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6.3 平面向量的基本定理及坐标表示(精练)【题组一 向量基底的选择】1．(2021·全国·高一课时练习)下列说法错误的是( )A ．一条直线上的所有向量均可以用与其共线的某个非零向量表示B ．平面内的所有向量均可以用此平面内的任意两个向量表示C ．平面上向量的基底不唯一D ．平面内的任意向量在给定基底下的分解式唯一【答案】B【解析】由共线向量的性质可知选项A 正确；根据平面向量基本定理可知：平面内的所有向量均可以用此平面内的任意两个不共线的向量表示，所以选项B 不正确；根据平面向量基本定理可知中：选项C 、D 都正确，故选：B2．(2021·浙江·宁波咸祥中学高一期中)(多选)下列两个向量，不能作为基底向量的是( )A ．12(0,0),(1,2)e e ==B ．12(2,1),(1,2)e e =-=C ．12(1,2),(1,2)e e =--=D ．12(1,1),(1,2)e e ==【答案】AC【解析】A 选项，零向量和任意向量平行，所以12,e e 不能作为基底.B 选项，12,e e 不平行，可以作为基底.C 选项，12e e =-，所以12,e e 平行，不能作为基底.D 选项，12,e e 不平行，可以作为基底.故选：AC3．(2021·福建省德化第一中学高一月考)(多选)下列各组向量中，可以作为基底的是( )A ．12(0,0),(1,2)e e ==-B ．12(1,2),(5,7)e e =-=C ．12(3,5),(6,10)e e ==D ．1213(2,3),,24e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ 【答案】BD【解析】A ．由于10e =，因为零向量与任意向量共线，因此12,e e 共线，不能作基底，B ．因为1725-⨯≠⨯，所以两向量不共线，可以作基底，C ．因为212e e =，所以两向量共线，不能作基底，D ．因为312342⎛⎫⨯≠⨯- ⎪⎝⎭，所以两向量不共线，可以作基底， 故选：BD.4．(2021·湖北孝感·高一期中)(多选)在下列各组向量中，不能作为基底的是( )A ．()1e 0,0→=，()2e 1,2→=-B ．()1e 1,2→=-，()2e 5,7→=C ．()1e 3,5→=，()2e 6,10→=D ．()1e 2,3→=-，()2e 3,2→= 【答案】AC【解析】对A ，1e →∥2e →，不能作为基底；对B ，17250-⨯-⨯≠，1e →与2e →不平行，可以作为基底；对C ，21e 2e →→=，1e →∥2e →，不能作为基底；对D ，22+330⨯⨯≠，1e →与2e →不平行，可以作为基底.故选：AC.5．(2021·全国·高一课时练习)已知1e 与2e 不共线，12122,a e e b e e λ=+=+，且a 与b 是一组基，则实数λ的取值范围是___________. 【答案】11,,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【解析】因为1e 与2e 不共线，12122,a e e b e e λ=+=+，若a 与b 共线，则a b μ=，即()12122a e e e e μλ=+=+， 所以12λμμ=⎧⎨=⎩，解得122λμ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 因为a 与b 是一组基底，所以若a 与b 不共线，所以实数λ的取值范围是11,,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：11,,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【题组二 向量的基本定理】1．(2021·广东·汕头市潮南区陈店实验学校高一月考)已知△ABC 的边BC 上有一点D 满足3BD DC =，则AD 可表示为( )A ．1344AD AB AC =+ B ．3144AD AB AC =+ C ．2133AD AB AC =+ D ．1233AD AB AC =+ 【答案】A【解析】由3BD DC =，可得3()AD AB AC AD -=-，整理可得43AD AB AC =+， 所以1344AD AB AC =+， 故选：A2．(2021·四川·成都外国语学校高一月考(文))我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若BC a =，BA b =，3BE EF =，则BF =( )A ．1292525a b +B ．16122525a b + C ．4355a b + D ．3455a b + 【答案】B【解析】因为此图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，且BC a =，BA b =，3BE EF =， 所以34BF BC CF BC EA =+=+3()4BC EB BA =++ 33()44BC BF BA =+-+ 93164BC BF BA =-+， 解得16122525BF BC BA =+，即16122525BF a b =+， 故选：B3．(2021·陕西·西安电子科技大学附中高一月考)平面内有三个向量,,OA OB OC ，其中OAOB ，的夹角为120，,OA OC 的夹角为30，且32,,2OA OB ==23OC =,(R)OC OA OB λμλμ=+∈，则( ) A ．42λμ==，B ．322λμ==，C ．423λμ==， D ．3423λμ==， 【答案】C 【解析】如图所示：过点C 作//CD OB ，交直线OA 于点D ，因为OAOB ，的夹角为120，,OA OC 的夹角为30，所以90OCD =∠，在Rt OCD △中，tan 30232DC OC ===，24sin 30OD ==， 由OC OA OB OD DC λμ=+=+， 可得OD OA λ=，DC OB μ= 所以OD OA λ=，DC OB μ=，所以42λ=，322μ=，所以42,3λμ==. 故选：C.4．(2021·全国·高一课时练习)若1(3,0)e =，2(0,1)e =-，12a e e =-，(1,)b x y =-，且a b =，则实数x ，y 的值分别是( )A ．1x =，4y =B ．2x =，1y =-C ．4x =，1y =D ．1x =-，2y =【答案】C 【解析】由题意，12(3,1)a e e =-=，又a b =13411x x y y -==⎧⎧∴⎨⎨==⎩⎩故选：C5．(2021·江苏南京·高一期末)在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，1AB =，2AC =，D 是ABC 内一点，且45DAB ∠=︒设(,)AD AB AC R λμλμ=+∈，则( )A ．20λμ+=B ．20λμ-=C ．2λμ=D ．2μλ= 【答案】B【解析】如图，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系则B 点的坐标为(1，0)，C 点的坐标为(0，2)∵∠DAB ＝45°，所以设D 点的坐标为(m ， m )(m ≠0)(,)(1,0)(0,2)(,2)AD m m AB AC λμλμλμ==+=+=则λ＝m ，且μ＝12m ， ∴2λμ=，即20λμ-= 故选：B6．(2021·山西临汾·高一期末)在ABC 中，已知AB AC ⊥，2AB =，3AC =，D 是ABC 内一点，且45DAB ∠=，若(),AD AB AC λμλμ=+∈R ，则λμ=( ) A ．32B ．23C ．34D ．43 【答案】A 【解析】以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，AC 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，则()2,0B 、()0,3C ，由于45DAB ∠=，可设(),D m m ，因为AD AB AC λμ=+，所以()()(),2,00,3m m λμ=+，所以23m λμ==， 因此，32λμ=. 故选：A.7．(2021·安徽宣城·高一期中)如图，在长方形ABCD 中，2AB AD =，点M 在线段BD 上运动，若AM x AB y AC =+，则2x y +=( )A ．1B ．32C ．2D ．43【答案】A 【解析】解：由题可得，设22AB AD ==，因为ABCD 是长方形，所以以点A 为坐标原点，AB 方向为x 轴正方向，AD 方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系，则()2,0B 、()0,1D ，则()()2,0,2,1AB AC ==，()2,1BD =-，因为AM x AB y AC =+，所以()22,AM x y y =+，所以()()()222,222,,0y B A x y y x y M B AM =+==-+++-，因为点M 在BD 上运动，所以有//BM BD ，所以()12222x y y ⨯+-=-，整理得21x y +=，故选：A.8(2021·上海·高一课时练习)已知点G 为△ABC 的重心，过G 作直线与AB 、AC 两边分别交于M 、N 两点，且AM ＝x AB ，AN ＝y AC ，求11x y+的值为________． 【答案】3 【解析】根据条件：11,==AC AN AB AM y x，如图设D 为BC 的中点，则1122AD AB AC =+ 因为G 是ABC ∆的重心，211333AG AD AB AC ==+， 1133AG AM AN x y∴=+， 又M ，G ，N 三点共线，11=133x y ∴+，即113x y+=. 故答案为：3.9．(2021·黑龙江·大庆中学高一月考)如图，经过OAB 的重心G 的直线与,OA OB 分别交于点P ，Q ，设,OP mOA OQ nOB →→→→==，,m n R ∈，则11n m+的值为________．【答案】3【解析】设,OA a OB b →→→→==，由题意知211()()323OG OA OB a b →→→→→=⨯+=+， 11,33PQ OQ OP n b m a PG OG OP m a b →→→→→→→→→→⎛⎫=-=-=-=-+ ⎪⎝⎭， 由P ，G ，Q 三点共线，得存在实数λ使得PQ PG λ→→=， 即1133n b m a m a b λλ→→→→⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭， 从而1,31,3m m n λλ⎧⎛⎫-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩消去λ，得113n m +=． 故答案为：310．(2021·河北大名·高一期中)已知平面内三个向量()7,5a =，()3,4b =-，()1,2c =．(1)求23a b c -+； (2)求满足a mb nc =-的实数m ，n ；(3)若()()//ka c b c -+，求实数k ．【答案】(2)943,1010m n =-=-；(3)526k =. 【解析】(1)∵()()()()237,523,431,216,3a b c -+=--+=，∴22316a b c -+=+=(2)由a mb nc =-得()()7,53,42m n m n =---，∴3,42 5.7m m n n ⎧⎨-=--=⎩解得9,1043.10m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(3)()71,52ka c k k -=--，()2,6b c +=-．∵()()//ka c b c -+，∴()()6712520k k -+-=，解得526k =． 11．(2021·福建·莆田第七中学高一期中)已知两向量()2,0a =，()3,2b =.(1)当k 为何值时，ka b -与2a b +共线？(2)若23AB a b =+，BC a mb =+且A ，B ，C 三点共线，求m 的值.【答案】(1)12k =-；(2)32m =. 【解析】(1)()()()2,03,223,2ka b k k -=-=--，()()()22,06,48,4a b +=+=.当ka b -与2a b +共线时，()()423280k ---⨯=， 解得12k =-. (2)由已知可得()()()234,09,613,6AB a b =+=+=，()()()2,03,232,2BC a mb m m m m =+=+=+. 因为A ，B ，C 三点共线，所以//AB BC ，所以()266320m m -+=.解得32m =. 12．(2021·安徽宿州·高一期中)已知(1,0)a =-，(2,1)b =--.(1)当k 为何值时，ka b -与2a b +平行.(2)若23AB a b =+，BC a mb =+且A ，B ，C 三点共线，求m 的值.【答案】(1)12k =-；(2)32m =. 【解析】(1)(1,0)(2,1)(2,1)ka b k k -=----=-，2(1,0)2(2,1)(5,2)a b +=-+--=--.因为ka b -与2a b +共线，所以2(2)(5)10k ----⨯=，解得12k =-. (2)因为A ，B ，C 三点共线，所以()AB BC R λλ=∈，即23()a b a mb λ+=+，又因为a 与b 不共线，a 与b 可作为平面内所有向量的一组基底，所以23m λλ=⎧⎨=⎩， 解得32m =.【题组三 线性运算的坐标表示】1．(2021·天津红桥·高一学业考试)若向量(1,2),(1,1)a b ==-，则a b +的坐标为( )A ．(2，3)B ．(0，3)C ．(0，1)D ．(3，5)【答案】B【解析】解：因为(1,2),(1,1)a b ==-，所以()()()1,21,10,3a b +=+-=故选：B2．(2021·山东邹城·高一期中)已知向量()1,0a =，()2,4b =，则a b +=( )A B ．5 C ．7 D ．25【答案】B【解析】根据题意，向量()1,0a =，()2,4b =，则()3,4a b +=，故9165a b +=+.故选：B ．3．(2021·全国·高一专题练习)已知向量(1,1)a =，()2,2b x x =+，若a ，b 共线，则实数x 的值为( )A ．-1B ．2C ．1或-2D ．-1或2【答案】D【解析】因为向量(1,1)a =，()2,2b x x =+，且a ，b 共线，所以22x x =+，解得1x =-或2x =，故选：D4．(2021·全国·高一单元测试)已知(2,1cos )a θ=--，11cos ,4b θ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，且//a b ，则锐角θ等于( )A ．45°B ．30°C ．60°D ．30°或60°【答案】A【解析】因为//a b ，所以()()()121cos 1cos 04θθ⎛⎫-⨯---+= ⎪⎝⎭，得211cos 02θ-+=，即21cos 2θ=，因为θ为锐角，所以cos θ=45θ=.故选：A5．(2021·云南省永善县第一中学高一月考)已知点()2,2,1A ，()1,4,3B ，()4,,C x y 三点共线，则x y -=( )A ．0B ．1C ．1-D ．2-【答案】B【解析】因为A ，B ，C 三点共线，所以可设AB AC λ=，因为(1,2,2)AB =-，()2,2,1AC x y =--，所以()()122221x y λλλ⎧-=⎪=-⎨⎪=-⎩，解得1223x y λ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩， 所以1x y -=.故选：B.6．(2021·广东·佛山市超盈实验中学高一月考)(多选)已知()1,3a =，()2,1b =-，下列计算正确的是( )A ．()1,4a b +=-B ．()3,2a b -=C ．()1,2b a -=D ．()1,2a b --=【答案】AB【解析】因为()1,3a =，()2,1b =-，所以()1,4a b +=-，故A 正确； ()3,2a b -=，故B 正确；()3,2b a -=--，故C 错误；()1,4a b --=-，故D 错误.故选：AB.7．(2021·湖南·永州市第一中学高一期中)(多选)已知向量()1,2a =-，()1,b m =-，则( )A ．若a 与b 垂直，则1m =-B ．若//a b ，则2m =C ．若1m =，则13a b -=D ．若2m =-，则a 与b 的夹角为60︒ 【答案】BC【解析】A ：a 与b 垂直，则120m --=，可得12m =-，故错误； B ：//a b ，则20m -=，可得2m =，故正确；C ：1m =有()1,1b =-，则(2,3)a b -=-，可得13a b -=，故正确；D ：2m =-时，有()1,2b =--，所以33cos ,5||||5a b a b a b ⋅<>===⨯，即a 与b 的夹角不为60︒，故错误. 故选：BC8．(2021·全国·高一课时练习)(多选)已知(4,2),(,2)AB AC k ==-，若ABC 为直角三角形，则k 可取的值是( )A ．1B ．2C ．4D ．6 【答案】AD【解析】因为()()4,2,,2AB AC k ==-，所以()4,4BC k =--，当A ∠为直角时，0AB AC ⋅=，所以440k -=，所以1k =，当B 为直角时，0AB BC ⋅=，所以4240k -=，所以6k =，当C ∠为直角时，0AC BC ⋅=，所以2480k k -+=，此时无解，故选：AD.9．(2021·河北·正定中学高一月考)(多选)已知向量(2,1)a =，(3,1)b =-，则( )A ．()a b a +⊥B ．|2|6a b +=C ．向量a 在向量b 上的投影向量是62(,)55-D ．是向量a 的单位向量 【答案】AD【解析】对于A ，()1,2a b +=-，则()220a b a +⋅=-+=，所以()a b a +⊥，故A 正确；对于B ，()24,3a b +=-，则|2|5a b +=，故B 错误；对于C ，向量a 在向量b 上的投影向量为531cos ,,1022b a b b b a a b b b b ⋅-⎛⎫⋅⋅=⋅==- ⎪⎝⎭， 故C 错误；对于D ，因为向量的模等于1，120-=，所以向量与向量a 共线，故是向量a 的单位向量，故D 正确. 故选：AD. 10．(2021·全国·高一课时练习)已知平面向量a =(2，1)，b =(m ，2)，且a ∥b ，则3a +2b =_______.【答案】(14，7)【解析】因为向量a =(2，1)，b =(m ，2)，且//a b ，所以1·m-2×2=0，解得m=4.所以b =(4，2).故3a +2b =(6，3)+(8，4)=(14，7).故答案为：(14，7)11．(2021·全国·高一课时练习)已知向量a ＝(m ，3)，b ＝(2，﹣1)，若向量//a b ，则实数m 为____．【答案】6-【解析】∵//a b ，∴﹣m ﹣6＝0，∴6m =-．故答案为：6-.12．(2021·全国·高一课时练习)已知(2,4)A -，(2,3)B -，(3,)C y ，若A ，B ，C 三点共线，则y =___________. 【答案】234- 【解析】解：(2,4)A -，(2,3)B -，(3,)C y ，则()4,7AB =-，()5,3BC y =-，若A ，B ，C 三点共线，则向量AB 与向量BC 共线，则有()4335y --=，解得：234y =-. 故答案为：234-. 13．(2021·全国·高一课时练习)已知向量(2,4)a =-，(1,3)b =-，若2a b +与a kb -+平行，则k =___________. 【答案】-2【解析】因为向量(2,4)a =-，(1,3)b =-，所以()202a b +=-，，()2,43a kb k k -+=+--， 又因为2a b +与a kb -+平行，所以()220k -+=，解得2k =-，故答案为：-2【题组四 数量积的坐标表示】1．(2021·全国·高一单元测试)已知矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，E 为AB 上的点，且BE ＝2EA ，F 为BC 的中点，则AF DE ⋅＝( )A ．﹣2B ．﹣5C ．﹣6D ．﹣8【答案】B【解析】以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，BA 所在直线为y 轴，距离如图所示的直角坐标系， 则()0,0B ，()0,3A ，()4,3D ，()0,2E ，()2,0F ， ()2,3AF =-，()4,1DE =--，则()()()24315AF DE ⋅=⨯-+-⨯-=-．故选：B ．2．(2021·吉林·延边二中高一期中)在ABC 中， AB AC AB AC +=-， 4, 2AB AC =＝，, E F 为线段BC 的三等分点，则AE AF ⋅＝( )A ．109 B ．4 C ．409D ．569 【答案】C【解析】ABC 中，|AB AC +|＝|AB AC -|，∴2AB +2AB ⋅22AC AC AB +=-2AB ⋅2AC AC +， ∴AB ⋅AC =0，∴AB ⊥AC ，建立如图所示的平面直角坐标系，由E ，F 为BC 边的三等分点，则A (0，0)，B (0，4)，C (2，0)，E (23，83)，F (43，43)， ∴AE =(23，83)，AF =(43，43)， ∴AE 2433AF ⋅=⨯+3398440⨯=．故选：C3．(2021·福建省宁化第一中学高一月考)在菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，AC =102BM CB →→→+=，DC DN λ→→=，若29AM AN →→⋅=，则λ=( )A ．18B ．17C ．16D ．15【答案】D 【解析】作出图形，建立如图所示的平面直角坐标系，设(,)N x y ，因为120,1,AC ABC BO =∠=∴= 因为102BM CB →→→+=，所以12BM BC →→=,即M 是BC 的中点，所以1(),(0,1),2A M D C -所以1),(,1)2AM DC DN x y λλ→→→====+，由题知0λ≠.故1511),429,.5N AM AN λλλ→→-∴⋅=+=∴= 故选：D4．(2021·广东·东莞市新世纪英才学校高一月考)(多选)已知向量 (2,1)a =，(cos ,sin )(0)b θθθπ=，则下列命题正确的是( )A ．若a b ⊥，则tan θ=B ．若b 在a 上的投影向量为，则向量a 与b 的夹角为23πC ．存在θ，使得a b a b +=+D ．a b ⋅【答案】BCD【解析】对A ，若a b ⊥，则2cos sin 0a b θθ⋅+==，则tan θ=A 错误；对B ，若b 在a 上的投影向量为，3a =，且||1b =， ,co 3s 6a b a b a a ∴>⋅=-⋅<，则1cos 2a b 〈〉=-，，2π,3a b ∴〈〉=，故B 正确； 对C ，若2()2a b a b a b =+⋅22++，222(||||)||||2||||a b a b a b +=++，若|||||a b a b =+|+，则||||cos ||||a b a b a b a b ⋅⋅〈〉=，=，即cos ,1a b 〈〉=，故0a,b <>=︒，|||||a b a b =+|+，故C 正确；对D ，2cos sin a b θθ⋅+==)θϕ+，因为0πθ≤≤，π02ϕ<<，则当π2θϕ+=时，a b ⋅故D 正确.故选：BCD.5．(2021·上海·高一课时练习)已知点A (-1，1)､B (1，2)､C (-2，-1)､D (3，4)，则向量AB 在CD 方向上的投影为___________.【解析】()()2,1,5,5AB CD ==，所以向量AB 在CD 方向上的投影为2AB CDCD ⋅==.6(2021·上海·高一课时练习)设a =(2，x )，b =(-4，5)，若a 与b 的夹角θ为钝角，则x 的取值范围是___________.【答案】85x <且 【解析】∵θ为钝角，∴0a b ⋅<且两向量不共线，即850a b x ⋅=-+<，解得85x <， 当//a b 时，1040x +=，解得52x =-， 又因,a b 不共线，所以52x ≠-， 所以x 的取值范围是85x <且52x ≠-.故答案为：85x <且52x ≠-.7．(2021·北京·大峪中学高一期中)如图，在矩形ABCD 中，2AB =，BC E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若1AB AF ⋅=，则AE AF ⋅的值是___________.【答案】2【解析】如图，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，则(0,0)A ，(2,0)B ，(C ，2,2E ⎛ ⎝⎭，(F x ；∴(2,0)AB =，(,AF x =，AE ⎛= ⎝⎭； ∴1212AB AF x x ⋅==⇒=， ∴21112AE AF x ⋅=+=+=.故答案为：2.8．(2021·河北张家口·高一期末)在ABC 中，1AC =，2BC =，60ACB ∠=︒，点P 是线段BC 上一动点，则PA PC ⋅的最小值是______.【答案】116- 【解析】在ABC 中，由余弦定理得AB =ABC 是直角三角形，以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，设点P 坐标为(,)a b ，B ，(0,1)C ，(,)PA a b =--，(,1)PC a b =--，直线BC 对应一次函数为1y =，所以1b =，)a b =-，222222(1))]473PA PC a b b a b b b b b b b ⋅=--=-+=--+=-+，[0,1]b ∈，对称轴7[0,1]8b =∈，当78b =时， PA PC ⋅取得最小值116-. 故答案为：116- 9．(2021·山西·平遥县第二中学校高一月考)向量()1,3a =-，()4,2b =-且a b λ+与a 垂直，则λ=___________.【答案】1-【解析】由题意，向量()1,3a =-，()4,2b =-，可得10,10a a b =⋅=，因为a b λ+与a 垂直，可得2()10100a b a a a b λλλ+⋅=+⋅=⨯+=，解得1λ=-.故答案为：1-.10．(2021·上海·高一课时练习)已知a ＝(1，2)，b ＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a 与b 的夹角为直角；(2)a 与b 的夹角为钝角；(3)a 与b 的夹角为锐角． 【答案】(1)λ＝－12；(2)1(,)2-∞-；(3)(,)122-∪(2，＋∞)． 【解析】设a 与b 的夹角为θ，则a b ⋅＝(1，2)·(1，λ)＝1＋2λ．(1)因为a 与b 的夹角为直角，所以cos 0θ=，所以0a b ⋅=，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－12．(2)因为a 与b 的夹角为钝角，所以cos 0θ<且cos 1θ≠-，所以0a b ⋅<且a 与b 不反向．由0a b ⋅<得1＋2λ<0，故λ<－12，由a 与b 共线得λ＝2，故a 与b 不可能反向．所以λ的取值范围为1(,)2-∞-．(3)因为a 与b 的夹角为锐角，所以cos 0θ>，且cos 1θ≠，所以a b ⋅>0且a 与b 不同向． 由a b ⋅>0，得λ>－12，由a 与b 同向得λ＝2．所以λ的取值范围为(,)122-∪(2，＋∞)． 11．(2021·江西·九江一中高一期中)在ABC 中，底边BC 上的中线2AD =，若动点P 满足()22sin cos BP BA BD R θθθ=⋅+⋅∈．(1)求()PB PC AP +⋅的最大值；(2)若=AB AC =PB PC ⋅的范围．【答案】(1)2；(2)[1,3]-．【解析】∵()22sin cos BP BA BD R θθθ=⋅+⋅∈，22sin cos 1θθ+= ∴A 、P 、D 三点共线又∵[]22sin ,cos 0,1θθ∈，∴P 在线段AD 上.∵D 为BC 中点，设PD x =，则2AP x =-，[]0,2x ∈，∴()PB PC AP +⋅=2PD AP ⋅=()22x x -=224x x -+=()2212x --+， ∴()PB PC AP +⋅的最大值为2(2)如图，以D 为原点，BC 为x 轴，AD 为y 轴，建立坐标系，∵=AB AC =，2AD =，∴()()1,0,1,0B C -，设()0,P y 02y ，则()()1,,1,PB y PC y =--=-∴PB PC ⋅=21y -+，∵02y ≤≤，∴[]1,3PB PC ⋅∈-12．(2021·江苏省丹阳高级中学高一月考)已知()1,1a =--，()0,1b =.在①()()//ta b a tb ++；②()()ta b a tb +⊥+；③ta b a tb +=+这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题.(1)若________，求实数t 的值；(2)若向量(),c x y =，且()1c ya x b =-+-，求c .【答案】(1)选①：1t =±，选②：t =1t =±；【解析】因为()()1,1,0,1a b =--=，所以()()()1,10,1,1ta b t t t +=--+=--，()()()1,10,11,1a tb t t +=--+=--，选①：(1)因为()()//ta b a tb ++，所以()()11t t t --=--；即21t =，解得1t =±；(2)()()()()()10,1,,1,c ya x y y b x y x y x y +=-+-=-=-+=，所以1x y y x y =⎧⎨=-+⎩，可得11x y =⎧⎨=⎩，所以()1,1c =，所以2211c =+= 选②：(1)因为()()ta b a tb +⊥+，所以()()110t t t +--=；即2310t t -+=，解得：t = (2)()()()()()10,1,,1,c ya x y y b x y x y x y +=-+-=-=-+=，所以1x y y x y =⎧⎨=-+⎩，可得11x y =⎧⎨=⎩，所以()1,1c =，所以2211c =+= 选③：(1)因为ta b a tb +=+，=即21t =，解得：1t =±；(2)()()()()()10,1,,1,c ya x y y b x y x y x y +=-+-=-=-+=，所以1x y y x y =⎧⎨=-+⎩，可得11x y =⎧⎨=⎩，所以()1,1c =，所以2211c =+=13．(2021·河南·高一期末)已知向量()2,1a =.(1)若向量()11b =-,，且ma b -与2a b -垂直，求实数m 的值； (2)若向量()2,c λ=-，且c 与a 的夹角为钝角，求2c a -的取值范围.【答案】(1)57-；(2)(3)5,⎡⎣+∞.【解析】(1)因为()21,1ma b m m -=+-，()24,1a b -=-，结合ma b -与2a b -垂直，得到()()42110m m +--=，解得57m =-，所以实数m 的值为57-. (2)因为c 与a 的夹角为钝角，所以()2240a c λλ⋅=⨯-+=-<，4λ<. 又当1λ=-时，//c a ，所以4λ<且1λ≠-. 因为()26,2c a λ-=--，所以()226c a -=-由于当4λ<且1λ≠-时，[)223636,45()(45,)λ-+∈+∞.所以2c a -的取值范围为(3)5,⎡⎣+∞.【题组五 向量与三角函数的综合运用】1．(2021·全国·高三专题练习)已知向量ππ2sin ,sin 44a x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭，πsin ,sin 4b x m x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．(1)若0m =，试研究函数()π3π,84f x a b x ⎛⎫⎡⎤=⋅∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭在区间上的单调性；(2)若tan 2x =，且//a b ，试求m 的值．【答案】(1)π3π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递增，3π3π,84x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递减；(2) 2m =.【解析】(1)当0m =时，()()2πsin sin sin cos sin sin cos 4f x x x x x x x x x ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭1cos 2sin 2π122242x x x -⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，由π3π,84x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得π5π20,44x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦．当ππ20,42x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，即π3π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递增；当ππ5π2,424x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，即3π3π,84x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递减．(2)由//a b πππsin sin sin sin 444x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．由tan 2x =，可得πsin 04x ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭(若πsin 04x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则ππ4x k =-(k Z ∈)，此时tan 1x =-，与条件矛盾)．πsin sin 4x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即()sin cos sin m x x x -=，两边同除以cos x ，可得()tan 1tan 2m x x -==，∴2m =．2．(2021·江苏·金陵中学高一期中)设向量(3cos ,sin ),(sin ,3cos ),(cos ,3sin )a b c ααββββ===-． (1)若a 与b c -垂直，求tan()αβ+的值； (2)求||b c -的最小值．【答案】(1)tan()1αβ+=；.【解析】(1)因为a 与b c -垂直，所以()0a b c ⋅-=，即0a b a c ⋅-⋅=， 所以()()3cos sin cos sin 3cos cos sin sin 0αββααββα+--=， 所以()()3sin 3cos 0βααβ+-+=，所以tan()1αβ+=； (2)因为()sin cos ,3cos 3sin b c ββββ-=-+ ()()()2222||sin cos 3cos 3sin b c b cββββ-=-=-++1016sin cos 108sin 2βββ=+=+， 所以当222k k Z πβπ=-+∈，，即4k k Z πβπ=-+∈，时2||b c -取最小值2，所以||b c -.3．(2021·江苏铜山·高一期中)已知向量(2sin ,sin cos )a θθθ+=，(cos ,2)m b θ-=，函数()f a b θ=⋅， (1)当0m =时，求函数π6f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)若不等式4()23sin cos f m θθθ+>-+对所有π02 ,θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立.求实数m 的范围.【答案】(1)1+；(2)(,-∞ 【解析】(1)因为向量(2sin ,sin cos )a θθθ+=，(cos ,2)m b θ-=， ()()()()()2sin cos 2sin cos sin 22sin cos f a b m m θθθθθθθθ=⋅=+-+=+-+，当0m =时， ()()()2sin cos 2sin cos sin 22sin cos f a b θθθθθθθθ=⋅=++=++，ππππ1sin 2sin cos 2163662f ⎛⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭； (2)不等式4()23sin cos f m θθθ+>-+对所有π02 ,θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， 即()()4sin 22sin cos 230sin cos m m θθθθθ+-++-+>+对所有π02 ,θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，令πsin cos 4t θθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，可得21sin 2t θ=+，所以2sin 21t θ=-，因为π02 ,θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ3π444,θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，()πsin 14,θ⎤+∈⎥⎣⎦，所以π4t θ⎛⎫⎡=+∈ ⎪⎣⎝⎭所以()2412230t m t m t -+-+-+>对于t ⎡∈⎣恒成立， 即()24222t t m t t+++>+对于t ⎡∈⎣恒成立， 因为20t +>，所以24222t t t m t +++<+对于t ⎡∈⎣恒成立， 令()24222t t t g t t +++=+，t ⎡∈⎣，只需()min m g t <， 因为()()2422222222t t t t t t t t t t t ++++++==+≥++当且仅当2t t=即t ()g t取得最小值所以m <所以实数m的范围为(,-∞.4．(2021·江苏宜兴·高一期中)已知向量a ＝(2cos α，2sin α)，b ＝(6cos β，6sin β)，且()a b a ⋅-＝2． (1)求向量a 与b 的夹角；(2)若33ta b -=，求实数t 的值． 【答案】(1)3π；(2)32． 【解析】(1)由a ＝(2cos α，2sin α)，b ＝(6cos β，6sin β)，得24cos 2a =，36cos 6b ==，又()2a b a ⋅-=，∴22a b a ⋅-=，则2226a b ⋅=+=， 设向量a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝61262a b a b⋅==⨯， 又θ∈[0，π]，∴3πθ=；(2)由33ta b -=，得2()27ta b -=， 即222227t a ta b b -⋅+=， ∴4t 2﹣12t +36＝27， ∴4t 2﹣12t +9＝0，解得t ＝32． 5．(2021·河北安平中学高一期末)在①255a b -=，②8()5+⋅=a b b ，③a b ⊥，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．已知向量(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=， ，若02πα<<，02πβ-<<，且5sin 13β=-，求sin α． 【答案】答案见解析.【解析】因为(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，所以||||1a b ==， 选择方案①：因为255a b -=，所以24()5-=a b ，即22425+-⋅=b a b a ， 所以35a b ⋅=，因为(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，所以3cos cos sin sin 5αβαβ⋅=+=a b ，即3cos()5αβ-=， 因为02πα<<，02πβ-<<，所以0αβπ<-<.所以4sin()5αβ-=，因为02πβ-<<，5sin 13β=-，所以12cos 13β==，所以4123533sin sin[()]sin()cos cos()sin =51351365ααββαββαββ⎛⎫=-+=-+-=⨯+⨯- ⎪⎝⎭．选择方案②： 因为8()5+⋅=a b b ，所以285⋅+=a b b ，所以35a b ⋅=， 因为(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=， 所以3cos cos sin sin 5αβαβ⋅=+=a b ，即3cos()5αβ-=， 因为02πα<<，02πβ-<<，所以0αβπ<-<，所以4sin()5αβ-=，因为02πβ-<<，5sin 13β=-，所以12cos 13β==，所以4123533sin sin[()]sin()cos cos()sin =51351365ααββαββαββ⎛⎫=-+=-+-=⨯+⨯- ⎪⎝⎭．选择方案③：因为(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，且a b ⊥， 所以cos cos sin sin 0αβαβ⋅=+=a b ，即cos()0αβ-=， 因为02πα<<，02πβ-<<，所以0αβπ<-<，所以2παβ-=，因为02πβ-<<，5sin 13β=-，所以12cos 13β==，所以12sin sin cos 213παββ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭．6．(2021·重庆复旦中学高一期中)在ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且tan 21tan A cB b+=. (1)求角A ；(2)若()0,1m =-，()2cos ,2cos 2Cn B =，试求m n +的取值范围.【答案】(1)3π；(2)54⎫⎪⎪⎝⎭. 【解析】(1)tan 2sin cos 2sin 11tan sin cos sin A c A B CB b B A B+=⇒+=， 即sin cos sin cos 2sin sin cos sin B A A B CB A B +=，()sin 2sin sin cos sin A BC B A B +∴=，1cos 2A ∴=.0πA <<，3A π∴=. (2)()2cos ,2cos1cos ,cos 2C m n B B C ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭， 2222221cos cos cos cos 1sin 2326m n B C B B B ππ⎛⎫⎛⎫∴+=+=+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3A π=，23π∴+=B C ， 20,3B π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，从而72666B πππ-<-<，∴当sin 216B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即3B π=时，m n +取得最小值，1sin 262B π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，时，m n +取得最大值54，故2524m n ⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭.。
新教材2020-2021学年高中数学人教A版必修第二册学案：6.3.1平面向量基本定理含解析6.3平面向量基本定理及坐标表示6．3.1平面向量基本定理[目标］1.了解平面向量基本定理产生的过程和基底的含义,理解平面向量基本定理；2.掌握平面向量基本定理并能熟练应用．[重点] 平面向量基本定理．[难点] 平面向量基本定理的应用．要点整合夯基础知识点平面向量基本定理[填一填］(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1,λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.（2）若e1，e2不共线，我们把｛e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．［答一答］1．基底有什么特点?平面内基底唯一吗？提示：基底中的两向量e1，e2不共线,这是基底的最大特点．平面内的基底并不是唯一的，任意不共线的两个向量都可以作为基底．2．如图,设OA、OB、OC为三条共端点的射线，P为OC上一点，能否在OA 、OB 上分别找一点M 、N ，使OP →＝错误!＋错误!？提示：能。
过点P 作OA 、OB 的平行线，分别与OB 、OA 相交，交点即为N 、M .3．若向量a ，b 不共线，且c ＝2a －b ,d ＝3a －2b ，试判断c ，d 能否作为基底．提示：设存在实数λ使得c ＝λd ，则2a －b ＝λ（3a －2b )，即(2－3λ)a ＋（2λ－1)b ＝0.由于a ，b 不共线，从而2－3λ＝2λ－1＝0,这样的λ是不存在的，从而c ，d 不共线，故c ，d 能作为基底。
典例讲练破题型类型一 基底的概念［例1] 下面说法中，正确的是（ ）①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量；④对于平面内的任一向量a 和一组基底e 1，e 2，使a ＝λe 1＋μe 2成立的实数对一定是唯一的．A ．②④B ．②③④C ．①③D ．①③④［解析] 因为不共线的任意两个向量均可作为平面的一组基底，故②③正确，①不正确；由平面向量基本定理知④正确．综上可得②③④正确．［答案]B根据平面向量基底的定义知，判断能否作为基底问题可转化为判断两个向量是否共线的问题，若不共线，则它们可以作为一组基底；若共线,则它们不能作为一组基底。
高三数学平面向量基本定理及坐标表示试题答案及解析1.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，椭圆上的点到焦点距离的最大值为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若过点的直线与椭圆交于不同的两点，且，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】（1）设所求的椭圆方程为：由题意：所求椭圆方程为：．（2）若过点的斜率不存在，则．若过点的直线斜率为，即：时，直线的方程为由因为和椭圆交于不同两点所以，所以①设由已知，则②③将③代入②得：整理得：所以代入①式得，解得．所以或．综上可得，实数的取值范围为：．2.（2013•湖北）已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，则向量方向上的投影为：•cos＜＞=•===，故选A．3.如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量．【答案】【解析】以为原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系.设正方形的边长为，则设 .又向量所以，∴，∴，∴．由题意得∴当时，同时，时，取最小值为.【考点】平面向量的坐标运算，三角函数的性质.4.如图，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AB=2，AD=DC=1，P是线段BC上一动点，Q是线段DC上一动点，，则的取值范围是．【答案】【解析】解：建立平面直角坐标系如图所示，则因为，所以所以，, 所以， 故答案应填.【考点】1、平面向量基本定理；2、向量的坐标表示；3、向量的数量积；4、一元二次函数的最值.5. 如图，△ABC 中，D 为BC 的中点，G 为AD 的中点，过点G 任作一直线MN 分别交AB 、AC 于M 、N 两点．若＝x ，＝y ，求的值．【答案】4 【解析】设＝a ，＝b ，则＝x a ，＝y b ，＝＝ (＋)＝ (a ＋b )．∴＝－＝ (a ＋b )－x a ＝a ＋b ，＝－＝y b －x a ＝－x a ＋y b . ∵与共线，∴存在实数λ，使＝λ.∴a ＋b ＝λ(－x a ＋y b )＝－λx a ＋λy b .∵a 与b 不共线，∴消去λ，得＝4.6. 已知点O (0,0)，A 0(0,1)，A n (6,7)，点A 1，A 2，…，A n －1(n ∈N ，n ≥2)是线段A 0A n 的n 等分点，则| ＋＋…＋OA n －1＋|等于( ) A ．5n B ．10n C ．5(n ＋1) D ．10(n ＋1)【答案】C【解析】取n ＝2，，则＋＋＝(0,1)＋(3,4)＋(6,7)＝(9,12)，所以| ＋＋|＝＝15，把n ＝2代入选项中，只有5(n ＋1)＝15，故排除A 、B 、D ，选C.7. 已知向量a=(cosθ,sinθ),b=(,-1),则|2a-b|的最大值为( ) A ．4 B ．4 C ．16D ．8【答案】B【解析】∵2a-b=(2cosθ-,2sinθ+1), ∴|2a-b|===故最大值为4.8. 已知向量a=(1,-2),b=(m,4),且a ∥b,那么2a-b=( )A．(4,0)B．(0,4)C．(4,-8)D．(-4,8)【答案】C【解析】由a∥b,得4=-2m,∴m=-2,∴b=(-2,4),∴2a-b=2(1,-2)-(-2,4)=(4,-8).9.已知向量a=(cosα,-2),b=(sinα,1)且a∥b,则tan(α-)等于()A．3B．-3C．D．-【答案】B【解析】选B.∵a=(cosα,-2), b=(sinα,1)且a∥b,∴=(经分析知cosα≠0),∴tanα=-.∴tan(α-)===-3,故选B.【方法技巧】解决向量与三角函数的综合题的方法向量与三角函数的结合是近几年高考中出现较多的题目,解答此类题目的关键是根据条件将所给的向量问题转化为三角问题,然后借助三角恒等变换再根据三角求值、三角函数的性质、解三角形的问题来解决.10.已知向量a＝(3,1)，b＝，若a＋λb与a垂直，则λ等于________．【答案】4【解析】根据向量线性运算、数量积运算建立方程求解．由条件可得a＋λb＝，所以(a＋λb)⊥a⇒3(3－λ)＋1＋λ＝0⇒λ＝4.11.设向量，，若满足，则( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为,所以, ,解得：，故选D.【考点】向量共线的条件.12.在所在的平面内，点满足，，且对于任意实数，恒有，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】过点作，交于，是边上任意一点，设在的左侧，如图，则是在上的投影，即，即在上的投影，，令，，，，故需要，，即，为的中点，又是边上的高，是等腰三角形，故有,选C.【考点】共线向量，向量的数量积.13.已知向量，若,则的最小值为．【答案】4【解析】,所以.【考点】1、向量的平行关系；2、向量的模；3、重要不等式14.已知向量，向量，且，则的值是（）A．B．C．D．【答案】C.【解析】，，即得．【考点】向量的坐标运算.15.已知点，，则与共线的单位向量为（）A．或B．C．或D．【答案】C【解析】因为点，，所以，，与共线的单位向量为.【考点】向量共线.16.已知向量，，若，则实数等于．【答案】.【解析】，两边平方得，则有，化简得，即，解得.【考点】平面向量的模、平面向量的坐标运算17.在中,已知,且,则( )A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，，所以，，，故选A。
第30讲 平面向量的概念及线性运算1.向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向.向量AB →的大小就是向量的长度(或称模)，记作|AB →|.(2)零向量：长度为0的向量，记作0. (3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量. (4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a ，b 平行，记作a ∥b .规定：0与任一向量平行.(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量. (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量. 2.向量的线性运算 向量运算定 义法则(或几何意义)运算律 加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a . (2)结合律： (a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )减法 求两个向量差的运算a －b ＝a ＋(－b )数乘规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa(1)|λa |＝|λ||a |；(2)当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0λ(μa )＝λμa ； (λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； λ(a ＋b )＝λa ＋λb向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .➢考点1 平面向量的概念[名师点睛]平行向量有关概念的四个关注点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆.(4)非零向量a与a|a|的关系：a|a|是与a同方向的单位向量.1．（2022·全国·高三专题练习）下列说法正确的是（）A．向量//AB CD就是AB所在的直线平行于CD所在的直线B．长度相等的向量叫做相等向量C．若,a b b c==，则a c=D．共线向量是在一条直线上的向量2．（多选）（2022·全国·高三专题练习）下面的命题正确的有（）A．方向相反的两个非零向量一定共线B．单位向量都相等C．若a，b满足||||a b>且a与b同向，则a b>D．“若A、B、C、D是不共线的四点，且AB DC=”⇔“四边形ABCD是平行四边形”[举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）下列命题正确的是（）A．若a，b都是单位向量，则a b=B．若向量a b∥，b c∥，则a c∥C．与非零向量a共线的单位向量是唯一的D．已知,λμ为非零实数，若a ubλ=，则a与b共线2．（2023·全国·高三专题练习）下列命题正确的是（ ） A ．向量AB 与BA 是相等向量 B ．共线的单位向量是相等向量 C ．零向量与任一向量共线 D ．两平行向量所在直线平行3．（2023·全国·高三专题练习）设a ，b 都是非零向量，||||a b a b =成立的充分条件是（ ）A ．a b =-B ．2a b =C ．//a bD ．//a b 且||||a b =4．（2023·全国·高三专题练习）有下列命题： ①单位向量一定相等；②起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； ③相等的非零向量，若起点不同，则终点一定不同； ④方向相反的两个单位向量互为相反向量； ⑤起点相同且模相等的向量的终点的轨迹是圆． 其中正确的命题的个数为______．➢考点2 向量的线性运算[典例]1．（2022·全国·高三专题练习）给出下列命题： ①若,a b 同向，则有b a b a +=+； ②a b +与a b +表示的意义相同； ③若,a b 不共线，则有a b a b +>+； ④a a b <+恒成立；⑤对任意两个向量,a b ，总有a b a b +≤+；⑥若三向量,,a b c 满足0a b c ++=，则此三向量围成一个三角形． 其中正确的命题是__________(填序号)2．（2022·广东·高三开学考试）在平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别满足12DE EC =，13BF FD =，若AB a =，AD b =，则EF =（ ）A ．53124a b - B ．115124a b - C ．133124a b - D ．195124a b - 3.如图，在直角梯形ABCD 中，DC →＝14AB →，BE →＝2EC →，且AE →＝rAB →＋sAD →，则2r ＋3s ＝( )A.1B.2C.3D.4[举一反三]1．（2023·全国·高三专题练习）如图，在ABC 中，D 为BC 的中点，点E 在AD 上，且ED AE 3=，则AE 等于（ ）A ．1122AB AC +B ．1328AB AC + C ．3388AB AC +D ．3182AB AC +2．（2022·全国·高三专题练习）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且2EO AE =，则EB （ ）A ．1566AB AD -B ．1566AB AD +C ．5166AB AD -D ．5166AB AD +3．（2023·全国·高三专题练习）在平行四边形ABCD 中，2233AE AB CF CD ==，，G 为EF 的中点，则DG =（ ）A ．1122AD AB -B ．1122AB AD -C ．3142AD AB -D ．3142AB AD -4．（2022·全国·高三专题练习）如图平面四边形ABCD 中，3,3AD AE BC BF ==，则EF 可表示为（ ）A ．1133AB DC +B ．2233AB DC + C ．1233AB DC +D ．2133AB DC +➢考点3 共线向量定理的应用1．（2021·北京通州·一模）设向量12,e e 是两个不共线的向量，已知122AB e e =-，123AC e e =+，122BD e ke =-，且B ，C ，D 三点共线，则BC =______（用12,e e 表示）；实数k =______．2．（2022·全国·高三专题练习）设两个非零向量a 与b 不共线，（1）若AB a b =+，28BC a b =+，()3CD a b =-，求证：A ，B ，D 三点共线； （2）试确定实数k ，使ka b +和k +a b 共线．[举一反三]1．（2023·全国·高三专题练习）已知5AB a b =+，36BC a b =-+，4CD a b =-，则（ ） A ．A ，B ，D 三点共线 B ．A ，B ，C 三点共线 C ．B ，C ，D 三点共线D ．A ，C ，D 三点共线2．（2023·全国·高三专题练习）设1e ，2e 是平面内两个不共线的向量，()121AB a e e =-+，122AC be e =-0a >，0b >，若A ，B ，C 三点共线，则21a b+的最小值是（ ）A ．8B ．6C ．4D ．23．（2022·全国·高三专题练习）已知向量m ，n 不共线，向量53OA m n =-，OB xm n =+，若O ，A ，B 三点共线，则x =（ ） A ．53-B ．53C ．35 D ．354．（2023·全国·高三专题练习）已知不共线向量,a b ，()R AB ta b t =-∈，23AC a b =+，若A ，B ，C 三点共线，则实数t = __________.5．（2022·浙江·高三专题练习）在平行四边形ABCD 中，E ，F ，G 分别为边BC ，CD ，DA 的中点，B ，M ，G 三点共线.若(62)AM a AE a AF =+-，则实数a 的值为______. 6．（2022·全国·高三专题练习）已知O ，A ，B 是不共线的三点，且(,)OP mOA nOB m n R =+∈ （1）若m +n =1，求证：A ，P ，B 三点共线； （2）若A ，P ，B 三点共线，求证：m +n =1第30讲 平面向量的概念及线性运算1.向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向.向量AB →的大小就是向量的长度(或称模)，记作|AB →|.(2)零向量：长度为0的向量，记作0.(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量. (4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a ，b 平行，记作a ∥b .规定：0与任一向量平行.(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量. 2.向量的线性运算 向量运算定 义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律： a ＋b ＝b ＋a . (2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )减法 求两个向量差的运算a －b ＝a ＋(－b )数乘规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa(1)|λa |＝|λ||a |；(2)当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0λ(μa )＝λμa ； (λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； λ(a ＋b )＝λa ＋λb向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .➢考点1 平面向量的概念[名师点睛]平行向量有关概念的四个关注点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆.(4)非零向量a与a|a|的关系：a|a|是与a同方向的单位向量.1．（2022·全国·高三专题练习）下列说法正确的是（）A．向量//AB CD就是AB所在的直线平行于CD所在的直线B．长度相等的向量叫做相等向量C．若,a b b c==，则a c=D．共线向量是在一条直线上的向量【答案】C【分析】根据共线向量的定义可判断A，D；由相等向量的定义可判断B，C；进而可得正确选项.【详解】对于A：根据共线向量的定义可知向量//AB CD就是AB所在的直线与CD所在的直线平行或重合，故选项A不正确；对于B：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故选项B不正确；对于C：若,a b b c==，则a c=，故选项C正确；对于D：方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共线向量，零向量与任意向量共线，故选项D不正确；故选：C.2．（多选）（2022·全国·高三专题练习）下面的命题正确的有（）A．方向相反的两个非零向量一定共线B．单位向量都相等C．若a，b满足||||a b>且a与b同向，则a b>D ．“若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，且AB DC =”⇔“四边形ABCD 是平行四边形” 【答案】AD 【分析】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可. 【详解】对于A ，由相反向量的概念可知A 正确；对于B ，任意两个单位向量的模相等，其方向未必相同，故B 错误； 对于C ，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故C 错误； 对于D ，若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，且AB DC =， 可得//AB DC ，且AB DC =，故四边形ABCD 是平行四边形； 若四边形ABCD 是平行四边形，可知//AB DC ，且AB DC =， 此时A 、B 、C 、D 是不共线的四点，且AB DC =，故D 正确.故选：AD. [举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）下列命题正确的是（ ）A ．若a ，b 都是单位向量，则a b =B ．若向量a b ∥，b c ∥，则a c ∥C ．与非零向量a 共线的单位向量是唯一的D ．已知,λμ为非零实数，若a ub λ=，则a 与b 共线【答案】D 【分析】根据向量的基本概念和共线定理，逐项判断，即可得到结果. 【详解】单位向量的方向不一定相同，故A 错误； 当0b =时，显然a 与c 不一定平行，故B 错误； 非零向量a 共线的单位向量有a a±，故C 错误；由共线定理可知，若存在非零实数,λμ，使得a ub λ=，则a 与b 共线，故D 正确.故选：D. 2．（2023·全国·高三专题练习）下列命题正确的是（ ） A ．向量AB 与BA 是相等向量 B ．共线的单位向量是相等向量 C ．零向量与任一向量共线 D ．两平行向量所在直线平行 【答案】C 【分析】根据向量相等和 平行的定义逐项分析可以求解. 【详解】对于A ，AB BA =- ，故A 错误；对于B ，两个单位向量虽然共线，但方向可能相反，故B 错误； 对于C ，因为零向量没有方向，所以与任何向量都是共线的，故C 正确； 对于D ，两个平行向量所在的直线可能重合，故D 错误；故选：C.3．（2023·全国·高三专题练习）设a ，b 都是非零向量，||||a ba b =成立的充分条件是（ ）A ．a b =-B ．2a b =C ．//a bD ．//a b 且||||a b =【答案】B 【分析】由题意，利用a 、b 上的单位向量相等的条件，得出结论． 【详解】解：因为||a a 表示与a 同向的单位向量，||bb 表示与b 同向的单位向量，所以要使||||a b a b =成立，即a 、b 方向上的单位向量相等，则必需保证a 、b 的方向相同， 故||||a b a b =成立的充分条件可以是2a b =；故选：B ． 4．（2023·全国·高三专题练习）有下列命题： ①单位向量一定相等；②起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； ③相等的非零向量，若起点不同，则终点一定不同； ④方向相反的两个单位向量互为相反向量； ⑤起点相同且模相等的向量的终点的轨迹是圆． 其中正确的命题的个数为______． 【答案】3【分析】由相等向量、相反向量的知识依次判断各个选项即可得到结果. 【详解】对于①，两个单位向量方向不同时不相等，①错误；对于②，方向相同且模长相等的向量为相等向量，与起点无关，②正确；对于③，相等的非零向量方向相同且模长相等，若起点不同，则终点不同，③正确； 对于④，单位向量模长相等，又方向相反，则这两个向量为相反向量，④正确； 对于⑤，若两个向量起点相同，且模长相等且不为零，则终点的轨迹为球面，⑤错误； 则正确的命题个数为3个. 故答案为：3.➢考点2 向量的线性运算1．（2022·全国·高三专题练习）给出下列命题：+=+；①若,a b同向，则有b a b a+表示的意义相同；②a b+与a b+>+；③若,a b不共线，则有a b a b<+恒成立；④a a b+≤+；⑤对任意两个向量,a b，总有a b a b⑥若三向量,,a b c满足0++=，则此三向量围成一个三角形．a b c其中正确的命题是__________(填序号)【答案】①⑤+=+，故①正确；【详解】对于①，若,a b同向，则+b a与,a b同向，所以b a b a+前者表示向量，后者表示向量模的和，表示的意义不相同，故②不对于②，a b+与a b正确；+<+，故③不正确；对于③，若,a b不共线，则有a b a b=+，故④不正确；对于④，若0b=，则a a b+≤+，故⑤正确；对于⑤，对任意两个向量,a b，总有a b a b对于⑥，若三向量,,a b c 满足0a b c ++=，若,,a b c 中有零向量，则此三向量不能围成一个三角形，故⑥不正确．故答案为：①⑤．2．（2022·广东·高三开学考试）在平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别满足12DE EC =，13BF FD =，若AB a =，AD b =，则EF =（ ）A ．53124a b - B ．115124a b - C ．133124a b - D ．195124a b - 【答案】A 【分析】结合向量加法法则与减法法则运算求解即可. 【详解】解：因为在平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别满足12DE EC =，13BF FD =，所以()()EF AF AE AB BF AD DE =-=+-+，()()111444BF BD AD AB b a ==-=-，所以()115343124a b a b EF a a b ⎡⎤⎛⎫=+--+=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭．故选：A3.如图，在直角梯形ABCD 中，DC →＝14AB →，BE →＝2EC →，且AE →＝rAB →＋sAD →，则2r ＋3s ＝( )A.1B.2C.3D.4答案 C解析 法一 由题图可得AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(BA →＋AD →＋DC →)＝13AB →＋23(AD →＋DC →)＝13AB →＋23⎝⎛⎭⎫AD →＋14AB →＝12AB →＋23AD →. 因为AE →＝rAB →＋sAD →，所以r ＝12，s ＝23，则2r ＋3s ＝1＋2＝3.法二 因为BE →＝2EC →， 所以AE →－AB →＝2(AC →－AE →)，整理，得AE →＝13AB →＋23AC →＝13AB →＋23(AD →＋DC →)＝12AB →＋23AD →，以下同法一.法三 如图，建立平面直角坐标系xAy ，依题意可设点B (4m ，0)，D (3m ，3h )，E (4m ，2h )，其中m ＞0，h ＞0. 由AE →＝rAB →＋sAD →，得(4m ，2h )＝r (4m ，0)＋s (3m ，3h )，所以⎩⎪⎨⎪⎧4m ＝4mr ＋3ms ，2h ＝3hs ，解得⎩⎨⎧r ＝12，s ＝23，所以2r ＋3s ＝1＋2＝3.[举一反三]1．（2023·全国·高三专题练习）如图，在ABC 中，D 为BC 的中点，点E 在AD 上，且ED AE 3=，则AE 等于（ ） A ．1122AB AC +B ．1328AB AC + C ．3388AB AC +D ．3182AB AC +【答案】C 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得； 【详解】解：在ABC 中，D 为BC 的中点，所以()12AD AB AC =+， 又ED AE 3=，所以34AE AD =， 所以()3313344288AE AD AB AC AB AC ==⨯+=+；故选：C 2．（2022·全国·高三专题练习）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且2EO AE =，则EB （ ）A ．1566AB AD -B ．1566AB AD +C ．5166AB AD -D ．5166AB AD +【答案】C 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得； 【详解】解：因为2EO AE =，所以()111366AE AO AC AB AD ===+， 所以()151666EB AB AE AB AB AD AB AD =-=-+=-.故选：C. 3．（2023·全国·高三专题练习）在平行四边形ABCD 中，2233AE AB CF CD ==，，G 为EF 的中点，则DG =（ ）A ．1122AD AB -B ．1122AB AD -C ．3142AD AB -D ．3142AB AD -【答案】B 【分析】根据题意和平面向量的线性运算即可得出结果. 【详解】()1111112111·2222323622DG DE DF DA AE DC AD AB AB AB AD ⎛⎫=+=++=-++=- ⎪⎝⎭． 4．（2022·全国·高三专题练习）如图平面四边形ABCD 中，3,3AD AE BC BF ==，则EF 可表示为（ ）A ．1133AB DC +B ．2233AB DC + C ．1233AB DC +D ．2133AB DC +【答案】D 【分析】利用向量的线性运算的几何表示即得.【详解】∵3,3AD AE BC BF ==，∴20,20EA ED BF CF +=+=， ∵,2222EF EA AB BF EF EA AB BF =++=++， 又EF ED DC CF =++，∴32222EF EA AB BF ED DC CF AB DC =+++++=+，即2133EF AB DC =+.故选：D.➢考点3 共线向量定理的应用1．（2021·北京通州·一模）设向量12,e e 是两个不共线的向量，已知122AB e e =-，123AC e e =+，122BD e ke =-，且B ，C ，D 三点共线，则BC =______（用12,e e 表示）；实数k =______．【答案】 124e e -+ 8【分析】由向量减法法则得BC AC AB =-即可得答案，再根据B ，C ，D 三点共线，得BD BC λ=即可得答案.【详解】由向量减法法则得：124BC AC AB e e =-=-+， 由于B ，C ，D 三点共线，所以BD BC λ=，即：()121224e ke e e λ-=-+，所以24k λλ-=⎧⎨-=⎩，解得：28k λ=-⎧⎨=⎩.故答案为：124e e -+；82．（2022·全国·高三专题练习）设两个非零向量a 与b 不共线，（1）若AB a b =+，28BC a b =+，()3CD a b =-，求证：A ，B ，D 三点共线； （2）试确定实数k ，使ka b +和k +a b 共线． 【解】（1）证明：AB a b =+，28BC a b =+，()3CD a b =-，()283BD BC CD a b a b ∴=+=++- ()283355a b a b a b AB =++-=+= AB ∴，BD 共线，又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．（2）ka b +和k +a b 共线，∴存在实数λ，使()ka b a kb λ+=+， 即ka b a kb λλ+=+，()()1k a k b λλ∴-=-.a ，b 是两个不共线的非零向量，10k k λλ∴-=-= 210k ∴-=，1k ∴=±.[举一反三]1．（2023·全国·高三专题练习）已知5AB a b =+，36BC a b =-+，4CD a b =-，则（ ） A ．A ，B ，D 三点共线 B ．A ，B ，C 三点共线 C ．B ，C ，D 三点共线D ．A ，C ，D 三点共线【答案】A 【详解】由题意得5BD BC CD a b AB =+=+=，又,BD AB 有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线.故选：A2．（2023·全国·高三专题练习）设1e ，2e 是平面内两个不共线的向量，()121AB a e e =-+，122AC be e =-0a >，0b >，若A ，B ，C 三点共线，则21a b+的最小值是（ ）A ．8B ．6C ．4D ．2【答案】A 【分析】根据向量共线定理得到21a b +=，再根据基本不等式可求出结果. 【详解】因为A ，B ，C 三点共线，所以向量AB 、AC 共线， 所以存在R λ∈，使得AB AC λ=，即()121a e e -+()122be e λ=-，即()121a e e -+122be e λλ=-，因为1e 、2e 不共线，所以121a b λλ-=⎧⎨=-⎩，消去λ，得21a b +=，因为0a >，0b >，所以21a b +=()212a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭44a b b a =++44228≥+=+⨯=，当且仅当12a =，14b =时，等号成立.故选：A3．（2022·全国·高三专题练习）已知向量m ，n 不共线，向量53OA m n =-，OB xm n =+，若O ，A ，B 三点共线，则x =（ ） A ．53-B ．53C ．35 D ．35【答案】A【分析】根据O ，A ，B 三点共线，则OA OB ∥，R λ∃∈，OB OA λ=，代入整理． 【详解】因为O ，A ，B 三点共线，则OA OB ∥所以R λ∃∈，OB OA λ=，即()53xm n m n λ+=-整理得：()()531x m n λλ-=+ 又∵向量m ，n 不共线，则5310x λλ-=+=，则53x =-故选：A ．4．（2023·全国·高三专题练习）已知不共线向量,a b ，()R AB ta b t =-∈，23AC a b =+，若A ，B ，C 三点共线，则实数t = __________.【答案】23-【分析】根据三点共线的向量表达可得AB k AC =，再根据平面向量的线性运算与基本定理求解即可【详解】因为A ，B ，C 三点共线，所以存在实数k ，使得AB k AC =， 所以()2323ta b k a b ka kb -=+=+，即()()231t k a k b -=+，因为,a b 不共线，所以20,310t k k -=+=，解得12,33k t =-=-故答案为：23-5．（2022·浙江·高三专题练习）在平行四边形ABCD 中，E ，F ，G 分别为边BC ，CD ，DA 的中点，B ，M ，G 三点共线.若(62)AM a AE a AF =+-，则实数a 的值为______. 【答案】143【分析】将AM 化为以,AB AG 为基底可得()3123AM AB a AG =+-，由B ，M ，G 三点共线可知()3+1231a -=，计算即可. 【详解】(62)AM a AE a AF =+-，E ，F ，G 分别为边BC ，CD ，DA 的中点，()()1(62)231232AM a AB AG a AB AG AB a AG ⎛⎫∴=++-+=+- ⎪⎝⎭,B ，M ，G 三点共线，3+1231a -=，解得：143a =. 故答案为：143.6．（2022·全国·高三专题练习）已知O ，A ，B 是不共线的三点，且(,)OP mOA nOB m n R =+∈ （1）若m +n =1，求证：A ，P ，B 三点共线； （2）若A ，P ，B 三点共线，求证：m +n =1. 【解】（1）证明：若m +n =1，则()1OP mOA m OB =+-，()1OP m m OP =+-⎡⎤⎣⎦， 故()()11mOP m OP mOA m OB +-=+-，即()()()1m OP OA m OB OP -=--，()1mAP m PB =-，即,AP BP 共线，又,AP BP 有公共点，则A ，P ，B 三点共线；（2）证明：若A ，P ，B 三点共线，则存在实数λ，使得AP PB λ=，变形得()OP OA OB OPλ-=-，即()1OP OB OAλλ+=+，111OB OA OB OA OP λλλλλ+==++++，又OP mOA nOB =+，1111λλλ+=++，故1m n +=。
6.3 平面向量基本定理及坐标表示6.3.1 平面向量基本定理课标解读课标要求 核心素养1.了解基底的含义.(一般)2.理解平面向量基本定理及其意义.(重点)3.会用基底表示平面内任一向量.(难点)1.通过平面向量基本定理的探究,用基底表示平面内任一向量,逐步形成数学抽象素养.2.借助向量解决几何问题培养直观想象素养.问题1:在物理中,我们学习了力的分解,即一个力可以分解为两个不同方向的力,试想平面内的任一向量是否可以分解为其他两个向量的和.答案 可以.问题2:如果e 1,e 2是两个不共线的向量,那么与e 1,e 2在同一平面内的任一向量a 能否用e 1,e 2表示?依据是什么?答案 能.依据数乘向量和平行四边形法则.平面向量基本定理条件 e 1,e 2是同一平面内的两个①不共线向量结论 对于这一平面内的任一向量a,②有且只有一对实数λ1,λ2,使a =λ1e 1+λ2e 2 基底 若e 1,e 2③不共线,我们把{e 1,e 2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底 思考1:0能与另外一个向量a 构成基底吗?提示 不能,基底是不共线的,0与任意向量都是共线的. 思考2:同一平面内向量的基底是唯一的吗?提示 不唯一,但基底一旦确定,平面内任一向量都可以用这一基底唯一表示.探究一 基底的概念例1 (多选题)设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点,则下列向量组中,可作为这个平行四边形所在平面内一个基底的是( )A.{AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ }B.{DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ }C.{CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ }D.{OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ } 答案 AC解析 A 中,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线;B 中,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =-BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线;C 中,CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线;D 中,OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线.由平面向量基底的概念知,只有不共线的两个向量才能构成一个基底.故选AC. 思维突破能作为向量基底的条件(1)两个向量不共线,基底的选择是不唯一的. (2)零向量与任意向量共线,不能作为基底.1-1 设{e 1,e 2}是平面内一个基底,则下面四组向量中,不能作为基底的是( ) A.{e 1+e 2,e 1-e 2} B.{3e 1-2e 2,4e 2-6e 1} C.{e 1+2e 2,e 2+2e 1}D.{e 2,e 2+e 1} 答案 B ∵4e 2-6e 1=-2(3e 1-2e 2),∴两个向量共线,不能作为基底.1-2 已知e 1、e 2不共线,a=e 1+2e 2,b=2e 1+λe 2,要使a,b 能作为平面内的一组基底,则实数λ的取值范围为 . 答案 (-∞,4)∪(4,+∞)解析 若a,b 能作为平面内的一组基底,则a 与b 不共线,则a ≠kb(k ∈R),又a=e 1+2e 2,b=2e 1+λe 2, ∴λ≠4.探究二 用基底表示向量例2 (2020江苏南京高一期中)如图所示,在△OAB 中,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,点M 是AB 上靠近点B 的一个三等分点,点N 是OA 上靠近点A 的一个四等分点.若OM 与BN 相交于点P,求OP ⃗⃗⃗⃗⃗ .解析 ∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB⃗⃗⃗⃗⃗ =b, ∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13a+23b. ∵OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,可设OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =t OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t 3a+2t3b.又NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与NB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,可设NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =s NB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +s NB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +s(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=34(1-s)a+sb, ∴{34(1-s)=t3,s =23t,解得{t =910,s =35,∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =310a+35b. 思维突破用基底表示向量的方法(1)选基底:选取两个不共线的向量作为基底表示其他向量.(2)依据:①向量加法的三角形法则和平行四边形法则;②向量减法的几何意义;③数乘向量的几何意义.(3)方法:①运用向量的线性运算法则对所求向量进行转化; ②通过列方程(组)求解.2-1 (多选题)(2020山东青岛高一期末)D,E,F 分别为△ABC 的边BC,CA,AB 上的中点,且BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,则下列结论正确的有( ) A.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12a-b B.BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+12bC.CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12a+12bD.EF⃗⃗⃗⃗⃗ =12a 答案 ABC 如图所示,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-b+12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12a-b,A 正确;BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+12b,B 正确;AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-b-a,CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b+12(-b-a)=12b-12a,C 正确;EF⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12a,D 不正确. 2-2 如图所示,已知在▱ABCD 中,E,F 分别是BC,DC 边上的中点.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,试用a,b 表示向量DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BF⃗⃗⃗⃗⃗ .解析 ∵四边形ABCD 是平行四边形,E,F 分别是BC,DC 边上的中点, ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CF⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12b,CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12a,∴DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =-AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =-b+a+12b=a-12b,BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF⃗⃗⃗⃗⃗ =b-12a. 探究三 利用平面向量基本定理解决平面几何问题例3 (易错题)如图所示,L,M,N 分别为△ABC 的边BC,CA,AB 上的点,且BLBC =l,CM CA =m,ANAB =n,若AL ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,求证:l=m=n.证明 令BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,{a,b}为一个基底,根据已知有BL ⃗⃗⃗⃗⃗ =la,CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =mb. ∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-a-b, 则有AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =n AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-na-nb,∴AL ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BL ⃗⃗⃗⃗⃗ =(l-1)a-b, BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a+mb, CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-na+(1-n)b, 又AL ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, ∴(l-n)a+(m-n)b=0. 根据平面向量基本定理, 有l-n=m-n=0, 即l=m=n. 易错点拨常因不能恰当选择基底而找不到突破口,导致无从下手,造成失分.平面向量基本定理在解决几何问题中的作用 (1)平面向量基本定理提供了向量的几何表示方法.(2)由平面向量基本定理可知,任意向量都可以用一个与它共线的非零向量线性表示,而且这种表示是唯一的.因此,恰当选择基底是解决问题的关键.3-1 用向量法证明三角形的三条中线交于一点.证明 如图,设D,E,F 分别是△ABC 的三边BC,AC,AB 的中点,令AC⃗⃗⃗⃗⃗ =a,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b, 则AB⃗⃗⃗⃗⃗ =a-b,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a-12b,BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12a+b. 设AD 与BE 交于点G, 且AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =μBE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则有AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =λa-λ2b,BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =-μ2a +μb,又有AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−μ2)a +(μ-1)b,∴{λ=1−μ2,-λ2=μ-1,解得λ=μ=23,∴AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =23a-13b,CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =-a+23a-13b=-13a-13b=23×12(-a-b).而CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(-a-b),∴CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CF ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴点G 是CF 上一点,∴三角形的三条中线交于一点.1.{e 1,e 2}是平面内一个基底,下面说法正确的是( ) A.若实数λ1,λ2使λ1e 1+λ2e 2=0,则λ1=λ2=0B.空间内任一向量a 可以表示为a =λ1e 1+λ2e 2(λ1,λ2为实数)C.对实数λ1,λ2,λ1e 1+λ2e 2不一定在该平面内D.对平面内任一向量a,使a =λ1e 1+λ2e 2的实数λ1,λ2有无数对答案 A 由基底的定义可以知道,e 1和e 2是平面上不共线的两个向量,所以若实数λ1,λ2使λ1e 1+λ2e 2=0,则λ1=λ2=0,不是空间任一向量都可以表示为a =λ1e 1+λ2e 2,而是平面中的任一向量a,可以表示为a =λ1e 1+λ2e 2的形式,此时实数λ1,λ2有且只有一对,而对实数λ1,λ2,λ1e 1+λ2e 2一定在平面内,所以A 正确.2.设D 为△ABC 所在平面内一点,若BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则( ) A.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +43AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -43AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =43AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC⃗⃗⃗⃗⃗ D.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =43AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -13AC⃗⃗⃗⃗⃗ 答案 A 因为BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=3AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -3AC⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以3AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =4AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =43AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +43AC⃗⃗⃗⃗⃗ . 3.已知向量a,b 不共线,且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+2b,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-5a+6b,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =7a-2b,则一定共线的三点是( ) A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,DD.A,C,D答案 A ∵BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-5a+6b,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =7a-2b,∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a+4b,又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+2b,∴2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 又∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 有公共点B,∴A,B,D 三点共线. 4.已知向量a,b 是一组基底,实数x,y 满足(3x-4y)a+(2x-3y)b=6a+3b,则x-y 的值为 . 答案 3解析 因为a,b 是一组基底,所以a 与b 不共线. 因为(3x-4y)a+(2x-3y)b=6a+3b, 所以{3x -4y =6,2x -3y =3,解得{x =6,y =3,所以x-y=3.5.如图,平面内有三个向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 、OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,其中OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为120°,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为30°,且|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√3.若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R),求λ+μ的值.解析 如图,以OC 为对角线作▱OMCN,使得M 在直线OA 上,N 在直线OB 上,则存在λ,μ,使OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μOB ⃗⃗⃗⃗⃗ , 即OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵∠MON=120°,∠MOC=30°, ∴∠OCM=90°,∴在Rt △COM 中,|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√3, ∴|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4,|MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4OA ⃗⃗⃗⃗⃗ , 又|ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,∴ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即λ=4,μ=2, ∴λ+μ=6.数学运算——利用方程思想求向量等式中的参数在△ABC 中,点P 是AB 上一点,且CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CA⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,Q 是BC 的中点,AQ 与CP 的交点为M,又CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t CP⃗⃗⃗⃗⃗ ,求t 的值. 审:条件中CP ⃗⃗⃗⃗⃗ 用基底{CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ }表示,而CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,要求t 的值,需CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 也用基底{CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ }表示,利用方程思想求解.联:三点共线的向量问题,把向量用基底表示,建立方程组. 解:∵CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴3CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CA⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ , 即2CP ⃗⃗⃗⃗⃗ -2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ -CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴① , 即P 为AB 的一个三等分点,如图所示.设CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1-x)CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =② , 而CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =③ . 又CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ -PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =-AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,由已知CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t CP⃗⃗⃗⃗⃗ , 可得x 2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(x2-1)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =t (-AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ),又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线,∴④ ,解得t=34. 思:平面内任一向量利用平面向量基本定理都可以表示为同一平面内两个不共线向量e 1,e 2的线性组合λ1e 1+λ2e 2.具体求λ1,λ2时的两种方法:(1)直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理. (2)利用待定系数法,即利用定理中λ1,λ2的唯一性列方程组求解. 答案 ①2AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ②x 2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(x-1)AC⃗⃗⃗⃗⃗ ③x 2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(x2-1)AC⃗⃗⃗⃗⃗ ④{x2=t3x 2-1=-t(变结论)本例中,试问点M 在AQ 的什么位置? 解析 由例题知CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +x -22·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 及x=12,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 知,CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12x(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ -CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+2−x 2CA⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1-x)CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =x CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1-x)CA⃗⃗⃗⃗⃗ =CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2.因此,点M 是AQ 的中点.在△ABC 中,M 是AB 边所在直线上任意一点,若CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λCB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ=( ) A.1 B.2C.3D.4答案 C ∵M 是△ABC 中 AB 边所在直线上任意一点, ∴存在实数μ,使得AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μMB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 即CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =μ(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ -CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ), 化简,得CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =11+μCA⃗⃗⃗⃗⃗ +μ1+μCB ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∵CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2CA⃗⃗⃗⃗⃗ +λCB ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴{11+μ=−2,μ1+μ=λ,解得λ=3,μ=-32.1.(多选题)(2019北京高一期末)如果e 1,e 2是平面α内一组不共线的向量,那么下列四组向量中,可以作为平面内所有向量的一组基底的是( ) A.e 1与e 1+e 2 B.e 1-2e 2与e 1+2e 2 C.e 1+e 2与e 1-e 2D.e 1+3e 2与6e 2+2e 1答案 ABC 选项A 中,设e 1+e 2=λe 1,则{λ=1,1=0无解;选项B 中,设e 1-2e 2=λ(e 1+2e 2),则{1=λ,-2=2λ无解;选项C 中,设e 1+e 2=λ(e 1-e 2),则{λ=1,1=−λ无解;选项D 中,e 1+3e 2=12(6e 2+2e 1),所以两向量是共线向量.2.如图,在△OAB 中,P 为线段AB 上的一点,OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PA⃗⃗⃗⃗⃗ ,则( )A.x=23,y=13 B.x=13,y=23 C.x=14,y=34D.x=34,y=14答案 A 由题意知OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,又BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ -OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以x=23,y=13.3.A,B,O 是平面内不共线的三个定点,且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,点P 关于点A 的对称点为Q,点Q 关于点B 的对称点为R,则PR ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A.a-b B.2(b-a) C.2(a-b)D.b-a答案 B 如图所示,a=12(OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ),b=12(OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OR ⃗⃗⃗⃗⃗ ), 则b-a=12(OR ⃗⃗⃗⃗⃗ -OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12PR⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴PR⃗⃗⃗⃗⃗ =2(b-a). 4.如图,在四边形ABCD 中,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,E 为BC 的中点,且AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则3x-2y=( )A.12 B.32C.1D.2答案 C 由题意,得AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(-AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(-AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .∵AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴x AB⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线,∴由平面向量基本定理,得{x =23,y =12.∴3x-2y=3×23-2×12=1.5.已知a,b 不共线,且c =λ1a +λ2b (λ1,λ2∈R),若c 与b 共线,则λ1= . 答案 0解析 因为a,b 不共线,所以a,b 可以作为一组基底,又c 与b 共线,所以c =λ2b,所以λ1=0. 6.如图,在平行四边形ABCD 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,M 是DC 的中点,以a,b 为基底表示向量AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = .答案 b+12a解析 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b+12a.7.如图所示,在△ABC 中,点O 是BC 的中点,过点O 的直线分别交直线AB,AC 于点M,N,若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =n AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则mn 的最大值为 .答案 1解析 ∵点O 是BC 的中点,∴AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ ), 又∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =n AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =m2AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +n2AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 又∵M,O,N 三点共线, ∴m 2+n2=1,即m+n=2, ∴mn ≤(m2+n 2)2=1,当且仅当m=n=1时取等号,故mn 的最大值为1.8.在△OAB 的边OA,OB 上分别取M,N,使|OM|∶|OA|=1∶3,|ON|∶|OB|=1∶4,设线段AN 与BM 的交点为P,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,用a,b 表示OP ⃗⃗⃗⃗⃗ . 解析 如图所示:设MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λMB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =k NA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则有MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λMB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(b -13a),从而OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13a +λ(b -13a)=13(1-λ)a +λb.又NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =k NA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =k (a -14b), OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ka+14(1-k)b,由平面向量基本定理及a,b 不共线可得{13(1-λ)=k,λ=14(1-k),解得λ=211,从而OP⃗⃗⃗⃗⃗ =311a+211b.9.(多选题)如图,在平行四边形ABCD 中,O 是对角线AC,BD 的交点,N 是线段OD 的中点,AN 的延长线与CD 交于点E,则下列说法正确的是( )A.AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗B.BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗C.AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗D.AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =53AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗答案 ABC 由向量减法的三角形法则知,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ;由向量加法的平行四边形法则知,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ .故ABC 正确,D 错误.10.如图,在直角梯形ABCD 中,AB=2AD=2DC,E 为BC 边上一点,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,F 为AE 的中点,则BF⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ B.13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -23AD ⃗⃗⃗⃗⃗C.-23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD ⃗⃗⃗⃗⃗D.-13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AD ⃗⃗⃗⃗⃗答案 C BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =-AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE⃗⃗⃗⃗⃗ ) =-AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB⃗⃗⃗⃗⃗ ) =-AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .11.在平行四边形ABCD 中,点E 是AD 边的中点,BE 与AC 相交于点F,若EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +n AD ⃗⃗⃗⃗⃗ (m,n ∈R),则m n 的值是 .答案 -2解析 解法一:根据题意可知△AFE ∽△CFB,所以EF FB =AE CB =12,故EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =13EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -AE ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -16AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,又EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +n AD ⃗⃗⃗⃗⃗ (m,n ∈R),∴m=13,n=-16,∴mn =13-16=-2. 解法二:如图,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +n AD ⃗⃗⃗⃗⃗ (m,n ∈R), ∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(2n+1)AE ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∵F,E,B 三点共线,∴m+2n+1=1, ∴mn =-2.12.在△ABC 中,点M,N 满足AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =NC ⃗⃗⃗⃗⃗ .若MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x= ,y= . 答案 12;-16解析 由AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 知M 为AC 上靠近点C 的三等分点,由BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =NC ⃗⃗⃗⃗⃗ 知N 为BC 的中点,作图如下:则有AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),所以MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )-23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -16AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,又因为MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以x=12,y=-16.13.设D,E 分别是△ABC 的边AB,BC 上的点,AD=12AB,BE=23BC.若DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2AC⃗⃗⃗⃗⃗ (λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为 . 答案 12解析 DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1AB⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴λ1=-16,λ2=23,故λ1+λ2=12. 14.如图,已知△OCB 中,A 是CB 的中点,D 是将OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 分成2∶1的一个内分点,DC 和OA 交于点E,设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b. (1)用a 和b 表示向量OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)若OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求实数λ的值.解析 (1)由题意知,A 是BC 的中点,且OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23OB ⃗⃗⃗⃗⃗ , 由平行四边形法则,得OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ -OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a-b, DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ -OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2a-b)-23b=2a-53b. (2)由题意知,EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,设EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x DC ⃗⃗⃗⃗⃗ .因为EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ -OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2a-b)-λa=(2-λ)a-b,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a-53b,所以(2-λ)a-b=x (2a -53b).因为a 与b 不共线,由平面向量基本定理, 得{2−λ=2x,-1=-53x,解得{x =35,λ=45,故λ=45.15.如图所示,在△ABO 中,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =14OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD 与BC 相交于点M.设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB⃗⃗⃗⃗⃗ =b. (1)试用向量a,b 表示OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ;(2)在线段AC 上取点E,在线段BD 上取点F,使EF 过点M,设OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =μOB⃗⃗⃗⃗⃗ ,求证:1λ+3μ=7.解析 (1)不妨设OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ma+nb, 一方面,由于A,D,M 三点共线, 则存在α(α≠-1)使得AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =αMD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,于是OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -1α(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +1αOA ⃗⃗⃗⃗⃗ -1αOM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+αOD⃗⃗⃗⃗⃗⃗1+α,又OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12OB ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +α2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1+α=11+αa+α2(1+α)b,则{m =11+α,n =α2(1+α),即m+2n=1;① 另一方面,由于B,C,M 三点共线, 则存在β(β≠-1)使得CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =βMB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 于是OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +βMB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +β(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ), ∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +βOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1+β,又OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =14OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +βOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1+β=14(1+β)a+β1+βb,则{m =14(1+β),n =β1+β,即4m+n=1.② 由①②可得m=17,n=37, ∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =17a+37b.(2)证明:由于E,M,F 三点共线, ∴存在实数η(η≠-1)使得EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ηMF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 于是OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +ηOF ⃗⃗⃗⃗⃗ 1+η,又OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =μOB⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +ηMF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +η(-OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ),∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+ημOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗1+η=λ1+ηa+μη1+ηb,由(1)知17a+37b=λ1+ηa+μη1+ηb,从而{λ1+η=17,μη1+η=37,消去η即得1λ+3μ=7.。
