北师大版高中数学2-2第二章《变化率与导数》导数的概念

2.2.1 导数的概念2.2.2 导数的几何意义1.理解导数的概念及导数的几何意义.(重点、难点)2.会求导函数及理解导数的实际意义.(重点)3.掌握利用导数求切线方程的方法.(难点)[基础·初探]教材整理1 函数f(x)在x＝x0处的导数阅读教材P32“例1”以上部分，完成下列问题.函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率称为函数y＝f(x)在x0点的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝limΔx→0f（x1）－f（x0）x1－x0＝limΔx→0_f（x0＋Δx）－f（x0）Δx.设函数y＝f(x)可导，则limΔx→0f（1＋Δx）－f（1）Δx等于( )A.f′(1)B.3f′(1)C.13f′(1) D.以上都不对【解析】由f(x)在x＝1处的导数的定义知，应选A.【答案】 A教材整理2 导数的几何意义阅读教材P34～P36，完成下列问题.函数y＝f(x)在x0处的导数，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率.函数y ＝f(x)在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义.抛物线y＝x2＋4在点(－2，8)处的切线方程为________________.【解析】因为y′＝limΔx→0（x＋Δx）2＋4－（x2＋4）Δx＝limΔx→0(2x＋Δx)＝2x，所以k＝－4，故所求切线方程为4x＋y＝0.【答案】4x＋y＝0[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型](1)若limΔx→000Δx＝k，则limΔx→0f（x0＋2·Δx）－f（x0）Δx等于( )A.2kB.kC.12k D.以上都不是(2)函数y＝x在x＝1处的导数是________.(3)求函数y＝2x2＋4x在x＝3处的导数. 【精彩点拨】根据导数的概念求解.【自主解答】(1) limΔx→0f（x0＋2·Δx）－f（x0）Δx＝limΔx→0f（x0＋2·Δx）－f（x0）2·Δx·2＝2·lim Δx →0f （x 0＋2·Δx ）－f （x 0）2·Δx＝2k .(2)∵Δy ＝1＋Δx －1， ∴Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1， 当Δx 趋于0时，Δy Δx ＝11＋Δx ＋1趋于12，∴函数y ＝x 在x ＝1处的导数为12.【答案】 (1)A (2)12(3)∵f (x )＝2x 2＋4x ， ∴Δy ＝f (3＋Δx )－f (3)＝2(3＋Δx )2＋4(3＋Δx )－(2×32＋4×3) ＝12Δx ＋2(Δx )2＋4Δx ＝2(Δx )2＋16Δx . ∴Δy Δx ＝2（Δx ）2＋16Δx Δx ＝2Δx ＋16. 当Δx →0时，ΔyΔx→16，∴f ′(3)＝16.1.本题(2)中用到了分子有理化的技巧，主要目的是使整个式子的趋近值容易求出.切忌算到1＋Δx －1Δx时，就下结论：当Δx 趋于0时，分子分母的值都趋于0，所以整个式子的值不确定.2.计算函数在某点处的导数可以分以下三个步骤： (1)计算Δy ；(2)计算Δy Δx ；(3)计算lim Δx →0ΔyΔx.[再练一题]1.若f (x )＝x 3，f ′(x 0)＝3，则x 0的值是( ) A.1 B.－1 C.±1D.3 3【解析】 ∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3－x 30＝3x 20Δx ＋3x 0(Δx )2＋(Δx )3， ∴Δy Δx＝3x 20＋3x 0Δx ＋(Δx )2，∴f ′(x 0)＝[3x 20＋3x 0Δx ＋(Δx )2]＝3x 20， 由f ′(x 0)＝3，得3x 20＝3，∴x 0＝±1. 【答案】 C已知曲线C ：f (x )＝3x 3＋3.(1)求曲线C 在横坐标为2的点处的切线方程；(2)第(1)小题中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？【精彩点拨】 (1)先求切点坐标，再求f ′(2)，最后利用导数的几何意义写出切线方程.(2)将切线方程与曲线C 的方程联立求解.【自主解答】 (1)将x ＝2代入曲线C 的方程得y ＝4，∴切点P (2，4).f ′(2)＝lim Δx →0ΔyΔx＝lim Δx →013（2＋Δx ）3＋43－13×23－43Δx＝lim Δx →0[4＋2Δx ＋13(Δx )2]＝4.∴k ＝f ′(2)＝4.∴曲线在点P (2，4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x －4，y ＝13x 3＋43，可得(x －2)(x 2＋2x －8)＝0，解得x 1＝2，x 2＝－4.从而求得公共点为P (2，4)或M (－4，－20)，即切线与曲线C 的公共点除了切点外，还有另一公共点(－4，－20).1.利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤： (1)求出函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)； (2)写出切线方程，即y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0).特别注意：若在点(x 0，y 0)处切线的倾斜角为π2，此时所求的切线平行于y 轴，所以直线的切线方程为x ＝x 0.2.曲线的切线与曲线的交点可能不止一个.[再练一题]2.(2016·临沂高二检测)求曲线f (x )＝x 2＋1在点A (1，2)处的切线方程.【解】 在曲线f (x )＝x 2＋1上的点A (1，2)的附近取一点B ，设B 点的横坐标为1＋Δx ，则点B 的纵坐标为(1＋Δx )2＋1，所以函数的增量Δy ＝(1＋Δx )2＋1－2＝Δx 2＋2·Δx ，所以切线AB 的斜率k AB ＝ΔyΔx ＝Δx ＋2，∴lim Δx →0ΔyΔx＝lim Δx →0(Δx ＋2)＝2，这表明曲线f (x )＝x 2＋1在点A (1，2)处的切线斜率k ＝2. ∴所求切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.[探究共研型]探究【提示】 区别：函数在某点处的导数是一个定值，导函数是一个函数. 联系：函数f (x )在x 0处的导数就是导函数f ′(x )在x ＝x 0时的函数值. 探究2 曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点？【提示】 不一定.切线只是一个局部概念，是该点处的割线的极限位置，在其他地方可能还有一个或多个公共点.探究3 曲线f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程与过某点(x 0，y 0)的曲线的切线方程有何不同？【提示】 曲线f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线，点(x 0，f (x 0))一定是切点，只要求出k ＝f ′(x 0)，利用点斜式写出切线即可；而求过某点(x 0，y 0)的曲线f (x )的切线，给出的点(x 0，y 0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点.已知曲线f (x )＝1x.(1)求曲线过点A (1，0)的切线方程； (2)求满足斜率为－13的曲线的切线方程.【精彩点拨】 (1)点A 不在曲线上，设切点坐标，写出切线方程，把A (1，0)代入求出切点坐标，进而求出切线方程.(2)设出切点坐标，由该点斜率为－13，求出切点，进而求出切线方程.【自主解答】 (1) lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →01x ＋Δx －1x Δx＝lim Δx →0－1（x ＋Δx ）x ＝－1x2.设过点A (1，0)的切线的切点为P ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，1x，则f ′(x 0)＝－1x 20，即该切线的斜率为k ＝－1x 20.因为点A (1，0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，1x 0在切线上，所以1x 0－0x 0－1＝－1x 20，解得x 0＝12.故切线的斜率k ＝－4.故曲线过点A (1，0)的切线方程为y ＝－4(x －1)， 即4x ＋y －4＝0.(2)设斜率为－13的切线的切点为Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，1a ， 由(1)知，k ＝f ′(a )＝－1a 2＝－13，得a ＝± 3.所以切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，33或⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－33. 故满足斜率为－13的曲线的切线方程为y －33＝－13(x －3)或y ＋33＝－13(x ＋3)， 即x ＋3y －23＝0或x ＋3y ＋23＝0.1.求曲线过已知点的切线方程的步骤2.若已知切线的斜率，则可根据切点处的导数即为斜率求得切点的坐标，根据点斜式写出切线方程.[再练一题]3.求曲线y ＝f (x )＝x 2＋1过点P (1，0)的切线方程.【解】 设切点为Q (a ，a 2＋1)，f （a ＋Δx ）－f （a ）Δx ＝（a ＋Δx ）2＋1－（a 2＋1）Δx＝2a ＋Δx ，当Δx 趋于0时，(2a ＋Δx )趋于2a ，所以所求切线的斜率为2a .因此，（a 2＋1）－0a －1＝2a ，解得a ＝1±2，所求的切线方程为y ＝(2＋22)x －(2＋22)或y ＝(2－22)x －(2－22).[构建·体系]1.若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为2x －y ＋1＝0，则( ) A.f ′(x 0)＞0 B.f ′(x 0)＜0 C.f ′(x 0)＝0D.f ′(x 0)不存在【解析】 由切线方程可以看出其斜率是2，又曲线在该点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数.【答案】 A2.曲线y ＝12x 2－2在点x ＝1处的切线的倾斜角为( )A.30°B.45°C.135°D.165°【解析】 f ′(1)＝lim Δx →0f （1＋Δx ）－f （1）Δx＝lim Δx →0⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12Δx ＝1， ∴切线的斜率为1，倾斜角为45°. 【答案】 B3.曲线f (x )＝2x在点(－2，－1)处的切线方程为________.【解析】 f ′(－2)＝lim Δx →0f （－2＋Δx ）－f （－2）Δx＝lim Δx →02－2＋Δx ＋1Δx＝lim Δx →01－2＋Δx ＝－12，∴切线方程为y ＋1＝－12(x ＋2)，即x ＋2y ＋4＝0.【答案】 x ＋2y ＋4＝04.已知二次函数y ＝f (x )的图像如图2­2­1所示，则y ＝f (x )在A ，B 两点处的导数f ′(a )与f ′(b )的大小关系为：f ′(a )________f ′(b )(填“＜”“＝”或“＞”).图2­2­1【解析】 f ′(a )与f ′(b )分别表示函数图像在点A ，B 处的切线斜率，由图像可得f ′(a )＞f ′(b ).【答案】 ＞5.已知直线y ＝4x ＋a 和曲线y ＝x 3－2x 2＋3相切，求切点坐标及a 的值.【解】 设直线l 与曲线相切于点P (x 0，y 0)，则lim Δx →0Δy Δx＝lim Δx →0（x ＋Δx ）3－2（x ＋Δx ）2＋3－（x 3－2x 2＋3）Δx＝3x 2－4x .由导数的几何意义，得k ＝f ′(x 0)＝3x 20－4x 0＝4， 解得x 0＝－23或x 0＝2，∴切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927或(2，3). 当切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927时，有4927＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋a ， ∴a ＝12127.当切点为(2，3)时，有3＝4×2＋a ， ∴a ＝－5.因此切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927或(2，3)， a 的值为12127或－5.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)。

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2.1 导数的概念一、 复习：设函数)(x f y =,当自变量x 从x 0变到x 1时，函数值从)(0x f 变到)(1x f ，函数值y 关于x 的平均变化率为xx f x x f x x x f x f x y ∆-∆+=--=∆∆)()()()(000101当x 1趋于x 0，即Δx 趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数)(x f y =在点x 0的瞬时变化率。

二、探究新课在数学上，称瞬时变化率为函数)(x f y =在点x 0的导数，通常用符号)(0x f '表示，记作xx f x x f x x x f x f x f x x x ∆-∆+=--='→∆→)()()()()(00001010lim lim 01。

（一）、探究：利用导数的定义求函数的导数的方法步骤：1. 求函数的变化率2. 求函数的平均变化率3.求极限（二）、典例精讲例1、一条水管中流过的水量y （单位：3m )是时间x （单位：s)的函数x x f y 3)(==。

求函数)(x f y =在x =2处的导数)2(f '，并解释它的实际意义。

例2、一名食品加工厂的工人上班后开始连续工作,生产的食品量y (单位：kg ）是其工作时间x （单位：h ）的函数)(x f y =。