西南大学网络与继续教育学院课程考试试题卷线性代数答案

0044 20221单项选择题1、（）1.2.3.4.2、（）1.2.3.4.3、（1. 42. 13. 34. 24、（）1.2.3.4.5、（）1.A的列向量组线性无关2.A的列向量组线性相关3.A的行向量组线性无关4.A的行向量组线性相关6、（）1.2.3.4.7、1.2,4,62.1, 2, 33.1/2, 1, 3/24.2, 1, 2/38、（）1.必有一列元素全为02.必有两列元素对应成比例3.必有一列向量可有其余列向量线性表示4.任一列向量是其余列向量的线性组合9、（）1.有无穷多个解2.以上选项都不对3.存在唯一解4.无解10、（1.2.3.4.11、在下列矩阵中，可逆的矩阵是（）1.2.3.4.12、（）1.2.3.4.13、下列关于未知量x,y,z的方程是线性方程的是（）1.2.3.4.14、（）1. A. 0，1，22.1，2，33.1，2，3，44.0，1，2，315、（）1.2.3.4.16、（）1.-22. 13. 24.-117、（）1.162.483.-164.-4818、（）1.-102.103. 54.-519、（）1.2.3.4.20、（）1.2.3.4.21、（）1.162. 23.84. 422、设A为n阶方阵, 且秩R(A) = r< n, 那么A的列向量组的秩（）1. F. 小于r2.等于n3.等于r4.大于r23、（）1.2.3.4.24、（）1.将B矩阵的第二行加到第一行2.将B矩阵的第二列加到第一列3.AB=BA4.r(AB)=225、以123456为标准排列，则排列253146的逆序数是（）1. 42. 33. 54. 226、设A, B均为n阶方阵, E为n阶单位矩阵, 则有（）1.2.3.4.27、（）1. E.2.3.4.28、（）1.存在非零解2.无解3.以上选项都不对4.只有零解29、设3阶矩阵A与B相似，且已知A的特征值为-1，1，-7. 则|B| =（）1.122.1/123.1/74.730、设n阶方阵A秩为n，下式不正确的是（）1.2.3.4.31、（）1.-32.-23. 24. 332、（）1.2.3.4.33、（1.2.3.4.34、（）1.2.3.4.35、（）1.无解2.以上选项都不对3.有无穷多个解4.存在唯一解36、（）1.2.3.4.37、如果n阶矩阵A的一个特征值为3, 那么必有（）1.2.3.4.38、（）1.-22. 33. 24.039、（）1. 32. 23. 14.040、（）1.2.3.4.以上选项都不对41、（）1.(1，1，0)2.(-3，0，2)3.(0，-1，0)4.(2，1，1)42、以123456为标准排列，则排列154236的逆序数是（）1. 52. 33. 24. 443、（）1.2.3.4.44、（）1.2.3.4.45、（）1. 42. 23. 34. 146、（）1. 22. 13.0，14.1，247、（）1. B.2.A3.4.48、（）1.2.3.4.49、（）1. 12. 33. 24. 450、（）1. 32.3.4.判断题51、齐次线性方程组的基础解系是该方程组的所有解向量构成的向量组的极大无关组。

===================================================================================================1：[论述题]线性代数模拟试题三参考答案：线性代数模拟试题三参考答案 1：[论述题]线性代数模拟试题四参考答案：线性代数模拟试题四参考答案 1：[论述题]线性代数模拟试题五参考答案：线性代数模拟试题五参考答案 1：[论述题]线性代数模拟试题六 一、填空题（每小题3分，共15分） 1. 行列式332313322212312111b a b a b a b a b a b a b a b a b a = ( ). 2. 设A 是4×3矩阵，R (A ) = 2，若B = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛300020201，则R (AB ) = ( ).3. 设矩阵A = ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛54332221t ，若齐次线性方程组Ax = 0有非零解，则数t = ( ).4. 已知向量,121,3012⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k βαα与β的内积为2，则数k = ( ).5. 已知二次型232221321)2()1()1(),,(x k x k x k x x x f -+-++=正定，则数k 的取值范围为( ).二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 设A 为m ×n 矩阵，B 为n ×m 矩阵，m ≠n , 则下列矩阵中为n 阶矩阵的是( ). (A) B T A T (B) A T B T (C) ABA (D) BAB2. 向量组α1，α2，…，αS (s >2)线性无关的充分必要条件是( ). (A) α1，α2，…，αS 均不为零向量(B) α1，α2，…，αS 中任意两个向量不成比例 (C) α1，α2，…，αS 中任意s -1个向量线性无关(D) α1，α2，…，αS 中任意一个向量均不能由其余s -1个向量线性表示===================================================================================================3. 设3元线性方程组Ax = b ，A 的秩为2，η1，η2，η3为方程组的解，η1 + η2 = (2,0,4)T ，η1+ η3 =(1，-2，1)T ，则对任意常数k ，方程组Ax = b 的通解为( ).(A) (1,0,2)T + k (1,-2,1)T (B) (1,-2,1)T + k (2,0,4)T (C) (2,0,4)T + k (1,-2,1)T (D) (1,0,2)T + k (1,2,3)T 4. 设3阶方阵A 的秩为2，则与A 等价的矩阵为( ).(A) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000111(B) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000110111(C) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000222111(D) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3332221115. 二次型f (x 1,x 2,x 3,x 4,)=43242322212x x x x x x ++++的秩为( ).(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4三、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”，每小题3分，共15分)1. 设A 为n 阶方阵，n ≥2，则|-5A |= -5|A |. ( )2. 设行列式D =333231232221131211a a a a a a a a a = 3，D 1=333231312322212113121111252525a a a a a a a a a a a a +++，则D 1的值为5. ( ) 3. 设A = ⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321, 则|A *| = -2. ( )4. 设3阶方阵A 的特征值为1，-1，2，则E - A 为可逆矩阵. ( )5. 设λ = 2是可逆矩阵A 的一个特征值，则矩阵(A 2)-1必有一个特征值等于41. ( ) 四、(10分) 已知矩阵A = ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-210011101，B =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛410011103， (1) 求A 的逆矩阵A -1. (2) 解矩阵方程AX = B .===================================================================================================五、(10分)设向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=42111α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21302α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=147033α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=02114α，求向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示.六、(10分) 求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+++=+++322023143243214321x x x x x x x x x x x 的通解(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示)七、(15分) 用正交变换化二次型f (x 1, x 2, x 3)=2331214x x x x +-为标准形，并写出所用的正交变换.八、(10分) 设a ，b ，c 为任意实数，证明向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111a α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0112b α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0013c α，线性无关.参考答案：线性代数模拟试题六参考答案 一、填空题1. 0.2. 23.2.4.32. 5. k > 2. 二、单项选择题1(B). 2(D). 3(D). 4(B). 5(C). 三、判断题1. (⨯). 2(⨯). 3(√). 4(⨯). 5(√).===================================================================================================四、Solution (1)由于⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-100210011110001101100210010011001101211r r⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→+-++111100122010112001111100011110001101132332111r r r r r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→-11110012201011200121r ，因此，有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-1111221121A .(2) 因为B AX =，所以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----==-3222342254100111031111221121B A X .五、Solution 因为()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=+-+400027120330130101424271210311301,,,4321214321r r r r αααα⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→↔+--+-00001000011013011000000001101301100001100110130143324231141312r r r r r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→+-0000100001100301131r r , 于是，421,,ααα是极大无关组且2133ααα+=.===================================================================================================六、Solution 将增广矩阵B 化为行最简形得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-322103221011111322100112311111213r r B⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→++000003221021101000003221011111123211r r r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→-00000322102110121r ， 这时，可选43,x x 为自由未知量.令0,043==x x 得特解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0032*η.分别令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10,0143x x 得基础解系⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1021,012121ξξ. 原线性方程组的通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=00321021012121k k x ，其中21,k k 为任意常数.七、Solution 所给二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=102000201A ，)3)(1(122110200201||λλλλλλλλλλ-+=-----=-----=-E A ，===================================================================================================所以A 的特征值为-1，0，3.当1-=λ时，齐次线性方程组=+x E A )(0的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011ξ，单位化得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=210211p . 当0=λ时，齐次线性方程组=-x E A )0(0的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0102ξ，单位化得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0102p .当3=λ时，齐次线性方程组=-x E A )3(0的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1013ξ，单位化得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=210213p .取()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==2102101021021,,321p p p P ，在正交变换Py x =下得二次型的标准型为23213y y f +-=.===================================================================================================八、Proof 因为()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+-+-001010100001011100001011111,,341311321c b a c b a c b ar r r r ααα ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→↔↔↔+-+-+-00010*********0000010001001010000100433241212324r r r r r r r cr r br r ar , 于是321,,ααα的秩为3，所以321,,ααα线性无关.1：[论述题]一、填空题(每小题3分，共15分)1. 设A = ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤411023, B =,010201⎢⎣⎡⎥⎦⎤则AB = ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛. 2. 设A 为33⨯矩阵, 且方程组Ax = 0的基础解系含有两个解向量, 则R (A ) = ( ). 3. 已知A 有一个特征值-2, 则B = A 2+ 2E 必有一个特征值( ). 4. 若α=(1, -2, x )与),1,2(y =β正交, 则x y = ( ). 5. 矩阵A = ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-301012121所对应的二次型是( ).二、单选题(每小题3分，共15分)1. 如果方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=-+0404033232321kx x x x x kx x 有非零解，则k = ( ).(A) -2 (B) -1===================================================================================================(C) 1 (D) 22. 设A 为n 阶可逆方阵，下式恒正确的是( ). (A) (2A )-1 = 2A -1 (B) (2A )T = 2A T (C) [(A -1)-1]T = [(A T )-1]T (D) [(A T )T ]-1 = [(A -1)-1]T3. 设β可由向量α1 = (1，0，0)，α2 = (0，0，1)线性表示，则下列向量中β只能是( ). (A) (2，1，1) (B) (-3，0，2) (C) (1，1，0) (D) (0，-1，0)4. 向量组α1 ，α2 …，αs 的秩不为s (s 2≥)的充分必要条件是( ). (A) α1 ，α2 …，αs 全是非零向量 (B) α1 ，α2 …，αs 全是零向量(C) α1 ，α2 …，αs 中至少有一个向量可由其它向量线性表出 (D) α1 ，α2 …，αs 中至少有一个零向量 5. 与矩阵A = ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200010001相似的是( ).(A) ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤100020001(B) ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200010011(C) ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200011001(D) ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤100020101三、判断题(每小题3分，共15分): 正确打“√”，错误打“×”.1. 设A 为三阶方阵且|A | = -2，则|3A T A | = -108. ( )2. 设A 为四阶矩阵，且|A | = 2，则|A *| = 23. ( ) 3. 设A 为m n ⨯矩阵，线性方程组Ax = 0仅有零解的充分必要条件是A 的行向量组线性无关. ( )4. 设A 与B 是两个相似的n 阶矩阵，则E B E A λλ-=-. ( )5. 设二次型,),(23222132,1x x x x x x f +-=则),(32,1x x x f 负定. ( )四、 (10分) 计算四阶行列式1002210002100021的值.===================================================================================================五、(10分) 设A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-200200011, B =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤300220011,且A , B , X 满足E X B A B E =--T T 1)( . 求X , X .1-六、(10分) 求矩阵A = ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-311111002的特征值和特征向量.七、(15分) 用正交变换化二次型322322213214332),,(x x x x x x x x f +++=为标准型,并写出所作的变换.八、(10分) 设21,p p 是矩阵A 的不同特征值的特征向量. 证明21p p +不是A 的特征向量.参考答案： 一、填空题1.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛241010623. 2. 1. 3. 6. 4. 0.5. 2322312121324x x x x x x x +-++. 二、单项选择题1(B). 2(B) . 3(B) . 4(C) . 5(A) . 三、判断题1.( ⨯). 2(√). 3(⨯). 4(√). (5) (⨯). 四、Solution 按第1列展开，得===================================================================================================210021002)1(2100210021)1(110022100021000211411++-⋅+-⋅= 158)1(21-=⋅-⋅+=.五、Solution 由于E X B A B E =--T T 1)(，即[]E X A B E B =--T1)(，进而()E X A B =-T ，所以()[]1T --=A B X .因为()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-100020002TA B ，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-100021000211000200021X . 六、Solution 因为λλλλλλλ----=----=-3111)2(31111102||E A321)2(3111)2(3212)2(12λλλλλλλ-=--=----=+c c , 所以A 的特征值为2.对于2=λ时，齐次线性方程组=-x E A )2(0与0321=+-x x x 同解，其基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101,01121ξξ，于是，A 的对应于2的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10101121k k ，其中21,k k 不全为0. 七、Solution 所给二次型的矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=320230002A .===================================================================================================因为λλλλλλλ---=---=-3223)2(32023002||E A )1)(5)(2(3121)5)(2(3525)2(121λλλλλλλλλλ---=---=----=+c c , 所以A 的特征值为1, 2, 5.当1=λ时，齐次线性方程组=-x E A )(0的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1101ξ，单位化得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=212101p . 当2=λ时，齐次线性方程组=-x E A )2(0的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0012ξ，单位化得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0012p .当5=λ时，齐次线性方程组=-x E A )5(0的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1103ξ，单位化得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=212103p .===================================================================================================取()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==2102121021010,,321p p p P ，在正交变换Py x =下得二次型的标准型为23222152y y y f ++=. 八、Proof 令21,p p 是A 的对应于不同特征值21,λλ的特征向量，即111p Ap λ=,222p Ap λ=.假设21p p +是A 的对应于λ的特征向量，即)()(2121p p p p A +=+λ. 由于22112121)(p p Ap Ap p p A λλ+=+=+，所以)(212211p p p p +=+λλλ，于是=-+-2211)()(p p λλλλ0. 根据性质4，知021=-=-λλλλ，进而21λλ=，矛盾.。

西南大学网络与继续教育学院课程考试试题卷类别：网教专业：计算机科学与技术 2017年12月课程名称【编号】：线性代数【0044】 A卷大作业满分：100分一、大作业题目1.计算行列式D =5211132114321---的值.2. 设矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--4221，求可逆矩阵P和对角矩阵Λ，使得P-1AP =Λ.3. 已知线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++-=++322321321321λλλλxxxxxxxxx，(1)讨论λ为何值时，方程组无解、有惟一解、有无穷多个解.(2) 在方程组有无穷多个解时，求出方程组的通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）.4.设二次型f (x1, x2, x3) =323121232221222xxxxxxaxaxax+++++，确定常数a的最大取值范围使该二次型正定.5. 已知矩阵A = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛332313322212312111b a b a b a b a b a b a b a b a b a ，证明存在数k ，使A 2 = k A .二、大作业要求大作业共需要完成三道题：第1-2题选作一题，满分30分；。

西南科技大学网络教育线性代数题目解答
西南科技大学网络教育线性代数题目解答一、单项选择题
1.
A.0
B.-5
C.-6
D.7
答案：C
2.计算排列34125的逆序数后,有( )。

A.逆序数是3, 并为奇排列
B.逆序数为4, 并为奇排列
C.逆序数为4, 并为偶排列
D.逆序数为3, 并为偶排列
答案：C
3.
A.
B.
C.
D.
答案：A
4.取( )值时齐次线性方程组有非零解。

A.
B.
C.
D.
答案：B
5.。

A.
B.
C.
D.
答案：D
6.从给出的线性方程组的增广矩阵
可以看出此方程组有几个方程,几个未知数?
A.3个方程,3个未知数
B.4个方程,4个未知数
C.4个方程,3个未知数
D.3个方程,4个未知数
答案：D
7.
A.
B.
C.
D.
答案：B
8.已知向量组
计算出这组向量的秩是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案：C
9.。

西科大网络教育《线性代数》指导书练习题参考答案1、计算排列3，2，1，4，5和3，4，1，2，5的逆序数，并说明奇偶性。

答：3＞2，3＞1，2＞1，所以3，2，1，4，5逆序数为3，是奇数；同理，3＞1，3＞2，4＞1，4＞2，所以3，4，1，2，5逆序数为4 ，是偶数。

2、由行列式性质2（P26）知a 11 a12 a13 a11 a12 a1310a21 10a2210a23＝10a21a22a23＝10×2＝20a31 a32a33a31a32a333、答： 1 -2 5 0 1 -2 5 0 1 -2 5 0 1 -2 5 0D= -2 3 -8 -1 = 0 -1 2 -1 = 0 -1 2 -1 = 0 -1 2 -13 1 -24 0 7 -17 4 0 0 -3 -3 0 0 -3 -31 42 -5 0 6 -3 -5 0 0 9 -11 0 0 0 -20=1×(-1)×(-3)×(-20)=60（用行列式性质化上三角行列式）4、答： 1 0 -1 2 0 1 0 1 2D= 1 2 0 ,M11= 3 2 =4,M12= -1 2 =2,M13= -1 3 =5-1 3 2 1A11=（-1）1+1M11=4，A12=（-1）1+2M12=-2，A13=（-1）1+3M13=51 1 1 1 1 4 16 645、答：D4= 4 3 7 -5 1 3 9 2716 9 49 25 = 1 7 49 343 =（-5-4）（-5-3）（-5-7）（7-4）64 27 343 -125 1 -5 25 -125 （7-3）（3-4）=10368P426、答： 1 2 -1 2 1 2 -1 2 1 2 -1 -8 1 2 -8D= 3 0 1 5 = 3 0 1 5 =3 0 1 15 =（-1）4+3（-1） 3 0 15 1-2 0 3 0 -4 1 1 0 -4 1 11 0–4 11-2 -4 1 6 0 0 –1 10 0 0 -1 01 2 -13 2 -13 2 -13= 3 0 0 =3×（-1）2+1 =-3 =3×2×（-15）=900 -4 11 -4 11 0 -15（尽可能出现较多0，注意行列变换时，要在前自加“-”号）7、答：0 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0D= 1 0 1 1 = 3 0 1 1 =3 1 0 1 1 =3 1 -1 0 01 1 0 1 3 1 0 1 1 1 0 1 1 0 -1 01 1 1 0 3 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 -1=3×1×（-1）×（-1）×（-1）=-38、答：x+y-2z=-4 1 1 -2 1 0 0 -7 –31 -7 -31 5x-2y-7z=-7 A= 5 -2 -7 = 5 -7 –31 = = =14 2x-5y-3z=1 2 -5 -3 2 -7 -13 -7 –13 0 -2-4 1 -2 0 -19 -14 -19 -14 19 14 19 14A 1 = -7 -2 -7 = 0 -37 -28 = = = =14 1 -5 -3 1 -5 -3 -37 -28 37 28 -1 01 -4 -2 1 -2 -2 1 -2 -2 5 -7 5 -7A 2 = 5 -7 -7 = 5 0 -7 = 5 0 -7 =(-2)(-1)1+2=2 =-14 2 1 -3 2 4 -3 4 0 -7 4 -7 -1 01 1 -4 1 0 -4 1 0 -4 1 -4 1 -4A 3 = 5 -2 -7 = 5 -7 -7 = 5 -7 -7 =(-7)(-1)2+2=-7 =28 2 -5 1 2 -7 1 -3 0 8 -3 8 -3 0 由克莱姆法则x =A A 1 =1, y =A A 2 =-1, z = AA1 =2x=1∴线性方程组解为 y=-1 z=29、答：设f(x)=ax3+bx2+cx+d (a ≠0),由f(0)=0,f(1)=-1,f(2)=4,f(-1)=1 0+0+0+d=0 d=0得： a+b+c+d=-1 a+b+c=-1 ① 8a+4b+2c+d=4 ∴ 8a+4b+2c=4 ② ①+③得2b=0∴b=0 -a+b-c+d=1 -a+b-c=1 ③a+c=-1 a=1∴ 8a+2c=4 ∴ c=-2 ∴f(x)=x 3-2x10、答： 1 a 1 a 12…a 1n-11 a2 a 22…a 2n-1范得蒙行列式 ∏(a i -a j )≠0系数行列式A= …………… 1≤j ≤i ≤n1 a n a n 2…a n n-1∵ a i ≠a j (i ≠j;i,j=1,2,…,n)1 a 1 … a 1n-1 1 1 a 12 … a 1n-1A 1= 1 a 2 … a 2n-1 =A, A 2= 1 1 a 22 … a 2n-1=0, 同理，A 3=A 4=…=A n =0…………… ………………1 a n … a n n-1 1 1 a n2 … a n n-1∴由克莱姆法则x 1=A A 1=AA =1,x 2 =A A 2= 0=x 3=…=x n =0 ∴线性性方程组解为 x 1=1x 2=0 … x n =02 1 -1 -43 3 2 1 -1 -4 3 -311、答：由 -3 1 1 -2x= 1 -1 -3 得 -3 -1 1 - 1 -1 -3 =2x 6 –2 2 3 -1 1∴2x= -4 0 4 ∴x= -2 0 2 1 2 3 1 2 0 1×1+2×0+3×3 4 -1 10 4 -1 12 、答：AB= -2 1 2 0 1 1 = 4 -3 -1 = 4 –3 -1 3 0 -11 -1 3 -1 123 2 7 6 8 13、答：AB= 1 -2 1 3 0 -1 1 = -5 3 5 3 2 2 1 2 2 -5 2 -5(AB)T = 7 3 B T A T =(AB)T= 7 3 6 5 6 5 8 3 8 3 a b 2 -1 0 1 1 2 a=1,b=2 14、答：由 = = 得 c d b -c 1 0 -c b c=-c,d=b∴a=1,b=2,c=0,d=215、答：∵A 为任一方阵 ∴（A+A T ）T =A T +（A T ）T =A T +A=A+A T（AA T ）T =（A T ）T A T =AA T （矩阵性质）∴A+A T ，AA T均为对称阵16、答：∵n 阶方阵可逆∴ A ≠0，且AA -1=I n =1 ∴ A -1A = n I ∴A *AA=I n∴（A *）-1=A A[同时可证明（A *）-1=（A -1）*]17、答： 3 -2 | 0 05 -3 | 0 0 A 1 03 -2A= --------|-------- =A1=0 0 |3 4 0 A 25 -30 0 | 1 2A 1*=-3 2 A 1 =1∴A 1 = 11A A*=A 1*= -3 2-5 3, -5 33 42 -42 -4 1 -2A 2 = 1 2 A 2*= -1 3 A 2 =2, A 2-1=21 -1 3 = 21-23A 1-10 -3 2 0 0∴A -1= P 90 –5 3 0 00 A 20 0 1 -20 0 21-2318、答：方法1：P80方法方法2： 1 –4 -3|1 0 0 1 -4 -3 1 0 0 1 –5 -3|0 1 0 0 -1 0 -1 1 0 -1 6 4|0 0 1 0 0 1 -1 2 11 -4 0 -2 63 1 0 0|2 2 3 0 1 0 1 -1 0 0 1 0|1 –1 0 0 0 1 -1 2 1 0 0 1|-1 2 1 2 2 3∴A -1= 1 -1 0-1 2 1P107-108，注意：用初等变换方法求逆矩阵时只用行初等或只用列初等变换，不能行列初等变换混用，即一直用行初等或列初等变换使（A ，I ） （I ，A -1）19、答：AX=B ，若A -1存在，则A -1AX=A -1B 即X=A -1B 1 1 -1 1 1 -1|1 0 0 1 1 -1 1 0 0A= 0 2 2 0 2 2 |0 1 0 0 2 2 0 1 0 1 -1 0 , 1 -1 0|0 0 1 0 –2 1 -1 0 11 1 -1 1 0 0 1 1 0 32 31 31 0 2 2 0 1 0 0 2 0 32 31 32-0 0 3 -1 1 1 0 0 3 -1 1 11 1 0 32 31 31 1 0 0|31 61 321 0 0 31 61 31- 0 1 1 |31 6131-0 0 1 31- 31 31 0 0 1|31- 31 3131 61 32 31 61 321 -1 ∴A -1= 31 61 31- ∴X=A -1B= 31 61 31- 1 1 3131- 31- 31- 31 312 1=35 21 61- 21-3211 0 2|1 0 0 1 02 1 0 020、答：（A ，I ）= 0 3 4|0 1 0 0 3 4 0 1 0 -1 1 0|0 0 1 0 1 2 1 0 1 1 0 2 1 0 0 1 0 2 1 0 0 1 0 2 1 0 0 0 1 2 1 0 1 0 1 2 1 0 1 0 1 2 1 0 12321- 23 1 0 0| -2 1 -3 -2 1 -30 1 0| -2 1 -2 ∴A -1= -2 1 -20 0 1|23 21- 23 2321- 23此题也可只用么列初等变换使 A II A -1用A -1=A1 A *求也方便。

1、矩阵的伴随矩阵是（）....2、矩阵A适合条件[ ]时，它的秩为r.. A中任何r+1列线性相关；. A中任何r列线性相关；. A中有r列线性无关；. A中线性无关的列向量最多有r个.3、若齐次线性方程组有非零解，则必须满足[ ] . k=4. k=-1.k≠-1且k≠4. k=-1或k=44、下列n（n＞2）阶行列式的值必为零的是[ ].行列式主对角线上的元素全为零.该行列式为三角行列式.行列式中零元素的个数多于n个.行列式中非零元素的个数少于n个5、下列各矩阵中，初等矩阵是[ ]。

....6、n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是[ ]。

. A有n个特征值. A有n个线性无关的特征向量. A的行列式不等于零. A的特征多项式没有重根7、A，B是n阶矩阵，则的充分必要条件是[ ] . AB=BA. A=0. B=0. A=B8、设n元齐次线性方程组Ax=0，若R（A）=r＜n，则基础解系[ ]。

.惟一存在.共有n－r个.含有n－r个向量.含有无穷多个向量9、设A，B均为n阶可逆矩阵，则[ ]。

. A+B可逆. kA可逆（k为常数）. AB可逆. (AB)-1=A-1B-110、行列式D=0的必要条件是[ ]。

. D中有两行（列）元素对应成比例. D中至少有一行各元素可用行列式的性质化为0. D中存在一行元素全为0. D中任意一行各元素可用行列式的性质化为0.11、的充分必要条件是（）....12、A与B是两个相似的n阶矩阵,则（）.存在非奇异矩阵P,使..存在对角矩阵D,使A与B都相似于D.13、一个n维向量组（s＞1）线性相关的充要条件是（）.含有零向量；.有一个向量是其余向量的线性组合；.有两个向量的对应分量成比例；.每一个向量是其余向量的线性组合.14、设A ，B均为n阶可逆矩阵，则（）. A+B可逆. kA可逆（k为常数）. AB可逆.15、两个n阶初等矩阵的乘积为（）.初等矩阵.单位矩阵.不可逆矩阵.可逆矩阵16、若A=,B=,其中是的代数余子式，则（）。

线性代数第1次作业本次作业是本门课程本学期的第1次作业，注释如下：一、单项选择题(只有一个选项正确，共8道小题)1. 下列矩阵中，不是初等矩阵。

(A) (001010100)(B) (100000010)(C) (100020001)(D) (10001−2001)正确答案：B解答参考：初等矩阵一定是可逆的。

2. 设 A为m×n 矩阵，则。

(A) 若m<n，则Ax=b有无穷多个解；(B) 若m<n，则Ax=0有非零解，且基础解系含有n−m个解向量；(C) 若A有n阶子式不为零，则Ax=b有唯一解；(D) 若A有n阶子式不为零，则Ax=0仅有零解。

正确答案：D解答参考：A错误，因为 m<n ，不能保证 R(A)=R(A|b) ；B错误， Ax=0 的基础解系含有 n−R( A ) 个解向量；C错误，因为有可能 R(A)=n<R(A|b)=n+1 , Ax=b 无解；D正确，因为R(A)=n。

3. A、B为 n阶方阵,且A、B等价,| A |=0 ，则R(B) 。

(A) 小于n(B) 等于n(C) 小于等于n(D) 大于等于n正确答案：A解答参考：4. 若A为5阶方阵且|A|=2，则|－2A|= 。

(A) 4(B) －4(C) －64(D) 64正确答案：C解答参考：5. 线性方程组 { a11 x 1 + a12 x 2 +⋯+a 1n x n =b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +⋯+ a 2n x n = b 2 ⋯⋯⋯⋯ a m1 x 1 + a m2 x 2 +⋯+ a mn x n = b m 的系数矩阵为 A,增广矩阵为 A ¯ ,则它有无穷多个解的充要条件为。

(A) R(A)=R(A¯)<n(B) R(A)=R(A¯)<m(C) R(A)<R(A¯)<m(D) R(A)=R(A¯)=m正确答案：A解答参考：6. 一个 n维向量组α 1 , α 2 ,⋯, αs (s>1) 线性相关的充要条件是(A) 有两个向量的对应坐标成比例(B) 含有零向量(C) 有一个向量是其余向量的线性组合(D) 每一个向量都是其余向量的线性组合正确答案：C解答参考：7. 设3阶矩阵 A的特征值为 1 , −1 , 2 ，则下列矩阵中可逆矩阵是(A) E−A(B) E+A(C) 2E−A(D) 2E+A正确答案：D解答参考：8. 设α 1 , α 2 , α 3 是齐次方程组Ax=0 的基础解系，则下列向量组中也可作为 Ax=0 的基础解系的是(A) α1+α2,α2+α3,α1+2α2+α3(B) α1+α2,α2+α3,α3−α1(C) α1+α2,α2+α3,α3+α1(D) α1−α2,0,α2−α3正确答案：C解答参考：三、判断题(判断正误，共6道小题)9.如果行列式有两行元素完全相同，则行列式为零。