抽象函数形式

1第六讲 抽象函数所谓抽象函数，是指没有明确给出函数表达式，只给出它具有的某些特征或性质，并用一种符号表示的函数．抽象函数问题一般是根据所给的性质讨论函数的单调性、奇偶性、周期性及图象的对称性，或是求函数值、解析式等．抽象函数的处理方法主要是“赋值法”，利用变量代换解题．也常由抽象函数结构、性质，联想已学过的基本初等函数，再由相关函数的相关性质，预测、猜想抽象函数可能具有相关性质，并给出证明，这是使抽象函数问题获解的一种有效方法．例如由()()()f x y f x f y +=+联想及正比例函数()(0)f x kx k =≠；由()()()f x y f x f y b +=+-联想及一次函数()(0)f x kx b k =+≠；由()()()f x y f x f y +=联想及指数函数()(0,1)x f x a a a =>≠且；由()()()f x y f x f y =+联想及对数函数()log (0,1)a f x x a a =>≠且； 由()()()f x y f x f y =联想及幂函数()f x x α=，等等．1.函数,f g 均为实数集R 到R 上的非常值函数，且满足()()()()()()()()()()f x y f xg y g x f y g x y g x g y f x f y +=+⎧⎨+=-⎩ 求(0)f 与(0)g 的所有可能值．2.已知函数,f g 均在R 上有定义，对任意的,x y R ∈有()()()()()f x y f x g y g x f y -=-，且(1)0f ≠．（1）求证：()f x 为奇函数；（2）若(1)(2)f f =，求(1)(1)g g +-的值．3.已知函数()f x 的定义域为R ，且对,m n R ∈恒有()()()1f m n f m f n +=+-，且1()02f -=，当12x >-时，()0f x >．（1）求证：()f x 是R 上的单调递增函数；（2）试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证．4.设()f x 是定义在R 上的非常值函数，且对任意,x y 都有()()2[()()]f x y f x y f x f y ++-=+．（1）求(0)f 的值；（2）求证：()f x 是R 上的偶函数；（3）试举出具有这种性质2的一个函数，并加以验证．5.设定义在{0}D x x =≠上的函数()f x 满足()()()f xy f x f y =+．（1）求(1)f 的值；（2）判断并证明()f x 的奇偶性；（3）若(2)1f =，试给出一个满足题意的函数并加以验证．6.已知函数()(R y f x x =∈对任意实数,x y ，都有()()2(f x y f x y f x f y ++-=成立，且0(0)f ≠．（1）求(0)f 的值；（2）判断并证明()()R y f x x =∈的奇偶性；（3）若函数()()R y f x x =∈在[0,)+∞上单调递增，且(1)023f x a --≥+对任意的x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围．7.已知()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，当,[1,1]a b ∈-，且0a b +≠时，有()()0f a f b a b+>+．（1）判断()f x 的单调性，并给予证明；（2）若(1)1f =，且2()21f x m mb ≤-+对于所有的[1,1]x ∈-，[1,1]b ∈-恒成立，求实数m 的取值范围．8.定义在(1,1)-上的函数()f x 满足：①对任意,(1,1)x y ∈-，都有()()()1x y f x f y f xy++=+； ②当(1,0)x ∈-时，有()0f x >．（1）求证：函数()f x 是奇函数；（2）判断()f x 在(1,1)-上是否具有单调性，并加以证明；（3）设11a -<<，试求不等式1()()01f a f x+>-的解． 9.已知定义在(1,1)-上的函数()f x 满足：①,(1,1)x y ∀-∈，都有()()()1x y f x f y f xy++=+， ②当(0,1)x ∈时，()0f x <．（1）求(0)f ；（2）求证：,(1,1)x y ∀-∈，都有()()()1x y f x f y f xy--=-；（3）证明21111()()()()19297112f f f f n n +++>++，*n N ∈．310.设()f x 是定义在{0}D x x =≠上的奇函数，且在(0,)+∞上单调递增．（1）判断并证明()f x 在(,0)-∞内的单调性；（2）若(1)0f =，试解关于x 的方程2[log (1)1]0a f x -+=；（3）设0,0m n >>，()()()f mn f m f n =+，且(2)1f -=-，试解关于t 的不等式12log ()10f t +>．11.设定义在R 上的函数()f x 满足：①(0)0f =，(1)1f =-；②,R x y ∀∈都有()(1)()()2x y f a f x af y +=-+（a 为常数）． （1）求a 与(1)f -的值；（2）求证：,R x y ∀∈都有()()()f x y f x f y +=+；（3）若当0x >时，()0f x <，解关于x 的不等式2211()()()()22f bx f x f b x f b ->-，其中22b ≥．12.已知函数()f x 满足对任意的实数,x y 都有()()()1f x y f x f y xy +=+++，且(2)2f -=-，（1）求(1)f 的值；（2）证明：对一切大于1的正整数t ，恒有()f t t >；（3）试求方程()f t t =的整数解的个数，并说明理由．13.设函数()f x 是满足下列条件的函数： ①若x y >且()()f x x a f y y +≥≥+，则存在实数[,]z y x ∈，使得()f z a z =-； ②方程()0f x =至少有一个解，并在该方程的解中存在一个解不大于所有其他的解；③(0)1f =；④(1999)2000f -≤；⑤()()[()()]f x f y f xf y yf x xy =++．求(1999)f -的值．。

天津高考抽象函数知识点抽象函数是天津高考中的一个重要知识点，作为数学的一个基础概念，它对于学生的数学思维和问题解决能力有着深远的影响。

本文将从抽象函数的定义、性质以及在高考中的应用等方面进行论述和分析。

一、抽象函数的定义抽象函数是指一种将输入映射为输出的数学关系，它的具体定义可通过函数表达式、图像、数据等形式来表示。

在数学中，抽象函数通常用f(x)表示，其中x为自变量，f(x)为因变量。

抽象函数的定义域、值域以及各种性质是对应学习者所要掌握的基本内容。

二、抽象函数的性质1. 定义域与值域：抽象函数的定义域是指函数的输入值的集合，而值域则是函数输出值的集合。

在考试中，学生需要根据具体问题对抽象函数的定义域和值域进行判断和求解，注意排除不存在的值。

2. 奇偶性：抽象函数的奇偶性是指函数在自变量变为负数时是否保持不变。

对于奇函数，有f(-x)=-f(x)，即绕原点对称；对于偶函数，有f(-x)=f(x)，即轴对称。

3. 单调性：抽象函数的单调性是指函数在定义域内的取值随自变量的增减而增减的性质。

单调函数可以分为递增和递减两种，可以通过导数的正负性来判断函数的单调性。

4. 极值与最值：抽象函数的极值是指函数在定义域内取得的局部最大值或最小值，最值则是函数在整个定义域内取得的最大值和最小值。

为求得函数的极值和最值，需利用函数的导数和二次函数的特性进行分析。

三、抽象函数在高考中的应用1. 函数组成：抽象函数可以通过一系列的函数组成，从而形成新的函数。

高考中许多关于函数的复合、迭代以及函数方程的题目都需要运用抽象函数的概念和性质来解决。

2. 函数图像：抽象函数的图像可以通过绘制函数曲线来表示，其中包括函数的关键点、拐点、渐近线等信息。

在高考中，图像分析是一个重要的解题方法，学生需要根据图像的特点来解答相关问题。

3. 函数方程的解：抽象函数也常常用于求解函数方程。

通过对函数的定义域、值域等性质的分析，可以得到函数方程的解集及其特点。

抽象函数一、概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质。

二、常用结论：（1）周期：2、()()f x a f x b +=+ ⇔)(x f y =的周期为a b T -=3、)()(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2=4、)(1)(x f a x f =+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 5、)(1)(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2= （2）对称性：（一）函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）推论1：)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论2、)2()(x a f x f -= ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论3、)2()(x a f x f +=- ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、函数)(x f y =与()y f x =-图象关于X 轴对称；2、函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称；3、函数)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称函数；4、互为反函数)(x f y =与函数1()y f x -=图象关于直线y x =对称推论1:函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称推论2:函数)(x f y =与)2(x a f y -= 图象关于直线a x =对称推论3:函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称三、常见问题：（1）求定义域例1：已知函数)(2x f 的定义域是［1，2］，求)(x f 的定义域。

[抽象函数的定义域]抽象函数抽象函数篇一:论文有关抽象函数的全面探析抽象函数是一种重要的数学概念。

我们把没有给出具体解析式，其一般形式为y=f(某)，且无法用数字和字母的函数称为抽象函数。

由于抽象函数的问题通常将函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性和图像集于一身。

这类问题考查学生对数学符号语言的理解和接受能力、对一般和特殊关系的认识以及数学的综合能力。

解决抽象函数的问题要求学生基础知识扎实、抽象思维能力、综合应用数学能力较高。

所以近几年来高考题中不断出现，在2022年的全国各地高考试题中，抽象函数遍地开花。

但学生在解决这类问题时常常感到束手无策、力不从心。

下面通过例题全面探讨抽象函数主要考查的内容及其解法。

一、抽象函数的定义域例1已知函数f(某)的定义域为[1,3]，求出函数g(某)=f(某+a)+f(某-a)（a＞0）的定义域。

解析：由由a＞0知只有当0＜a＜1时，不等式组才有解，具体为{某|1+a＜某≤3-a；否则不等式组的解集为空集，这说明当且仅当0＜a＜1时，g(某)才能是某的函数，且其定义域为（1+a,3-a]。

点评：1.已知f(某)的定义域为[a,b]，则f[g(某)]的定义域由a≤g(某)≤b，解出某即可得解；2.已知f[g(某)]的定义域为[a,b]，则f(某)的定义域即是g(某)在某[a,b]上的值域。

二、抽象函数的值域解决抽象函数的值域问题——由定义域与对应法则决定。

例2若函数y=f(某+1)的值域为[-1，1]求y=(3某+2)的值域。

解析：因为函数y=f(3某+2)中的定义域与对应法则与函数y=f(某+1)的定义域与对应法则完全相同，故函数y=f(3某+2)的值域也为[-1，1]。

三、抽象函数的奇偶性四、抽象函数的对称性例3已知函数y=f(2某+1)是定义在R上的奇函数，函数y=g(某)的图像与函数y=f(某)的图像关于y=某对称,则g(某)+g(-某)的值为（）A、2B、0C、1D、不能确定解析：由y=f(2某+1)求得其反函数为y=，∵y=f(2某+1)是奇函数，∴y=也是奇函数，∴。

一、抽象函数常见问题：1、定义域（就是自变量x 取值范围）：整体替换，2、简单求值问题：主要就是赋值，主要赋值有0、1、2、-1、-23、综合问题（求值和解不等式）：一般2种方向：赋值和构造函数 其目的就是构造f(x)<f(m)或f(x)=f(n)的形式，从而达到去掉“马甲 ”f, 难题可以多次赋值，从而达到构造目的二、抽象函数单调性常见构造形式：1、f(x 1+x 2)=f(x 1)+f(x 2)构造为f(x 2)=f(x 2-x 1+x 1)=f(x 2-x 1）+f(x 1)即f(x 2)-f(x 1)=f(x 2-x 1）2、f(x 1)+f(x 2)=f(x 1+x 2)-a构造为f(x 2)-f(x 1)=f[(x 2-x 1)+x 1]-f(x 1)即f(x 2)-f(x 1)=f(x 2-x 1)+f(x 1)-f(x 1)-a3、f(x 1/x 2)=f(x 1)-f(x 2) 直接设x 1，x 2，函数直接作差即可4、f(x 1*x 2)=f(x 1)*f(x 2)构造为f(x 2)=f(x 2-x 1+x 1)=f(x 2-x 1)*f(x 1)即f(x 2)/f(x 1)=f(x 2-x 1)三、几个常见抽象函数的方程：(1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.(2)指数函数()x f x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.(3)对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠.f(x/y)=f(x)-f(y)(4)幂函数()f x x α=,'()()(),(1)f xy f x f y f α==.(5)余弦函数()c o f x x =,正弦函数()s i g x x =，()()()()()f x y f x f y g x g y -=+，0()(0)1,lim 1x g x f x →==.（6）正切函数f(x)=tanx,f(x+y)=(f(x)+f(y))/(1-f(x)f(y))或f(x-y)=(f(x)-f(y))/(1+f(x)f(y))。

从抽象函数形式看函数性质—— 抽象函数在周期性、对称性、奇偶性上的体现㈠周期性定义：任意I ，I ∈x 是定义域，都有=()(+T)，T f x f x 是非零常数。

则 ()f x 是周期函数，其周期是T 。

推广：①I ，∀∈x 都有),22(+)=(-T T f x f x 则()f x 是以T 为周期的周期函数。

②I ，∀∈x 都有()=()++f x A f x B ，A ，B 是常数，则()f x 是以｜｜-B A 为周期的周期函数。

下面给出证明：令,+=∴=-∴+=-+x A X x X A x B X A B 。

()()()∴=+-∴f X f X B A f x 是以｜｜-B A 为周期的周期函数。

另可发现规律：括号内两项之差为定值T ，周期T=定值。

③若存在非零常数T ，使()()0+-=f x T f x ，则()f x 是周期的周期函数。

联想：()()0++=f x T f x 是不是周期函数呢？事实上，若()（）+=-f x T f x 成立，则()（）+=-f x T f x ()()⎡⎤⎣⎦=---=-f x T f x T ， ()∴f x 是以2T 为周期的周期函数。

证明：11()=(),()1()()+==-∴-f x T f x T f x f x f x T 是以2T 为周期的周期函数。

1(),()()⑤若+=-∴f x T f x f x 是以2T 为周期的周期函数。

11()(),()1()()+=-=-=-∴--f x T f x T f x f x f x T 是以2T 为周期的周期函数。

证明：11()(),()1()()+=-=-=-∴--f x T f x T f x f x f x T 是以2T 为周期的周期函数。

㈡对称性①偶函数()f x 关于y 轴0=x 对称，()()。

-=f x f x②结论1：()f x 的图象关于=x a 对称()()⇔+=-f a x f a x证明：⇐对,0∀x 不妨令,00>x 在（,0）a 右侧0x 处，取+0,=x a x 对应纵坐标()10=+y f a x 。

抽象函数抽象函数,顾名思义,就是没有一个具体的函数表达式,通常题目只会给你一个函数关系式以及若干个条件,关系式也不外乎最典型的两种:F(x+y)=f(x)*f(y)F(x*y)=f(x)+f(y)这两种的区别在于左边的括号内,一个是加,一个是乘,这就决定了在证明其单调性的题目中,所用到的方法会不同,但总体思想是一样的,就是把一个字母用复杂一点的形式表现出来,比如说:m=m-n+n啦,m=n*(m/n)啦~再一个就是抽象函数会给出什么样的条件的问题①给关系式,这个是一定一定一定的②给某一个值所对应f(x)的值,比如说给你一个什么f(3)=1啦这样的③给你一个说什么当x>0时f(x)>0啊什么什么样的条件,要记住,这个条件往往是跟证明单调性挂钩的!切要切要..一.求某一个x所对应的f(x)的值这种题目的话,一般来讲不会用到上面说的第③的条件,但是会跟①②两个条件有个紧密的关系.一般来说像求值这种问题就是要反复带数进去试,但是也不能盲目地带,也需要考虑到题目本身给出的关系式的因素!先讲第一种: F(x+y)=f(x)*f(y)这种的话:1.如果求f(1)的值,那么就是让m+n=1或者m=0 n=1或者m=1 n=1总之,代进去的值要有目的性,要明确自己要求的是什么2.如果求的是f(0),可以让m=-n或者m=0 n=03.如果条件给你的是f(3)=1要求f(0)的值,那么很显然,另m=3 n=0然后求之,呃,应该可以明白吧?再来第二种: F(x*y)=f(x)+f(y)1:还是一样,如果要求f(1)的值,那么可以设m n互为相反数,当然如果题目有给一个说f(2)=1 f(1/2)=3那么就可以设m=2 n=1/2很简单吧..2.如果求的是f(0),那么可以让m=n=0或者m=0 n≠0(当然,这种情况就得针对题目的第③个条件与问题来看到底设n>0还是<03.如果条件给你有f(3)=2 f(4)=3要求f(12)的值,那么还是一样,设m=3n=2,再代进去,当然,题目不会那么简单,可能会有变动一下,比如说条件不给你f(4)=3而给你f(2)=4,二.证明某一结论一般来讲就是证明什么f(1)=0呀,f(x)在R上恒大于0啦,这么,主要的方法跟”一”的一样,但是需要特别申明的一点,这种如果是证明什么大于XXX或者小于XXX的题目很可能就是要用到③这个条件,需要谨慎考虑,就像已知在R上的函数f(x)同时满足下列两个条件⒈当x>0时,0<f(x)<1⒉对于任意的m.n有f(m+n)=f(m)·f(n)(1)求f(0)的值(2)证明，对一切x∈R都有f(x)>0(3)若不等式f(k+2t2)<f(4t+3)对一切的t∈(-∞,0)都成立,求k的范围三.求证单调性的问题.这种问题又得分为两种情况啦!但是最开始的步骤还是一样的!设:m>n(想要n>m也可以..)然后写f(m)-f(n)OK,到这儿就要开始分路啦,从这儿就要开始考虑到关系式的问题啦!第一种: F(x+y)=f(x)*f(y)括号里面的是”+”号,那么f(m)里面就要减一个n再加一个n不要问为什么哦,这是一种方法,没有为什么..咳也就是变成了f(m-n+n)-f(n)=f(m-n)*f(n)-f(n) (一般来讲,要把m-n归成一个部分,把m+n弄在一起没有意义)=[f(m-n)-1]*f(n)到了这一步,③这个条件就发挥作用啦,条件的话,肯定会给你一个当x<0啊x>0 f(x)>1还是<1，如果没有的话，那么就可能是你“二”里面证的结论要用上了然后接下去应该就很简单了吧??第二种:f(x*y)=f(x)+f(y)如果括号里是”*”号,那么f(m)里面就要除以一个n再乘以一个n意思就是变成了f[n*(m/n)]-f(n)=f(n)+f(m/n)-f(n) (在这儿需要把m/n放在一起~)=f(m/n)题目的条件肯定会告诉你一个当x>1时或者x<1时,f(x)的正负,那就OK,可以判啦~四.比较大小所涉及到的恒成立问题.纠正一个叙述的错误,那就是恒成立问题不会单独作为一个大题来考,而是一般会放在抽象函数的最后一题来考.这里所说的比较大小,其实很简单,归根结底还是要证出函数的单调性,比如说f(x 已经证明出来单调递增,如果是f(5k+4x)>f(3x2+7),让你求k的范围,那么不就是个不等式嘛~,即:5k+4x>3x2+7然后通过分离系数,弄成k>XXXXX或者是k<XXX的形式,那么不就很容易求的了嘛??..呵呵,已经没有什么题型啦,如果有特别诡异的..那么肯定也是第一次见,没法预料了..我把全部我找得到的卷子里面有抽象函数的,题型归纳了下,就这么几个大的方面~一.设函数y=f(x)定义在R上,当x>0时,f(x)>1,且对任意m,n有f(m+n)=f(m)*f(n), 且当m≠n时,f(m)≠f(n)1.求f(0)的值2.求f(x)的单调性二.已知函数f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,f(2)=1.当m,n∈[-2,2]且m+n≠0时,有1.证明f(x)在[-2,2]上单调递增2.解不等式:f(x+1/2)<f(3.若f(x)≤t2-2at+1对所有x∈[-2,2],a∈[-2,2]恒成立,求实数t的范围。

抽象函数与复合函数的应用①抽象函数的性质(定义域、单调性、奇偶性、周期性、对称性)②常见抽象函数模型①-一次函数、二次函数、反比例函数③常见抽象函数模型②-指对幂函数、三角函数④复合函数的应用一、必备知识整合一、抽象函数的性质1.周期性：f x +a =f x ⇒T =a ；f x +a =−f x ⇒T =2a ；f x +a =kf x⇒T =2a ；(k 为常数)；f x +a =f x +b ⇒T =a −b 2.对称性：对称轴：f a −x =f a +x 或者f 2a −x =f x ⇒f x 关于x =a 对称；对称中心：f a −x +f a +x =2b 或者f 2a −x +f x =2b ⇒f x 关于a ,b 对称；3.如果f x 同时关于x =a 对称，又关于b ,c 对称，则f x 的周期T =a −b 4.单调性与对称性(或奇偶性)结合解不等式问题①f x 在R 上是奇函数，且f x 单调递增⇒若解不等式f x 1 +f x 2 >0，则有x 1+x 2>0；f x 在R 上是奇函数，且f x 单调递减⇒若解不等式f x 1 +f x 2 >0，则有x 1+x 2<0；②f x 在R 上是偶函数，且f x 在0,+∞ 单调递增⇒若解不等式f x 1 >f x 2 ，则有x 1 >x 2 (不变号加绝对值)；f x 在R 上是偶函数，且f x 在0,+∞ 单调递减⇒若解不等式f x 1 >f x 2 ，则有x 1 <x 2 (变号加绝对值)；③f x 关于a ,b 对称，且f x 单调递增⇒若解不等式f x 1 +f x 2 >2b ，则有x 1+x 2>2a ；f x 关于a ,b 对称，且f x 单调递减⇒若解不等式f x 1 +f x 2 >2b ，则有x 1+x 2<2a ；④f x 关于x =a 对称，且f x 在a ,+∞ 单调递增⇒若解不等式f x 1 >f x 2 ，则有x 1−a >x 2−a (不变号加绝对值)；f x 关于x =a 对称，且f x 在a ,+∞ 单调递减⇒若解不等式f x 1 >f x 2 ，则有x 1−a <x 2−a (不变号加绝对值)；5.常见的特殊函数性质一览①f x =log a 1+mx 2±mx 是奇函数②f x =log ak −x k +x f x =log a k +xk −x(k 为常数)是奇函数③f x =1−a x 1+a x 或者f x =1+a x 1−a x 或者f x =a x +1a x −1或者f x =a x −1a x +1是奇函数④f x =m a x+1关于0,m2 对称⑤f g x 复合函数的奇偶性：有偶为偶，全奇为奇二、抽象函数的模型【反比例函数模型】反比例函数：f (x +y )=f (x )f (y )f (x )+f (y )，则f (x )=f (1)x ，x ,f (x ),f (y ),f (x +y )均不为0【一次函数模型】模型1：若f (x ±y )=f (x )±f (y )，则f (x )=f (1)x ；模型2：若f (x ±y )=f (x )±f (y )，则f (x )为奇函数；模型3：若f (x +y )=f (x )+f (y )+m ,则f (x )=f 1 +m x -m ；模型4：若f (x -y )=f (x )-f (y )+m ,则f (x )=f 1 -m x +m ；【指数函数模型】模型1：若f (x +y )=f (x )f (y )，则f (x )=[f (1)]x ；f (x )>0模型2：若f (x -y )=f (x )f (y )，则f (x )=[f (1)]x ；f (x )>0模型3：若f (x +y )=f (x )f (y )m ，则f (x )=f 1 mxm；模型4：若f (x -y )=m f (x )f (y )，则f (x )=m f 1 m x ；【对数函数模型】模型1：若f (x n )=nf (x )，则f (x )=f a log a x a >0且≠1,x >0模型2：若f (xy )=f (x )+f (y )，则f (x )=f a log a x a >0且≠1,x ,y >0模型3：若fxy=f(x)-f(y)，则f(x)=f a log a x a>0且≠1,x,y>0模型4：若f(xy)=f(x)+f(y)+m，则f(x)=f a +mlog a x-m a>0且≠1,x,y>0模型5：若fxy=f(x)-f(y)+m，则f(x)=f a -mlog a x+m a>0且≠1,x,y>0【幂函数模型】模型1：若f(xy)=f(x)f(y)，则f x =f a log a x a>0且≠1模型2：若fxy=f(x)f(y)，则f x =f a log a x a>0且≠1,y≠0,f y ≠0代入f a 则可化简为幂函数；【余弦函数模型】模型1：若f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)f(x)不恒为0，则f(x)=cos wx模型2：若f(x)+f(y)=2fx+y2f x-y2f(x)不恒为0，则f(x)=cos wx【正切函数模型】模型：若f(x±y)=f(x)±f(y)1∓f(x)f(y)f(x)f(y)≠1，则f(x)=tan wx模型3：若f(x+y)+f(x-y)=kf(x)f(y)f(x)不恒为0，则f(x)=2kcos wx三、复合函数1.复合函数定义：两个或两个以上的基本初等函数经过嵌套式复合成一个函数叫做复合函数。