高二数学空间向量PPT优秀课件

设 N 为 PA 上一点，则存在 x、y 使 D→N＝xD→P＋yD→A(其中 x、y∈R)，则 D→N＝x(0，－1,2)＋y(2 3， 3,0)＝(2 3y,3y－ x,2x)．
令 2 3y∶ 23＝2x∶32，得 3y－x＝0，① 又A→N∥A→P，且A→N＝(2 3y－2 3，－3,2x)， A→P＝(－2 3，－4,2)，
AD·n →
| AD||n|
1
＝ 12×
2
＝
1＋41＋14
36.
设二面角为
θ，即
cosθ＝
36，∴tanθ＝
2 2.
【名师点评】 此题所求的二面角是一个无 棱二面角，对于这种求无棱二面角的问题， 用空间向量求解时，无需作出二面角的平面 角，从而体现了空间向量的重要作用．
利用空间向量求距离
求点到平面的距离有三种方法：定义法、等体
例2 在底面是直角梯形的四棱锥 S－ ABCD 中，∠ABC＝90°，SA⊥面 ABCD，SA＝AB＝BC ＝1，AD＝12，求面 SCD 与面 SBA 所成的二面角 的正切值．
【思路点拨】 可建立空间直角坐标系，求出 两个平面的法向量，通过法向量的夹角进行求 解．
【解】 建立如图所示空间直角坐标系，则 A(0,0,0)、 D(12，0,0)、C(1,1,0)、S(0,0,1)，面 SAB 的一个法向量是A→D＝ (12，0,0)．设 n＝(x，y，z)是面 SCD 的一个法向量，则 n⊥D→C，
n⊥D→S，即 n·D→C ＝0，n·D→S ＝0.
又D→C＝(12，1,0)，D→S＝(－12，0,1)， ∴12x＋y＝0，且－12x＋z＝0， ∴y＝－12x，且 z＝12x，∴n＝(x，－x2，x2)，
取 x＝1，得 n＝(1，－12，12)．
设A→D与 n 所成角为 θ1，
→
则 cosθ1＝
∴(2 3y－2 3)∶(－2 3)＝2x∶2，②
由①②解得 x＝34，y＝14. ∴当 x＝34，y＝14时，C→M、D→N共线， ∴C→M、D→P、D→A共面， ∵CM⊄平面 PAD， ∴CM∥平面 PAD.
(2)作 BE⊥PA 于 E，|PB|＝|AB|＝4. ∴E 为 PA 的中点，
∴E( 3，2,1)， ∴B→E＝(－ 3，2,1)， ∵B→E·D→A＝(－ 3，2,1)·(2 3，3,0)＝0， B→E·D→P＝(－ 3，2,1)·(0，－1,2)＝0， ∴BE⊥DA，BE⊥DP， ∴BE⊥平面 PAD，则平面 PAB⊥平面 PAD.
积法及向量法．
设点 A 到平面 α 的距离为 d，点 B 是平面 α 内
的任意一点，A→B不是平面
α
的法向量，则
→ d＝|A|Bn|·n|
(n 为平面 α 的法向量)．
例3 已知空间中点的坐标为A(2,3,1)，B(4,1,2)， C(6,3,6)，D(－5，－4,8)，求点D到平面ABC的距 离．
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章
优
专题探究精讲
化
总
结
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பைடு நூலகம்空间向量与空间位置关系
用向量方法证明平行与垂直问题的一般步骤是： (1)建立立体图形与空间向量的关系，利用空间 向量表示问题中所涉及到的点、线、面，把立体 几何问题转化为空间向量问题． (2)通过向量的运算研究平行或垂直关系，有时 可借助于方向向量或法向量． (3)根据运算结果解释相关的问题．
∴n＝－54z，－34z， z，
令 z＝4，得 n＝(－5，－3,4)． 又A→D＝(－7，－7,7)， ∴点 D 到平面 ABC 的距离 d＝|A→|Dn|·n|＝|352＋5＋219＋＋2186|，
∴d＝425
2 .
【名师点评】 用向量的知识来解决立体几 何问题是现在高考出题的一个趋势，要将立 体几何的问题转化为与向量有关的知识，因 为引入向量之后简化了一些繁琐的作辅助线 寻找垂线，平面角等步骤，为了更好地利用 向量的特点，一般都要在解决的图形中建立 坐标系，经常是利用图形中的垂直直线来建 坐标系．
【名师点评】 在用向量方法证明平行和垂 直时，同样需要立体几何最基本的定理，比 如本题中，要证明直线与平面平行，我们现 在还没有更好的计算手段，必须依靠直线与 平面平行的判定定理来证明直线的方向向量 与平面内的某个向量共线，从而得到直线和 平面平行．
空间向量与空间角
(1)求异面直线所成的角 设两异面直线的方向向量分别为n1、n2，那么 这两条异面直线所成的角为θ＝〈n1，n2〉或θ＝π －〈n1，n2〉， ∴cosθ＝|cos〈n1，n2〉|.
例1 已知，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面 ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C ＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，且PB ＝4PM，PB与平面ABC成30°角．求证：
(1)CM∥平面PAD； (2)平面PAB⊥平面PAD.
【思路点拨】 条件中有诸多垂直关系，具备
建立空间直角坐标系的条件，可以利用向量解 决．
【思路点拨】 求出A→D及平面 ABC 的法向 →
量 n，再由 d＝|A|Dn|·n|来解答．
【解】 ∵A→B＝(2，－2,1)，A→C＝(4,0,5)， 设平面 ABC 的法向量 n＝(x，y，z)，
A→B·n＝0 则A→C·n＝0 ，
∴2x－2y＋z＝0 ， 4x＋5z＝0
∴x＝－54z，y＝－34z，
(2)求斜线与平面所成的角 如图，设平面α的法向量为n1，斜线OA的方 向向量为n2，斜线OA与平面所成的角为θ，则 sinθ＝|cos〈n1，n2〉|.
(3)求二面角的大小 如图，设平面α、β的法向量分别为n1、n2.因 为两平面的法向量所成的角(或其补角)就等于 平面α、β所成的锐二面角θ，所以cosθ＝|cos 〈n1，n2〉|.(注：其中的〈n1，n2〉表示向量 n1与n2所成的角)．
【证明】 如图所示，建立 空间直角坐标系C－xyz.
(1)∵PC⊥平面ABCD， ∴∠PBC为PB与平面ABC所 成的角，∴∠PBC＝30°.
∵|PC|＝2，∴|BC|＝2 3，|PB|＝4， 得 D(0,1,0)、B(2 3，0,0)、A(2 3，4,0)、P(0,0,2)．
又|PB|＝4|PM|，∴|PM|＝1，M( 23，0，32)， ∴C→M＝( 23，0，32)，D→P＝(0，－1,2)， D→A＝(2 3，3,0)．