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2019年新版小学六年级奥数经典讲义30课目录第一讲比较分数的大小............................................ - 2 - 第二讲巧求分数.................................................. - 4 - 第三讲分数运算的技巧............................................ - 8 - 第四讲循环小数与分数........................................... - 14 - 第五讲工程问题（一）........................................... - 17 - 第六讲工程问题（二）........................................... - 20 - 第七讲巧用单位“1”............................................ - 25 - 第八讲比和比例................................................. - 28 - 第九讲百分数................................................... - 33 - 第十讲商业中的数学............................................. - 36 - 第11讲圆与扇形................................................. - 39 - 第12讲圆柱与圆锥............................................... - 45 - 第13讲立体图形（一）........................................... - 48 - 第14讲立体图形（二）........................................... - 52 - 第15讲棋盘的覆盖............................................... - 57 - 第16讲找规律................................................... - 61 - 第17讲操作问题................................................. - 64 - 第18讲取整计算................................................. - 68 - 第19讲近似值与估算............................................. - 72 - 第20讲数值代入法............................................... - 76 - 第21讲枚举法................................................... - 79 - 第22讲列表法................................................... - 84 - 第23讲图解法................................................... - 88 - 第24讲时钟问题................................................. - 93 - 第25讲时间问题................................................. - 97 - 第26讲牛吃草问题.............................................. - 101 - 第27讲运筹学初步（一）........................................ - 105 - 第28讲运筹学初步（二）........................................ - 112 - 第29讲运筹学初步（三）........................................ - 119 - 第30讲趣题巧解................................................ - 124 -第一讲比较分数的大小同学们从一开始接触数学，就有比较数的大小问题。
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第13讲植树问题内容概述几何图形的设计与构造，本讲讲解一些有关的植树问题．典型问题1．今有10盆花要在平地上摆成5行，每行都通过4盆花．请你给出一种设计方案，画图时用点表示花，用直线表示行．【分析与解】如下图所示：2．今有9盆花要在平地上摆成10行，每行都通过3盆花．请你给出一种设计方案，画图时用点表示花，用直线表示行．【分析与解】如下图所示：3．今有10盆花要在平地上摆成10行，每行都通过3盆花．请你给出一种设计方案，画图时用点表示花，用直线表示行·【分析与解】如下图所示：4．今有20盆花要在平地上摆成18行，每行都通过4盆花．请你给出一种设计方案，画图时用点表示花，用直线表示行．【分析与解】如下图所示:5．今有20盆花要在平地上摆成20行，每行都通过4盆花．请你给出一种设计方案，画图时用点表示花，用直线表示行．【分析与解】如下图所示:第14讲数字谜综合内容概述各种具有相当难度、求解需要综合应用多方面知识的竖式、横式、数字及数阵图等类型的数字谜问题．典型问题1．ABCD表示一个四位数,EFG表示一个三位数,A，B，C，D，E，F,G代表1至9中的不同的数字．已知ABCD+EFG=1993,问：乘积ABCD×EFG的最大值与最小值相差多少?【分析与解】因为两个数的和一定时，两个数越紧接，乘积越大；两个数的差越大，乘积越小．A显然只能为1，则BCD+EFG=993，当ABCD与EFG的积最大时，ABCD、EFG最接近,则BCD尽可能小，EFG尽可能大，有BCD最小为234，对应EFG为759，所以有1234×759是满足条件的最大乘积;当ABCD与EFG的积最小时，ABCD、EFG差最大，则BCD尽可能大，EFG尽可能小,有EFG最小为234，对应BCD为759，所以有1759×234是满足条件的最小乘积;它们的差为1234×759-1759×234=(1000+234)×759一(1000+759)×234=1000×（759—234)=525000．2。
第一周定义新运算【名言警语】天才因为累积，聪慧在于勤劳。
——华罗庚【知识点精讲】一、什么是定义新运算？定义新运算指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算。
二、怎么解答定义新运算？解答这种题重点是要正确地理解新定义的算式含义，而后严格依据新定义的计算程式，将数值代入，转变为惯例的四则运算算式进行计算。
定义新运算是一种特别设计的运算形式，它使用的是一些特别的运算符号，如* 、△、▽、⊙、等，这是与四则运算中“＋、－、×、÷”不一样。
新定义运算式中有括号的，要先算括号里面的。
但它在没有转变前，是不合适于各样运算定律的。
例 1、假定a* b=(a＋b)＋(a-b),求 13*5 和 13* （ 5*4 ）。
【贯通融会】1、设a*b=(a+b)×(a-b)，求 27*9 。
2、设a*b=a2+2b, 求 10*6 和 5*(2*8)。
3、设a* b=3a－b×1，求（ 25*12 ） * （ 10*5 ）。
2例 2、设p、q是两个数，规定：p△q=4×q－(p＋q)÷2。
求3△（4△6）【贯通融会】1、设p、q是两个数，规定：p △q=4 ×q－(p ＋q) ÷2。
求 5 △（ 6△4）。
2、设p、q是两个数，规定：p △q=p 2＋(p －q) ×2。
求 30△（ 5△3）。
3、设M、N是两个数，规定：M *N M N，求10 *20－1。
N M4例 3、假如 1 * 5 1 11 1111111，222222，11111 2 * 422223 * 3333333，4* 2444，那么7* 4；210*2。
【一反三】1、假如 1 * 51111111111， 2 *4222 2222222，111113 * 3333333 ，⋯那么4 * 4。
2、定a*b a aa aaa aa a ，那么 8 * 5。
（b-1 ）个 a3、假如2* 111，4* 31，那么(6 * 3)( 2 *6)， 3 *2444。
发车间隔、接送和扶梯问题知识框架一、发车间隔间隔发车问题，只靠空间理想象解稍显困难，证明过程对快速解题没有帮助，但是一旦掌握了3个基本方法，一般问题都可以迎刃而解。
在班车里——即柳卡问题不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间——距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。
如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。
在班车外——联立3个基本公式好使（1）汽车间距=（汽车速度+行人速度）×相遇事件时间间隔（2）汽车间距=（汽车速度-行人速度）×追及事件时间间隔（3）汽车间距=汽车速度×汽车发车时间间隔综上总结发车问题可以总结为如下技巧（1）、一般间隔发车问题。
用3个公式迅速作答；（2）、求到达目的地后相遇和追及的公共汽车的辆数。
标准方法是：画图——尽可能多的列3个好使公式——结合s全程＝v×t-结合植树问题数数。
（3）当出现多次相遇和追及问题——柳卡二、接送问题校车问题——行走过程描述队伍多，校车少，校车来回接送，队伍不断步行和坐车，最终同时到达目的地，即到达目的地的最短时间，不要求证明。
常见接送问题类型根据校车速度（来回不同）、班级速度（不同班不同速）、班数是否变化分类为四种常见题型：（1）车速不变-班速不变-班数2个（最常见）（2）车速不变-班速不变-班数多个（3）车速不变-班速变-班数2个（4）车速变-班速不变-班数2个标准解法：画图＋列3个式子1、总时间=一个队伍坐车的时间+这个队伍步行的时间；2、班车走的总路程；3、一个队伍步行的时间=班车同时出发后回来接它的时间。
三、扶梯问题1、当人顺着扶梯的运动方向走台阶时，相当与流水行船中的“顺水行驶”，这里的水速就是扶梯自身的台阶运行速度。
有：人的速度+扶梯速度=人在扶梯上的实际速度扶梯静止可见台阶总数=时间×人速+时间×扶梯速=人走的台阶数+扶梯自动运行的台阶数2、当人沿着扶梯逆行时，有：人的速度-扶梯速度=人在扶梯上的实际速度扶梯静止可见台阶总数=时间×人速-时间×扶梯速=人走的台阶数-扶梯自动运行的台阶数。
【益智教育】小学三、四、五年级奥数辅导讲座（华罗庚版）【益智教育】
小学三、四、五年级奥数辅导讲座
（华罗庚版）
三年级上第一讲：加法和乘法
三年级上第二讲：找规律 1
三年级上第三讲：找规律 2
三年级上第四讲：填算式—数字谜 1
三年级上第五讲：巧算 1
三年级上第六讲：巧添运算符号
三年级上第七讲：幻方和数阵图 1
三年级上第八讲：数图形—计数问题 1
三年级上第九讲：和倍问题
三年级上第十讲：差倍问题
三年级上第十一讲：和差问题
三年级上第十二讲：巧求图形的周长—图形计算1四年级上第一讲：加法原理和乘法原理—计数问题 2四年级上第二讲：等差数列—数列 1
四年级上第三讲：最大与最小
四年级上第四讲：包含与排除 1
四年级上第五讲：尾数的规律
四年级上第六讲：数字谜 3
四年级上第七讲：利用对应差求未知数
四年级上第八讲：盈亏问题
四年级上第九讲：鸡兔同笼问题
四年级上第十讲：行程问题 1
四年级上第十一讲：新定义的运算
四年级上第十二讲：长、正方形的面积—图形计算 2五年级上第一讲：数列规律的应用—找规律 4
五年级上第二讲：等差数列求和的应用—数列 2
五年级上第三讲：包含与排除 3
五年级上第四讲：小数的巧算—巧算4
五年级上第五讲：行程问题 4
五年级上第六讲：牛吃草的问题
五年级上第七讲：行程问题 3
五年级上第八讲：平面图形的面积 2
五年级上第九讲：图形的计算 3
五年级上第十讲：数的进位制 2
五年级上第十一讲：简单抽屉原理 1
五年级上第十二讲：简单的统筹规划问题。
第1讲 计算综合（一）繁分数的运算，涉及分数与小数的定义新运算问题，综合性较强的计算问题． 1．繁分数的运算必须注意多级分数的处理，如下所示：甚至可以简单地说：“先算短分数线的，后算长分数线的”．找到最长的分数线，将其上视为分子，其下视为分母．2．一般情况下进行分数的乘、除运算使用真分数或假分数，而不使用带分数．所以需将带分数化为假分数．3．某些时候将分数线视为除号，可使繁分数的运算更加直观． 4．对于定义新运算，我们只需按题中的定义进行运算即可．5．本讲要求大家对分数运算有很好的掌握，可参阅《思维导引详解》五年级 [第1讲 循环小数与分数]．1．计算：711471826213581333416⨯+⨯-÷ 【分析与解】原式=7123723174612241488128131233+⨯=⨯=-2．计算：【分析与解】 注意，作为被除数的这个繁分数的分子、分母均含有5199．于是，我们想到改变运算顺序，如果分子与分母在5199后的两个数字的运算结果一致，那么作为被除数的这个繁分数的值为1；如果不一致，也不会增加我们的计算量．所以我们决定改变作为被除数的繁分数的运算顺序． 而作为除数的繁分数，我们注意两个加数的分母相似，于是统一通分为1995×0.5． 具体过程如下：原式=5919(3 5.22)19930.41.6910()52719950.5199519(6 5.22)950+-⨯÷+⨯-+=5191.3219930.440.40.59()519950.419950.5191.329-⨯⨯⨯÷+⨯⨯-=199320.41()19950.5+÷⨯=0.410.5÷=1143．计算：1111111987-+-【分析与解】原式=11198711986-+=198613973-=198739734．计算：已知=181111+12+1x+4=，则x 等于多少? 【分析与解】方法一：1118x 68114x 112x 7111+11148x 62+214x 1x+4+====+++++++交叉相乘有88x+66=96x+56，x=1．25． 方法二：有11131118821x 4+==+++，所以18222133x 4+==++；所以13x 42+=，那么x =1.25．5．求944,43,443,...,44...43 个这10个数的和．【分析与解】方法一：944+43+443...44...43++ 个= 1044(441)(4441)...(44...41)+-+-++-个= 104444444...44...49++++-个=1094(999999...999...9)99⨯++++- 个 =1004[(101)(1001)(10001)...(1000...01)]99⨯-+-+-++-- 个 =914111.1009=49382715919⨯- 个.方法二：先计算这10个数的个位数字和为39+4=31⨯；再计算这10个数的十位数字和为4×9=36，加上个位的进位的3，为36339+=； 再计算这10个数的百位数字和为4×8=32，加上十位的进位的3，为32335+=； 再计算这10个数的千位数字和为4×7=28，加上百位的进位的3，为28331+=； 再计算这10个数的万位数字和为4×6=24，加上千位的进位的3，为24327+=； 再计算这10个数的十万位数字和为4×5=20，加上万位的进位的2，为20222+=； 再计算这10个数的百万位数字和为4×4=16，加上十万位的进位的2，为16218+=； 再计算这10个数的千万位数字和为4×3=12，加上百万位的进位的1，为12113+=； 再计算这10个数的亿位数字和为4×2=8，加上千万位的进位的1，为819+=；最后计算这10个数的十亿位数字和为4×1=4，加上亿位上没有进位，即为4． 所以，这10个数的和为4938271591．6.如图1-1，每一线段的端点上两数之和算作线段的长度，那么图中6条线段的长度之和是多少?【分析与解】 因为每个端点均有三条线段通过，所以这6条线段的长度之和为： 1173(0.60.875)1+0.75+1.8+2.625=6.175=63440⨯+++=7.我们规定，符号“○”表示选择两数中较大数的运算，例如：3．5○2.9=2.9○3.5=3.5．符号“△”表示选择两数中较小数的运算，例如：3.5△2.9=2.9△3.5=2.9．请计算：23155(0.625)(0.4)333841235(0.3)( 2.25)3104⨯+【分析与解】原式1550.6255155725384218384122562.253⨯=⨯÷=+8．规定（3）=2×3×4，（4）=3×4×5，(5)=4×5×6，(10)=9×10×11，…．如果111(16)(17)(17)-=⨯，那么方框内应填的数是多少? 【分析与解】111(17)()1(16)(17)(17)(16)=-÷=-=161718111516175⨯⨯-=⨯⨯.9．从和式11111124681012+++++中必须去掉哪两个分数，才能使得余下的分数之和等于1? 【分析与解】 因为1116124+=，所以12,14,16,112的和为l ，因此应去掉18与110.10．如图1-2排列在一个圆圈上10个数按顺时针次序可以组成许多个整数部分是一位的循环小数，例如1.892915929．那么在所有这种数中。
本系列共14讲第四讲奇妙的方格表.文档贡献者：与你的缘方格表是人们最熟悉最简单的图形之一，但这个简单的图形却可以说是一个广阔的数学天地，其中包含着许许多多奇妙的数学问题．许多问题看起来非常简单非常有趣，但却要用到许多数学方法，蕴含着许多深刻的道理．这些方法和道理在我们以后的学习中将经常用到。
一、计数问题例1下图中共有多少个矩形？分析如果直接数，很容易遗漏或者重复．为了避免遗漏或重复，可以将图形中的各种矩形按形状大小分类，分别计数后再相加．在分类计数中如果能发现规律，那就更简单了。
解法1：在已知的方格表中，“□”共有5×3=15个，“□□”共有4×3=12个，“□□□”共有3×3＝9个，…如此进行下去，把各类矩形的个数相加，可得矩形总数为90个。
解法2：将各类矩形列出表来（如下页图），分析各类矩形个数的算式，很容易发现规律，于是可得矩形总个数为：（1＋2+3＋4+5）×（3＋2＋1）=90个。
例2在上页的方格表中，共有几个形（含有3个小方格的拐，也可以是或或）？分析不妨称形为L形。
容易看出，在每个由4个小方格组成的正方形中都含有4个L形．因此为了求L形的个数，只需先求“田”字形的个数。
解：在上页的方格表的第1、2行中含有“田”字形4个，第2、3行中也含4个，共有“田”字形8个，每个“田”字形对应4个L形，因此共有L形4×8=32个。
说明：计数最基本的方法是分类讨论．如果在分类讨论中发现规律，就可以改进算法．例2中的计数方法利用了对应的思想。
当直接计算某一事物的个数有困难时，往往可以先转化成计算另一事物的个数，然后再研究这两种事物之间的对应关系，例如在3×5的方格表中计算形的个数，可以先计算2×3的矩形共有多少个，然后由每个2×3的矩形中都含有4个形，于是就能算出形的总个数，共有10×4=40个。
在例1中计算矩形个数还有一些更高明的方法，这些方法将在中学里学到。
通用版六年级奥数专项精品讲义及常考易错题汇编计数问题-烙饼问题【知识点归纳】1．烙饼问题公式：总时间=饼数×2÷每锅的可烙的数量×烙每面的时间当时间算出来不为整数时，采用进一法取近似数．如饼数为4，每一锅的只数为3时，根据公式，4×2÷3×1约=3分2．深层意义：烙饼问题只是一种数学思考的方法．其实这种合理安排时间的问题，就是“优化问题”，也是被数学家华罗庚称作“运筹安排”的问题．【常考题型】例1：用一只平底锅煎饼，每次只能同时煎两张饼．如果煎一张饼需4分钟（正反面各需2分钟），那么煎5张饼至少需要10分钟．分析：5÷2=2（组）…1（张），那么就要煎6次共需2×6=12（分钟），最后一次只煎1张饼，浪费了时间．第一次先煎2张饼，剩下的3张饼可以这样煎：先煎2张的正面；煎熟后拿出第一张，放入第三张，煎第二张的反面和第三张的正面；煎熟后第二张就熟了，再煎第一张和第三张的反面解：前2张煎2面，用时间4分钟．剩下3张假设为①、②、③：第一次：放①的正面和②的正面，第二次：放①的反面和③的正面，第三次：放②的反面和③的反面，共用2×3=6（分钟）．全部时间：4+6═10（分钟）；答：煎5只饼至少需要10分钟．故答案为：10点评：解决此类问题的方法是使效率最大化，即锅能放满就尽量放满，不做无用工．一．选择题1．用平底锅烙饼，每次最多烙2张，两面都要烙，烙好每面需要2分钟，烙好7张饼最少需要()分钟．A．9B．14C．16D．182．妈妈烙饼，每次最多能烙2张饼，两面都要烙，每面4分钟．烙5张饼，最快要()分钟就能吃上饼．A．20B．30C．403．妈妈烙鸡蛋饼，每次只能烙2张鸡蛋饼，两面都要烙，每面需2分钟，烙5张饼，最少需要()分钟A．7B．8C．9D．104．小丽帮妈妈烙饼，每次烙3张饼，两面都要烙．每烙一面要4分钟，烙9张饼最少要()分钟．A．24B．9C．12D．185．一口锅每次只能烙2张饼，两面都要烙，每面要2分钟．烙3张饼要()分钟．A．3B．4C．5D．66．用一个平底锅煎鸡蛋，每次最多煎两个鸡蛋，每个鸡蛋要煎两面，每煎一面需2分钟．煎3个鸡蛋至少需要()分钟．A．6B．8C．9D．127．用一只平底锅煎饼，每次只能放2张饼，煎一张饼需要3分钟（正反面各要1.5分钟），煎3张饼至少需要()分钟．A．9B．6C．4.58．用一只平底锅烙饼，每次只能烙两张饼，两面都要烙，每面1分钟，烙3张饼最少需()分钟．A．6B．3C．49．用一只平底锅煎饼，每次只能放4张饼，煎熟一张饼要4分钟（正反面各2分钟），煎6张饼至少需要()分钟．A．6B．12C．2410．小丽帮妈妈烙饼，每次烙2张饼，两面都要烙．每烙一面要3分钟，烙3张饼最少要()分钟．A．6B．9C．12D．18二．填空题11．一个锅里最多烙2张饼，烙一面要2分钟，烙6张饼至少要分钟。
第四讲奇妙的方格表
方格表是人们最熟悉最简单的图形之一，但这个简单的图形却可以说是一个广阔的数学天地，其中包含着许许多多奇妙的数学问题．许多问题看起来非常简单非常有趣，但却要用到许多数学方法，蕴含着许多深刻的道理．这些方法和道理在我们以后的学习中将经常用到．
一、计数问题
例1下图中共有多少个矩形？
分析如果直接数，很容易遗漏或者重复．为了避免遗漏或重复，可以将图形中的各种矩形按形状大小分类，分别计数后再相加．在分类计数中如果能发现规律，那就更简单了．解法1：在已知的方格表中，“□”共有5×3=15个，“□□”共有4×3=12个，“□□□”共有3×3＝9个，…如此进行下去，把各类矩形的个数相加，可得矩形总数为90个．
解法2：将各类矩形列出表来（如下页图），分析各类矩形个数的算式，很容易发现规律，于是可得矩形总个数为：（1＋2+3＋4+5）×（3＋2＋1）=90个．
格组成的正方形中都含有4个L形．因此为了求L形的个数，只需先求“田”字形的个数．
解：在上页的方格表的第1、2行中含有“田”字形4个，第2、3行中也含4个，共有“田”字形8个，每个“田”字形对应4个L形，因此共有L形4×8=32个．
说明：计数最基本的方法是分类讨论．如果在分类讨论中发现规律，就可以改进算法．例2中的计数方法利用了对应的思想．当直接计算某一事物的个数有困难时，往往可以先转化
成计算另一事物的个数，然后再研究这两个数，可以先计算2×3的矩形共有多少个，
然后由每个2×3的矩形中都10×4=40个．在例1中计算矩形个数还有一些更高明的方法，这些方法将在中学里学到．
8×8的方格表，结果如何？
解：如图，在4×4的方格表中放下3个L形，即不能再放下一个L形了．
如果只放了两个L形，那么可以证明总还能再放下一个L形．因为每个“田”字形内至少盖住两格后才不再能放下L形，而4×4的方格表中共有4个不相重叠的“田”字形，至少应盖住2×4=8格后，才不再能放一个L形，如果只放了两个L形，仅仅盖住6格，所以总还能再放一个L形．
从以上两步，可以看出4×4的方格表中至少放上3个L形后，才能使这一表中不再能放下一个L形．
在6×6的方格表中有9个不相重叠的“田”字形，每个“田”字形至少盖住两格，才不再能放下一个L形，这样至少应盖住18格，也就是至少要放上6个L形．如右图，已放了6
个L形，确实已不能再放下一个L形了，因此6个是最少的数目．
用同样的方法可以得到在8×8的方格表中至少放上11个L形后，就不再能放下一个L 形了．
二、染色方法
染色方法实际上是一种分类方法，不过对有些问题来说，通过染色能使问题比较直观，解决起来更方便．
例4如图是半张象棋盘，一只马能否从A处出发，跳遍半张象棋盘而使每个格点只经过一次？
解：把半张象棋盘的格点（共45个）相间地涂上黑、白两色（黑色用“×”表示，如图共有22个黑点，23个白点．按照马走步的规则，每步走“日”字的对角线，不论马在何处也不论往哪个方向跳，起点和终点的颜色总是不同的．由于A处是黑格点，如果马从A处出发跳遍每个格点且每个格点只经过一次，那么需经过21个黑点，23个白点，黑、白格点数相差2，故这样的走法是不可能的．
例5正方体形的房子共分27个小房间，每相邻两个房间都有门相通（上、下两间也有门相通）．每个房间里都有一块奶酪，右下角的房间有一门通向外面．一只耗子从最中间的房间出发，想走遍各个房间，且每个房间只经过一次，最后从右下角出来，这样是可否能？如果可能，该怎么走？
解：将27个小正方体相间染成黑、白两色（如图），共13个房黑间，14个白房间，中间房间是黑色．如果从中间房间出发，每个房间经过一次，共需经过12个黑房间（除中间房间外）、14个白房间．但是与黑房间相邻的都是白房间，与白房间相邻的都是黑房间，路线只能是：黑—白—黑—白…这是不可能实现的．
如果改从任一个（不是右下角的）白房间出发，就能达到目的．请自己设计路线．
三、抽屉原理
例6能否在8×8的方格表的每个方格中写上0、1、2中的一个数，使每行、每列以及两条对角线上各数之和都互不相等？
解：8行、8列及两条对角线共有18个和数，将这18个和数作为“苹果”．8个数（每个数是0、1、2中的一个）的和最小是0，最大是16，共有17种不同的和，将这17个不同的和作为“抽屉”．根据抽屉原理，必有一个“抽屉”中存在2个或2个以上的“苹果”，这就是说，在18个和数中至少有2个相等，不可能都互不相等．
例7在5×5的方格表中，任意挖去一个方格后，是否总能用8个
解法1：如右图，将5×5的方格表挖去一格（阴影）后，剩下的24住a格，需要用一个L形盖住a、d、e或a、b、c三格，由于两边对称，不妨设盖住a、b、c三格，这样，x格就不可能被任何一个L形盖住（否则就重叠了），所以这24格不可能被完全盖住．
解法2：如图，标上“×”的格共有9个，如果挖去的一格不是标上“×”的格，那么剩下的24格不可能被8个L形盖住．这是因为任意两个“×”格不可能被同一个L形盖住，这9个“×”格若都能被盖住，至少需要9个L形，因此不能用8个L形盖住剩下的24格．说明：解法1虽然很简单，但要想到这种解法，需要做多次试验（当挖去的一格在某些位置时，题目的要求是可以成立的）．解法2实际上用了抽屉原理，“×”格看作“苹果”，8个L形看成“抽屉”．用抽屉原理的关键是要设计好“抽屉”和“苹果”．
四、分类、试验、递推、寻求规律
例8在4×4的方格表中任意挖去一格，是否总能用5个
分析对于4×4的方格表，由挖去一格的位置不同，可分三种情况讨论．这种分类讨论的方法，对于4×4的方格表来说，由于试验次数较少，还比较容易得到结论．但对于8×8的方格表，需要分10种情况，分别去试验；对于16×16的方格表，则需要分36种情况．对于每种情况，由于表格较大，试验起来也很繁琐．如果运用数学上称为“递推”的方法，问题就简单得多了，不仅能轻易地解决8×8、16×16的方格表的问题，还能解决32×32、64×64、…等方格表中的类似问题．
解法1：对于4×4的方格表，由挖去一格的不同位置，可分三种情况，每种情况都能运用5个L形盖住，因此在4×4的方格表中任意挖去一格，总能用5个L形盖住（如下图）．
对于8×8及16×16的方格表，由于分类情况较多，这里从略．
解法2：先考虑2×2的方格表，任意挖去一格，剩下3格总是恰好能用1个L形盖住．对于4×4的方格表，挖去的一格总在某个角上的2×2小方格表内，不妨设在左上角，那么左上角的2×2小方格表中剩下3格能用1个L形盖住．在右上、右下、左下的3个2×2方格表中，先各挖去靠中间的一格（如图），剩下的各能用1个L形盖住，而挖去的3格也恰能用1个L形盖住．
对于8×8的方格表，挖去的一格总在某个角上的4×4方格表内，不妨设在左上角，那么左上角剩下的部分总能用5个L形盖住．在右上、右下、左下的3个4×4方格表中，先各挖去靠中央的一格（如右图），由上述结论，各4×4方格表中剩下部分总能分别用5个L形盖住．而挖去的3格也恰能用1个L形盖住，所以，8×8方格表中任意挖去一格，总能用21个L 形完全盖住．
同样，对于16×16的方格表，任意挖去一格后，总可以用85个L形完全盖住．
例9在一个6×6的方格表中，任选5个方格涂黑，然后再逐步将凡是与两个或两个以上
黑格相邻的方格涂黑，不断按这个法则做下去，证明：无论怎样选择最初的5个方格，都不可能按这样的法则将所有方格全部涂黑．
分析先试验一下，在上图的方格表中选5格涂黑，然后按给定法则涂黑另一些格，直到上图（4），已无法再将其余的方格涂黑．如果改变最初5格的位置，虽然最后涂黑的部分会不同，但都不能将所有方格全部涂黑．为了证明这一结论，如果将最初5格的不同位置一一列举出来，再逐个证明，当然也是可以的（这种方法叫枚举法），不过过于繁琐．因此，应该在试验中寻求规律，不被表面现象迷惑．
证明：考虑涂黑过程中黑色区域的周界总长度．设小方格的边长为1，则开始有5个黑格，黑色区域总长度不大于20．按照题设的涂黑法则，每格在涂黑前后，黑色区域的周界不会变长（此方格至少有两边是原来黑色区域的周界，当此格涂黑后，这两边已不再是边界，而另两边可能成为边界）．如果能将所有方格都涂黑，那么黑色边界的总长度应为24，由以上分析，这是不可能的，因此，无论怎样选择最初的5个方格，都不可能按照题设的法则将全部方格涂黑．。
