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多体系统动力学基本理论

多体系统动力学基本理论

多体系统动力学基本理论第2章多体系统动力学基本理论本章主要介绍多体系统动力学的基本理论，包括多刚体系统动力学建模、多柔体系统动力学建模、多体系统动力学方程求解及多体系统动力学中的刚性（Stiff）问题。

通过本章的学习可以对多体系统动力学的基本理论有较深入的了解，为具体软件的学习打下良好的理论基础。

2.1 多体系统动力学研究状况多体系统动力学的核心问题是建模和求解问题，其系统研究开始于20世纪60年代。

从60年代到80年代，侧重于多刚体系统的研究，主要是研究多刚体系统的自动建模和数值求解；到了80年代中期，多刚体系统动力学的研究已经取得一系列成果，尤其是建模理论趋于成熟，但更稳定、更有效的数值求解方法仍然是研究的热点；80年代之后，多体系统动力学的研究更偏重于多柔体系统动力学，这个领域也正式被称为计算多体系统动力学，它至今仍然是力学研究中最有活力的分支之一，但已经远远地超过一般力学的涵义。

本节将叙述多体系统动力学发展的历史和目前国内外研究的现状。

2.1.1 多体系统动力学研究的发展机械系统动力学分析与仿真是随着计算机技术的发展而不断成熟的，多体系统动力学是其理论基础。

计算机技术自其诞生以来，渗透到了科学计算和工程应用的几乎每一个领域。

数值分析技术与传统力学的结合曾在结构力学领域取得了辉煌的成就，出现了以ANSYS、NASTRAN等为代表的应用极为广泛的结构有限元分析软件。

计算机技术在机构的静力学分析、运动学分析、动力学分析以及控制系统分析上的应用，则在二十世纪八十年代形成了计算多体系统动力学，并产生了以ADAMS和DADS为代表的动力学分析软件。

两者共同构成计算机辅助工程（CAE）技术的重要内容。

多体系统是指由多个物体通过运动副连接的复杂机械系统。

多体系统动力学的根本目的是应用计算机技术进行复杂机械系统的动力学分析与仿真。

它是在经典力学基础上产生的新学科分支，在经典刚体系统动力学上的基础上，经历了多刚体系统动力学和计算多体系统动力学两个发展阶段，目前已趋于成熟。

多体动力学读书报告资料

多体动力学读书报告资料

计算机辅助工程与分析课程读书报告课程名称：计算机辅助工程与分析报告题目：多体系统动力学及ADAMS软件学院：机电工程学院专业：2014机械工程姓名：学号：任课老师：王立华提交日期：2015年6月29 日目录1.多体动力学理论 ............................................... - 3 -1.1多体动力学研究对象....................................... - 3 -1.2多体动力学研究现状....................................... - 3 -1.3多刚体系统动力学建模..................................... - 3 -1.3.1多体系统动力学基本概念............................. - 4 -1.3.2计算多体系统动力学建模与求解一般过程............... - 4 -1.3.3多刚体系统运动学[3].................................. - 4 -1.3.4多刚体系统动力学................................... - 5 -1.4 多柔体系统动力学建模[4]................................... - 5 -1.4.1多柔体系统坐标系................................... - 5 -1.4.2多柔体系统动力学方程的建立......................... - 5 -1.4.3多柔体动力学方程................................... - 6 -1.5多体系统动力学方程的求解................................. - 6 -1.6多体系统动力学中的刚性（Stiff）问题...................... - 7 -1.6.1微分方程刚性（Stiff）问题.......................... - 7 -1.6.2多体系统动力学中Stiff问题......................... - 7 -1.7多体系统仿真模型......................................... - 7 -2.ADAMS软件简述................................................ - 8 -2.1 ADAMS软件............................................... - 8 -2.2 主要内容................................................ - 8 -3. 总结 ........................................................ - 8 -4.四自由度机械手的总体方案 ..................................... - 8 -4.1机械手自由度的选择....................................... - 8 -4.2 三维造型............................................. - 9 -4.2.1三维设计软件proe简介.............................. - 9 -4.2.2机械手关键零部件设计............................... - 9 -4.2.3机械手其它零部件设计.............................. - 10 -4.3 Adams 仿真模型......................................... - 11 -5.学习心得 .................................................... - 13 -6.学习笔记 .................................................... - 13 -6.1 pro/e与adams之间的转化................................ - 13 -6.2 力与驱动的关系......................................... - 14 -3.Marker点与Pointer点区别................................. - 14 - 7.课程反馈意见 ................................................ - 14 - 参考文献 ...................................................... - 14 -多体系统动力学及ADMS软件摘要：本文通过对机械多体动力学基本理论的综合和总结，简述ADAMS软件，并结合实际工程问题：四自由度机械手总体设计，运用adms软件对其进行系统动力学分析，然后谈谈自己学习本课程的学习心得,并列举3个困扰自己的三个问题，最后对本课程提出意见。

yb 多体动力学绪论

yb 多体动力学绪论
面向系统的虚拟原型
数字实物模型 功能虚拟原型 虚拟生产
系统装配 漫游
运动/操纵 振动/噪声
公差 机器人技术
运动干涉
碰撞 •••
耐久/疲劳
安全/碰撞 人机工程/ 舒适性 •••
装配
序列规划 •••
功能虚拟原型的五个阶段
面向系统的虚拟原型
建模
测试
验证
细化
自动建模
产品数据管理系统
功能虚拟原型的开发流程
为什么采用功能虚拟原型


全球竞争和客户需求的提高给汽车制造商带来了巨大 的压力。不仅要求缩短开发时间，而且必须用更低的 成本制造更高质量和性能的产品 产品的创新性、仪器设备、试验和系统的硬件原型是 现在产品设计的瓶颈 传统的CAD/CAM/CAE方法不能够提供一种好的方法来打 破这个瓶颈。 数字实体模型、功能虚拟原型、虚拟工厂仿真能够提 供的面向系统级的解决方案，从而能够在新产品设计 的速度、成本、质量方面取得突破。
机械系统动力学分析的研究任务
运动学分析：不考虑力的作用情况下研究组成 机械系统的各部件的位置与姿态以及它们的变 化速度和加速度之间的关系 正向动力学分析：研究外力（偶）作用下机械 系统的动力学响应，包括各部件的加速度、速 度和位置，以及运动过程中的约束反力 逆向动力学分析：已知机械系统的运动求反力 的问题 静力学分析：研究系统受到静载荷时，确定在 运动副制约下的系统平衡位置以及运动副静反 力
汽车多刚体系统计算力学
教材和参考书
刘延柱，洪嘉振，杨海兴 多刚体系统动
力学 ，北京，高等教育出版社，1989 陆佑方 柔性多体系统动力学，北京，高 等教育出版社，1996 洪嘉振，计算多体系统动力学 ，北京， 高等教育出版社，1999

多体动力学

多体动力学

多体动力学摘要多刚体系统的位置、姿态、运动及受力分析。

目录引言 (3)1 矢量 (4)1.1 矢量的定义及符号 (4)1.2 矢量的基本运算 (5)1.3 单位矢量的定义和符号 (6)1.4 零矢量的定义和符号 (6)1.5 平移规定 (6)习题一 (6)2 坐标系 (7)习题二 (8)3 矢量的坐标阵和坐标方阵 (8)习题三 (10)4 方向余弦矩阵 (10)4.1 方向余弦矩阵的定义 (10)4.2 方向余弦矩阵的用途 (11)4.3 方向余弦矩阵的性质 (14)习题四 (16)5 欧拉角 (16)5.1 欧拉角的定义 (16)5.2 欧拉角与方向余弦矩阵的关系 (17)5.3 欧拉角的奇点 (19)5.4 确定欧拉角的几何法 (19)习题五 (20)6 矢量在某参照物内对时间的导数 (21)习题六 (23)7 角速度 (24)习题七 (25)8 刚体上固定矢量在某参照物内对时间的导数 (25)习题八 (28)9 矢量在两参照物内对时间导数的关系 (28)习题九 (29)10 角速度叠加原理 (30)习题十 (31)11 角加速度 (31)习题十一 (31)12 角速度与欧拉角对时间导数的关系 (32)习题十二 (34)13 点的速度和加速度 (34)习题十三 (36)14 刚体上固定点及动点的速度与加速度 (36)14.1 刚体上固定点的速度与加速度 (36)14.2 刚体上动点的速度与加速度 (39)习题十四 (40)15 刚体的动力学方程 (40)15.1 并矢 (40)15.2 刚体惯性力向质心简化的主矢和主矩 (43)15.3 达朗贝尔原理和动力学方程 (45)习题十五 (46)16 约束方程 (46)习题十六 (48)参考文献 (48)引言多体动力学的研究对象是由多个物体通过约束及力元件连接起来的空间机构。

将机构中的物体抽象为柔体，则得到多柔体系统，抽象为刚体则得到多刚体系统。

这里只涉及多刚体系统。

多体系统动力学基本理论

多体系统动力学基本理论

The orientation cosine matrix is A A1 A2 A3 (i j k i3 j3 k3 )
k 2 (k3 ) k (k1 )
j3




j2
1
i
j
k i1 k2 k k1 sin j2 cos k2 sin (sin i3 cos j3 ) cos k3 i1 i2 cos i3 sin j3 k2 k3
i1 j1 k1
cos sin 0 A1 sin cos 0 0 0 1

i
i1 (i2 ) i3

j
i1 j1 k1
i1 i2 j j 1 A2 2 , k1 k 2
(i1 )
i2 j2 k2
0 0 1 A2 0 cos sin 0 sin cos
i2 j2 k2
(k 2 )
i3 j3 k3
i2 i3 cos sin 0 j2 A3 j3 , A3 sin cos 0 k 2 k3 0 0 1 i i1 i2 i3 j j j j A1 1 A1 A2 2 A1 A2 A3 3 k k1 k 2 k3
Name DADS ADAMS Formulation method Newton Euler First Lagrange Results Time history Animation Time history Animation Frequency Response Time history

机械设计中的多体系统动力学建模与仿真

机械设计中的多体系统动力学建模与仿真

机械设计中的多体系统动力学建模与仿真机械设计是一门涉及物体结构和运动的学科，而多体系统动力学建模与仿真则是机械设计中重要的一部分。

本文将介绍多体系统动力学建模与仿真的基本概念和方法，并探讨其在机械设计中的应用。

一、多体系统动力学建模的基本概念在机械设计中，多体系统动力学建模是研究物体在运动过程中相互作用力和运动方程的一种方法。

多体系统由多个连接在一起的刚体组成，通过关节、滑动副等连接方式相互联系。

多体系统动力学建模的主要目的是通过建立物体的运动方程，预测和分析系统的运动行为。

多体系统动力学建模要考虑的主要因素包括：1. 物体的质量分布、惯性参数和几何形状；2. 物体之间的约束关系和连接方式；3. 外部施加在物体上的力和力矩。

二、多体系统动力学建模的方法1. 拉格朗日方法拉格朗日方法是一种基于能量原理的多体系统动力学建模方法。

通过定义广义坐标和拉格朗日函数，可以得到系统的运动方程。

拉格朗日方法适用于系统的运动学约束不易确定的情况，可以简化运动方程的推导过程。

2. 牛顿-欧拉方法牛顿-欧拉方法是一种基于牛顿定律和欧拉角动力学的多体系统动力学建模方法。

通过施加牛顿定律和角动力学公式，可以得到系统的运动方程。

牛顿-欧拉方法适用于系统的运动学约束已知的情况，可以较为准确地描述系统的运动行为。

3. 约束方程法约束方程法是一种通过约束方程描述系统的运动约束和连接关系的多体系统动力学建模方法。

通过约束方程对系统中的连接关系进行数学建模，可以得到系统的运动方程。

约束方程法适用于复杂的多体系统，在实际工程应用中广泛使用。

三、多体系统动力学仿真的应用多体系统动力学仿真在机械设计中具有重要的应用价值。

以下列举几个典型的应用场景：1. 机器人运动学分析与路径规划通过对机器人相关零部件进行多体系统动力学建模和仿真，可以分析机器人的运动学性能，并进行路径规划和轨迹优化，提高机器人的工作效率和稳定性。

2. 车辆悬挂系统设计多体系统动力学仿真可以帮助优化车辆悬挂系统的设计，预测系统的动态性能和悬挂刚度，提高车辆的行驶舒适性和操控稳定性。

机械设计中的多体系统动力学分析与优化

机械设计中的多体系统动力学分析与优化随着科技的进步和工程的发展，机械设计的复杂性也日益提高。

在许多机械系统中，多个刚体或刚体组件的相对运动对系统性能、寿命和稳定性产生重要影响。

因此，对多体系统的动力学行为进行分析和优化变得至关重要。

本文将探讨机械设计中的多体系统动力学分析与优化的关键问题，并提出一些解决方案。

一、多体系统的动力学分析多体系统是由相互关联的刚体或刚体组件构成的机械系统。

在进行动力学分析时，我们需要考虑以下几个方面：1. 刚体模型建立：基于机械系统的几何形状和运动特性，我们可以建立相应的刚体模型。

刚体模型可以是简单的几何形体，也可以是更为复杂的三维模型。

2. 运动学分析：通过解析几何和运动学方程，我们可以获得每个刚体的位置、速度和加速度等参数。

这些参数对于后续的动力学分析至关重要。

3. 动力学分析：根据牛顿定律和欧拉动力学方程，我们可以建立多体系统的动力学方程。

通过求解这些方程，我们可以得到刚体受力和受力矩的值，从而了解系统的受力情况。

4. 约束分析：在多体系统中，可能存在一些约束条件，如接触约束、几何约束和运动学约束等。

通过分析约束，我们可以确定系统自由度，并简化动力学模型。

5. 仿真与分析：利用计算机仿真技术，我们可以对多体系统进行动力学分析。

通过分析仿真结果，我们可以得出系统的运动规律、振动频率和应力分布等信息。

二、多体系统的优化在进行机械设计时，我们经常需要优化多体系统的性能和功能。

多体系统的优化可以包括以下几个方面：1. 尺寸优化：通过改变刚体的尺寸和形状，我们可以改善多体系统的性能。

如增加结构的刚度、降低质量、减小空间占用等。

2. 材料优化：选择合适的材料可以显著改善多体系统的性能。

通过选择耐磨材料、高强度材料或轻质材料等，我们可以提高系统的寿命、强度和效率。

3. 运动学优化：通过调整多体系统的运动规律，我们可以优化系统的性能。

如调整连杆机构的运动曲线、改变驱动方式等。

4. 控制策略优化：合理的控制策略可以改善多体系统的动力学性能。

多体系统动力学-张云清

多体系统动力学华中科技大学CAD中心张云清2010-1-6机械系统动力学计算机辅助分析多体系统动力学机械束一．机械铰链与约束方程二．运动学分析基础三．平面多体系统运动学四空间多体系统运动学四．空间多体系统运动学五．动力学分析方程两种形式六．平面多体系统动力学多体系动学七．空间多体系统动力学2010-1-6机械系统动力学计算机辅助分析机械铰链与约束方程•坐标系的分类•坐标系的变换•基本约束•平面铰链•空间铰链•自由度2010-1-6机械系统动力学计算机辅助分析•大地坐标系—惯性坐标系地坐标系坐标系•刚体固连坐标系—质心固连坐标系-主轴固连坐标系•铰链坐标系—铰链标架•力元坐标系—力元标架2010-1-6机械系统动力学计算机辅助分析cos sin θθ−⎡⎤=⎢sin cos A θθ⎥⎣⎦2010-1-6机械系统动力学计算机辅助分析基本约束•垂直1型约束•垂直2型约束2010-1-6机械系统动力学计算机辅助分析基本约束•平行1型约束•2平行型约束2010-1-6机械系统动力学计算机辅助分析平面铰链•转动铰链(Revolute Joint)•(Translational(Prismatic)Joint)平移铰链(Translational(Prismatic) Joint)2010-1-6机械系统动力学计算机辅助分析空间铰链•Spherical Joint）球铰（S h i l J i t•圆柱铰链（Cylindrical Joint）•Prismatic Joint平移铰链（Prismatic Joint）•转动铰链（Revolute Joint）2010-1-6机械系统动力学计算机辅助分析空间铰链•万向节（Universal (Hooke)Joint）向节（U i l(H k)J i •螺旋铰链（Screw Joint）2010-1-6机械系统动力学计算机辅助分析自由度•平面机构自由度2010-1-6机械系统动力学计算机辅助分析自由度•空间机构自由度2010-1-6机械系统动力学计算机辅助分析运动学分析基础•位置、速度、加速度方程•铰链的约束方程•驱动约束的方程运动学分析的计算方•运动学分析的计算方法2010-1-6机械系统动力学计算机辅助分析位置、速度、加速度方程•平面问题位置、速度、加速度方程2010-1-6机械系统动力学计算机辅助分析位置速度加速度方程位置、速度、加速度方程•空间问题位置、速度、加速度方程2010-1-6机械系统动力学计算机辅助分析位置、速度、加速度方程位置速度加速度方程•空间问题位置、速度、加速度方程2010-1-6机械系统动力学计算机辅助分析铰链的约束方程•Ground Constraints•Revolute Joint•Prismatic Joint2010-1-6机械系统动力学计算机辅助分析铰链的约束方程•Prismatic Joint2010-1-6机械系统动力学计算机辅助分析驱动约束的方程2010-1-6机械系统动力学计算机辅助分析运动学分析的计算方法2010-1-6机械系统动力学计算机辅助分析运动学分析的计算方法2010-1-6机械系统动力学计算机辅助分析平面运动学分析例子2010-1-6机械系统动力学计算机辅助分析平面运动学分析例子2010-1-6机械系统动力学计算机辅助分析平面运动学分析例子2010-1-6机械系统动力学计算机辅助分析平面运动学分析例子2010-1-6机械系统动力学计算机辅助分析平面运动学分析例子2010-1-6机械系统动力学计算机辅助分析平面运动学分析例子2010-1-6机械系统动力学计算机辅助分析•两自由度平面机械臂运动学分析•平面曲柄滑块机构运动学分析2010-1-6机械系统动力学计算机辅助分析•空间曲柄连杆机构运动学分析•空间四连杆机构运动学分析2010-1-6机械系统动力学计算机辅助分析动力学分析方程两种形式•最大量坐标形式—DAE方程•---ODE最小量坐标形式ODE方程•开闭环问题的动力学方程2010-1-6机械系统动力学计算机辅助分析最大量坐标形式—DAE方程2010-1-6机械系统动力学计算机辅助分析最大量坐标形式—DAE方程DAE2010-1-6机械系统动力学计算机辅助分析最小量坐标形式---ODE 方程2010-1-6机械系统动力学计算机辅助分析ODE 最小量坐标形式---ODE 方程2010-1-6机械系统动力学计算机辅助分析ODE 最小量坐标形式---ODE 方程2010-1-6机械系统动力学计算机辅助分析开闭环问题的动力学方程2010-1-6机械系统动力学计算机辅助分析开闭环问题的动力学方程2010-1-6机械系统动力学计算机辅助分析开闭环问题的动力学方程2010-1-6机械系统动力学计算机辅助分析平面多体系统动力学平面刚体的广义惯性力平面刚体的动力学方程受约束的平面刚体系统动力学方程受束学2010-1-6机械系统动力学计算机辅助分析平面刚体的广义惯性力cos sin sin cos A θθθθ−⎡⎤=⎢⎥⎣⎦sin cos cos sin A θθθθθ−−⎡⎤=⎢⎥−⎣⎦2010-1-6机械系统动力学计算机辅助分析平面刚体的广义惯性力2010-1-6机械系统动力学计算机辅助分析平面刚体的广义惯性力2010-1-6机械系统动力学计算机辅助分析平面刚体的广义惯性力2010-1-6机械系统动力学计算机辅助分析平面刚体的广义惯性力-质心固连坐标系2010-1-6机械系统动力学计算机辅助分析平面刚体的动力学方程2010-1-6机械系统动力学计算机辅助分析受约束的平面刚体系统动力学方程2010-1-6机械系统动力学计算机辅助分析受约束的平面刚体的动力学方程2010-1-6机械系统动力学计算机辅助分析受约束的平面刚体的动力学方程2010-1-6机械系统动力学计算机辅助分析受约束的平面刚体的动力学方程2010-1-6机械系统动力学计算机辅助分析受约束的平面刚体的动力学方程2010-1-6机械系统动力学计算机辅助分析。

多体动力学仿真与虚拟机械样机技术_图文_图文

在经典力学中质点的质量是守恒的
第三定律（作用与反作用定律）
两个物体间相互作用的作用力和反作用力 总是大小相等、方向相反，沿着同一作用线同 时分别作用在这两个物体上。
以牛顿定律为基础所形成的力学理论称为 古典力学。
1.2 质点的运动微分方程 1. 矢量形式的质点运动微分方程
2. 质点运动微分方程在直角坐标轴上投影
CAD/CAM已普及（要求每个工程师必须掌握）
CAE在发达国家及一些大公司中利用CAE技术优化产品设计 以降低成本，缩短研发周期已达80%~95%
CAE 的应用已含盖机械工程的各个方面（包括运动分析，动 力学分析，强度及稳定性分析，液压传动分析，振动和噪声 的控制等）
CAE方面的专业人才短缺（包括发达国家）
ADAMS专用多体动力学分析软件
ADAMS，即机械系统动力学自动分析 (Automatic Dynamic Analysis of Mechanical Systems)，该软件是美国MDI公司(Mechanical Dynamics Inc.)开发的虚拟样机分析软件。是目前机 械系统动态仿真分析软件国际市场占有率最大的软件, 现已经并入美国MSC公司。
2 多体动力学仿真工具
Fortran语言编制的专用程序 FORTRAN，是英文“FORmula TRANslator”的
缩写，译为“公式翻译器”，它是世界上最早出现的计 算机高级程序设计语言，广泛应用于科学和工程计算 领域。FORTRAN语言以其特有的功能在数值、科学 和工程计算领域发挥着重要作用。
动力学 研究物体的机械运动与作用力之
间的关系。
1.1 动力学的三大基本定律
第一定律(惯性定律)
不受力作用的质点，将保持静止或作 匀速直线运动。

第2章 多体系统动力学



绝对坐标法：


3.2 柔性体离散化问题
柔性体本质上是无限自由度系统，为适应 计算机数值计算的要求，必须对柔性体进 行离散化，常用方法有：假设模态法、有 限段方法、有限元方法等。有限元法与模 态分析相结合是常用的方法，该方法将系 统的物理坐标变换为模态坐标，从而大大 降低了系统的自由度数目。
第2章
多体系统动力学
内容提要



多体系统概述 多体系统动力学的研究领域 多体系统动力学的几个基本问题 卫星帆板展开动力学仿真 ADAMS软件
1. 多体系统概述

1.1 概念
多体系统是对某类客观事物的高度抽象和概括， 这类系统都具有一个共同的特点，即它们都是通 过特定的关节（铰链）将诸多零（部）件－即所 谓的“体”联接起来的；因此我们把多体系统定 义为以一定的联接方式互相关联起来的多个物体 构成的系统，这些物体可以是刚体也可以是柔体。 如果多体系统中所有的体均为刚体，则称该系统 为多刚体系统；如果多体系统含有一个以上的柔 体，则称为柔性多体系统。
Spherical（球）
ADAMS的坐标系： ADAMS在坐标系的运用上总共有三种形式: a. 全局坐标系 也就是绝对坐标系，固定在地面（Ground Part）上，是ADAMS中所有零件的位置、 方向、速度的度量基准坐标系。 b. 零件的局部坐标系 也称零件坐标系。在建立零件的同时产生， 随零件一起运动，它在全局坐标系中的位 置和方向决定了零件在全局坐标系中的位 置和方向。


ADAMS软件使用交互式图形环境和零件库、约束 库、力库，创建完全参数化的机械系统几何模型， 其求解器采用多刚体系统动力学理论中的拉格郎 日方程方法，建立系统动力学方程，对虚拟机械 系统进行静力学、运动学和动力学分析，输出位 移、速度、加速度和反作用力曲线。ADAMS软件 的仿真可用于预测机械系统的性能、运动范围、 碰撞检测、峰值载荷以及计算有限元的输入载荷 等。 ADAMS一方面是虚拟样机分析的应用软件，用户 可以运用该软件非常方便地对虚拟机械系统进行 静力学、运动学和动力学分析。
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D ab

张量也是一些物理量的的抽象和概括，它可看成是矢 量的推广。二阶张量的最一般形式是两个矢量的不定 积之和。
D a1b1 a1b2 a1b3
a2b1 a2b2 a2b3 a3b1 a3b2 a3b3
张量的坐标阵

若矢量a与b在基[e]的坐标阵分别记为[a]与[b]， 则

共轭并矢：将并矢中两矢量交换次序得到的新 的并矢
ˆ D ba ˆ b a T D T D
并矢与其共轭并矢的坐标阵互为转置 张量阵：以张量为元素的矩阵称为张量阵

张量的运算（一）
如果两并矢在同一基上的坐标阵相等，
则称这两并矢相等；反之亦然 D G D G 标量与并矢的积仍为并矢 C aD 对应的坐标运算式为 C a D
两个并矢的和仍为并矢
C D G
C D G
张量的运算（二）
并矢与矢量的乘运算遵循乘法结合律和
分配律 c D d ab d a b d
c d D d ab d a b
C D d ab d a b d C d D d ab d a b

矢量在几何上可用一个带箭头的线段来描述，线段的 长度表示它的模，箭头在某一空间的指向为的它的方 向
1.2 矢量
基矢量
矢量的几何描述很难处理复杂的运算问
题，也不便于在计算机上表示。通常采 用比较多的是矢量的代数表达方法。 首先用三个正交的单位矢量e1、e2、e3构 成一个参考空间，称为矢量基或坐标系 这三个正交的单位矢量称为这个基的基 矢量
并矢与矢量基的选取无关，而并矢的坐标阵与 矢量基有关
张量

T
D11 D D 21 D31
I e e e1e1 e2 e2 e3e3
D12 D22 D32
D13 D23 D33
零张量：坐标阵为零矩阵的并矢 单位并矢I：坐标阵为单位阵的并矢
A A AAT AT A I
T
1
1.1.3 矩阵的导数
矩阵对时间的导数定义为
d dAij A t A dt dt mn
根据导数的基本性质，有如下运算关系
式
d A A A dt d A B A B dt d AB AB AB dt
D ab e a b e e D e
T T T

其中3×3的方阵[D]称为并矢D在基上的坐标阵， 具体表示形式为
D a b

T
a1b1 a2b1 a3b1
a1b2 a2b2 a3b2
a1b3 a2b3 a3b3
1 q , 2 q , , m q
T
i q q q j
mn
1.2 矢量
矢量的定义
矢量是一个具有方向与大小的量 矢量的大小称为模
模为1的矢量称为单位矢量
模为0的矢量称为零矢量
A
rb T

Abr
不同基下矢量坐标阵间的关系为
a r = Arb ab

方向余弦阵的行列式等于 1
det Arb = 1
1.2 矢量
矢量对时间的导数

矢量是一个客观存在的量，与矢量基的选取无关，但 是其坐标阵与矢量基有关。例如有两个不同的矢量基er 与eb。矢量a在这两个机上的坐标阵分别记为ar与ab， 则有
a a rT e r abTeb

r
矢量在基er对时间的导数
r d rT r d a a e dt dt r d rT r rd r rd r rT rT e r a r T e a e a e a dt dt dt
C D G
c Dd T c D d C D d C d D C DG
1.4 方向余弦阵
方向余弦阵的定义

两个不同的矢量基er与eb，定义如下的3×3方 阵为基eb关于基er的方向余弦阵
e e
r r 1
e
r 2
e
rb
r T 3

e e
b
b 1
e
b 2
e
b T 3

def e r bT A e
1.4 方向余弦阵
方向余弦阵的定义

两个不同的矢量基er与eb，定义如下的3×3方 阵为基eb关于基er的方向余弦阵
e e
r r 1
e
r 2
e
1.1.2 矩阵的相关性

线性相关 线性无关
A 0 0 A 0 0
AT 0 0 A 0 0
T
列（行）秩：最大的线性无关的列（行）阵的个数 满秩方阵（非奇异矩阵）：行（列）阵线性无关的方阵 逆矩阵 正交阵
AA1 A1 A I
矩阵对变量的偏导数

在多体系统的运动学和动力学分析中常常会碰到多个 变量的微分方程组与代数方程组，通常引入一n阶列阵 表示这组变量 T
q q1 , q2 , , qn

函数 f(q) 对变量阵 q 的偏导数定义为
f f fq q qi 1n

m 阶列阵对 q 的偏导数定义为
r
rd r d d rT r a a e a rT e a rTe r dt dt dt
1.3 并矢 二阶张量

矢量是自然界中存在的许多物理量（如力、速度等） 的数学概括。 两矢量 a 与 b 除了点积和叉积运算外，定义按顺序并 列的两个矢量（非点积亦非叉积）称为并矢或是二阶 张量。

基eb关于基er的方向余弦阵与基er关于基eb的方向余弦 阵互为转置 rb T A = e b e r T Abr


当两个基的基矢量的方向一致或重合时，则它们的方 向余弦阵为三阶单位阵 rr T A I3 若有三个基，er ，eb， es ，和方向余弦阵Ars ， Asb ， 则有 Arb = Ars Asb 此关系可推广到有
e r = Ars e s = Ars Asb e b
限个基的方向余弦 阵的转换
1.4 方向余弦阵
方向余弦阵的性质

方向余弦阵为一正交阵
A A A A
rr rb br
rb
A
rb T
= I3

A
rb 1
A
rb T

Abr
1.4 方向余弦阵
方向余弦阵的性质

方向余弦阵为一正交阵
1.4 方向余弦阵
方向余弦阵的性质

基eb关于基er的方向余弦阵与基er关于基eb的方向余弦 阵互为转置 rb T A = e b e r T Abr

当两个基的基矢量的方向一致或重合时，则它们的方 向余弦阵为三阶单位阵 rr T A I3
1.4 方向余弦阵
方向余弦阵的性质
第一章 数学基础 1.1 矩阵
由于运动学与动力学方程的矩阵表达式远比其 他形式的表达式简介，加上矩阵计算的规范性 以及适用于计算机编程的特点，在多体动力学 的建模计算中大多采用矩阵形式 矩阵的定义与运算 矩阵的相关性 矩阵的导数

1.1.1 矩阵的定义

矩阵、转置矩阵、零矩阵、方阵、对角阵、单 位阵 矩阵的迹：对角阵的对角元素的和 n trA Aii i 1 对称阵、反对称阵 A AT Aii 0 矩阵的推广：分块阵、准对角阵 行阵、列阵
e r Arbeb rb b r bT b r A e e e e I b e br r rb T r e A e A e
1.4 方向余弦阵
方向余弦阵的性质

基eb关于基er的方向余弦阵与基er关于基eb的方向余弦 阵互为转置 rb T A = e b e r T Abr
A A A A
rr rb br
rb
A
rb T
= I3

A

rb 1
A
rb T

Abr
不同基下矢量坐标阵间的关系为
a r = Arb a b
1.4 方向余弦阵
方向余弦阵的性质

方向余弦阵为一正交阵
A A A A
rr rb br
rb
A
rb T
= I3

A
e
b
b 1
e
b 2
e
b T 3

def e r bT A e
e1r e1b def rb e2 e1b A r r e3 e1b
b e1r e2 r b e2 e2 r b e3 e2
b e1r e3 r b e2 e3 r b e3 e3
方向余弦阵的3列 依次为基矢量ebj 在上er坐标阵
1.4 方向余弦阵
方向余弦阵的定义

两个不同的矢量基er与eb，定义如下的3×3方 阵为基eb关于基er的方向余弦阵
e e
r r 1
e
r 2
e
rb
r T 3

e e
b
b 1
e
b 2
e
b T 3

def e r bT A e