数学第三章3.1.2空间向量的数乘运算随堂自测与课后作业(人教A版选修2-1)

空间向量的数乘运算课时目标.掌握空间向量数乘运算的定义和运算律，了解共线(平行)向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法.能理解共线向量定理和共面向量定理及其推论，并能运用它们证明空间向量的共线和共面的问题．．空间向量的数乘运算()向量的数乘：实数λ与空间向量的乘积仍然是一个向量，记作，称为向量的数乘运算．当λ>时，λ与向量方向；当λ<时，λ与向量方向；λ的长度是的长度的倍．()空间向量的数乘运算满足分配律与结合律．分配律：；结合律：.．共线向量()共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相或，则这些向量叫做共线向量或平行向量．()对空间任意两个向量、(≠)，∥的充要条件是．()方向向量：如图为经过已知点且平行于已知非零向量的直线，对空间任意一点，点在直线上的充要条件是存在实数，使，其中向量叫做直线的方向向量．．共面向量()共面向量：平行于的向量，叫做共面向量．()如果两个向量、不共线，那么向量与向量、共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(，)，使．空间内一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对(，)，使．对空间任意一点，点在平面内的充要条件是存在有序实数对(，)，使．一、选择题．下列命题中正确的是()．若与共线，与共线，则与共线．向量，，共面，即它们所在的直线共面．零向量没有确定的方向．若∥，则存在唯一的实数λ，使＝λ．满足下列条件，能说明空间不重合的、、三点共线的是()＋＝－＝＝＝.如图，空间四边形中，、分别是、的中点，点在线段上，且，则OG＋＋，则()．＝，＝，＝．＝，＝，＝．＝，＝，＝．＝，＝，＝．在下列条件中，使与、、一定共面的是().OM＝－－.OM＝＋＋.MA＋＋＝.OM＋＋＋＝D A，，是().在平行六面体－中，向量1．有相同起点的向量．等长向量．共面向量．不共面向量．下列命题中是真命题的是()．分别表示空间向量的两条有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量．若＝，则，的长度相等而方向相同或相反。

第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算3.1.2 空间向量的数乘运算A级基础巩固一、选择题1．下列命题中正确的是( )abbcac共线．共线，与与A．若与共线，则abc共面，即它们所在的直线共面． B．向量，，C．零向量没有确定的方向．abab. λ∥＝，则存在唯一的实数λD．若，使答案：C22eaeeeeeμ＋∈R，且λλ＋μ2．已知两非零向量λ，(，且与，不共线，设μ＝222111)≠0)，则(eaae B．∥．A ∥21eea共面 C．D与、．以上三种情况皆有可能21C答案：aaabmbnabp) ，则，( ＝3．若＝与－不共线，且＝＋，pmpmn与B，共线．A．共线，ppmnn D．，．，与共线共面C ababamnp，2，即＋( －＋)＝2解析：由于(＋＝)11pmnmnmnp共面．，＋，又，与即不共线，所以＝22答案：D4．下列命题中，不正确的命题个数为( )→→→→ABBCCDDA＝0＋＋；＋①ababab共线的充要条件；，|是||－| |＝|＋②abab所在的直线在同一平面内；、共面，则③若、→→→11OPOAOBPAB三点共线．，则、、④若＝＋23A．1 B．2 C．3 D．4C答案：OABCOBACMNOACBG在线和分别是边，的中点，点，5.已知空间四边形，，其对角线为→→→→MNMGGNOAOBOCOG是( ，用向量表示向量，段)上，且使，＝2111→→→→OOAOBOC＋A.＋＝633112→→→→OGOAOBOC＋B.＋＝63322→→→→OGOAOBOC＋C.＋＝33122→→→→OGOAOBOC D.＋＝＋233MGGNMNOACB的中点，，，解析：因为，＝2分别是边12111122→→→→→→→→→→→→→→→OGOMMGOMMNOMMOOCCNOMOCOBOCOAOB＋－＝＋＋＝＋＋)＝＋(＋＋(＋＝所以)＝33333633→OC.答案：A二、填空题→→→abABabBCabCDabABCD中一定共2、＝－5，则＋6、，6．已知向量7、＝，且＝、＋2－，线的三点是________．→→→→ABbCDa BDBC 2＝解析：＋＝4＋2＝DBA所以、、三点共线．DBA答案：、、→→→DCbaABbbABaBCabCDa中一定共，则2，，2＝－5＋6，，，＝．已知向量77，，且－＝＋．线的三点是________→→→→ABbCDaBDBC2＋解析：4＝＋＝＝2DAB、三点共线．、所以DAB、、答案：21→→→→OCOBOACBOABCOPA确定的三点不共线，是平面＋外任一点，若由＝λ＋．已知8，，35CBAP．________＝λ三点共面，则，，与一点．122PABC三点共面，所以＋＋λ＝解析：由1与，解得，λ，＝.53152 答案：15三、解答题MGABCDBCCD的中点，化简下列各式：分别是空间四边形，9．已知的两边，→→→CDABBC＋；＋(1)→→→1BCBDAB＋(2)；＋()2→→→1ACAGAB (3))－(．＋2→→→→→→ADACCDABBCCD.＋＋解：(1)如图所示，＝＋＝BDHMGGH. ，连接(2)取，的中点MGBCCD的中点，因为，，分别为BMGH为平行四边形，所以→→→→→1BDBCBHBMBG，＝)＝所以( ＋＋2→→→→→→1ABBDBCABBGAG.＝从而＋(＝＋＋)2ABACSN，的中点 (3)分别取，，SMAMMN，，连接，ASMN为平行四边形，则→→→→→1ABACASANAM，＝＝＋所以( ＋)2→→→→→→1AGABACAGAMMG.＋－)＝＝所以－(2EF GHABCDABBCCDDA的中点．用向的边，，，如图，已知10.，，，分别为空间四边形EFGH四点共面．，，，量法证明BGEG，，证明：如图，连接11→→→→→BFBCEHBDBG＝，，则＝＝221→→BCBD)，( ＋21→→→→→→→→→→→EGEBBGEBBCBDEBBFEHEFEH.＋)所以＝＝＋＝＝＋＋(＋＋2EFGH四点共面．，所以，，B级能力提升→→→→11xOCxOAOBABCMOOM的值为＋1．已知点在平面＝内，并且对空间任意一点，则，有＋33)(0 ．1 BA．1 D.．3 C3D答案：→→→ADcOCDBCEaOABCOAOBb的中＝，，-中，的中点，＝，为＝2．如图所示，在四面体为→cOEab＝________(用，)点，则，．表示→→→→→→→→→1111111111OEOAAEaADaODOAaODaOBOCab＋＋＋×(＋＝)(解析：＝＋＝＋＝＋－)＝＋＝2222222244c.111abc答案：＋＋244ABCDABEFMNAC、3．如图所示，四边形、和四边形分别是都是平行四边形，且不共面，→→BFCEMN是否共线．的中点，判断与MNACBFABCDABEF都是平行四边形，分别是、、解：因为、的中点，而四边形→→→→→→→11MNMAAFFCAAFB.＋所以＝＝＋＋＋22→→→→→→→→→11MNMCCEEBBNCACEAFFB，－＋＝－又因为＝＋＋－＋22→→→→→→→1111CAAFFBCACEAFFB.＋所以－＋－＋＝－2222→→→→→→→CECAAFFBMAAFFN)．2(＋所以＝＋2＋＋＝→→→→→→CEMNCEMNCEMN共线．所以所以＝2.∥，即与。

第三章 3.1 3.1.1 3.1.2请同学们认真完成练案[20]A 级 基础巩固一、选择题1．空间任意四个点A 、B 、C 、D ，则DA →＋CD →－CB →等于( D ) A ．DB →B ．AC →C ．AB →D ．BA →[解析] 解法一：DA →＋CD →－CB →＝(CD →＋DA →)－CB →＝CA →－CB →＝BA →.解法二：DA →＋CD →－CB →＝DA →＋(CD →－CB →) ＝DA →＋BD →＝BA →.2．已知空间向量AB →、BC →、CD →、AD →，则下列结论正确的是( B ) A ．AB →＝BC →＋CD →B ．AB →－DC →＋BC →＝AD → C ．AD →＝AB →＋BC →＋DC →D ．BC →＝BD →－DC →[解析] 根据向量加减法运算可得B 正确．3．(2019－2020学年北京市房山区期末检测)在空间若把平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点，则这些向量的终点构成的图形是( B )A ．一个球B ．一个圆C ．半圆D ．一个点[解析] 平行于同一平面的所有非零向量是共面向量，把它们的起点放在同一点，则终点在同一平面内，又这些向量的长度相等，则终点到起点的距离为定值．故在空间把平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点，则这些向量的终点构成的图形是一个圆．4．如图所示，已知A 、B 、C 三点不共线，P 为平面ABC 内一定点，O 为平面ABC 外任一点，则下列能表示向量OP →的为( C )A ．OA →＋2AB →＋2AC →B ．OA →－3AB →－2AC → C ．OA →＋3AB →－2AC →D ．OA →＋2AB →－3AC →[解析] 根据A 、B 、C 、P 四点共面的条件可知AP →＝xAB →＋yAC →.由图知x ＝3，y ＝－2，∴OP →＝OA →＋3AB →－2AC →，故选C ．5．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1E →＝14A 1C 1→，若AE →＝xAA 1→＋y (AB →＋AD →)，则( D )A ．x ＝1，y ＝12B ．x ＝12，y ＝1C ．x ＝1，y ＝13D ．x ＝1，y ＝14[解析] AE →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋14A 1C 1→＝AA 1→＋14(AB →＋AD →)．所以x ＝1，y ＝14.6．(2020·福建泉州市普通高中质量检测)如图所示，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，N 是A 1B 的中点，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则CN →＝( B )A ．12(a ＋b －c )B ．12(a ＋b ＋c )C ．a ＋b ＋12cD ．a ＋12(b ＋c )[解析] 本小题主要考查解空间向量的运算，若AB 中点为D ，CN →＝CD →＋DN →＝12(a ＋b ＋c )，故选B ．二、填空题7．化简(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝__0__.[解析] 解法一：(利用相反向量的关系转化为加法运算) (AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →－CD →－AC →＋BD → ＝AB →＋DC →＋CA →＋BD →＝AB →＋BD →＋DC →＋CA →＝0. 解法二：(利用向量的减法运算法则求解) (AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝(AB →－AC →)＋BD →－CD → ＝CB →＋BD →－CD →＝CD →－CD →＝0.8．在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若AC 1→＝x ·AB →＋2y ·BC →＋3z ·C 1C →，则x ＋y ＋z ＝__76__.[解析] 如图所示，有AC 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝AB →＋BC →＋(－1)·C 1C →.又∵AC 1→＝x ·AB →＋2y ·BC →＋3z ·C 1C →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12y ＝13z ＝－1，解得⎩⎨⎧x ＝1y ＝12z ＝－13.∴x ＋y ＋z ＝1＋12－13＝76.三、解答题9．如图所示，在四棱柱ABCD —A ′B ′C ′D ′中，底面ABCD 为矩形，化简下列各式．(1)AB →＋BB ′→－D ′A ′→＋D ′D →－BC →； (2)AC ′→－AC →＋AD →－AA ′→.[解析] (1)原式＝AB →＋AA ′→＋AD →－AA ′→－AD →＝AB →.(2)原式＝CC ′→＋AD →－AA ′→＝AD →.10．已知平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′，点E 在AC ′上，且AE ：EC ′＝1：2，点F 、G 分别是B ′D ′和BD ′的中点，求下列各式中的x 、y 、z 的值．(1)AE →＝xAA ′→＋yAB →＋zAD →； (2)BF →＝xBB ′→＋yBA →＋zBC →； (3)GF →＝xBB ′→＋yBA →＋zBC →. [解析] (1)∵AE ：EC ′＝1：2， ∴AE →＝13AC ′→＝13(AB →＋BC →＋CC ′→)＝13(AB →＋AD →＋AA ′→) ＝13AA ′→＋13AB →＋13AD →， ∴x ＝13，y ＝13，z ＝13.(2)∵F 为B ′D ′的中点，∴BF →＝12(BB ′→＋BD ′→)＝12(BB ′→＋BA →＋AA ′→＋A ′D ′→)＝12(2BB ′→＋BA →＋BC →)＝BB ′→＋12BA →＋12BC →， ∴x ＝1，y ＝12，z ＝12.(3)∵G 、F 分别为BD ′、B ′D ′的中点， ∴GF →＝12BB ′→，∴x ＝12，y ＝0，z ＝0.B 级 素养提升一、选择题1．已知正方形ABCD 的边长为1，设AB →＝a 、BC →＝b 、AC →＝c ，则|a ＋b ＋c |等于( D ) A ．0 B ．3 C ．2＋2D ．2 2[解析] 利用向量加法的平行四边形法则结合正方形性质求解，|a ＋b ＋c |＝2|AC →|＝2 2. 2．如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，则MP →＋NC 1→＝( A )A ．32a ＋12b ＋32cB ．a ＋12cC ．12a ＋12b ＋cD ．32a ＋12b ＋12c[解析] MP →＋NC 1→＝12AA 1→＋AD →＋12AB →＋12AD →＋AA 1→＝32AA 1→＋12AB →＋32AD →＝32a ＋12b ＋32c ，故选A ．3．(多选题)下列命题中假命题的是( ABD )A ．将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆B ．若空间向量a 、b 满足|a |＝|b |，则a ＝bC ．若空间向量m 、n 、p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝pD ．空间中任意两个单位向量必相等[解析] A ．假命题．将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点时，它们的终点将构成一个球面，而不是一个圆．B ．假命题．根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但B 中向量a 与b 的方向不一定相同．C ．真命题．向量的相等满足递推规律．D ．假命题．空间中任意两个单位向量模长均为1，但方向不一定相同，所以不一定相等，故④错．4．(多选题)设{a ，b ，c }是空间的一个基底，则下列说法正确的是( BCD ) A ．若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥cB ．a ，b ，c 两两共面，但a ，b ，c 不可能共面C ．对空间任一向量p ，总存在有序实数组(x ，y ，z )，使p ＝x a ＋y b ＋z cD ．{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }一定能构成空间的一个基底[解析] 对于A 选项，b 与a ，c 都垂直，a ，c 夹角不一定是π2，所以A 选项错误．对于B 选项，根据基底的概念可知a ，b ，c 两两共面，但a ，b ，c 不可能共面，B 选项正确．对于C 选项，根据空间向量的基本定理可知，C 选项正确．对于D 选项，由于a ，b ，c 是空间一个基底，所以a ，b ，c 不共面．假设a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 共面，设a ＋b ＝x (b ＋c )＋y ·(c ＋a )，化简得(x ＋y )c ＝(1－y )a ＋(1－x )b ，所以a ，b ，c 共面，这与已知矛盾，所以a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 不共面，可以作为基底．所以D 选项正确．故选BCD ．二、填空题5．已知平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′，则下列四式中：①AB →－CB →＝AC →；②AC ′→＝AB →＋B ′C ′→＋CC ′→；③AA ′→＝CC ′→；④AB →＋BB ′→＋BC →＋C ′C →＝AC →.正确的是__①②③④__.[解析] AB →－CB →＝AB →＋BC →＝AC →，①正确；AB →＋B ′C ′→＋CC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AC ′→，②正确；③显然正确；∵AB →＋BB ′→＋BC →＝AC ′→，AC ′→＋C ′C →＝AC →，∴④正确．6．如图所示，已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且P A ⊥平面ABCD ，M 、N 分别为PC 、PD 上的点，且PM ：MC ＝2：1，N 为PD 中点，则满足MN →＝xAB →＋yAD →＋zAP →的实数x ＝__－23__，y ＝__－16__，z ＝__16__.[解析] 在PD 上取一点F ，使PF ：FD ＝2：1，连接MF ，则MN →＝MF →＋FN →，∵FN →＝DN →－DF →＝12DP →－13DP →＝16DP →＝16(AP →－AD →)，MF →＝23CD →＝23BA →＝－23AB →，∴MN →＝－23AB →－16AD→＋16AP →，∴x ＝－23，y ＝－16，z ＝16.三、解答题7．已知三个向量a 、b 、c 不共面，并且p ＝a ＋b －c ，q ＝2a －3b －5c ，r ＝－7a ＋18b ＋22c ，向量p 、q 、r 是否共面？[解析] 假设存在实数λ、μ，使p ＝λq ＋μr ，则a ＋b －c ＝(2λ－7μ)a ＋(－3λ＋18μ)b ＋(－5λ＋22μ)c ，∵a ，b ，c 不共面， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2λ－7μ＝1－3λ＋18μ＝1－5λ＋22μ＝－1，∴⎩⎨⎧λ＝53μ＝13.即存在实数λ＝53，μ＝13，使p ＝λq ＋μr ，故p 、q 、r 共面．8．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E →＝2ED 1→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F →＝23FC →.求证：E 、F 、B 三点共线．[解析] 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c . ∵A 1E →＝2ED 1→，A 1F →＝23FC →，∴A 1E →＝23A 1D 1→，A 1F →＝25A 1C →，∴A 1E →＝23AD →＝23b ，A 1F →＝25(AC →－AA 1→)＝25(AB →＋AD →－AA 1→)＝25a ＋25b －25c . ∴EF →＝A 1F →－A 1E →＝25a －415b －25c＝25(a －23b －c )．又EB →＝EA 1→＋A 1A →＋AB →＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ，∴EF →＝25EB →.所以E 、F 、B 三点共线．。

2021年高中数学 3.1.2 空间向量的数乘运算同步练习 理（普通班）新人教A 版选修2-1 一、选择题 1．设M 是△ABC 的重心，记a ＝BC →，b ＝CA →，c ＝AB →，a ＋b ＋c ＝0，则AM →为( )A.b －c2 B.c －b2 C.b －c3 D.c －b32．当|a |＝|b |≠0，且a 、b 不共线时，a ＋b 与a －b 的关系是( )A ．共面B ．不共面C ．共线D ．无法确定3．i ∥\ j ，则存在两个非零常数m ，n ，使k ＝m i ＋n j 是i ，j ，k 共面的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件4．对空间任一点O 和不共线三点A 、B 、C ，能得到P 、A 、B 、C 四点共面的是( ) A.OP →＝OA →＋OB →＋OC → B.OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC → C.OP →＝－OA →＋12OB →＋12OC → D ．以上皆错 5．已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′ ，点E 是A ′C ′的中点，点F 是AE 的三等分点，且AF ＝12EF ，则AF →等于( )A.AA ′→＋12AB →＋12AD →B.12AA ′→＋12AB →＋12AD → C.12AA ′→＋16AB →＋16AD → D.13AA ′→＋16AB →＋16AD → 6．如图所示，空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c, 点M 在OA 上，且OM →＝2MA →，N为BC 中点，则MN →等于( )A.12a －23b ＋12c B ．－23 a ＋12b ＋12c C.12a ＋12 b －23c D.23a ＋23b －12c二、填空题7．已知i ，j ，k 是三个不共面向量，已知向量a ＝12i －j ＋k ，b ＝5i －2j －k ，则4a －3b ＝________.8．如图所示，已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且PA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别为PC 、PD 上的点，且PM ∶MC ＝2∶1，N 为PD 中点，则满足MN →＝xAB →＋yAD →＋zAP →的实数x ＝________，y ＝________，z ＝________.三、解答题9．如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为DD 1的中点，N 在AC 上，且AN ∶NC ＝2∶1，求证：A 1N →与A 1B →、A 1M →共面．10．已知i 、j 、k 是不共面向量，a ＝i －2j ＋k ，b ＝－i ＋3j ＋2k ，c ＝－3i ＋7j ，证明这三个向量共面．3.1.2 答案1-6 DAABDB 7. －13i ＋2j ＋7k 8.－32 －61 619.[解析] →A1B ＝→AB －→AA1，→A1M ＝→A1D1＋→D1M ＝→AD －21→AA1，→AN ＝32→AC ＝32(→AB ＋→AD )．∴→A1N ＝→AN －→AA1＝32(→AB ＋→AD )－→AA1＝32(→AB －→AA1)＋32(→AD －21→AA1)＝32→A1B ＋32→A1M .∴→A1N 与→A1B ，→A1M 共面．10.[解析] 设a ＝λb ＋μc ，则i －2j ＋k ＝(－λ－3μ)i ＋(3λ＋7μ)j ＋2λk ，∵i ，j ，k 不共面，∴2λ＝13λ＋7μ＝－2，∴21，故存在实数λ＝21，μ＝－21，使a ＝λb ＋μc ，故a ，b ，c 共面． 31291 7A3B 稻33693 839D 莝W32269 7E0D 縍22892 596C 奬m36287 8DBF 趿t30121 75A9 疩 28697 7019 瀙26995 6973 楳。

第三章 3.1 课时作业25一、选择题1．若a 、b 是平面α内的两个向量，则( ) A. α内任一向量p ＝λa ＋μb (λ，μ∈R ) B. 若存在λ，μ∈R 使λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0C. 若a 、b 不共线，则空间任一向量p ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )D. 若a 、b 不共线，则α内任一向量p ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )解析：当a 与b 共线时，A 项不正确；当a 与b 是相反向量，λ＝μ≠0时，λa ＋μb ＝0，故B 项不正确；若a 与b 不共线，则平面α内任意向量可以用a ，b 表示，对空间向量则不一定，故C 项不正确，D 项正确．答案：D2．已知向量c 、d 不共线，设向量a ＝k c ＋d ，b ＝c －k 2d .若a 与b 共线，则实数k 的值为( )A. 0B. 1C. －1D. 2解析：∵c 、d 不共线，∴c ≠0，且d ≠0.∵a 与b 共线， ∴存在实数λ，使得a ＝λb 成立，即k c ＋d ＝λ(c －k 2d )，整理得(k －λ)c ＋(1＋λk 2)d ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝01＋λk 2＝0，解得k ＝λ＝－1.故选C. 答案：C3．对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C 有6OP →＝OA →＋2OB →＋3OC →，则( ) A. 四点O ，A ，B ，C 必共面 B. 四点P ，A ，B ，C 必共面 C. 四点O ，P ，B ，C 必共面 D. 五点O ，P ，A ，B ，C 必共面解析：OP →－OA →＝2(OB →－OP →)＋3(OC →－OP →) ∴AP →＝2PB →＋3PC →∴向量AP →，PB →，PC →共线．又因它们有公共点P ，且A 、B 、C 三点不共线，∴必有P 、A 、B 、C 共面．答案：B4．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是( ) A.OM →＝2OA →－OB →－OC → B.OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC →C.MA →＋MB →＋MC →＝0 D.OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0解析：∵MA →＋MB →＋MC →＝0，∴MA →＝－MB →－MC →. ∴M 与A 、B 、C 必共面．只有选项C 符合． 答案：C 二、填空题5．在空间四边形ABCD 中，连接AC 、BD ，若△BCD 是正三角形，且E 为其中心，则AB →＋12BC →－32DE →－AD →的化简结果为__________．解析：如图，取BC 的中点F ，连接DF ，则DF →＝32DE →，∴AB →＋12BC →－32DE →－AD →＝AB →＋BF →－DF →＋DA →＝AF →＋FD →＋DA →＝0.答案：06．已知P 和不共线三点A ，B ，C 四点共面且对于空间任一点O ，都有OP →＝2OA →＋OB →＋λOC →，则λ＝________.解析：P 与不共线三点A ，B ，C 共面，且OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ，y ，z ∈R )，则x ＋y ＋z ＝1是四点共面的充要条件．答案：－27．已知A ，B ，C 三点共线，则对空间任一点O ，存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使λOA →＋mOB →＋nOC →＝0，那么λ＋m ＋n 的值为__________．解析：∵A ，B ，C 三点共线， ∴存在唯一实数k ，使AB →＝kAC →， 即OB →－OA →＝k (OC →－OA →)． ∴(k －1)OA →＋OB →－kOC →＝0. 又λOA →＋mOB →＋nOC →＝0，令λ＝k －1，m ＝1，n ＝－k ，则λ＋m ＋n ＝0. 答案：0三、解答题8．如右图，在空间四边形ABCD 中，AB 的中点为E ，DC 的中点为F ，请判断EF →与AD →＋BC →是否共线．解：设AC 的中点为G ，连接EG 、FG .∵E 、F 分别为AB 、CD 的中点， ∴GF →＝12AD →，EG →＝12BC →.∴EF →＝EG →＋GF →＝12(AD →＋BC →)，即EF →与AD →＋BC →共线．9．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1和A 1D 1的中点．证明：向量A 1B →、B 1C →、EF →是共面向量．证明：法一：EF →＝EB →＋BA 1→＋A 1F →＝12B 1B →－A 1B →＋12A 1D 1→ ＝12(B 1B →＋BC →)－A 1B → ＝12B 1C →－A 1B →. 由向量共面的充要条件知，A 1B →、B 1C →、EF →是共面向量． 法二：连结A 1D 、BD ， 取A 1D 中点G ，连结FG 、BG ， 则有FG 綊12DD 1，BE 綊12DD 1，∴FG 綊BE .∴四边形BEFG 为平行四边形． ∴EF ∥BG . ∴EF ∥平面A 1BD .同理，B 1C ∥A 1D ，∴B 1C ∥平面A 1BD ， ∴A 1B →、B 1C →、EF →都与平面A 1BD 平行． ∴A 1B →、B 1C →、EF →共面．。

学习资料高中数学第三章空间向量与立体几何 3.1.2空间向量的数乘运算课时跟踪训练含解析新人教A版选修2班级：科目：空间向量的数乘运算［A 组 学业达标]1．设M 是△ABC 的重心，记a ＝BC ，→，b ＝错误!,c ＝错误!，则错误!为（ ) A 。

错误! B.错误! C.错误!D.错误!解析：M 为△ABC 重心,则错误!＝错误!错误!＝错误!(错误!＋错误!)＝错误!（c －b ）． 答案：D2。

如图所示，空间四边形OABC 中，OA ＝a ，错误!＝b ,错误!＝c ，点M 在OA 上，且错误!＝2错误!,N 为BC 中点，则错误!等于（ ) A.错误!a －错误!b ＋错误!c B ．－错误!a ＋错误!b ＋错误!c C 。

错误!a ＋错误!b －错误!c D 。

错误!a ＋错误!b －错误!c解析：错误!＝错误!－错误!＝错误!（错误!＋错误!)－错误!错误!＝错误!(b ＋c ）－错误!a ＝－错误!a ＋错误!b ＋错误!c 。

答案：B3。

在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点,若错误!＝2错误!,错误!＝错误!错误!＋λ错误!,则λ等于( ) A 。

错误! B 。

错误! C ．－13D ．－错误! 解析：∵错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!＝错误!＋错误!(错误!－错误!)＝错误!错误!＋错误!错误!,∴λ＝错误!. 答案：A4．非零向量e 1，e 2不共线,使ke 1＋e 2与e 1＋ke 2共线的k 等于( ) A ．0 B ．1 C ．－1D ．±1解析：若ke 1＋e 2与e 1＋ke 2共线, 则ke 1＋e 2＝λ(e 1＋ke 2)， ∴错误! ∴k ＝±1.答案：D5．在下列条件中，使M 与A ，B ，C 一定共面的是（ ) A.错误!＝3错误!－2错误!－错误! B 。

错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝0 C.错误!＋错误!＋错误!＝0D 。

3.1.2 空间向量的数乘运算课后篇巩固提升1.下列说法正确的是()A.在平面内共线的向量在空间不一定共线B.在空间共线的向量在平面内不一定共线C.在平面内共线的向量在空间一定不共线D.在空间共线的向量在平面内一定共线答案D2.已知是空间两个不共线的向量,=3-2,那么必有()A.共线B.共线C.共面D.不共面解析由共面向量定理知,共面.答案C3.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,点E为A1D1的中点,设=a,=b,=c,则=()A.-a-b+cB.a-b+cC.a-b-cD.a+b-c解析根据向量的三角形法则得到-()=c+b-a-b=-a-b+c.故选A.答案A4.已知空间四边形O-ABC,点M,N分别是OA,BC的中点,且=a,=b,=c,用a,b,c表示向量为()A.a+b+cB.a-b+cC.-a+b+cD.-a+b-c如图所示,连接ON,AN,则)=(b+c),)=-2)=(-2a+b+c)=-a+b+c,所以)=-a+b+c,故选C.答案C5.如图所示,已知空间四边形OABC,其对角线OB,AC,M,N分别为OA,BC的中点,点G在线段MN上,且=2,若=x+y+z,则x+y+z=()A. B.C. D.1解析-,因此x=,y=z=,故x+y+z=.答案C6.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,M为空间任意两点,如果有+7+6-4,那么M必()A.在平面BAD1内B.在平面BA1D内C.在平面BA1D1内D.在平面AB1C1内解析由于+7+6-4+6-4+6-4+6()-4()=11-6-4,因此M,B,A1,D1四点共面.答案C7.已知A,B,C三点不共线,O是平面ABC外任一点,若由+λ确定的一点P与A,B,C三点共面,则λ= .解析因为点P与A,B,C三点共面,所以+λ=1,解得λ=.答案8.设e1,e2是空间两个不共线的向量,已知=e1+k e2,=5e1+4e2,=-e1-2e2,且A,B,D三点共线,则实数k的值是.解析因为=5e1+4e2,=-e1-2e2,所以=(5e1+4e2)+(e1+2e2)=6e1+6e2.又因为A,B,D三点共线,所以=λ,所以e1+k e2=λ(6e1+6e2).因为e1,e2是不共线向量,所以故k=1.答案19.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点M为DD1的中点,点N在AC上,且AN∶NC=2∶1,求证:与共面.证明∵ ,,),∴ )-)+=,∴ 与共面.10.如图,已知空间四边形ABCD,E,H分别是边AB,AD的中点,F,G分别是边CB,CD上的点,且.求证:四边形EFGH是梯形.证明∵E,H分别是边AB,AD的中点,∴ ,∴ .又∵ )=,∴ ,∴ ,||=|.又∵点F不在EH上,∴四边形EFGH是梯形.。

第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算 3.1.2 空间向量的数乘运算课后篇巩固提升1.下列说法正确的是( )A.在平面内共线的向量在空间不一定共线B.在空间共线的向量在平面内不一定共线C.在平面内共线的向量在空间一定不共线D.在空间共线的向量在平面内一定共线2.已知MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是空间两个不共线的向量,MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -2MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么必有( ) A.MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线 B.MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线 C.MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共面 D.MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不共面3.如图,在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,点E 为A 1D 1的中点,设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c,则CE ⃗⃗⃗⃗ =( )A.-a-12b+cB.a-12b+cC.a-12b-cD.a+12b-cCE ⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC⃗⃗⃗⃗⃗ )=c+12b-a-b=-a-12b+c.故选A.4.在空间四边形OABC 中,G 是△ABC 的重心,若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c,则OG ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A.12a+12b+12cB.13a+13b+13c C.a+b+c D.3a+3b+3cG 是△ABC 的重心,则CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ), OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13[(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC⃗⃗⃗⃗⃗ )] =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ -2OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗ ) =13OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =13a+13b+13c.故选B.5.已知空间任意一点O 和不共线的三点A,B,C,若OD ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +p OC ⃗⃗⃗⃗⃗ (m,n,p ∈R),则“A,B,C,D 四点共面”是“m=32,n=12,p=-1”的( )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件,空间中四点A,B,C,D,若OD ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +p OC⃗⃗⃗⃗⃗ (m,n,p ∈R). 若A,B,C,D 四点共面,根据空间向量的共面定理,只需m+n+p=1, 又由m=32,n=12,p=-1,可得m+n+p=1,所以“m=32,n=12,p=-1”时,A,B,C,D 四点共面,即必要性成立,反之不一定成立,既充分性不成立.所以“A,B,C,D 四点共面”是“m=32,n=12,p=-1”的必要不充分条件.故选A.6.已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,P,M 为空间任意两点,如果有PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +7BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +6AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -4A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么M 必( ) A.在平面BAD 1内 B.在平面BA 1D 内 C.在平面BA 1D 1内D.在平面AB 1C 1内PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +7BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +6AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -4A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +6BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -4A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +6BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -4A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +6(PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )-4(PD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=11PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -6PB ⃗⃗⃗⃗⃗ -4PD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,因此M,B,A 1,D 1四点共面.7.已知A,B,C 三点不共线,O 是平面ABC 外任一点,若由OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =15OA⃗⃗⃗⃗⃗ +23OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOC⃗⃗⃗⃗⃗ 确定的一点P 与A,B,C 三点共面,则λ= .P 与A,B,C 三点共面,所以15+23+λ=1,解得λ=215.8.设e 1,e 2是空间两个不共线的向量,已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1+ke 2,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =5e 1+4e 2,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-e 1-2e 2,且A,B,D 三点共线,则实数k 的值是 .BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =5e 1+4e 2,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-e 1-2e 2,所以BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD⃗⃗⃗⃗⃗ =(5e 1+4e 2)+(e 1+2e 2)=6e 1+6e 2. 又因为A,B,D 三点共线,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBD ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以e 1+ke 2=λ(6e 1+6e 2). 因为e 1,e 2是不共线向量,所以{1=6λ,k =6λ,故k=1.9.在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,点M 为DD 1的中点,点N 在AC 上,且AN ∶NC=2∶1,求证:A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共面.A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +D 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , AN ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =23(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ),∴A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AN ⃗⃗⃗⃗⃗ −AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )-AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+23AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共面.10.如图,已知空间四边形ABCD,E,H 分别是边AB,AD 的中点,F,G 分别是边CB,CD 上的点,且CF ⃗⃗⃗⃗ =23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CD⃗⃗⃗⃗⃗ .求证:四边形EFGH 是梯形.E,H 分别是边AB,AD 的中点,∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AH ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴EH ⃗⃗⃗⃗⃗ =AH ⃗⃗⃗⃗⃗ −AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BD⃗⃗⃗⃗⃗ . 又FG ⃗⃗⃗⃗ =CG ⃗⃗⃗⃗⃗ −CF ⃗⃗⃗⃗ =23CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =23(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴EH ⃗⃗⃗⃗⃗ =34FG ⃗⃗⃗⃗ ,∴EH ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥FG ⃗⃗⃗⃗ ,|EH⃗⃗⃗⃗⃗ |=34|FG ⃗⃗⃗⃗ |. 又点F 不在EH 上, ∴四边形EFGH 是梯形.。