示，图中三个三角形均为直角三角形，则x2+y2=______．16.△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=2，M为AB中点，将△BMC沿CM折叠，当平面BMC⊥平面AMC时，A，B两点之间的距离为______．三、解答题（本大题共7小题，共68.0分）17.已知△ABC的三个顶点的坐标是A（1，1），B（2，3），C（3，-2）．（1）求BC边所在直线的方程；（2）求△ABC的面积．18.已知正方体ABCD-A1B1C1D1．（1）求证：AD1∥平面C1BD；（2）求证：AD1⊥平面A1DC．19.已知圆C的方程为x2+y2-4tx-2ty+5t2-4=0（t＞0）．（1）设O为坐标原点求直线OC的方程；（2）设直线y=x+1与圆C交于A，B两点，若|AB|=2√2，求实数t的值．20.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，且AD=2AB=√3PA=2，AE⊥PD，垂足为E．（1）求PD与平面ABCD所成角的大小；（2）求三棱锥P-ABE的休积．21.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=BC，AD=DC，E为棱PC上不与点C重合的点．（1）求证：平面BED⊥平而PAC；（2）若PA=AC=2，BD=4√3，且二面角E-BD-C的平面角为45°，求三棱锥P-BED3的体积．22.已知圆C1：（x-1）2+（y+5）2=50，圆C2：（x+1）2+（y+1）2=10．（1）证明圆C1与圆C2相交；（2）若圆C3经过圆C1与圆C2的交点以及坐标原点，求圆C3的方程．23.已知圆C1：x2+y2+2x-4y+1=0，圆C2：x2+y2-4x-5=0．（1）试判断圆C1与圆C2是否相交，若相交，求两圆公共弦所在直线的方程，若不相交，说明理由；（2）若直线y=kx+1与圆C1交于A，B两点，且OA⊥OB，求实数k的值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：在空间直角坐标系Oxyz中，点A（1，2，3）关于yOz平面对称的点的坐标为（-1，2，3）．故选：A．根据关于yOz平面对称，x值变为相反数，其它不变这一结论直接写结论即可．本题考查空间向量的坐标的概念，考查空间点的对称点的坐标的求法，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：在A中，主体建筑物抽象得出的空间几何体不为旋转体，故A错误；在B中，主体建筑物抽象得出的空间几何体为旋转体，故B正确；在C中，主体建筑物抽象得出的空间几何体不为旋转体，故C错误；在D中，主体建筑物抽象得出的空间几何体不为旋转体，故D错误．故选：B．利用旋转体的定义、性质直接求解．本题考查旋转体的判断，考查旋转体的定义及性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】B【解析】解：∵直线经过A（0，1），B（0，-1）两点，∴直线AB的斜率不存在，∴直线AB的倾斜角90°．故选：B．由直线经过A（0，1），B（0，-1）两点，直线AB的斜率不存在，从而能求出直线AB的倾斜角．本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．4.【答案】C【解析】解：根据过平面内一点和平面外一点的直线，与平面内不过该点的直线异面，可判定A，B中EF，MN异面；D中，若EF∥MN，则过EF的平面与底面相交，EF就跟交线平行，则过点N有两条直线与EF 平行，不可能；故选：C．利用异面直线判定定理可确定A，B错误；利用线面平行的性质定理和过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行，可判定D错误．此题考查了异面直线的判定方法，线面平行的性质等，难度不大．5.【答案】A【解析】解：∵点A（2，3）在直线11：2x+ay-1=0上，∴2×2+3a-1=0，解得a=-1，∴直线l1：2x-y-1=0，∵l2∥l1，∴直线l2的斜率k=2．故选：A．由点A（2，3）在直线11：2x+ay-1=0上，求出直线l1：2x-y-1=0，再由l2∥l1，能示出直线l2的斜率．本题考查直线的斜率的求法，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】C【解析】解：由a，b，c为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，知：在A中，若a⊥b且b⊥c，则a与c相交、平行或异面，故A错误；在B中，若α⊥β且β⊥γ，则α与γ相交或平行，故B错误；在C中，若a⊥α且a∥b，则由线面垂直的判定定理得b⊥α，故C正确；在D中，若α⊥β且a∥α，则a与β相交、平行或a⊂β，故D错误．故选：C．在A中，a与c相交、平行或异面；在B中，α与γ相交或平行；在C中，由线面垂直的判定定理得b⊥α；在D中，a与β相交、平行或a⊂β．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．7.【答案】C【解析】解：圆C的一条直径的端点坐标分别是（4，1）和（-2，3），故利用中点公式求得圆心为（1，2），半径为=，故圆的方程为（x-1）2+（y-2）2=10，故选：C．利用中点公式求得圆心坐标，再求出半径，可得圆C的方程．本题主要考查求圆的方程的方法，关键是求出圆心和半径，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：长方体的外接球直径即为长方体的体对角线，由题意，体对角线长为：=，外接球的半径R=，=17π，故选：B．利用长方体的外接圆直径为体对角线，容易得解．此题考查了长方体的外接球面积，属容易题．9.【答案】B【解析】解：作出x，y满足不等式组对应的平面区域，由z=5x+2y，得y=x+z，平移直线y=x+z，由图象可知当直线y=x+z，经过点B时，直线y=x+z的截距最大，此时z最大．由，得A（2，3），此时z的最大值为z=5×2+2×3=16，故选：B．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．10.【答案】D【解析】解：直线ax+y+a=0与直线x+ay+a=0不可能平行，故B错误；当a＞0时，直线ax+y+a=0是减函数，直线x+ay+a=0是减函数，故A和C都错误；当a＜0时，直线ax+y+a=0是增函数，与y轴交于正半轴，直线x+ay+a=0是增函数，与y轴交于负半轴，故A，B，C和D都错误．综上，正确答案是a＞0，直线ax+y+a=0与直线x+ay+a=0在同一坐标系中的图象可能是D．故选：D．根据a的符号，分类讨论，利用数形结合思想和排除法能求出结果．本题考查函数图象的判断，考查直线的图象与性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.【答案】D【解析】解：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1H⊥平面AB1D1，垂足为H，连接A1C，可得A1C⊥AB1，A1C⊥AD1，即有A1C⊥平面AB1D1，直线A1H与直线A1C重合，直线A1H与该正方体各棱所成角相等，均为arctan，故①正确；直线A1H与该正方体各面所成角相等，均为arctan，故②正确；过直线A1H的平面截该正方体所得截面为A1ACC1为平行四边形，故③正确；垂直于直线A1H的平面与平面AB1D1平行，截该正方体，所得截面为三角形或六边形，不可能为五边形．故④错误．故选：D．由A1C⊥平面AB1D1，直线A1H与直线A1C重合，结合线线角和线面角的定义，可判断①②；由四边形A1ACC1为矩形，可判断③；由垂直于直线A1H的平面与平面AB1D1平行，可判断④．本题考查线线角和线面角的求法，以及正方体的截面的形状，考查数形结合思想和空间想象能力，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：点P（-2，4）关于直线x-y+2=0的对称点为Q（2，0），设反射光线所在直线方程为：y=k（x-2），即kx-y-2k=0，依题意得：=1，解得：k=±，依题意舍去k=故反射线所在直线方程为：x+y-2=0，故选：A．根据光学性质，点P（-2，4）关于直线x-y+2=0对称的点在反射线所在直线上，设出所求直线方程，然后用点到直线的距离等于半径，求出斜率，舍去正值即可．本题考查了直线与圆的位置关系．属中档题．13.【答案】（32，−12）【解析】解：设A、B的中点为P（x0，y0），由A（3，-3）、B（0，2），再由中点坐标公式得：，．∴线段AB的中点坐标为（）．故答案为：（）．直接利用中点坐标公式求解．本题考查了中点坐标公式，是基础题．14.【答案】2【解析】解：∵直线l1：x-2y=1，l2：mx+（3-m）y+1．l1⊥l2，∴1×m+-2×（3-m）=0，解得m=2．故答案为：2．利用直线与直线垂直的性质直接求解．本题考查实数值的求法，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.【答案】34【解析】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，侧棱PA⊥底面ABC，底面三角形ABC是以∠ABC为直角的直角三角形．则x2+y2=x2+PA2+AD2=（PA2+AB2）+AD2=52+32=34．故答案为：34．由三视图还原原几何体，该几何体为三棱锥，侧棱PA⊥底面ABC，底面三角形ABC是以∠ABC为直角的直角三角形，然后利用勾股定理转化求解．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．16.【答案】√102【解析】解：取MC中点O，连结AO，BO，∵△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=2，M为AB中点，∴AC=BM=AM=CM=1，∴AO==，BO===，AO⊥MC，将△BMC沿CM折叠，当平面BMC⊥平面AMC时，AO⊥平面BMC，∴AO⊥BO，∴A，B两点之间的距离|AB|===．故答案为：．取MC中点O，连结AO，BO，推导出AC=BM=AM=CM=1，AO==，BO==，AO⊥MC，AO⊥平面BMC，AO⊥BO，由此能求出A，B两点之间的距离．本题考查两点间距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：（1）∵B（2，3），C（3，-2），∴边BC所在的直线方程为y−(−2)3−(−2)=x−32−3，即5x+y-13=0；（2）设B到AC的距离为d，则S△ABC=12|AC|⋅d，|AC|=√(3−1)2+(−2−1)2=√13，AC方程为：y−(−2)1−(−2)=x−31−3即：3x+2y-5=0∴d=|3×2+2×3−5|√32+22=7√13．∴S△ABC=12×√13×7√13=72．【解析】（1）直接由两点式直线方程公式求解即可；（2）求出B到AC的距离为d，再求AC的距离，然后利用面积公式求解即可．本题考查两点式直线方程公式，考查点到直线的距离公式的应用，考查计算能力，是中档题．18.【答案】证明：（1）∵正方体ABCD-A1B1C1D1．∴C1D1∥A1B1，C1D1=A1B1，又AB∥A1B1，AB=A1B1，∴C1D1∥AB，C1D1=AB，∴四边形C1D1AB是平行四边形，∴AD1∥C1B，∵C1B⊂平面C1BD，AD1⊄平面C1BD，∴AD1∥平面C1BD．（2）∵正方体ABCD-A1B1C1D1．∴A1D⊥AD1，CD⊥平面A1ADD1，∵AD1⊂平面A1ADD1，∴CD⊥AD1，又A1D∩CD=D，∴AD1⊥平面A1DC．【解析】（1）推导出四边形C1D1AB是平行四边形，从而AD1∥C1B，由此能证明AD1∥平面C1BD．（2）推导出A1D⊥AD1，CD⊥平面A1ADD1，CD⊥AD1，由此能证明AD1⊥平面A1DC．本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：（1）圆C的方程为x2+y2-4tx-2ty+5t2-4=0（t＞0），即（x-2t）2+（y-t）2=4，故圆心C（2t，t），故直线OC的方程为y=12x．（2）圆心C（2t，t）到直线y=x+1的距离为d=√2=√2，根据弦心距、弦长、半径之间的关系，可得(√2)2+(√2)2=4，∴t=1，或t=-3 （舍去），∴t=1．【解析】（1）把圆C的方程化为标准形式，可得C的坐标，从而求得直线OC的方程．（2）求出弦心距，再根据弦心距、弦长、半径之间的关系，求得t的值．本题主要考查圆的一般方程和标准方程，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于中档题．20.【答案】解：（1）∵PA⊥平面ABCD，∴∠PDA为PD与平面ABCD所成角，且PA⊥AD，∵AD=2AB=√3PA=2，∴tan∠PDA=PAAD =√3 3，∴PD与平面ABCD所成角的大小为π6．（2）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，∵底面ABCD为矩形，∴AD⊥AB，∵PA∩AD=A，∴AB⊥平面PAD，∵AE⊥PD，∴S△PAE=12×PE×AE=√36，∴三棱锥P-ABE的体积为：V P-ABE=13×S△PAE×AB=√318．【解析】（1）由PA⊥平面ABCD，得∠PDA为PD与平面ABCD所成角，由此能求出PD 与平面ABCD所成角的大小．（2）推导出PA ⊥AB ，AD ⊥AB ，从而AB ⊥平面PAD ，由此能求出三棱锥P-ABE 的体积．本题考查线面角的求法，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 21.【答案】证明：（1）∵AB =BC ，AD =DC ，∴AC ⊥BD ，∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥BD ， ∵PA ∩AC =A ，∴BD ⊥平面PAC ，∵BD ⊂平面BED ，∴平面BED ⊥平面PAC ． 解：（2）设AC 与BD 交于点F ，连结EF ， 由（1）知EF ⊥BD ，FC ⊥BD ， ∴∠EFC =45°，由（1）知F 为AC 中点， ∴PA =AC =2，∵PA ⊥AC ，∴∠PCF =45°，∴EF =√22，PE =3√22，且EF ⊥PC ，又PC ⊥BD ，∴PC ⊥平面BED ， ∴三棱锥P -BED 的体积： V P -BDE =13×S △BDE ×PE=13×12×BD ×EF ×PE =16×4√33×√22×3√22=√33．【解析】（1）推导出AC ⊥BD ，PA ⊥BD ，从而BD ⊥平面PAC ，由此能证明平面BED ⊥平面PAC ．（2）设AC 与BD 交于点F ，连结EF ，三棱锥P-BED 的体积V P-BDE =，由此能求出结果．本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．22.【答案】解：（1）证明：由已知得C 1：（1，-5），r 1=5√2，C 2（-1，-1），r 2=√10，所以r 1+r 2=5√2+√10，|r 1-r 2|=5√2-√10，|C 1C 2|=2√5， 因为|r 1-r 2|＜|C 1C 2|＜r 1+r 2，所以两圆相交；（2）解：设圆C 3：（x -1）2+（y +5）2-50+λ[（x +1）2+（y +1）2-10]=0 因为过原点，所以12+52-50+λ（12+12-10）=0，解得λ=-3，代入C 3：（x -1）2+（y +3）2-50+（-3）[（x +1）2+（y +1）2-10]=0， 化简得x 2+y 2+4x -2y =0，所以圆C 3：x 2+y 2+4x -2y =0． 【解析】（1）用圆心距与两圆半径的关系证明；（2）设出经过两圆交点的圆系方程，然后代入原点． 本题考查了圆与圆的位置关系及其判定．属中档题．23.【答案】解（1）由已知得C 1（-1，2），r 1=2，C 2（2，0），r 2=3，所以r 1+r 2=5，|r 1-r 2|=1，|C 1C 2|=√13，因为|r 1-r 2|＜|C 1C 2|＜r 1+r 2，所以圆C 1与圆C 2相交，将两个圆方程相减，得（x +1）2+（y -2）2-（x -2）2-y 2=-5， 化简得两圆公共弦所在直线方程为：3x -2y +3=0 （2）由{y =kx +1(x+1)2+(y−2)2=4，得（x +1）2+（kx -1）2=4，化简得（1+k 2）x 2+（2-2k ）x -2=0且△=（2-2k ）2+8（1+k 2）＞0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则有x 1+x 2=-2−2k1+k 2，x 1x 2=−21+k 2， 因为OA ⊥OB ，所以x 1x 2+y 1y 2=0，即x 1x 2+（kx 1+1）（kx 2+1）=0， 化简得：（1+k 2）x 1x 2+k （x 1+x 2）+1= 所以-2-k(2−2k)1+k 2+1=0，化简得k 2-2k -1=0，解得k =1+√2或k =1-√2． 【解析】（1）用圆心距与两圆半径的关系判断两圆位置关系；用两圆方程相减消去二次项得相交弦所在直线方程；（2）联立直线与圆的方程，根据韦达定理以及两线垂直的向量关系列式可解得k ．本题考查了圆与圆的位置关系及其判定．属中档题．。
山西省太原市2018-2019学年高二上学期期中考试数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。
）1.在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据关于yOz平面对称，x值变为相反数，其它不变这一结论直接写结论即可．【详解】在空间直角坐标系Oxyz中，点A（1，2，3）关于yOz平面对称的点的坐标为（﹣1，2，3）．故选：A．【点睛】本题考查空间向量的坐标的概念，考查空间点的对称点的坐标的求法，属于基础题．2.由下列主体建筑物抽象得出的空间几何体中为旋转体的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用旋转体的定义、性质直接求解．【详解】在A中，主体建筑物抽象得出的空间几何体不为旋转体，故A错误；在B中，主体建筑物抽象得出的空间几何体为旋转体，故B正确；在C中，主体建筑物抽象得出的空间几何体不为旋转体，故C错误；在D中，主体建筑物抽象得出的空间几何体不为旋转体，故D错误．故选：B．【点睛】本题考查旋转体的判断，考查旋转体的定义及性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.已知，则直线AB的倾斜角为（）A. 0°B. 90°C. 180°D. 不存在【答案】B【解析】【分析】由直线经过A（0，1），B（0，﹣1）两点，直线AB的斜率不存在，从而能求出直线AB的倾斜角．【详解】∵直线经过A（0，1），B（0，﹣1）两点，∴直线AB的斜率不存在，∴直线AB的倾斜角90°．故选：B．【点睛】本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．4.下列四面体中，直线EF与MN可能平行的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用异面直线判定定理可确定A，B错误；利用线面平行的性质定理和过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行，可判定D错误．【详解】根据过平面内一点和平面外一点的直线，与平面内不过该点的直线异面，可判定A，B中EF，MN异面；D中，若EF∥MN，则过EF的平面与底面相交，EF就跟交线平行，则过点N有两条直线与EF平行，不可能；故选：C．【点睛】此题考查了异面直线的判定方法，线面平行的性质等，难度不大．5.已知点在直线上，若，则直线的斜率为（）A. 2B. ﹣2C.D.【答案】A【解析】【分析】由点A（2，3）在直线11：2x+ay﹣1＝0上，求出直线l1：2x﹣y﹣1＝0，再由l2∥l1，能示出直线l2的斜率．【详解】∵点A（2，3）在直线11：2x+ay﹣1＝0上，∴2×2+3a﹣1＝0，解得a＝﹣1，∴直线l1：2x﹣y﹣1＝0，∵l2∥l1，∴直线l2的斜率k＝2．故选：A．【点睛】本题考查直线的斜率的求法，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.设为三条不同的直线，为三个不同的平面，则下列结论成立的是（）A. 若且，则B. 若且，则C. 若且，则D. 若且，则【答案】C【解析】【分析】在A中，a与c相交、平行或异面；在B中，α与γ相交或平行；在C中，由线面垂直的判定定理得b⊥α；在D 中，a与β相交、平行或a⊂β．【详解】由a，b，c为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，知：在A中，若a⊥b且b⊥c，则a与c相交、平行或异面，故A错误；在B中，若α⊥β且β⊥γ，则α与γ相交或平行，故B错误；在C中，若a⊥α且a∥b，则由线面垂直的判定定理得b⊥α，故C正确；在D中，若α⊥β且a∥α，则a与β相交、平行或a⊂β，故D错误．故选：C．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．7.已知圆C的一条直径的端点坐标分别是和，则圆C的方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用中点公式求得圆心坐标，再求出半径，可得圆C的方程．【详解】圆C的一条直径的端点坐标分别是（4，1）和（﹣2，3），故利用中点公式求得圆心为（1，2），半径为，故圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝10，故选：C．【点睛】本题主要考查求圆的方程的方法，关键是求出圆心和半径，属于基础题．8.一个长方体由同一顶点出发的三条棱的长度分别为2，2，3，则其外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用长方体的外接圆直径为体对角线，容易得解．【详解】长方体的外接球直径即为长方体的体对角线，由题意，体对角线长为：，外接球的半径R＝，＝17π，故选：B．【点睛】此题考查了长方体的外接球面积，属容易题．一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.9.已知满足不等式组，则的最大值为（）A. 12B. 16C. 18D. 20【答案】B【解析】【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【详解】作出x，y满足不等式组对应的平面区域，由z＝5x+2y，得y＝x+z，平移直线y＝x+z，由图象可知当直线y＝x+z，经过点B时，直线y＝x+z的截距最大，此时z最大．由，得A（2，3），此时z的最大值为z＝5×2+2×3＝16，故选：B．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。
2018-2019学年山西省太原市高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】画数轴结合子集的概念即可得到答案.【详解】∵集合，，∴．故选：A．【点睛】本题考查集合间的基本关系.2.函数的定义域为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的性质以及分母不为0，求出函数的定义域即可．【详解】要使函数有意义，只需x＞0，故选：B．【点睛】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质.3.若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出集合A和B，取两集合的交集即可．【详解】由集合A得：（x-5）（x+1）=0，解得：x=5或x=-1，∴集合A={-1，5}，由集合B解得：x=1或x=-1，∴集合B={-1，1}，则A∩B={-1}．故选：C．【点睛】本题考查集合的交集运算.4.已知函数，且，则（）A. 4B. 2C.D.【答案】A【解析】【分析】利用函数解析式得log2a=2，即可得a的值．【详解】根据题意，f（a）=2，则log2a=2，解可得：a=4，故选：A．【点睛】本题考查函数值的计算，关键是掌握函数解析式的定义.5.已知集合，若B∪A=A，则满足该条件的集合的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】由题意得B⊆A，即可求出满足该条件的集合B的个数．【详解】∵B∪A=A，∴B⊆A，集合A={0，1}，∴满足该条件的集合B的个数为：22=4．故选：D．【点睛】本题考查满足该条件的集合的个数的求法，考查并集、子集定义等基础知识.6.下列函数中，既是偶函数又在上是增函数的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性以及奇偶性，即可得答案．【详解】根据题意，依次分析选项：对于A，,函数为偶函数,由指函数的性质可知在上为减函数，不符合题意；对于B，f(-x)=-f(x)，函数为奇函数，不符合题意；对于C，f(-x)=f(x),函数为偶函数，由对数函数的性质可知在（0，+∞）上是增函数，符合题意；对于D，定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查函数的单调性、奇偶性和指对函数图像的性质.7.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【详解】由指数函数的性质可知∈（0，1），＞1，由对数函数的性质可知＜0，则c＜a＜b．故选：C【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的图像的性质.8.已知全集，集合和关系的韦恩图如图所示，则阴影部分所示集合中的元素共有（）A. 3个B. 4个C. 5个D. 无穷多个【答案】B【解析】试题分析:因，故或，图中阴影部分表示的集合为，故该集合中有个元素.应选B.考点：补集交集的概念及运算.9.已知集合中有且只有一个元素，那么实数的取值集合是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意分方程为一次方程和二次方程两种情况分别求解.【详解】由集合中有且只有一个元素，得a=0或,∴实数a的取值集合是{0, }故选：B．【点睛】本题考查实数的取值集合的求法，考查单元素集的性质等基础知识.10.已知函数，则函数的图象（）A. 关于轴对称B. 关于轴对称C. 关于直线对称D. 关于原点对称【答案】D【解析】【分析】先根据f（-x）=-f（x），可得f（x）为奇函数，故f（x）的图象关于原点对称．【详解】∵，∴=-=-f（x），∴f（x）为奇函数，故f（x）的图象关于原点对称，故选：D．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性,奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于y轴对称.11.已知函数，若对任意的实数都存在，使得成立，则（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】分别讨论x＞1和x≤1时，由函数的单调性可得f（x）的最大值为f（1）=2，由题意可得所求值．【详解】函数,可得x＞1时，f（x）递减，可得f（x）∈（0，2）；x≤1时，f（x）=递增，可得f（x）≤2，且x=1时，f（x）取得最大值2，由对任意的实数x都存在，使得成立，可得=1，故选：A．【点睛】本题考查分段函数的单调性和最值求法，考查运算能力和推理能力.12.已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用f（x）的图象可推出a＜0，b＞0，c＜0，然后即可判断g（x）的图象.【详解】由f（x）的图象可知，f（0）＞0，∴b＞0，又由图知，得c＜0，且x＞c时，f（x）=＜0，所以 a＜0，故二次函数g（x）=ax2+bx-c的图象为B．故选：B．【点睛】本题考查了函数的图象的识别，经常从函数的奇偶性，单调性和特殊点的函数值来考虑．二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分，把答案填在题中横线上13.已知全集，集合，则_____．【答案】【解析】【分析】由补集的运算即可求出C U A．【详解】因为全集U={1，2，3，4，5}，集合 A={2，4}，所以C U A={3，5}，故答案为：{3，5}．【点睛】本题考查补集及其运算.14.函数在上的最大值为_____．【答案】【解析】【分析】由指数函数的性质可得到函数的单调性，从而可得到函数的最大值.【详解】由指数函数的性质可知y=2x在R上为增函数，则函数y=2x-1在[1，3]上为增函数，则其在[1，3]上的最大值为f（3）=23-1=7，故答案为：7．【点睛】本题考查指数函数的单调性以及应用，涉及函数的最值，属于基础题．15.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，那么_____．【答案】【解析】【分析】根据奇函数f（0）=0，求出m的值，利用f(-1)=-f(1)即可得到答案.【详解】∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0，∴m=-1，,∴f（-1）=-f（1）=-（-1+ ）=故答案为：【点睛】本题考查函数的奇偶性，根据奇偶性的定义求出m值，是解决该类问题的关键．16.已知，函数，若函数的图象与轴恰有两交点，则实数的取值范围是_____．【答案】【解析】【分析】利用分段函数转化求解不等式的解集即可；利用函数的图象，通过函数的零点得到不等式求解即可．【详解】函数的草图如图：函数f（x）恰有2个零点，则1＜λ≤3或λ＞4．故答案为：（1，3]∪（4，+∞）．【点睛】本题考查函数与方程的应用，考查数形结合以及函数的零点个数的判断，考查发现问题解决问题的能力．三、解答題：本大题共3小题共52分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤17.已知集合，，若，求实数，的值.【答案】或.【解析】【分析】利用集合相等的定义列出方程组，再结合集合中元素的互异性质能求出实数a，b的值．【详解】解：由已知，得（1）或.（2）解（1）得或，解（2）得或，又由集合中元素的互异性得或.【点睛】本题考查集合相等的的定义，同时要注意集合中元素的互异性.18.（1）已知，求的值；（2）已知，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由对数式可得x6=8，即可解得x．（2）先利用对数的四则运算得1+log3x=，然后利用对数相等解得x．【详解】解：（1）因为，所以，所以.（2）因为，所以，所以，解得.【点睛】本题考查了指数与对数的互化，指数与对数的四则运算性质.19.已知幂函数的图象经过点．（1）求函数的解析式；（2）设函数，求函数在区间上的值域．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设出幂函数解析式，代入点的坐标，即可求出函数的解析式（2）求出g（x）的解析式，根据函数的单调性求出函数的值域即可．【详解】解：（1）设，则，则，所以.（2）因为，且函数在区间上为增函数，所以时，有最大值-1，时，有最小值-3.所以函数在上的值域为.【点睛】本题考查了幂函数的定义，考查函数的值域以及函数的单调性问题.20.（A）已知函数在区间上有最小值．（1）求实数的取值范围；（2）当时，设函数，证明函数在区间上为增函数.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）由题意知二次函数的对称轴在区间内，可得a的取值范围；（2）求得g（x）的解析式，运用函数单调性的定义进行证明．【详解】（A）（1）函数的图象开口向上，对称轴为，则函数在上为减函数，在上为增函数，所以，即实数的取值范围是.（2）函数，设，为上任意两个实数，且，则，由，得，，即，，所以函数在区间上为增函数.【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，考查函数单调性的证明，用定义法证明单调性的具体步骤：作差、变形和定符号、下结论等..21.（B）已知函数，的图象如图所示点，在函数的图象上，点在函数图象上，且线段平行于轴．（1）证明：；（2）若为以角为直角的等腰直角三角形，求点的坐标．说明：请同学们在（A）、（B）两个小题中任选一题作答【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由AC∥y轴，可得x1=x3．代入函数关系进而证明结论．（2）由△ABC为以角C为直角的等腰直角三角形，可得|AC|=|BC|，y2=y3．可得x3-x2=，．化简即可得出．【详解】（B）证明（1）因为线段平行于轴，所以，又，，则.（2）由等腰直角三角形，和，且平行于轴，所以，且，又，，则，解得，所以，所以点的坐标为.【点睛】本题考查了对数运算性质、等腰直角三角形的性质、平行线的性质.22.已知函数，．（1）若函数为奇函数，求实数的值．（2）若对任意的都有成立，求实数的取值范围．【答案】（I）(II)【解析】试题分析：（1）已知函数为奇函数，由，求得的值；（2）恒成立问题通常是求最值，将原不等式整理为对恒成立，进而求在上的最小值，得到结果.试题解析：（1）因为是奇函数，所以，即所以对一切恒成立，所以.（2）因为，均有即成立，所以对恒成立，所以,因为在上单调递增，所以，所以. 10分考点：1.奇函数的特点；2.函数恒成立.3.求最值.23.已知函数是定义在上的奇函数，且时，.（1）求函数的解析式并在如图所示的坐标系中作出函数的图象；（2）若对任意的有恒成立，求实数的最小值．【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且x≥0时，f（x）=|x-2|-2．利用奇函数的定义可得解析式；（2）根据f（x）的图象即可求实数a的最小值．【详解】（B）（1）当时，，，又函数是定义在上的奇函数，则有，则有，所以.图象如图所示（2）函数的图象是由函数的图象向右平移个长度单位得到，由（1）中的图象可知，只要把函数的图象至少向右平移8个长度单位就满足，所以实数的最小值为8.【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性的性质和函数图象应用.。
太原市2018-2019学年第一学期高三年级期末考试数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意，根据交集的运算运算，即可求解，得到答案.【详解】由题意，根据交集的运算规律知，故选A.【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中熟记集合的交集运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.2.复数（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据复数的四则运算，即可化简，求得答案.【详解】由复数四则运算规律知，故选D.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，其中解答中熟记复数的除法运算的法则，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.3.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意，根据正切函数倍角公式化简，即可求得答案.【详解】由题意，根据正切函数倍角公式知，故选B.【点睛】本题主要考查了正切的倍角公式的化简求值，其中解答中熟记正切倍角公式是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.4.函数的大致图像为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意，当时，求得，单调递增，排除A，B；当时，令，求得在单调递增，在单调递减，即可得到答案.【详解】由题意，当时，，，单调递增，排除A，B当时，，，令，在单调递增，在单调递减，选D【点睛】本题主要考查了函数图象的识别问题，其中解答中合理利用导数得到函数的单调性是解答的本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.5.设，为两个的平面，，为两条不同的直线，则下列命题的假命题（）A. 若，，则B. ，，，则C. 若，，则D. ，，，则【答案】B【解析】【分析】由题意，根据线面垂直的性质，可知A是正确的；根据线面位置关系的判定，可得与可能是异面直线，所以不正确；根据面面平行的性质，可知C是正确的；根据线面垂直和面面垂直的判定，可知D是正确.【详解】由题意，对于A中，若，，根据线面垂直的性质，可知是正确的；对于B中，若，，，则与可能是平行直线，所以不正确；对于C中，若，，根据面面平行的性质，可知是正确的；对于D中，若，，，线面垂直和面面垂直的判定，可知是正确，故选B.【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟记线面、面面垂直的判定与性质，合理准确判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.6.已知点是所在平面内一点，且满足，若，则（ ）A.B. C.D.【答案】C 【解析】 【分析】由题意，根据向量的线性运算可得，进而得到，即可求得，得到答案.【详解】由题意，如图所示，因为，所以， 又因为，所以，所以，故选C.【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理的应用，其中解答中熟记平面向量的基本定理，利用向量的三角形法则化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 7.将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则函数的一个单调递增区间是（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】由题题意，化简三角函数的解析式为，根据三函数的图象变换，求得的解析式，利用三角函数的图象与性质，即可求解，得到答案. 【详解】由题意可得，把的图象向左平移个单位，可得，由，解得，即函数的单调递增区间为，令时，函数的单调递增区间为，故选A【点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及三角函数的性质的应用，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，得出函数的解析式，结合图象求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及数形结合思想的应用，属于基础题.8.赵爽是我国古代数学家、天文学家大约在公元222年赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的)类比“赵爽弦图”，赵爽弦图可类似地构造如图所示的图形，它是由个3全等的等边三角形与中间的一个小等边三角形组成的一个大等边三角形，设DF 2AF，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可得，设,求得，由面积比的几何概型，可知在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率，即可求解.【详解】由题意可得，设,可得,在中，由余弦定理得，所以，，由面积比的几何概型，可知在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是，故选B.【点睛】本题主要考查了面积比的几何概型，以及余弦定理的应用，其中解答中认真审题、把在大等边三角形中随机取一点，取自小等边三角形的概率转化为面积比的几何概型是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9.已知实数，满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意，画出约束条件所表示的平面区域，化简目标函数，转化为平面区域内点和定点产生的斜率，结合图象确定最优解，即可得到答案.【详解】由题意，画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，又由，因为看成图形上的点和定点产生的斜率，结合图象知，当取点A点时，此时取得最小值，当取点B时，此时取得最大值，又由，解得，此时；由，解得，此时，所以目标函数的最小值为，最大值为，所以目标函数的取值范围是，故选B.【点睛】本题主要考查了利用简单的线性规划求最值问题，其中对于线性规划问题可分为三类:（1）简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；（2）线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；（3）线性规划的实际应用，着重考查了考生的推理与运算能力，以及数形结合思想的应用.10.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（）正视图 侧视图俯视图A. B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的几何体的三视图，还原三视图可得几何体为正四面体，其中棱长为正方体面的对角线，正方体减去四个三棱锥，即可求解，得到答案.【详解】由题意，根据给定的几何体的三视图，还原三视图可得几何体为正四面体（如图所示），其中棱长为正方体面的对角线，正方体减去四个三棱锥， 则该正四面体的体积为，故选C.【点睛】本题考查了几何体的三视图及三棱锥的体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解. 11.已知函数是定义在上的单调函数，则对任意都有成立，则（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】 由题意，设，则，得，可得，即可求解. 【详解】由题意，因为在为单调函数，且，设，则，即，所以，可得或（负值舍），所以，故选A.【点睛】本题主要考查了抽象函数的函数值的计算，以及复合函数的单调性的应用问题，其中解答中合理利用换元法和函数的关系式，求得的值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.12.已知数列是等差数列，，且，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用函数的性质，求得，再由等差数列的性质，得到，代入即可求解，得到答案.【详解】由题意，根据等差数列的性质可知，因为，则，又由，则，所以，同理，，所以，故选A.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，以及函数的性质的应用，其中解答中熟练应用得出数列的性质，得到，再函数的函数的性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知某地区中小学生人数如图所示，用分层抽样的方法抽取200名学生进行调查，则抽取的高中生人数为________【答案】40【解析】【分析】利用分层抽样的性质直接求解．【详解】某地区中小学生人数如图所示，用分层抽样的方法抽取200名学生进行调查，则抽取的高中生人数为：20040．故答案为：40【点睛】本题考查抽取的高中生人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.命题“，”是假命题，则实数的取值范围是_________．【答案】【解析】【分析】由题意，命题，是假命题，可得出二次函数与轴有交点，借助二次函数的性质，即可求解.【详解】由题意，命题，是假命题，可得出二次函数与轴有交点，又由二次函数的性质，可得即，解得或.【点睛】本题主要考查了根据命题的真假求解参数问题，其中解答中根据命题为假命题，转化为二次函数的图象与轴没有公共点，再借助二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与计算能力，属于基础题.15.在三棱锥中，顶点在底面的投影是的外心，，则面与底面所成的二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为__________．【答案】【解析】【分析】由题意，取的中点为，证得是等边三角形，求得，又面与底面所成的二面角的大小为，所以角，进而求得球的半径，即可求解.【详解】由题意，取的中点为，由平面可得，又是的外心，可得，所以平面，所以，所以，又可得是等边三角形，所以，又面与底面所成的二面角的大小为，所以角，过的中心（为三等分点）做一条垂线与交于点，则为外接球球心，所以，所以外接球表面积为.【点睛】本题主要考查了有关球的组合体问题，以及球的表面积的计算问题，其中解中正确认识几何体的结构特征，熟练应用线面位置关系的判定和性质，确定球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与论证能力，属于中档试题.16.已知定义在上的可导函数，对于任意实数都有，且当时，都有，若，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】【分析】令，则，得在上单调递减，且关于对称，在上也单调递减，又由，可得，则，即，即可求解.【详解】由题意，知，可得关于对称，令，则，因为，可得在上单调递减，且关于对称，则在上也单调递减，又因为，可得，则，即，解得，即实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查了函数性质的综合应用，以及不等关系式的求解，其中解答中令函数，利用导数求得函数的单调性和对称性质求解不等式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知等比数列的公比，，是，的等差中项，数列的前项和为.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的通项公式.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由题意，根据等比数列的性质和通项公式，求得等比数列的的值，即可求得数列的通项公式；（2）由数列的前项和为，利用数列与的关系，即可求解.【详解】（1）由题可知，，又，即，或（舍去）.（2）数列的前项和为，当时，当时，.，经检验，满足上式，.【点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,根据通项公式和求和公式，列出方程组,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确；二是利用等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.18.已知，，分别是的内角，，所对的边，.（1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）在中，由正弦定理，得，化简得，即可求解.（2）由（1）及余弦定理和基本不等式，求得，再利用面积公式，即可求解.【详解】（1）在中，由正弦定理，可得，又，，即，整理得：，又，.（2）由（1）及余弦定理得：，即，又，当且仅当时等号成立，，解得：，，（当且仅当时等号成立），故面积的最大值为.【点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．19.已知函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）由题意，求得，令，分类讨论，即可求得函数的单调区间；（2）由（1）根据函数的单调性，求得函数的最值，令，得到，即可求解.【详解】（1）定义域，，令，，当时，，，则在单调递增，当时，，，，，则在单调递增；，，，则在单调递减.综上述：当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减（2）由（1）可知，当时，在单调递增，又，不可能满足题意，舍去.当时，在单调递增，在单调递减.若恒成立，则，令，则，解得，即，故，综上述：.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.20.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线与有且只有一个公共点.（1）求实数的值；（2）已知点的直角坐标为，若曲线与：（为参数）相交于，两个不同点，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求得曲线的平面直角坐标方程和曲线的平面直角坐标方程，再根据直线与圆的位置关系，即可求解. （2）把直线的参数方程代入曲线的方程，根据参数的几何意义，即可求解.【详解】（1）由曲线的参数方程，消去参数，得曲线的平面直角坐标方程为，根据极坐标与直角坐标的互化公式，得曲线的平面直角坐标方程为，曲线与有且只有一个公共点，即与相切，有，或(舍)，综上.（2），：，曲线的参数方程为（为参数），知曲线是过定点的直线，把直线的参数方程代入曲线得，所以.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线的参数的几何意义的应用，其中解答中熟记参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，直线参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.21.已知函数，（1）当时，解不等式；（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）当时，得，分类讨论，即可求解.（2）由题意对任意的恒成立，转化为对任意的恒成立，借助函数的图象，即可求解.【详解】（1）当时，，所以，即求不同区间对应解集，所以的解集为.（2）由题意，对任意的恒成立，即对任意的恒成立，令，所以函数的图象应该恒在的下方，数形结合可得.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式问题，对于含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。
