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复合函数单调性

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复合函数单调区间

复合函数单调区间

复合函数单调区间
复合函数的单调性可以通过分析各个函数的单调性来得到。

如果函数f(x) 和g(x) 都是在某个区间上单调递增或单调递减的，则复合函数 h(x) = f(g(x)) 在该区间上也是单调递增或单调递减的。

具体来说，设函数 f(x) 在区间 I 上是单调递增或单调递减的，
函数 g(x) 在区间 J 上是单调递增或单调递减的。

如果区间 J 的值域是区间 I 的子集，则复合函数 h(x) = f(g(x)) 在区间 J 上也
是单调递增或单调递减的。

举个例子，假设函数 f(x) = x^2，在区间I = [0, ∞) 上是单调递
增的；函数 g(x) = x+1，在区间 J = (-∞, ∞) 上是单调递增的。

由于区间 J 的值域 (-∞, ∞) 包含了区间 I，所以复合函数 h(x) =
f(g(x)) = (x+1)^2 在整个区间 J 上都是单调递增的。

需要注意的是，这里的结果只适用于两个函数的单调性相互影响的情况。

如果函数 f(x) 和 g(x) 的单调性没有明显的关系，
那么复合函数的单调性也很难确定。

在这种情况下，可以考虑绘制函数图像或利用导数分析来判断复合函数的单调性。

复合函数的单调性

复合函数的单调性

练习.求函数y 3x2x6的单调递减区间。
解：函数f (x)的定义域是 R。
令u
x2
x
6
x
1
2
13
, 则y
3u
2 2
y 3u 在定义域内是增函数。
又u
x
1 2
2
13 2
在
,
1 2
上是减函数，在
1 2
,上是增函数。
y
3x2
x6
在
,
1 2
上是减函数，在
1 2
,
上是增函数。
y
3x2
复合函数y=f[g(x)]单调性
3、对于复合函数y f [g(x)]的单调性，必须考虑y f (u)与 u g(x)的单调性，从而得出y f [g(x)]的单调性。
y f (u)
增函数
u g(x)
增函数
y f [g(x)] 法
增函数
则
增函数
减函数
减函数
同
减函数
增函数
减函数
增
减函数
减函数
又u x 22 1在2,3上是减函数。
y x2 4x 3在2,3上是减函数。
故函数y x2 4x 3的单调递减区间为2,3。
(问：函数y x2 4x 3的单调递增区间是什么？）
例4.求f (x) log x2 4x 3 的单调区间。 0.4 解： x2 4x 3 0 1 x 3,即定义域为1,3 令u x2 4x 3 x 22 1,
增函数
异
规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数； 减
当两个函数的单调性不相同时，其复合函数是减函数。
例1、求函数y x2 2x-3的单调区间。

关于复合函数的单调性问题

关于复合函数的单调性问题

关于复合函数的单调性问题函数单调性是函数的核心内容之一，也是高考中重点考查的知识，又多以考查复合函数的单调性居多. 复合函数的单调性的复合规律为：若函数y=f(u)与u=g(x)的增减性相同(相反)，则y=f[g(x)]是增(减)函数，可概括为“同增异减” .为了帮助学生对复合函数的单调性进一步有一个全面的认识，本文结合几道例题，对复合函数的单调区间的求法及单调性的应用加以归纳总结，供学生在学习中参考.一、外函数与内函数只有一种单调性的复合型：例1已知函数y=loga(2-ax)在[0,1]上是x的减函数，则a的取值范围是( )(A).(0,1) (B).(1,2)(C).(0,2) (D). 2，+∞)解：设y= logau，u=2-ax，∵a是底数，所以a>0，∵函数y=loga u在u∈[0,1]上是减函数，而u=2-ax在区间x∈[0,1]上是减函数，∴y= logau是u∈(0, +∞)上的增函数，故a>1，还要使2-ax>0在区间上总成立，令g(x)= 2-ax，由{g(0)=2-a·0>0g(1)=2-a·1>0 ，解得a0知函数的定义域为x ＜1或x＞3因y=㏑u在u∈(0,+∞)上是增函数，而u= x2－4x+3在x∈(-∞，1)上是减函数，在(3，+ ∞)上是增函数，根据复合规律知，函数y=㏑(x2－4x+3) 在x∈(-∞，1)上是减函数，在(3，+ ∞)上是增函数。

例3讨论函数y=0.8x2-4x+3的单调性。

解：函数定义域为R。

令u=x2-4x+3，y=0.8u。

指数函数y=0.8u在(-∞，+∞)上是减函数，u=x2-4x+3在(-∞，2]上是减函数，在[2，+∞)上是增函数，∴函数y=0.8x2-4x+3在(-∞，2]上是增函数，在[2，+∞)上是减函数。

三、外函数有两种单调性，而内涵数只有一种单调性的复合型：例4 在下列各区间中，函数y=sin(x+π4)的单调递增区间是( )(A).[π2，π](B).[0，π4] (C).[-π，0](D). [π4，π2]解：令y=sinu，u=x+π4，∵y=sinu在u ∈[2kπ- π2，2kπ+ π2](k∈Z)上单调递增，在u ∈[2kπ- π2，2kπ+π2](k∈Z)上单调递增，而u=x+π4在R上是增函数，根据函数单调性的复合规律，由2kπ- π2≤x+π4≤2kπ+ π2得2kπ- 3π4≤x≤2kπ+π4，当k=0时，- 3π4≤x≤π4，故选(B) .例5讨论函数y=(log2x)2+log2x的单调性。

复合函数的单调性及单调性的应用 课件

复合函数的单调性及单调性的应用 课件

【讲评】 求复合函数的单调区间要充分利用基本函数的 单调性，分式函数、偶次方根函数一定要先求函数的定义域．
探究1 复合函数的单调性的判定见下表：
t＝g(x) y＝f(t) y＝f[g(x)]
增
增
增
增
减
减
减
增减减源自减增注意 (1)判断复合函数的单调性时，首先求出复合函数的 定义域．
(2)上述表格可以总结成一句话：“同增异减”．
【解析】 由题意可知，f(x)的对称轴为x＝2. 故f(1)＝f(3)． ∵f(x)在[2，＋∞)上是增函数(开口向上)， ∴f(2)＜f(3)＜f(4)，即f(2)＜f(1)＜f(4)．
【讲评】 若函数f(x)满足等式f(m＋x)＝f(m－x)，则f(x)关 于x＝m对称．
探究2 比较大小：比较两个函数值的大小，一定要把两个 自变量的值置于同一个单调区间内！
(2)求函数y＝ 1－2x的单调区间． 【思路点拨】 首先，求函数定义域，其次要清楚是由哪 几个函数复合而成．
【解析】
由1－2x≥0，得x≤
1 2
，而函数y＝
1－2x 是由y
＝ t及t＝1－2x复合而成的．
在(－∞，12]上，t＝1－2x是减函数，y＝ t是增函数，∴y＝
1－2x在(－∞，12]上是减函数．
探究3 本题没有解析式，但已知函数的单调性，为解抽象 函数的不等式，其解法主要是利用函数的单调性及存在性而得 出相应的解集，这也是高考中常用来考查函数的一种方法．此 题一定要注意函数的定义域．
思考题3 已知函数y＝f(x)在R上是增函数，且f(0)＝1，求 不等式f(2x－1)－1＞0的解集．
【答案】 (12，＋∞)
思考题1 写出函数y＝ 3x＋2的单调区间． 【答案】 单调增区间[－23，＋∞)

复合函数的单调性解读

复合函数的单调性解读
2 2
为此变形. 2 f ( x) x 1 x
1
2
x 1 x 2 当x 0且不断增大时 , x 1 x也随之增大,
所以 x 1 x反而减小 .
2
综合(1), (2)已知f ( x) x 1 x
2
在R内是减函数 .
练习3.证明函数f ( x) x 1 x在其定义域内
2
是减函数.
证明: ∵函数f (x)的定义域为R. 解法一：∴设x1,x2∈R且x1< x2则
f ( x1 ) f ( x2 ) x 1 x 1 ( x2 x1 )
2 2 2 1

x x
2 2 2 1
2 1 2 2
例3：设y=f(x)的单 增区间是(2,6)，求 函数y=f(2－x)的单 调区间。
解：令t ( x) 2 x, 则由已知得 f (t )在t （2， 6）上是增函数， 而t ( x) 2 x （2， 6） x （－4， 0） 又t ( x) 2 x在x (4,0)上 是单减的， 由复合函数单调性可知， f (2 x) f [t ( x)]在x （－4， 0） 上是单调递减的。 f (2 x )的单减区间是（－ 4， 0）
2 1 2 2
x1 x2 1 0, x2 x1 0, x 1 0, x 1 0
f ( x)在(1,1)上,当a 0时, 为减函数 . 当a 0时为增函数, 当a 0时为常数函数 .
复合函数单调性:1.利用已知函数单调性进行判断
例1：判断函数
( x 2) y 2 x 4x
练习：如果 f(x)=x2－(a－1)x+5 在区间（0.5，1） 上是增函数，那么 f(2)的取值范围是什 么？ 答案：[7,＋∞）

复合函数单调性

复合函数单调性

复习：
减函数：若对于定义域内某个区间上的任意两个自变量
的值x1，x2，当x1<x2时，都有f（ x1 ）>f （ x2 ），则就说f（x）在这个区间上是减函 数。
单调性与单调区间：
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或者减函数， 则说函数y=f(x)在这一区间上具有严格的单调性， 这一个区间叫做函数y=f(x)的单调区间

学习目的：
进一步掌握函数单调性的判定和证明 了解复合函数单调性的判断和证明 复合函数单调性的判断方法
重点难点： 重点： 证明函数单调性的方法和步骤 难点： 复合函数单调性的判断方法
若对于定义域内某个区间上的任意两个自变量 增函数：的值x1，x2，当x1< x2时，都有f（ x1 ）<f （ x2 ），则就说f（x）在这个区间上是增函 数。
例1: 已知函数f(x)在R上是增函数， g(x)在[a,b]上是减函数， 求证：f[g(x)]在[a,b]上是减函数.
证明：设x1,x2∈[a,b],且x1<x2，
∵g(x)在[a,b]上单调递减， ∴g(x1) >g(x2), 又f(x)在R上递增， 而g(x1)∈R，g(x2)∈R， ∴f[g(x1)]>f[g(x2)], ∴f[g(x)]在[a,b]上是减函数.
规律如下：
y=f(u) 增↑ u=g(x) 增↑ 减↓ y=f[g(x)] 增↑ 减 ↓
减↓ 增↑ 减↓ 减↓ 增↑
注：
1、复合函数y=f[g(x)]的单调区 间必须是其定义域的子集 2、对于复合函数y=f[g(x)]的单 调性是由函数y=f(u)及u=g(x)的 单调性确定的且规律是“同增， 异减”
复习：
判断函数在某个区间上的单调性的 步骤：

(完整版)复合函数单调性的判定方法

复合函数单调性的判定方法定理设y＝f(u)，u∈(m，n)，u＝g(x)，x∈(a，b)．(1)若y＝f(u)是(m，n)上的减函数，则y＝f[g(x)]的增减性与g(x)的增减性相反；(2)若y＝f(u)是(m，n)上的增函数，则y＝f[g(x)]的增减性与g(x)的增减性相同．证明：(1)若g(x)在(a，b)上是增函数，任取a＜x1＜x2＜b，则有m＜g(x1)＜g(x2)＜n，由f(u)在(m，n)上是减函数得f[g(x1)]＞f[g(x2)]，故f[g(x)]在(a，b)上是减函数．若g(x)在(a，b)上是减函数，同理可证f[g(x)]在(a，b)上是增函数．(2)若g(x)在(a，b)上是增函数，任取a＜x1＜x2＜b，则有m＜g(x1)＜g(x2)＜n，由f(u)在(m，n)上是增函数，得f[g(x1)]＜f[g(x2)]，所以f[g(x)]在(a，b)上是增函数．若g(x)在(a，b)上是减函数，同理可证f[g(x)]在(a，b)上是减函数．由此定理可知，复合函数单调性的判定是以简单函数的单调性为基础，而中学数学中的简单函数均是初等函数，因此熟悉各种初等函数的单调性是判定复合函数单调性的基础．若能对各种初等函数的图象了如指掌，则对复合函数的单调性的判定将大有裨益．我们就可借助初等函数的图象确定它的单调性，判定它的单调区间和函数值域，再利用上述定理就很容易判定复合函数的单调性．例1讨论函数f(x)＝log0.5(x2＋4x＋4)的单调性．解 f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)．f(x)可视为y＝log0.5u与u＝x2＋4x＋4复合而成．u的图象是以x＝－2为对称轴，开口向上的抛物线，在(－∞，－2)上为减函数，在(－2，＋∞)上为增函数．又y＝log0.5u在其定义域上是减函数，故f(x)在(－∞，－2)上是增函数，在(－2，＋∞)上是减函数．例2试求函数f(x)＝2x2的单调区间．解函数f(x)＝2x2可视为f(u)＝2u与u＝x2复合而成．函数u ＝x2在(－∞，0]上为减函数，在[0，＋∞)上为增函数，且u≥0．函数f(u)＝2u在u≥0时为增函数．所以，f(x)在(－∞，0]上为减函数．在[0，＋∞)上为增函数．推论由有限个简单函数复合而成的多重复合函数，若在所讨论的区间内每个简单函数均有意义，且均为严格单调函数．当其中减函数的个数是偶数时，则复合函数是增函数；当减函数的个数是奇数时，则复合函数是减函数．(1)若0＜a＜1．当x＜－1时，在构成复合函数的三个函数中，u和v＝x2－x－2是减函数，则f(x)是增函数．当x＞2时，y＝logau是减函数，则f(x)在构成复合函数的三个函数中，只有y＝loga是减函数．(2)若a＞1，当x＜－1时，构成复合函数的三个函数中只有一个函数y＝logu是减函数，则f(x)是减函数．当x＞2时，构成a复合函数的三个函数都是增函数，则f(x)是增函数．。

复合函数单调性课件


复合函数单调性与极值的关系
总结词
复合函数的单调性与极值之间存在密切关系。
详细描述
当一个复合函数在某区间内单调递增或递减时，该函数在该区间内可能存在极值点。极值点是函数值发生变化的点， 它们对于确定函数的整体性质具有重要意义。
举例
设 $f(x) = x^3$，这是一个关于 $x$ 的单调递增的复合函数。在 $x = 0$ 处，该函数取得极小值点；而 在 $x < 0$ 或 $x > 0$ 的区间内，该函数是单调递增的。
复合函数的表示方法
设$y = f(u)$，$u = g(x)$，则复合 函数为$y = f(g(x))$。
复合函数的性质
连续性
复合函数在定义域内连续，即若 $f(u)$和$g(x)$在各自的定义域
内连续，则复合函数$y = f(g(x))$在定义域内也连续。
可导性
若$f(u)$和$g(x)$在各自的定义域 内可导，则复合函数$y = f(g(x))$ 在定义域内也可导。
导数的几何意义
表示曲线在某点的切线斜率。
03
导数的应用
判断函数的单调性、求极值、求拐点等。
02
单调性的概念与性质
单调性的定义
定义
如果对于任意$x_{1} < x_{2}$，都有$f(x_{1}) leq f(x_{2})$（或$f(x_{1}) geq f(x_{2})$），则称函数$f(x)$在区间$I$上单调递增（或单调递减）。
举例
设 $f(x) = x^2$，$g(x) = frac{1}{x}$，$h(x) = log_2(x)$ ，考虑复合函数 $f(g(h(x))) = (log_2x)^2$。在 $x > 1$ 的区 间内，该复合函数是单调递增的 ，而在 $0 < x < 1$ 的区间内， 该复合函数是单调递减的。

复合函数单调性

复合函数单调性一般地，设函数)(x g =ω在区间M 上有意义，函数)(ωf y =在区间N 上有意义，且当M x ∈时，N ∈ω有以下四种情况：（1）若)(x g =ω在M 上是增函数，)(ωf y =在N 上是增函数，则)]([x g f y =在M 上也是增函数；（2）若)(x g =ω在M 上是增函数，)(ωf y =在N 上是减函数，则)]([x g f y =在M 上也是减函数；（3）若)(x g =ω在M 上是减函数，)(ωf y =在N 上是增函数，则)]([x g f y =在M 上也是减函数；（4）若)(x g =ω在M 上是减函数，)(ωf y =在N 上是减函数，则)]([x g f y =在M 上也是增函数。

注意：内层函数)(x g =ω的值域是外层函数)(ωf y =的定义域的子集。

规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不同时，其复合函数为减函数。

即我们所说的“同增异减”规律。

求y=122)21(--x x 的单调区间.解 ： 设y=u)21(.由u ∈R,u=x 2－2x －1,解得原复合函数的定义域为x ∈R.因为y=u)21(在定义域R 内为减函数,二次函数u=x 2－2x －1的单调性与复合函数的单调性相反.易知,u=x 2－2x －1=(x －1)2－2在x ≤1时单调减，由x ∈R, (复合函数定义域)x ≤1， (u 减)解得x ≤1.所以(－∞，1］是复合函数的单调增区间.同理［1，+∞)是复合函数的单调减区间. y=x17.0;((－∞，0)，(0，+∞)均为单调增区间.)y=232x -;(－∞，0)为单调增区间，(0，+∞)为单调减区间) y=3)31(+x ,((－∞，+∞)为单调减区间.)y=227x x -；((－∞，1)为单调增区间，(1，+∞)为单调减区间.)指数运算和指数函数1.根式的性质（1）当n 为奇数时，有a a n n = （2）当n 为偶数时，有⎩⎨⎧<-≥==)0(,)0(,a a a a a a n n （3）负数没有偶次方根 （4）零的任何正次方根都是零2.幂的有关概念(1)正整数指数幂：)(.............*∈⋅⋅=N n a a a a a n n(2)零指数幂)0(10≠=a a (3)负整数指数幂 ).0(1*∈≠=-N p a a ap p (4)正分数指数幂 )1,,,0(>*∈>=n N n m a a a n m n m且(5)负分数指数幂 n mn ma a 1=-)1,,,0(>*∈>n N n m a 且(6)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义3.有理指数幂的运算性质(1)),,0(,Q s r a a a a s r s r ∈>=⋅+ (2)),,0(,)(Q s r a a a rs s r ∈>=(3)),0,0(,)(Q r b a a a ab s r r ∈>>⋅=4．指数函数定义：函数)10(≠>=a a a y x且叫做指数函数。

复合函数的单调性-高中数学知识点讲解

复合函数的单调性
1．复合函数的单调性
【知识点的认识】
所谓复合函数就是由两个或两个以上的基本函数构成，这种函数先要考虑基本函数的单调性，然后再考虑整体的单调性．平常常见的一般以两个函数的为主．
【解题方法点拨】
求复合函数y＝f（g（x））的单调区间的步骤：
（1）确定定义域；
（2）将复合函数分解成两个基本初等函数；
（3）分别确定两基本初等函数的单调性；
（4）按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间．
【命题方向】
理解复合函数的概念，会求复合函数的区间并判断函数的单调性．
1/ 1。

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注： 在利用函数的 单调性解不等式的 时候，一定要注意 定义域的限制。 保证实施的是等价 转化
解：依题意， f ( x 1) f ( x 2 1)
易错点
1 x 1 1 x 1 x2 1 0 x2 0 x 2 21 x 0或x 1
2
y u在 ［ 0， ＋） 为 增 函 数 ， 而u x 2 2x - 3在 （ － ， －3 ］为减函数 在［ 1， ＋） 上 为 增 函 数
函数y x2 2x-3的单调递增区间为［1，＋）， 单调递减区间为（－，－3 ］
题型2.解不等式
例3：已知：f(x)是定 义在[－1,1]上的增函数，可转化为不等式组 且f(x－1)<f(x2－1), 1 x 1 1 求x的取值范围。 2
性,并求其值域.
求函数y log 2 (x 2x 3)的单调区间
2
解：x 2x - 3 0 x -3 ，或x 1
2
例1、求函数y x 2x-3的单调区间。
2
原函数的定义域为（－ ，－ 3 ］ ［ 1 ，＋）
令u x 2x - 3 , 则y u
复合函数f[g(x)]由f(u)和g(x)的 单调性共同决定。它们之间有 如下关系：
f(u) g(x) f[g(x)]
法 则 同 增 异 减
三个函数y=f(u),u=g(x),y=f[g(x)]中，若有两个函数 单调性相同，则原函数为增函数；若有两个函数单 调性相反，则原函数为减函数。
2 x2 2 x 讨论函数f(x)= ( ) 的单调 3
复习准备
1、函数单调性的定义是什么？
对于给定区间I上的函数f(x)， 若对于I上的任意两个值x1,x2，当 x1<x2时，都有f(x1)<(>)f(x2),则称f(x) 是I上的增（减）函数，区间I称为 f(x)的增（减）区间。
复习准备
2、证明函数单调性的步骤是什么？ 证明函数单调性应该按下列步骤进行：
第一步：取值
第二步：作差变形第三步：源自号第四步：判断下结论复合函数的单调性
复合函数： 令 则 u=g(x) y=f(u)
y=f[g(x)]
内函数 外函数 原函数 以x为自变量 以u为自变量 以x为自变量
y=f[g(x)]
复合函数单调性定理：
①当内外函数在各自定义域内同增同减时，原函数增 ②当内外函数在各自定义域内一增一减时，原函数减
解此类题型关 键在于充分利用题 目所给的条件，本 题就抓住这点想办 法构造出f(8)=3,这 样就能用单调性解 不等式了。
由题意有 f ( x 2 x ) f (8)
2
f ( x )为R 上 的 增 函 数 x0 4 x 2 0 解得x 2， x2 2x 8
＋
x 2
例4：已知f(x)在其定 解： f ( xy) f ( x ) f ( y ) 义域R＋上为增函数， f ( 4) f ( 2) f ( 2) 2 f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y). f ( 8) f ( 4) f ( 2 ) 3 解不等式 f(x)+f(x－2) ≤3 又f ( x) f ( x 2) f ( x 2 2 x)