下载文档原格式
无穷小的等价公式大全1. 基本等价无穷小（当xto0时）- sin xsim x- tan xsim x- arcsin xsim x- arctan xsim x- 1 - cos xsim(1)/(2)x^2- e^x-1sim x- ln(1 + x)sim x- (1 + x)^α-1simα x（α≠0）2. 复合函数中的等价无穷小替换。
- 例如，当u(x)to0（xto a）时，sin u(x)sim u(x)，tan u(x)sim u(x)等。
同样的规则适用于上述所有基本等价无穷小关系。
例如，当xto0时，e^3x-1sim3x，这里u =3x，因为当xto0时3xto0，根据e^u-1sim u（uto0）得到e^3x-1sim3x。
3. 等价无穷小在极限计算中的应用。
- 在计算limlimits_xto a(f(x))/(g(x))时，如果f(x)和g(x)可以表示为等价无穷小的形式，那么可以进行替换来简化计算。
例如：- limlimits_xto0(sin 2x)/(x)=limlimits_xto0(2x)/(x)=2，这里利用了sin 2xsim2x （xto0）。
- 但是要注意，等价无穷小替换只能在乘除运算中直接使用，在加减运算中使用时需要谨慎，一般需要先将式子进行变形，转化为乘除形式后再使用等价无穷小替换。
例如：- limlimits_xto0(tan x - sin x)/(x^3)不能直接将tan x替换为x，sin x替换为x得到limlimits_xto0(x - x)/(x^3) = 0（这是错误的）。
- 正确的做法是：tan x-sin x=sin x((1)/(cos x)-1)=(sin x(1 - cos x))/(cos x)，然后再利用等价无穷小sin xsim x，1 - cos xsim(1)/(2)x^2（xto0）进行计算。
常用的等价无穷小及泰勒公式常用的等价无穷小及泰勒公式一、等价无穷小等价无穷小是微积分中常用的概念，它在研究极限、无穷级数和泰勒公式等数学问题时具有重要的作用。
等价无穷小是指当自变量趋于某一特定值时，与之相对应的函数值的差异可以忽略不计。
在这里，我们将介绍几种常用的等价无穷小的概念。
1. 零阶无穷小零阶无穷小是最基本的一类等价无穷小。
它表示当自变量趋于某一特定值时，函数值的差异为无穷小，但它的阶数为0。
零阶无穷小通常表示为$o(x)$。
例如，当$x$趋于0时，$x^2$是一个零阶无穷小。
2. 一阶无穷小一阶无穷小是比零阶无穷小更高一级的概念。
它表示当自变量趋于某一特定值时，函数值的差异为无穷小，但它的阶数为1。
一阶无穷小通常表示为$O(x)$。
例如，当$x$趋于0时，$x$是一个一阶无穷小。
3. 高阶无穷小高阶无穷小是比一阶无穷小更高阶的概念。
它表示当自变量趋于某一特定值时，函数值的差异为无穷小，但它的阶数大于1。
高阶无穷小通常表示为$o(x^n)$或$O(x^n)$，其中$n>1$。
例如，当$x$趋于0时，$x^3$是一个三阶无穷小。
二、泰勒公式泰勒公式是一种重要的数学工具，用于将一个函数在某一点附近的局部信息转化为整体的近似信息。
泰勒公式可以将一个光滑函数表示为无穷级数的形式，使得我们可以通过有限项来近似计算函数的值。
1. 一元函数的泰勒公式一元函数的泰勒公式可以表示为以下形式：$$f(x) = \\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$其中，$a$为泰勒展开点，$f^{(n)}(a)$表示函数$f(x)$在点$a$处的$n$次导数。
2. 多元函数的泰勒公式多元函数的泰勒公式可以表示为以下形式：$$f(\\mathbf{x}) = f(\\mathbf{a}) + \abla f(\\mathbf{a}) \\cdot (\\mathbf{x}-\\mathbf{a}) + \\frac{1}{2!}(\\mathbf{x}-\\mathbf{a})^T \\cdotH(\\mathbf{a}) \\cdot (\\mathbf{x}-\\mathbf{a}) + \\ldots $$其中，$\\mathbf{x}$和$\\mathbf{a}$为多元函数的向量自变量，$\abla f(\\mathbf{a})$为函数$f(\\mathbf{x})$在点$\\mathbf{a}$处的梯度向量，$H(\\mathbf{a})$为函数$f(\\mathbf{x})$在点$\\mathbf{a}$处的Hessian矩阵。
常用的等价无穷小替换公式等价无穷小替换公式是微积分中常用的工具，用于将一个无穷小量替换成另一个与之等价的无穷小量，以便更方便地进行计算和求解。
下面是一些常见的等价无穷小替换公式。
1.当x趋于0时，有以下等价无穷小替换公式：- sin(x) ≈ x- tan(x) ≈ x- arcsin(x) ≈ x- arctan(x) ≈ x- ln(1+x) ≈ x-e^x-1≈x- (1+x)^n -1 ≈ nx （n为常数）2.当x趋于无穷大时，有以下等价无穷小替换公式：-e^x≈∞（指数函数增长非常快）- ln(x+1) ≈ x- sin(x)/x ≈ 1- tan(x)/x ≈ 1- arcsin(x)/x ≈ 1- arctan(x)/x ≈ 13.一些其他常见等价无穷小替换公式：- x^a - 1 ≈ ax^(a-1)（a为常数）-x^a≈∞（当x趋于无穷大且a为正数）-x^a≈0（当x趋于0且a为负数）- 1 - cos(x) ≈ x^2/2- ln(x) ≈ x^a （当 x 趋于无穷大且 a 为正数）这些等价无穷小替换公式的应用可以简化复杂的数学计算和求解问题。
需要注意的是，这些公式只是在特定的条件下成立，并不适用于所有情况，因此在使用时需要根据具体问题进行判断和决策。
除了上述列举的常见等价无穷小替换公式，还有一些与泰勒级数展开相关的公式也可以用于等价无穷小替换：-当x趋于a时，有以下泰勒级数的等价无穷小替换公式：f(x)≈f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...-当x趋于无穷大时，有以下泰勒级数和欧拉-麦克劳林公式的等价无穷小替换公式：f(x)≈f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...这些泰勒级数展开的等价无穷小替换公式可以用于近似计算函数的值和导数的值。
常用的等价无穷小公式大全在数学中，等价无穷小是指当自变量趋于一些确定值时，与其相比可以忽略的极小量。
等价无穷小公式是用来描述一个无穷小与另一个无穷小的关系的数学表达式。
以下是一些常用的等价无穷小公式：1.当x趋于0时，有以下等价无穷小公式：- sin(x) / x = 1- tan(x) / x = 1- arcsin(x) / x = 1- arctan(x) / x = 1-e^x-1/x=1- ln(1+x) / x = 12.当x趋于无穷大时，有以下等价无穷小公式：-e^x-1/x=1- ln(x + 1) / x = 1- (a^x - 1) / x = ln(a) （其中 a 是大于 0 的常数）-(1+1/x)^x=e- (1 + x)^a = 1 + ax （其中 a 是常数）3.当x趋于1时，有以下等价无穷小公式：- ln(x) / (x - 1) = 1-(x^b-1)/(x-1)=b（其中b是常数）- (1 - cos(x)) / (x - 1) = 1/24.当x趋于a时，有以下等价无穷小公式：- (sin(x) - sin(a)) / (x - a) = cos(a)- (cos(x) - cos(a)) / (x - a) = -sin(a)- (tan(x) - tan(a)) / (x - a) = sec^2(a)- (ln(x) - ln(a)) / (x - a) = 1/a5.当x趋于0时，有以下等价无穷小公式：-(e^x-1)/x=1- (ln(1 + x)) / x = 1- (1 - cos(x)) / x^2 = 1/2- (1 - cos(x)) / x = 0- (1 - cos(x)) / x^3 = -1/6这些等价无穷小公式在微分、极限、泰勒展开等数学问题中经常被使用，它们帮助我们简化了复杂的计算过程，使得我们能够更容易地理解和应用相关的数学概念和定理。
高等数学公式一、常用的等价无穷小当x →0时x ~sin x ~tan x ~arcsin x ~arctan x ~ln （1+x ） ~ e x -1a x -1~x ln a(1+x )α-1 ~ αx (α为任意实数，不一定是整数)1-cos x ~21x 2增加x -sin x ~61x 3 对应 arcsin x –x ~ 61x 3 tan x –x ~ 31x 3 对应 x - arctan x ~ 31x 3二、利用泰勒公式e x = 1 + x + +！22x o （2x ） ） （33 o !3sin x x x x +-=cos x = 1 – +！22x o （2x ） ln （1+x ）=x – +22x o （2x ）导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， ax x a a a ctgx x x tgx x x xctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：·倍角公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
常用的等价无穷小公式大全1.当x趋于零时，有以下等价无穷小公式：- 当x → 0 时，有sin(x) → x；- 当x → 0 时，有tan(x) → x；- 当x → 0 时，有arcsin(x) → x；- 当x → 0 时，有arctan(x) → x；- 当x → 0 时，有ln(1+x) → x；-当x→0时，有e^x-1→x；- 当x → 0 时，有 a^x - 1→ xln(a)；2.当x趋于无穷大时，有以下等价无穷小公式：-当x→+∞时，有1/x→0；-当x→+∞时，有1/x^2→0；-当x→+∞时，有e^x→+∞；- 当x → +∞ 时，有ln(x) → +∞；-当x→+∞时，有x^a→+∞（a>0）；3.当x趋于一些确定值a时，有以下等价无穷小公式：- 当x → a 时，有 sin(x) - sin(a) → 0；- 当x → a 时，有 cos(x) - cos(a) → 0；- 当x → a 时，有 tan(x) - tan(a) → 0；-当x→a时，有e^x-e^a→0；- 当 x → a 时，有 ln(x) - ln(a) → 0；4.复合函数的等价无穷小公式：-当g(x)→0时，有f(g(x))-f(0)→0；5.无穷小的运算公式：-x弥无穷小的数与有限常数相乘，仍是无穷小；-无穷小与有限常数相加减，仍是无穷小；-无穷小的高阶无穷小不改变阶数；-高阶无穷小的相乘积是比其低阶无穷小高阶的无穷小；-有界函数与无穷小的积是无穷小；-无穷小的和差可化为一项；-n次方的无穷小的极限为零；这些都是常用的等价无穷小公式，可以帮助我们在微积分的计算中简化复杂的运算过程。
需要注意的是，虽然这些公式在一般情况下是成立的，但在特殊情况下可能存在例外，所以在具体运用时需要谨慎。
常用的等价无穷小公式大全
1.当x趋于无穷时：
-x的幂次：x^n（n为常数）的等价无穷小为无穷大。
-常数：任何常数c的等价无穷小为c。
- ln(x)：ln(x)的等价无穷小为无穷大。
-e^x：e^x的等价无穷小为无穷大。
- sin(x)、cos(x)、tan(x)等三角函数：这些三角函数的等价无穷小为无穷大。
-1/x：1/x的等价无穷小为无穷小。
2.当x趋于零时：
-x的幂次：x^n（n为常数）的等价无穷小为零。
- ln(1+x)：ln(1+x)的等价无穷小为x。
-e^x-1：e^x-1的等价无穷小为x。
- sin(x)、tan(x)：这些三角函数的等价无穷小为x。
- arcsin(x)：arcsin(x)的等价无穷小为x。
3.常用的等价无穷小公式：
- sin(x) ≈ x
- tan(x) ≈ x
- ln(1+x) ≈ x
-e^x≈1+x
- 1 - cos(x) ≈ (1/2) * x^2
- arcsin(x) ≈ x
- sqrt(1+x) ≈ 1+(1/2) * x
- 1 - cos(x) ≈ (1/2) * x^2
- ln(1+x) ≈ x
-e^x≈1+x
这些公式可以帮助简化计算，特别是在求极限、泰勒级数展开和近似计算时非常有用。
但是需要注意，这些等价无穷小公式只有在适当的情况下才成立，不能盲目地使用它们。
在具体的计算中，应该根据问题的性质和要求选择合适的公式使用。
常用的等价无穷小及泰勒公式－生活类关键信息项：1、等价无穷小的定义及常见类型名称：＿___________________________表达式：＿___________________________适用范围：＿___________________________2、泰勒公式的定义及常见形式名称：＿___________________________表达式：＿___________________________应用场景：＿___________________________3、生活中常见的使用等价无穷小及泰勒公式的例子场景描述：＿___________________________计算过程：＿___________________________结果及意义：＿___________________________11 引言本协议旨在探讨常用的等价无穷小及泰勒公式在生活中的应用，帮助读者更好地理解和运用这些数学工具。
111 等价无穷小的概念等价无穷小是指在某个极限过程中，两个函数的比值趋近于 1。
112 常见的等价无穷小当 x 趋近于 0 时，有以下常见的等价无穷小：sin x ～ xtan x ～ xln(1 ＋ x) ～ xe^x 1 ～ x（1 ＋ x)＾α 1 ～αx （α 为常数）12 等价无穷小的使用条件在使用等价无穷小进行计算时，需要注意其使用条件，通常是在乘除运算中可以直接使用，而在加减运算中需要谨慎使用。
121 乘除运算中的应用例如，计算极限lim(x→0) （sin x ／ x)，由于 sin x ～ x（x → 0），所以该极限的值为 1。
122 加减运算中的注意事项在加减运算中，如果直接使用等价无穷小可能会导致错误，需要进行进一步的分析和处理。
13 泰勒公式的概念泰勒公式是用多项式来逼近一个函数在某一点附近的取值。
131 泰勒公式的一般形式设函数 f(x) 在点 x0 处具有 n 阶导数，则 f(x) 在 x0 处的泰勒展开式为：f(x) ＝ f(x0) ＋ f'（x0)（x x0) ＋ f'＇（x0)／2!（x x0)＾2 ＋＋ f^（n)（x0)／n!（x x0)＾n ＋ Rn(x)其中 Rn(x) 为余项。
常用的等价无穷小及泰勒公式等价无穷小定义为当自变量趋于其中一点时，与给定无穷小具有相同数量级的无穷小。
1.当x趋于0时，常用的等价无穷小有：-x、x^2、x^3、x^4、..：它们具有相同数量级的无穷小。
- sin(x)：当x趋于0时，sin(x)也趋于0，并具有相同数量级的无穷小。
2.当x趋于无穷大时，常用的等价无穷小有：-x、x^2、x^3、x^4、..：它们具有相同数量级的无穷小。
-e^x：当x趋于无穷大时，e^x也趋于无穷大，并具有相同数量级的无穷小。
泰勒公式是用无穷级数来逼近函数的方法，其公式为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...其中，f(x)为函数，a为给定点，f'(a)、f''(a)、f'''(a)分别为f(x)在a点的一阶、二阶、三阶导数。
泰勒公式的应用：1.近似计算：通过泰勒公式可以将复杂的函数转化为无穷级数，从而进行近似计算。
例如，对于e^x函数，可以利用泰勒公式展开为e^a+e^a(x-a)+e^a(x-a)^2/2!+...进行近似计算。
2.极值判断：通过泰勒公式展开函数，可以利用一阶导数和二阶导数的符号来判断函数的极值。
3.曲线绘制：通过泰勒公式可以对函数进行局部展开，从而绘制出函数的曲线。
需要注意的是，泰勒公式只有在给定点附近的局部区域内才有效，因此在使用泰勒公式进行近似计算时，要选择合适的给定点和展开阶数，以使得近似结果更加准确。
总之，等价无穷小是在自变量趋于一些特定点时与给定无穷小具有相同数量级的无穷小，而泰勒公式是用无穷级数来逼近函数的方法，可以用来进行函数的近似计算、极值判断和曲线绘制。
常用等价无穷小及泰勒公式在数学中，无穷小是指在其中一极限下趋近于零的数。
在微积分和数学分析中，无穷小是解决极限和连续性问题的强有力工具。
常用的等价无穷小和泰勒公式是在数学分析、微积分和近似计算中经常使用的重要概念和技巧。
一、常用的等价无穷小1. x趋近于零时，x的幂次高于1的多项式与x的幂次低于1的多项式相比，可以视为等价无穷小。
例如，在$x\to0$时，$x^2+x^3$和$x^2$可以看作等价无穷小。
2. 在极限过程中，若两个函数的极限为零，并且比值的极限存在，则它们可以视为等价无穷小。
例如，当$x\to0$时，$\sin x$和$x$可以视为等价无穷小。
3. 对于常数$a$和$b$，当$x$趋近于一些点时，若$f(x)$的极限为零，$g(x)$的极限为零，并且$f(x)$与$g(x)$的比值的极限为常数$a$，则$f(x)$可以视为等价无穷小。
例如，当$x\to0$时，$a^x-1$和$x\ln a$可以看作等价无穷小。
二、泰勒公式泰勒公式是微积分中的一种重要的近似计算方法。
它表达了函数在特定点附近的值与函数在该点的导数值的关系。
泰勒公式的一般形式为：\[f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 +\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + R_n(x)\]其中，$a$是函数$f(x)$的一些点，$f'(a)$、$f''(a)$等分别表示$f(x)$在点$a$处的一阶、二阶导数等，$R_n(x)$是带有余项的泰勒公式，表示剩余部分的误差。
泰勒公式有以下几种常用形式：1. 一阶泰勒公式（也称为线性近似）：\[f(x) \approx f(a) +f'(a)(x-a) \]2. 二阶泰勒公式：\[f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) +\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 \]3. 三阶泰勒公式：\[f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) +\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 \]泰勒公式可以用于近似计算函数在特定点附近的值。
