吉林省长春高二上学期期末考试 数学 Word版含答案

注参考公式：()()()1122211nniii ii i nniii i x x yyx y nxyb x x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-.一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知:2p x ≤，:02q x ≤≤，则p 是q 的（ ）条件A ．充要B ．充分不必要C ．必要不充分D ．既不充分也不必要 2.用简单随机抽样的的方法从含有100个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体M 被抽到的概率为（ ） A ．1100 B ．199 C ．120 D ．1503.已知命题:p 若a b >，则22a b >，命题:q 若24x =，则2x =，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ∨C ．p ⌝D ．q ⌝ 4.把“二进制”数()2101101化为“十进制”数是（ ） A ．45 B ．44 C.43 D ．425.天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每天个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况，经随机模拟试验产生了如下20组随机数：据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（ ） A ．0.35 B ．0.15 C.0.20 D ．0.256.某班共有学生52名，学号分别为152～号，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号，29号，42号的学生在样本中，那么样本中还有一名学生的学号是（ ）A ．10B ．16 C.53 D ．32 7.阅读下图的程序框图，则输出的S =（ ）A ．14B ．20 C.30 D ．558.已知函数()y f x =，其导函数()'y f x =的图象如图所示，则()y f x =（ ）A ．在() 0-∞，上为减函数 B ．在0x =处取极小值 C.在()4 +∞，上为减函数 D ．在2x =处取极大值 9.双曲线()22216103x y p p-=>的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p =（ ）A ．14 B ．12C.2 D ．4 10.曲线3ln 2y x x =++在点0P 处切线方程为410x y --=，则点0P 的坐标是（ ）A ．()0 1，B ．()1 1-， C.()1 3， D ．()1 0， 11.有5件产品，其中3件正品，2件次品，从中任取2件，则互斥而不对立的两个事件是（ ）A ．至少有1件次品与至多有1件正品B ．恰有1件次品与恰有2件正品 C.至少有1件次品与至少有1件正品 D ．至少有1件次品与都是正品 12.圆柱的表面积为S ，当圆柱的体积最大时，圆柱的底面半径为（ ）A B D ．3二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.用辗转相除法求108和45的最大公约数为 ．14.在区间[]1 5，和[]2 4，上分别各取一个数，记为m 和n ，则方程22221x y m n+=表示焦点在x 轴上的椭圆的概率是 ．15.已知一个多项式()765432765432f x x x x x x x x =++++++，用秦九韶算法求3x =时的函数值时，3v = ． 16.下列命题中：①命题:p “0x R ∃∈，20010x x -->”的否定p ⌝“x R ∀∈，210x x --≤”； ②汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程成正相关关系； ③命题“若a b >，则221a b >-”的否命题为“若a b ≤，则221a b ≤-”；④概率是随机的，在试验前不能确定.正确的有．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）一个盒子中装有5个编号依次为1，2，3，4，5的球，这5个球除号码外完全相同，有放回地连续抽取两次，每次任意地取出一个球.（1）用列举法列出所有可能的结果；（2）求事件A=“取出球的号码之和不小于6的概率”.18. （本小题满分12分）甲、乙两位同学参加数学竞赛培训，在培训期间他们参加5项预赛，成绩如下：甲：78 76 74 90 82 乙：90 70 75 85 80（1）用茎叶图表示这两组数据；（2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从平均数、方差的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？说明理由.19. （本小题满分12分）在某化学反应的中间阶段，压力保持不变，温度从1︒变化到5︒，反应结果如下表所示（x代表温度，y代表结果）：=+；（1）求化学反应的结果y对温度x的线性回归方程y bx a（2）判断变量x与y之间是正相关还是负相关，并预测当温度达到10︒时反应结果为多少？20. （本小题满分12分）为了了解小学生的体能情况，抽取了某小学同年级部分学生进行跳绳测试，将所得的数据整理后画出频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前三个小组的频率分别是0.1，0.3，0.4.第一小组的眇数是5.（1）求第四小组的频率和参加这次测试的学生人数； （2）在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在第几小组内？（3）参加这次测试跳绳次数在100次以上为优秀，试估计该校此年级跳绳成绩的优秀率是多少？21. （本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，两焦点分别为12 F F ，，过1F 的直线交椭圆C 于 M N ，两点，且2MF N △的周长为8. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点() 0P m ，作圆221x y +=的切线l 交椭圆C 于 A B ，两点，求弦长AB 的最大值.22. （本小题满分12分）函数()22ln f x ax x x =-+，a 为常数.（1）当12a =时，求()f x 的最大值； （2）若函数()f x 在区间[]1 2，上为单调函数，求a 的取值范围.2016-2017学年度上学期高二年级数学（文）学科期末试题答案一、选择题1-5:CCBAD 6-10:BCCCDC 11、12：BC 二、填空题 13.9 14.1215.262 16.()()13 三、解答题17.解：（1）所有可能结果为25.列举如下：()()()()()1 1 1 2 1 3 1 4 1 5，，，，，，，，，； ()()()()()2 1 2 2 2 3 2 4 2 5，，，，，，，，，； ()()()()()3 1 3 2 3 3 3 4 3 5，，，，，，，，，； ()()()()()4 1 4 2 4 3 4 4 4 5，，，，，，，，，； ()()()()()5 1 5 2 5 3 5 4 5 5，，，，，，，，，. （2）取出球的号码之和不小于6的是()()()()()()1 5 2 4 2 5 3 3 3 4 3 5，，，，，，，，，，，，()()4 2 4 3，，，，()()4 4 4 5，，，，()()()()()5 1 5 2 5 3 5 4 5 5，，，，，，，，，，共15种， 所以()153255P A ==. 18.解：（1）用茎叶图表示如下：………………3分（2）80x =甲，80x =乙.………………7分而()()()()()222222178807680748090808280325s ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦甲，()()()()()222222190807080758085808080505s ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦乙，因为x x =甲乙，22s s <甲乙，所以在平均数一样的条件下，甲的水平更为稳定，所以我认为应该派甲去.19.附：线性回归方程y bx a =+中，1221ni ii nii x ynxy b xnx==-=-∑∑，a y bx =-.解：（1）由题意：5n =，51135i i x x ===∑，5117.25i i y y ===∑，又5221155559105i i x x =-=-⨯=∑，515129537.221i i i x y xy =-=-⨯⨯=∑. ∴1221212.110ni ii n i i x ynxyb x nx==-===-∑∑，7.2 2.130.9a y bx =-=-⨯=. 故所求的回归方程为 2.10.9y x =+.因为第一小组的频数为5，其频率为0.1.所以参加这次测试的学生人数为50.150+=（人）. （2）0.350 1.5⨯=，0.45020⨯=，0.25010⨯=，则第一、第二、第三、第四小组的频数分别为5，15，20，10. 所以学生跳绳次数的中位数落在第三小组内. （3）跳绳成绩的优秀率为()0.40.2100%60%+⨯=.21.解：（1）由题得：c a =，48a =，所以2a =，c =，又222b a c =-，所以1b =. 即椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）由题意知，1m >，设切线l 的方程为()()y k x m k o =-≠，由()2244y k x m x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩， 得()22222148440k x k mx k m +-+-=，设()11 A x y ，,()22 B x y ，. 则2480k ∆=>，2122814k m x x k +=+，221224414k m x x k-=+， 由过点()() 01P m m ≠±，的直线l 与圆221x y +=相切得1d ==，即2211k m =-，所以2AB m m==+，当且仅当m =时，2AB =，所以AB 的最大值为2.22.解：（1）当12a =时，()2ln f x x x x =-+，则()f x 的定义域为()0 +∞，， ∴()()()2111'12x x f x x x x-+-=-+=， 由()'0f x >，得01x <<，由()'0f x <，得1x >；∴()f x 在()0 1，上是增函数，在()1 +∞，上是减函数， ∴()f x 的最大值为()10f =.（2）∵()1'22f x a x x=-+，若函数()f x 在区间[]1 2，上为单调函数， 则()'0f x ≥或()'0f x ≤在区间[]1 2，上恒成立， ∴1220a x x -+≥或1220a x x-+≤在区间[]1 2，上恒成立. 即122a x x ≥-或122a x x ≤-在区间[]1 2，上恒成立. 设()12h x x x =-，∵()21'20h x x =+>， ∴()12h x x x=-在区间[]1 2，上为增函数， ∴()()max 722h x h ==，()()min 11h x h ==， ∴只需722a ≥或21a ≤.。

一、单选题1．展开式中项系数为（ ） ()51x -4x A ．5 B ． C ．10 D ．5-10-【答案】B【分析】求出展开式的通项，再令未知数的指数等于，即可得解.4【详解】展开式的通项为， ()51x -()5151C kk kk T x -+=-令，则，54k -=1k =所以项系数为.4x ()151C 5-⋅=-故选：B.2．双曲线与双曲线具有相同的（ ）22:143x y C -=22:143x yD -=-A ．焦点 B ．实轴长 C ．离心率 D ．渐近线【答案】D【分析】依次分析两条曲线的焦点，实轴长，离心率，渐近线等即可得答案.【详解】解：将双曲线化为标准方程得，22:143x y D -=-22:134y x D -=所以，对于双曲线，，焦点坐标为，实轴长为，离22:143x y C -=2224,3,7a b c ===()24a =心率为；e y =对于双曲线，，焦点坐标为，实轴长为，离心22:134y x D -=2223,4,7a b c ===(0,2a =率为，渐近线方程为； e ==y =故双曲线与双曲线具有相同的渐近线.22:143x y C -=22:143x yD -=-故选：D3．已知等差数列的前项和为，若，则（ ） {}n a n n S 255,2S S ==7S =A ．7 B ．C ．D ．107-10-【答案】B【分析】根据等差数列的前项和为公式解决即可. {}n a n n S 【详解】因为，，25S =52S =所以，解得，52345433S S a a a a -=++==-41a =-所以. ()17747772a a S a +===-故选：B.4．直线被圆截得的弦长为（ ） y x =2220x y x y +-+=ABCD【答案】B【分析】先利用配方法求得圆心与半径，再结合点到直线距离公式与弦长公式进行求解即可.【详解】由，得，2220x y x y +-+=()2215124x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭所以圆的圆心为，半径为，2220x y x y +-+=1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭r =圆心到直线，即，1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭y x =0x y -=所以所求弦长为2=故选：B5．数学与建筑的结合造就建筑艺术，如图，吉林大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，若将校门轮廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成抛物线的一部分，其焦点坐标为，校门最高点2y ax =()0,2-到地面距离约为18米，则校门位于地面宽度最大约为（ ）A ．18米B ．21米C ．24米D ．27米【答案】C【分析】将抛物线方程化为标准式，根据焦点坐标求出的值，即可得到抛物线方程，再令a 求出的值，即可得解.18y =-x 【详解】解：抛物线，即， 2y ax =21x y a=因为抛物线的焦点坐标为，所以，所以， ()0,2-124a =-18a =-所以抛物线即为，令，则，解得，218y x =-18y =-2144x =12x =±所以校门位于地面宽度最大约为米. 24故选：C6．某校选派4名干部到两个街道服务，每人只能去一个街道，每个街道至少1人，有多少种方法（ ） A ．10 B ．14 C ．16 D ．18【答案】B【分析】根据题意对人数的分配情况进行分类讨论，运算求解即可. 【详解】由题意可得：若每个街道分配的人数不一致，则其中一个街道分配1人，另一个街道分配3人，则不同的分配方法有种；1242C A 若每个街道分配的人数一致，则两个街道均分配2人，则不同的分配方法有种；24C 故共有种.122424C A C 14+=故选：B.7．若数列满足：，且，则数列的前5项和为（ ）{}n a 11a =11,2,n n na n a a n ++⎧=⎨⎩为奇数为偶数{}n a A ．7 B ．10C ．19D ．22【答案】D【分析】根据题意求，进而可得结果.2345,,,a a a a 【详解】根据题意可得：， 1234512,4,5,10,a a a a a =====故前5项和为. 12451022++++=故选：D.8．中国结是一种手工编制工艺品，它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原成单纯的二维线条，其中的数字“8”对应着数学曲线中的双纽线.在xOy 平面上，把与定点距离之积等于()()12,0,,0F a F a -的动点的轨迹称为双纽线.曲线C 是当P 是曲线C 上的一个动点，()20a a >a =则下列是关于曲线C 的四个结论，正确的个数是（ ） ①曲线C 关于原点对称②曲线C 上满足的P 有且只有一个12PF PF =③曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过4④若直线与曲线C 只有一个交点，则实数k 的取值范围为 y kx =]([),11,∞∞--⋃+A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D【分析】根据题意求轨迹方程.将代入曲线方程即可判断①；根据点P 在y 轴上，解得点(,)P x y '--P 的坐标即可判断②；根据曲线方程可得即可判断③；直线与曲2216x y +≤线联立，根据方程的解即可判断④.【详解】设，(),P x y根据双纽线的定义可得：，212PF PF a =2a =对①：曲线C 上任一点关于原点的对称点为，(),P x y (,)P x y '--用替换方程中的 (,)x y --(,)x y 2a ==即也在曲线C 上，所以曲线C 关于原点中心对称，故①正确； (,)P x y '--对②：若曲线C 上点P 满足，则点P 在y 轴上，即， 12PF PF =0x =把，解得， 0x =222a y a =+=0y =即点P 满足，则， 12PF PF =()0,0P 所以这样的点仅有一个，故②正确；对③：若， a =8=即，则，()()2422228864y y x x +++-=()()2222216x y x y +=-当，即不是坐标原点时，则，当且仅当220x y +≠P ()22222222216216116x y y x y x y x y -⎛⎫+==-≤ ⎪++⎝⎭，即时等号成立， ≠x 0,y=0()4,0P ±；4≤当；220x y +=0=综上所述：曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过4，故③正确； 对④：∵直线与曲线C 一定有公共点，y kx =()0,0O 若直线与曲线C 只有一个交点，将代入方程中，方程无非零解，y kx =y kx =联立方程，消去整理得， ()()2222216y kxx y x y =⎧⎪⎨+=-⎪⎩y ()()222211610x k x k ⎡⎤+--=⎣⎦可得无非零解，则，()()22211610k x k +--=210k -≤解得或，故④正确. 1k ≤-1k ≥故选：D.【点睛】关键点点睛： （1）根据方程，化简可得，结合不等式分析运算；()()2222216x yx y +=-()22222216x y x y x y -+=+（2）再处理直线与曲线的交点问题时，一般通过联立方程分析判断.二、多选题 9．方程表示的曲线可能为（ ） 221x y m n+=A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线【答案】ABC【分析】对于ABC ，取的特殊值即可判断；对于D ，结合抛物线方程的特点即可判断. ,m n 【详解】对于方程， 221x y m n+=对于A ，取，得，此时方程表示的曲线为圆，故A 正确； 1m n ==221x y +=对于B ，取，得，此时方程表示的曲线为椭圆，故B 正确； 2,1m n ==2212x y +=对于C ，取，得，此时方程表示的曲线为双曲线，故C 正确；,11m n ==-221x y -=对于D ，而抛物线的方程中必有一个或，显然不管取何取，但方程无法得到或x y ,m n 221x y mn+=x ，故D 错误.y 故选：ABC.10．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法.商功》中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”. “三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，，以此类推. 设从上到下各L 层球数构成一个数列，则（ ）{}n aA ．B ． 49a =11n n a a n +-=+C ．D ． 1054a =1121ni i n a n ==+∑【答案】BD【分析】根据题意分析可得：.对A 、B ：直接代入检验即可；对C ：利用累加法()12n n a a n n --=≥可得，即可得结果；对D ：利用裂项相消法运算求解. ()12n n n a +=【详解】根据题意可知从第二层起，某一层的球数比上一层的球数多的数量刚好是其层数，即，即，()12n n a a n n --=≥()12n n a a n n -=+≥对A ：因为，所以，故A 错误；36a =43410a a =+=对B ：因为，所以，故B 正确； ()12n n a a n n --=≥11n n a a n +-=+对C ：因为，，，且， 212a a -=323,a a -=⋅⋅⋅()12n n a a n n --=≥11a =所以上述各式相加得，123n a n a =+-++ 故； ()()112322n n n a n n +=++++=≥L 经检验：满足，11a =()12n n n a +=所以，则，故C 错误；()12n n n a +=1055a =对D ：由选项C 可知， ()1211211n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭则，故D 正确. 111111122122311ni i n a n n n =⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-= ⎪++⎝⎭∑故选：BD.11．已知椭圆M ：（）的左､右焦点分别为，，若椭圆M 与坐标轴分别22221x y a b +=0a b >>1F 2F 交于A ，B ，C ，D 四点，且从，，A ，B ，C ，D 这六点中，可以找到三点构成一个等边三角1F 2F 形，则下列选项中可以是椭圆M 的离心率的有（ ） AB ．CD ．1223【答案】AB【分析】对所有可能的等边三角形分类讨论，得的关系，从而求得离心率.,,a b c 【详解】不妨设为长轴端点，为短轴端点，已知关于原点对称，，关于原点对,A B ,C D ,A B 1F 2F 称，关于原点对称，相应的三角形只取其中一个即可；,C D 首先可能是等边三角形，因为，所以，此时不可能是等边三角ABC A OC OB <CAB ∠<45 ABC A 形，不合题意；若为等边三角形，则，所以选项B 有可能; 12DF F △12,2c a c e a ===若为等边三角形，则所以选项A 有可能; 1CDF A 2,a b e ===若为等边三角形，则ACD A ,a e ===综上可知，可以是椭圆M 的离心率的有选项A 和B. 故选：AB.12．在椭圆中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆上，2222:1(0)x y C a b a b+=>>2222Γ:x y a b +=+称此圆为该椭圆的蒙日圆.该圆由法国数学家Monge （1746-1818）最先发现.若椭圆G ⋅22:1169x y C +=，则下列说法正确的有（ ） A ．椭圆外切矩形面积的最小值为48 C B ．椭圆外切矩形面积的最大值为48C C ．点为蒙日圆上任意一点，点，，当取最大值时，(),P x y Γ()10,0M -()0,10N PMN ∠tan 2PMN ∠=D ．若椭圆的左､右焦点分别为，，过椭圆上一点和原点作直线与蒙日圆相交于点C 1F 2F C P l M ，，则 N 12PF PF PM PN ⋅=⋅【答案】ACD【分析】先求得椭圆的蒙日圆方程，然后利用外切矩形的面积结合二次函数求最值C 2225x y +=可判断A ，B 选项，利用两角和的正切公式，椭圆的定义，向量运算的转化来判断C ，D 选项【详解】对于，：如图，设对于椭圆上任意点，过点作椭圆的切线交圆A B C M M 22Γ:25x y +=于，两点，P Q，关于原点对称的点分别为，，则椭圆的一个外切矩形为，P Q S T CPQST则，由图象易知，S PQ QS =⋅圆心到直线的距离，所以.O PQ []3,4d ∈[]6,8PQ ∈又，所以外切矩形为的面积，22||100PQ QS +=PQST []48,50S =因此对，错.A B 对于：当与圆相切且切点在圆下方时，最大，，C PM P PMN ∠tan 45PMO NMO ∠=∠= 对.tan 2PMN ∴∠==对于，D 221212128,264PF PF PF PF PF PF +=∴++⋅=：，221212642PF PF PF PF ∴+=-⋅ 1212212PF PF PO PF PF F F ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ ∴2221212222121212242PF PF PF PF PO PF PF PF PF F F ⎧++⋅=⎪⎨+-⋅=⎪⎩ ①②①②得，+22221212214,25PF PF PO PO PF PF +=+∴=-⋅，故D 正确.()()()12122525PM PN r OP r OP PF PF PF PF ⋅=-+=--⋅=⋅【点睛】本题解题的关键一方面结合题目要求求出蒙日圆方程，建立参数间的关系式来表示面积进而利用函数求最值问题，另一方面结合椭圆定义式，向量的运算推导的关系，体现了数形结合的思想12PF PF ⋅三、填空题13．若三个点，，中恰有两个点在双曲线C ：上，则双曲线C()3,1-()2,3-()3,1-()22210x y a a -=>的渐近线方程为___________. 【答案】 y =【分析】利用双曲线的图象关于原点对称,得到点， 在双曲线上，()3,1-()3,1-222:1(0)xC y a a -=>即可求出，进而求出双曲线的渐近线方程.a 【详解】因为三个点，，中恰有两个点在双曲线上，()3,1-()2,3-()3,1-222:1(0)x C y a a -=>又双曲线的图象关于原点对称,所以点， 在双曲线上，()3,1-()3,1-222:1(0)x C y a a-=>所以，解得，2911a -=a =所以其渐近线方程为：.y x ==故答案为：. y =14．设为正项等比数列的前n 项积，若，则___________． n T {}n a 133540,10a a a a +=+=10T =【答案】32【分析】根据等比数列通项公式基本量计算求出首项和公比，再计算出前10项积即可.【详解】由，得，1340a a +=3510a a +=()22223513134010a a a q a q a a q q +=+=+==因为为正项等比数列，所以， {}n a 0q >解得：， 12q =又，解得：，2131115404a a a a q a +=+==132a =所以．1045104551012101132()2322T a a a a q =⋅====15．的展开式中，的系数为______. 25()x x y ++52x y 【答案】30【分析】 表示5个因式的乘积，在这5个因式中，有2个因式选 ，其余25()x x y ++2x x y ++y 的3个因式中有一个选，剩下的两个因式选 ，即可得到含 的项，即可算出答案. x 2x 52x y 【详解】 表示5个因式的乘积，25()x x y ++2x x y ++在这5个因式中，有2个因式选 ，其余的3个因式中有一个选，剩下的两个因式选 ，即可y x 2x 得到含 的项，52x y 故含的项系数是52x y 21253230C C C ⋅⋅=故答案为：30【点睛】本题考查的是利用分步计数原理处理多项式相乘的问题，较简单.16．已知直线l 与椭圆在第二象限交于A ，B 两点，直线l 与x 轴、y 轴分别交于C ，D22163y x +=两点，且l 的方程为________________． BCAD=CD =【答案】0x +=【分析】令的中点为，利用点差法得到，再设直线求出的坐AB E 12OE AB k k ⋅=-:ABy kx m =+,C D 标，从而结合、的方程，解之即可.CD =k m 【详解】依题意，不妨设点在点的左边，记的中点为，如图，B A AB E设，，则，，()11,A x y ()22,B x y 2211163x y +=2222163x y +=所以，即， 2222121206633x x y y -+-=()()()()12121212063x x x x y y y y -++-+=所以，即，()()()()1212121212y y y y x x x x +-+=--12OE AB k k ⋅=-设直线，则，，:AB y kx m =+0k >0m >令得，令得，即，， 0x =y m =0y =m x k =-,0m C k ⎛⎫- ⎪⎝⎭()0,D m 因为，所以，即点为的中点，故， BC AD =CE DE =E CD ,22m m E k ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以，解得， 1222m k m k⨯=--kk =又，即或（舍CD =CD===2m =2m =-去），所以直线，即. :2AB y =+0x +=故答案为：.0x +=【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；()()1122,,,x y x y （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； x y ∆（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；12x x +12x x 12y y +12y y （5）代入韦达定理求解.四、解答题17．书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书.(1)从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？(2)从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？【答案】(1)种；24(2)种.26【分析】（1）应用分步乘法求不同的取法；（2）应用分类加法求不同的取法.【详解】（1）从书架的第1、2、3层各取1本书，可以分成3个步骤完成：第1步从第1层取1本计算机书，有4种方法，第2步从第2层取1本文艺书，有3种方法，第3步从第3层取1本体育书，有2种方法，根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是.43224⨯⨯=（2）第1类方法是4本不同的计算机书和3本不同的文艺书中各选取1本，有种方法 43⨯第2类方法是4本不同的计算机书和2本不同的体育书各选取1本，有种方法，42⨯第3类方法是3本不同的文艺书和2本不同的体育书各选取1本，有种方法32⨯根据分类加法计数原理，不同取法的种数是.43423226⨯+⨯+⨯=18．过点做圆的两条切线．分别与圆相切于A ，B 两点． ()3,1M ()()22124x y -+-=(1)求切线方程；(2)求线段AB 的长度．【答案】(1)或3x =3450x y --=【分析】（1）利用直线与圆相切有，分类讨论所求切线斜率存在与否，结合点线距离公式即d r =可得解；（2）结合图像，利用两点距离公式得到，再利用平面几何的知识与三角形面积公式求得1AM =. AD =【详解】（1）因为，所以点在圆外，()()2231124-+->()3,1M ()()22:124C x y -+-=又圆的圆心为，半径为， ()()22:124C x y -+-=()1,2C 2r =当所求切线斜率不存在时，切线方程为，易得圆心到直线的距离为，满足题3x =()1,2C 3x =2意；当所求切线斜率存在时，设切线方程为，即，:1(3)l y k x -=-310kx y k --+=因为圆心到直线距离，解得， ()1,2C d r =234k =所以切线方程为，即， 3:1(3)4l y x -=-3450x y --=综上：切线方程为为或.3x =3450x y --=（2）由（1）可作出切线与圆的图形如下，易得，，()3,2A AC AM ⊥则在中，，，Rt AMC △2AC r ==1AM =由平面几何的知识易知，且是的中点，AB MC ^D AB由三角形面积公式得，则 1122AMC S AC AM AD MC ==A AD =所以2AB AD ===19．已知数列的前n 项和为，数列满足，．{}n a 235n S n n =+{}n b 18b =164n n b b +=(1)证明是等差数列；{}n a (2)是否存在常数a 、b ，使得对一切正整数n 都有成立．若存在，求出a 、b 的值；若log n a n a b b =+不存在，说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)存在，. 12a =11b =【分析】(1)由数列的前n 项和为，可求得，，再由等比数列的{}n a 235n S n n =+62n a n =+*N n ∈定义证明即可.(2)根据题意可求得，，代入中得962n n b -=log (96)log 2a n a b n =-log n a n a b b =+，只需满足以即可，从而求解的值即可. 626log 29log 2a a n n b +=-++66log 229log 2a a b =-⎧⎨=+⎩,a b 【详解】（1）解：证明：因为数列的前n 项和为，{}n a 235n S n n =+所以当时，，1n =11358a S ==+=当时，，2n ≥213(1)5(1)n S n n -=-+-所以，满足，221353(1)5(1)62n n n a S S n n n n n -=-=+----=+18a =所以数列的通项公式为，，{}n a 62n a n =+*N n ∈所以，，16(1)2626n n a a n n +-=++--=*N n ∈所以是等差数列；{}n a （2）解：因为，164n n b b +=所以， 1164n n b b +=所以数列是以为首项，为公比的等比数列， {}n b 8164所以； 19618()264n n n b --=⋅=所以， 96log log 2(96)log 2n a n a a b n -==-要使对一切正整数n 都有成立．log n a n a b b =+即，62(96)log 2a n n b +=-+即，626log 29log 2a a n n b +=-++所以，解得 . 66log 229log 2a a b =-⎧⎨=+⎩1211a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩故存在常数，当时，对一切正整数n 都有成立. ,a b 1,112a b ==log n a n a b b =+20．已知抛物线焦点为F ，点在抛物线上，.()220x py p =>()4,A m 5AF =(1)求抛物线方程；(2)过焦点F 直线l 与抛物线交于MN 两点，若MN 最小值为4，且是钝角，求直线斜率范MAN ∠围.【答案】(1)或24x y =216x y =(2) 73,,44⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）根据题意列式求解，即可得结果；,p m （2）设，与抛物线联立，根据题意结合弦长公式()()1122:,,,,2p l y kx M x y N x y =+()220x py p =>可求得，再结合数量积以及韦达定理运算求解，注意数量积的符号与向量夹角之间的关系.2p =【详解】（1）由题意可得：，解得或， 21652pm p m =⎧⎪⎨+=⎪⎩42m p =⎧⎨=⎩18m p =⎧⎨=⎩故抛物线方程为或.24x y =216x y =（2）抛物线的焦点， ()220x py p =>0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭设， ()()1122:,,,,2p l y kx M x y N x y =+联立方程，消去x 得， 222p y kx x py⎧=+⎪⎨⎪=⎩2220x pkx p --=则， ()222222121244410,2,p k p p k x x pk x x p ∆=+=+>+==-可得，解得，()22124MN p k p ==+≥=2p =此时，则， 2p =()()()()1122212124,4:1,,,,4,0,1,4,,4x y A F x x k x x l y kx M x y N x y =+===-+若直线过点，则，解得， :2l y kx =+()4,4A 441k =+34k =若是钝角，则，且三点不共线，MAN ∠0AM AN ⋅< A M N 、、∵，()()11224,4,4,4AM x y AN x y =--=--u u u r u u u r 则()()()()()()()()1212121244444433AM AN x x y y x x kx kx ⋅=--+--=--+--u u u r u u u r()()()()()221212134254143425k x x k x x k k k =+-+++=-+-++，21616210k k =--+<解得或， 34k >74k <-注意到，故直线斜率范围为. 34k ≠73,,44⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【点睛】方法定睛：与圆锥曲线有关的取值范围问题的三种解法 （1）数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后数形结合求解．（2）构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解．（3）构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域．21．已知数列；数列是等比数列，成等差数列. {}11,1,1n n n a n a a a n +==+{}n b 11452,1,,1b b b b =--(1)求、通项公式；{}n a {}n b(2)若前n 项和满足，求证. {}n b ,n n S c ()122n n n n n a a c a S ++=+1212n c c c +++< 【答案】(1)， 1n a n =2n n b =(2)证明见解析【分析】（1）根据题意分析可得是常数列，进而可求得，根据题意结合等差中项可求{}n na 1n a n=得，进而可求得； 2q =2n n b =（2）先根据等比数列的求和公式可得，进而可得，利用裂项相122n n S +=-1112(1)2n n n n n c +-⋅+⋅=消法分析运算即可.【详解】（1）由已知，，可知是常数列， 11a =1(1)nn na n a +=+{}n na 故，可得， 111n na a =⋅=1n a n =设数列的公比是，{}n b q 由题意可得，则，()()4155211b b b b =-+-=3442qq =解得或（舍去），故. 2q =0q =2n n b =（2）由（1）可得：， ()12122212n n n S +-==--则， ()11122112(1)22(1)2n n n n n n n n a a n c a S n n n n +++++===-++⋅⋅+⋅故， ()()1222311111111111122222322122122n n n n c c c n n n ++++⋯+=-+-+⋯+-=-<⨯⨯⨯⨯⋅+⋅+⋅所以，得证. 1212n c c c ++⋯+<22．已知点分别为椭圆的左､右焦点，直线与椭圆有且仅有一个公12F F 、22:12x y Γ+=:l y kx t =+Γ共点，直线，垂足分别为点.12,F M l F N l ⊥⊥M N 、(1)求证：；2221t k =+(2)求证：为定值，并求出该定值；12F M F N ⋅ (3)求的最大值. OM ON OM ON +⋅- 【答案】(1)证明过程见解析(2)证明过程见解析，定值为1(3)4【分析】（1）直线与椭圆联立后用根的判别式等于0列出方程，求出；（2）利用点到2221t k =+直线距离公式得到∥，求出，1F M 2F N 1F M 2F N 1212F M F N F M F N ⋅=⋅ 结合第一问的结论证明出为定值1；（3）利用向量线性运算及点在直线的同侧得12F M F N ⋅ 12,F F l到，结合第二问得到12OM ON F M F N +=+ 12F M F +向量的知识得出为的夹角），结合第一问结论得12cos OM ON F F α-==α12,F F MN 到 ，利用基本不等式求出最值. 224811t t OM ON OM ON k t +⋅-==++ 【详解】（1）联立与得：， :l y kx t =+22:12x y Γ+=()222214220k x ktx t +++-=由直线与椭圆有一个公共点可知：， ()()()222Δ4421220kt k t =-+-=化简得：；2221t k =+（2）由题意得：，()()121,0,1,0F F -因为，所以∥，故，12,F M l F N l ⊥⊥1F M 2F N 1212F M F N F M F N⋅=⋅ 其中1F M 2F N 所以， 12121F M F N F M F ⋅=⋅ 为定值，该定值为1；12F M F N ⋅ （3）， 11221212OM ON OF F M OF F N F M F N F M F N +=+++=+=+由题意得：点在直线的同侧，12,F Fl 所以 12F M F +（其中为的夹角）， 1212cos F F MN OM ON NM F F MN α⋅-==== α12,F F MN由此可知：， 224884111t t OM ON OM ON k t t t +⋅-===≤+++ 当且仅当即时，等号成立，所以的最大值为4. 1t t=1,0t k ==OM ON OM ON +⋅- 【点睛】对于圆锥曲线定值问题，要能够利用题干信息用一个变量求解出要求的量，可以是直线的斜率，也可以是点的坐标，然后代入计算得到定点.。

一、单选题1．抛物线的焦点坐标是（ ）．22y x =A ． B ． C ． D ． 1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭1,08⎛⎫ ⎪⎝⎭10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D 【分析】先把抛物线化为标准方程，直接写出焦点坐标．【详解】抛物线的方程为，所以焦点在轴， 22y x =212x y =y 由，所以焦点坐标为． 122p =10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：D ．2．已知过点的直线的斜率为，则等于 (2,),(,4)M a N a -12-MNA ．10B ．180C ．D ．【答案】D 【分析】根据直线MN 的斜率求出a 的值，再利用两点间的距离公式计算的值.||MN 【详解】过点，的直线斜率为， (2,)M a -(,4)N a 4122a k a -==-+解得，10a =||MN ∴===所以D 选项是正确的.【点睛】本题考查了直线斜率的公式与应用问题，也考查了两点间距离公式的应用问题，是基础题.3．已知圆，则过点的最短弦所在直线的方程是( )22:450C x y x +--=(1,2)P l A ．B ． 3270x y +-=240x y +-=C ．D ．-230x y -=-230x y +=【答案】D【分析】由题可知，当直线l 与直线垂直时，所截得弦长最短，再由点斜式确定直线l 的方程.CP 【详解】由题可知，当直线l 与直线垂直时，所截得弦长最短，CP P (1,2)，圆C ：x 2＋y 2－4x －5＝0，标准方程为， 22(2)9x y -+=，； ∴(2,0)C 20212CP k -==--； ∴112=-=l CP k k由点斜式得直线l 方程为：，即. 12(1)2y x -=-230x y -+=故选D. 【点睛】本题考查求解直线方程的点斜式法，考查直线与圆的位置关系和圆的弦长变化规律，以及互相垂直的两直线斜率关系，考查用几何法解决直线与圆的综合问题的能力.4．已知双曲线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率是（ ） ()222210,0x y a b a b-=>>A ．2BCD ．32【答案】C【分析】求出两条渐近线，根据渐近线互相垂直，得出斜率乘积为-1，得到，进而求出离心率a b =【详解】由题可知与互相垂直，可得，则.由离心率的计算公式，b y x a =b y x a =-1b b a a -⋅=-a b =可得，所以222222e 2c a b a a +===e =故选：C5．如图.空间四边形OABC 中，，点M 在OA 上，且满足，点NOA a,OB b,OC c === 2OM MA = 为BC 的中点，则（ ）MN =A ．B ． 121232a b c -+ 221332a b c +- C ． D ． 111222a b c +- 211322a b c -++ 【答案】D 【分析】根据空间向量的加减和数乘运算直接求解即可.【详解】. ()1221123322MN ON OM OB OC OA a b c =-=+-=-++ 故选：D.6．点关于直线的对称点的坐标为（ ）()2,0P :10l x y ++=Q A ．B ．C ．D ．()1,3--()1,4--()4,1()2,3【答案】A【分析】根据点关于线对称的特点，利用中点坐标公式及两直线垂直的斜率的关系即可求解.【详解】设点关于直线的对称点的坐标为，()2,0P 10x y ++=(),a b 则，解得. ()011221022b a a b -⎧⨯-=-⎪⎪-⎨+⎪++=⎪⎩13a b =-⎧⎨=-⎩所以点的坐标为Q ()1,3--故选：A.7．在等差数列中， ，则{}n a 35712a a a +=-19a a +=A ．8B ．12C ．16D ．20【答案】A【详解】由题意，数列为等差数列，结合等差数列通项公式的性质得，，{}n a 3575312a a a a ++==则，所以.故选A. 54a =19528a a a +==8．已知椭圆：的左､右焦点分别为，，下顶点为，直线与椭圆C 22221(0)x y a b a b+=>>1F 2F A 2AF C 的另一个交点为，若为等腰三角形，则椭圆的离心率为（ ）B 1ABF :C A ． BC ． D1312【答案】B 【分析】由椭圆定义得各边长，利用三角形相似得点坐标，再根据点在椭圆上可得离心率.B 【详解】如图所示：因为为等腰三角形，且，又，1ABF :12AF AF a ==114AB BF AF a ++=所以，则， 32a AB =222AF F B =过点作轴，垂足为，则，B BM x ⊥M 22AOF BMF :::由，，得， ()0,A b -()2,0F c 3,22c b B ⎛⎫ ⎪⎝⎭因为点在椭圆上，所以，则，即离心率B C 22229144c b a b +=2213c a =c e a ==故选：B.二、多选题9．下列说法中，正确的有（ ）A ．直线y ＝ax ﹣3a +2 （a ∈R ）必过定点（3，2）B ．直线y ＝3x ﹣2 在y 轴上的截距为2C ．直线x +1＝0 的倾斜角为30°D ．点（5，﹣3）到直线x +2＝0的距离为7【答案】ACD【解析】对A,化简方程令的系数为0求解即可.a 对B,根据截距的定义辨析即可.对C,求出直线的斜率再根据斜率与倾斜角的关系辨析即可.对D,利用横坐标的差求解即可.【详解】对A,化简得直线,故定点为.故A 正确.()32y a x =-+()3,2对B, 在轴上的截距为.故B 错误.32y x =-y 2-对C,直线故倾斜角满足, 10x +=θ[)tan 0180θθ∈︒，即.故C 正确.30θ=︒对D, 因为直线垂直于轴,故到的距离为.故D 正确.2x =-x ()5,3-2x =-()527--=故选：ACD.【点睛】本题主要考查了直线的基础知识点,属于基础题.10．已知圆：，圆：，则（ ）1O 22(1)(2)4x y -++=2O 22(5)9x y -+=A ．12O O =B ．圆与圆的公共弦所在直线方程为1O 2O 84150x y +-=C ．圆与圆相离1O 2O D ．圆与圆的公切线有2条1O 2O 【答案】ABD【分析】对A ：求得两圆心坐标，计算两圆心之间距离；对B ：将两圆方程相减得公共弦所在直线方程；对C ：判断与大小关系判断两圆位置关系；对D ：根据两圆的位置关系判1212,r r r r -+12O O 断公切线的条数.【详解】对于A ，由已知，故A 正确； ()()121,2,5,0O O -1O =对于C ，两圆半径，，故两圆相交，故C 错误； 122,3r r ==12121215O O r r r r =-<+=<对于B ，将两圆方程与相减得公共弦所在直线方程，22(1)(2)4x y -++=22(5)9x y -+=84150x y +-=故B 正确；对于D ，两圆相交则两圆的公切线有2条，故D 正确；故选：ABD11．如图，已知在长方体中，，，则（ ）1111ABCD A B C D -2AB BC ==11AA =A ．平面B ． 1//BC 11ABD 1DC BC ⊥C ．与所成角为60°D ．与平面11B D 1BC 1BC 11BB D D 【答案】ABD 【分析】根据给定的长方体，利用线面平行判定推理判断A ；证明线面垂直判断B ；求出异面直线夹角的余弦判断C ；用几何法求出线面角的正弦判断D 作答.【详解】在长方体中，，，如图，1111ABCD A B C D -2AB BC ==11AA =对角面是矩形，则平面，平面，则平面，11ABC D 111//,AD B AD C ⊂11AB D 1BC ⊄11AB D 1//BC 11AB D A 正确；平面，则平面，111,,,,DC BC DC CC BC CC C BC CC ⊥⊥=⊂ 11BCC B DC ⊥11BCC B 平面，因此，B 正确；1BC ⊂11BCC B 1DC BC ⊥由选项A 知，，则是与所成角或其补角，11//BC AD 11AD B ∠11B D 1BC 而，则，C 不正确； 1111AB AD B D ===1111112cos B D AD B AD ∠==1160AD B ∠≠ 连接，连，正方形中，，而平面， 1111A C B D E = BE 1111D C B A 1111AC B D ⊥1BB ⊥1111D C B A 平面，则，又平面， 11AC ⊂1111D C B A 111A C BB ⊥1111111,,BB B D B BB B D =⊂ 11BB D D 即有平面，因此是与平面所成的角，而 11A C ⊥11BB D D 1C BE ∠1BC 11BB D D 11BC C E =所以D 正确. 111sin C E C BE BC ∠==故选：ABD 12．已知F 为椭圆C ：的左焦点，直线l ：与椭圆C 交于A ，B 两点，221168x y +==y kx ()0k ≠轴，垂足为E ，BE 与椭圆C 的另一个交点为P ，则（ ）AE x ⊥A ．B ．的最小值为2 8AF BF +=14AF BF +C ．直线BE 的斜率为D ．为钝角12k PAB ∠【答案】AC【分析】对于A ，利用椭圆与的对称性可证得四边形为平行四边形，进而得到=y kx AF BF '；8AF BF +=对于B ，利用A 中的结论及基本不等式“1”的妙用即可得到的最小值； 14AF BF+对于C ，由题意设各点的坐标，再由两点斜率公式即可得到； 12BE k k =对于D ，先由各点坐标结合椭圆方程可得到，从而可证得，由此可知12PA PB k k =-⋅1PA AB k k ⋅=-.90PAB ∠=︒【详解】由椭圆C ：得，则，221168x y +=2216,8a b ===4,a b 28c =c =对于A ，设将圆C 的右焦点为，如图，连接，，F 'AF 'BF '由椭圆与的对称性可知，则四边形为平行四边形，=y kx ,AO BO OF OF '==AF BF '故，故A 正确；28AF BF AF AF a '+=+==.对于B ，()4141141588BF AF AF BF AF BF AF BF AF BF ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19588⎛ ≥+ ⎝， 当且仅当，且，即时，等号成立， 4BF AF AF BF =8AF BF +=1623BF AF ==故的最小值为，故B 错误； 14AF BF +98对于C ，设，，，故直线BE 的斜率，故C ()00,A x y ()00,B x y --()0,0E x 0000001122BE y y k k x x x +==⋅=+正确；对于D ，设，直线PA 的斜率为，直线PB 的斜率为，则(),P m n PA k PB k ， 2200022000PA PB n y n y n y k k m x m x m x -+-=-=⋅+-⋅又点P 和点A 在椭圆C 上，故，， 221168m n +=22001168x y +=两式相减得，则，故， 2220020168m x y n -+-=22022012n y m x -=--12PA PB k k =-⋅易知，则，得， 12PB BE k k k ==1122PA k k ⋅=-1PA k k=-所以，故，故D 错误. 11PA AB k k k k ⎛⎫⋅=-⋅=- ⎪⎝⎭90PAB ∠=︒故选：AC ．三、填空题13．数列的一个通项公式是___________1,3,5,7,9,-- 【答案】，1(1)(21)n n a n +=--()n *∈N 【解析】根据数列的部分项，归纳数列的一个通项公式即可.【详解】因为数列，1,3,5,7,9,-- 所以通项公式可以为，1(1)(21)n n a n +=--()n *∈N 故答案为：，1(1)(21)n n a n +=--()n *∈N 14．双曲线的渐近线方程是___________. 221916x y -=【答案】 43y x =±【分析】直接由双曲线的方程求解即可【详解】因为双曲线方程为， 221916x y -=所以双曲线的渐近线方程为，即， 220916x y -=43y x =±故答案为： 43y x =±15．如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，M ，E ，F 分别为PQ ，AB ，BC 的中点，则异面直线EM 与AF 所成的角的余弦值是_______．【答案】【详解】试题分析：以为坐标原点, 射线所在直线分别为轴, 轴, 轴建立空间直A ,,AB AD AQ x y z 角坐标系．令两正方形边长均为2．则,()()()()0,0,0,1,0,0,2,1,0,0,1,2A E F M,()()1,1,2,2,1,0EM AF ∴=-= cos ,EM AF EM AF EM AF⋅∴〈〉===⋅ 设异面直线与所成的角为,． EM AF θcos cos ,EM AF θ∴=〈〉=【解析】异面直线所成的角．16．已知抛物线及圆，过的直线l 与抛物线C 和圆M 从上到下2:8C y x =22():21M x y -+=()2,0依次交于A ，P ，Q ，B 四点，则的最小值为___________.4AP BQ +【答案】13【分析】根据圆心即为抛物线C 的焦点F ，利用抛物线的定义，结合基本不等式求解.()2,0M 【详解】解：如图所示：圆心即为抛物线C 的焦点F .()2,0M 所以，()()414145AP BQ AF BF AF BF +=-+-=+-由抛物线的定义，， 2,222A AB B p p AF x x BF x x =+=+=+=+所以，()()4242545A B A B AP BQ x x x x +=+++-=++又易知：， 244A B p x x ==所以，45513A B x x ≥++=当且仅当，即时等号成立. 4A B x x =41A Bx x =⎧⎨=⎩所以的最小值为13，4AP BQ +故答案为：13四、解答题17．已知向量，，，，. (),4,1a x = ()2,,1b y =-- ()3,2,c z =- a b ∥ b c ⊥ (1)求，，；a b c (2)求与所成角的余弦值.a c +bc + 【答案】(1)，，()2,4,1a = ()2,4,1b =--- ()3,2,2c =- (2) 219-【分析】（1）根据向量平行得到，根据向量垂直得到，计算得到答案.a b λ= 0b c ⋅= （2）计算，，再根据向量的夹角公式计算得到答案.()5,2,3a c += ()1,6,1b c +=- 【详解】（1），故，即，a b ∥ a b λ= ()(),4,12,,x y λλλ=--故，，，即，， 1λ=-2x =4y =-()2,4,1a = ()2,4,1b =---，故，，故 b c ⊥ ()()2,4,13,2,680b c z z ⋅=---⋅-=-+-= 2z =()3,2,2c =- （2），，与所成角的余弦值为：()5,2,3a c += ()1,6,1b c +=- a c + b c +()()2cos 19a c b c a c b c θ===-+⋅++⋅+ 18．根据下列条件分别求出直线l 的方程.（1）直线l 经过A （4，1），且横、纵截距相等；（2）直线l 平行于直线3x +4y +17＝0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24.【答案】（1）直线l 的方程为：x +y ﹣5＝0，或x ﹣4y ＝0（2）满足条件的直线方程为：3x +4y ±24＝0【分析】（1）当直线过原点时，方程为，当直线不过原点时，设直线的方程为：，14y x =x y k +=把点代入直线的方程可得值，即得所求的直线方程(1,3)k （2）直线与平行，故可设直线方程为，求出直线与两坐标轴的交34170x y ++=340x y m ++=点，即可得到三角形的面积，求出的值.m 【详解】（1）直线l 经过原点时满足条件，设直线方程为，，y kx =()0k ≠因为直线过点，可得直线方程为：，即 ()4,1A 14y x =40x y -=直线l 不经过原点时，设直线方程为：，把代入可得：.x y k +=()4,1A 41k +=∴直线l 的方程为：.50x y +-=综上可得：直线l 的方程为：或.50x y +-=40x y -=（2）设直线l 的方程为：，340x y m ++=与坐标轴的交点分别为：，. 0,4m ⎛⎫- ⎪⎝⎭,03m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得：. 124243m m ∴--=24m =±∴满足条件的直线方程为：.34240x y +±=【点睛】本题考查了相互平行的直线斜率之间的关系、直线截距相等时求直线的方程与三角形的面积计算公式，考查了计算能力，属于基础题．19．已知圆22:4C x y +=(1)求过点且与圆相切的直线方程；()2,1P C(2)已知直线被圆截得的弦长为，求实数的值.0x y m --=C m 【答案】(1)或34100x y +-=2x =(2)2m =±【分析】（1）分直线斜率存在和不存在，利用点到直线的距离公式可得答案；（2）圆心到直线的距离、弦长的一半、圆的半径利用勾股定理可得答案..【详解】（1）当直线斜率存在时，设直线，1(2)y k x -=-即，210kx y k --+=圆心，(0,0)2=解得， 34k =-此时直线方程为，34100x y +-=当直线斜率不存在时，直线方程为，此时直线与圆相切，2x =综上，所求直线方程为或.34100x y +-=2x =（2）记圆心到直线的距离为，则， (00)，0x y m --=d d又弦长为，圆的半径为2，则，2222d +=解得，所以.2m =±2m =±20．为等差数列的前项和，已知，.n S {}n a n 71a =432S =-（1）求数列的通项公式；{}n a （2）求，并求的最小值.n S n S 【答案】（1）；（2），时，的最小值为.213n a n =-212n n S n =-6n =n S 36-【解析】（1）利用等差数列的通项公式以及前项和公式求出，，代入通项公式即可求解. n 1a d （2）利用等差数列的前项和公式可得，配方即可求解.n n S 【详解】（1）设的公差为 ，{}n a d 由，，71a =432S =-即，解得， 1161434322a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=-⎪⎩1112a d =-⎧⎨=⎩所以.()11213n a a n d n =+-=-（2）， ()221111122n n n S na d n n n n n -=+=-+-=-，()2212636n S n n n =-=--所以当时，的最小值为.6n =n S 36-21．如图，在四棱锥中，已知平面平面，，，P ABCD -PAD ⊥ABCD //AB CD AD CD ⊥，是等边的中线．24CD AB ==AEPAD :(1)证明：平面．//AE PBC (2)若，求二面角的大小．PA =E AC D --【答案】(1)证明见解析(2)45︒【分析】（1）取的中点F ，连接，进而证明四边形是平行四边形，进而证明PC ,EF BF ABFE平面；//AE PBC （2）取的中点O ，连接，易知平面，进而以O 为坐标原点，的方向分AD PO PO ⊥ABCD ,OA OP 别为x ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.O xyz -【详解】（1）证明：如图1，取的中点F ，连接．PC ,EF BF 因为E 是棱的中点，所以，且．PD //EF CD 12EF CD =因为，所以， 1//,2AB CD AB CD =//,EF AB EF AB =所以四边形是平行四边形，所以．ABFE //AE BF 因为平面，平面，AE ⊄PBC BF ⊂PBC所以平面．//AE PBC （2）解：取的中点O ，连接，AD PO 因为为等边三角形，所以，PAD :PO AD ⊥因为平面平面，平面平面,平面，PAD ⊥ABCD PAD ⋂ABCD AD =PO ⊂PAD 所以平面．PO ⊥ABCD 所以，以O 为坐标原点，的方向分别为x ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系,OA OP ．O xyz -因为等边的边长为，PAD:所以，(4,0),(-A C E ．(4,0),(=-=- AC AE 设平面的一个法向量为ACE (,,)m x y z = 由得 0,0,AC m AE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩40,0.y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩令，则．1x===y z = m 又平面的一个法向量为，ACD (0,0,1)n = 因为，cos ,||||⋅== m n m n m n 所以二面角的大小为．E AC D --45︒22．已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为2. 2222:1(0)x y C a b a b+=>>12F (1)求椭圆的标准方程；C (2)过点的直线交椭圆于两点，交轴于点，设，试判断是F l ,A B y P 12,PA AF PB BF λλ== 12λλ+否为定值？请说明理由.【答案】(1) 22143x y +=(2)是定值，理由见解析【分析】（1）根据已知条件短轴一个端点到右焦点的距离为长半轴，再利用离心率公式即可求F 解.（2）根据已知条件设出直线的方程，与椭圆方程联立方程组，消去得关于的一元二次方程，l y x 利用韦达定理得出交点横坐标的关系，结合向量的关系得出坐标的关系即可求解.【详解】（1）由题可得,，又，2a ==1,12c e c a ==∴=所以， 22222213b a c =-=-=所以椭圆的标准方程为. C 22143x y +=（2）由题可得直线斜率存在，由（1）知设直线的方程为，则,消()1,0,F l ()1y k x =-()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩去，整理得：，y ()22223484120k x k x k +-+-=设，则，， ()()1122,,,A x y B x y 2122834k x x k +=+212241234k x x k-=+ 又，则，由可得，所以()()1,0,0,F P k -()()1111,,1,PA x y k AF x y =+=-- 1PA AF λ= ()1111x x λ=-. 1111x x λ=-同理可得，. 2221x x λ=-所以 ()()()121212121212121212122211111x x x x x x x x x x x x x x x x x x λλ+-+-+=+==-----++ 2222222284122834348412313434k k k k k k k k --⨯++==---+++所以，为定值. 12λλ+83-。

一、单选题1．已知直线，则l 的倾斜角为（ ）. :10l x -=αA ．B ．C ．D ．5π6π3π62π3【答案】C【分析】由直线方程得斜率，由斜率得倾斜角.【详解】.6π故选：C.2．椭圆与(0<k <9)的（ ） 221259x y +=221925x y k k +=--A ．长轴的长相等 B ．短轴的长相等 C ．离心率相等 D ．焦距相等 【答案】D【分析】根据椭圆方程求得两个椭圆的，由此确定正确选项.2c 【详解】椭圆与(0<k <9)的焦点分别在x 轴和y 轴上， 221259x y +=221925x y k k +=--前者a 2＝25，b 2＝9，则c 2＝16，后者a 2＝25－k ，b 2＝9－k ，则． 216c =显然只有D 正确． 故选：D3．设椭圆的焦距为，则数列的前n 项和为（ ）.()22221311x y n n n *+=∈++N n a {}n aAB ．)2n n +2n n -C ． D22n n +)2n n -【答案】A【分析】根据椭圆方程求出椭圆的焦距，证明焦距为等差数列，然后求等差数列的前项和.n 【详解】椭圆()22221311x yn n n *+=∈++N()22223112c n n n ∴=+-+=焦距∴n a ==又)11n n a a n +-=+-=是以. {}n a ∴数列的前n{}n a )22n n ==+故选：A4．已知幂函数的图像是等轴双曲线，且它的焦点在直线上，则下列曲线中，与曲线1y x -=C y x =的实轴长相等的双曲线是（ ）C A ．B ．22122x y +=22122x y -=C ． D ．221x y -=22144x y -=【答案】B【分析】双曲线的实轴长为双曲线与实轴交点的距离，计算出的实轴长，然后在选项中找出1y x -=实轴相等的双曲线即可.【详解】由双曲线几何性质知，双曲线的焦点在实轴上，实轴与双曲线的交点，1(1,1)A --2(1,1)A是双曲线的顶点，故双曲线的实轴长 C 12A A ==显然选项A 表示的是椭圆；选项B 的双曲线实轴长为； 选项C 双曲线的实轴长为； 2选项D 的双曲线实轴长为. 4故选：B5．已知空间向量，，则下列向量中，使能构成空间的一个基底的()1,2,3a =-()2,1,4b =-- {},,a b c 向量是（ ）.A ．B ． ()8,7,18c =-()1,1,1c =-C ．D ．()2,4,8c =-- ()2,1,4c =- 【答案】C【分析】根据向量共线、共面、基底等知识确定正确答案. 【详解】A 选项，设，c xa yb =+即，()()()()8,7,18,2,32,,42,2,34x x x y y y x y x y x y -=-+--=-+--所以，解得，，28273418x y x y x y -+=-⎧⎪-=⎨⎪-=⎩2,3x y ==-23c a b =- 此时不能构成基底.{},,a b cB 选项，，此时不能构成基底.()1,1,1a b c =-=+{},,a b c C 选项，，设，c xa yb =+即，()()2,4,82,2,34x y x y x y --=-+--，此方程组无解，故此时能构成基底. 2224348x y x y x y -+=-⎧⎪-=⎨⎪-=-⎩{},,a b c D 选项，，此时不能构成基底.()2,1,4c b =-=-{},,a b c 故选：C6．在数列中，，若为等差数列，则（ ）{}n a 732,1a a ==1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭5a =A ．B ．C ．D ．43322334【答案】A【分析】利用等差中项求解即可．【详解】解：由为等差数列得，解得.1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭53721113122a a a =+=+=543a =故选：A7．已知数列满足：，，，，则（ ）. {}n a 11a =22a =21n n n a a a ++=-n *∈N 2023a =A ． B ．C ．1D ．22-1-【答案】C【分析】把递推关系式里的换成，结合得到21n n n a a a ++=-n 1n +21n n n a a a ++=-，然后把上式的的换成得到周期. 3n n a a +=-n 3n +【详解】21n n n a a a ++=- 32111n n n n n n n a a a a a a a +++++∴=-=--=-即3n n a a +=-又()63n n n n a a a a ++=-=--= 是以为周期的周期数列. {}n a ∴6 20233376111a a a ⨯+∴===故选：C8．若数列满足，则称为“必会数列”，已知正项数列为“必会数列”，若{}n a 1120n na a +-={}n a {}n a ，则（ ）. 453a a +=23a a +=A ．B ．1C ．6D ．1219【答案】D【分析】根据数列新定义可得数列是以为公比的等比数列，利用等比数列通项公式，即{}n a 12q =可求得答案.【详解】由题意数列满足，可得， {}n a 1120n n a a +-=112n n a a +=故正项数列是以为公比的等比数列， {}n a 12q =则， 2322532341()()3,124a a a a a a a a q +===+∴=++故选：D二、多选题9．下列说法正确的有（ ）.A ．已知直线，，若，则 1:2320l x my m +--=2:640l mx y +-=12l l∥2m =±B ．双曲线的渐近线方程为y x =±C ．若数列，则为等差数列21n S n =+{}n a D ．圆与相交221:9C x y +=222:2220C x y x y +++-=【答案】BD【分析】根据两直线的平行求得，验证后可判断A;根据双曲线的渐近线求得双曲线的离心2m =±率，判断B;根据数列的前n 项和，求得数列通项公式，验证后判断C;根据两圆的方程，可判断两圆的位置关系，判断D.【详解】对于A ，当时，，，两直线不平行，不合题意，0m =1:10l x -=2:320l y -=故，则由可得，解得， 0m ≠12l l ∥236mm -=-2m =±当时，，，两直线重合，不合题意； 2m =1:320l x y +-=2:320l x y +-=当时，，，则，故，A 错误； 2m =-1:30l x y -=23:20l y x +-=12l l ∥2m =-对于B ，双曲线的渐近线方程为，则双曲线为等轴双曲线， y x =±即双曲线的实半轴长和虚半轴长相等，即，a b =故离心率 ，B 正确；c e a ===对于C, 数列,则 ，21n S n =+112a S ==当时，，2n ≥2211[(1)1]21n n n a S S n n n -=-=+--+=-由于不适合上式，故不是等差数列，C 错误；12a ={}n a 对于D ，圆的圆心为，半径为，221:9C x y +=1(0,0)C 13r =圆心为，半径为，222:2220C x y x y +++-=2(1,1)C --22r =则 ，故两圆相交，D 正确， 121212||r r C C r r -<=<+故选：BD 10．已知数列满足，，，，是数列的前项和，则{}n a 11a =26a =()11n n na n a λ+=+n *∈N n S {}n a n 下列结论正确的有（ ）. A ．B ．数列是等比数列3λ=n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭C ．数列是等比数列D ． 3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭()21314n nn S -+=【答案】ABD【分析】由可求得的值，可判断A 选项；利用等比数列的定义可判断B 选项；求出数212a a λ=λ列的通项公式，利用等差数列的定义可判断C 选项；利用错位相减法可判断D 选项. {}n a 【详解】对于A 选项，，即，可得，A 对； 212a a λ=26λ=3λ=对于B 选项，由A 选项可得，可得，且， ()131n n na n a +=+131n n a a n n +=+111a =所以，数列是首项为，公比为的等比数列，B 对；n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭13对于C 选项，由A 选项可知，，故，所以，， 11133n n n a n--=⨯=13n n a n -=⋅33n n a n =则，故数列为等差数列，C 错； 111133333n n n n a a n n +++-=-=3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭对于D 选项，，①01211323333n n S n -=⋅+⋅+⋅++⋅ ，②()12131323133n n n S n n -=⋅+⋅++-⋅+⋅ ①②可得， -()()01211231132333333132n n n n n n n S n n --⋅---=++++-⋅=-⋅=- 因此，，D 对.()21314n n n S -⋅+=故选：ABD.11．已知等差数列，前项和为，则下列结论正确的是（ ） {}n a n 202312022,0,1n a S a a ><-A ．B ．的最大值为 20220a >n S 2023SC ．的最小值为D ．n a 2022a 40440S <【答案】ACD【分析】先由数列为等差数列，得再由等差数列通项公式和{}n a 2023120220,1a a a ><-202320220,0,a a <>求和公式对选项逐一分析即可.【详解】对于A,数列为等差数列，， {}n a 2023120220,1a a a ><-数列为递减的等差数列， ∴{}n a∴202320220,0,a a <>故A 正确，对于B, 数列为递减的等差数列，{}n a 202320220,0,a a <>的最大值为，∴n S 2022S 故B 错，对于C,202320220,0,a a <>由得 ∴202320221a a <-20232022,a a <- ∴202320220,a a +<∴20232022||||,a a >的最小值为,即，∴n a 2022||a 2022a 故C 正确，对于D,140444044202220234044()2022()0,2a a S a a +==+<故D 正确. 故选：ACD12．如图，和所在平面垂直，且，，则下列ABC A DBC △2AB BC BD ===120CBA DBC =∠=∠︒结论正确的是（ ）.A ．直线AD 与直线BC 所成角的大小为90°B ．直线AB 与直线CDC ．直线AD 与平面BCD 所成角的大小为60° D ．三棱锥A BCD -【答案】AB【分析】在平面内过作交延长线于，连接，证明两两垂ABC A AM BC ⊥CB M DM ,,AM BM CM 直，得平面，得直线AD 与直线BC 所成角判断A ，直线AD 与平面BCD 所成角判断CM ⊥ADM C ，利用求得体积判断D ，过作交于，直线AB 与A BCD C ABD C ADM B ADM V V V V ----==-B //BE CD MD E 直线CD 所成角为或其补角，在三角形中由余弦定理计算余弦值，判断C ． ABE ∠【详解】在平面内过作交延长线于，连接，如图， ABC A AM BC ⊥CB M DM 由已知得，，， ABC DBC ≅A A AC DC =30ACB DCB ∠=∠=︒从而，∴，，ACM DCM ≅△△90DMC AMC ∠=∠=︒AM DM =，平面，∴平面， AM DM M = ,AM DM ⊄ADM CM ⊥ADM 而平面，∴，即，A 正确；AD ⊂ADM CM AD ⊥BC AD ⊥又平面平面，平面平面，平面，， ABC ⊥DBC ABC ⋂DBC BC =AM ⊂ABC AM BC ⊥∴平面，平面，∴，， AM ⊥DBC DM ⊂DBC AM DM ⊥45ADM DAM ∠=∠=︒与平面所成的角为，C 错误；AD BDC ADM ∠45=︒由，，得，2AB BC BD ===120CBA DBC =∠=∠︒60ABM DBM ∠=∠=︒，，1BM =AM DM ==111333A BCD C ABD C ADMB ADM ADMADMADMV V V V S MC S MB S BC ----==-=⋅-⋅=⋅!!!，D 错．2112132=⨯⨯⨯=过作交于，直线AB 与直线CD 所成角为或其补角， B //BE CD MD E ABE ∠，13ME MB MD MC==ME =，同理AE ===BE =中，由余弦定理得 ABEAcos ABE ∠==所以直线AB 与直线CD B 正确． 故选：AB ．三、填空题13．在等比数列中，为其前项和，，，则公比______. {}n a n S n 5423a S =+6523a S =+q =【答案】3【分析】将题干中的等式作差，可求得的值.q 【详解】由，两个等式作差可得，则，所以，. 54652323a S a S =+⎧⎨=+⎩6552a a a -=653a a =653a q a ==故答案为：.314．若直线l 将圆平分，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为222440x y x y +---=______.【答案】或20x y -=30x y +-=【分析】由题意确定已知圆的圆心和半径，并可知所求直线过圆心，讨论直线在坐标轴上的截距是否为0，由此可求得答案.【详解】圆化为 ， 222440x y x y +---=22(1)(2)9x y -+-=圆的圆心坐标 ，半径为3，(1,2)直线l 将圆平分，则直线l 经过圆心， 222440x y x y +---=(1,2)若在两坐标轴上的截距都为0，则直线过坐标原点，此时斜率为2， 直线l 的方程为 ，即 ， 2y x =20x y -=若在两坐标轴上的截距不为0，设直线方程为, 1x ya a+=则,可得 ， 121a a+=3a =∴直线l 的方程为，即，133x y+=30x y +-=综上所述：直线l 的方程为或． 20x y -=30x y +-=故答案为：或20x y -=30x y +-=15．已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且面ABCD ，M ，N 分别是PC ，PD 上的点，PA ⊥且，，，则______. 2PM MC = PN ND = MN x AB y AD z AP =++x y z ++=【答案】23-【分析】根据向量运算求得，进而求得.,,x y z x y z ++【详解】MN PN PM =-1223PD PC =-()()1223AD AP AC AP =---121236AD AC AP =-+()121236AD AB AD AP =-++211366AB AD AP =--+所以，211,,366x y z =-=-=所以.23x y z ++=-故答案为：23-16．已知和直线与圆O 交于 两点，与直线22:4O x y +=A1:l y =2l ,A B 交于点C （C 在圆O 内），若，则______.1l 1AC BC -=AB =【分析】作 ，可得，推出，继而求出，求得，2OH l ⊥||||AH BH =1||=2CH π3HCO ∠=||OH 根据圆的弦长与圆心距以及半径之间的关系，求得. AB 【详解】由题意可知，圆的半径为2，22:4O x y +=A 如图示，作 ，垂足为H ，则H 为的中点，即,2OH l ⊥AB ||||AH BH =所以,则,||||(||||)2||1AC BC AH CH BH CH CH -=+--==1||=2CH因为直线 其倾斜角为， 2l π3直线的斜率为即直线的倾斜角为 ， 1l 1l 2π3所以 ，由，可得2πππ333HCO ∠=-=1||=2CH |OH所以||AB =四、双空题17．已知数列是等比数列，，则______，圆锥曲线的离{}n a 2132,84a a a =-=3a =2233148x y a a +=+-心率为____________．【答案】 4或8-【分析】根据给定的条件求出等比数列的公比，求出；由圆锥曲线方程判断曲线形状，再求{}n a 3a 出离心率作答.【详解】设等比数列的公比为，因，则，即，解{}n a q 2132,84a a a =-=1624q q-=2280q q +-=得或，=2q 4q =-所以或； 324a a q ==38a =-当时，圆锥曲线是焦点在x 轴上的椭圆，长半轴长3=4a 22184x y +=a =2c ==，离心率 c e a ==当时，圆锥曲线是焦点在y 轴上的双曲线，实半轴长，半焦距38a =-221164y x -=4a '=，离心率. c '==c e a ''=='故答案为：4或8-五、填空题18．如图，为椭圆上一个动点，过点作圆：的两条切线，切点分别P 22143x y +=P C 22(1)1x y -+=为，，则当四边形面积最大时，的值为______．A B PACB PA PB ⋅【答案】 569【分析】根据切线的性质得到，以及，故四边形面积最大时，即PA PB =PACB S PA =四边形PACB 最大，根据椭圆的性质可知当点为椭圆的左顶点时，最大，根据向量数量积公式计算出PA P PC 两个向量的数量积. 【详解】连接，设，则，由切线的性质知，所以PC APC α∠=2APB α∠=PA PB =，故四边形面积最大时，即最大，且.易知1212PACB S PA PA 四边形=⨯⨯=PACB PA PA =当点为椭圆的左顶点时，最大，所以，如图所示，P PC ()2,0P -此时，，1AC =3PC =PA =所以， 1sin 3α=. ()2cos212sin PA PB PA PB PA PB αα⋅=⋅=⋅- 212561281399⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⨯=⨯-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦【点睛】本小题主要考查圆的切线的几何性质，考查椭圆的几何性质，考查向量数量积的计算，属于中档题.六、解答题19．在正项等比数列中，已知，.{}n a 1310a a +=3590a a +=(1)求数列的通项公式；{}n a (2)令，求数列的前100项和. 31log n n b a +=(){}21n n b -100S 【答案】(1).13n n a -=(2)5050.【分析】（1）由题意根据等比数列通项公式列方程组，即可求得答案；（2）由（1）可得的表达式，利用并项求和法求得答案.31log n n b a +=【详解】（1）正项等比数列中，，,{}n a 1310a a +=3590a a +=设公比为 ,所以 ， ,0q q >21221(1)10(1)90a q a q q ⎧+=⎨+=⎩解得 ；13,1q a ==所以数列的通项公式为．{}n a 1113n n n a a q --==（2）由，313log log 3n n n b a n +===所以数列的前100项的和为： (){}21n n b -222222100123499100S b b b b b b =-+-+--+222222123499100=-+-+--+()()21(21)43(43)(10099)(10099)=+⨯-++⨯-+++⨯- . 123499100=++++++ 100(1100)50502⨯+==20．已知抛物线的焦点F 到双曲线的渐近线的距离为. ()2:20C y px p =>2213x y -=12(1)求抛物线C 的方程；(2)若抛物线C 上一点A 到F 的距离是4，求A 的坐标.【答案】(1)；24y x =(2)或，(3,(3,-【分析】（1）由方程写出抛物线焦点坐标，双曲线的渐近线方程，由点到直线距离公式求得得抛p 物线方程；（2）设，由焦半径公式求得，再得．00(,)A x y 0x 0y 【详解】（1）由已知，双曲线的渐近线方程为， (,0)2pF 0x =，因为，所以， 120p >2p =抛物线方程为； 24y x =（2）设，则，，，00(,)A x y 014AFx =+=03x =204312y =⨯=0y =±所以点坐标为或，A (3,(3,-21．如图在四棱锥中，，，，平P ABCD -122PA PD DC AB ====//AB CD 90APD ABC ∠=∠=︒面平面ABCD ，E 为PA 的中点. PAD ⊥(1)求证：面；//DE PBC(2)点Q 在棱PB 上，若二面角的位置. P AD Q --Q 【答案】(1)证明见解析(2)点为的中点Q PB【分析】（1）取的中点，证明四边形为平行四边形即可.PB F EFCD (2) 取的中点,取的中点，以为原点，分别为轴的非负半轴建立空AB H AD G G ,,GH GD GP ,,x y z 间直角坐标系解决.【详解】（1）取的中点PB F 分别为的中点, ,E F ,PA PB 并且， //EF AB ∴12EF AB =又并且， //AB CD 122DC AB ==并且，//CD EF ∴CD EF =所以四边形为平行四边形，EFCD 所以，//DE CF 又平面，ED ⊄ PBC 平面，CF ⊂PBC 面.∴//DE PBC（2）取的中点，AB H ，又为的中点， 122DC AB == H AB 并且，，//HB DC ∴HB DC =90ABC ∠=︒，2BC DH ∴===BD ∴==又，222AD BD AB += ，AD DB ∴⊥取的中点，易得，AD G //GH BD .GD GH ∴⊥又平面平面ABCD ，PAD ⊥平面平面，PAD ⋂ABCD AD =又且为的中点，PA PD = G AD ，平面，PG AD ∴⊥PG ⊂ PAD 平面.PG ∴⊥ABD 又平面,GD GH ⊂ ABD ，,PG GD PG GH ∴⊥⊥以为原点，分别为轴的非负半轴建立如图所示的直角坐标系.G ,,GH GD GP ,,x y z， (()()(),0,,,P A D B设，则，(),,Q x y z []()0,1PQ PB λλ=∈ 即，((,,x y z λ=，()Q ∴又，()()0,,DA DQ =-= 设平面的法向量为，ADQ ()000,,n x y z =r ，)00000000n DA x y z n DQ ⎧-=⎧⋅=⎪⎪∴⇒⎨⎨++=⋅=⎪⎪⎩⎩ 令则，，01,x λ=-000,2y z λ==()1,0,2n λλ∴=- 易得平面的法向量为，PAD ()1,0,0m = 设二面角的平面角为，P AD Q --θ则cos m n m n θ⋅===⋅ ，即， 12λ∴=12PQ PB = 所以点为的中点.Q PB 22．在数列中，，，. {}n a 113a =1120n n n n a a a a +++-=N n *∈(1)求数列的通项公式；{}n a (2)满足不等式成立的k 的最大值. ()122311N 8k k a a a a a a k *++++<∈L 【答案】(1). 121n a n =+(2)4【分析】（1）由数列递推式变形可得，说明数列 是等差数1120n n n n a a a a +++-=1112n n a a +-=1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭列，即可求得答案；（2）由（1）可得，利用裂项求和的方法求得，解1111()22123k k a a k k +=-++12231k k a a a a a a ++++L 不等式即可得答案.【详解】（1）因为，，所以，否则与矛盾， 113a =1120n n n n a a a a +++-=0n a ≠113a =故 ， 1112n na a +-=又，∴数列 是以3为首项，2为公差的等差数列， 113a =1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭所以，∴. 132(1)21nn n a =+-=+121n a n =+（2）由（1）知，， 11111((21)(23)22123k k a a k k k k +==-++++∴ 122311111111()(()235572123k k a a a a a a k k +⎡⎤=-+-++++-⎢⎥++⎣⎦+ L ， 111(2323k =-+∵， 1223111111,()232883k k a a a k a a a +∴-<+++<+L 即 ， 92312,2k k +<∴<,故k 的最大值为4.N k *∈ 23．易知椭圆，其短轴为4，离心率为e 1.双曲线的()2222:10x y E a b a b +=>>221(0,0)x y m n m n-=>>渐近线为，离心率为e 2，且.y x =±121e e ⋅=（1）求椭圆E 的方程；（2）设椭圆E 的右焦点为F ，过点G (4，0)斜率不为0的直线交椭圆E 于M 、N 两点设直线FM 和FN 的斜率为，试判断是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理12,k k 12k k +由.【答案】（1）（2）是定值，.22184x y +=120k k +=【详解】（1）由题意可知：2b =4，b =2，，双曲线的离心率， 1n m=2e =则椭圆的离心率为椭圆的离心率a =. 1e=1c e a ===所以椭圆的标准方程：.22184x y +=（2）是定值，证明如下：12k k +如图，设直线MN 的方程为.(4)(0)y k x k =-≠联立消去y 整理得. 22(4)28y k x x y =-⎧⎨+=⎩()222212163280k x k x k +-+-=设，则， ()()1122,,,M x y N x y 2212122216328,2121k k x x x x k k -+==++ ()()1212121212442222k x k x y y k k x x x x --+=+=+----. ()()()()()()122112424222x x x x k x x --+--=⋅--()()()121212261622x x x x k x x -++=⋅--将，代入上式得， 2212122216328,2121k k x x x x k k -+==++()121226160x x x x -++=即. 120k k +=。

数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.双曲线221168x y -=的虚轴长是（ ）A ．8B ．C ．．22.在公差为d 的等差数列{}n a 中，“1d >”是“{}n a 是递增数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.为了了解800名高三学生是否喜欢背诵诗词，从中抽取一个容量为20的样本，若采用系统抽样，则分段的间隔k 为（ ）A ．50B ．60C ．30D ．404.已知椭圆22:1169x y C +=的左、右焦点分别为12F F 、，过2F 的直线交椭圆C 于P Q 、两点，若1F P +110FQ =，则PQ 等于（ ） A ．8 B ．6 C.4 D ．25.从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如下，则这100个成绩的平均数为（ ）A ．3B ．2.5 C.3.5 D ．2.756.某单位有员工120人，其中女员工有72人，为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为15的样本，则男员工应选取的人数是（ ） A ．5 B ．6 C.7 D ．87.已知椭圆()222:10525x y C b b +=<<的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，则该椭圆的方程是（ ）A ．221254x y +=B ．221259x y += C.2212516x y += D ．22125x y +=8.已知点()00,A x y 是抛物线()220y px p =>上一点，且它在第一象限内，焦点为,F O 坐标原点，若32pAF =，2AO = ） A ．4x =- B ．3x =- C.2x =- D ．1x =-9.某班m 名学生在一次考试中数学成绩的频率分布直方图如图，若在这m 名学生中，数学成绩不低于100分的人数为33，则m 等于（ ）A ．45B ．48 C.50 D ．5510.已知定点()3,0M -，()2,0N ，如果动点P 满足2PM PN =，则点P 的轨迹所包围的图形面积等于（ ） A ．1009π B ．1429π C.103πD ．9π11.已知命题p ：直线20x y +=与直线20x y +-=之间的距离不大于1，命题q ：椭圆2222754x y +=与双曲线22916144x y -=有相同的焦点，则下列命题为真命题的是（ ）A ．()p q ∧⌝B ．()p q ⌝∧ C.()()p q ⌝∧⌝ D ．p q ∧12.如图，12,F F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线分别交于点,A B ，且(A ，若2ABF ∆为等边三角形，则12BF F ∆的面积为（ ）A ．1 BD ．2第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知0m >，0n >，向量(),1,3a m =-与()1,,2b n =垂直，则mn 的最大值为 ．14.若[]x 表示不超过x 的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为 ．15.在区间2,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上任取一个数x ，则函数()3sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的值不小于0的概率为 ．16.已知点A 是抛物线()2:20C x px p =>上一点，O 为坐标原点，若,A B 是以点()0,10M 为圆心，OA 的长为半径的圆与抛物线C 的两个公共点，且ABO ∆为等边三角形，则p 的值是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为3x ty =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρθ=. （1）写出直线l 的普通方程及圆C 的直角坐标方程；（2）点P 是直线l 上的点，求点P 的坐标，使P 到圆心C 的距离最小. 18. （本小题满分12分）已知p ：方程()2220x mx m +++=有两个不等的正根；q ：方程221321x y m m -=+-表示焦点在y 轴上的双曲线.（1）若q 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数m 的取值范围. 19. （本小题满分12分）某公司经营一批进价为每件4百元的商品，在市场调查时发现，此商品的销售单价x （百元）与日销售量y （件）之间有如下关系：（1）求y 关于x 的回归直线方程；（2）借助回归直线方程请你预测，销售单价为多少百元（精确到个位数）时，日利润最大？相关公式：()()()1122211n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-.20. （本小题满分12分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名同学的投篮命中次数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中用x 表示.（1）若乙组同学投篮命中次数的平均数比甲组同学的平均数少1，求x 及乙组同学投篮命中次数的方差；（2）在（1）的条件下，分别从甲、乙两组投篮命中次数低于10次的同学中，各随机选取一名，求这两名同学的投篮命中次数之和为16的概率.21. （本小题满分12分）如图，在三棱锥A BCD -中，AD ⊥平面BCD ，CB CD =，AD DB =，,P Q 分别在线段,AB AC 上，3AP PB =，2AQ QC =，M 是BD 的中点.（1）证明：//DQ 平面CPM ； （2）若二面角C AB D --的大小为3π，求tan BDC ∠.22. （本小题满分12分）已知()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F 、，12F F =P 在椭圆上，21tan 2PF F ∠=，且12PF F ∆的面积为4.（1）求椭圆的方程；（2）点M 是椭圆上任意一点，12A A 、分别是椭圆的左、右顶点，直线12MA MA ，与直线x =分别交于,E F 两点，试证：以EF 为直径的圆交x 轴于定点，并求该定点的坐标.试卷答案一、选择题1.B 因为28b =，所以虚轴长2b =.2.A 若1d >，则n N *∀∈，110n n a a d +-=>>，所以，{}n a 是递增数列；若{}n a 是递增数列，则n N *∀∈，10n n a a d +-=>，推不出1d >3.D 由于8002040÷=，即分段的间隔40k =.4.B 因为直线PQ 过椭圆的右焦点2F ，由椭圆的定义，在1F PQ ∆中，11416F P FQ PQ a ++==.又1110F P FQ +=，所以6PQ =. 5.A 设这100个成绩的平均数记为x ，则120210*********3100x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==.6.B 男员工应抽取的人数为12072156120-⨯=. 7.C 设焦距为2c ，则有222552b c c b⎧-=⎨+=⎩，解得216b =，所以椭圆22:12516x y C +=.8.D 因为0322p px +=，所以0x p =，0y =.又)2212p +=，所以2p =，准线方程为1x =-.9.D ()10.0150.025100.6P =-+⨯=，由0.633m =，得55m =.10.A 设(),P x y ，则由2PM PN =得()()2222342x y x y ⎡⎤++=-+⎣⎦，化简得223322x y x +-70+=，即221110039x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以所求图形的面积1009S π=.11.B 对于命题p ，将直线l 平移到与椭圆相切，设这条平行线的方程为20x y m ++=，联立方程组224120x y x y m ⎧+=⎨++=⎩，消去y 得222210x mx m ++-=.由0∆=得，所以m =，椭圆上的点到直线l最近距离为直线20x y +-=与l 的距离d =1>，所以命题p 为假命题，于是p ⌝为真命题.对于命题q ，椭圆2222754x y +=与双曲线22916144x y -=有相同的焦点()5,0±，故q 为真命题.从而()p q ⌝∧为真命题.12.C 由已知212BF BF a -=，122AF AF a -=，又2ABF ∆为等边三角形，所以121AF AF BF -=2a =，所以24BF =.在12AF F ∆中，16AF a =，24AF a =，122F F c =，1260F AF ∠=︒，由余弦定理得22243616264cos 60c a a a a =+-⨯⨯⨯︒，所以227c a =，22226b c a a =-=，所以双曲线方程为222216x y a a-=，又(A 在双曲线上，所以221316a a -=，解得212a =，即a =所以122124sin1202BF F S a a ∆=⨯⨯⨯︒==. 二、填空题13.9 因为，所以，又，所以.14.7 第一次循环，0S =，2n =；第二次循环，1S =，4n =；第三次循环，3S =，6n =；第四次循环，5S =，8n =；第五次循环，7S =.因为8>6，所以输出S 的值为7.15.611 当2,43x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，272,636x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦.当[]20,6x ππ-∈，即7,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()0f x ≥，则所求概率为76121221134ππππ-=⎛⎫-- ⎪⎝⎭.16.56如图，因为MA OA =，所以，点A 在线段OM 的中垂线上，又()0,10M ，所以可设(),5A x . 由tan 305x︒=，得x =，所以A ⎫⎪⎭的坐标代入方程22x px =，得56p =.三、解答题17.解：（1）由3,.x t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩消去参数t ，得直线l0y --=，由ρθ=得2sin ρθ=，22x y +=，即圆C的直角坐标方程为(223x y +-=.（2）()3P t +，(C=，0t =∴时PC 最小，此时()3,0P .18.解：（1）由已知方程221321x y m m -=+-表示焦点在y 轴上的双曲线，则()244202020m m m m ⎧∆=-+>⎪->⎨⎪+>⎩解得21m -<<-，即:21p m -<<-. 因p 或q 为真，所以p q 、至少有一个为真. 又p 且q 为假，所以p q 、至少有一个为假.因此，p q 、两命题应一真一假，当p 为真，q 为假时，213m m -<<-⎧⎨≥-⎩，解得21m -<<-；当p 为假，q 为真时，213m m m ≤≥-⎧⎨<-⎩或，解得3m <-.综上，21m -<<-或3m <-. 19.解：（1）因为7x =，1089616.85y ++++==，所以，122121857 6.82255549ni ii ni i x y nx yb x nx==--⨯⨯===--⨯-∑∑，()6.82720.8a y bx =-=--⨯=，于是得到y 关于x 的回归直线方程220.8y x =-+.（2）销售价为x 时的利润为()()24220.8228.883.2x x x x ω=--+=-+-，当28.8722x =≈⨯时，日利润最大. 20.（1）解：依题意得：82910789112155x +⨯+++++⨯=-，解得6x =，41=5x 乙，22222141414141682910 1.7655555s ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-⨯+-+-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. （2）记甲组投篮命中次数低于10次的同学为123,,A A A ，他们的命中次数分别为9，8，7. 乙组投篮命中次数低于10次的同学为1234,,,B B B B ，他们的命中次数分别为6，8，8，9.依题意，不同的选取方法有：()()()()()()()()()()()()111213142122232431323334,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B 共12种.设“这两名同学的投篮命中次数之和为16”为事件，则中恰含有()()()222334,,,,,A B A B A B 共3种.()31124P C ==∴. 21.（1）证明：取AB 的中点E ，连接ED EQ 、，则2AE AQEP QC==，所以//EQ PC . 又EQ ⊄平面CPM ，所以//EQ 平面CPM . 又PM 是BDE ∆的中位线，所以//DE PM ， 从而//DE 平面CPM . 又DEEQ E =，所以平面//DEQ 平面CPM .因为DQ ⊂平面DEQ ，所以//DQ 平面CPM . （2）解：法1：由AD ⊥平面BCD 知，AD CM ⊥， 由BC CD =，BM MD =，知BD CM ⊥， 故CM ⊥平面ABD .由（1）知//DE PM ，面DE AB ⊥，故PM AB ⊥. 所以CPM ∠是二面角C AB D --的平面角， 即3CPM π∠=.设PM a =，则CM =，又易知在Rt ABD ∆中，4B π∠=，可知DM BM ==，在Rt CMD ∆中，tan MC MDC MD ∠===法2：以M 为坐标原点，,,MC MD ME 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标.设MC a =，MD b =，则(),0,0C a ，()0,,0B b -，()0,,2A b b ，则(),,0BC a b =，()0,2,2BA b b =，设()1,,n x y z =是平面ABC 的一个法向量，则110,0.n BC n BA ⎧=⎪⎨=⎪⎩即0,220.ax by by bz +=⎧⎨+=⎩取()1,,n b a a =-， 不难得到平面ABD 的一个法向量为()21,0,0n =， 所以11cos ,2n n <>==，所以a b =， 在Rt CMD ∆中，tan MC a MDC MD b ∠===22.解：（1）因为21tan 2PF F ∠=，所以21sin PF F ∠=，21cos PF F ∠=.由题意得((2222122125542522PF PF PF PF ⎧⨯⨯=⎪⎪⎨⎪=+-⨯⎪⎩，解得1242PF PF ⎧=⎪⎨=⎪⎩. 从而1224263a PF PF a =+=+=⇒=，结合2c =，得24b =，故椭圆的方程为22194x y +=. （2）由（1）得()13,0A -，()23,0A ，设()00,M x y ，则直线1MA 的方程为()0033y y x x =++， 它与直线x =的交点的坐标为0033y E x ⎫⎫+⎪⎪⎪⎪+⎭⎭， 直线2MA 的方程为()0033y y x x =--，它与直线x =的交点的坐标为0033y F x ⎫⎫-⎪⎪⎪⎪-⎭⎭， 再设以EF 为直径的圆交x 轴于点(),0Q m ，则QE QF ⊥，从而1QE QF k k =-，即135⎝=-，即220209349y m x ⎛⎫=-⎪ ⎪-⎝⎭，解得1m =. 故以EF 为直径的圆交x 轴于定点，该定点的坐标为1,0⎫+⎪⎪⎭或1,0⎫-⎪⎪⎭.。

长春外国语学校2017-2018学年第一学期期末考试高二年级数学试卷出题人 ： 刘 洋 审题人 ： 宋志刚本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页。

考试结束后，将答题卡交回。

注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信 息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书 写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效； 在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1，0)，离心率等于13，则椭圆C 的方程是A ．．．．2. A （-2,2）标系，点A的极坐标为A．．C．．3. 运行如图所示的程序框图，输出A，B，C的一组数据为3，－1,2，则在两个判断框内的横线上分别应填（第3题图）（第5题图）A．垂直、相切 B．平行、相交 C．垂直、相离 D．平行、相切4.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F0），M、N两点，MN5. 根据下边框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是A．．6.A．．．．7.A． 2 B．． 1 D．8. 下列说法中正确的是A．①② B．③④ C．①④ D．②③9. 下列程序执行后输出的结果是A． 600 B． 880 C． 990 D． 110010.离心率为A ．11.D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是A ．．．．12.，曲线CA ． 16B ． 18C ． 8D ． 10第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分。

13.C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是______________.14. P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则PQ ＝________.15. ,_______________.16.周上任意一点，把圆纸片折叠，然后抹平纸片，__________．三、解答题：本题共70分，其中17题10分，18至22题每题12分.17.下表提供了某厂节能降耗技术改进后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据.(1) 请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x(2) 已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(1)求出的回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)18. 以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示.（Ⅰ）如果X=8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；（Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率.19. 已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋4t ，y ＝3t(t 为参数)，曲线C 相交所截的弦长.20. 4月23日是“世界读书日”,某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动,为了解本校学生课外阅读情况,学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查,下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位:min)的频率分布直方图,若将日均课外阅读时间不低于60 min 的学生称为“书虫”,低于60 min 的学生称为“懒虫”,(1)求x 的值并估计全校3 000名学生中“书虫”大概有多少名学生?(将频率视为概率) (2)根据已知条件完成下面2×2的列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“书虫”与性别有关:21.曲线C1(1)求曲线C1的直角坐标方程；(2)曲线C2的方程为x216＋y24＝1，设P，Q分别为曲线C1与曲线C2上的任意一点，求|PQ|的最小值．22.（1（21.B2.B3.A4.D5.C6.C7.C8.D9.C 10.B 11.D 12.B 13.相交.14.抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，PQ ＝PF ＋QF ＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.三、解答题 17.解 (1)x ＝3＋4＋5＋64＝4.5， 1分y ＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5， 1分∑4i ＝1x i y i ＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，∑4i ＝1x 2i ＝32＋42＋52＋62＝86， ∴b ^＝∑4i ＝1x i y i －4x y∑4i ＝1x 2i －4x 2＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.526分＝0.7，a ^＝y －b ^x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35. 8分∴所求的回归方程为y ^＝0.7x ＋0.35. (2)现在生产100吨甲产品用煤y ^＝0.7×100＋0.35＝70.35， ∴90－70.35＝19.65.∴生产能耗比技改前降低约19.65吨标准煤． 10分18．19.20. (1)由已知可得:(0.01+0.02+0.03+x+0.015)×10=1,可得x=0.025. 2分因为(0.025+0.015)×10=0. 4,将频率视为概率,由此可以估算出全校3000名学生中“书虫”大概有1200人. 4分(2)完成下面的2×2列联表如下:7分K2=≈8.249. 10分由8.249>6.635,故在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“读书迷”与性别有关. 12分。

一、单选题1．经过点和点的直线的斜率是（ ） ()1,4A ()5,12B A ．2 B ． C ．4 D ．2-4-【答案】A【分析】代入直线的斜率公式求解. 【详解】由点和点可得， ()1,4A ()5,12B 直线的斜率， 124251k -==-故选：A2．抛物线的准线方程为（ ） 22y x =A ．B ．14y =-18y =-C ． D ．12x =12x =-【答案】D【分析】若抛物线方程标准方程，则准线方程. 22y px =2p x =-【详解】抛物线的方程，则，焦点在x 轴上，开口向右，其准线方程为．22y x =1p =∴12x =-故选：D ．3．现有5幅不同的油画，2幅不同的国画，7幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（ ） A ．7种 B ．9种C ．14种D ．70种【答案】C【分析】根据分类加法计数原理求解即可 【详解】分为三类:从国画中选，有2种不同的选法;从油画中选，有5种不同的选法;从水彩画中选，有7种不同的选法，根据分类加法计数原理，共有5+2+7= 14(种)不同的选法; 故选：C4．双曲线C 的两焦点分别为(－6，0)，(6，0)，且经过点(－5，2)，则双曲线的标准方程为（ ）A ．B ．221204x y -=2212016x y -=C ．D ．2212016y x -=221204y x -=【答案】B【解析】根据双曲线的定义求出，然后可求得答案.a 【详解】2a所以，又c ＝6， a =所以b 2＝c 2－a 2＝36－20＝16. 所以双曲线的标准方程为2212016x y -=故选：B5．.如图，在平行六面体中，（ ）1111ABCD A B C D -1AB ADC C +-=A ．B ．C ．D ．1AC u u u r 1AC 1C B1DB 【答案】A【分析】用向量加法的三角形法则和平行四边形法则即可解决.【详解】.1AB AD C C +-= 111AC C C AC CC AC -=+=故选：A6．点关于直线的对称点的坐标为（ ） ()2,0P :10l x y ++=Q A ． B ．C ．D ．()1,3--()1,4--()4,1()2,3【答案】A【分析】根据点关于线对称的特点，利用中点坐标公式及两直线垂直的斜率的关系即可求解. 【详解】设点关于直线的对称点的坐标为，()2,0P 10x y ++=(),a b 则，解得. ()011221022b a a b -⎧⨯-=-⎪⎪-⎨+⎪++=⎪⎩13a b =-⎧⎨=-⎩所以点的坐标为 Q ()1,3--故选：A.7．将6名实习教师分配到5所学校进行培训，每名实习教师只能分配到1个学校，每个学校至少分配1名实习教师，则不同的分配方案共有（ ） A ．600种 B ．900种 C ．1800种 D ．3600种【答案】C【分析】将名教师分组，只有一种分法，即，然后按照分组组合的方式计算即可.61,1,1,1,2【详解】将名教师分组，只有一种分法，即，共有，61,1,1,1,2111126543244C C C C C A 再分配给5所学校，可得 11112565432544C C C C C A 1800A ⨯=故选:C8．已知点，，在面积的最大值为（ ） ()2,0A -()2,0B PABAPAB A A ．B．C ．D ．【答案】B【分析】点的轨迹方程,最后可得点处在圆的上（下）顶点时面积的P P PAB A 最大.【详解】设(,)P x y2222(2)2(2)2x y x y ++=-+整理得，即，()2212400x y x x +-+=≠22(6)32x y -+=()0x ≠故点在以为圆心，为半径的圆上.P ()6,0所以当点处在圆的上（下）顶点时面积的最大，最大值为P PAB A max 11||422S AB =⨯=⨯⨯=故选:B.【点睛】结论：已知点，为两定点，若动点满足，则点的轨迹为A B P ()0,1PA PB λλλ=>≠P 圆.此题在求出点在圆上之后利用圆的动点求最值.P二、多选题9．已知双曲线C 过点，且渐近线方程为，则下列结论正确的是（ ）(y =A ．双曲线的方程为B ．双曲线C 2213x y -=C C ．双曲线的实轴长是D ．双曲线的虚轴长是1C C 【答案】AC【分析】根据已知条件双曲线的方程，进而求得，由此对选项逐一分析即可得解.C ,,a b c 【详解】对于A ，设双曲线方程为，()2210Ax By AB +=<将点代入，可得， (921A B+=又双曲线的渐近线方程为，所以，y x ==13A B =-联立，解得，所以双曲线的方程为，故A 正确； 92113A B A B +=⎧⎪⎨=-⎪⎩131A B ⎧=⎪⎨⎪=-⎩C 2213x y -=对于B ，因为双曲线为，所以，C2213x y -=1,2a b c ===所以双曲线的离心率为，故B 错误；C c a ==对于C ，因为，所以双曲线的实轴长是C 正确； 2a =C 对于D ，因为，所以双曲线的虚轴长是2，故D 错误. 22b =C 故选：AC.10．已知圆：，圆：，则（ ） 1O 22(1)(2)4x y -++=2O 22(5)9x y -+=A ．12O O =B ．圆与圆的公共弦所在直线方程为 1O 2O 84150x y +-=C ．圆与圆相离1O 2O D ．圆与圆的公切线有2条 1O 2O 【答案】ABD【分析】对A ：求得两圆心坐标，计算两圆心之间距离；对B ：将两圆方程相减得公共弦所在直线方程；对C ：判断与大小关系判断两圆位置关系；对D ：根据两圆的位置关系判1212,r r r r -+12O O 断公切线的条数.【详解】对于A ，由已知，故A 正确；()()121,2,5,0O O -1O =对于C ，两圆半径，，故两圆相交，故C 错误；122,3r r ==12121215O O r r r r =-<+=<对于B ，将两圆方程与相减得公共弦所在直线方程，22(1)(2)4x y -++=22(5)9x y -+=84150x y +-=故B 正确；对于D ，两圆相交则两圆的公切线有2条，故D 正确； 故选：ABD11．设抛物线C ：的焦点为F ，准线为l ，为C 上一动点，点，则下列结28x y =()00,P x y ()2,1A 论正确的是（ ） A ．焦点到准线的距离是8 B ．当时，的值为5 04x =PF C ．的最小值为3 PA PF +D ．的最大值为PA PF -【答案】CD【分析】对于AB ，根据抛物线的方程和定义即可判断；C 选项，利用抛物线定义得到，当三点共线时和最小，求出最小值；D 选项，作出辅助线，找到PA PF PA PB +=+PA PF AF -==【详解】，所以，282x y py ==4p =所以焦点到准线的距离是，故选项A 错误；4p =当时，，的值为，故选项B 错误；04x =2028x y ==PF 042p y +=如图，过点P 作PB ⊥准线于点B ，则由抛物线定义可知：，则，PF PB =PA PF PA PB +=+当A 、P 、B 三点共线时，和最小，最小值为1+2=3，C 正确；由题意得：，连接AF 并延长，交抛物线于点P ，此点即为取最大值的点，此()0,2F ||||PA PF -时，其他位置的点，由三角形两边之差小于第三边得：PA PF AF -===P 'D 正确.P A P F AF ''-<=||||PA PF -故选：CD.12．已知F 为椭圆C ：的左焦点，直线l ：与椭圆C 交于A ，B 两点，221168x y +==y kx ()0k ≠轴，垂足为E ，BE 与椭圆C 的另一个交点为P ，则（ ）AE x ⊥A ． B ．的最小值为2 8AF BF +=14AF BF +C ．直线BE 的斜率为D ．为钝角12k PAB ∠【答案】AC【分析】对于A ，利用椭圆与的对称性可证得四边形为平行四边形，进而得到=y kx AF BF '；8AF BF +=对于B ，利用A 中的结论及基本不等式“1”的妙用即可得到的最小值； 14AF BF+对于C ，由题意设各点的坐标，再由两点斜率公式即可得到； 12BE k k =对于D ，先由各点坐标结合椭圆方程可得到，从而可证得，由此可知12PA PB k k =-⋅1PA AB k k ⋅=-.90PAB ∠=︒【详解】由椭圆C ：得，则，221168x y +=2216,8a b ===4,a b 28c =c =对于A ，设将圆C 的右焦点为，如图，连接，，F 'AF 'BF '由椭圆与的对称性可知，则四边形为平行四边形， =y kx ,AO BO OF OF '==AF BF '故，故A 正确；28AF BF AF AF a '+=+==.对于B ，()4141141588BF AF AF BF AF BF AF BF AF BF ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19588⎛ ≥+ ⎝，当且仅当，且，即时，等号成立， 4BF AF AF BF =8AF BF +=1623BF AF ==故的最小值为，故B 错误； 14AF BF +98对于C ，设，，，故直线BE 的斜率，故C ()00,A x y ()00,B x y --()0,0E x 0000001122BE y y k k x x x +==⋅=+正确；对于D ，设，直线PA 的斜率为，直线PB 的斜率为，则(),P m n PA k PB k ， 2200022000PA PBn y n y n y k k m x m x m x -+-=-=⋅+-⋅又点P 和点A 在椭圆C 上，故，，221168m n +=22001168x y +=两式相减得，则，故， 2220020168m x y n -+-=22022012n y m x -=--12PA PB k k =-⋅易知，则，得， 12PB BE k k k ==1122PA k k ⋅=-1PA k k=-所以，故，故D 错误.11PA AB k k k k ⎛⎫⋅=-⋅=- ⎪⎝⎭90PAB ∠=︒故选：AC ．三、填空题13．从A 地到B 地要经过C 地，已知从A 地到C 地有三条路，从C 地到B 地有四条路，则从A 地到B 地不同的走法有______种． 【答案】12【分析】先确定从A 地到C 地有3种不同的走法，再确定从C 地到B 地有4种不同的走法，最后根据分步乘法计数原理求从A 地到B 地不同的走法种数. 【详解】根据题意分两步完成任务：第一步：从A 地到C 地，有3种不同的走法； 第二步：从C 地到B 地，有4种不同的走法，根据分步乘法计数原理，从A 地到B 地不同的走法种数：种， 3412⨯=故答案为：12.14．已知直线x ＋y －k ＝0与两坐标轴围成的三角形的面积不小于8，则k 的取值范围为______． 【答案】或4k ≥4k ≤-【分析】先求出直线的横纵截距，再利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】令,得， 0x =y k =令,得，0y =x k =由题意知，由直线与两坐标轴围成的三角形面积不小于8， 0k ≠0x y k +-=则， 182k k ⨯≥解得或，4k ≥4k ≤-故实数的取值范围为或. k 4k ≥4k ≤-故答案为：或4k ≥4k ≤-15．已知点在直线______． (),M a b 34250x y -+=【答案】5【分析】上的点的距离，求出原点到直线34250x y -+=的距离为5的最小值．34250x y -+=【详解】上的点的距离，34250x y -+=(),M a b的距离，∴34250x y -+=原点到直线， 34250x y -+=5=，∴5≥5．∴故答案为：5．16．已知椭圆：与圆：，若在椭圆上不存在点P ，使得1C ()222210x y a b a b +=>>2C 22245b x y +=1C 由点P 所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是________. 2C 1C【答案】 ⎛ ⎝【分析】设过点的两条直线与圆分别切于点P 2C ,M N，由题知，解得，又.OP a >b a >e =【详解】设过的两条直线与圆分别切于点， P 2C ,M N， =又在椭圆C 1上不存在点P ，使得由P 所作的圆C 2的两条切线互相垂直，所以，所以， OP a >a >b a >所以椭圆C 1的离心率，又， c e a ===<=0e >所以0e <<故答案为：. ⎛ ⎝【点睛】关键点点睛：首先假设过P 所作的圆C 2的两条切线互相垂直求出，再由椭圆的有界OP 性构造含椭圆参数的不等关系，即可求离心率范围.四、解答题 17．求解下列问题：(1)求过点且平行于直线l ：3x －y ＋1＝0的直线的方程； ()4,2P (2)求过点且垂直于直线m ：x －3y －4＝0的直线的方程． ()2,3P -【答案】(1) 3100x y --=(2) 330x y ++=【分析】（1）由平行关系得到直线的斜率为，由直线方程的点斜式，化简即得解； 3k =（2）由垂直关系得到直线的斜率，由直线方程的点斜式，化简即得解 3k '=-【详解】（1）由题意，直线的斜率为 :310l x y -+=3k =由直线方程的点斜式有：23(4)3100y x x y -=-⇔--=即过点且平行于直线的直线的方程为：()4,2P :310l x y -+=3100x y --=（2）由题意，直线的斜率为:340l x y --=13k =故与直线垂直的直线斜率3k '=-由直线方程的点斜式有：33(2)330y x x y -=-+⇔++=即过点且垂直于直线的直线的方程为 ()2,3P -:340m x y --=330x y ++=18．已知圆，直线l ：mx －y ＋1－m ＝0． 22250x y x +--=(1)写出圆C 的圆心坐标和半径，并判断直线l 与圆C 的位置关系；(2)若直线l 与圆C 交于不同的两点A ，B l 的方程．【答案】(1)圆的圆心坐标为，直线与圆相交； C ()1,0l C (2)或. 0x y -=20x y +-=【分析】（1）将圆的一般方程化为标准方程，求出圆心和半径，求出直线所过的定点，判断出定点在圆内，从而得到直线与圆相交；（2）求出圆心到直线的距离，利用垂径定理列出方程，求出，求出直线方程. 1m =±【详解】（1）整理得：， 22:250C x y x +--=()2216x y -+=故圆的圆心坐标为C ()1,0直线变形为，故直线过定点， :10l mx y m -+-=()11y m x -=-l ()1,1M 因为，故在圆内，所以直线与圆相交；()221116-+<()1,1M l C（2）圆心到的距离为，()1,0:10l mx y m -+-=d由垂径定理得：，即 2262AB d ⎛⎫= ⎪⎝⎭+2262AB ⎛⎫+= ⎪⎝⎭解得：，1m =±故直线的方程为或.l 0x y -=20x y +-=19．已知抛物线C ：的焦点为F ，点在抛物线C 上，且． ()220y px p =>()0,4M x 42p MF =+(1)求抛物线C 的方程；(2)直线FM 与抛物线C 交于A 点，O 为坐标原点，求面积． MAO △【答案】(1) 24y x =(2) 52【分析】（1）根据抛物线得定义和几何关系即可求解；（2）根据面积公式的铅锤法求面积MAO △即可求解.【详解】（1）， 42p MF =+又点在抛物线C 上， ()0,4M x 根据抛物线的定义，， 02p MF x =+所以， 0422p p MF x =+=+所以， 04x =所以，()4,4M 代入得，，()220y px p =>()24240p p =⨯>所以，2p =所以抛物线C ：.24y x =（2）根据题意，F 坐标为，(1,0)，()4,4M 所以直线. 44:33FM y x =-联立和， 44:33FM y x =-24y x =所以， 2340y y --=所以 ()()410y y -+=所以，121,4y y =-=所以2111515.222MAO S OF y y =⨯⨯-=⨯⨯=A 20．已知双曲线：的左、右两焦点分别为、，为E ()222210,0x y a b a b-=>>()1F )2F P E上一点，且1||PF -(1)求双曲线的方程；E (2)是否存在直线，使被所截得的弦的中点坐标是？若存在，求出直线的方程，l l E AB 11,2M ⎛⎫⎪⎝⎭l 若不存在，请说明理由．【答案】(1);22142x y -=(2)不存在，理由见解析.【分析】（1）根据已知条件及两点间的距离公式，利用双曲线的定义即可求解.（2）根据已知条件及直线的斜截式方程，将直线与双曲线联立，利用韦达定理及中点坐标公式，结合点在直线上及直线与双曲线的位置关系即可求解. 【详解】（1）因为，()1F )2F=由题意可知，，1||4PF -=<所以，，解得， 24a =2c =2a =c 所以，2222b c a =-=故双曲线的方程为.E 22142x y -=（2）因为不在坐标轴上，所以直线的斜率存在且不为零，假设存在直线符合题意，11,2M ⎛⎫⎪⎝⎭l l 设直线的方程为，则l ()()1122,,,,y kx n A x y B x y =+，消去，整理得， 22142y kx n x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩y ()222124240k x knx n ----=因为直线与双曲线相交于，l E ,A B所以且，，()()()2224412240,kn kn∆=-+-+>212k ≠122412kn x x k +=-所以， ()21212122242221212k n ny y kx n kx n k x x n n k k +=+++=++=+=--因为点是线段的中点，11,2M ⎛⎫⎪⎝⎭AB 所以，即，解得， 1221222121212122x x kn ky y n k +⎧==⎪⎪-⎨+⎪==⎪-⎩22212212kn k n k ⎧=-⎨=-⎩11,2k n ==-所以()()()()22221144122416141212444knk n ⎛⎫∆=-+-+=⨯⨯+⨯-⨯⨯⨯+⎪⎝⎭140,=-<所以不存在这样的直线.l 21．如图，在四棱锥中，已知平面平面，，，P ABCD -PAD ⊥ABCD //AB CD AD CD ⊥，是等边的中线．24CD AB ==AE PAD A(1)证明：平面．//AE PBC (2)若，求二面角的大小． PA =E AC D --【答案】(1)证明见解析 (2) 45︒【分析】（1）取的中点F ，连接，进而证明四边形是平行四边形，进而证明PC ,EF BF ABFE 平面；//AE PBC （2）取的中点O ，连接，易知平面，进而以O 为坐标原点，的方向分AD PO PO ⊥ABCD ,OA OP别为x ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，利用坐标法求解即可. O xyz -【详解】（1）证明：如图1，取的中点F ，连接． PC ,EF BF 因为E 是棱的中点，所以，且．PD //EF CD 12EF CD =因为，所以，1//,2AB CD AB CD =//,EF AB EF AB =所以四边形是平行四边形，所以． ABFE //AE BF 因为平面，平面，AE ⊄PBC BF ⊂PBC所以平面．//AE PBC （2）解：取的中点O ，连接， AD PO 因为为等边三角形，所以，PAD A PO AD ⊥因为平面平面，平面平面,平面， PAD ⊥ABCD PAD ⋂ABCD AD =PO ⊂PAD 所以平面．PO ⊥ABCD 所以，以O 为坐标原点，的方向分别为x ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系,OA OP．O xyz -因为等边的边长为，PAD A所以， (4,0),(-A C E．(4,0),(=-=-AC AE设平面的一个法向量为ACE (,,)m x y z =由得 0,0,AC m AE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩40,0.y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩令，则． 1x===y z =m 又平面的一个法向量为，ACD (0,0,1)n =因为，cos ,||||⋅==m n m n m n 所以二面角的大小为．E AC D --45︒22．已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为2.2222:1(0)x y C a b a b+=>>12F (1)求椭圆的标准方程；C (2)过点的直线交椭圆于两点，交轴于点，设，试判断是F l ,A B y P 12,PA AF PB BF λλ==12λλ+否为定值？请说明理由.【答案】(1)22143x y +=(2)是定值，理由见解析【分析】（1）根据已知条件短轴一个端点到右焦点的距离为长半轴，再利用离心率公式即可求F解.（2）根据已知条件设出直线的方程，与椭圆方程联立方程组，消去得关于的一元二次方程，l y x 利用韦达定理得出交点横坐标的关系，结合向量的关系得出坐标的关系即可求解. 【详解】（1）由题可得,，又， 2a ==1,12c e c a ==∴=所以，22222213b a c =-=-=所以椭圆的标准方程为.C 22143x y +=（2）由题可得直线斜率存在，由（1）知设直线的方程为，则,消()1,0,F l ()1y k x =-()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩去，整理得：，y ()22223484120kxk x k +-+-=设，则，， ()()1122,,,A x y B x y 2122834k x x k +=+212241234k x x k -=+ 又，则，由可得，所以()()1,0,0,F P k -()()1111,,1,PA x y k AF x y =+=-- 1PA AF λ=()1111x x λ=-. 1111x x λ=-同理可得，. 2221x x λ=-所以 ()()()121212121212121212122211111x x x x x x x x x x x x x x x x x x λλ+-+-+=+==-----++ 2222222284122834348412313434k k k k k k k k --⨯++==---+++所以，为定值.12λλ+83-。

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.先后抛掷两枚质地均匀的骰子，设出现的点数之和是12，11，10的概率依次是1P ，2P ，3P ，则（ ）A ．123P P P =<B ．123P P P <<C ．123P P P <=D ．321P P P =< 2.一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（ ）A ．57.2，3.6B ．57.2，56.4C ．62.8，63.6D ．62.8，3.6 3.已知x 和y 之间的一组数据：根据这组数据求得关于y 与x 的线性回归方程 2.10.85y x =+，则m 的值为（ ） A ．1 B ．0.5 C ．1.5 D ．24.“2a =”是“()6x a -的展开式的第三项是460x ”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分 C.充要 D ．既不充分也不必要 5.在航天员进行的一项太空实验中，先后要实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一步或最后一步，程序B 和C 实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有（ ） A ．34种 B ．48种 C.96种D ．144种6.如图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本的平均重量为（ ）A ．13B ．12 C.11 D ．107.如图是将二进制数()211111化为十进制数的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（ ）A ．5i ≤B ．4i ≤ C.5i > D ．4i >8.甲、乙二人玩猜数字游戏，先由甲任想一数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b ，且{} 1 2 3a b ∈，，，，若1a b -≤，则称甲、乙“心有灵犀”，现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ） A ．13 B ．59 C.23 D ．799.已知命题: ln 20p x R x x ∃∈+-=，，命题2: 2x q x R x ∀∈≥，，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ⌝∧ C.p q ∧⌝ D ．p q ⌝∧⌝10.袋中有40个小球，其中红色球16个，蓝色球12个，白色球8个，黄色球4个，从中随机抽取10个球作成一个样本，则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为（ ）A ．12344812161040C C C C CB ．21344812161040C C C C C C.21144812161040C C C C CD ．13424812161040C C C C C 11.若对于任意实数x ，有()()()2330123222x a a x a x a x =+-+-+-，则2a 的值为（ ） A ．3 B ．6 C.9 D ．12 12.若直线:2x l y m =-+与曲线:C y 有且仅有三个交点，则m 的取值范围是（ ） A．)1 1 B．()1 1+C.(1 D．()2 1+二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在[]2 3-，上随机取一个数x ，则()()130x x +-≤的概率为 ． 14.用秦九韶算法求多项式()65432563 1.80.352f x x x x x x x =-+-+++，在1x =-的值时，2v 的值是 ．15.学校为了提高学生的数学素养，开设了《数学史选讲》、《对称与群》、《球面上的几何》三门选修课程，供高二学生选修，已知高二年级共有学生600人，他们每个人都参加且只参加一门课程的选修，为了了解学生对选修课的学习情况，现用分层抽样的方法从中抽取30名学生进行座谈.据统计，参加《数学史选讲》、《对称与群》、《球面上的几何》的人数依次组成一个公差为40-的等差数列，则应抽取参加《数学史选讲》的学生的人数为 ．16.若双曲线()222210 0x y a b a b -=>>，一条渐近线的倾斜角为3π，离心率为e ，则2a e b +的最小值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分10分）20名学生某次数学考试成绩（单位：分工）的频率分布直方图如下：（Ⅰ）求频率分布直方图中a 的值；（Ⅱ）从成绩在[)50 70，的学生中任选2人，求此2人的成绩都在[)60 70，中的概率. 18. （本小题满分12分）某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数.（Ⅰ）根据茎叶图计算样本均值；（Ⅱ）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人，根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，从该车间12名工人中，任取3人，求恰有1名优秀工人的情况有多少种？19. （本小题满分12分）某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别，公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A 饮料，另外2杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A 饮料，若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为及格.假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力. 求：（Ⅰ）求此人被评为优秀的概率； （Ⅱ）求此人被评为良好及以上的概率. 20. （本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点.（Ⅰ）证明：MN ∥平面PAB ；（Ⅱ）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值. 21. （本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个顶点()2 0A ，，直线()1y k x =-与椭圆C 交于不同的两点 M N ，. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当AMN △时，求实数k 的值. 22. （本小题满分12分）如图，已知点() 3M a ，是抛物线24y x =上一定点，直线 AM BM ，的斜率互为相反数，且与抛物线另交于 A B ，两个不同的点.（Ⅰ）求点M到其准线的距离；（Ⅱ）求证：直线AB的斜率为定值.吉林省实验中学2016-2017学年度上学期期末考试数学（理）试题答案一、选择题1-5:BDBAC 6-10:BDDCA 11、12：BC 二、填空题13.45三、解答题17.解：（1）根据频率分布直方图得，成绩落在[)60 70，中的学生人数为30.00510203⨯⨯⨯=. 所求概率为310P =.…………………………12分工 18.解：（1）样本均值为1719202125301322266+++++==.………………4分（2）由（1）知样本中优秀工人占的比例为2163=，故推断该车间12名工人中有11243⨯=名优秀工人.…………………………………………………………………………………………8分（3）从该车间12名工人中，任取3人，恰有1名优秀工人，则1248112c c =.…………12分19.解：将5杯饮料编号为1，2，3，4，5，编号1，2，3表示A 饮料，编号4，5表示B 饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有可能的情况为（123），（124），（125），（134），（135），（145），（234），（235），（245），（345）；共10个基本事件；记“此人被评为优秀”为事件D ，记“此人被评为良好及以上”为事件E ， （1）分析可得，D 包括（123）1个基本事件， 则()110P D =； （2）E 包括（123），（124），（125），（134），（135），（234），（235）7个基本事件；则()710P E=.20.解：（1）由已知得223AM AD==，取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC中点知TN BC∥，122TN BC==.又AD BC∥，故TN平行且等于AM，四边形AMNT为平行四边形，于是MN AT∥，因为AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，所以MN∥平面PAB.（2）取BC的中点E，连接AE，由AB AC=得AE BC⊥，从而AE AD⊥，且AE===以A为坐标原点，AE的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz-，由题知，()0 0 4P，，，()0 2 0M，，，)2 0C，，， 1 2N⎫⎪⎪⎝⎭，，，()0 2 4PM=-，，，51 2PN⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭，，，51 2AN⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，，.设()n x y z=，，为平面PMN 的法向量，则n PMn PN⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即24020x zy z-=⎧+-=，可取()0 2 1n=，，，于是85cosn ANn ANn AN⋅<>==，21.解：（1）∵2a=，cea==，∴c=b.椭圆22:142x yC+=.………………………………………………5分工（2）设()11 M x y ，，()22 N x y ，，则由221142y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y ，得()2222124240k x k x k +-+-=，∵直线()1y k x =-恒过椭圆内一点()1 0，， ∴0∆>恒成立.由根与系数的关系，得2122412k x x k +=+，21222412k x x k -=+.……………………8分121211122AMNS y y kx kx =⨯⨯-=⨯-△==.…………10分即427250k k --=，解得1k =±.………………………………12分22.解：（1）∵() 3M a ，是抛物线24y x =上一定点， ∴234a =，94a =， ∵抛物线24y x =的准线方程为1x =-， ∴点M 到其准线的距离为()913144--=.……………………5分 （2）由题知直线MA ，MB 的斜率存在且不为0，设直线MA 的方程为：934y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，∴29344y k x y x⎧⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，241290y y k k -+-=， ∵43A y k +=，∴43A y k=-.…………8分 ∵直线 AM BM ，的斜率互为相反数，∴直线MA 的方程为934y k x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，同理可得：43B y k =--.……9分∴224424433344B A B A AB B A B A B A y y y y k y y x x y y k k --=====--+-+---.………………12分∴直线AB 的斜率为定值23-.。

一、单选题1．若某抛物线过点（），且关于轴对称，则该抛物线的标准方程为（ ）13-，x A ． B ． C ．或 D ． 29y x =-213x y =29y x =-213x y =29y x =±【答案】A【分析】由于已知抛物线的对称性，则可设抛物线然后把代入求出即可． 22y px =-(1,3)-p 【详解】解：依题意设抛物线解析式为， 22y px =-把代入得，解得， (1,3)-92p =92p =所以抛物线标准方程为， 29y x =-故选：A ．2．设等差数列的前n 项和为，若，则（ ） {}n a n S 22,17m m S S ==3m S =A ．45 B ．32 C ．47 D ．54【答案】A【分析】根据等差数列的前n 项和性质可知：成等差数列，然后根据等差中项232,,m m m m m S S S S S --计算即可.【详解】由题可知：成等差数列232,,m m m m m S S S S S --所以，又，所以 ()2322m m m m m S S S S S -=+-22,17m m S S ==345m S =故选：A3．是方程表示椭圆的（ ） 26m <<22126x y m m+=--A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分必要条件的定义判断．【详解】时，，，但当时，，方程表示圆．不充26m <<20m ->60m ->4m =262m m -=-=分，方程表示椭圆时，，即且，是必要的．206026m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩26m <<4m ≠应为必要不充分条件．4．如图，在正方体中，，，，O 为底面ABCD 的中心，1111ABCD A B C D -1AA a = 11A B b =11A D c = G 为的重心，则（ ）11D C O A AG =A ．B ．215326a b c ++2536a b c ++C ．D ．121336a b c ++ 1526a b c ++ 【答案】A【分析】结合空间线段的关系以及空间向量的线性运算即可求出结果.【详解】在正方体中，，，，O 为底面ABCD 的中心，G 1111ABCD A B C D -1AA a = 11A B b =11A D c = 为的重心，连接OG ，11D C O A 则()1111()23AG AO OG AB AD OD OC =+=+++111111()()()2322b c BA BC DD AB AD CC ⎡⎤=+++++++⎢⎥⎣⎦11111()()()26363b c b c a b c a =++-+++++ ． 215326a b c ++= 故选：A ．5．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为（ ） 24y x =221x y -=A ．BCD ．212【答案】B【分析】根据抛物线方程求出焦点，根据双曲线方程求出渐近线方程，利用点到直线距离求解. 【详解】因为抛物线的焦点为，双曲线的渐近线为， (1,0)0x y ±=所以抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为 d【点睛】本题主要考查了抛物线，双曲线的简单几何性质，点到直线的距离公式，属于容易题. 6．已知数列满足，则数列的前10项和是（ ）{}n a 123(21)2n a a n a n +++-= 21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭A ．B ．C ．D ．1021112320212223【答案】C【分析】用替换已知式中的，然后两式相减求得，然后由裂项相消法求和． n 1-n n a 【详解】因为， 123(21)2n a a n a n +++-= 所以时，， 2n ≥1213(23)2(1)n a a n a n -+++-=- 两式相减得，， (21)2n n a -=221n a n =-又，满足此式，所以， 12a =221n a n =-， 21121(21)(21)2121n a n n n n n ==-+-+-+所以数列的前10项和为．21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭111111201133519212121⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 故选：C ．7．如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，11111ABCD A B C D -E 1DD F 1BB 则直线到直线的距离为（ ）1FC AEA ．BCD 11【答案】D【分析】根据给定条件，证明，把直线到直线的距离转化为点F 到直线的距离1//FC AE 1FC AE AE 求解作答.【详解】在棱长为的正方体中，取中点G ，连接，如11111ABCD A B C D -1AA 1,,,,GD GF BD EF AF 图，因为为的中点，则，即有四边形为平行四边形， F 1BB 1111//,A G B F A G B F =11A GFB 有，则四边形为平行四边形，有，11111111////,GF A B D C GF A B D C ==11GFC D 11//FC GD 又为的中点，则，四边形为平行四边形，则有， E 1DD 11//,AG ED AG ED =1AGD E 11////AE GD FC 因此直线到直线的距离等于点F 到直线的距离，因为， 1FC AE AE d //,BF DE BF DE =则四边形为平行四边形，有，在中，BDEF EF BD ==AEF△AE AF ===边上的高，由三角形面积得：，EFh ==1122AE d EF h ⋅=⋅EF h d AE ⋅==所以直线到直线1FC AE 故选：D8．在正项等比数列中，，，的前项和为，前项积为，则满足{}n a 512a =673a a +={}n a n n S n n T 的最大正整数的值为（ ） 1n n S a T +>n A ． B ． 1112C ． D ．1314【答案】B【分析】求出等比数列的公比和首项，利用等比数列的求和公式和等差数列的求和公式可得出{}n a 关于的不等式，求出的取值范围即可得解.n n 【详解】设正项等比数列的公比为，则，即，{}n a q ()25267556a q q a a q qa a ++==+=260q q +-=，则，， 0q > 2q =514132a a q ∴==所以，， ()11221321232n n n S --==-，()()211112122121122232nn n n n n n n n T a a a a --+++-⎛⎫=⋅⋅⋅=⋅=⋅= ⎪⎝⎭因为，即，即，即，1n n S a T +>211221123232n nn--+>2115222n n n -->213100n n -+<，因为，则， n <<1112<<25122<<因此，满足条件的正整数的最大值为. n 12故选：B.二、多选题9．已知圆：和圆：，则（ ） 1C 2240x y +-=2C 226890x y x y +--+=A ．两圆的圆心的距离为25 B ．两圆相交C ．两圆的公共弦所在直线方程为 68110x y +-=D 【答案】BD【分析】A 选项，求出两圆的圆心，进而求圆心距；B 选项，利用圆心距与两半径之差和半径之和比较，确定是否相交；C 选项，两圆相减即为公共弦所在直线方程；D 选项，利用C 选项的结果，利用点到直线距离公式求出圆心到的距离，进而利用垂径定理求出公共弦1C ()0,068130x y +-=长.【详解】圆：圆心，半径，圆：圆心，1C 224x y +=1C ()0,012r =2C ()()223416x y -+-=()23,4C半径，圆心距，A 错误；24r =125C C ==因为，，，，两圆相交，B 正确； 125C C =216r r +=212r r -=211221r r C C r r -<<+两圆相减得：，故两圆的公共弦所在直线方程为，C 错误； 68130x y +-=68130x y +-=圆心到，由垂径定理得：两圆的公共弦长为1C ()0,068130x y +-=1310=D 选项正确. =故选：BD10．空间直角坐标系中，已知，下列结论正确的有（ ） O xyz -()()1,2,2,0,1,1A B -A ．B ．若，则(1,1,3)AB =--()2,1,1m = ⊥m ABC ．点A 关于平面对称的点的坐标为D ． xOy ()1,2,2-||AB =【答案】AB【分析】利用向量的坐标公式，模的计算公式，对称点的坐标，及数量积公式依次计算即可得出结果.【详解】，()()1,2,2,0,1,1A B -∴(1,AB =--A 正确,D 错误.若，则,则,B 正确， ()2,1,1m = ()()=211113=0m AB ⋅⨯-+⨯-+⨯ ⊥ m AB 点A 关于平面对称的点的坐标为，故C 错误， xOy ()1,2,2故选：AB.11．已知双曲线的左焦点，过且与轴垂直的直线与双曲线交()2222:10,0x y C a b a b-=>>()1,0F -F x 于两点，为坐标原点，的面积为，则下列结论正确的有（ ） ,A B ОAOB A 32A ．双曲线的方程为C 224413y x -=B ．双曲线的两条渐近线所成的锐角为 C 60 C．到双曲线F C D ．双曲线的离心率为 C 2【答案】ABD【分析】由左焦点，得，再根据的面积为，由，求得双曲()1,0F -1c =AOB A 322123122b S a =⨯⨯=线的方程，再逐项判断.【详解】因为双曲线的左焦点为， ()1,0F -所以，1c =又因为过与轴垂直的直线与双曲线交于，F x 221,,1,b b A B a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以的面积为，即，AOB A 2123122b S a =⨯⨯=232b a =又，2221a b c +==所以，213,24a b ==所以双曲线的方程为，故正确;C 224413y x -=A 则双曲线的渐近线方程为，所以两渐近线的夹角为，故B 正确;C y =60 到双曲线渐近线的距离为故C 错误﹔ F C d =双曲线的离心率为.故D 正确; C 1212c e a ===故选：ABD12．已知等比数列的前n 项和为，且，是与的等差中项，数列满足{}n a n S 214S a =2a 11a +312a {}nb ，数列的前n 项和为，则下列命题正确的是（ ）1nn n n a b S S +=⋅{}n b n T A ．数列的通项公式{}n a 123n n a -=⨯B ．31nn s =-C ．数列的通项公式为{}n b ()()1233131nn nn b +⨯=--D ．的取值范围是n T 11,86⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】ABD【分析】根据已知条件求出等比数列的公比和首项，进而可以求得和；利用裂项相消法{}n a n a n S 可得和，讨论数列的单调性，即可得出的范围. 111133131n nn b +⎛⎫=- ⎪--⎝⎭n T {}n T n T 【详解】A ：由可得，所以等比数列的公比，所以.214S a =213a a ={}n a 3q =113n n a a -=⨯由是与的等差中项，可得，即，解得，2a 11a +312a 2131212a a a =++()2111123132a a a ⨯=++⨯12a =所以，所以A 正确；123n n a -=⨯B ：，所以B 正确；()()1121331113n nnn a q S q-⨯-===---C ：，所以C 不正确；()()111123111331313131n n n n n n n n n a b S S -+++⨯⎛⎫===- ⎪⋅----⎝⎭D ：12n n T b b b =++⋅⋅⋅+1223111111111111113313133131331313231n n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以数列是递增数列，得，所以，所以D 正确.{}n T 11110326n T T ⎛⎫≤<⨯-= ⎪⎝⎭1186n T ≤<故选：ABD.三、填空题13．已知数列前n 项和为，则___________. {}n a 2n S n n =-n a =【答案】##22n -22n -+【分析】根据即可求解.11,2,1n n n S S n a s n --≥⎧=⎨=⎩【详解】解：因为数列前n 项和为，{}n a 2n S n n =-所以， ()()2211122n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦()2n ≥又当时，也满足上式，1n =211110a S ==-=所以，()*22n a n n N =-∈故答案为：.22n -14．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱B 1C 1，CC 1的中点，则异面直线A 1E 与BF 所成角的余弦值为___________. 【答案】##0.4 25【分析】建立如图所示空间直角坐标系，利用数量积可求夹角的余弦值. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，1111ABCD A B C D -A 1(0,0,2),B(2,0,0),E (2,1,2),F (2,2,1)则，故. 1(2,1,0),(0,2,1)A E BF == 1112,cos ,5A E BF A E BF A E BF⋅===故答案为：2515．已知等差数列前n 项和为，若，则_____________. {}n a n S 311139a a a ++=17S =【答案】51【分析】根据给定条件，结合等差数列通项求出，再利用等差数列性质求和作答.9a 【详解】设等差数列的公差为，则， {}n a d 3111399999(6)(2)(4)3a a a a d a d a d a =++=-++++=解得，所以. 93a =117917917()172175122S a a a a +⨯====故答案为：5116．已知，是双曲线的两个焦点，是双曲线上任意一点，过作平分线1F 2F 2214x y -=P 2F 12F PF ∠的垂线，垂足为，则点到直线的距离的取值范围是______． N N 0x y +-=【答案】[]1,3【分析】延长交于点，由角平分线性质可知，，即可列出等式，确定点的2F N 1PF M 1||||PF PN =M 轨迹，转化圆周上的点到直线的距离的取值范围．【详解】解：如图，延长交于点，连接，因为为的平分线，且2F N 1PF M ON PN 12F PF ∠，所以为的中点，为的垂直平分线，所以，在中，2F M PN ⊥N 2F M PN 2F M 2PF PM =12F MF △、分别为、的中点，所以，设点坐标为O N 12F F 2F M ()11211121222ON MF PF PF a ==-=⨯=N，所以，圆心为，半径，圆心到直线的距离(),N x y 221x y +=()0,0O 1r =O 0x y +-=，所以点到直线的距离的取值范围是2d N 0x y +-[]1,3故答案为：[]1,3四、解答题17．在下列所给的三个条件中，任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答选择多个解答，按第一个解答给分．①与直线垂直； 4350x y -+=②直线的一个方向向量为； (4,3)a =-③与直线平行．3420x y -+=已知直线l 过点，____________． (1,2)-(1)求直线l 的一般式方程；(2)若直线l 与圆相交于P ，Q 两点，求． 225x y +=||PQ 【答案】(1)选①：直线的方程为； l 3450x y ++=选②：直线的方程为； l 3450x y ++=选③：直线的方程为. l 34110x y --=(2)选①②时，为4； ||PQ 选③时：为． ||PQ 45【分析】（1）先选条件，然后根据条件求直线方程； （2）利用直线与圆相交，建立直角三角形，即可求解． 【详解】（1）选①：因为直线的斜率为，4350x y -+=143k =因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为，4350x y -+=l l 34k =-依题意，直线的方程为，即； l 32(1)4y x +=--3450x y ++=选②：因为直线的一个方向向量为，所以直线的向量为，(4,3)a =- l 34k =-依题意，直线的方程为，即；l 32(1)4y x +=--3450x y ++=选③：因为的斜率为，3420x y -+=3=4k 又因为直线与平行，所以直线的斜率为，l 3420x y -+=l 3=4k 依题意，直线的方程为：，即； l 32(1)4y x +=-34110x y --=（2）选①②时，圆的圆心到直线的距离为，225x y +=(0,0)O 3450x y ++=1d =设，的中点为，由圆的半径为可知：， P QM r =||2PM =因此，即弦长为4．||2||4PQ PM ==||PQ 选③：圆的圆心到直线的距离为， 225x y +=(0,0)O 34110x y --=115d ==设，的中点为，由圆的半径为可知：，P Q M r =2||5PM ==因此，即弦长为． 4||2||5PQ PM ==||PQ 4518．已知公差不为零的等差数列的前四项和为10，且，，成等比数列. {}n a 2a 3a 7a (1)求数列通项公式；{}n a (2)设，求数列的前项和.2nn n b a =+{}n b n n S 【答案】(1)35n a n =-(2)237212n n n nS -=+-【分析】(1) 由题意知，求出变量的值，进而得到通项；（2）由题意()()()12111461026a d a d a d a d +=⎧⎪⎨+=++⎪⎩得到，分组求和即可得到结果.352nn b n =-+【详解】（1）解：由题意知， ()()()12111461026a d a d a d a d +=⎧⎪⎨+=++⎪⎩解得，，或，（舍去）， 12a =-3d =152a =0d =所以.35n a n =-（2）解：，将这个数列分为两部分，一部分是等差数列，一部分是等比数列，根据352nn b n =-+等差数列和等比数列求和公式得到：.()22351237212122n n n n n n n S -+---=+=+--19．已知抛物线与直线相交于、两点. 2y x =-(1)y k x =+A B （1）求证：；OA OB ⊥（2）当时，求的值.OAB A k 【答案】（1）证明见解析；（2）.16k =±【解析】（1）设、，直线过定点，利用向量共线可得，证211()A y y -，222()B y y -，(10)N -，121y y ⋅=-出即可.0OA OB ⋅=（2），将直线与抛物线联立，利用韦达定理即可求解.21112OAB S y y =⨯⨯-A 【详解】证明：设、；211()A y y -，222()B y y -，直线过定点，，， (10)N -，211(1)NA y y =- ，222(1)NB y y =- ，由、、共线，A NB 22112221y y y y y y -⋅=-⋅∴， 211212()y y y y y y -=⋅⋅-又，∴，12y y ≠121y y ⋅=-∴， 2212121212(1)0OA OB y y y y y y y y ⋅=⋅+⋅=⋅+⋅= ∴， OA OB ⊥解：，则，得， 21112OABS y y =⨯⨯-A 2(1)y x y k x ⎧=-⎨=+⎩20ky y k +-=则，12121,1y y y y k+=-=-∴， 21112OAB S y y =⨯⨯-===A .16k =±20．如图，在棱长为2的正方体中，E 为的中点．1111ABCD A B C D -1BB(1)求证：平面；1//BC 1AD E (2)求直线与平面所成角的正弦值； 1AA 1AD E (3)求点C 到平面的距离． 1AD E 【答案】(1)证明见解析； (2)； 23(3)2.【分析】（1）证明，再利用线面平行的判定推理作答.11//BC AD （2）以点A 为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角的正弦作答. （3）利用（2）中坐标系，利用空间向量求出点到平面的距离作答.【详解】（1）在正方体中，，则四边形为1111ABCD A B C D -1111////,AB CD C D AB CD C D ==11ABC D 平行四边形，因此，而平面，平面， 11//BC AD 1AD ⊂1AD E 1BC ⊄1AD E 所以平面.1//BC 1AD E （2）在棱长为2的正方体中，射线两两垂直，以点A 为原点建立如1111ABCD A B C D -1,,AD AB AA 图所示的空间直角坐标系，，棱的中点，， 11(0,0,0),(2,0,2),(0,0,2)A D A 1BB (0,2,1)E 11(0,0,2),((0,2,1)2,0,2),AA AD AE ===设平面的法向量，则，令，得， 1AD E (,,)n x y z = 122020n AD x z n AE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 1y =(2,1,2)n =- 直线与平面所成的角为，则， 1AA 1AD E θ111||42sin |cos ,|323||||n AA n AA n AA θ⋅=〈〉===⨯所以直线与平面所成角的正弦值为. 1AA 1AD E 23（3）由（2）知，，(2,2,0),(2,2,0)C AC =所以点C 到平面的距离. 1AD E ||221223||n AC d n ⋅⨯+⨯===21．已知数列中，，，{}n a 11a =122nn n a a +=+且(1)求数列的通项公式； {}n a (2)求数列的前n 项和.{}n a n T 【答案】(1)；12n n a n -=⋅(2). (1)21n n T n =-⋅+【分析】（1）利用给定的递推公式，构造等差数列即可求解作答. （2）利用错位相减法求出作答.n T 【详解】（1）数列中，，，则有， {}n a 11a =122nn n a a +=+11122n nn n a a +--=因此数列是以为首项，1为公差的等差数列，，即， 1{}2nn a -112a =11(1)2n n a n n -=+-=12n n a n -=⋅所以数列的通项公式.{}n a 12n n a n -=⋅（2）由（1）知，，12n n a n -=⋅则，01211222322n n T n -=⨯+⨯+⨯++⨯ 于是得， 12312122232(1)22n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ 两式相减得：，则，2112122222(1)2112nn nn n n T n n n ---=++++-⋅=-⋅=-⋅-- (1)21n n T n =-⋅+所以数列的前n 项和为.{}n a (1)21n n T n =-⋅+22．已知直线与直线垂直，其纵截距为，椭圆C 的两个焦点为l 10x y +-=()()121,0,1,0F F -，且与直线相切.l (1)求直线和椭圆C 的方程；l (2)过点作两条互相垂直的直线，与椭圆分别交于P ，Q 及M ，N ，求四边形面积的1F 12l l ，PMQN 最大值与最小值.【答案】(1)；y x =2212x y +=(2)，. 2169【分析】（1）根据给定条件，求出直线的方程，设出椭圆方程，与的方程联立，消元利用判别式l l 求解作答.（2）直线不垂直于坐标轴时，设出直线方程并与椭圆方程联立，求出四边形对角线长，借助均值不等式求解，再验证直线垂直于坐标轴时的情况作答.【详解】（1）因为直线与直线垂直，则直线的斜率为1，又其纵截距为 l 10x y +-=l所以直线的方程为l y x =设椭圆C 的方程为，显然有，22221(0)x y a b a b+=>>221a b -=由消去y 并整理得：， 222222y x b x a y a b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩2222222()30a b x x a a b +-+-=依题意，，整理得，因此，42222124()(3)0a a a b b ∆=-+-=223a b +=222,1a b ==所以椭圆C 的方程为.2212x y +=（2）直线，当与之一斜率不存在时，不妨令轴，则必与x 轴重合，有12l l ⊥1l 2l 1l x ⊥2l ||MN =，由解得：面积， 22112x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩||y =||PQ PMQN 1||||22S PQ MN =⋅=当直线与的斜率都存在且不为0时，设直线方程为：，则直线方程为：1l 2l 1l 1(0)x ty t =-≠2l ，11x y t=--由消去x 并整理得：，设， 22122x ty x y =-⎧⎨+=⎩22(2)210t y ty +--=1122(,),(,)Px y Q x y则，12122221,22t y y y y t t +==-++12||||PQ y y =-=，同理==||MN ==因此，22222222224214(1)4(1)4||||2(2)(21)2(1)221t t S PQ MN t t t t t t t ++=⋅===+++++++169≥=当且仅当，即时取等号，而，因此， 21t =1t =±2S <1629S ≤<综上得， 1629S ≤≤所以四边形面积的最大值与最小值分别为，. PMQN 2169【点睛】方法点睛：联立直线l 与椭圆C 的方程组，消元后的一元二次方程判别式为： ∆(1)直线l 与椭圆C 相交；(2)直线l 与椭圆C 相切；(3)直线l 与椭圆C 相0∆>⇔0∆=⇔0∆<⇔离.。

数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 设x ，，向量，，且，，则y ∈R (),1,1a x = (1,,1)b y = (2,4,2)c =- a b ⊥ //b c （ ）||a b +=A. B.C. 3D. 4【答案】C 【解析】【分析】根据，，解得x ，y ，然后由空间向量的模公式求解.a b ⊥ //b c【详解】因为向量，，且由得，(),1,1a x = (1,,1)b y = (2,4,2)c =-a b ⊥ 10x y ++=由，得解得，所以向量，， //b c124y=-2,1y x =-=()1,1,1a = (1,2,1)b =- 所以，()2,1,2a b +=-所以||3a b +== 故选：C2. 设,若直线与直线平行,则的值为 a R ∈1:280l ax y +-=2:(1)40l x a y +++=a A. B.C. 或D. 或1-12-1-12-【答案】B 【解析】【分析】由a （a+1）﹣2=0，解得a ．经过验证即可得出． 【详解】由a （a+1）﹣2=0，解得a=﹣2或1． 经过验证：a=﹣2时两条直线重合，舍去． ∴a=1． 故选B ．【点睛】本题考查了两条直线平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3. 如图，在平行六面体中，，，，1111ABCD A B C D -1AB =1AD =11AA =，，则线段的长为（ ）90BAD ∠=︒1160BAA DAA ∠=∠=︒1ACA 5 B. 3 C.D.【答案】C 【解析】【分析】，然后平方可算出答案.11AC AB BC CC =++【详解】在平行六面体中，，，，1111ABCD A B C D -1AB =1AD =11AA =，， 90BAD ∠=︒1160BAA DAA ∠=∠=︒∵， 11AC AB BC CC =++ ∴()2211AC AB BC CC =++222111222AB BC CC AB BC AB CC CC BC =+++⋅+⋅+⋅ ，111110211211522=++++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=∴.1AC =故选：C.4. 若圆与圆关于直线对称，则直线的方程22:x y 4O +=22C :x y 4x 4y 40++-+=l l 是 ()A.B.C.D.x y 0+=x y 0-=x y 20++=x y 20-+=【答案】D 【解析】【分析】由题意化圆C 为标准方程，由两圆位置关系得两圆相交，直线l 是两圆的公共弦所在的直线，故把两圆的方程相减可得直线l 的方程．【详解】由题圆C ：,则两圆心距为()()22224x x ++-=由于圆O ：与圆C ：关于直线l 对称，则直线l 是两22x y 4+=22x y 4x 4y 40++-+=圆的公共弦所在的直线，故把两圆的方程相减可得直线l 的方程为， x y 20-+=故选D ．【点睛】本题主要考查圆和圆的位置关系，直线与圆的位置关系的应用，判断直线l 是两圆的公共弦所在的直线，是解题的关键，属于中档题．5. 已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距(1,2,3)A α(1,1,1)n =-(2,3,1)-P α离为（ ） A.B. 2C.D.【答案】D 【解析】【分析】求出的坐标，利用点到平面距离的向量求法计算作答.AP【详解】依题意，，所以点P 到平面的距离为(3,1,2)AP=--α.||||AP n d n ⋅===故选：D6. 若双曲线22221xy a b-=A. y=±2xB. y=C.D.12y x =±yx =【答案】B 【解析】，计算得，=b y x a =±b a =故渐进性方程为.y =【考点定位】本小题考查了离心率和渐近线等双曲线的性质.7. 抛物线y 2=4x 的焦点为F ，点A （5，3），M 为抛物线上一点，且M 不在直线AF 上，则△MAF 周长的最小值为（ ） B. 12C. 11D. 10【答案】C 【解析】【分析】求△MAF 周长的最小值，即求|MA|+|MF|的最小值．设点M 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义，可知|MF|=|MD|，因此问题转化为求|MA|+|MD|的最小值，根据平面几何知识，当D 、M 、A 三点共线时|MA|+|MD|最小，由此即可求出|MA|+|MF|的最小值． 【详解】求周长的最小值，即求的最小值， MAF A MA MF +设点在准线上的射影为，根据抛物线的定义，可知， M D MF MD =因此，的最小值，即的最小值，MA MF +MA MD +根据平面几何知识，可得当三点共线时最小， ,,D M A MA MD +因此最小值为， ()1516A x --=+=因为，所以周长的最小值为11，故选C.5AF ==MAF A 【点睛】该题考查的是有关抛物线中的最值问题，用到的知识点有抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离是相等的，从而将有关线段转换，再者就是三点共线时对应的线段的长度和是最小的，从而求得相应的结果8. 北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间的是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为，设数列为等差数列，它1239,,,,a a a a ⋅⋅⋅{}n a 的前项和为，且，，则（ ）n n S 218a =4690a a +=8S =A. 189B. 252C. 324D. 405【答案】C 【解析】【分析】设等差数列的公差为，由题意和等差数列的通项公式得出{}n a d 11182890a d a d +=⎧⎨+=⎩，解方程得出，最后根据等差数列的求和公式得出.1,a d 8S【详解】解：设等差数列的公差为， {}n a d 由，，得，解得：，218a =4690a a +=11182890a d a d +=⎧⎨+=⎩199a d =⎧⎨=⎩所以. 8879893242S ⨯⨯=⨯+=故选：C.二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）9. 下列结论中正确的有（ ）A. 过点且与直线平行的直线的方程为 ()12-，210x y -+=240x y -+=B. 过点且与直线垂直的直线的方程为 ()12-，210x y -+=230x y +-=C. 若直线：与直线：平行，则a 的值为1l 340ax y ++=2l ()2250x a y a +-+-=1-或3D. 过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 ()32M -，10x y ++=【答案】AB 【解析】【分析】对于选项A ，B ，D ，根据给定条件求出对应的直线方程判断作答；对于选项C ，由给定条件求出a 值判断作答.【详解】对于A ，直线的斜率为2，则过点且与直线210x y -+=()12-，210x y -+=平行的直线的方程为， ()221y x -=+即，A 正确；240x y -+=对于B ，直线的斜率为2，则过点且与直线垂直的直210x y -+=()12-，210x y -+=线的方程为， ()1212y x -=-+即，B 正确；230x y +-=对于C ，直线：的斜率为，因直线与直线平行，则直线的斜率1l 340ax y ++=3a-1l 2l 2l 存在，且， 123aa -=--解得或3，当时，两直线重合，当，两直线平行，C 错误；1a =-1a =-3a =对于D ，因过点，且在两坐标轴上的截距相等，则当截距都为0时，直线方程为()32M -，，截距不为0时，当直线方程为，D 错误.23y x =-10x y ++=故选：AB10. 以下命题正确的是（ ）A. 直线l 方向向量为，直线m 方向向量，则l 与m 垂直；(1,1,2)a =- 1(2,1,)2=- b B. 直线l 的方向向量，平面的法向量，则；(0,1,1)a =- α(1,1,1)n =--//l αC. 平面的法向量分别为，则；,αβ12(0,1,3),(1,2,6)n n ==//αβD. 平面经过三点，，，向量是平面的法α()1,0,1A -()0,1,0B ()1,2,0C -()1,,n u t =α向量，则． 1u t +=【答案】AD 【解析】【分析】按照线线垂直、线线平行、面面平行的向量表示以及平面的法向量依次判断4个选项即可.【详解】，直线l 与m 垂直，A 正确；()1121120,2a b a b ⎛⎫⋅=⨯+-⨯+⨯-=∴⊥ ⎪⎝⎭∴，或，B 错误； ()()()0111110,a n a n ⋅=⨯+⨯-+-⨯-=∴⊥//l α∴l ⊂α不共线，所以与不平行，故C 错误； 12,n nαβ，向量是平面的法向量，(1,1,1),(1,1,0)AB BC =-=- ()1,,n u t =α，即，则，D 正确．00n AB n BC ⎧⋅=∴⎨⋅=⎩ 1010u t u -++=⎧⎨-+=⎩1u t +=故选：AD ．11. 已知实数，满足方程，则下列说法错误的是 x y 22410x y x +-+=A.B.的最大值为y x -2-22x y +7+C.D. 的最大值为yx x y +2+【答案】CD 【解析】 【分析】B 中表示到原点距离的平方，求出原点到圆心距离可得圆上点到原22xy +(,)x y 点距离的最大值的最小值，可判断B ，A ，C ，D 中均可以令对应式子，解得后代入圆方程，由判别式可得最值．从m =y 0∆≥而得到判断．本题用了几何意义求解，转化为直线与圆有公共点，由圆心到直线的距离不大于半径可得结论．【详解】对于A ，设，则，表示直线的纵截距，当直线与z y x =-y =x+z z y =x+z圆，所以22(2)3x y -+=≤22z -≤≤-y x -，故A 说法正确； 2-对于B ，的几何意义是表示圆上的点到原点距离的平方，易知原点到圆心的距离为22xy +2，则原点到圆上的最大距离为，所以的最大值为，222x y +2(27+=+故B 说法正确； 对于C ，设，把代入圆方程得，则yxk =y kx =22(1)410k x x +-+=，解得C 说法错误； 2164(1)0k ∆=-+≥k ≤≤yx对于D ，设，则，表示直线的纵截距，当直线与圆m x y =+y x m =-+m y x m =-+，所以22(2)3x y -+=≤22m +≤≤+x y +，故D 说法错误. 2故选：CD .【点睛】本题考查命题的真假判断，实质考查直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离不大于半径易得解，对平方式可用几何意义：两点间距离的平方求解．12. 已知曲线，下列结论正确的是（ ）()22:104x y C m m-=≠A. 若曲线表示椭圆，则且C 0m <4m ≠-B. 若时，以为中点的弦所在的直线方程为 5m =-()1,1P AB 5410x y --=C. 当时，为焦点，为曲线上一点，且为直角三角形，则4m <-12,F F P 12PF F △的面积等于412PF F △D. 若时，存在四条过点的直线与曲线有且只有一个公共点 0m >()0,1l C 【答案】ACD 【解析】【分析】根据椭圆标准方程可判断A ；利用点差法可求直线的方程可判断B ；利用所AB 给条件及椭圆定义求得，进而求得的面积可判断C ；设过点的直12PF PF 12PF F △()0,1线的方程为，与曲线方程联立方程组，消去得方程l 1y kx =+y，判断只有一个解时的值即可判断D.()2248440m k xkx m ----=k 【详解】对于A ，若曲线表示椭圆，则且，故A 正确；C 0m <4m ≠-对于B ，若时，曲线为椭圆， 5m =-C 22145x y +=设，，中点，故，，()11,A x y ()22,B x y ()1,1P 122x x +=122y y +=又，两式相减得，22112222145145x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩()()()()12121212045x x x x y y y y +-+-+=，1212525424y y k x x -⨯∴==-=--⨯所在的直线方程为即，故B 错； AB ∴()5114y x -=--5490x y +-=对于C ，当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，4m <-22:14y x C m +=-y 则，则，12PF PF +=()2124PF PF m +=-即① 22121224PF PF PF PF m ++=-由，得②，12PF PF ⊥()222121244PF PF F F m +==--由①②可得，则的面积为，故C 正确； 128PF PF =12PF F △12142PF PF =对于D ，时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，0m >22:14x y C m-=x 由题意，过点的直线的斜率存在，设直线的方程为，()0,1l l 1y kx =+代入双曲线方程，消去整理得，2214x y m-=y ()2248440m k x kx m ----=因为直线与曲线有且只有一个公共点， l C 当时，，即，240m k-≠()()226444440k m km ∆=----=241km =+；k ∴==当时，与渐近线平行，符合题意. 240m k -=k =l 故时，存在四条过点的直线与曲线有且只有一个公共点，故D 正确.0m >()0,1l C故选：ACD.三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知是空间任一点，四点满足任三点均不共线，但四点共面，且O ,,,A B C D ，则________.234OA x BO y CO z DO =⋅+⋅+⋅234x y z ++=【答案】-1 【解析】【分析】利用空间向量基本定理，及向量共面的条件，即可得到结论．【详解】∵2x •3y •4z •， OA = BO + CO + DO∴2x •3y •4z •，OA =- OB -OC - OD ∵O 是空间任意一点，A 、B 、C 、D 四点满足任三点均不共线，但四点共面 ∴﹣2x ﹣3y ﹣4z ＝1 ∴2x +3y +4z ＝﹣1 故答案为﹣1【点睛】本题考查空间向量基本定理，考查向量共面的条件，属于基础题． 14. 直线与直线垂直，则实数的值为_______． 20x y ++=20ax y -=a 【答案】 2【解析】【分析】由题得（-1）,解之即得a 的值. 21a ⋅=-【详解】由题得（-1）, 21a⋅=-所以a =2 故答案为；2【点睛】本题主要考查两直线垂直的斜率关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.15. 抛物线的准线方程是______. 2120x y +=【答案】#### 3y =30y -=30y -+=【解析】【分析】抛物线化为，即可得到抛物线的准线方程. 2120x y +=212x y =-【详解】抛物线，即，焦准距， 2120x y +=212x y =-6p =故其准线方程是, 32py ==故答案为:.3y =16. 已知F 为双曲线的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为______________. 【答案】2 【解析】【分析】根据双曲线的几何性质可知，，，即可根据斜率列出等式2b BF a=AF c a =-求解即可．【详解】联立，解得，所以.2222222{1x cx y a b c b a =-==+2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩2b BF a =依题可得，，，即，变形得，3BFAF=AF c a =-()2223b c a a c a a c a -==--3c a a +=,2ca =因此，双曲线的离心率为. C 2故答案为：．2【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法，以及双曲线的几何性质的应用，属于基础题．四、解答题（本大题共6小题，共72.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 如图，棱锥的底面是矩形，平面，P ABCD -ABCD PA ⊥ABCD ．2,PA AD BD ===（1）求证：平面；BD ⊥PAC （2）求平面和平面夹角的余弦值的大小． PCD ABCD 【答案】（1）证明过程见解析；（2 【解析】【分析】（1）求出，得到底面ABCD 是正方形，对角线互相垂2AB==直，进而证明出线面垂直；（2）找到两平面的夹角的平面角，再进行求解. 【小问1详解】因为平面，BD 平面，所以PA ⊥BD ，因为PA ⊥ABCD ⊂ABCD，底面是矩形，所以由勾股定理得：2,PA AD BD ===ABCD，所以底面ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD ，又PA =A ，2AB ==AC 所以BD ⊥平面PAC . 【小问2详解】因为PA ⊥底面ABCD ，CD 平面ABCD ，所以PA ⊥CD ，又CD ⊥AD ，PA ，⊂AD A ⋂=所以CD ⊥平面PAD ，因为PD 平面PAD ，所以CD ⊥PD ，又因为CD ⊥AD ，所以⊂∠PDA 是平面和平面的夹角，由于PA =AD ，∠PAD =90°，所以∠PDA =45°，PCD ABCD所以，所以平面PCD 与平面ABCD . cos PDA ∠=18. 已知椭圆的长轴长为，短轴长为．2222:1(0)x y C a b a b+=>>84(1)求椭圆方程；(2)过作弦且弦被平分，求此弦所在的直线方程及弦长．(2,1)P P【答案】(1)；(2) ，221164x y +=240x y +-=【解析】【分析】（1）根据椭圆的性质列方程组解出a ，b ，c 即可；（2）设以点P （2，1）为中点的弦与椭圆交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），利用点差法求出k ，然后求出直线方程，联立解方程组，求出A ，B ，再求出|AB |．【详解】(1)由椭圆长轴长为，短轴长为，2222:1(0)x y C a b a b+=>>84得，所以，28,24a b ==4,2a b ==所以椭圆方程为．221164x y +=(2)设以点为中点的弦与椭圆交于，则.(2,1)P 1122(,),(,)A x y B x y 12124,2x x y y +=+=在椭圆上，所以，，1122(,),(,)A x y B x y 22111164x y +=22221164x y +=两式相减可得， 12121212()()4()()0x x x x y y y y +-++-=所以的斜率为，AB 212112y y k x x -==--∴点为中点的弦所在直线方程为.(2,1)P 240x y +-=由，得，所以或， 221164240x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩240x x -=02x y =⎧⎨=⎩40x y =⎧⎨=⎩所以．||AB ==【点睛】本题考查椭圆的方程，直线方程的求法，弦长公式，是中档题，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．19. 已知数列的前n 项和为，满足．{}n a n S ()()*231n n S a n =-∈N （1）求数列的通项公式； {}n a （2）若，，设数列的前n 项和为，求证：． 3log n n b a =12n n n c b b +={}n c n T 2n T <【答案】（1）；（2）证明见解析. 3nn a =【解析】【分析】（1）先令求得，再由时，与原式作差证得1n =13a =2n ≥11233n n S a --=-是等比数列，写出通项公式即可；{}n a （2）先利用对数性质化简，得到，再求和进行消项即得结果.n b n =1121n c n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭【详解】解：（1）当时，，得， 1n =11233a a =-13a =当时，①，2n ≥233n n S a =-②，11233n n S a --=-①－②得，所以， 1233n n n a a a -=-13nn a a -=所以数列是首项，公比的等比数列， {}n a 13a =3q =所以；3nn a =（2），则， 33l 3log og nn n b a n ===122112(1)1n n n c b b n n n n +⎛⎫===- ⎪++⎝⎭12311111111111212233411n n n T c c c c c n n n n -⎛⎫=+++⋯++=-+-+-+⋯+-+- ⎪-+⎝⎭． 112222111n n ⎛⎫=-=-< ⎪++⎝⎭【点睛】结论点睛：裂项相消法求数列的前n 项和的常见类型：（1）等差型，其中是公差为的等差数列； 111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭{}n a ()0d d ≠（2；=（3）指数型；()11nn n a a a a +-=-（4）对数型. 11log log log n aa n a n na a a a ++=-20. 已知圆的圆心在轴上，且经过点． C x 1,0,()(,2)1A B -（1）求线段的垂直平分线方程； AB （2）求圆的标准方程；C （3）若过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方(0,2)P l C M N 、MN =l 程．【答案】（1）1y x =-+（2）22(1)4x y -+=（3）或 0x =3480x y +-=【解析】【分析】（1）根据已知得到线段中点的坐标及的斜率，根据垂直关系得出垂直AB D AB 平分线的斜率，利用点斜式即可求解；（2）设圆的标准方程为，由圆心的位置分析可得的值，进而计算C 222()x a y r -+=a 可得的值，据此分析可得答案；r （3）设为的中点，结合直线与圆的位置关系，分直线的斜率是否存在两种情况讨F MN l 论，综合即可得答案. 【小问1详解】设的中点为，则．AB D (0,1)D 由圆的性质，得，所以，得. CD AB ⊥1CD AB k k ⨯=-1CD k =-所以线段的垂直平分线的方程是.AB 1y x =-+【小问2详解】设圆的标准方程为，其中，半径为， C 222()x a y r -+=(,0)C a ()0r r >由（1）得直线的方程为，CD 1y x =-+由圆的性质，圆心在直线上，化简得， (,0)C a CD 1a =所以圆心，， ()1,0C ||2r CA ==所以圆的标准方程为. C 22(1)4x y -+=【小问3详解】由（1）设为中点，则，得F MN CF l ⊥||||FM FN ==圆心到直线的距离，C l ||1d CF ===当直线的斜率不存在时，的方程，此时，符合题意； l l 0x =||1CF =当直线的斜率存在时，设的方程，即， l l 2y kx =+20kx y -+=由题意得，解得； d =34k =-故直线的方程为， l 324y x =-+即；3480x y +-=综上直线的方程为或.l 0x =3480x y +-=21. 已知数列，，．{}n a 11a =1122,n n n a a n N +*++=∈（1）求，，，并求出数列的通项公式； 2a 3a 4a {}n a （2）记为数列的前项和，求．n S {}n na n n S 【答案】（1），，，；22a =34a =48a =12n n a -=（2） (1)21n n S n =-⋅+【解析】【分析】（1）由，分别令，求得的值，再两边同除1122n n n a a +++=1,2,3n =234,,a a a ，化简得到，进而得到，求得，得到12n +11122n n n n a a ++=-+1111()2222n n n n a a ++-=--1022n na -=.12n n a -=（2）由，可得，结合乘公比错位相减法求和，即可求解.12n n a -=12n n na n -=⋅【小问1详解】解：由题意，数列中，，，{}n a 11a =1122,n n n a a n N +*++=∈所以，，， 221222a a =-+=332224a a =-+=443228a a =-+=两边同除，可得，即， 12n +11122n n n n a a +++=11122n nn na a ++=-+设，可得， 11()22n n n n a a λλ+++=-+11222n nn na a λ++=--令，解得，所以， 21λ-=12λ=-1111(2222n n n na a ++-=--因为，所以， 11a =112111211111(()022********n n n n n n n n a a a a a +--+---=--=-=--==-= 所以，可得， 1022n n a -=11222n n n a -=⨯=所以数列的通项公式为.{}n a 12n n a -=【小问2详解】 解：由，可得，12n n a -=12n n na n -=⋅则，1221122232(1)22n n n S n n --=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ 可得，12312122232(1)22n n n S n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ 两式相减得到，12112122222(1)2112nn nn n n n n n S ---=++++-⋅=-⋅=-⋅-- 所以.(1)21n n S n =-⋅+22. 已知椭圆和直线l ：，椭圆的离心率，坐标原()222210x y a b a b+=>>1x y a b -=e. （1）求椭圆的方程； （2）已知定点，若直线与椭圆相交于C ，D 两点，试判断是()1,0E-()20y kx k =+≠否存在实数k ，使以CD 为直径的圆过定点E ？若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由.【答案】（1）2213x y +=（2）存在， 76k =【解析】【分析】（1）根据题意写出关于的等式，进行联立即可求解；,,a b c（2）先假设假设存在实数k ，联立直线与椭圆可得，以CD 为直径的1221221213913k x x k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=⎪+⎩圆过定点E 可得，将韦达定理代入即可求解0EC ED ⋅=【小问1详解】直线l 方程为，0bx ay ab --=依题意可得：，又，c a⎧=⎪⎪=222a b c =+解得：，，23a =21b =∴椭圆的方程为；2213x y +=【小问2详解】假设存在实数k ，使以CD 为直径的圆过定点E ，联立得， 22213y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()22131290k x kx +++=∴，∴或①，()22(12)36130k k∆=-+>1k >1k <-设，，则②，()11,C x y ()22,D x y 1221221213913k x x k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=⎪+⎩而，()()()2121212122224y y kx kx k x x k x x ⋅=++=+++，，()111,EC x y =+ ()221,ED x y =+要使以CD 为直径的圆过点，当且仅当，故，()1,0E -CE DE ⊥0EC ED ⋅=则，()()1212110y y x x +++=∴，③ ()()()2121212150k x x k x x +++++=将②代入③得，解得，经验证使得①成()()2220912********k k k kk ⎛⎫+⋅+++= ⎪⎝⎭-++716k =>立，综上可知，存在使得以CD 为直径的圆过点E . 76k =【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为；()()1122,,,x y x y （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； x y ∆（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； 12x x +12x x 12y y +12y y （5）代入韦达定理求解.。