高二数学空间向量与立体几何.ppt

⑶根据法向量的定义建立关于 x, y, z 的
方程组
n
a
0
n b 0
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
4、用方向向量和法向量判定位置关系
设直线 l , m 的方向向量分别为 a, b ，
平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
线线平行 l ∥ m a ∥ b a kb ；
线面平行 l ∥ a u a u 0 ；
第十三章
《空间向量与立体几何》
立体几何中的向量方法(一)
一、复习目标：1、理解直线的方向向量与平
面的法向量并会求直线的方向向量与平面的法向 量。2、理解和掌握向量共线与共面的判断方法。 3、用向量法会熟练判断和证明线面平行与垂直。
二、重难点：概念与方法的运用
三、教学方法：探析归纳，讲练结合。 四、教学过程
法向量为u (a2 , b2 , c2 ),则
l // a u 0 a1a2 b1b2 c1c2 0;
若. a (a1,b1,c1),u (a2,b2,c2),则
l a // u a ku a1 ka2,b1 kb2,c1 kc2.
当. a2 ,b2 , c2
个定点 A 以及一个定方向确定.对于直线 l 上的任一点P ,
存在实数 t 使得 AP t AB
a
P此方程称为直线的向量参数方程。这
样点A和向量 不仅可以确定直线 l
的位置，还可以具体写出l上的任意一
A
点。
3、平面的法向 量
OP OA ta ， OP xOA yOB (x y 1）
. 空间中平面 的位置可以由 内两条相
. 于（点G0，, 1连, 1结）EG，依因题为意底得面A（AB1C，D0是，正0）方P形（，0，所0以，点1）G是E 此正
任一点 P ,存在实数 t
使得 AP t AB
P
或AP ta
a
⑶平面
A
空间中平面 的位置可以由 内两
条相交直线(两个不共线向量)来确定.
对于平面 上的任
。
一点 P ,存在有序实数
对 ( x, y) ,使得
b
OP xa yb
O a
2、直线的向量参数方程
l
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一
面面平行 ∥ u ∥ v u k v .
注意：这里的线线平行包括线线重合，线 面平行包括线在面内，面面平行包 括面面重合.
线线垂直 l ⊥ m a ⊥ b a b 0 ；
线面垂直 l ⊥ a ∥ u a k u ；
面面垂直 ⊥ u ⊥ v u v 0.
设直线l的方向向量为a (a1, b1, c1), 平面的
m, n ,且m, n相交，
内任一向量 p可以表示为如下形式：
。 p xb yc, x, y R.
a p a (xb yc) xa b ya c 0, l与内的任一直线垂直.即l .
例2、已知点P是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，如
果 AB (2, 1, 4) ，AD (4, 2,0) ，AP (1, 2, 1)
交直线来确定.
对于平面 上的任一点 P ,
b
O a
P
存在有序实数对 ( x, y) ,使得
OP xa yb
这样，点O与向量 a、b 不仅可以确定平面的位 置，还可以具体表示出 内的任意一点。
除 此之外, 还可以用垂直于平面的直线的方向向量 (这个平面的法向量)表示空间中平面的位置.
平面的法向量：如果表示向量 n的有向线段所在
AP
ABCD
。| AB | (2)2 (1)2 (4)2 21 | AD | 42 22 02 2 5
。AB AD (2, 1, 4) (4, 2,0) 6
cos(AB, AD)
6 3 105 212 5 105
sin BAD 1 9 32 105 35
S ABCD | AB | | AD | sin BAD 8 6 P
例3：如图在四棱锥P—ABCD中
底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥
F
E
底面ABCD，PD=DC，E是PC的
中点，作EF⊥PB交PB于点F。
(1)求证PA∥平面EDB
D
C
(2)求证PB⊥平面EFD
G
(3)求二面角C---PB---D的大小 A
B
.解：如图建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1
(1)证明：连结AC，AC交BD
(一）、知识梳理，方法定位 1、点、直线、平面的位置的向量表示
⑴点 在空间中，我们取一定点O 作 为基点，那么空间中任意一点 P 的位 置就可以用向量OP 来表示，我们把 向量OP 称为点 P 的位置向量.
⑵直线
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上。一个定点 A 以及一个定方向确定.
对于直线 l 上的
（1）求证： AP 是平面 ABCD 的法向量；
（2）求平行四边形 ABCD 的面积．
（1）证明：∵ AP AB (1,2,1)(2,1,4) 0， AP AD (1,2,1)(4,2,0) 0 ，
∴ AP AB，AP AD，又 AB AD A，AP 平 面
，
∴ AB是C平D面
的法向量．
0时,a // u
a1 a2
b1 b2
c1 c2
（二）例题探析
例1、用向量法证明：一条直线与一个平面内两条相
交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
已知：直线m，n是平面 内的任意两条相交直线，
且 l m,l n. 解：设直线l, m, n的方向向量分别为a, b, c.
l m,l n,a b, a b 0. 同理a c 0.
直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平
面叫。做平,记面作n
⊥ ，如果
的法向量.
n⊥
，那
么
向
量n
l
给定一点A和一个向量 n,那么
过点A,以向量 n 为法向量的平面是
n
完全确定的.
几点注意：
1.法向量一定是非零向量;
2.一个平面的所有法向量都
互相平行;
3.向量n 是平面的法向量，向
量mБайду номын сангаас是与平面平行或在平面
内，则有 n m 0
求法：在空间坐标系中,已知 A(3, 0, 0), B(0, 4, 0) ,
C(0, 0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向量.
步骤：⑴设平面的法向量为 n ( x, y, z)
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量
的坐标 a (a1 , b1 , c1 ), b (a2 , b2 , c2 )