2018年11月重庆南开中学高2020级高二上半期数学理科

重庆南开中学高2018级高二（上）期中考试化学试题说明：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共110分。

考试时间90分钟。

2、可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目等分别用钢笔、铅笔填涂清楚。

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

3．第Ⅱ卷用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上。

4．考试结束，将答题卡和第Ⅱ卷上交（第Ⅰ卷自己保留好）。

第Ⅰ卷（选择题共52分）一、选择题（本题包括13小题，每小题4分，共52分。

每小题只有一个选项符合题意。

）1．在某一温度时，测得纯水中的c(H+)=2.4×10-7mol/L,则c(OH-)为（）A. 2.4×10-7mol/LB. 1.0×10-7mol/LC. 4.1×10-8mol/LD.无法确定2．合成氨时采用500℃左右的温度进行，主要是因为在该温度时（）A．合成氨的化学反应速率最大 B．N2的转化率最高C．NH3在平衡混合气中的体积分数最大 D．催化剂的活性最大3．在2A(g)+B(g) 3C(g)+4D(g)反应中，表示该反应速率最快的是 ( ) A．υ（A）=0.5 mol/（L•s） B.υ（B）=0.3 mol/（L•s）C．υ（C）=0.8 mol/（L•s） D.υ（D）=1.0 mol/（L•s）4．常温下，相同pH的H2SO4和Al2（SO4）3溶液中，由水电离的c（H+）大小关系正确的是 ( )A.前者大B.后者大C.一样大D.不能确定5．物质的量浓度为0.100 mol/L的下列物质的溶液中，c（NH4+）最大的是 ( )A.NH4Cl B.NH4HSO4C.NH3·H2O D.CH3COONH46．对已达化学平衡的反应2X(g) +Y(g) 2Z(g)，减小压强时，对反应产生的影响是 ( )A.逆反应速率增大，正反应速率减小，平衡向逆反应方向移动B.逆反应速率减小，正反应速率增大，平衡向正反应方向移动C.正、逆反应速率都减小，平衡向逆反应方向移动D.正、逆反应速率都增大，平衡向正反应方向移动7．能使H2O + H2O H3O+ + OH-电离平衡向正方向移动，且所得溶液呈酸性的是( )A.向水中加入Na2CO3固体 B.向水中加入CuCl2固体C.向水中通入HCl气体D.将水加热至90℃8．在一定条件下，可逆反应H2(g) + I2(g) 2HI(g)达到平衡的标志是( )A.混合气体的颜色不再改变B.混合气体的总的物质的量不变C. H2、I2、HI的浓度都相等D.单位时间内生成n mol的H2，同时生成n mol的HI9．某溶液中由水电离出的c（H+）=1.0×10-14 mol/L，在这种溶液里可能大量共存的离子组是 ( )A．Na+、K+、I-、Fe3+ B.K+、Cl-、NH4+、HCO3-C．Na+、K+、CO32-、S2- D.K+、Al3+、SO42-、CO32-10．在某容积一定的密闭容器中，可逆反应A(g) + B(g) xC(g) + Q，C的百分含量随时间变化如图所示，下列选项正确的是( )11．将浓度为0.1 mol/LCH3COOH溶液稀释10倍后，下列微粒浓度减小得最多的是( )A.CH3COOH B.OH- C.H+ D.CH3COO-12．同温度下，把质量相同的N2O4和NO2分别放入体积相同的两个密闭容器a、b中，达到平衡后的结果正确的是 ( )A.N2O4的百分含量a＞b B.气体压强a＜bC.容器中气体总的物质的量a＞bD.N2O4的浓度a = b13．在0.1mol/L硫酸铵溶液中，下列关系正确的是（）A．c（NH4+）＞ c（SO42-）＞ c（H+）＞ c（OH-）B．c（SO42-）＞ c（NH4+）＞ c（H+）＞ c（OH-）C．2c（SO42-）＝ c（NH4+）＞ c（H+）＝c（OH-）D．c（SO42-）＋ c（OH-）= c（NH4+）＋ c（H+）A.Q＞0，x=1B.Q＞0，x=3C.Q＜0，x=1D.Q＜0，x=3重庆南开中学高2018级高二（上）期中考试化学试题第Ⅱ卷（非选择题，共58分）二、填空题（本题包括4小题，共36分）14．（8分）(1)物质的量浓度相同的三种盐 NaX、 NaY、 NaZ的溶液，其pH依次为 8、 9、 10，则三种酸 HX、 HY、 HZ 的酸性由大到小的顺序为:____________________________________________________________________。

重庆十一中高2018级高二（上）半期考试数学（理科）试题考试说明：1.考试时间 120分钟 2.试题总分 150分一、选择题（12*5=60）1．空间三条直线互相平行,由每两条平行线确定一个平面,则可确定平面的个数为（ ） A ．3B ．1或2C ．1或3D ．2或32. 若空间三条直线a ，b ，c 满足a ⊥b ，b ∥c ，则直线a 与c ( ) A ．一定平行 B ．一定相交 C ．一定是异面直线D ．一定垂直3．若直线l 的倾斜角为120,则直线l 的斜率是（ ）A.33 B. 33- C. 3 D. 3- 4．过点A (2，3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为( ) A ．x －2y ＋4＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y ＋3＝0D ．x －2y ＋5＝05.一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（ ）A ．球B ．三棱锥C ．正方体D ．圆柱 6.如图，在四面体D －ABC 中，若AB ＝CB ，AD ＝CD ，E 是AC 的中点，则下列结论正确的是( )A ．平面ABC ⊥平面ABDB ．平面ABD ⊥平面BDCC ．平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ADC ⊥平面BDED ．平面ABC ⊥平面ADC ，且平面ADC ⊥平面BDE 7.两条异面直线在同一个平面上的正投影不可能是( )A ．两条相交直线B ．两条平行直线C ．两个点D ．一条直线和直线外一点8．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2，1)对称，则直线l 2恒过定点( ) A ．(0，4)B ．(0，2)C ．(－2，4)D ．(4，－2)9.下列四个命题中，正确命题的个数是( )个① 若平面//α平面β，直线//m 平面α，则//m β； ② 若平面α⊥平面γ，且平面β⊥平面γ，则//αβ； ③ 平面α⊥平面β，且l αβ=，点A α∈，A l ∉，若直线AB l ⊥，则AB β⊥；④ 直线m n 、为异面直线，且m ⊥平面α，n ⊥平面β，若m n ⊥，则αβ⊥. A.0 B.1 C.2 D. 310．如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，则C 1在底面ABC 上的射影H 必在( ) A ．直线AB 上 B ．直线BC 上 C ．直线AC 上 D ．△ABC 内部11．已知M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）|y －3x －2＝3，N ＝{(x ，y )|ax ＋2y ＋a ＝0}，且M ∩N ＝∅，则a ＝( ) A ．－6或－2 B ．－6 C ．2或－6D ．－212．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点，设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围（ ）A.31,⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.61,⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.622,⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.221,⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 二、填空题（4*5=20）13．已知两点(2,0)A -，(0,4)B ，则线段AB 的垂直平分线方程是________.14若直线1:260l ax y ++=和直线()()22:110l x a y a +-+-=平行，则a = 。

重庆南开中学高2018级高三（上）中期考试文科数学试题卷本卷共4页，满分150分. 考生注意：1.答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填在答题卡上。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与本人准考证号、姓名是否一致。

2.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，监考员将试卷和答题卡一并收回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，则（ ） {}{}|||3,,31A x x x N B x x =<∈=-<<()R A C B = A ． B ．C ．D ．{}1,0,1,2-{}1,2{}0,1,2,3{}1,0,1,2,3-2.已知直线和平面,且，则“”是“”的（ ）条件 ,a b αb α⊂a b ⊥a α⊥ A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ． 既不充分也不必要 3.已知为虚数单位，且，则在复平面上对应的点坐标为,,x y R i ∈(2)1x y i i +-=+1x yii+-（ ）A. B. C. D. (1,1)--(1,1)-11(,)22-11(,)224.已知向量、满足，，则向量与的夹角是（ ）r a r b 3a =rb =r ()a a b ⊥-r r r r a r b A.B.C.D. 6π3π23π56π5.若满足约束条件，则的最大值为（ ）,x y 20201x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩2z x y =+A ． B. C. D.1-2346.已知，且，则（ ）12log ,02()12,22x x f x x x <≤⎧⎪=⎨⎪-+>⎩()3f a =(2)f a += A ．B. C. D.516151658787.已知向量，其中，且，则的最小值为(2,1),(1,)AB x CD y =-=- 0>xy //AB CD 24x y+( )A ．B ．C ．D ．161825278.古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善织布，每天织的布都是前一天的倍，已知她天共织布尺，255问这女子每天织布多少？”根据上述的已知条件，若要织布的总尺数不少于尺，则该女子50所需织布的天数至少为（ ）A ．B ．C ．D ． 789109．函数的大致图像是（ ） ()x xxf x e e-=+A ．B ．C ．D ．10.已知某几何体的三视图如右图所示，其中正视图和左视图的上半部分均为边长为的等边2三角形，则该几何体的体积为（ ） A ． B ． 3322+π3342+πC ． D ． 332+π334+π11.已知函数，对，有，()sin()(0,(0,2f x x πωϕωϕ=+>∈x R ∀∈()()66f x f x ππ+=-且当满足时，的最小值为。

2016-2017学年重庆市南开中学高二上学期半期考试理科数学一、选择题：共12题1．双曲线x2−y23=1的渐近线方程为A.y=±3xB.y=±3xC.y=±13x D.y=±33x【答案】A【解析】本题主要考查双曲线的渐近线方程.由双曲线的方程x2−y23=1可得渐近线方程为y=±3x2．命题“∀x∈R，均有x2+sin x+1<0”的否定为A.∀∈R，均有x2+sin x+1≥0B.∃x∈R，使得x2+sin x+1<0C.∃x∈R，使得x2+sin x+1≥0D.∀x∈R，均有x2+sin x+1>0【答案】C【解析】本题主要考查全称命题与特称命题的否定.由全称命题否定的定义可知，答案为C.3．椭圆x216+y212=1的左顶点到右焦点的距离为A.2B.3C.4D.6【答案】D【解析】本题主要考查椭圆的方程与性质.由椭圆的方程x216+y212=1可得a=4，c=2，所以椭圆x216+y212=1的左顶点到右焦点的距离为a+c=64．“方程x22−n +y2n+1=1表示焦点在x轴的椭圆”是“−1<n<2”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题主要考查充分条件与必要条件、圆锥曲线的方程，考查了逻辑推理能力.由方程x22−n +y2n+1=1表示焦点在x轴的椭圆可得2−n>n+1>0,所以−1<n<1，所以当n=1时，方程x22−n +y2n+1=1表示焦点在y轴的椭圆,故答案为A.5．已知点P(−1,3)在抛物线C:y2=2px的准线上，其焦点为F，则直线PF的斜率是A.−23B.−32C.−2D.−13x=−p2【答案】B【解析】本题主要考查抛物线的方程、直线的斜率.抛物线的准线方程为x=−p2,由题意可得−p2=−1，则p=2，焦点F的坐标为(1,0),所以直线PF的斜率是k PF=3−0−1−1=−326．直线l:y=kx与双曲线C:x2−y2=2交于不同的两点，则斜率k的取值范围是A.(0,1)B.(−2,2)C.(−1,1)D.−1,1【答案】C【解析】本题主要考查双曲线的性质、直线的斜率，考查了数形结合思想.由双曲线的方程可得双曲线的渐近线方程为y=±x,又双曲线的焦点在x轴上，所以要使直线l:y=kx与双曲线C:x2−y2=2交于不同的两点，则−1<k<1,故答案为C.7．已知抛物线C:y2=6x的焦点为F，P为抛物线C上任意一点，若M(3,12)，则|PM|+|PF|的最小值是A.112B.6 C.72D.92【答案】D【解析】本题主要考查抛物线的定义，考查了逻辑推理能力.抛物线的准线为l:x=−32,过P作垂直l的垂线，垂足为N，由抛物线的定义可得PN=|PF|,所以当点P、M、N三点共线时，PM+PF=|PM|+|PN|取得最小值3+32=928．中心在原点的椭圆长轴右顶点为(2,0)，直线y=x−1与椭圆相交于M,N两点，MN中点的横坐标为23，则此椭圆标准方程是A.x22+y24=1 B.x24+y23=1 C.x23+y22=1 D.x24+y22=1【答案】D【解析】本题主要考查椭圆的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、中点坐标公式，考查了逻辑推理能力.设椭圆方程x2a2+y2b2=1(a>b>0)，由题意可得a=2，A(x1,y1),B(x2,y2)，将y=x−1代入椭圆方程可得b2+4x2−8x+4−4b2=0,则x1+x2=8b2+4=43，所以b2=2，故答案为D.9．已知圆台的下底面周长是上底面周长的3倍，母线长为3，且圆台的侧面积为12π，则该圆台的体积为A.1353π B.13π C.1333π D.135π【答案】A【解析】本题主要考查圆台的表面积与体积，考查了空间想象能力.设上底面半径为r，由题意可知，下底面半径为3r，则π×r+3r×3=12π,则r=1，则圆台的高h=32−(3−1)2=5，所以圆台的体积V=π3×12+1×3+32×5=1353π10．平行四边形ABCD的顶点A为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的中心，顶点B为双曲线的右焦点，顶点C在y轴正半轴上，顶点D恰好在该双曲线左支上，若∠ABC=45∘，则此双曲线的离心率是A.5B.5+32C.5+12D.52【答案】C【解析】本题主要考查双曲线的性质，考查了逻辑推理能力.因为平行四边形ABCD的顶点A为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的中心，顶点B为双曲线的右焦点，顶点C在y轴正半轴上，且∠ABC=45∘，所以点D的坐标为(−c,c)，因为顶点D恰好在该双曲线左支上，所以c2a2−c2b2=1,即c2(b2−a2)=b2a2,即c2c2−2a2=a2(c2−a2),即e4−3e2+1=0,所以e2=3+52=(1+52)2,e=1+5211．已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l:3x−4y=0交椭圆E于A,B两点，若AF+BF=4，点M到直线l的距离等于45，则椭圆E的焦距长为A.2B.23C.3D.4【答案】B【解析】本题主要考查椭圆的定义与性质、点到直线的距离公式，考查了逻辑推理能力与计算能力.由椭圆的对称性可知，2a=AF+BF=4，则a=2,令M(0,b),则4b5=45,则b=1，所以c= a2−b2=3,则2c=2312．已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为3，过左焦点F1(−c,0)作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长F1E交抛物线y2=4cx于P,Q两点，则|PE|+|QE|的值为A.102aB.10aC.(5+5)aD.122a【答案】A【解析】本题主要考查双曲线的双曲线的性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系，考查了逻辑推理能力与计算能力.设P(x1,y1),Q(x2,y2)，因为双曲线的离心率为3，所以c=3a,由题意可得直线F1E的方程为x=2y−3a,代入y2=4cx，即y2=43ax可得y2−46ay+12a2=0,则y1+y2=46a，则P,Q的中点M的坐标为(33a,26a),所以|OM|2=51a2,所以|ME|=|OM|2−a2=52a, 则|PE|+|QE|=2OM=102a二、填空题：共4题13．抛物线x2=−2y的准线方程为________【答案】y=12【解析】本题主要考查抛物线的方程与准线.p=1，抛物线的开口向下，所以抛物线的准线方程为y=1214．已知正四棱锥V−ABCD的底面边长为4，侧棱长为13，则它的表面积为________ 【答案】40【解析】本题主要考查空间几何体的表面积与体积，考查了空间想象能力.因为正四棱锥V −ABCD 的底面边长为4，侧棱长为 13，所以侧面的斜腰= ( 13)2−22=3,所以正四棱锥V −ABCD 的表面积S =4×12×4×3+42=4015．椭圆与双曲线有相同的焦点F 1(−c ,0),F 2(c ,0)，椭圆的一个短轴端点为B ，直线F 1B 与双曲线的一条渐近线平行，若椭圆与双曲线的离心率分别为e 1,e 2，则3e 12+e 22的最小值为________ 【答案】2 3【解析】本题主要考查椭圆与双曲线的性质、导数与函数的单调性，考查了转化思想、逻辑推理能力与计算能力.设椭圆方程x 2a 12+y 2b12=1(a 1>b 1>0)，双曲线方程x 2a 22−y 2b 22=1 a 2>0,b 2>0 ，因为椭圆的一个短轴端点为B ，直线F 1B 与双曲线的一条渐近线平行，所以b1c =b2a 2,求解可得e 2=1e 1，且0<e 1<1,令e 12=x ,则0<x <1，所以设f x =3e 12+e 22=3x +1x 、f x =3−1x 2,易得函数f x 在(0, 33)上是减函数，在( 33,1)上是增函数,当 33时，函数f x 取得最小值2 3，即3e 12+e 22的最小值为2 316．如图，抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B ，设C (72p ,0)，AF 与BC 相交于点E .若|CF |=3|AF |，且ΔACE 的面积为3，则p 的值为________【答案】2 2【解析】本题主要考查抛物线的定义，考查了逻辑推理能力与计算能力.因为C (72p ,0)，所以 CF =3p ,则ΔACE 的面积为12· CF · AE =3，所以 AE =2p ,因为|CF |=3|AF |，且|AB |=|AF |，所以 AB = AF =p ，由题意可得AB //CF ,所以 AB|CF |=|AE ||EF |=13,所以 AE =14 AF =14p =2p,则p =2 2lE B A C FO yx三、解答题：共6题17．已知圆C:x2+y2−4x−4y+4=0.(1)求圆C的圆心坐标和半径；(2)直线l过点A(4,0)、B(0,2)，求直线l被圆C截得的弦长. 【答案】(1)圆的标准方程为(x−2)2+(y−2)2=4，圆心坐标为(2,2)，半径为r=2.(2)直线l:x4+y2=1，即x+2y−4=0，圆心(2,2)到直线l的距离d=25，所以弦长=2 r2−d2=855.【解析】本题主要考查圆的标准方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了转化思想与计算能力.(1)将圆的一般方程化为标准方程，即可得到圆心坐标与半径r；(2)求出直线l的方程，求出圆心到直线l的距离d，再利用圆的垂径定理可得弦长=2 r2−d2.18．设命题p：不等式x−x2≤a对∀x≥1恒成立，命题q：关于x的方程x2−ax+1=0在R上有解.(1)若¬p为假命题，求实数a的取值范围；(2)若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数a的取值范围.【答案】命题p:x−x2在x∈[1,+∞)单调递减，∴x−x2的最大值为0,故a≥0.命题q:Δ=a2−4≥0,∴a≥2或a≤−2,(1)¬p为假命题，则a<0.(2)“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，等价于p真q假，或者p假q真，则a≥0−2<a<2或a<0a≤−2或a≥2,∴实数a的取值范围为a≤−2或0≤a<2.【解析】本题主要考查逻辑联结词、全称命题，考查了恒成立问题、逻辑推理能力.(1)由恒成立问题，求出x−x2的最大值，即可求出命题p；由Δ≥0求出命题q，由¬p为假命题，可得结论；(2)由题意可得p真q假，或者p假q真，再分这两种情况讨论求解即可.19．双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0).(1)若双曲线的一条渐近线方程为y=x且c=2，求双曲线的方程；(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为−3，求双曲线的离心率.【答案】(1)由题意，ba=1,c=2,a2+b2=c2,∴a2=b2=2，∴所求双曲线方程为x2−y2=2.(2)由题意，设A(m,n)，则k OA=33，从而n=33m，m2+n2=c2，∴A(32c,c2),将A(32c,c2)代入双曲线x2a2−y2b2=1得：3c24a2−c24b2=1,∴c23b2−a2=4a2b2,且c2=a2+b2,∴a2+b23b2−a2=4a2b2,∴3b4−2a2b2−a4=0,∴3(ba )4−2ba2−1=0,∴b2a2=1,从而e2=1+b2a2=2,∴e=2.【解析】本题主要考查双曲线的方程与性质、圆、直线与圆锥曲线的位置关系，考查了转化思想与逻辑推理能力.(1) 由题意，ba=1,c=2，求解可得结论；(2) 由题意，设A(m,n)，n=33m，m2+n2=c2，联立双曲线方程x2a2−y2b2=1，求解可得可得结论.20．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为55，且右准线方程为x=5.(1)求椭圆方程；(2)过椭圆右焦点F作斜率为1的直线l与椭圆C交于A,B两点，P为椭圆上一动点，求ΔPAB 面积的最大值.【答案】(1)ca =55,a2c=5,∴a=5,c=1，从而b2=4,所以椭圆方程为x25+y24=1.(2) 法1：右焦点F(1,0)，则直线l:y=x−1与椭圆x25+y24=1联立得：9x2−10x−15=0,设A(x1,y1),B(x2,y2)，则弦|AB|=2|x1−x2|=1659，设P(5cosθ,2sinθ)到直线d=|5cosθ−2sinθ−1|2=|3cos(θ+φ)−1|2max=42，∴SΔPAB max=12|AB|d max=12⋅1659⋅42=16109法2：设l′:y=x+m与椭圆x25+y24=1相切，联立得：9x2+10mx+5m2−10=0,∴Δ=0得：m2=9，当m=3时，即l′:y=x+3时l与l′间的距离d=42即为椭圆上动点P到直线l:y=x−1的最大距离，亦即为ΔPAB取得最大值∴SΔPAB max=12AB d max=12⋅1659⋅42=16109.【解析】本题主要考查椭圆的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系、点到直线的距离公式、弦长公式，考查了方程思想与逻辑推理能力.(1)由题意可得ca =55,a2c=5，求解可得结论；(2)法一：由题意，求出直线l的方程，联立椭圆方程，由弦长公式求出|AB|；设P(5cosθ,2sinθ)，利用点到直线的距离公式求出点P到l的距离d，结合三角函数的性质求出d的最大值，则可得结论；法二：设l′:y=x+m与椭圆x25+y24=1相切，联立，Δ=0，得m的值，即可求出l′与l的距离的最大值，同法一求出|AB|，即可求出结论.21．已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为(1,0)，A,B是抛物线上位于x轴两侧的两动点，且OA⋅OB=−4(O为坐标原点).(1)求抛物线方程；(2)证明：直线AB过定点T；(3)过点T作AB的垂线交抛物线于M,N两点，求四边形AMBN的面积的最小值.【答案】(1)抛物线方程为y2=4x.(2)设l AB:x=my+t与抛物线y2=4x联系得：y2−4my−4t=0,设A(x1,y1),B(x2,y2)，则Δ>0y1+y2=4my1y2=−4t(*),∴x1x2=y12y2216=t2，由OA⋅OB=−4得：x1x2+y1y2=−4,即t2−4t+4=0,∴t=2，∴l AB:x=my+2，故直线AB过定点T2,0.法2：设A(y124,y1)，B(y224,y2)，由OA⋅OB=−4∴y12y2216+y1y2=−4,∴y1y2=−8,又有k AB=4y1+y2，∴l AB:y−y1=4y1+y2(x−y124)，令y=0得x=−y1y24=2，所以直线AB过定点T2,0.(3)当t=2时，由(*)得:|AB|=1+m216m2+32,同理有l MN:x=−1m y+2，从而|MN|=1+1m216m2+32,∴S AMBN=12AB⋅MN=121+m216m2+32⋅1+1m216m2+32 =8(1+m2)(1+1m2)⋅(m2+2)(1m2+2)=82+(m2+1m2)⋅5+2(m2+1m2)，令u=m2+1m2(u≥2)，则∴S AMBN=8(2+u)(5+2u)，易知(2+u)(5+2u)随着u增加单调递增，故当u=2即m2=1时,∴S AMBN=8(2+u)(5+2u)min=48.【解析】本题主要考查抛物线的方程与性质、平面向量的数量积的坐标表示、弦长公式、函数的性质，考查了转化思想与方程思想、逻辑推理能力与计算能力.(1)由抛物线的焦点坐标即可求出p的值，则可得抛物线的方程；(2)法一：设l AB:x=my+t，联立抛物线方程，由韦达定理，结合条件OA⋅OB=−4求解即可；法二：设A(y124,y1)，B(y224,y2)，由OA⋅OB=−4，结合直线AB的方程，令y=0，化简可得结论；(3)由(2)，利用弦长公式求出AB，设l MN:x=−1m y+2，同理求出|MN|，则S AMBN=12AB⋅MN=82+(m2+1m2)⋅5+2(m2+1m2)，令u=m2+1m2(u≥2)，换元，再利用函数的性质求解即可.22．如图，椭圆C:x29+y2b2=1(0<b<3)的右焦点为F，P为椭圆上一动点，连接PF交椭圆于Q点，且|PQ|的最小值为83.(1)求椭圆方程；(2)若PF=2FQ，求直线PQ的方程；(3)M,N为椭圆上关于x轴对称的两点，直线PM,PN分别与x轴交于R,S，求证：|OR|⋅|OS|为定值.【答案】(1)由题意得2b2a =83，且a=3,∴b2=4，故椭圆方程为x29+y24=1.(2)设l PQ:x=my+5与4x2+9y2=36联立得：(4m2+9)y2+85my−16=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2)，则Δ>0y1+y2=−85m4m2+9 y1y2=−164m2+9,由PF=2FQ得y1=−2y2，(y1+y2)2y1y2=y1y2+2+y2y1=−12,即−20m24m2+9=−12,∴m2=14,∴l PQ:y=±2 x−5.(3)设M(x0,y0)，N(x0,−y0)，则l PM:y−y0=y0−y1x0−x1(x−x0)，令y=0得x R=−y0(x0−x1)y0−y1+x0,同理l PN:y+y0=−y0−y1x0−x1(x−x0)得x S=y0(x0−x1)−y0−y1+x0,∴OR⋅OS=−y0x0−x1y0−y1+x0⋅y0x0−x1−y0−y1+x0=x12y02−x02y12y02−y12,(#)又x129+y124=1，x029+y024=1,∴x12=9(1−y124)，∴x02=9(1−y024)代入(#)得：∴|OR|⋅|OS|=9.【解析】本题主要考查椭圆的方程与性质、平面向量、直线与圆锥曲线的位置关系，考查了转化思想与方程思想、逻辑推理能力能力与计算能力.(1) 由题意得2b2a =83，求解可得结论；(2) 设l PQ:x=my+5，联立椭圆方程，由韦达定理，结合条件PF=2FQ，即可求出结果；(3)由题意，)设M(x0,y0)，N(x0,−y0)，由直线方程的两点式分别求出直线PM,PN的方程，令y=0即得出R、S的坐标，结合椭圆方程化简OR⋅OS，即可求出结论.。

重庆南开中学2020学年度高2020级半期考试数学试题（理科）一、选择题（每小题5分，共50分） 1．已知函数xx f -=21)(，其图象是下图中的 （ ）2．不等式0)3)(2)(1(2>+-+x x x 的解集是 （ ）A ．}21|{<<-x xB ．φC ．RD ．}12|{-<>x x x 或3．若1||||,>+∈b a R b a ，则使成立的充分不必要条件是（ ） A ．1||≥+b a B ．21||21||≥≥b a 且C ．1||≥aD ．b<－14．若△ABC 的内角A 满足sinA+cosA>0, tanA －sinA<0，则角A 的取值范围是 （ ）A ．)4,0(π B ．)1,0[ C ．)43,2(ππ D ．),4(ππ5．已知b a ,是非零向量且满足b a b a b a b a 与，则⊥-⊥-)2(,)2(的夹角是 （ ）A ．6πB ．3π C ．32π D ．65π 6．数列1，n ++++++ΛΛ211,,3211,211的前n 项和为 （ ）A ．122+n nB ．12+n nC ．12++n nD ．12+n n7．在直线y=－2上有一点P ，它到点A （－3，1）和点B （5，－1）的距离之和最小，则点P 的坐标是 （ ）A ．（3，－2）B ．（1，－2）C ．（419，－2） D ．（9，－2） 8．实数x ，y 满足不等式1102200+-=⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥-≥x y y x y x y ω，则的取值范围是（ ）A ．[－1，31] B ．]31,21[-C ．),21[+∞-D ．)1,21[-9．对于0<a<1，给出下列四个不等式：（1）)11(log )1(log aa a a +<+ （2）a a aa a a a a a aaa 111111)4(;)3();11(log )1(log ++++><+>+其中成立的是 （ ）A ．（1）和（3）B ．（1）和（4）C ．（2）和（3）D ．（2）和（4）10．已知xy y x N y x ，则，且19939319*,≤+∈的最大值是 （ ）A ．559B ．560C ．561D ．562二、填空题（每题4分，共24分）11．函数)23(log 221+-=x x y 的递增区间为12．如果数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1是首项是1，公比为3的等比数列，则a n = 13．函数]2,0[|,sin |3sin )(π∈+=x x x x f 的图象与直线y=m 有且仅有两个不同的交点，则m 的取值范围是14．已知圆的方程为1)1(22=++y x ，如果直线0=++a y x 与该圆无公共点，那么实数a 的取值范围是15．方程6log 71)sin(21<<--=x x 在π的条件下解有 个.16．点O 在△ABC 内部，且满足22=++，则△ABC 面积与凹四边形ABOC的面积之比为三、解答题（共76分） 17．（13分）解关于x 的不等式：)0(,113)1(><--+a x x a18．（13分）圆822=+y x 内一点P （－1，2），过点P 的直线l 的倾斜角为α，直线l 交圆于A ，B 两点.（1）求当43πα=时，弦AB 的长； （2）当弦AB 被点P 平分时，求直线l 的方程.19．（13分）已知△ABC 的面积为3， 且满足60≤⋅≤AC AB ，设AC AB 和的夹角θ. （1）求θ的取值范围； （2）求函数θθπθ2cos 3)4(sin 2)(2-+=f 的最大值与最小值.20．（13分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=2，na n+1=S n +n （n+1）（n *N ∈）. （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设n nn s b 2=，如果对一切正整数n 都有t b n ≤，求t 的最小值.21．（12分）在沙坪坝交通拥挤地段，为了确保交通安全，规定机动车相互之间的距离m （米）与车速v （千米/小时）须遵守的关系是225001kv m ≥（其中k （米）是车身长，常数），同时规定.2k m ≥ （1）当m=2k时，求机动车的速度变化范围； （2）设机动车每小时流量2250011000kv m m k v P =+=，此时，应规定怎样的车速，每小时的机动车流量P 最大？22．（12分）数列{a n }，a 1=1，*)(3221N n n n a a n n ∈+-=+，（1）求a 2，a 3的值；（2）是否存在常数μλ,，使得数列}{2n n a n μλ++是等比数列，若存在，求出μλ,的值；若不存在，说明理由；（3）设n n n n n b b b b S n a b ++++=-+=-Λ3211,21， 证明：当.35)12)(1(62<<++≥n S n n n n 时，参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1—5 BADCB 6—10 BADDC 选解：10．22)21993()29319(9319*,≤+≤⋅⇒∈y x y x N y x 561*,561]93195.996[93195.99622≤⇒∈=⨯⨯≤∴xy N y x xy ，又，而而561=3×11×17=33×17=51×11，20,100≤≤y x⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==∴115111511733y x y x y x ，经检验或满足题意，故5611151=⨯=xy 二、填空题（每小题4分，共16分） 11．（2，4） 12．)1,(-∞ 13．)13(21-n14．),21()21,(+∞+--∞Y 15．64 16．5:4三、解答题（共74分） 17．解：0)1)(2(012113)1(<--⇔<--⇔<--+x ax x ax x x a①当，时，1220><<a a 不等式的解为)2,1(ax ∈ ②当a=2时，a 2=1，不等式的解集为φ； ③当a>2时，a 2<1，不等式的解为)1,2(ax ∈时综上，不等式的解为：①0<a<2时，)2,1(a x ∈；②a=2时，φ∈x ；③a>2时，)1,2(ax ∈.18．解：（1）当43πα=时，直线AB 方程为：01=-+y x ，圆心到直线AB 的距离为222|100|=-+，∴弦AB 的长为：30)22(822=-（2）当弦AB 被点P 平分时，PO ⊥AB ，直线l 的斜率为21，其方程为052=+-y x 19．解：（1）设△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 则由，，可得，1cot 06cos 03sin 21≤≤≤≤=θθθbc bc ∴]2,4[ππθ∈ （2）θθπθθπθ2cos 3)]22cos(1[2cos 3)4(sin 2)(2-+-=-+=f .1)32sin(212cos 32sin 2cos 3)2sin 1(+-=+-=-+=πθθθθθ31)32sin(22],32,6[32]2,4[≤+-≤∴∈-∈πθπππθππθ，Θ 即当.2)(4;3)(125min max ====θπθθπθf f 时，当时，20．解：（1）由 )1()1( )1(11n n S a n n n s na n n n n -+=-⇒++=-+两式作差得：2n;2,2 2111=∴=+=+=++n n n n n a a a a n na na ，又即 （2）由（1）易得n n n n n n n S b n n S 2)1(2)1(+==⇒+=， ∴112)2)(1(-+-+=-n n n n n b b ∴b 1<b 2=b 3>b 4>……，∴b n 最大值23,32即b b ，对一切正整数n 都有，t b n ≤即t 大于或等于b n 的最大值，∴t 的最小值是23. 21．解（1）2252500122≤∴≥=Θv kv k m ，故当22502≤<=v km 时，（千米/小时） （2）当231000225k vP v =≤时，P 是v 的一次函数，v=225，P 最大为k3250000，当k v v k kvk v P v 25000|25001|1000250010002252≤+=+=>时，， 当且仅当v=50时，P 最大为k25000， kk 325000025000>Θ∴当v=50（千米/小时）时，每小时机动车流量P 最大. 22．解：（1）10,432==a a（2）设)(2)1()1(3222121n n a n n a n n a a n n n n μλμλ++=+++++-=++可化为，即 μλλμλ---++=+n n a a n n )2(221故 ⎩⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=--=--=110321μλμλλμλ解得∴)(2)1()1(3222121n n a n n a n n a a n n n n +-=+++-+-=++可化为 又1,1 01121=-=≠+-μλ故存在a 使得数列 }{2n n a n μλ++是等比数列 （3）证明：由（1）得12122)11(-⋅+-=+-n n a n n a ∴n n a n n -+=-212故21121n n a b n n n =-+=-∵122122144441222+--=-<==n n n n n b n ∴)122122()7252()5232(12321+--++-+-+<++++=≥n n L b L b b b S n n n 时，35122321<+-+=n 现证)2()12)(1(6≥++>n n n nS n当n=2时，5445545312)12)(1(64541121>=⨯=++=+=+=，，而n n n b b S n ， 故n=2时不等式成立， 当111)1(1132+-=+>=≥n n n n n b n n 时，由得 1261 6121111 )111()4131()3121()211(321+>>++=+-=+-+Λ+-+-+->+Λ+++=n n n n n n n b b b b S n n 得，且由∵)12)(1(61++>+>n n n n n S n。

重庆南开中学高2020级高三下学期期中考试数学（理科）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知()(2)a i i +-为纯虚数，则实数a 的值是（ ） A ．1- B ．12-C ．12D ．1 2．已知集合{1,2,3}A =，{|,}B a b a A b A =+∈∈，则集合B 的子集个数为（ ） A ．8B ．16C ．32D ．643．已知曲线2()ln f x a x x =+在点(1,1)处的切线与直线0x y +=平行，则实数a 的值为（ ） A ．3-B ．1C ．2D ．34．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若612S =，25a =，则5a =（ ） A ．3- B ．1- C ．1D ．35．已知0.31.2a =，0,3log 1.2b =， 1.2log 3c =，则（ ） A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．b a c <<6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体中最．长的棱长为（ ）A ．1B 5C 6D ．227．函数2()sin cos cos 22f x x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的最小值为（ ） A ．2- B ．1- C ．0D ．128．抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，,A B 是抛物线C 上两点，且||||10AF BF +=，O 为坐标原点，若OAB △的重心为F ，则p =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．执行如图所示的程序框图，若输入的3ε=，则输出的结果为（ ）A ．511B ．1022C ．1023D ．204610．我们知道，在n 次独立重复试验（即伯努利试验）中，每次试验中事件A 发生的概率为p ，则事件A 发生的次数X 服从二项分布(,)B n p ，事实上，在无限次伯努利试验中，另一个随机变量的实际应用也很广泛，即事件A 首次发生时试验进行的次数Y ，显1()(1)k P Y k p p -==-，1,2,3k =，…，我们称Y 服从“几何分布”，经计算得1()E Y p=．由此推广，在无限次伯努利试验中，试验进行到事件A 和A 都发生后停止此时所进行的试验次数记为Z ，则11()(1)(1)k k P Z k p p p p --==-+-，2,3k =，…，那么()E Z =（ ）A ．11(1)p p -- B ．21p C ．11(1)p p +- D ．21(1)p -1l ．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 与双曲线C 的两支分别交于,A B 两点，290AF B ∠=︒，||4AB a =，则双曲线C 的离心率为（ ）A 2B 3C ．2D ．32212．已知,,,A B C D 四点均在半径为R （R 为常数）的球O 的球面上运动，且AB AC =，AB AC ⊥，AD BC ⊥，若四面体ABCD 的体积的最大值为16，则球O 的表面积为（ ）A ．32πB ．2πC ．94πD ．83π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知,a b r r 均为单位向量，且(3)(2)a b a b +⊥-r r r r ，则向量a r 与b r夹角的余弦值为______．14．已知()*nx n N x ⎛-∈ ⎪⎝⎭的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则展开式中x 的系数为_____．15．正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，122AA =，D 为棱11A B 的中点，则异面直线AD 与1CB 所成角的大小为______．16．已知定义在R 上的函数()f x 满足(2)()f x f x +=，当[1,1]x ∈-时1||()2x f x e-=-，则关于函数()f x 有如下四个结论：①()f x 为偶函数；②()f x 的图象关于直线2x =对称；③方程()1||f x x =-有两个不等实根；④12223f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；其中所有正确结论的编号______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答微博橙子辅导． （一）必考题：共60分． 17．如图，在ABC △中，1sin 3B =，点D 在边AB 上．（1）若sin()1C A -=，求sin A 的值；（2）若90CDA ∠=︒，4BD DA =，求sin ACB ∠的值．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ，AB CD P ，且22CD AB ==，22BC =90ABC ∠=︒，M 为BC 的中点．（1）求证：平面PDM ⊥平面PAM ；（2）若二面角P DM A --为30︒，求直线PC 与平面PDM 成角的正弦值．19．新型冠状病毒肺炎19COVID -疫情发生以来，在世界各地逐渐蔓延．在全国人民的共同努力和各级部门的严格管控下，我国的疫情已经得到了很好的控制．然而，每个国家在疫情发生初期，由于认识不足和措施不到位，感染确诊人数都会出现加速增长．下表是小王同学记录的某国从第一例新型冠状病毒感染确诊之日开始，微博橙子辅导连续⑧天每日新型冠状病毒感染确诊的累计人数． 日期代码x 1 2 3 4 5 6 7 8 累计确诊人数y481631517197122为了分析该国累计感染确诊人数的变化趋势，小王同学分别用两种模型：①$2y bx a =+，②$y dx c =+对变量x 和y 的关系进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，残差图如下（注：残差$i i i e y y =-）， 且经过计算得()()()8182117.3iii i i xxy y x x==--≈-∑∑，()()()818211.9iii i i zzy y z z==--≈-∑∑，其中2i i z x =，8118i i z z ==∑．（1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应该选择哪个模型？并简要说明理由； （2）根据（1）中选定的模型求出相应的回归方程；（3）如果第9天该国仍未釆取有效的防疫措施，试根据（2）中所求的回归方程估计该国第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数．（结果保留为整数）附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()() ()81821ˆi iiiix x y ybx x==--=-∑∑，$a y bx=-$．20．已知函数()3(1)lnf x x a x=-+，2()4g x x ax=-+．（1）若函数()()y f x g x=+在其定义域内单调递增，求实数a的取值范围；（2）是否存在实数a，使得函数()()y f x g x=-的图像与x轴相切？若存在，求满足条件的a的个数，请说明理由．21．已知椭圆2222:1(0)x ya ba bΓ+=>>的离心率为22，过椭圆Γ的焦点且垂直于x轴的直线被椭圆Γ2．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设点,A B均在椭圆Γ上，点C在抛物线212y x=上，若ABC△的重心为坐标原点O，且ABC△的面积为364，求点C的坐标．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为sin24πρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭C的极坐标方程为2sin cosρθθ=．（1）写出直线l和曲线C的的直角坐标方程；（2）过动点()()20000,P x y y x<且平行于l的直线交曲线C于,A B两点，若||||2PA PB⋅=，求动点P 到直线l 的最近距离． 23．[选修4—5：不等式选讲]已知函数()|1||1|2|2|f x x x x =++---．（1）若关于x 的不等式()f x a …有解，求实数a 的取值范围；（2）若不等式()||4f x x b --…对任意x R ∈成立，求实数b 的取值范围．重庆南开中学高2020级高三下学期期中考试数学（理科）答案一、选择题B C A B D C A D B A B C 二、填空题15560 30︒ ①②③ 三、解答题17．解：（1）由sin()1C A -=得2C A π-=，1sin sin()sin 2cos223B A C A A π⎛⎫=+=+== ⎪⎝⎭，由2112sin 3A -=得sin A =；（2）设4DB m =，DA m =，由1sin 3B =得CD =，BC =，AC = ABC △中，sin sin AC ABB ACB=∠，sin ACB ∠=．18．证明：（1）易知：tan tan 1CD BM DMC MAB DMC MAB CM BA ==⇒∠=∠⇒∠=∠， 90DMC AMB DM AM ∴∠+∠=⇒⊥︒①又PA ⊥Q 平面ABCD PA DM ⇒⊥② ∴由①②可得DM ⊥平面PAM ⇒平面PAM ⊥平面PDM ；（2）由（1）知二面角P MD A --的平面角即为30PMA ∠=︒，13PA MA ∴==． 取CD 中的N ，连接AN ，易得AN CD ⊥，∴直线PA NA BA 、、两两垂直， 以A 为原点，AN AB AP 、、分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 则(0,0,1)P，1,0)D -，C，M，(1,1)CP =--u u ur 2,0)MD =-u u u ur (1,1)MP =-u u u r，设平面PMD 的法向量为(,,)m x y z =u r，则由0m MP m m MD ⎧⋅=⎪⇒=⎨⋅=⎪⎩u r u u u ru r u r u u u u r，设直线PC 与平面PMD 所成角为θ，则sin 30||||CP m CP m θ⋅===⋅u u u r u r u u u r u r ，∴直线PC 与平面PMD所成角的正弦值为30． 19解：（1）选择模型①．理由如下：根据残差图可以看出，模型①的估计值和真实值相对比较接近，模型②的残差相对较大一些，所以模型①的拟合效果相对较好；（2）由（1），知y 关于x 的回归方程为$2y bx a =+，令2z x =，则$y bz a =+，由题知 1.9b ≈$， 又1(1491625364964)25.58z =+++++++=，1(481631517197122)508y =+++++++=，$ 1.55a y bz ∴=-≈$，y ∴关于x 的回归方程为$21.9 1.55y x =+；（3）估计该国第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数为$21.99 1.55155.45155y =⨯+=≈（人）．20．解：（1）1()()32a y f x g x y x a x+'=+⇒=-+-，由()()y f x g x =+单增得0y '≥恒成立，分离参数得2132321111x x x x a x x+-+-≤=++恒成立，令2321()1x x m x x +-=+，(0)x >，则22244()(1)x x m x x ++'=+，()0m x '∴>，()m x 在(0,)+∞上单调递增，()(0)1m x m >=-，1a ∴≤-；（2）设2()()()3(1)ln 4n x f x g x x a x x ax =-=-+-+-，则1()32a n x x a x+'=--+， 设函数()y n x =的图像与x 轴相切于0x x =处，则()()2000000003(1)ln 401320n x x a x x ax a n x x a x ⎧=-+-+-=⎪+⎨'=--+=⎪⎩①②由②得：[]000002(1)(1)13201x a x a x a x x x -+-+--+=-=⇒=或012a x +=，当01x =时，由①得：2a =③；当012a x +=时，由①得：2000022ln 40x x x x ---=，令2()22ln 4h x x x x x =+--，则：()2(ln )h x x x '=-，2(1)()x h x x-''=， ()h x '∴在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增，min ()(1)20h x h '==>， ()h x ∴在(0,)+∞单调递增，又(1)50h =-<Q ，()()222640h e e e =-->， ()0h x ∴=只有一解0x ，且()201,x e ∈，()20211,21a x e =-∈-④，由③④可知：满足条件的实数a 有两个：12a =，()221,21a e ∈-．21解：（1）由题意易知：2212a a b b a=⎧=⎪⎪⇒⇒⎨⎨=⎪⎩⎪=⎪⎩椭圆22:12x y Γ+=； （2）()22222122202:x y m y mty t AB x my t⎧+=⎪⇒+++-=⎨⎪=+⎩设，()22820m t ∆=-+>①设()11,A x y ，()22,B x y ，则由题知()12222C mty y y m ∴=-+=+，()()12122422C tx x x m y y t m -=-+=-++=⎡⎤⎣⎦+ 由C 点在抛物线212y x =上得：2222214222221mt t m m m t -⎛⎫=⋅⇒=- ⎪+++⎝⎭②12t ⎛⎫<- ⎪⎝⎭ ()()()12211221123333222ABC ABO S S x y x y my t y my t y t y y ==-=+-+=+△△==⇒=③ 将②代入③整理得：2[(21)]4(21)301t t t t t +-++=⇒=-或32-，相应的22m =或1，所以1,2C ⎛⎫±⎪⎝⎭或(2,1)C ±． 22．解：（1）直线:2l y x =+，曲线2:C y x =；（2）过P 平行于l 的直线的参数方程为002222x x t y y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数） 联立曲线2:C y x =得：22000122022t y t y x ⎛⎫+-+-= ⎪⎭，001220(*)2x y ∆=-+>，所以()22212000000||||2221PA PB t t y x x y y x ⋅==-=-=⇒=-，∴点P 的到直线l 的距离：2000032112822y y x y d -+-+==≥， 当005412x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（满足(*)式）时取“=”∴点P 的到直线l 的最近距离为1128．23．解，（1）4,244,12()22,114,1x x x f x x x x ≥⎧⎪-≤<⎪=⎨--≤<⎪⎪-<-⎩min ()4f x ∴=-，即4a ≥-（2）由（1）可得()y f x =的图象如下要使()||4f x x b ≤--恒成立，当函数||4y x b =--的一段经过点(2,4)时满足要求， 此时6b =-，结合图象可知，当6b ≤-时满足条件．。

2018-2019学年上学期高二第一次月考试卷理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2018·静宁县一中]若数列的前4项分别是12，13-，14，15-，则此数列的一个通项公式为（ ） A ．()11n n-- B ．()1nn- C ．()111n n +-+ D ．()11nn -+2．[2018·吉安联考]已知等差数列{}n a ，3710a a +=，88a =，则公差d =（ ） A ．1B ．12C ．14D ．1-3．[2018·大庆实验]已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且1a ，3a ，2a 成等差数列，则公比q 的值为（ ） A ．12-B ．2-C ．1或12-D ．1-或124．[2018·伊春二中]已知ABC △中，1a =，b ，45B =︒，则A 等于（ ） A ．150︒B ．90︒C ．60︒D ．30︒5．[2018·陆川中学]若ABC △的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足()224a b c +-=，且60C =︒，则ab 的值为（ ） A ．34B ．23C ．32D ．436．[2018·安康期末]已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，3627S S +=，则24a a +=（ ） A ．3B ．6C ．9D ．127．[2018·黑龙江模拟]在ABC △中，3B π=，2AB =，D 为AB 的中点，BCD △，则AC 等于（ ） A ．2BCD8．[2018·北京十二中]已知{}n a 是等比数列，22a =，514a =，则()12231n n a a a a a a n ++++∈*N 的取值范围是（ ） A ．328,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．[)8,16C ．[)12,16D ．1632,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭9．[2018·铁人中学]定义12nnp p p ++ 为n 个正数1p ，2p ， ，n p 的“均倒数”．若已知数列{}n a 的前n 项均倒数为121n +，又12n n a b +=，则12231011111b b b b b b +++= （ ） A ．511B ．522C ．1011D ．111210．[2018·山东联考]我国古代著名的数学家刘徽著有《海岛算经》．内有一篇：“今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直．从前表却行百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合．从后表却行百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合．问岛高及去表各几何?”（参考译文．．．．：假设测量海岛，立两根标杆，高均为5步，前后相距1000步，令前后两根标杆和岛在同一直线上，从前标杆退行123步，人的视线从地面(人的高度忽略不计)过标杆顶恰好观测到岛峰，从后标杆退行127步，人的视线从地面过标杆顶恰好观测到岛峰，问岛高多少？ 岛与前标杆相距多远?）（丈、步为古时计量单位，三丈=5步）．则海岛高度为（ ） A ．1055步B ．1255步C ．1550步D ．2255步11．[2018·百校联盟]已知数列{}n a 的通项公式为1221,2 1,2n n nn a n -⎧⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎪⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩为奇数为偶数，则数列{}37n a n +-的前2n 项和的最小值为（ ） A ．514-B ．1854-C ．252-D ．1058-12．[2018·凌源二中]在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，若sin cos 6A A π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，4b c +=，则ABC △周长的取值范围是（ ）A ．[)6,8B ．[]6,8C ．[)4,6D ．(]4,6第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2018·樟树中学]数列{}n a 满足前n 项和232n S n n =-+，则数列n a 的通项公式为_____________．14．[2018·德州一中]在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos cos b C c B +=，则ab=__________． 15．[2018·北师附中]在ABC △中，若22tan tan a Ab B=，则ABC △的形状为___________．16．[2018·黑龙江实验]已知数列{}n a 满足11a =，()131n n a a n +=+∈*N ，则数列{}n a 的前n 项和n S =______．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）[2018·大庆实验]记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知110a =，324S =， （1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最大值．18．（12分）[2018·张家界期末]在ABC △中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，已知3c =，3C π=，sin 2sin B A =．（1）求a ，b 的值； （2）求ABC △的面积．19．（12分）[2018·双流中学]已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，向量()2,n S =a ，()1,12n =-b 满足条件⊥a b ， （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n nnc a =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．20．（12分）[2018·闽侯二中]已知ABC△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c 且cos22cos cos0+++=，a C c A C a b（1）求角C的大小；（2）若4sin△面积的最大值．=，求ABCb B21．（12分）[2018·辽宁实验]如图，一艘船由A岛以v海里/小时的速度往北偏东10︒的B岛形式，计划到达B岛后停留10分钟后继续以相同的速度驶往C岛．C岛在B岛的北偏西65︒的方向上，C岛也在A岛的北偏西20︒的方向上．上午10时整，该船从A岛出发．上午10时20分，该船到达D处，此时测得C岛在北偏西35︒的方向上．如果一切正常，此船何时能到达C岛？（精确到1分钟）22．（12分）[2018·哈尔滨六中]数列{}n a 中，n S 为前n 项和，且()2n n S na n n =+∈+N ， （1）求证：{}n a 是等差数列； （2）若22a =，122n nn n n b a a ++=，n T 是{}n b 的前n 项和，求n T ．理科数学 答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C【解析】由数列的前4项分别是12，13-，14，15-，可知：第n 项的符号为()11n +-，其绝对值为11n +． 因此此数列的一个通项公式为()111n n a n +-=+，故选C ．2．【答案】A【解析】已知等差数列{}n a ，3710a a +=，88a =，则375210a a a +==，55a ∴=， 故85853a a d -=-=，1d ∴=，故选A ． 3．【答案】C【解析】由题意知：3122a a a =+，21112a q a a q ∴=+，1q ∴=或12q =-，故答案选C ．4．【答案】D【解析】由正弦定理可知sin sin a bA B=1sin A =，所以1sin 2A =，因为b a >，所以B A >，所以045A <<︒，解得30A =︒．故选D ．5．【答案】D【解析】()224a b c +-=，整理可得：22242c a b ab +=++，60C =︒，由余弦定理：222222c o s c a b C a ba b a b =+-=+-，由此解得43ab =，故选D ． 6．【答案】B【解析】由题意361113361591827S S a d a d a d +=+++=+=，∴123a d +=， ∴()24111132422236a a a d a d a d a d +=+++=+=+=⨯=．故选B ． 7．【答案】B【解析】由题意可知在BCD △中，3B π=，1BD =，∴BCD △的面积11sin 122S BC BD B BC =⨯⨯⨯=⨯⨯=，解得3BC =，在ABC △中由余弦定理可得：2222212cos 2322372AC AB BC AB BC B =+⋅⋅⋅-+⋅-==，∴AC B ． 8．【答案】A【解析】设数列{}n a 的公比为q ，由题可知22a =，514a =，即141=21=4a q a q ⎧⎪⎨⎪⎩，解得1=41=2a q ⎧⎪⎨⎪⎩，128a a = ，∴数列{}1n n a a +是以8为首项，14为公比的等比数列， 则122311814321113414n n n na a a a a a +⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦+++==- ⎪⎝⎭- ， ()12231n n a a a a a a n +∴+++∈*N 的取值范围为328,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故选A ．9．【答案】B 【解析】由已知得12121n n a a a n =++++ ，∴()1221n n a a a n n S +++=+= ，2n ≥时，141n n n a S S n ==--﹣，验证知当1n =时也成立，∴41n a n =-，∴122n n a b n +==，∴()11111122141n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪⋅++⎝⎭． ∴12231011111111111115114223101141122b b b b b b ⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ．故答案为B ． 10．【答案】B 【解析】如图，设岛高x 步，与前标杆相距y 步，则有512312351271271000x y x y =+=++⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得1255x =步，即海岛高度为1255步，故选B ． 11．【答案】D【解析】设37n n b a n =+-，则21232111112223111122n n n nS b b b b ⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎪⎪-⎢⎥ ⎪- ⎪⎪⎝⎭⎪⎢⎥⎪⎪⎝⎭⎣⎦=++++=++⎨⎬⎪⎪--⎪⎪⎪⎪⎭⎩()123...214n n ++++- 21912132n n n ⎡⎤⎛⎫=-+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 又22131********n n n ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，当4n ≥时，213169248n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 是关于n 的增函数，又1912n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦也是关于n 的增函数，81012S S S ∴<<< ，818516S =-，61058S =-，4454S =-，2132S =-，6842S S S S ∴<<<，6S ∴最小，61058S =-，故选D ． 12．【答案】A【解析】∵sin cos 6A A π⎛⎫++ ⎪⎝⎭1sin sin 2A A A ∴+-=，可得：sin 3A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ()0,A ∈π ，4,333A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，233A ππ∴+=，解得3A π=， ∵4b c +=，∴由余弦定理可得()22222cos 2163a b c bc A b c bc bc bc =+-=+--=-， ∵由4b c +=，b c +≥04bc <≤，∴2416a ≤<，即24a ≤<． ∴ABC △周长[)46,8L a b c a =++=+∈．故选A ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】0,124,2n n a n n =-≥⎧=⎨⎩【解析】∵数列{}n a 前n 项和232n S n n =-+，∴当2n ≥时，()()22132131224n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-+----+=-⎣⎦，又∵当1n =时，110214a S ==≠⨯-，故0,124,2n n a n n =-≥⎧=⎨⎩．14．【解析】cos cos b C c B +=，利用正弦定理化简可得：sin cos sin cos B C C B B +，即()sin B C B +，()sin sin B C A += ，sin A B ∴=，利用正弦定理化简可得a =，a b∴= 15．【答案】等腰三角形或直角三角形【解析】原式可化为22sin sin cos sin cos sin 2sin 2sin cos sin sin cos A A B A B A B B A B B A=⇒=⇒=， 22A B ∴=或22A B +=π，解得A B =或2A B π+=． 故ABC △的形状为等腰三角形或直角三角形． 故答案为等腰三角形或直角三角形．16．【答案】()113234n n +-- 【解析】由11a =，131n n a a +=+，可设()13n n a t a t ++=+，即132n n a a t +=+，可得21t =，即12t =，则111322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 可得数列12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为32，公比为3的等比数列， 即有113322n n a -+=⋅，即131322n n a --=⋅， 可得数列{}n a 的前n 项和()()2113111333323224n n n S n n -+=++++--=- ． 故答案为()113234n n +--．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）122n a n =-；（2）211n S n n =-+，当56n =或时，30n S 最大为．【解析】（1）因为110a =，324S =，根据等差数列的通项公式得到122n a n =-．（2）根据等差数列的n 项和公式得到211n S n n =-+，当56n =或时，30n S 最大为．18．【答案】（1）a =b =（2． 【解析】（1）因为sin 2sin B A =，由正弦定理可得2b a =，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得222942a a a =+-，解得23a =，所以a =2b a ==（2）ABC △的面积11sin 22S ab C === 19．【答案】（1）2n n a =；（2）()222n nn T n +=-∈+N ． 【解析】（1）∵⊥a b ，∴122n n S +=-，当1n =时，112a S ==；当2n ≥时，12n n n n a S S -=-=，而112a S ==满足上式，∴2n n a =．（2）∵2n nn c =，∴1211212222n n n n n T --=++⋅⋅⋅++，两边同乘12，得231112122222n n n n n T +-=++⋅⋅⋅++，两式相减得：211111212222221n n n n n n T +++=++⋅⋅⋅+-=-， ∴()222n nn T n +=-∈+N ． 20．【答案】120︒；（2【解析】（1）cos 22cos cos 0a C c A C a b +++= ，22cos 2cos cos 0a C c A C b ∴++=，由正弦定理，22sin cos 2sin cos cos sin 0A C C A C B ++=得，()2cos sin sin 0C A C B ∴++=，2cos sin sin 0C B B +=即， 0180B ︒<<︒ ，sin 0B ∴≠，1cos 2C ∴=-，120C ∴=︒． （2）sin sin b C c B ==由正弦定理，得，由余弦定理，(222222cos1203a b ab a b ab ab =+-︒=++≥得，4ab ∴≤．a b =（当且仅当时等号成立）1sin 2ABC S ab C ∴==≤△ 21．【答案】该船于11时18分到达岛．【解析】在ACD △中，30CAD ∠=︒，135ADC ∠=︒， 根据正弦定理得，sin sin CD AD CAD ACD =∠∠，即sin sin CAD CD AD ACD ∠=∠． 在BCD △中，30BCD ∠=︒，105CBD ∠=︒， 根据正弦定理得，sin sin sin DB BC CD DCB BDC CBD ==∠∠∠， 即sin sin sin DCB BDC DB BC CD CBD∠+∠+=∠． 所以()sin sin sin sin sin DCB BDC CAD DB BC AD CBD ACD ∠+∠∠+=∠∠， 即()()(sin 30sin 45sin 30sin 30sin 45sin 3011sin105sin15sin 302DB BC AD AD AD ︒+︒︒︒+︒︒+===︒︒︒，从而，此船行驶DB 和BC 共需(201+分钟．故由A 岛出发至到达C 岛全程需要50+分钟．即该船于11时18分到达岛．（说明：11时19分，也正确．）22．【答案】（1）见解析；（2）()1121n n -+． 【解析】（1）证明：()21n n S na n n =+≥，()()()12112n n n a n a n -∴-=--≥， ()()1111n n n a na n +∴-=-≥，相减得：()()()11121n n n n n a n a na n a +----=--， ()()()()1121112n n n n a n a n a n -+∴-=-+-≥，112n n n a a a -+∴=+， ∴{}n a 为等差数列．（2）解：112=1S a + ，11a ∴=，22a =，1d =， n a n ∴= ()()121112221n n n n n b n n n n -+∴==-+⋅⋅+， ()()111111111441222121n n n n T n n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⋅++⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ．。

重庆市南开中学2018—2018学年度第一学期高三年级月考数学试题（理科）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合=-==-==B A x y y B x y x A 则},1|{},1|{（ ）A ．RB ．（1，+∞）C ．]1,(-∞D ．),1[+∞2．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是 （ ）A ．5B ．4C ．3D ．23．以椭圆114416922=+y x 的右焦点为圆心，且与双曲线116922=-y x 的渐近线相切的圆的方程是（ ）A ．091022=+++x y xB ．091022=+-+x y xC ．091022=--+x y xD ．091022=-++x y x4．若第一象限内的A （x ，y ）在直线2x+3y=6上，则x y 3223log log -有（ ）A ．最大值23B ．最大值1C ．最小值23 D ．最小值15．已知命题p ，q ，r 满足“p 或q ”真，“┐p 或r ”真，则（ ） A ．“q 或r ”假 B ．“q 或r ”真 C ．“q 或r ”假 D ．“q 且r ”真 6．)7625tan(ππ+的值是（ ）A ．76tanπ B ．－76tanπ C ．76cotπ D ．76cotπ-7．在==∆ABC 则若中,21,（ ）A ．2+B ．+2C ．AC AB 3132+ D ．AC AB 3231+ 8．如果数列}{n a 满足：首项⎩⎨⎧+==+,,2,,2,111为偶数为奇数n a n a a a nn n 那么下列说法中正确的是（ ）A ．该数列的奇数项 ,,,531a a a 成等比数列，偶数项 ,,,642a a a 成等差数列B ．该数列的奇数项 ,,,531a a a 成等差数列，偶数项 ,,,642a a a 成等比数列C ．该数列的奇数项 ,,,531a a a 分别加4后构成一个公比为2的等比数列D ．该数列的偶数项 ,,,642a a a 分别加4后构成一个公比为2的等比数列9．已知椭圆12422=+y x 的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且倾角为45°的直线l 交椭圆于A ，B 两点，对以下结论：①2ABF ∆的周长为8；②38||=AB ；③椭圆上不存在相异两点关于直线l 对称；其中正确的结论有（ ）个A ．3B ．2C ．1D ．010．定义在[0，1]上的函数)(x f 满足)(21)5(,1)1()(,0)0(x f x f x f x f f ==-+=，且当=≤≤<≤)20081(),()(,102121f x f x f x x 则时 （ ）A ．21B ．161 C ．321D ．641第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填写在答题卡相应位置上. 11．︒⋅︒15cos 165sin12．函数)32lg(2+-=x x y 的单调递增区间为 13．不等式11log 2≥-xx 的解集为 14．设函数)(),1()1()(,)0(,1)0(,0)0(,1)(2x g y x f x x g x x x x f =--=⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=且若的反函数为=-==--)4(),(11g y x g y 则 .15．设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥--10201x y x ay x ，目标函数⎩⎨⎧==+=01,3y x y x z 当时z 取最大值，则a 的取值范围是16．已知数列=-++-+-+-+-==∞→-n n n n n S aa a a a a a a a a S a lim ,11111,2121216884422则 三、解答题：本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（13分）平面内给定三个向量)1,4(),2,1(),2,3(=-==（1）求|223|-+（2）若)2//()(k -+，求实数k 的值18．（13分）已知函数]2,6[,cos 2)62sin()62sin()(2ππππ-∈--++=x x x x x f （1）化简函数)(x f 的解析式；（2）求函数)(x f 的最大值及相应的自变量x 的取值.19．（13分）如图，为学校现有的一三角形空地，∠A=60°，|AB|=2，|AC|=p ，（单位：米）.现要在空地上种植吊兰，为了美观，其间用一条形石料DE 将空地隔成面积相等的两部分（D 在AB 上，E 在AC 上）（1）设|AD|=x ，|AE|=y ，求用x 表示y 的函数关系式； （2）指出如何选取D 、E 的位置可以使所用石料最省.20．（13分）已知)(,,x f R b R a ∈∈为奇函数，且.424)2(ba a x f xx +-+⋅= （1）求)(x f 的反函数)(1x f -及其定义域；（2）设)()(],32,21[,1log )(12x g x f x k x x g ≤∈+=-若恒成立，求实数k 的取值范围.21．（12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C ，通径长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形.（1）求椭圆的方程；（2）过点Q （－1，0）的直线l 交椭圆于A ，B 两点，交直线x =－4于点E ，点Q 分所成比为λ，点E 分所成比为μ，求证λ+μ为定值，并计算出该定值.22．（12分）已知c c x x f ()(2+=为实常数），且)1()]([2+=x f x f f ，其图象和y 轴交于A 点；数列}{n a 为公差为)0(>d d 的等差数列，且d a =1；点列),,2,1))((,(n i a f a B i i i =（1）求函数)(x f 的表达式；（2）设i p 为直线i AB 的斜率，1+i i i B B q 为直线的斜率，求证数n n n p q b -=仍为等差数列；（3）已知m 为一给定自然数，常数a 满足dd m m a m m 2121)21()1(++<<+，求证数列n b n n a b c 2=有唯一的最大项.重庆市南开中学2018—2018学年度第一学期高三年级月考数学试题（理科）参考答案一、选择题： DCBBB DCDAC 二、填空题 11．4112．),1(+∞ 13．)0,1[- 14．－1 15．),0(+∞ 16．1 三、解答题：17．解（1）)8,1()2,8()4,2()6,9(223-=--+=-+ 65|223|=-+∴c b a（2）)2,34(),4()2,3(++=+=+k k k k k )2,7(2=- 且)2//()(k -+ 80)2(7)34(2=⇒=+-+∴k k k 18．解（1）12cos 2cos 212sin 232cos 212sin 23)(---++=x x x x x x f 1)62sin(212cos 2sin 3--=--πx x x（2）]1,1[)62sin(]65,2[62]2,6[-∈-∴-∈-∴-∈ππππππx x x则当)(3262x f x x 时即πππ==-有最大值119．解（1）由题意xpy p y x =⇒︒⨯⨯⨯=︒⨯⨯⨯60sin 2212160sin 21由)21(,,1≤≤=≤⇒≤x xpy x p y 所以（2）p xp x x p x x p x DE -+=︒-+=222222260cos 2||令2222221)(,||],4,1[,xp t p t p t p t DE t t x -='+-+=∈=由知， tp t 2+在（0，p ）单减，),(+∞p 单增当2,24,44||,42p y x t p p DE p ===+-≥≤即此时时 故D 点与B 点重合，E 为AC 中点； 当p y p x p t p DE p ===≥<≤,,,||,412即此时时，故D ，E 两点均在距离A 点p 米处当10<<p 时，p y x t p p DE ===+-≥,1,11||22即此时 故D 点为AB 中点，E 点与C 点重合20．解：（1）由.222)(,424)2(ba a x fb a a x f xx x x +-+⋅=+-+⋅=得 )(x f 是R 上的奇函数，.1,0122)0(==+-=∴a ba f 得 又)1()1(f f =- 1=∴b .11log )(,1212)(21x xx f x f xx -+=+-=∴-得 由此得.11,0112<<-∴>-+=y yyx故反函数)(1x f - 揎义域为（－1，1）（2）当)()(,]32,21[1x g x fx ≤∈-时恒成立，222)1(11,1log 11log k x x x k x x x +≤-++≤-+∴即由2221)(,1,0,01,01],32,21[,01x x h x k k x x x k x -=-≤∴>>->+∴∈>+令且 则.350,95,95)32()(2min ≤<≤∴==k k h x h 故 21．解（1）由条件得⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==122122b a ab a b ，所以方程1422=+y x （2）易知直线l 斜率存在，令),4(),,(),,(),1(:02211y E y x B y x A x k y l -+=由016480448)41(14)1(2222222>+=∆=-+++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=k k x k x k y x x k y222122214144,418kk x x k k x x +-=+-=+ 由⎩⎨⎧-=+=+-+=---⇒=21212211)1)(1()1(),1(),1(y y x x y x y x λλλλ即由⎩⎨⎧-=-+=+--+=---⇒=)()2)(4()4(),4(),4(021011022101y y y y x x y y x y y x EB AE μμμμ即由（1）44)2(,112121++-=++-=x x x x μλ由 )4)(1(8)(52)4)(1()1)(4()4)(1(222121222121+++++-=+++++++-=+∴x x x x x x x x x x x x μλ 将222122214144,418kk x x k k x x +-=+-=+代入有 0)4)(1(413284088)4)(1(841404188222222222222=+++++---=++++-+--=+∴x x k k k k x x k k k k μλ22．解：（1）c c x c x f x f f ++=+=222)()()]([1)(1)()1()1(222222+=∴=∴++=++=+x x f c cc x c x x f（2）易得A 点为（0，1）d i d a a a a a f a f q id a a a a a f p i i i i i i i i i i i i i )12()()(,1)(221112+=-=--====-=∴+++d b b d n p q b n n n n n =-+=-=∴-1,)1( }{n b ∴也为等差数列（3）当)(,N k k m n m n ∈+=≥设时121122112************=++⋅++≤++⋅++++=++⋅++<++==+++m m m m m m k m k m m m n n a n n ab a bc cd b n b n n n nnn c ∴从第m 项开始递减当m n <时，设)1,(≥∈-=k N k k m n==+++nn b n b n n n ab a bc c 2211111)1(1)1(2112112122=+⋅-++--++-≥+⋅+-+-=+⋅++>++m mk k m k k m m m k m k m m m n n a n n d n c ∴从1到m 项递增， n c ∴有唯一最大项m c。

重庆市2024—2025学年度上期高2026级半期考试数学试题（答案在最后）（满分150分，考试时间120分钟）注意事项1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线l 经过点()3,1，()2,0，则直线l 的倾斜角为（）A.π4 B.π3C.2π3 D.3π4【答案】A 【解析】【分析】由两点坐标结合斜率公式直接求出斜率，再求出倾斜角，然后由点斜式写出直线方程.【详解】设直线l 的倾斜角为θ.直线l 经过点()3,1，()2,0，所以01123l k -==-，所以tan 1θ=,又0πθ≤<，所以π4θ=.故选：A.2.若直线210x ay ++=与直线220x y +-=互相垂直，则实数a 的值是（）A.1 B.－1 C.4D.－4【答案】B 【解析】【分析】直接利用两直线垂直时系数的关系求解即可.【详解】由题可知，220a +=，解得1a =-.故选：B3.如图，在空间四边形ABCD 中，设,E F 分别是BC ，CD 的中点，则1()2AD DB DC →→→++=（）A.AD →B.FA →C.AE →D.EF→【答案】C 【解析】【分析】根据平面向量的平行四边形法则得出2DB DC DE →→→+=，再由平面向量的三角形加法运算法则即可得出结果.【详解】解：由题可知，,E F 分别是BC ，CD 的中点，根据平面向量的平行四边形法则，可得2DB DC DE →→→+=，再由平面向量的三角形加法法则，得出：11()222AD DB DC AD DE AD DE AE →→→→→→→→++=+⨯=+=.故选：C.4.平面内点P 到()13,0F -、()23,0F 的距离之和是10，则动点P 的轨迹方程是（）A.221259x y += B.2212516x y +=C.221259y x += D.2212516y x +=【答案】B 【解析】【分析】求出,,a b c 即可得出动点P 的轨迹方程.【详解】由题意，平面内点P 到()13,0F -、()23,0F 的距离之和是10，∴动点P 的轨迹E 为椭圆,焦点在轴上,3,210c a ==,解得：5a =，∴22216b a c =-=，∴轨迹方程为:2212516x y +=，故选:B.5.已如12,F F 是椭圆2212449x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一点，1234PF PF =，则12PF F 的面积等于（）A.24B.26C.D.【答案】A 【解析】【分析】由定义可得12214PF PF a +==，结合条件求出12,PF PF 即可求出面积.【详解】由椭圆方程可得焦点在y 轴上，7a =，b =，5c ==，由椭圆定义可得12214PF PF a +==，又1234PF PF =，则可解得128,6PF PF ==，12210F F c == ，满足2221212PF PF F F +=，则12PF PF ⊥，121212186242PF F PF P S F ⋅=⨯⨯∴==.故选：A.6.我国汉代初年成书的《淮南子毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则是四邻矣.”这是我国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例，体现了传统文化中的数学智慧.已知从点()5,3-发出的一束光线，经x 轴反射后，反射光线恰好平分圆：()()22115x y -+-=的圆周，则反射光线所在的直线方程为（）A.2310x y -+=B.2310x y --=C.3210x y -+=D.3210x y --=【答案】A 【解析】【分析】求得点()5,3-关于x 轴的对称点的坐标与圆的圆心坐标，由两点式可求反射光线所在直线方程.【详解】由()()22115x y -+-=，可得圆心(1,1)C ，由反射定律可知，点()5,3-关于x 轴的对称点()5,3--在反射光线上，又反射光线恰好平分圆：()()22115x y -+-=的圆周，所以反射光线过(1,1)C ，由直线的两点式方程可得反射光线所在直线方程为113151y x --=----，即2310x y -+=.故选：A.7.点P 是圆C ：()()22332x y -+-=上一动点，过点P 向圆O ：221x y +=作两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PAOB 面积的最大值为（）A.B. C.D.【答案】D 【解析】【分析】将四边形PAOB 的面积表示为S =||PO 的最大值即可.【详解】由圆()()22:332C x y -+-=为，可得圆心为(3,3)，由22:1O x y +=，可得圆心(0,0)O ，半径为1，连接PO ，则在PAO 中，||PA ==，所以四边形PAOB 的面积122||1||2PAO S S PA PA ==⨯⨯⨯== 所以||PO 最大时，四边形PAOB 面积的最大值，因为||CO ==，所以max ||||PO CO ==，所以四边形PAOB =故选：D.8.设A ，B 分别为椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右顶点，M 是C 上一点，且::3:5:7MA MB AB =，则C 的离心率为（）A.13B.182C.11D.143【答案】D 【解析】【分析】由题意，根据余弦定理和同角的商数关系可得tan 11MA MAB k ∠==，tan 13MB MBA k ∠==-，设()00,M x y ，则22MA MBb k k a ⋅=-，得2245143b a =，结合离心率的概念即可求解.【详解】在MAB △中，由22237511cos 23714MAB +-∠==⨯⨯，得14sin MAB ∠=，所以tan 11MA MAB k ∠==，由22257313cos 25714MBA +-∠==⨯⨯，得sin MBA ∠=，所以tan 13MB MBA k ∠==-，设()00,M x y ，则200022000MA MBy y y k k x a x a x a⋅=⋅=+--，又2200221x y a b +=，∴()2222002b y x a a =--，∴22MA MB b k k a⋅=-，又451113143MA MBk k ⎛⎫⋅=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭，∴2245143b a =，∴143e ==.故选：D.【点睛】关键点点睛：关键在于求得22MA MB b k k a ⋅=-，进而得2245143b a =，从而求得离心率，求解离心率问题常常需得到或构造,,a b c 的齐次式求解.二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知椭圆C 的中心为坐标原点，焦点12F F 、在x 轴上，短轴长等于2，焦距为，过焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆C 于P 、Q 两点，则下列说法正确的是（）A.椭圆C 的方程为2214x y += B.椭圆C的离心率为2C.1PQ =D.23PF =【答案】ABC 【解析】【分析】求出,,a b c 的值，可判断AB 选项的正误；设点1F为椭圆的左焦点，x =将代入椭圆方程，可求得||PQ 的长，可判断C 选项的正误；利用椭圆的定义可判断D 选项的正误.【详解】对于椭圆C，由已知可得222b c =⎧⎪⎨=⎪⎩1,2b c a ===，.对于A 选项，因为椭圆的焦点在x 轴上，故椭圆的方程为2214xy +=，故A 对；对于B选项，椭圆的离心率为2c e a ==，故B 正确；对于C 选项，设点1F为椭圆的左焦点，易知点1(F ，将x =代入椭圆方程可得12y =±，故||1PQ =，故C 正确；对于D 选项，111|||22|P PQ F ==，故212|17|2||42a PF PF =-=-=，故D 错误.故选：ABC.10.已知直线l ：10kx y -+=和圆M ：()()22124x y -+-=，则下列选项正确的是（）A.直线l 恒过点()0,1B.圆M 与圆C ：221x y +=有三条公切线C.直线l 被圆M 截得的最短弦长为D.圆M 上恰有4个点到直线l 的距离等于32，则474733k ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】ACD 【解析】【分析】根据定点的特征即可求解可判断A ，根据两圆的位置关系即可求解可判断B ，根据垂直时即可结合圆的弦长公式求解可判断C12<，求解即可判断D.【详解】对于A ，由直线l 的方程10kx y -+=，可知直线l 恒经过定点(0,1)P ，故A 正确；对于B ，由圆()()22124x y -+-=的方程，可得圆心(1,2)M ，半径2r =，由221x y +=，可得圆心(0,0)C ，半径为1，又||MC ==2121-<<+，所以圆M 与圆221x y +=相交，圆M 与圆C 有两条公切线，故B 错误；对于C ，由||PM =，根据圆的性质，可得当直线l 和直线PM 垂直时，此时截得的弦长最短，最短弦长为=，故C 正确；对于D ，当圆M 上恰有4个点到直线l 的距离等于32，则圆心M 到直线l ：10kx y -+=的距离小于12，12<，整理得23830k k -+<，解得4433k +<<，故D 正确.故选：ACD.11.如图，点P 是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的表面上一个动点，则（）A.当P 在平面11BCC B 上运动时，三棱锥1P AA D -的体积为定值43B.当P 在线段AC 上运动时，1D P 与11A C 所成角的取值范围是ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.若F 是11A B 的中点，当P 在底面ABCD 上运动，且满足//PF 平面11B CD 时，PF 5D.使直线AP 与平面ABCD 所成的角为45°的点P 的轨迹长度为2π42+【答案】AB 【解析】【分析】对A ：由1AA D △的面积不变，点P 到平面11AA D D 的距离不变，求出体积即可；对B ：以D 为原点，建立空间直角坐标系，设(),2,0P x x -，则()1,2,2D P x x =-- ，()112,2,0A C =-，结合向量的夹角公式，可判定B 正确；对C ：设(),,0P m n ，求得平面11CB D 的一个法向量为()1,1,1n =--，得到()2216FP m =-+ C 错误.对D ：由直线AP 与平面ABCD 所成的角为45︒，作PM ⊥平面ABCD ，得到点P 的轨迹，可判定D 正确.【详解】对于A ：1AA D △的面积不变，点P 到平面11AA D D 的距离为正方体棱长，所以三棱锥1P AA D -的体积不变，且1111142223323P AA D AA D V S AB -=⋅=⨯⨯⨯⨯= ，所以A 正确；对于B ：以D 为原点，DA ，DC ，1DD 所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系，可得()12,0,2A ，()0,0,2D ，()10,2,2C ，设(),2,0P x x -，02x ≤≤，则()1,2,2D P x x =-- ，()112,2,0A C =-，设直线1D P 与11A C 所成角为θ，则111111111cos cos ,D P A C D P A C D P A C θ⋅===，因为011x ≤-≤，当10x -=时，可得cos 0θ=，所以π2θ=；当011x <-≤时，1cos 2θ==，由π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ32θ≤<，所以异面直线1D P 与11A C 所成角的取值范围是ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以B 正确；对于C ，由()12,2,2B ，()10,0,2D ，()0,2,0C ，()2,1,2F ，设(),,0P m n ，02m ≤≤，02n ≤≤，则()12,0,2CB = ，()10,2,2CD =- ，()2,1,2FP m n =---设平面11CB D 的一个法向量为 =s s ，则11220220n CD b c n CB a c ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 取1a =，可得1b =-，1c =-，所以()1,1,1n =--，因为//PF 平面1B CD ，所以()()2120FP n m n ⋅=---+=，可得1n m =+，所以FP =，当1m =时，等号成立，所以C 错误.对于D ：因为直线AP 与平面ABCD 所成的角为45°，由1AA ⊥平面ABCD ，得直线AP 与1AA 所成的角为45°，若点P 在平面11DCC D 和平面11BCC B 内，因为145B AB ∠=︒，145D AD ∠=︒，故不成立；在平面11ADD A 内，点P 的轨迹是12AD =；在平面11ABB A 内，点P 的轨迹是122AB =；在平面1111D C B A 时，作PM ⊥平面ABCD ，如图所示，因为45PAM ∠=︒，所以PM AM =，又因为PM AB =，所以AM AB =，所以1A P AB =，所以点P 的轨迹是以1A 点为圆心，以2为半径的四分之一圆，所以点P 的轨迹的长度为12π2π4⨯⨯=，综上，点P 的轨迹的总长度为π42+D 错误；故选：AB.【点睛】方法点拨：对于立体几何的综合问题的解答方法：（1）立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动态角的范围等问题，解决方法一般根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；（2）对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设；（3）对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知空间的量()6,2,1a = ，()2,,3b x =，若()a b a -⊥ ，则x =______.【答案】13【解析】【分析】利用空间向量的坐标表示及数量积公式计算即可.【详解】因为()a b a -⊥ ，所以()0a b a -=，所以20a a b -=，又因为()6,2,1a = ，()2,,3b x = ，所以3641(1223)0x ++-++=，解得13x =.故答案为：13.13.设b 为实数，若直线y x b =+与曲线x =有公共点，则实数b 的取值范围是______.【答案】2⎡⎤-⎣⎦【解析】【分析】曲线x =表示是以原点为圆心，2为半径的半圆，直线y x b =+是一条斜率为1的直线，画出图象，结合图象，即可得出答案.【详解】由x =可得()2240x y x +=≥，即x =表示以原点为圆心，2为半径的半圆，直线y x b =+是一条斜率为1的直线，()2240x y x +=≥与y 轴交于两点分别是()0,2A ，()0,2B -，当点()0,2A 在直线y x b =+上时2b =；当直线y x b =+与()2240x y x +=≥2=，所以b =(舍)或b =-所以直线y x b =+与曲线x =有公共点，实数b满足2b -≤≤.实数b的取值范围为2⎡⎤-⎣⎦.故答案为：2⎡⎤-⎣⎦.14.我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．如：若实数,x y 满足228130x y x +-+=，则x y +的最小值为______，______．【答案】①.4-②.13+【解析】【分析】利用直线和圆的位置关系可得x y +的最小值，把转化为点(),x y到直线10x +-=的距离与它到()1,0A 距离比值的2倍，结合图形可得答案.【详解】由228130x y x +-+=得()2243x y -+=，令x y t +=，则直线x y t +=与圆()2243x y -+=有公共点，所以圆心到直线x y t +=的距离为d =≤44t ≤≤+所以x y +的最小值为4-2=可以看作点(),x y到直线10x +-=的距离与它到()1,0A 距离比值的2倍，设过点()1,0A 的直线与圆相切于点(),P x y.设直线方程为()1y k x =-，由()()22143y k x x y ⎧=-⎪⎨-+=⎪⎩，得()()2222182130k x k x k +-+++=，()()()22228241130k k k ∆=+-++=，解得2k =±，结合图形可知2k =，把2k =代入联立后的方程可得切点(P ，代入可得13+.故答案为：4613+.【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是把目标式转化为点(),x y到直线10x +-=的距离与它到()1,0A 距离比值的2倍，数形结合可得答案.四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图所示，在几何体ABCDEFG 中，四边形ABCD 和ABFE 均为边长为2的正方形，//AD EG ，AE ⊥底面ABCD ，M 、N 分别为DG 、EF 的中点，1EG =.（1）求证：//MN 平面CFG ；（2）求直线AN 与平面CFG 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得直线MN 的方向向量31,,12MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，求得平面CFG 的法向量1n ，然后利用10n MN ⋅= ，证明1MN n ⊥，从而得出//MN 平面CFG ；（2）求得直线AN 的方向向量()1,0,2AN = ，由（1）知平面CFG 的法向量1n，结合线面角的向量公式即可得解.【小问1详解】因为四边形ABCD 为正方形，AE ⊥底面ABCD ，所以AB ，AD ，AE 两两相互垂直，如图，以A 为原点，分别以AB ，AD ，AE方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系A xyz -，由题意可得0,0,0，()2,0,0B ，()2,2,0C ，()0,2,0D ，()0,0,2E ，()2,0,2F ，()0,1,2G ，30,,12M ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,0,2N ，则()0,2,2CF =- ，()2,1,2CG =-- ，31,,12MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 设平面CFG 的一个法向量为1 =1,1,1，则11n CFn CG ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ，故11·=0·=0n CF n CG ⎧⎪⎨⎪⎩ ，即11111220220y z x y z -+=⎧⎨--+=⎩，则111112y z x z =⎧⎪⎨=⎪⎩，令12z =，得()11,2,2n =，所以()1331,2,21,,111221022n MN ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅-=⨯+⨯-+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以1MN n ⊥，又MN ⊄平面CFG ，所以//MN 平面CFG .【小问2详解】由（1）得直线AN 的一个方向向量为()1,0,2AN = ，平面CFG 的一个法向量为()11,2,2n =，设直线AN 与平面CFG 所成角为θ，则111sin cos ,3n AN n AN n AN θ⋅=====⋅ ，所以直线AN 与平面CFG所成角的正弦值为3.16.已知点()2,3-在圆22:860C x y x y m +-++=上．（1）求该圆的圆心坐标及半径长；（2）过点()1,1M -，斜率为43-的直线l 与圆C 相交于,A B 两点，求弦AB 的长．【答案】（1）圆心坐标为()4,3-，半径长为2（2）165【解析】【分析】（1）先根据点在圆上求出参数m ，再将圆的方程化为标准方程，即可得出圆心及半径；（2）先写出直线方程，求出圆心到直线的距离，再根据圆的弦长公式l =.【小问1详解】因为点()2,3-在圆22:860C x y x y m +-++=上，所以4916180m +--+=，解得21m =，所以该圆的标准方程为()()22434x y -++=，所以该圆的圆心坐标为()4,3-，半径长为2；【小问2详解】因为直线l 过点()1,1M -，斜率为43-，所以直线l 的方程为()4113y x +=--，即4310x y +-=，则圆心()4,3-到直线l 的距离65d ==，所以165AB ===.17.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点1,2M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1F 、2F 是椭圆C 的左、右两个焦点，12F F =，P 是椭圆C 上的一个动点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点P 在第一象限，且1214PF PF ⋅≤ ，求点P 的横坐标的取值范围．【答案】（1）2214x y +=（2）(．【解析】【分析】（1）依题意得焦点坐标，再利用椭圆的定义求得a ，进而求得b 即可；（2）设(),(0,0)P x y x y >>，从而可求得()2212134PF PF x y ⋅=--+≤ ，再把2214x y =-代入求解即可.【小问1详解】由已知得2c =c ∴=，()1F ∴，)2F ，142MF +==，同理2432MF =，1224a MF MF ∴=+=，2a ∴=，1b ∴==，∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=．【小问2详解】设(),(0,0)P x y x y >>，且2214x y +=，则()1,PF x y =- ，)2,PF x y =- ，()2212134PF PF x y ∴⋅=--+≤ ．由椭圆方程可得()2213144x x --+-≤，整理得239x ≤，所以0x <≤，即点P 的横坐标的取值范围是(．18.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面是边长为2的等边三角形，12CC =，D ，E 分别是线段AC ，1CC 的中点，1C 在平面ABC 内的射影为D .（1）求证：1A C ⊥平面BDE ；（2）若点F 为棱11B C 的中点，求点F 到平面BDE 的距离；（3）若点F 为线段11B C 上的动点（不包括端点），求平面FBD 与平面BDE 夹角的余弦值的取值范围.【答案】（1）证明过程见解析（2）4（3）1,22⎛ ⎝⎭【解析】【分析】（1）作出辅助线，得到BD ⊥平面11ACC A ，BD ⊥1AC ，又平行四边形11ACC A 为菱形，故1AC ⊥1AC ，又1//DE AC ，从而得到线面垂直，（2）建立空间直角坐标系，由（1）知，1AC ⊥平面BDE ；故平面BDE的一个法向量为(10,3,A C =- ，利用点到平面的距离向量公式求出答案；（3）设111,01C F C B λλ=<<，求出,Fλ，求出平面FBD 的法向量，结合平面BDE 的一个法向量为(10,3,A C =-，从而得到1cos ,A C m =，换元后，得到11cos ,,22AC m ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ .【小问1详解】连接11,C D AC ，因为1C 在平面ABC 内的射影为D ，所以1C D ⊥平面ABC ，因为,BD AC ⊂平面ABC ，所以1C D ⊥BD ，1C D ⊥AC ，因为ABC V 为边长为2的等边三角形，D 是线段AC 的中点，所以BD ⊥AC ，因为1C D AC D = ，1,C D AC ⊂平面11ACC A ，所以BD ⊥平面11ACC A ，因为1A C ⊂平面11ACC A ，所以BD ⊥1AC ，因为112C C AC ==，四边形11ACC A 为平行四边形，所以平行四边形11ACC A 为菱形，故1AC ⊥1AC ，因为D ，E 分别是线段AC ，1CC 的中点，所以1//DE AC ，故1AC ⊥DE ，因为DE BD D ⋂=，,DE BD Ì平面BDE ，所以1AC ⊥平面BDE ；【小问2详解】由（1）知，1,,C D AC BD 两两垂直，以D 为坐标原点，1,,BD DA C D 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，因为1C D ⊥AC ，D 是线段AC 的中点，所以由三线合一可得112C C AC ==，又2AC =，故1ACC △为等边三角形，(()()11110,,0,1,0,,,,,22A C B C F B ⎛- ⎝，由（1）知，1AC ⊥平面BDE ；故平面BDE的一个法向量为(10,3,A C =-，点F 到平面BDE 的距离11334DF A C d A C⋅== ；【小问3详解】点F 为线段11B C 上的动点（不包括端点），设111,01C F C B λλ=<<，(,Fs t ，则()),,0s t λ=，故,s tλ==，故,Fλ，设平面FBD 的法向量为(),,m x y z =，则())(),,0,,,0mDB x y z m DF x y z x y λλ⎧⋅=⋅==⎪⎨⋅=⋅=+=⎪⎩，解得0x =，令1y =，则33z =-，故30,1,3m ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，又平面BDE的一个法向量为(10,3,A C =-，故111cos ,A C m A C m A C m ⋅==⋅ ，令()32,3q λ-=∈，则1cos ,A C m ==，因为111,32q⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故2111124443q ⎛⎫⎛⎫-+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，13,22⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭，平面FBD 与平面BDE 夹角的余弦值取值范围是1,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】立体几何二面角求解方法：（1）作出辅助线，找到二面角的平面角，并结合余弦定理或勾股定理进行求解；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量相关公式求解.19.已知点A ，B 是平面内不同的两点，若点P 满足PAPBλ=(0λ>，且1λ≠)，则点P 的轨迹是以有序点对(),A B 为“稳点”的λ—阿波罗尼斯圆.若点Q 满足QA QB μ⋅=(0μ>)，则点Q 的轨迹是以(),A B 为“稳点”的μ—卡西尼卵形线.已知在平面直角坐标系中，()2,0A -，(),B a b (2a ≠-）.（1）当2a =，0b =时，若点P 的轨迹是以(),A B 为“稳点”阿波罗尼斯圆，求点P 的轨迹方程；（2）在(1)的条件下，若点Q 在以(),A B 为“稳点”的5—卡西尼卵形线上，求OQ (O 为原点）的取值范围；（3）卡西尼卵形线是中心对称图形，且只有1个对称中心，若0b =，λ=试判断是否存在实数a ，μ，使得以(),A B 为“稳点”—阿波罗尼斯圆与μ—卡西尼卵形线都关于同一个点对称，若存在，求出实数a ，μ的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）221240x y x +-+=（2）[]1,3（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】(1)由题意可知PA PB =，设：(),P x y=，整理计算即可求解；(2)设(),Q x y ，由定义得到()222242516x y x ++=+，从而有2240y x =-≥，求得209x ≤≤，再由OQ =(3)由0b =，λ=(),A B 为“稳点”一阿波罗尼斯圆的方程：()22244240x y a x a +-++-=，再结合对称性及QA QB μ⋅=得到μ—卡西尼卵形线，关于点2,02a -⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，从而得到2222a a -+=推出矛盾，即可解决问题.【小问1详解】由已知()2,0A -，()2,0B 且PA PB=(),P x y=，∴()()22222222++=-+x y x y ，整理得：221240x y x +-+=，∴点P 的轨迹方程为：221240x y x +-+=.【小问2详解】由(1)知()2,0A -，()2,0B ，设(),Q x y，由5QA QB ⋅=，5=，所以()222242516x y x ++=+，2240y x =-≥，整理得42890x x --≤，即()()22190x x +-≤，所以209x ≤≤，OQ ==209r ≤≤，得13OQ ≤≤，即OQ 的取值范围是[]1,3.【小问3详解】若0b =，则以(),A B 为“稳点”—阿波罗尼斯圆的方程为()()222222x y x a y ⎡⎤++=-+⎣⎦，整理得()22244240x y a x a +-++-=，该圆关于点()22,0a +对称.由点()2,0A -，(),0B a 关于点2,02a -⎛⎫ ⎪⎝⎭对称及QA QB μ⋅=，可得μ—卡西尼卵形线关于点2,02a -⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，令2222a a -+=，解得2a =-，与2a ≠-矛盾，所以不存在实数a ，μ，使得以(),A B 一阿波罗尼斯圆与μ—卡西尼卵形线都关于同一个点对称.。

重庆市第十一中学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷一、单选题1．直线l 过(,),(,)()P b c b Q a c a a b ++≠两点，则直线l 的斜率为（）A ．a b a b+-B ．a b a b-+C ．1D ．1-2．若平面α的法向量为()4,4,2n =--，方向向量为(),2,1x 的直线l 与平面α垂直，则实数x =（）A ．4B ．4-C ．2D ．2-3．圆心为(1,1)-且过原点的圆的一般方程是（）A ．22220x y x y ++-=B ．22220x y x y +-+=C ．22220x y x y +--=D ．222210x y x y ++-+=4．椭圆22221x y a b +=和2222(0,0,,0)x y k a b a b k a b+=>>≠>一定具有（）A ．相同的离心率B ．相同的焦点C ．相同的顶点D ．相同的长轴长5．如图，三棱锥O ABC -中,,OA a OB b OC c === ，点N 为BC 中点，点M 满足2AM MO =，则MN =（）A ．111233a b c-- B ．111322a b c-++C ．211322a b c-++D ．121332a b c-+6．若圆221:4C x y +=与圆222:()()1C x a x a -++=有公切线，则实数a 的范围是（）A ．[,]22-B ．,⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭C ．(,1][1,)-∞-+∞D ．[1,1]-7．设椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆E 上，若离心率e 满足12PF e PF =，则椭圆E 的离心率e 的取值范围为（）A ．(1⎤⎦B ．20,2⎛ ⎝⎦C ．⎫⎪⎪⎣⎭D ．)1,18．已知22221122121216(,,,R)x y x y x x y y +=+=∈，且12120x x y y +=，则代数式221212()(x x y y +++-的最小值为（）A ．B ．18C ．12D ．8二、多选题9．已知直线1:10l ax y ++=，直线2:10l x ay +-=，则下列说法正确的是（）A ．若12l l //，则1a =或1a =-B ．若12l l ⊥，则0a =C ．直线1l 过定点()0,1-D ．若直线2l 与坐标轴围成的三角形的面积为12，则1a =10．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为22322()x y x y +=，则下列说法正确的是（）A ．四叶草曲线有四条对称轴B ．设P 为四叶草曲线上一点，且在第一象限内，过P 作两坐标轴的垂线，则两垂线与两坐标轴围成的矩形面积的最大值为18C ．四叶草曲线上的点到原点的最大距离为14D ．四叶草曲线的面积小于π411．已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为1，动点M 满足()1,,AM xAB y AD z AA x y z =++∈R，则（）A ．当10,2x y z ===时，则三棱锥M ABD -的体积为112B ．当11,2x y z ===时，直线AM ⊥平面1A BD C ．当1,12x y z ===时，直线//AM 平面1C BD D ．当1x y z ++=且23AM =时，点M 的轨迹长度为2π3三、填空题12．已知直线：1:210l x y +-=与直线2:2430l x y ++=，则这两直线之间的距离为．13．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且△PAD 是正三角形，E 是PC 的中点，则异面直线DE 与PB 所成角的余弦值是．14．已知P ，Q 为椭圆2212516x y+=上的动点，直线PQ 与圆22():21M x y -+=相切，切点A 恰为线段PQ 的中点，当直线PQ 斜率存在时点A 的横坐标为．四、解答题15．已知ABC V 的顶点坐标分别为(2,4)A -，(1,3)B -，(2,6)C ．(1)求边AB 的垂直平分线l 的方程；(2)求三角形ABC 的外接圆方程．16．在直三棱柱111ABC A B C -中，△ABC 为等腰直角三角形，1,,2AB AC AB AC AA AB ⊥==，点M 在侧棱1CC 上，且满足114CM CC =．(1)求证：1BM A C ⊥；(2)求直线1BA 与平面ABM 所成的角的正弦值．17．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的长轴长为3M 在椭圆E 上．(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线y kx =E 相交于不同的两点P 和Q ，当PQ =时，求实数k 的值．18．如图1所示的图形中，四边形ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，PAD △和BCQ △均为直角三角形，90PDA QCB ∠=∠=︒，22PD AD CQ ===，现沿AD 和BC 将PAD △和BCQ △进行翻折，使//PD QC （,PD QC 在平面ABCD 同侧），如图2（或图3）(1)证明：//BQ 平面PAD ；(2)如图2，若PD ⊥平面ABCD ，求点Q 到平面PBD 距离；(3)如图3，若二面角P AD B --为120︒时，判断平面PBQ 与平面PBD 是否垂直？19．已如椭圆222:1(0)2x y E b b +=>的焦点在x 轴，离心率22e =，点P 在直线2x =上．(1)求实数b 的值；(2)设F 是椭圆E 的右焦点，若Q 是椭圆E 上一点，且满足0PF QF ⋅=，设直线PQ 和直线OQ（O 为坐标原点）的斜率分别为12,k k ，证明：1212k k ⋅=-；(3)若点P 的纵坐标为12，过P 作直线l 交椭圆E 于不同的两点M 和N ，在线段MN 上取点H （异于,M N 两点）满是PM HMPN HN=，证明：点H 在定直线上．。