重庆南开中学2020学年度高2020级高三数学理科半期考试卷

2020届重庆市南开中学高三第五次教学质量检测考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2|230A x x x =--<,{}1,0,1,2,3B =-,则A B =I （ ）A ．{}1,0,1-B ．{}1,0-C ．{}0,1D ．{}0,1,2【答案】D【解析】化简集合{}2|230A x x x =--<,根据交集定义即可求得答案. 【详解】Q {})(2|2301,3A x x x =--<=-又Q {}1,0,1,2,3B =-∴ {}0,1,2A B =I故选:D. 【点睛】本题考查了集合的交集,在集合运算比较复杂时,可以使用数轴来辅助分析问题,属于基础题. 2．已知随机变量()()22,0X N σσ>:，若()40.7P X <=，则()0P X <=（ ）A ．0.2B ．0.3C ．0.5D ．0.7【答案】B【解析】由随机变量()()22,0X N σσ>:,当()40.7P X <=,结合()20.5P X <=,即可求得()240.2P X <<=,根据正态分布的对称性,即可求得答案.【详解】Q 随机变量()()22,0X N σσ>:当()40.7P X <=又Q ()20.5P X <=,可得()240.2P X <<= 根据正态分布的对称性可得: ()020.2P X <<=∴ ()00.50.20.3P X <=-=故选:B. 【点睛】本题主要考查正态分布的对称性,意在考查对基础知识的掌握与应用,属于基础题. 3．已知0.2log a π=,0.2b π=,0.2c π=,则（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．a c b << D ．b c a <<【答案】C【解析】因为0.2log 0a π=<,0.21b π=>,由0.2c π=得:01c <<,即可求得答案. 【详解】Q 根据0.2log y x =图像可知:0.2log 0a π=<又Q 0.21b π=>,根据0.2xy =图像,由0.2c π=∴ 01c <<综上所述,a c b <<. 故选:C. 【点睛】本题考查比较数值大小,这类大小比较一般是借助中间值,与中间值比较后可得它们的大小关系. 4．2016年1月6日，中国物流与采购联合会正式发布了中国仓储指数，中国仓储指数是反映仓储行业经营和国内市场主要商品供求状况与变化趋势的一套指数体系，如图所示的折线图是2019年甲企业和乙企业的仓储指数走势情况.根据该折线图，下列结论中不正确的是（ ）A ．2019年1月至4月甲企业的仓储指数比乙企业的仓储指数波动大B ．甲企业2019年的年平均仓储指数明显低于乙企业2019年的年平均仓储指数C ．两企业2019年的最大仓储指数都出现在4月份D ．2019年7月至9月乙企业的仓储指数的增幅高于甲企业 【答案】D【解析】先对图表数据分析处理,再结合简单的合情推理,对每个选项逐一判断即可得到答案. 【详解】对于A,从图可以看出, 2019年1月至4月甲企业的仓储指数比乙企业的仓储指数波动大,故A 结论正确;对于B,从图可以看出,甲企业2019年的年平均仓储指数明显低于乙企业2019年的年平均仓储指数,故B 结论正确;对于C,从图可以看出,两企业2019年的最大仓储指数都出现在4月份,故C 结论正确; 对于D,从图可以看出,2019年7月至9月乙企业的仓储指数的增幅低于甲企业,故D 结论错误. 故选:D. 【点睛】本题考查了折线图,掌握折线图相关知识是解题关键,考查了分析能力,属于基础题.5．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为45，且5342a a a =+，则2a =（ ） A ．6 B ．9 C ．12 D ．15【答案】A【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ,由等比数列的前n 项和公式()111n n a q S q-=-和等比数列通项公式11n n a a q -=,结合已知即可求得答案.【详解】Q 5342a a a =+根据等比数列通项公式11n n a a q -=∴ 4231112a q a q a q =+∴ 22q q =+ 即(2)(1)0q q -+=解得:2q =或1q =-(舍去)Q 等比数列{}n a 的前4项和为45根据等比数列的前n 项和公式()111n n a q S q-=-可得()4141451a q S q-==-,解得13a =故: 126a a q == 故选:A. 【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式,等比数列的前n 项和公式的应用.解题关键是掌握等比数列前n 项和公式,考查了计算能力,属于中档题 6．若1sin 43π⎛⎫α-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ） A ．29- B ．19 C ．79D ．89【答案】C 【解析】由1sin 43π⎛⎫α-= ⎪⎝⎭,可得1sin 43πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,根据2cos 212sin 24ππαα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即可求得答案. 【详解】Q 1sin 43π⎛⎫α-= ⎪⎝⎭,可得1sin 43πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭Q 227cos 212sin 12499ππαα⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q 7sin 2cos 229παα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭故选: C. 【点睛】本题考查了诱导公式及二倍角的余弦公式,解题的关键是根据已知条件选用余弦的二倍角公式来解决问题. 7．()()4221x x x -+-的展开式中x 项的系数为（ ）A ．9-B ．5-C ．7D ．8【答案】A【解析】将()()4221x x x -+-化简为:2444(1)(1)2(1)x x x x x --+--,写出4(1)x -二项展开式的通项公式(4)14(1)r r r r T C x-+=⋅-,即可求得答案. 【详解】Q ()()42244421(1)(1)2(1)x x x x x x x x -+---+-=-4(1)x -二项展开式的通项公式(4)14(1)r r r r T C x -+=⋅- Q 24(1)x x -中不含x 项,无需求解.Q 4(1)x x --中含x 项,即当4r =时(44444)(1)x C x x --⋅⋅=-- Q 42(1)x -中含x 项,即当3r =时(43)34328(1)C x x -⋅=--∴ ()()4221x x x -+-的展开式中x 项9x -故选:A. 【点睛】本题考查求二项式展开式中常数项,解题关键是掌握二项展开式的通项公式,考查分析能力和计算能力,属基础题.8．数列:1,1,2,3,5,8,13,⋯称为斐波那契数列,是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例而引入,故又称为“兔子数列”.该数列前两项均为1,从第三项开始,每项等于其前相邻两项之和,某同学设计如图所示的程序框图,当输入正整数()3n n ≥时,输出结果恰好为“兔子数列”的第n 项,则图中空白处应填入（ ）A ．b a b =+B ．b a c =+C ．a b c =+D ．c a c =+【答案】B【解析】由数列:1,1,2,3,5,8,13,⋯可得数列-12n n n a a a -=+,()3n n ≥.结合程序框图即可得出答案. 【详解】Q 由数列:1,1,2,3,5,8,13,⋯∴ 可得数列-12n n n a a a -=+,()3n n ≥结合程序框图可得空白处为:b a c =+ 故选:B. 【点睛】本题考查斐波那契数列的理解和运用,解题关键是能够理解程序框图,考查了分析能力,属于基础题. 9．随机变量X 的分布列如下表所示,在()0E X >的前提条件下,不等式20x x a ++>对x R ∀∈恒成立的概率为（ ）X1-1PaabA ．112 B ．14C ．13D ．12【答案】B【解析】根据112233()E X x p x p x p =++,则()a X E b =-+,可得0a b -+> .根据1231p p p ++= 得21a b +=.要保证不等式20x x a ++>对x R ∀∈恒成立,需满足140a -<,即可求得答案. 【详解】Q 112233()E X x p x p x p =++∴ ()a X E b =-+,结合()0E X >可得0a b -+>根据1231p p p ++=得21a b +=故0021a b a b a b ≥⎧⎪≥⎪⎨-+>⎪⎪+=⎩ 解得:103a ≤< Q 要保证不等式20x x a ++>对x R ∀∈恒成立,需满足140a -<解得:14a >则不等式20x x a ++>对x R ∀∈恒成立的概率为:11134143-=故选:B. 【点睛】本题考查利用古典概型求解概率、离散型随机变量的分布列和数学期望的求解问题,熟练掌握求几何型概率的方法是解题关键,属于基础题.10．已知双曲线C :()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为(),0F c ,若存在过点F 的直线l 与双曲线的右支交于不同的两点,与双曲线的一条渐近线交于第一象限内的点A ,且AF c =,则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ）A ．(1,3⎤⎦ B ．()1,2 C ．)2,2⎡⎣ D ．()2,+∞【答案】B【解析】根据题意画出其几何图像,设AOF θ∠=,根据双曲线的一条渐近线交于第一象限内的点A ,且AF c =则1802AFO θ︒∠=-,BOM θ∠=,若存在过点F 的直线l 与双曲线的右支交于不同的两点,需保证BOM AFO ∠<∠,根据双曲线的渐近线为by x a =±,则tan b aθ=,即可求得离心率范围. 【详解】根据题意画出其几何图像:设AOF θ∠=,根据双曲线的一条渐近线交于第一象限内的点A ,且AF c =∴ 1802AFO θ︒∠=-,BOM θ∠=若存在过点F 的直线l 与双曲线的右支交于不同的两点,需保证BOM AFO ∠<∠∴BOM AFO ∠<∠,则1802θθ︒<- ∴ 60θ︒<根据双曲线的渐近线为by x a =±,则tan b aθ= ∴3ba<Q 根据双曲线C 的离心率21c b e a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭∴ ()221132b e a ⎛⎫<+=+= ⎪⎝⎭Q 根据双曲线C 的离心率1e >∴ 12e <<故选:B. 【点睛】本题考查了求双曲线离心率的范围问题,解题关键是根据已知条件画出其几何图像,数形结合.考查分析能力和计算能力,属于中档题.11．已知定义在区间[)1,+∞上的函数()2,121,222x x f x x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩,若函数()()kg x f x x =-有无穷多个零点,则实数k 的取值范围是（ ） A ．()1,2 B ．(]2,4 C ．(]2,8 D ．[]4,8【答案】C【解析】因为定义在区间[)1,+∞上的函数()2,121,222x x f x x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩,画出其函数图像,求函数()()k g x f x x=-零点个数,即求()kf x x =交点个数,即可求得实数k 的取值范围.【详解】Q 求函数()()kg x f x x =-零点个数, 即求()y f x =与k y x=交点个数 因为定义在区间[)1,+∞上的函数()2,121,222x x f x x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩令24x <≤,则211()2222xx f x f ⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭令48x <≤,则411()2224xx f x f ⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭L L画出8y x =和2y x =,()2,121,222x x f x x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩图像:∴ 由图像可知实数k 的取值范围在(]2,8时,()kf x x=交点个数是无穷多个. 故选:C. 【点睛】本题考查了分段函数和方程零点问题.解题关键是画出其函数图像,结合函数图像,将函数的求零点问题转化图像交点问题,考查了分析能力和理解能力,属于中档题.12．已知椭圆C :()222210x y a b a b +=>>的左焦点为(),0F c -,上顶点为A ,3直线FA 与抛物线E :24y cx =交于M ,N 两点,则MA NA +=（ ）A ．3aB ．5aC ．3aD ．10a【答案】D【解析】设点(),M M M x y ,(),N N N x y ,由题意可知3FA k =故)3M N MA x N x A +=+,设MN 的中点坐标为()00,x y ,由中点坐标公式和点差法即可求得答案. 【详解】设点(),M M M x y ,(),N N N x yQ 由题意可知3FA k =∴ )3M N MA x N x A +=+， 设MN 的中点坐标为()00,x y ，由中点坐标公式: 0022M N M N x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩Q 24M M y cx =┄①,24N N y cx =┄②由①-②,点差法可得:023y c =，即023y c =， 又Q FA :)3y x c =+,故05x c =， ∴ 0210M N x x x c +==， ∴103MA NA a +==. 故选:D. 【点睛】本题考查求椭圆方程与抛物线方程,解题关键是掌握椭圆和抛物线的相关知识,和熟练使用点差法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.二、填空题13．曲线()21xy x e =-在点()0,1-处的切线方程为__________.【答案】1y x =-【解析】利用切线的斜率是函数在切点处导数,求出切线斜率,再利用直线方程的点斜式,即可求出切线方程. 【详解】Q ()21x y x e =-∴ ()221x x y e x e '=+-∴函数()21x y x e =-在0x =处的切线斜率为1，又Q 切点坐标为()0,1-，∴切线方程为1y x =-．故答案为:1 y x=-．【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解切线的方程,其中解答中准确求得函数的导数,合理利用导数的几何意义求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.14．设实数x,y满足约束条件26024020x yx yx y+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩,则yzx=的取值范围是__________.【答案】17, 44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】作出不等式组所表示的可行域,yzx=可看作是可行域上的点与原点()0,0O两点的斜率,结合图像即可求得yzx=的取值范围.【详解】根据实数x,y满足约束条件26024020x yx yx y+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩,作出不等式组所表示的可行域,如图:由260240x yx y+-=⎧⎨-+=⎩解得:85145xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即814,55A⎛⎫⎪⎝⎭则74 OAk=由26020x yx y+-=⎧⎨--=⎩解得:8323xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即82,33B⎛⎫⎪⎝⎭则14 OBk=Q yz x=可看作是可行域上的点与原点()0,0O 两点的斜率 ∴ y z x =的取值范围是:17,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故答案为: 17,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查线性规划问题,关键是根据所给的约束条件准确地画岀可行域和目标函数.在平面区域中,求线性目标函数的最优解,要注意分析线性目标函数所表示的几何意义,从而确定目标函数在何处取得最优解.15．用0,1,2,3,4,5这六个数字组成一个无重复数字的六位数,要求偶数互不相邻0和5必须相邻,则满足条件的六位数的个数为__________.（用数字作答） 【答案】60【解析】由题意可知用0,1,2,3,4,5这六个数字组成一个无重复数字的六位数,要求偶数互不相邻0和5必须相邻,将数字0和5捆绑在一起,按05和50两种次序和数字1,3进行排列,数字2,4插空处理.【详解】数字0和5捆绑在一起,按50次序和数字1,3进行排列,数字2,4插空处理满足此条件的六位数的个数为:223336A A ⋅=数字0和5捆绑在一起,按05次序和数字1,3进行排列,数字2,4插空处理满足此条件的六位数的个数为:223336A A ⋅=当05排在首位不符合题意,此时排列个数为:222312A A ⋅=故:满足条件的六位数的个数为:36+361260-= 故答案为:60. 【点睛】本题考查排列的简单应用.在排列的过程中,一般我们要注意:特殊元素优先排,相邻元素捆绑排这样一个原则.16．已知梯形ABCD 中,2BC AD =,AB AD CD ==,若平面内一点P 满足：0PB PC ⋅=u u u r u u u r,PB xPA yPC =+u u u r u u u r u u u r ,其0x >,0y >,则x y +的最小值为__________.【答案】3【解析】画出其几何图像,由0PB PC ⋅=u u u r u u u r知,点P 的轨迹是以BC 为直径的圆,设PB 与AC 交于点Q ,PB PQ λ=u u u r u u u r ,故x y PQ PA PC λλ=+u u u r u u u r u u u r ,A ,Q ,C 三点共线知1x yλλ+=,可得:x y λ=+,结合图像即可求得x y +的最小值. 【详解】 画出其几何图像:Q 由0PB PC ⋅=u u u r u u u r知,点P 的轨迹是以BC 为直径的圆,又0x >,0y >,∴ 点P 只能在劣弧AC 上运动（不含A ,C 两点）设PB 与AC 交于点Q ,PB PQ λ=u u u r u u u r∴x y PQ PA PC λλ=+u u u r u u u r u u u r,∴A ,Q ,C 三点共线知1xyλλ+=,可得:x y λ=+又Q 而PBPQλ=,结合图形知: 当点P 运动至距AC 最远时λ最小, 又Q DA DC =,∴ 点P 与点D 重合时λ最小,此时12PQ AD QB BC ==,可得3PBPQλ== ∴3λ=.故答案为:3. 【点睛】本题考查了向量的共线和向量的运算,熟悉向量相关知识点和数形结合是解题的关键,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.三、解答题17．已知数列{}n a 满足11a =,()*124nn na a n N a +=∈-. （1）证明:数列21n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列; （2）求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和. 【答案】（1）证明见解析（2）1122n n --+【解析】（1）由()*124n n n a a n N a +=∈-,可得12421221n n n a a a +⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭,根据等比数列概念即可得出答案;（2）由（1）知1212n n a --=,可得121211222n n n a --+==+,采用分组求和方法,即可求得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和. 【详解】 （1）Q ()*124nn na a n N a +=∈- ∴1412122n n n n a a a a +-==-， 则12421221n n n a a a +⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，又12110a -=≠， ∴21n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以1为首项，2为公比的等比数列. （2）由（1）知1212n na --=， ∴121211222n n n a --+==+， 故其前n 项和为:()11121221222nn n n n S ---=+=+-.∴ 数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为:1122n n --+. 【点睛】本题主要考查判断数列是否为等比数列和分组求和,解题关键是掌握等比数列的前n 项和公式和等差数列前n 项和公式,考查了计算能力,属于基础题. 18．已知函数()()2cos sin sin f x x x ϕϕ=+-,0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且()0f ϕ=.（1）求ϕ;（2）如图,在ABC V 中,A ϕ=,1AC =,D 是边AB 的中点,2BC CD =,求AB . 【答案】（1）3πϕ=（2）3AB =【解析】（1）由()0fϕ=,可得2cos sin 2sin 0ϕϕϕ-=,结合0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,即可求得ϕ值;（2）设AD DB x ==,22CB CD y ==,在ACD V 和ABC V 分别使用余弦定理,即可求得AB . 【详解】 （1）Q 由()0fϕ=得:2cos sin 2sin 0ϕϕϕ-=∴ ()2sin 4cos 10ϕϕ-=由0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,sin ,cos 0ϕϕ> ∴1cos 2ϕ=,3πϕ=.（2）设AD DB x ==,22CB CD y ==Q 在ACD V 中,由余弦定理22212cos 601y x x x x =+-︒=+-┄① Q 在ABC V 中,由余弦定理22241422cos 60421y x x x x =+-⋅︒=-+┄②∴ 联立①②消去y 解得32x = ∴23AB x ==.【点睛】本题考查了余弦定理解三角形,解题关键是灵活使用余弦定理,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.19．《中国诗词大会》是由CCTV -10自主研发的一档大型文化益智节目,以“赏中华诗词,寻文化基因品生活之美”为宗旨,带动全民重温经典、从古人的智慧和情怀中汲取营养、涵养心灵,节目广受好评还因为其颇具新意的比赛规则:每场比赛,106位挑战者全部参赛,分为单人追逐赛和擂主争霸赛两部分单人追逐赛的最终优胜者作为攻擂者与守擂擂主进行比拼,竞争该场比赛的擂主,擂主争霸赛以抢答的形式展开,共九道题,抢到并回答正确者得一分,答错则对方得一分,先得五分者获胜,成为本场擂主,比赛结束已知某场擂主争霸赛中,攻擂者与守擂擂主都参与每一次抢题且两人抢到每道题的概率都是12,攻擂者与守擂擂主正确回答每道题的概率分别为35,45,且两人各道题是否回答正确均相互独立. （1）比赛开始,求攻擂者率先得一分的概率;（2）比赛进行中,攻擂者暂时以3:2领先,设两人共继续抢答了X 道题比赛结束,求随机变量X 的分布列和数学期望. 【答案】（1）25（2）答案见解析 【解析】（1）由题意可知:每道题的抢答中,记攻擂者得一分为事件M ,M 发生有两种可能:抢到题且答对,对方抢到题且答错,即可求得攻擂者率先得一分的概率;（2）由（1）知,在每道题的抢答中攻擂者与守擂擂主得一分的概率分别为25,35.根据比赛规则,X 的所有可能取值分别为234，，,求出()2P X =,()3P X =和()4P X =,即可求得随机变量X 的分布列和数学期望. 【详解】（1）每道题的抢答中,记攻擂者得一分为事件M .M 发生有两种可能:抢到题且答对,对方抢到题且答错,∴ ()1311225255P M =⨯+⨯= ∴ 比赛开始,求攻擂者率先得一分的概率为:25. （2）由（1）知,在每道题的抢答中攻擂者与守擂擂主得一分的概率分别为25,35根据比赛规则,X 的所有可能取值分别为234，，,则()2245225P X ⎛⎫==⎪⎝⎭= ()3212332515552531C P X ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= ()451541251251425P X ==--=X 的分布列为: X234P425 51125 54125∴ ()4515440923425125125125E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了概率的求法和离散型随机变量分布列及其数学期望,在列分布列时,要弄清随机变量所满足的分布列类型,结合相应公式求出事件的概率,进而得出概率分布列以及数学期望,考查计算能力.20．已知椭圆C :()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ,上顶点为M ,3,且1MF F V 3（1）求椭圆C 的方程;（2）过点(2P 的直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点,且点A ,B 位于x 轴的同侧,设直线l 与x 轴交于点Q ,12PQ QA BQ λλ==u u u r u u u r u u u r,若1226λλ+=-求直线l 的方程. 【答案】（1）2214x y +=（2）624y x =±+【解析】（1）3可得3c a =12MF F △3可得121232MF F S c b =⋅⋅=V ,根据椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>,可得222a b c =+,即可求得椭圆C 的方程;（2）设直线l :(2x t y =-,联立椭圆C 方程和直线l 方程,通过韦达定理即可求得直线l 的方程.（1）Q 离心率为32,可得32c a =┄①又Q 12MF F △3,可得121232MF F S c b =⋅⋅=V 根据椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>,可得222a b c =+┄③联立①②③解得:24a =,21b =，∴ 椭圆方程为2214x y += （2）设直线l :(2x t y =，()11,A x y ，()22,B x y ，由(22214x t y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩ ,消掉x 得:()2222422240t y t y t +-+-=， 根据韦达定理:2122224t y y t +=+,21222404t y y t -=>+,22t >，()()422844240t t t ∆=-+->，24t <，Q 12PQ QA BQ λλ==u u u r u u u r u u u r，∴ 11222y y λλ-==-，故)1212121222226y y y y y y λλ-+=-+==- ∴()222121212y y y y -=，即()222121212412y y y y y y +-=，∴()()()22422222224881612444t tt t tt ---=⋅+++， 即4231180t t -+=， 解得21t =（舍）或283t =， ∴ 直线l :62y x =+本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系,所使用方法为韦达定理法:因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理解决.21．已知函数()()()()322112ln 22ln 2ln 62x ax a x x a x a a b x a x f =+-++++--，0a >,b R ∈. （1）若1a b ==,求函数()f x 的最小值; （2）当0a >时,()0f x ≥恒成立,求b 的取值范围. 【答案】（1）()min 0f x =（2）(2b ∈-∞ 【解析】（1）将1a b ==代入()f x 可得, ()()()3211221ln 162x x x f x x x =--+++,求其导数()()212ln 12'x x x f x =-++,且()2101''f x x x =-+>+,即可求得函数()f x 的最小值; （2）因为()()212l 'n 2ln 22x ax a x a bx f x =+-++-,求()'f x 和()''f x ,通过讨论2b ≤2b >两种情况下:()f x 最小值,即可求得b 的取值范围.【详解】 （1）Q ()()()()322112ln 22ln 2ln 62x ax a x x a x a a b x a x f =+-++++-- 当1a b ==时 可得:()()()3211221ln 162x x x f x x x =--+++，()1,x ∈-+∞， ∴ ()()212ln 12'x x x f x =-++， ∴()1''21x f x x =-++， Q ()21222201''x x f x =++-≥>+，∴()'f x 在()1,-+∞上单调递增，又()'00f =，∴()f x 在()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，故:()()min 00f x f ==（2）Q ()()()()322112ln 22ln 2ln 62x ax a x x a x a a b x a x f =+-++++-- ∴()()212l 'n 2ln 22x ax a x a bx f x =+-++-， ∴()22''x a b af x x =++-+， ①当2b ≤,()222220''x a b b x a f x =++-≥≥+， ∴()f x 在(),a -+∞上单调递增，又()'00f =，∴()f x 在(),0a -上单调递减,在()0,∞+上单调递增，∴()()00f x f ≥=满足条件;②若2b >则方程22x a b x a++=+存在两个不相等正根()0101,a a a a <， 取0a a =，此时()002''2x a f x b x a =++-+， 令()''0f x <,解得001a x a a <+<即100x a a <<-，∴()'f x 在()100,a a -上单调递减,又()'00f =，∴()f x 在()100,a a -上单调递减即当()100,x a a ∈-,()()00f x f <=,不符合条件;综上所述,(2b ∈-∞.【点睛】本题主要考查导数的几何意义和导数在函数中的应用,通常需要对函数求导,通过研究函数的单调性和最值等求解,考查了分析能力和计算能力,难度较大22．在平面直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知圆1C 的极坐标方程为1ρ=,圆2C 的直角坐标方程为()2211x y -+=.（1）求1C 与2C 在第一象限的交点的极坐标;（2）若点A ,B 分别为圆1C ,2C 上位于第一条限的点,且3AOB π∠=,求AB 的取值范围.【答案】（1）1,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）43,3AB ∈- 【解析】（1）根据极坐标与直角坐标互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩,由圆2C :2220x y x +-=,可得极坐标方程为2cos ρθ=,即可求得1C 与2C 在第一象限的交点的极坐标;（2）设点B 的极坐标为()2cos ,θθ,在AOB V 中,由余弦定理求得AB ,结合A 、B 都要在第一象限,即可求得AB 的取值范围.【详解】（1）圆2C :2220x y x +-=,其极坐标方程为2cos ρθ=,联立1C :1ρ=得1cos 2θ=,3πθ=±, ∴ 所求点的极坐标为1,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）设点B 的极坐标为()2cos ,θθ在AOB V 中,由余弦定理得:222214cos 212cos cos4cos 2cos 13AB πθθθθ=+-⋅⋅⋅=-+,又Q A 、B 都要在第一象限, ∴0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,3cos θ⎫∈⎪⎪⎝⎭, ∴ 43,3AB ∈-.【点睛】 本题主要考查直角坐标方程和极坐标方程的互化,解题关键是掌握极坐标与直角坐标互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩,意在考查学生的转化能力,计算能力,难度中等. 23．已知函数()31f x x x =-+-.（1）若()f x x m ≥+对任意x ∈R 恒成立,求实数m 的取值范围；（2）记函数()f x 的最小值为s ,若,,0a b c >,且a b c s ++=,证明:48ab bc ac abc ++≥.【答案】（1）(],1m ∈-∞-（2）证明见解析【解析】（1）设()()31g x f x x x x x =-=-+--,画出其函数图像,当()g x m ≥恒成立时,结合函数图像,即可求得实数m 的取值范围;（2）()()()31312f x x x x x =-+-≥---=,当且仅当13x ≤≤时等号成立,得2s =,故2a b c ++=,原不等式等价于1148a b c++≥,由柯西不等式即可求得答案. 【详解】（1）设()()31g x f x x x x x =-=-+--Q ()g x m ≥恒成立∴ ()4,32,13,43,1x x g x x x x x -≥⎧⎪=-+<<⎨⎪-≤⎩其图像如图所示:故()()min 31g x g ==-，∴ (],1m ∈-∞-（2）()()()31312f x x x x x =-+-≥---=，当且仅当13x ≤≤时等号成立，∴2s =，即2a b c ++=， 原不等式等价于1148a b c++≥,由柯西不等式得: ()211416a b c a b c a b c a b c ⎛⎫++++≥ ⎪⎝⎭=， ∴1148a b c++≥， 当且仅当12a =,12b =,1c =时等号成立， ∴ 48ab bc ac abc ++≥成立.【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的求解,以及含绝对值不等式的恒成立问题,其中解答中合理分类讨论去掉绝对值,转化为等价不等式求解是解答的关键,着重考查了分类讨论思想,以及推理与运算能力,属于中档试题,。

重庆南开中学2020级高三第四次教学质量检测考试数学(理科)1.已知复数z 满足()12z i i +=，其中i 为虚数单位，则复数z 的模||z =( )A. 1B.C. 2D. 【答案】B 【解析】 【分析】对等式()12z i i +=的两边求模，然后进行运算求解即可． 【详解】复数z 满足(1)2i z i +=，则|(1)||||2|i z i +=，|2z =，||z ∴=故选：B.【点睛】本题考查复数模的求法，考查基本运算求解能力，求解时直接对等式两边取模可使运算过程更简洁．2.抛物线22x y =的焦点到准线的距离为( ) A. 4 B. 2 C. 1 D.14【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线方程中p 的几何意义进行求解即可．【详解】抛物线22x y =的焦点到准线的距离为：1p =． 故选：C.【点睛】本题考查对抛物线方程及对p 的几何意义的理解，属于基础题．3.已知全集U =R ，集合{|(4)0}A x x x =-<，{}2|log (1)1B x x =->，图中阴影部分所表示的集合为( )A. {|12}x x <<B. {|23}x x <<C. {|03}x x <„D. {|04}x x <<【答案】C 【解析】 【分析】由Venn 图可知阴影部分对应的集合为()U A C B ⋂，然后根据集合的基本运算求解即可． 【详解】由Venn 图可知阴影部分对应的集合为()U A C B ⋂，Q 集合{|(4)0}{|04}A x x x x x =-<=<<，2{|log (1)1}{|3}B x x x x =->=>，{|3}U C B x x ∴=„，即(){|03}U A C B x x ⋂=<„， 故选：C.【点睛】本题考查集合的基本运算，求解时利用文氏图先确定集合关系是解决本题的关键，属于基础题． 4.已知a ，b 均为实数，则下列说法一定成立．．．．的是( ) A. 若a b >，c d >，则ab cd > B. 若11a b>，则a b < C. 若a b >，则22a b > D. 若||a b <，则0a b +>【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值代入法排除A 、B 、C ，利用不等式的基本性质||0b a ->，可得b a >±，从而得到0a b +>，从而得出结论．【详解】对于①，不妨令1a =-，2b =-，4c =，1d =，尽管满足a b >，c d >，但显然不满足ab cd >，故A 错误；对于②，不妨令1a =，1b =-，显然满足11a b>，但不满足a b <，故B 错误；对于③，不妨令1a =-，2b =-，显然满足a b >，但不满足22a b >，故C 错误； 对于④，若||a b <，则||0b a ->，即b a >±，0a b ∴+>，故D 正确. 故选：D.【点睛】本题考查不等式的性质与不等关系，在限定条件下，比较几个式子的大小时，用特殊值代入法，能快把答案进行排除是解此类问题的常用方法．5.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，()22xf x x a =+-，则()1f -=( )A. 3B. -3C. -2D. -1【答案】B 【解析】 【分析】由(0)10f a =-=，可求a ，代入可求(1)f ，然后结合奇函数的定义得(1)(1)f f -=-，进而求得()1f -的值.【详解】()f x Q 是定义在R 上的奇函数，且0x …时，()22x f x x a =+-， (0)10f a ∴=-=，1a \=，(1)43f a =-=，则(1)(1)f f -=-3=-. 故选：B.【点睛】本题考查奇函数性质，即若函数()f x 为奇函数且在0x =有定义，则(0)0f =，理解这一知识点是求解本题的关键． 6.已知圆C半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3440x y ++=与圆C 相切，则圆C 的方程为( )A. 22230x y x +--= B. 2240x y x ++= C. 22230x y x ++-= D. 2240x y x +-=【答案】D 【解析】 【分析】设圆心坐标为(,0)(0)C a a >，根据圆与直线3440x y ++=相切可求出2a =，进而得到圆心和半径，于是可得圆的方程．【详解】由题意设圆心坐标为(,0)(0)C a a >， ∵圆C 与直线3440x y ++=相切，2=，解得a =2．∴圆心为(2,0)C ，半径为2r ==，∴圆C 的方程为(x ﹣2)2+y 2=4，即2240x y x +-=． 故选D ．【点睛】求圆的方程时要把握两点：一是求出圆心的坐标；二是求出圆的半径，然后再根据要求写出圆的方程即可，求圆心坐标时注意圆的几何性质的应用，这样可以简化运算，提高解题的速度．7.诗歌是一种抒情言志的文学体裁，用高度凝练的语言、形象表达作者丰富的情感，诗歌也可以反映数量关系的内在联系和规律，人们常常把数学问题和算法理论编成朗朗上口的诗歌词赋，使抽象理性的数学问题诗词化，比如诗歌：“十里长街闹盈盈，庆祝祖国万象新；佳节礼花破长空，长街灯笼胜繁星；七七数时余两个，八个一数恰为零；三数之时剩两盏，灯笼几盏放光明”，则此诗歌中长街上灯笼最少几盏( ) A. 70 B. 128C. 140D. 150【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得灯笼数除以7余2，再利用代入法和排除法可得答案． 【详解】由七七数时余两个，可知灯笼数除以7余2，则A ，C ，D 错. 故选：B.【点睛】本题以数学传统文化为背景，要求读懂题意，考查简单的合情推理，属于基础题．8.若等边三角形ABC 的边长为1，点M 满足2CM CB CA =+u u u u r u u u r u u u r ，则MA MB ⋅=u u u r u u u r( )B. 2C. D. 3【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形法则画出图形找到M 点的位置，然后根据两个向量的数量积的定义进行计算． 【详解】根据平行四边形法则画出如下图形，A 为平行四边形CBMD 边CD 的中点， 由图可知：MA MD DA =+u u u r u u u u r u u u r，∴()MA MB MD DA MB MD MB DA MB ⋅=+⋅=⋅+⋅u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r||||cos 60||||cos 0MD MB DA MB =⋅⋅︒+⋅⋅︒u u u u r u u u r u u u r u u u r11212132=⋅⋅+⋅⋅=．故选：D.【点睛】本题主要考查向量数量积的定义运算，考查数形结合思想的运用，求解时要充分利用平面向量既有几何又有代数的双重身份，借助图形进行数量积运算，能使运算更有方向性．9.已知(),P x y 为不等式组(2)(2)00y x y x x a -+⎧⎨⎩…剟表示平面区域内任意一点，当该区域的面积为2时，函数z x y =+的最大值是( )A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】A 【解析】 【分析】由约束条件作出可行域，求出使可行域面积为2的a 值，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合可得最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案． 【详解】作出约束条件所表示的可行域，如图所示： 由图可得(,2)A a a ，(,2)B a a -， 由该区域的面积为2时∴1422a a ⨯⨯=，解得：1a =． (1,2)A ，(1,2)C -化目标函数z x y =+为y x z =-+，∴当y x z =-+过A 点时，max 123z =+=， ∴函数z x y =+的最大值是3．故选：A.【点睛】本题考查简单的线性规划，求解的关键是利用直线在y 轴上截距的最值得到目标函数的最值，考查数形结合的运用．10.如图，ABC ∆内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且1cos 2b c a C -=，延长BA 至D ，使BCD ∆是以BC 为底边的等腰三角形，6π∠=ACD ，当2c =时，边CD =( )33 B. 23C.24226+【答案】A 【解析】 【分析】首先利用余弦定理求出A 的值，进一步利用三角形的内角和定理和正弦定理求出AC 的长，进一步得到AC AD =，即可得到答案．【详解】ABC ∆内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1cos 2b c a C -=， 利用余弦定理整理得222122a b c b c a ab+--=⋅，化简为222b c a bc +-=，所以2221cos 22b c a A bc +-==， 由于0A π<<，所以3A π=．由于BCD ∆是以BC 为底边的等腰三角形，6π∠=ACD ，所以6D ACD π∠=∠=，则AC BD =．利用三角形内角和定理：6B BCD π∠=∠+，23B BCD π∠+∠=，解得712B π∠=． ABC ∆中，利用正弦定理27sin sin 124ACππ=，解得1AC =，所以213CD BD AB BD ==+=+=+ 故选：A ．【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的应用、三角形内角和、等腰三角形性质，考查数形结合思想的运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力． 11.已知曲线()()0xf x aea =>与曲线()()20g x x m m =->有公共点，且在该点处的切线相同，则当m变化时，实数a 的取值范围是( )A. 240,e ⎛⎫⎪⎝⎭B. 61,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 40,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 281,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】求出两函数的导函数，得到两函数在公共点(,)s t 处的导数值，写出切线方程，由斜率与y 轴上的截距相等可得m 与s 及a 与s 的关系，由0m >求得s 的范围，然后利用导数求解2s se的范围，则实数a 的取值范围可求．【详解】由()(0)xf x ae a =>，2()g x x m =-，得()xf x ae '=，()2g x x '=，设()(0)xf x ae a =>与曲线2()g x x m =-的公共点为(,)s t ，则()sf s ae '=，()2g s s '=，∴两曲线在切点处的切线方程分别为()s s y ae ae x s -=-与22()y s m s x s -+=-，即sssy ae x ae sae =+-与22y sx s m =--．则22ss s s ae ae sae s m ⎧=⎨-=--⎩，整理得222s m s s s a e ⎧=-⎪⎨=⎪⎩①②． 由①且0m >，得0s <或2s >，当0s <时，两曲线无公共切线，则2s >． 由②得，2(2)s sa s e=>． 令2()(2)s s h s s e =>，则2(1)()0ss h s e -'=<，函数()h s 在(2,)+∞上为单调减函数， ()(2)h s h ∴<24e=，又当s →+∞时，()0h s →，∴实数a 的取值范围是24(0,)e．故选：A.【点睛】本题考查利用导数研究曲线在某点处的切线方程，及利用构造法求参数的取值范围，考查函数与方程思想的运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于难题．12.如图，已知双曲线22221(0)x y b a a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点A ，若12AF F △的内切圆半径为4b，则双曲线的离心率为( )23B.54C.53D.322【答案】C 【解析】 【分析】设双曲线的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，设双曲线的一条渐近线方程为by x a=，可得直线2AF的方程为()by x c a=-，联立双曲线的方程可得A 的坐标，设1||AF m =，2||AF n =，运用三角形的等积法，以及双曲线的定义，结合锐角三角函数的定义，化简变形可得a ，c 的方程，结合离心率公式可得所求值．【详解】设双曲线的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ， 设双曲线的一条渐近线方程为by x a=， 可得直线2AF 的方程为()b y x c a =-，与双曲线22221(0)x y b a a b-=>>联立，可得22(2c a A c +，22())2b a c ac-，设1||AF m =，2||AF n =，由三角形的面积的等积法可得2211()(2)22422b b c a m n c c ac -⋅++=⋅⋅，化简可得2442c m n a c a+=--①由双曲线的定义可得2m n a -=②在三角形12AF F 中22()sin 2b c a n acθ-=，(θ为直线2AF 的倾斜角)，由tan b a θ=，22sin cos 1θθ+=，可得sin b cθ==， 可得222c a n a-=，③由①②③化简可得223250c ac a --=， 即为(35)()0c a c a -+=， 可得35c a =，则53c e a ==． 故选：C.【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系、双曲线的定义、坐标求解、离心率求解，考查方程思想的运用及三角形等积法，考查运算求解能力，属于难题．13.已知tan 3α=，则2cos sin cos 3sin αααα+=+___________.【答案】12【解析】 【分析】将所求式子的分子和分母同时除以cos α，转化化关于tan α的齐次式，再将tan α的值代入即可得到答案.【详解】因为2cos sin 2tan cos 3sin 13tan αααααα++=++，又tan 3α=，所以原式11+3322+3==⨯. 故答案为：12．【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，考查基本运算求解能力，属于基础题.14.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的上顶点为B，右焦点为()2,0F ，,02M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，且满足：BF BM ⊥，则椭圆C 的标准方程为___________.【答案】22184x y +=【解析】 【分析】根据题意，求出向量BF u u u r以及BM u u u u r的坐标，又由BF BM ⊥可得20BF BM b ⋅=+=u u u r u u u u r ，变形可得2b =，结合椭圆的性质求出a 、b 的值，即可得答案．【详解】根据题意，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的上顶点为B ，则(0,)B b ，则(2,)BFb =-u u u r ，(BM =u u u u r )b -，若BF BM ⊥，则有20BF BM b ⋅=+=u u u r u u u u r，则有2b =，又由椭圆的右焦点为(2,0)F ，即2c =，则有2224a b c -==， 解可得：a =2b =，所以椭圆C 的方程为22184x y +=.故答案为：22184x y +=．【点睛】本题考查椭圆的几何性质，涉及椭圆标准方程的计算，属于基础题． 15.已知实数,1a b >，且满足5ab a b --=，则23a b +的最小值为___________. 【答案】17 【解析】 【分析】根据5ab a b --=可得a ，b 的关系，代入23a b +运用基本不等式求解． 【详解】5ab a b --=Q ，∴56111b a b b +==+--， ∴121223233(1)511a b b b b b +=++=-++--；1a >Q ，1b >，235a b ∴+≥265=⨯+17=. 故答案为：17．【点睛】本题考查消元代入法及基本不等式的应用，考查转化与化归思想，利用基本不等式求最值时，要注意“一正、二定、三等”三个条件都需满足．16.在学习导数和微积分时，应用到了“极限”的概念，极限分为函数极限和数列极限，其中数列极限的概念为：对数列{}n a ，若存在常数A ，对于任意0ε>，总存在正整数0N ，使得当0n N ≥时，n a A ε-<成立，那么称A 是数列{}n a 的极限，已知数列{}n b 满足：1112n n b b +=+，13b =，*n N ∈，由以上信息可得{}n b 的极限A =__________，且0.001ε=时，0N 的最小值为_________. 【答案】 (1). 2 (2). 11 【解析】 【分析】利用构造法得到数列{2}n b -是等比数列，公比为12，首项为12321b -=-=，进而得出n b 的通项公式，再由极限的定义求出A 及0N 的最小值． 【详解】1112n n b b +=+Q ， 112(2)2n n b b +∴-=-，∴数列{2}n b -是等比数列，公比为12，首项为12321b -=-=， 1121()2n n b -∴-=⨯，112()2n n b -∴=+，{}n b ∴的极限2A =，当0.001ε=时，总存在正整数0N ，使得当0n N ≥时，||n a A ε-<成立，∴使得当0n N ≥时，11|2()2|0.0012n -+-<成立，11()0.0012n -∴<，121log 0.00110n ∴>+≈，0N ∴的最小值为11．故答案为：2，11．【点睛】本题考查根据数列的递推关系求通项公式、数列极限求解、不等式求解，考查函数与方程思想、极限思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，对阅读理解能力要求较高．17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2，n a ，n S 成等差数列，令2log n n b a =，*n N ∈. (1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)令n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】(1)2nn a =，n b n =(2)1(1)22n n T n +=-⋅+.【解析】 【分析】(1)运用等差中项的性质和数列的递推式：当1n =时，11a S =；2n ≥时，1n n n a S S -=-，结合等比数列的定义和通项公式，可得n a ；再由对数的运算性质可得n b ；(2)求得2nn n n c a b =⋅=，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得数列{}n c 的前n 项和．【详解】(1)∵22n n a S =+，∴当2n ≥时，1122n n a S --=+， 两式相减得：()112n n n n n a a S S a ---=-=，即12n n a a -= 令1n =，有111222a S a =+=+，故12a =， ∴{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，∴2nn a =，2log n n b a n ==.(2)由(1)2nn c n =⋅∴1231222322nn T n =⋅+⋅+⋅++⋅L23412122232(1)22n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅L两式相减得：()1231121222222212nn n n n T n n ++--=++++-⋅=-⋅-L整理得：1(1)22n n T n +=-⋅+.【点睛】本题考查数列递推式的运用、等比数列的通项公式和求和公式的运用、数列的错位相减法求和，考查逻辑推理能力和运算求解能力，利用错位相减法求和时，注意结果中的常数的正确性．18.已知向量(sin ,m x =r，(1,cos )n x =r ，且函数()f x m n =⋅r r. (1)若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且()23f x =，求sin x 的值； (2)若将函数()f x 的图像上的点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的12，再将所得图像向左平移4π个单位，得到()g x 的图像，求函数()g x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域.【答案】(2)()[1,2]g x ∈-. 【解析】【分析】(1)先根据已知条件求出函数解析式，再根据条件以及角的范围即可求出结论； (2)先求出()g x 的解析式，再根据三角函数的单调性即可求解．【详解】(1)由条件可得：()sin 2sin()3f x x x x π==-；2()2sin()33f x x π=-=Q ；1sin()33x π∴-=．因为[0,]2x π∈，[,]336x πππ∴-∈-，cos()33x π∴-==． sin sin[()]sin()cos cos()sin 333333x x x x ππππππ∴=-+=-+-1132=⨯+ (2)函数()f x 的图像上的点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的12， 得()2sin(2)3g x x π=-，再将所得图像向左平移4π个单位， 得()2sin[2()]2sin(2)436g x x x πππ=+-=+；∴当[0,]2x π∈时，72[,]666x πππ+∈．当7266x ππ+=时，()1g x =-；当262x ππ+=时，()2g x =，∴所以函数()g x 在[0,]2x π∈的值域是[1,2]-．【点睛】本题考查数量积运算性质、三角函数的性质及图像变换，考查逻辑推理能力与运算求解能力，求函数的值域时注意整体思想的运用．19.某省从2021年开始将全面推行新高考制度，新高考“312++”中的“2”要求考生从政治、化学、生物、地理四门中选两科，按照等级赋分计入高考成绩，等级赋分规则如下：从2021年夏季高考开始，高考政治、化学、生物、地理四门等级考试科目的考生原始成绩从高到低划分为,,,,A B C D E 五个等级，确定各等级人数所占比例分别为15%，35%，35%，13%，2%，等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法分别转换到[]86,100、[]71,85、[]56,70、[]41,55、[]30,40五个分数区间，得到考生的等级分，等级转换分满分为100分.具体转换分数区间如下表：而等比例转换法是通过公式计算：2211Y Y T TY Y T T --=--其中1Y ，2Y 分别表示原始分区间的最低分和最高分，1T 、2T 分别表示等级分区间的最低分和最高分，Y 表示原始分，T 表示转换分，当原始分为1Y ，2Y 时，等级分分别为1T 、2T 假设小南的化学考试成绩信息如下表：设小南转换后的等级成绩为T ，根据公式得：847585756971TT --=--，所以76.677T =≈(四舍五入取整)，小南最终化学成绩为77分.已知某年级学生有100人选了化学，以半期考试成绩为原始成绩转换本年级的化学等级成绩，其中化学成绩获得A 等级的学生原始成绩统计如下表：(1)从化学成绩获得A 等级的学生中任取2名，求恰好有1名同学的等级成绩不小于96分的概率； (2)从化学成绩获得A 等级的学生中任取5名，设5名学生中等级成绩不小于96分人数为ξ，求ξ的分布列和期望. 【答案】(1)1235P =(2)见解析 【解析】 【分析】(1)根据成绩换算公式，计算出等级成绩不低于96分时的原始成绩，进而得到等级成绩不低于96分的人数，根据古典概型的概率即可得到所求；(2)列出随机变量ξ的所有可能的取值，分别求出对应的概率，列出分布列，计算期望即可． 【详解】(1)设化学成绩获得A 等级的学生原始成绩为x ，等级成绩为y ，由转换公式得：951008586x y x y --=--，即：()148514330861010x x y --=+=， 所以143309610x -≥，得：92.1x ≥，显然原始成绩满足92.1x ≥的同学有3人，获得A 等级的考生有15人.恰好有1名同学的等级成绩不小于96分的概率为113122151235C C P C ==. (2)由题意可得：等级成绩不小于96分人数为3人，获得A 等级的考生有15人，0531251524(0)91C C P C ξ===，1431251545(1)91C C P C ξ=== 2331251520(2)91C C P C ξ===，323125152(3)91C C P C ξ=== 则分布列为则期望为：45202231919191E ξ=+⋅+⋅= 【点睛】本题考查古典概型、计数原理、统计表的应用、超几何分布，考查数据处理能力和运算求解能力，属于中档题．20.已知函数2()ln(1)(0)xf x x a x a=+->+ (1)若不等式()0f x ≥对任意0x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；(2)证明：159211ln 3ln ln ln 237212n n n -+⎛⎫++++>- ⎪-⎝⎭L ，(*n N ∈).【答案】(1)2a ≥(2)见解析 【解析】 【分析】(1)求导得2222()(1)()x a a f x x x a +-'=++，再对22a a -进行讨论判断单调性；(2)根据()f x 的性质，得到1211()()212n n n ln -+>-，令1n =，2，3，n ⋯，求出一组不等式，两边相加求和即可．【详解】(1)当0x ≥时，()()()()222212211a x a af x x x a x x a +-'=-=++++ (ⅰ)当220a a -≥，即2a ≥时，()0f x '≥，()f x 在0x ≥时递增，由()00f =，不等式成立； (ⅱ)当220a a -<，即02a <<时，()00f x x '<⇒<<所以函数()f x在时单调递减，由()00f =，与不等式()0f x ≥对任意0x ≥恒成立矛盾，所以02a <<不成立； 综上所述2a ≥.(2)由(1)得：当2a ≥时()0f x ≥对0x ≥时恒成立， 取2a =得不等式：2ln(1)2xx x +≥+， 令221n x =-，得1211ln 212n n n -⎛⎫+⎛⎫≥ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，由(1)知：取等条件不成立，即1211ln 212n n n -⎛⎫+⎛⎫> ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭成立.当1,2,3,n =L 时，ln31>，51ln 32>，291ln 72⎛⎫> ⎪⎝⎭，…，1211ln 212n n n -+⎛⎫> ⎪-⎝⎭，相加得：15921111ln3ln ln ln 13721242n n n -+⎛⎫++++>++++ ⎪-⎝⎭L L .即159211ln3ln ln ln 237212n n n -+⎛⎫++++>- ⎪-⎝⎭L .【点睛】本题考查不等式恒成立问题、函数的单调性与最值、导数的几何意义、不等式的证明，考查逻辑推理能力和运算求解能力，考查转化与化归思想、分类讨论思想的综合运用．21.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，A 为抛物线上异于原点的任意一点，以AO 为直径作圆Ω，当直线OA 的斜率为1时，||42OA =.(1)求抛物线C 的标准方程；(2)过焦点F 作OA 的垂线l 与圆Ω的一个交点为M ，l 交抛物线于P ，Q (点M 在点P ，Q 之间)，记OAM △的面积为S ，求23||2S PQ +的最小值.【答案】(1)24y x =(2)23 【解析】 【分析】(1)求得直线OA 的方程y x =，联立抛物线方程，解得A 的坐标，由两点的距离公式可得p ，进而得到所求抛物线方程；(2)求得(1,0)F ，设1(A x ，1)y ，0(M x ，0)y ，2(P x ，2)y ，3(Q x ，3)y ，且2114y x =，由向量垂直的坐标表示可得22001x y x +=，由三角形的勾股定理和三角形的面积公式可得221111(3)4S x x x =+，设:1PQ x ky =+，联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式可得||PQ ，再由两直线垂直的条件，以及构造函数法，求得导数和单调性，计算可得所求最小值． 【详解】(1)当直线OA 的斜率为1时，可得直线OA 的方程为y x =，联立抛物线方程22y px =，解得2x p =，即(2,2)A p p，||OA ==2p =， 抛物线的方程为24y x =； (2)由(1)可得(1,0)F ，设11(,)A x y ，00(,)M x y ，22(,)P x y ，33(,)Q x y ，且2114y x =，由题意可得0OA FM ⋅=u u u r u u u u r，即101010x x y y x +-=，又0OM AM ⋅=u u u u r u u u u r，即220100100x x x y y y -+-=，整理可得22001x y x +=，又22222222110011||||||()3AM OA OM x y x y x x =-=+-+=+，则1||||2S AM OM =⋅=221111(3)4S x x x =+， 又PQ 的斜率存在且不为0，:1PQ x ky =+，联立抛物线方程可得2440y ky --=， 可得234y y k +=，234y y =-，则2||4(1)PQ k ===+，由PQ OA ⊥，可得11PQx k y =-，即11y k x =-，可得212114||4(1)4(1)y PQ x x =+=+，则221111314||(3)6(1)24S PQ x x x x +=+++， 可令214()(3)6(1)4f x x x x x =+++，4323232()4x x f x x+-'=⋅， 显然43()232g x x x =+-在0x >递增，且(2)0=g ， 当02x <<时，()0<g x ，2x >时，()0>g x ， 可得()f x 在(0,2)递减，在(2,)+∞递增， 可得2x =时，()f x 取得最小值23． 即求23||2S PQ +的最小值为23． 【点睛】本题考查抛物线的方程和运用，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，以及向量垂直的坐标表示，考查函数方程思想和化简运算能力，属于难题．22.在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin 42a πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(a 为实数). (1)求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；(2)当a =P 、Q 分别为曲线1C 和曲线2C 上的动点，求||PQ 的最小值.【答案】(1)221:14x C y +=，2:C x y a +=.【解析】 【分析】(1)直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果．(2)利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．【详解】(1)因为曲线1C 的参数方程为2cos (sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数)， 所以曲线1C 的直角坐标方程为2214x y +=．曲线2C 的极坐标方程为sin()(42a a πρθ+=为实数)，整理得sin cos 222ρθρθ+=， 因为cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩所以2C 的直角坐标方程为0x y a +-=．(2)当a =0x y +-=， 因为点P 在曲线1C 上，设点(2cos ,sin )P θθ，则P 到直线0x y +-=的距离d ==，当sin()1θα+=时，min d ==． 【点睛】本题考查三角函数关系式的恒等变换、正弦型函数的性质的应用、参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换、点到直线的距离公式的应用，考查逻辑推理能力和运算求解能力．23.选修4-5：不等式选讲已知函数()2f x x m x m =--+的最大值为3，其中0m >．(1)求m 的值；(2)若,a b R ∈，0ab >，222a b m +=，求证：331a b b a +≥ 【答案】(1)1m =(2)见解析【解析】【分析】(1)分三种情况去绝对值，求出最大值与已知最大值相等列式可解得；(2)将所证不等式转化为1ab -2ab ≥1，再构造函数利用导数判断单调性求出最小值可证．【详解】(1)∵0m >，∴()3,22,23,2m x m f x x m x m x m m x m m x m -≥⎧⎪=--+=---<<⎨⎪≤-⎩.∴当2x m ≤-时，()f x 取得最大值3m .∴1m =.(2)由(Ⅰ)，得221a b +=，()222223344212a b a b a b a b ab b a ab ab ab +-++===-.∵2212a b ab +=≥，当且仅当a b =时等号成立， ∴102ab <≤. 令()12h t t t =-，102t <≤.则()h t 在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减.∴()112h t h ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭. ∴当102ab <≤时，121ab ab-≥. ∴331a b b a+≥. 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．本题主要考查了绝对值不等式的求解，以及不等式的恒成立问题，其中解答中根据绝对值的定义，合理去掉绝对值号，及合理转化恒成立问题是解答本题的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，以及转化思想的应用.。

重庆南开中学高2020级高三下学期期中考试数学（理科）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知()(2)a i i +-为纯虚数，则实数a 的值是（ ） A ．1- B ．12-C ．12D ．1 2．已知集合{1,2,3}A =，{|,}B a b a A b A =+∈∈，则集合B 的子集个数为（ ） A ．8B ．16C ．32D ．643．已知曲线2()ln f x a x x =+在点(1,1)处的切线与直线0x y +=平行，则实数a 的值为（ ） A ．3-B ．1C ．2D ．34．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若612S =，25a =，则5a =（ ） A ．3- B ．1- C ．1D ．35．已知0.31.2a =，0,3log 1.2b =， 1.2log 3c =，则（ ） A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．b a c <<6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体中最．长的棱长为（ ）A ．1B 5C 6D ．227．函数2()sin cos cos 22f x x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的最小值为（ ） A ．2- B ．1- C ．0D ．128．抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，,A B 是抛物线C 上两点，且||||10AF BF +=，O 为坐标原点，若OAB △的重心为F ，则p =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．执行如图所示的程序框图，若输入的3ε=，则输出的结果为（ ）A ．511B ．1022C ．1023D ．204610．我们知道，在n 次独立重复试验（即伯努利试验）中，每次试验中事件A 发生的概率为p ，则事件A 发生的次数X 服从二项分布(,)B n p ，事实上，在无限次伯努利试验中，另一个随机变量的实际应用也很广泛，即事件A 首次发生时试验进行的次数Y ，显1()(1)k P Y k p p -==-，1,2,3k =，…，我们称Y 服从“几何分布”，经计算得1()E Y p=．由此推广，在无限次伯努利试验中，试验进行到事件A 和A 都发生后停止此时所进行的试验次数记为Z ，则11()(1)(1)k k P Z k p p p p --==-+-，2,3k =，…，那么()E Z =（ ）A ．11(1)p p -- B ．21p C ．11(1)p p +- D ．21(1)p -1l ．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 与双曲线C 的两支分别交于,A B 两点，290AF B ∠=︒，||4AB a =，则双曲线C 的离心率为（ ）A 2B 3C ．2D ．32212．已知,,,A B C D 四点均在半径为R （R 为常数）的球O 的球面上运动，且AB AC =，AB AC ⊥，AD BC ⊥，若四面体ABCD 的体积的最大值为16，则球O 的表面积为（ ）A ．32πB ．2πC ．94πD ．83π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知,a b r r 均为单位向量，且(3)(2)a b a b +⊥-r r r r ，则向量a r 与b r夹角的余弦值为______．14．已知()*nx n N x ⎛-∈ ⎪⎝⎭的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则展开式中x 的系数为_____．15．正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，122AA =，D 为棱11A B 的中点，则异面直线AD 与1CB 所成角的大小为______．16．已知定义在R 上的函数()f x 满足(2)()f x f x +=，当[1,1]x ∈-时1||()2x f x e-=-，则关于函数()f x 有如下四个结论：①()f x 为偶函数；②()f x 的图象关于直线2x =对称；③方程()1||f x x =-有两个不等实根；④12223f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；其中所有正确结论的编号______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答微博橙子辅导． （一）必考题：共60分． 17．如图，在ABC △中，1sin 3B =，点D 在边AB 上．（1）若sin()1C A -=，求sin A 的值；（2）若90CDA ∠=︒，4BD DA =，求sin ACB ∠的值．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ，AB CD P ，且22CD AB ==，22BC =90ABC ∠=︒，M 为BC 的中点．（1）求证：平面PDM ⊥平面PAM ；（2）若二面角P DM A --为30︒，求直线PC 与平面PDM 成角的正弦值．19．新型冠状病毒肺炎19COVID -疫情发生以来，在世界各地逐渐蔓延．在全国人民的共同努力和各级部门的严格管控下，我国的疫情已经得到了很好的控制．然而，每个国家在疫情发生初期，由于认识不足和措施不到位，感染确诊人数都会出现加速增长．下表是小王同学记录的某国从第一例新型冠状病毒感染确诊之日开始，微博橙子辅导连续⑧天每日新型冠状病毒感染确诊的累计人数． 日期代码x 1 2 3 4 5 6 7 8 累计确诊人数y481631517197122为了分析该国累计感染确诊人数的变化趋势，小王同学分别用两种模型：①$2y bx a =+，②$y dx c =+对变量x 和y 的关系进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，残差图如下（注：残差$i i i e y y =-）， 且经过计算得()()()8182117.3iii i i xxy y x x==--≈-∑∑，()()()818211.9iii i i zzy y z z==--≈-∑∑，其中2i i z x =，8118i i z z ==∑．（1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应该选择哪个模型？并简要说明理由； （2）根据（1）中选定的模型求出相应的回归方程；（3）如果第9天该国仍未釆取有效的防疫措施，试根据（2）中所求的回归方程估计该国第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数．（结果保留为整数）附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()() ()81821ˆi iiiix x y ybx x==--=-∑∑，$a y bx=-$．20．已知函数()3(1)lnf x x a x=-+，2()4g x x ax=-+．（1）若函数()()y f x g x=+在其定义域内单调递增，求实数a的取值范围；（2）是否存在实数a，使得函数()()y f x g x=-的图像与x轴相切？若存在，求满足条件的a的个数，请说明理由．21．已知椭圆2222:1(0)x ya ba bΓ+=>>的离心率为22，过椭圆Γ的焦点且垂直于x轴的直线被椭圆Γ2．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设点,A B均在椭圆Γ上，点C在抛物线212y x=上，若ABC△的重心为坐标原点O，且ABC△的面积为364，求点C的坐标．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为sin24πρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭C的极坐标方程为2sin cosρθθ=．（1）写出直线l和曲线C的的直角坐标方程；（2）过动点()()20000,P x y y x<且平行于l的直线交曲线C于,A B两点，若||||2PA PB⋅=，求动点P 到直线l 的最近距离． 23．[选修4—5：不等式选讲]已知函数()|1||1|2|2|f x x x x =++---．（1）若关于x 的不等式()f x a …有解，求实数a 的取值范围；（2）若不等式()||4f x x b --…对任意x R ∈成立，求实数b 的取值范围．重庆南开中学高2020级高三下学期期中考试数学（理科）答案一、选择题B C A B D C A D B A B C 二、填空题15560 30︒ ①②③ 三、解答题17．解：（1）由sin()1C A -=得2C A π-=，1sin sin()sin 2cos223B A C A A π⎛⎫=+=+== ⎪⎝⎭，由2112sin 3A -=得sin A =；（2）设4DB m =，DA m =，由1sin 3B =得CD =，BC =，AC = ABC △中，sin sin AC ABB ACB=∠，sin ACB ∠=．18．证明：（1）易知：tan tan 1CD BM DMC MAB DMC MAB CM BA ==⇒∠=∠⇒∠=∠， 90DMC AMB DM AM ∴∠+∠=⇒⊥︒①又PA ⊥Q 平面ABCD PA DM ⇒⊥② ∴由①②可得DM ⊥平面PAM ⇒平面PAM ⊥平面PDM ；（2）由（1）知二面角P MD A --的平面角即为30PMA ∠=︒，13PA MA ∴==． 取CD 中的N ，连接AN ，易得AN CD ⊥，∴直线PA NA BA 、、两两垂直， 以A 为原点，AN AB AP 、、分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 则(0,0,1)P，1,0)D -，C，M，(1,1)CP =--u u ur 2,0)MD =-u u u ur (1,1)MP =-u u u r，设平面PMD 的法向量为(,,)m x y z =u r，则由0m MP m m MD ⎧⋅=⎪⇒=⎨⋅=⎪⎩u r u u u ru r u r u u u u r，设直线PC 与平面PMD 所成角为θ，则sin 30||||CP m CP m θ⋅===⋅u u u r u r u u u r u r ，∴直线PC 与平面PMD所成角的正弦值为30． 19解：（1）选择模型①．理由如下：根据残差图可以看出，模型①的估计值和真实值相对比较接近，模型②的残差相对较大一些，所以模型①的拟合效果相对较好；（2）由（1），知y 关于x 的回归方程为$2y bx a =+，令2z x =，则$y bz a =+，由题知 1.9b ≈$， 又1(1491625364964)25.58z =+++++++=，1(481631517197122)508y =+++++++=，$ 1.55a y bz ∴=-≈$，y ∴关于x 的回归方程为$21.9 1.55y x =+；（3）估计该国第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数为$21.99 1.55155.45155y =⨯+=≈（人）．20．解：（1）1()()32a y f x g x y x a x+'=+⇒=-+-，由()()y f x g x =+单增得0y '≥恒成立，分离参数得2132321111x x x x a x x+-+-≤=++恒成立，令2321()1x x m x x +-=+，(0)x >，则22244()(1)x x m x x ++'=+，()0m x '∴>，()m x 在(0,)+∞上单调递增，()(0)1m x m >=-，1a ∴≤-；（2）设2()()()3(1)ln 4n x f x g x x a x x ax =-=-+-+-，则1()32a n x x a x+'=--+， 设函数()y n x =的图像与x 轴相切于0x x =处，则()()2000000003(1)ln 401320n x x a x x ax a n x x a x ⎧=-+-+-=⎪+⎨'=--+=⎪⎩①②由②得：[]000002(1)(1)13201x a x a x a x x x -+-+--+=-=⇒=或012a x +=，当01x =时，由①得：2a =③；当012a x +=时，由①得：2000022ln 40x x x x ---=，令2()22ln 4h x x x x x =+--，则：()2(ln )h x x x '=-，2(1)()x h x x-''=， ()h x '∴在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增，min ()(1)20h x h '==>， ()h x ∴在(0,)+∞单调递增，又(1)50h =-<Q ，()()222640h e e e =-->， ()0h x ∴=只有一解0x ，且()201,x e ∈，()20211,21a x e =-∈-④，由③④可知：满足条件的实数a 有两个：12a =，()221,21a e ∈-．21解：（1）由题意易知：2212a a b b a=⎧=⎪⎪⇒⇒⎨⎨=⎪⎩⎪=⎪⎩椭圆22:12x y Γ+=； （2）()22222122202:x y m y mty t AB x my t⎧+=⎪⇒+++-=⎨⎪=+⎩设，()22820m t ∆=-+>①设()11,A x y ，()22,B x y ，则由题知()12222C mty y y m ∴=-+=+，()()12122422C tx x x m y y t m -=-+=-++=⎡⎤⎣⎦+ 由C 点在抛物线212y x =上得：2222214222221mt t m m m t -⎛⎫=⋅⇒=- ⎪+++⎝⎭②12t ⎛⎫<- ⎪⎝⎭ ()()()12211221123333222ABC ABO S S x y x y my t y my t y t y y ==-=+-+=+△△==⇒=③ 将②代入③整理得：2[(21)]4(21)301t t t t t +-++=⇒=-或32-，相应的22m =或1，所以1,2C ⎛⎫±⎪⎝⎭或(2,1)C ±． 22．解：（1）直线:2l y x =+，曲线2:C y x =；（2）过P 平行于l 的直线的参数方程为002222x x t y y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数） 联立曲线2:C y x =得：22000122022t y t y x ⎛⎫+-+-= ⎪⎭，001220(*)2x y ∆=-+>，所以()22212000000||||2221PA PB t t y x x y y x ⋅==-=-=⇒=-，∴点P 的到直线l 的距离：2000032112822y y x y d -+-+==≥， 当005412x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（满足(*)式）时取“=”∴点P 的到直线l 的最近距离为1128．23．解，（1）4,244,12()22,114,1x x x f x x x x ≥⎧⎪-≤<⎪=⎨--≤<⎪⎪-<-⎩min ()4f x ∴=-，即4a ≥-（2）由（1）可得()y f x =的图象如下要使()||4f x x b ≤--恒成立，当函数||4y x b =--的一段经过点(2,4)时满足要求， 此时6b =-，结合图象可知，当6b ≤-时满足条件．。

重庆南开中学2020届高三第三次教学质量检测考试数学（理科）2020.4第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用复数的除法的运算法则化简复数为的形式即可．【详解】复数．故选：D【点睛】本题主要考查复数的除法运算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.2.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先化简集合A和B,再求得解.【详解】由题得A=[-4,1]，B=(0,1 ],所以.故选：C【点睛】本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.等差数列的前7项和为28，，则（）A. 6B. 7C. 9D. 14【答案】A【解析】【分析】先根据已知得到关于的方程组，解方程组得的值，再求的值.【详解】由题得.故选：A【点睛】本题主要考查等差数列的通项的基本量的计算，考查等差数列的前n项和的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.若双曲线的一条渐近线方程为，则（）A. B. 1 C. 2 D. -8【答案】A【解析】【分析】先根据已知求出a,b,再由题得，解方程即得m的值.【详解】由题得，所以.故选：A【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查双曲线的渐近线方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.5.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. 42B. 45C. 46D. 48【答案】C【解析】【分析】先通过三视图找到几何体原图，再求几何体的体积.【详解】由三视图可知原几何体为如图所示的多面体ABEHM-CDGF,所以该几何体的体积为.故选：C【点睛】本题主要考查三视图找几何体原图，考查几何体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6.重庆奉节县柑桔栽培始于汉代，历史悠久.奉节脐橙果皮中厚、脆而易剥，酸甜适度，汁多爽口，余味清香，荣获农业部优质水果、中国国际农业博览会金奖等荣誉.据统计，奉节脐橙的果实横径（单位：）服从正态分布，则果实横径在的概率为（）附：若，则；；A. 0.6826B. 0.8413C. 0.8185D. 0.9544 【答案】C【解析】【分析】先计算出和，再求果实横径在的概率.【详解】由题得=5，由题得，所以，由题得，所以，所以P(85＜X＜90=，所以果实横径在的概率为+0.1359=0.8185.故选：C【点睛】本题主要考查正态分布，考查指定区间概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.7.设，满足约束条件，则的最小值是（）A. 4B. 5C. 8D. 9【答案】A【解析】【分析】先作出不等式组对应的可行域，再利用数形结合分析得解.【详解】由题得不等式组对应的可行域为如图所示的△ABC,由题得y=-2x+z,当直线经过点A时，直线的纵截距最小，z最小.联立得A(1,2),所以的最小值是2×1+2=4.故选：A【点睛】本题主要考查利用线性规划求最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.8.如图，给出的是求的值的一个程序框图，则判断框内填入的条件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知中程序的功能是计算的值，根据已知中的程序框图，我们易分析出进行循环体的条件，进而得到答案．【详解】模拟程序的运行，可知程序的功能是计算的值，即，时，进入循环，当时，退出循环，则判断框内填入的条件是．故选：．【点睛】本题考查的知识点是循环结构的程序框图的应用，解答本题的关键是根据程序的功能判断出最后一次进入循环的条件，属于基础题．9.记，则（）A. 81B. 365C. 481D. 728 【答案】B【解析】【分析】令x=0得求出的值，令x=-2得的值，再求的值.【详解】令x=0得1=，令x=-2得，所以.故选：B【点睛】本题主要考查二项式定理展开式的系数和求值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.10.已知函数的最小正周期为，且是函数图象的一条对称轴，则的最大值为（）A. 1B.C.D. 2【答案】D【解析】【分析】利用辅助角公式化简，根据最小正周期为，可得的值，一条对称轴是建立关系即可求解．【详解】由题得函数，其中．最小正周期为，即．那么．一条对称轴是，可得：则．即．．的最大值为．故选：．【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，考查三角函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11.已知函数，若不等式对任意上恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】对x分三种情况讨论，当x∈（0,1时，求得；当x∈时，求得；当x∈时，求得a≥3，综合即得解.【详解】由题得，取特值代入上面的不等式得a≥3，所以，（1）在x∈（0,1上，0＜x≤1＜，恒有a≤3+2x-lnx成立，记g(x)=2x-lnx+3(0＜x≤1）所以，所以所以.(2)在x∈上，，恒有，所以x∈上恒成立，又在x∈上，的最小值为5，所以.(3)在x∈时，x≥，恒有.综上.故选:C【点睛】本题主要考查分段函数和不等式的恒成立问题，考查绝对值不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.如图，抛物线：，圆：，过焦点的直线从上至下依次交，于点，，，.若，为坐标原点，则（）A. -2B. 1C. 4D.【答案】B【解析】【分析】由题可设A，其中a>0,d＜0.根据得，再利用平面向量的数量积运算化简得解.【详解】由题可设A，其中a>0,d＜0.又焦点F(1,0)，所以|FD|=1+，所以|AB|=|FA|-|OB|=，由题得.所以，所以1.故选：B【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质和定义，考查平面向量的数量积的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应的位置.13.已知向量，且，则实数__________．【答案】-2【解析】14.已知函数，则不等式的解集为__________．【答案】【解析】【分析】先求出函数的奇偶性和单调性，再利用函数的奇偶性和单调性解不等式得解.【详解】由题得函数的定义域为R,由题得=-f(x),所以函数f（x）是奇函数，因为，所以函数f(x)是定义域上的增函数，所以=f(x-4),所以2x+1＜x-4,所以x＜-5.故答案：【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.15.在正三棱柱中，，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为__________．【答案】【解析】【分析】如图，连接,则所以异面直线与所成的角就是直线和所成锐角或直角.再解三角形利用余弦定理求出异面直线与所成角的余弦值.【详解】如图，连接,则所以异面直线与所成的角就是直线和所成锐角或直角.由题得,在△中，由余弦定理得.所以异面直线与所成角的余弦值为.故答案为：【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的计算，考查空间几何体的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.16.在正项递增等比数列中，，记，，则使得成立的最大正整数为__________．【答案】9【解析】【分析】先化简得，再根据得到，再解不等式得解.【详解】由题得，因为数列是正项递增等比数,所以，所以.因为，所以，所以.所以使得成立的最大正整数为9.故答案为：9【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和，考查等比数列的通项，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题：本大题共6小题，共计70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.在中，角，，所对的边分别是，，，且.（1）求角；（2）若，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简即得；（2）由正弦定理得，再结合余弦定理可得.【详解】解：（1）由正弦定理得：，又，，得.（2）由正弦定理得：，又由余弦定理：，代入，可得.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18.随着电子商务的兴起，网上销售为人们带来了诸多便利.商务部预计，到2020年，网络销售占比将达到.网购的发展同时促进了快递业的发展，现有甲、乙两个快递公司，每位打包工平均每天打包数量在范围内.为扩展业务，现招聘打包工.两公司提供的工资方案如下：甲公司打包工每天基础工资64元，且每天每打包一件快递另赚1元；乙公司打包工无基础工资，如果每天打包量不超过240件，则每打包一件快递可赚1.2元；如果当天打包量超过240件，则超出的部分每件赚1.8元.下图为随机抽取的打包工每天需要打包数量的频率分布直方图，以打包量的频率作为各打包量发生的概率.（同一组中的数据用该组区间的中间值作代表）.（1）（i）以每天打包量为自变量，写出乙公司打包工的收入函数；（ii）若打包工小李是乙公司员工，求小李一天收入不低于324元的概率；（2）某打包工在甲、乙两个快递公司中选择一个公司工作，如果仅从日平均收入的角度考虑，请利用所学的统计学知识为该打包工作出选择，并说明理由.【答案】（1）（i）；（ii）0.4；（2）建议该打包工去甲快递公司工作.【解析】【分析】（1）（i）乙公司打包工的收入函数；（ii）由，解得，再求小李一天收入不低于324元的概率；（2）设打包工在甲、乙两个快递公司工作的日平均收入为，，先列出打包工在甲、乙两个快递公司工作的收入情况表，再求，，比较它们的大小即得解.【详解】解：（1）（i）当时，y=1.2x当时，y=12×240+(x-240)×1.8=1.8x-144所以，（ii）由，解得，∴小李一天收入不低于324元的概率为.（2）设打包工在甲、乙两个快递公司工作的日平均收入为，，用频率估计概率，则打包工在甲、乙两个快递公司工作的收入情况为故，.因为，故从日平均收入的角度考虑，建议该打包工去甲快递公司工作.【点睛】本题主要考查函数解析式的求法，考查平均值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19.已知，是椭圆：上两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设为坐标原点，为椭圆上一动点，点，线段的垂直平分线交轴于点，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）代点A,B的坐标到椭圆的方程，得到关于a,b的方程组，解方程组即得椭圆的标准方程；（2）设坐标为，求出，再利用基本不等式求得的最小值为.【详解】解：（1）代入，两点：，，，所以椭圆的标准方程为：.（2）设坐标为，则①线段的中点，，所以：.令，并结合①式得，，当且仅当，时取等，所以的最小值为.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中的最值问题和基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.如图，在四棱锥中，底面为菱形，顶点在底面的射影恰好是菱形对角线的交点，且，，，，其中.（1）当时，求证：；（2）当与平面所成角的正弦值为时，求二面角的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）先证明面，再证明；（2）以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立空间直角坐标系，由与面所成角的正弦值为得到.再利用向量法求二面角的余弦值.【详解】解：（1）∵顶点在底面的射影是，∴面，由面，∴.∵，，，连，∴，，，，∴，则，∴.由，，∴面，由面，∴，∵菱形，，∴.（2）以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，∵，则，∴.∵，则，∴，设面的法向量为，由，解得.由与面所成角的正弦值为，即有，解得.设面的法向量为，由，解得.∴二面角的余弦值.【点睛】本题主要考查空间几何元素的垂直关系，考查空间线面角和二面角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21.已知函数，其中.（1）若函数仅在处取得极值，求实数的取值范围；（2）若函数有三个极值点，，，求证：.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】(1)，因为仅在处取得极值，则.再对a 分类讨论，利用数形结合分析得到a的取值范围；(2)由题得，由题意则有三个根，则有两个零点，有一个零点，，再利用分析法证明.【详解】解：（1）由，得，由仅在处取得极值，则，即.令，则，当单调递减，单调递增，则，∴当时，，此时仅一个零点，则仅一个为极值点，当时，与在同一处取得零点，此时，，，，∴仅一个零点，则仅一个为极值点，所以a=e.当a＞e时，显然与已知不相符合.∴.（2）由，则.由题意则有三个根，则有两个零点，有一个零点，，令，则，∴当时取极值，时单调递增，∴，则时有两零点，，且，若证：，即证：，由，，则，即证：，由在上单调递增，即证：，又，则证，令，，∴.∴恒成立，则为增函数，∴当时，，∴得证.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值问题，考查分析法证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线的极坐标方程为：.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线相交于，两点，当到直线的距离最大时，求.【答案】（1）；（2）16.【解析】【分析】（1）直接利用极坐标和直角坐标互化的公式求曲线的直角坐标方程；（2）设，当到直线的距离最大时，得到，故.再利用直线的参数方程的弦长公式求.【详解】解：（1）曲线：，即：.∴曲线的标准方程为：.（2）设，当到直线的距离最大时，，故.∴的参数方程为（为参数），将直线的参数方程代入得：.∴，∴.【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角方程坐标的互化，考查直线参数方程t的几何意义的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.23.已知函数的最小值为.（1）求；（2）若正实数，，满足，求证：.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）先化简函数的解析式，再通过函数的图像得到当时，取得最小值；（2）由题得，再利用均值不等式证明不等式.【详解】解：（1），由于函数y=,减函数，y=,是减函数，y=，是增函数，故当时，取得最小值（2）.【点睛】本题主要考查分段函数的图像和性质，考查分段函数的最值和不等式的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。

班级： 姓名： 线订装绝密★启用前重庆南开中学2020级高三第三次教学质量检测理科数学时间：120分钟满分：150分命卷人：*审核人：一、选择题（每小题5分,共60分）1. 已知集合U ={1,2,3,4,5},,则C U A =( )A. {5}B. {4,5}C. {3,4,5}D. {2,3,4,5}2. 已知复数2+ai1−i为纯虚数,则实数a =( )A. 4B. 3C. 2D. 13. 已知平面向量a ⃗=(m,1),b ⃗⃗=(8,m −2),则“m =4”是“a ⃗//b⃗⃗”的( ) A. 充要条件B. 既不充分也不必要条件C. 必要不充分条件D. 充分不必要条件4. 函数f(x)=sinx −√3cosx 的一条对称轴为( )A. x =−π6B. x =−π3C. x =π6D. x =π35. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1a 2<0,a 4=6a 2+a 3,则S 4S 3=( )A. −157B. −53C. 53D.1576. 已知非零平面向量a ⃗,b ⃗⃗满足(6a ⃗+b ⃗⃗)⊥(a ⃗−b⃗⃗),,则a ⃗与b⃗⃗的夹角为( ) A. π6 B. π3C.2π3 D. 5π67. 已知定义在R 上的函数f(x)满足f(2−x)+f(x)=0,当x >1时,f(x)=x −2,则不等式f(x)<0的解集为( )A. (1,2)B. (−∞,0)C. (0,2)D. (−∞,0)∪(1,2) 8. 明代数学家程大位在《算法统宗》中提出如下向题“九百九十六斤绵,赠分八子做盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言,务要分明依次第,孝和休惹外人传”意思是将996斤绵分给八个人,从第二个人开始,每个人分得的绵都比前一个人多17斤,则第八个人分得绵的斤数为( )A. 150B. 167装订线C. 184D. 2019. 函数y =lnxcosx 的图象大致为( )A.B.C.D.10. 在ΔABC 中,AC =AB =3,点M ,N 分别在边AC ,AB 上,且AM =BN =2,BM ⊥CN ,则ΔABC 的面积为( )A. 9√1011B. 8122C. 4511D.18√101111. 在ΔABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若c −a =2acosB ,则3a+c b的最小值为( )A. √2B. √3C. 2√2D. 312. 已知数列{a n },{b n }满足:a n+1=2a n +b n ,b n+1=a n +2b n +lnn+1n3(n ∈N ∗),a 1+b 1>0,给出下列四个命题:①数列{a n −b n }单调递增;②数列{a n +b n }单调递增;③数列{a n }从某项以后单调递增;④数列{b n }从某项以后单调递增.这四个命题中的真命题是( )A. ②③④B. ②③C. ①④D. ①②③④ 二、填空题（每小题5分,共20分）13. 已知曲线y =x 3+ax 在x =1处的切线与直线y =2x +1平行,则a 的值为__________.14. 已知函数f(x)=Asin(ωx +φ),其中A >0,ω>0,φ∈(−π,π)的部分图象如图所示,则φ=__________.15. 已知函数f(x)=2e x +(1−k)x 2在(0,+∞)上单调递增,则实数k 的取值范围是__________.16. 已知平面向量a ⃗,b⃗⃗,,a ⃗⊥b⃗⃗,,则的最大值是__________.班级： 姓名： 线订装三、解答题（每小题12分,共60分）17. 已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 2,a 4,a 7成等比数列,且S 5=50. (1)求a n ; (2)求数列{1a n a n+1}的前n 项和T n .18. 在ΔABC 中,AB =2,AC =3,D 为BC 边上的中点. (1)求sin∠BADsin∠DAC的值; (2)若∠BAD =2∠DAC ,求AD .19. 某工厂生产一批零件,为了解这批零件的质量状况,检验员从这批产品中随机抽取了100件作为样本进行检测,将它们的重量(单位:g )作为质量指标值.由检测结果得到如下频率分布表和频率分布直方图.(1)求图中a ,b 的值; (2)根据质量标准规定:零件重量小于47或大于53为不合格品,重量在区间[47,49)和(51,53]内为合格品,重量在区间[49,51]内为优质品.已知每件产品的检测费用为5元,每件不合格品的回收处理费用为20元.以抽检样本重量的频率分布作为该批零件重量的概率分布.若这批零件共400件,现有两种销售方案: 方案一:对剩余零件不再进行检测,回收处理这100件样本中的不合格品,余下所有零件均按150元/件售出; 方案二:继续对剩余零件的重量进行逐一检测,回收处理所有不合格品,合格品按150元/件售出,优质品按200元/件售出. 仅从获得利润大的角度考虑,该生产商应选择哪种方案?请说明理由.20. 已知函数f(x)=ax 2−ln(x −1)+1(a ∈R)存在极值点. (1)求a 的取值范围; (2)设f(x)的极值点为x 0,若f(x 0)<x 0,求a 的取值范围.装订线21. 已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,离心率为√32,点D 在椭圆C 上,且ΔDF 1F 2的周长为4+2√3. (1)求椭圆C 的方程; (2)已知过点(1,0)的直线与椭圆C 交于A ,B 两点,点P 在直线x =4上,求的最小值.四、选做题（每小题10分,共20分）22A. 在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为(t 为参数,0<α<π),以O 为极点,x 轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方方程为ρ(1−cos2Θ)=8cosΘ. (1)判断直线l 与曲线C 的公共点的个数,并说明理由; (2)设直线l 与曲线C 交于不同的两点A ,B ,点P(1,−1),若,求tanα的值.22B. 已知实数a ,b 满足,. (1)证明:; (2)若pq >0,证明:(ap +bq)(aq +bp)⩾pq .班级： 姓名： 线 订装重庆南开中学2020级高三第三次教学质量检测理科数学答案和解析第1题： 【答案】C【解析】由集合,,则.第2题： 【答案】C【解析】复数为纯虚数,∴,,解得.第3题： 【答案】D【解析】两个平面向量,平行,则,或,所以“”是“”的充分不必要条件,故选D.第4题： 【答案】A【解析】.令,解得,, 当时,,所以A 选项是正确的.第5题： 【答案】B【解析】由已知可得,∴, 又,即,解得,∴.第6题： 【答案】C【解析】∵,∴,又∵, ∴,∴,∴与的夹角为.第7题： 【答案】D【解析】由已知,即,∴关于中心对称, 又当时,,作出函数的图象如图所示,由图可知的解集为.第8题： 【答案】C【解析】设第八人分得,则等差数列公差为,,解得.第9题： 【答案】A【解析】当时,,,∴,排除C 、D; 又当时,,,∴,排除B,故选A.第10题：装订线【答案】A【解析】由已知得,, ∵,∴,解得, ∴,∴.第11题： 【答案】C【解析】已知,根据余弦定理,可得,整理得,即,∴,∴即,当且仅当时,有最小值.第12题： 【答案】A【解析】将两式相减得,整理得,,当时,,当时,,∴①错; 将两式相加得, 化简得. 令,∴为公比等于的等比数列,其首项为, ∴,∴, ∵,∴递增,递增,∴为递增数列,∴②正确; 由上式可得,,,, ∴, 令,∴, 又,∴, ∵,递增,递增,∴为递增数列,∴③正确; 由上式可知,,, ∵,∴为递增数列,且按指数增长,为递增数列,且按对数增长,∴,使得当时,,即,∴④正确.第13题：【答案】【解析】,∴当时,; ∴据题意,得,∴,故答案为:.第14题：【答案】【解析】由图可知,,, ∴,即,得,∴, 又∵函数图像过,∴,解得, 又,∴.第15题：【答案】【解析】由已知得,∵在单调递增, ∴在上恒成立,化简得, 令,∴,∴,∴.第16题：【答案】【解析】不妨设,,,∵, ∴,代入坐标得,即, ∴以原点为起点,向量的终点在以为圆心,为半径的圆上, ∴可表示为到的距离, ∴其最大值为.第17题：【答案】见解答【解析】(1)由题知,而,故, 由,∴,,∴. (2), ∴前项和.第18题：【答案】见解答【解析】(1)由题知,即, ∴. (2)由,∴∴, 在中,, 在中,,而,∴.第19题：【答案】见解答【解析】(1)由题知,. (2)该工厂若选方案一:收入为元, 若选方案二:收入为元, 利润方案二比方案一高元,所以,选方案二.第20题：【答案】见解答班级：姓名： 线订装【解析】(1)函数的定义域为,, 当时,,无极值点;当时,或,设,则,当时,的两根一个小于、一个大于,故有一个极值点;当时,对称轴为知的两根均小于,故无极值点;综上所述,. (2)由(1)知且,∴,,令,显然在上单增,又,∴即,∴,∴.第21题：【答案】见解答【解析】(1)由题意可得:,解得:,故椭圆方程为:. (2)①当直线与轴平行时,取,,,则,,,所以最小值为; ②当直线不与轴平行时,设,,,设直线方程为. 联立方程有, 设线段的中点为,则有,其中, 令,则, 又令,则, 当,即时,取最小值, 当且当时取等号, 所以,,当时取等号. ∴的最小值为.第22A 题： 【答案】见解答【解析】(1), 即,将直线的参数方程代入得, 即,由知,,故直线与曲线有两个公共点. (2)由(1)可设方程的两根为,, 则,, 故, ∴,即,∴.第22B 题： 【答案】见解答 【解析】(1)∵,故. (2), 由,得,得证.。

绝密★启用前重庆南开中学2020级高三第四次教学质量检测考试理科数学本卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1. 已知复数z 满足i i z 2)1(=+，其中i 为虚数单位，则复数z 的模=||z （ ）A. 1B.C. 2D. 2. 抛物线y x 22=的焦点到准线的距离为（ ）A. 4B. 2C. 1D.143. 已知全集R U =，集合{}0)4(<-=x x x A ，{}1)1(log 2>-=x x B ，图中阴影部分所表示的集合为 （ ）A. {}21<<x xB. {}32<<x xC. {}30≤<x xD. {}40<<x x 4. 已知b a ,均为实数，则下列说法一定成立的是（ ）A.若a b >，c d >，则cd ab >B. 若ba 11>，则b a < C.若b a >，则22b a >D. 若b a <||，则0>+b a5. 已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，a x x f x -+=22)(，则=-)1(f （ ）A. 3B. 3-C. 2-D. 1-6. 已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则圆C 的方程为 （ ）A. 22230x y x +--=B. 2240x y x ++=C. 22230x y x ++-=D. 2240x y x +-=7. 诗歌是一种抒情言志的文学载体，用高度凝练的语言、形象表达作者丰富的情感，诗歌也可以反映数量关系的内在联系和规律，人们常常把数学问题和算法理论编成朗朗上口的诗歌词赋，是抽象理性的数学问题诗词化，比如诗歌：“十里长街闹盈盈，庆祝祖国万象新；佳节礼花破长空，长街灯笼胜繁星；七七数时余两个，八个一数恰为零；三数之时剩两盏，灯笼几盏放光明”，则此诗歌中长街灯笼最少几盏（ ）A.70B.128C.140D.1508. 若等边ABC ∆的边长为1，点M 满足CA CB CM 2+=，则=⋅MB MA （ ）B.2C.D.39．已知),(y x P 为不等式组(2)(2)00y x y x x a -+≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域内任意一点，当该区域的面积为2时，函数y x z +=的最大值是（ ）A.3B.2C.1D.010. 如图，ABC ∆内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且1c o s 2b c a C -=，延长BA 至D ，是B C D ∆是以BC 为底边的等腰三角形，6π=∠ACD ，当2=c 时，边=CD（ ）A. 3B. 2C. 42+D.23+11. 已知曲线x ae x f =)()0(>a 与曲线)0()(2>-=m m x x g 有公共点，且在该点处的切线相同，则当m 变化时，实数a 的取值范围是（ ）A. 24(0,)e B. 6(1,)e C. )4,0(e D. )8,1(2e12. 如图，已知双曲线)0(12222>>=-a b by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点A ，若21F AF ∆的内切圆半径为4b，则双曲线的离心率为（ ）A.3B.54C.53D.2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知3tan =α，则=++ααααsin 3cos sin cos 2__________.14. 已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的上顶点为B ，右焦点为)0,2(F ，)0,22(aM -，且满足BM BF ⊥，则椭圆C 的标准方程为__________.15. 已知实数1,>b a ，且满足5=--b a ab ，则b a 32+的最小值为__________.16. 在学习导数和微积分是，应用到了“极限”的概念，极限分为函数极限和数列极限，其中数列极限的概念为：对数列{}n a ，若存在常数A ，对于任意0>ε，总存在正整数0N ，使得当0N n ≥时，ε<-||A a n 成立，那么称A 是数列{}n a 的极限，已知数列{}n b 满足：1211+=+n n b b ，31=b ，*N n ∈，由以上信息可得{}n b 的极限=A __________，且001.0=ε时，0N 的最小值为__________. 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n n S a ,,2成等差数列，令*2,log N n a b n n ∈=.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）令n n n b a c ⋅=，求数列{}n c 的前n 项和.n T18．（本小题满分12分）已知向量)3,(sin -=x ，)cos ,1(x =，且函数().f x m n = （1）若]2,0[π∈x ，且32)(=x f ，求x sin 的值； （2）若将函数)(x f 的图像上的点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的21，再将所得图像向左平移4π个单位，得到)(x g 的图像，求函数)(x g 在]2,0[π∈x 的值域。

重庆南开中学2020级高三第三次教学质量检测考试理科数学一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.已知集合{1,2,3,4,5}U =，{}2|30A x x x =∈-<Z ，则U A =ð（ ）A. {}5B. {}4,5C. {}3,4,5D. {}2,3,4,52.已知复数21aii+-纯虚数，则实数a =（ ）A. 4B. 3C. 2D. 13.已知平面向量()()182a m b m ==-r r ，，，，则“4m =”是“//a b r r”的（ ）A. 充要条件B. 既不充分也不必要条件C. 必要不充分条件D. 充分不必要条件4.函数()sin f x x x =的一条对称轴为（ ） A. 6x π=-B. 3x π=-C. 6x π=D. 3x π=5.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，120a a <，4236=+a a a ，则43S S =（ ） A. 157-B. 53-C. 53D. 1576.已知非零平面向量a br r ，满足()()64a b a b b a +⊥-=r r r r r r ，，则a r 与b r 的夹角为（ ） A.6π B.3π C.23π D.56π 7.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()20f x f x -+=，当1x >时，()2f x x =-，则不等式()0f x <的解集为（ ）A. ()12，B. ()0-∞，C. ()02，D. ()()012-∞⋃，， 8.明代数学家程大位在《算法统宗》中提出如下问题“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次第，孝和休惹外人传.”意思是将996斤绵分给八个人，从第二个人开始，每个人分得的绵都比前一个人多17斤，则第八个人分得绵的斤数为（ ）A. 150B. 167C. 184D. 2019.函数lncosxyx的图象大致为（）A.B.C.D10.在ABC ∆中，3AC AB ==，点M ，N 分别在AC AB ，上，且2AM BN ==，⊥BM CN ,则ABC ∆的面积为（ ）A.B.8122C.4511D.11.在ABC ∆中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若2cos c a a B -=，则3a cb+的最小值为（ ）A.B.C. D. 312.已知数列{}n a ，{}n b 满足：12n n n a a b +=+，()*1312lnn n n n b a b n N n++=++∈，110a b +>，给出下列四个命题：①数列{}n n a b -单调递增；②数列{}n n a b +单调递增；③数列{}n a 从某项以后单调递增；④数列{}n b 从某项以后单调递增.这四个命题中的真命题是：（ ） A ②③④B. ②③C. ①④D. ①②③④本试卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知曲线3y x ax =+在1x =处的切线与直线21y x =+平行，则a 的值为___________．14.已知函数()()sin f x A x =+ωϕ，其中()00A ωϕππ>>∈-，，，的部分图象如图所示，则ϕ=______________．15.已知函数()()221xf x e k x =+-在()0+∞，上单调递增，则实数k 的取值范围是__________． 16.已知平面向量a b r r，满足：2a b ==r r ，⊥r r a b ，22230-⋅+=r r r r b b c c ，则2a c +r r 的最大值是__________． 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为247n S a a a ，，，成等比数列，且550S =． （1）求n a ；（2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和．18.在ABC ∆中，23AB AC D ==，，为BC 边上的中点． （1）求sin sin BADDAC∠∠的值；（2）若2BAD DAC ∠=∠，求AD ．19.某工厂生产一批零件，为了解这批零件的质量状况，检验员从这批产品中随机抽取了100件作为样本进行检测，将它们的重量（单位：g ）作为质量指标值．由检测结果得到如下频率分布直方图．（1）求图中a b ，的值；（2）根据质量标准规定：零件重量小于47或大于53为不合格品，重量在区间[)4749，和(]5153，内为合格品，重量在区间[]4951，内为优质品．已知每件产品的检测费用为5元，每件不合格品的回收处理费用为20元．以抽检样本重量的频率分布作为该零件重量的概率分布．若这批零件共m 件()*100m m N>∈，，现有两种销售方案：方案一：不再检测其他零件，整批零件除对已检测到的不合格品进行回收处理，其余零件均按150元/件售出；方案二：继续对剩余零件的重量进行逐一检测，回收处理所有不合格品，合格品按150元/件售出，优质品按200元/件售出．仅从获得利润大的角度考虑，该生产商应选择哪种方案？请说明理由．20.已知函数()()()2ln 11f x ax x a R =--+∈存在极值点．（1）求a 的取值范围；（2）设()f x 的极值点为0x ，若()00f x x <，求a 的取值范围．21.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为12F F ，D 在椭圆C 上，且12DF F ∆的周长为．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知过点()10，的直线与椭圆C 交于A B ，两点，点P 在直线4x =上，求222PA PB AB ++的最小值．请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t xy t x=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数，0απ<<），以O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()12cos28cos ρθθ-=． （1）判断直线l 与曲线C 的公共点的个数，并说明理由； （2）设直线l 与曲线C 交于不同两点A B ，，点()11P -，，若1143PA PB -=，求tan α的值． 23.已知实数a b ，满足33a b +≥，1a b -≤． （1）证明：1a b +≥；（2）若0pq >，证明：()()ap bq aq bp pq ++≥．的。

重庆市南开中学2020届上学期期中考试高三数学（理）试题考试说明：试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求） 1.若复数2323z i i i =-+（其中i 为虚数单位），则z =（ ）A ．4B ．．2 D2.已知集合{}2340A x x x =+-≤，}11|{<=xx B ，那么=B A （ ） A.]1,4[- B.[]1,4- C.),1(+∞ D.)0,4[- 3.若递增的等比数列{}n a 满足1442425364=+-a a a a a a ，则=-35a a （ ） A.6 B.8 C.10 D.12 4.若R c b a ∈,,，则下列说法正确的是（ ） A.若b a >则22b a > B.若b a >则ba 11< C.若b a >则c b c a ->- D.若b a >则22bc ac > 5.已知向量)1,1(),,2(-==x ，且)//(+，则=⋅b a （ ） A.4 B.2 C.1- D.6 6.已知函数)2||,0)(sin()(πϕωϕω<>+=x x f 的部分图象如图所示，将)(x f 的图象向左平移4π个单位，则得到的新函数图象的解析式为（ ）A.)32cos(π+=x y B.cos(2)6y x π=+ C.)1272sin(π+=x y D.)122sin(π+=x y7.我国古代数学专著《九章算术》中有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里，驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，则需（ ）日两马相逢A.16B. 12C.9D.88.设0,0>>y x 且4=+y x ，则2122+++y y x x 的最小值是（ ） A.716 B.37 C.1023D.499.如图是2017年上半年某五省GDP 情况图，则下列叙述正确的是（ ） ①与去年同期相比，2017年上半年五个省的GDP 总量 均实现了增长；②2017年上半年山东的GDP 总量和增速均居第二； ③2016年同期浙江的GDP 总量高于河南；④2016和2017年上半年辽宁的GDP 总量均位列第五. A.①② B.①③④ C.③④ D.①②④10.正项数列{}n a 前n 项和为n S ，且2,,n n n a S a （*N n ∈）成等差数列，n T 为数列}{n b 的前n 项和，且21nn a b =，对任意*N n ∈总有)(*N K K T n ∈<，则K 的最小值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.411.若函数⎪⎩⎪⎨⎧<+++>-=)0(21)0(ln )(2x a x x x x x a x f 的最大值为)1(-f ，则实数a 的取值范围是（ ） A.]2,0[2e B.]2,1(2e C.]2,0[3e D.]2,(3e e12.已知单位向量,,,满足：,3||,=-⊥向量)sin (cos 2222⋅+⋅=θθ （R ∈θ），则)()(-⋅-的最小值为（ ） A.23B.1C.122-D.21第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，各题答案必须填写在答题卡上相应位置）13.已知向量,a b 的夹角为45，且1,210a a b =-=，则b =14.已知函数)(x f 是定义在实数集R 上周期为2的奇函数，当]1,0(∈x 时，)1lg()(+=x x f ，则=+14lg )52018(f 15.已知ABC ∆三内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且22cos 2sin 22=+CC , 若c b a ,,成等比数列，则A sin =16.为庆祝党的十九大的胜利召开，小南同学用数字1和9构成数列}{n a ，满足：11=a ，在第k 个1和第1+k 个1之间有12-k 个9)(*N k ∈，即1,9,1,9,9,9,1,9,9,9,9,9，……，设数列}{n a 的前n 项和为n S ，若2050()m S m N *=∈，则=m三、解答题：（本大题共6个小题，共70分）各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）17.（本小题满分12分）设等差数列}{n a 的前n 项和为*,N n S n ∈，公差0≠d ，153=S ， 且1341,,a a a 成等比数列.（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）设142++=n a b n n ，求数列}{n b 的前n 项和.18.（本小题满分12分）甲、乙两所学校的代表队参加诗词大赛，在比赛第二阶段，两队各剩最后两个队员上场，甲队两名队员通过第二阶段比赛的概率分别是21和32，乙队两名队员通过第二阶段比赛的概率都是21，通过了第二阶段比赛的队员，才能进入第三阶段比赛（若某队两个队员都没有通过第二阶段的比赛，则该队进入第三阶段比赛的人数为0），所有参赛队员比赛互不影响，其过程、结果都是彼此独立的. （Ⅰ）求甲、乙两队进入第三阶段比赛的人数相等的概率；（Ⅱ）设X 表示进入第三阶段比赛甲、乙两队人数差的绝对值，求X 的分布列和数学期望.19.（本小题满分12分）已知向量)1,(cos ),43,(sin -==x n x m ，设x f ⋅+=)(2)(（Ⅰ）若23)(=x f ，求x 的所有取值； （Ⅱ）已知锐角ABC ∆三内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若)(2c a a b +=，求)(A f 的取值范围.20.（本小题满分12分）设椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C ，以短轴为直径的圆O 面积为π2，椭圆上的点到左焦点的最小距离是22-，O 为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆C 和圆O 的方程；（Ⅱ）如图，B A ,为椭圆的左右顶点，N M ,分别为圆O 和椭圆C 上的点，且x MN //轴，若直线BN AN ,分别交y 轴于E D ,两点（N M ,分别位于y 轴的左、右两侧）. 求证：MD ME ⊥，并求当314||=⋅∆DEN S OD 时直线AN 的方程.21.（本小题满分12分）已知函数xx x a x f 1ln 2)(+-=. （Ⅰ）若2=a ，求)(x f 在)0,1(处的切线方程；（Ⅱ）若)(x f 对任意]1,0(∈x 均有0)(≥x f 恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）求证：2111ln 1()2nk k n N k n *=+<-∈+∑.请从下面所给的22、23两题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。