下载文档原格式
多元函数的极限与连续在微积分学中，我们学习了一元函数的极限与连续，而对于多元函数来说，也存在着与之对应的概念。
本文将探讨多元函数的极限与连续，并分析其重要性和应用。
一、多元函数的极限与一元函数类似，多元函数的极限也是通过变量自变量趋于某一值时的函数值的极限值来定义的。
具体而言，对于二元函数f(x, y)，当点(x₀, y₀)逼近某一点(x, y)时，如果对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当0＜√((x-x₀)²+(y-y₀)²)＜δ时，有|f(x,y)-f(x₀,y₀)|＜ε成立，则称f(x, y)在点(x₀, y₀)处有极限，记作lim┬(x,y)→(x₀,y₀) f(x,y) = L其中，L为函数的极限值。
需要注意的是，与一元函数不同，多元函数的极限存在多个方向，也即(x, y)可以从任意非常靠近(x₀, y₀)的点逼近。
二、多元函数的连续对于多元函数f(x, y)来说，当其在某一点(x₀, y₀)处既存在极限，且该极限等于该点的函数值f(x₀, y₀)，则称函数在该点连续。
换言之，函数在该点连续意味着函数值与极限值的两者相等。
相比一元函数，多元函数的连续需要满足更多的条件。
一元函数的连续只需要满足极限存在即可，而多元函数还需要考虑极限值的一致性。
具体而言，对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当0＜√((x-x₀)²+(y-y₀)²)＜δ时，有|f(x,y)-f(x₀,y₀)|＜ε成立。
三、多元函数的极限与连续的重要性多元函数的极限与连续是微积分学中的重要概念，具有以下重要性：1. 理论基础：多元函数的极限与连续是进一步研究微分、积分以及微分方程的基础。
只有理解了多元函数的极限与连续，才能更好地理解微积分学的其他概念。
2. 应用于实际问题：多元函数的极限与连续在各个学科和领域都有广泛的应用。
例如，在物理学中，多元函数的极限与连续用于描述粒子的运动和场的变化；在经济学中，多元函数的极限与连续用于优化问题和边际分析；在工程学中，多元函数的极限与连续用于建模和优化设计等。
多元函数、多元向量值函数f(X) F(X)多元函数的切平面、全微分、偏导有多元函数f(X)，若存在向量A=(a1,a2,…,an)使得f(X)-f(X0)-A(X-X0)=o(||X-X0||)，则称g(X)=A(X-X0)是f在X0处的切平面df=A d X=a1dx1+a2dx2+…+a n dx n是f的全微分b k=∂(f)/∂(x k)是将X的其他分量视为常数时f的导数，称为f的偏微分可以证明若A存在，a k=b k=∂f/ ∂x kNabla算子∇=(∂/∂x1,…, ∂/∂x n)∇A=Grad(f)=A称为f的梯度，∇ (f○g) = g∇f+f∇g若有单位向量e=(cosθ1, cosθ2,…, cosθn)，则称A.e是f沿e方向的方向导数，A.e=∂f/∂l 其中l与e平行若f在X0可微：X0处f各一阶偏导存在X0处f有梯度X0处f连续X0处f的各方向导数均存在若f在X0处各一阶偏导函数连续，则f在X0可微A=∇ f是向量值函数，可以观察，e与A平行时，f的方向导数最大，且大小A.e=||A||，称A 是f的梯度场向量值函数的切平面、微分、偏导F(X)=(f1(X),f2(X),…,f m(X))，若所有f i在X0处可微，则称F在X0处可微，即F(X)=F(X0)+A(X-X0)+o(||X-X0||)，其中A=(a ij)m*n=∂F/ ∂X=∂(f1,f2,…,f m)/ ∂(x1,x2,…,x n)=J(F(X0)))称为F在X0处的Jacobian(F的Jacobian的第i行是F的F i分量的梯度，a ij := ∂F i / ∂x j)F的全微分d F=Ad X当m=n时，F有散度Div(F)和旋度Curl(F)Div(F) = ∇.F=∂f1/∂x1 +…+∂f m/ ∂x mCurl(F) = ∇×F复合函数求导一阶偏导：若G=G(X)在X0可微，F=F(U) (U=G(X))在G(X0)可微，则F○G在X0处可微，J(F○G) = J(F(U)) J(G(X))具体地，对于多元函数f(U)=f(u1,…,u m)，其中U=G(X)即u i=g(x1,…,x n)∂f/∂x j= ∂f/∂U* ∂U/∂x j= Sum[∂f/∂u i * ∂u i/∂x j] {for each u i in U}高阶偏导：不要忘记偏导数还是复合函数例：f(U):=f(u1,u2), U(X):=(u1(x1,x2),u2(x1,x2))∂2f/(∂x1)2 = 数学分析教程P151隐函数、隐向量值函数由F(X,Y)=0确定的函数Y=f(X)称为隐函数隐函数：1.存在定理：若n+1元函数F(X,y)在零点(X0,y0)处导数连续，且∂(F)/∂(y)(X0,y0)<>0，则存在(X0,y0)附近的超圆柱体B=B(X0)*B(y0)，使得B(X0)上的任意一点X可以确定一个y使得F(X,y)=0，即函数F在B内确定了一个隐函数y=f(X)，而且这个隐函数的一阶偏导数也连续注：如果∂(F)/∂(y)=0，那么在X=X0超平面上，y在X0处取得了极值，那么沿曲面被X=X0截的曲线从X0处向任意方向走，y都会减小，所以y是双值函数，不是函数2.偏导公式：在B内的处，或者说不正式的证明：F(X,y)≡0, 所以∂F/∂x i=0,即Sum[∂F/∂x j* ∂x j/∂x i]=0 (把y记做x n+1)由于X的各分量都是自变量，∂x j/∂x i=0 (i<>j)所以∂F/ ∂x i + ∂F/∂y * ∂y/ ∂x i=0于是立即可得上述公式隐向量值函数：1.存在定理：若X∈R n,Y∈R m，m维n+m元向量值函数F(X,Y)=0，在P0=(X0,Y0)点的某个邻域B(P0,r)内是C(1)类函数，F(P0)=0，且∂F/∂Y可逆，则存在P0的邻域B(X0)*B(Y0)，使得对于在B(X0)内的任意X，存在唯一Y∈B(Y0)满足F(X,Y)=0，即F在B内确定了一个连续可微隐函数Y=f(X)2.偏导公式：J(f) := ∂(y1,…,y m)/ ∂(x1,…,x n) := ∂Y/∂X= -[∂F/∂Y]-1 * ∂F/∂X注：1.求逆矩阵用伴随矩阵的方法，A-1=A*/|A|，A*是A的余子矩阵的转置2.如果只求J(f)中的一列，∂(Y)/∂(x i)= -[∂(F)/∂(Y)]-1 * [∂(F)/∂(x i)]3.如果只求J(f)中的一行或者一个元素，问题退化成隐函数偏导的问题4.计算∂F/∂X时，忽略Y是X的函数，将Y当作自变量计算（从证明中可以看出原因，因为∂y/∂x的成分被移到了等式左侧J(f)里面)，而不用偏导公式，采取对F(X,Y)=0左右同时对x i求偏导的方法时，Y要看做x i的函数）3.隐向量值函数的反函数：函数Y=f(X)将R n映射至R m，如果J(f)= ∂f/∂X可逆，那么存在f的反函数X=f-1(Y)，且J(f-1)=[J(f)]-1注：1.求逆矩阵用伴随矩阵的方法，A-1=A*/|A|，A*是A的余子矩阵的转置2.|J(f-1)|=|J(f)|-1用参数形式给出的隐函数若有x=x(u,v)，y=y(u,v)，z=z(u,v)，则需要列方程求曲面和曲线的切平面、法线、法向量三维空间下，函数F(x,y,z)=0确定了一个曲面。
多元函数的极限与连续性在微积分学中，多元函数的极限与连续性是重要的概念和理论。
本文将介绍多元函数的极限与连续性的定义、性质和相关定理，并通过实例和推导来加深理解。
一、多元函数的极限多元函数是指自变量为多个变量的函数，例如f(x, y)。
在研究多元函数的极限时，需要先定义自变量的趋近方式。
我们定义自变量(x, y)趋近于(a, b)，并记为(x, y)→(a, b)，如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当(x, y)离开点(a, b)的距离小于δ时，对应的函数值f(x, y)与极限L的差的绝对值小于ε。
即满足以下条件：|f(x, y) - L| < ε，当0 < √((x-a)² + (y-b)²) < δ时。
二、多元函数的连续性多元函数在某个点上的连续性是指这个函数在该点的值与其极限相同。
具体地，函数f(x, y)在点(a, b)连续的定义如下：lim (x, y)→(a, b) f(x, y) = f(a, b)。
三、多元函数的极限运算法则多元函数的极限与一元函数类似，也遵循一些运算法则，如极限的唯一性、四则运算法则和复合函数的极限等。
其中，极限的唯一性法则指出：如果(x, y)→(a, b)时，f(x, y)存在极限L，则这个极限L唯一确定。
四、多元函数连续性的充分条件在一元函数中，连续函数的充分条件是极限存在。
但是在多元函数中，连续函数的充分条件有所不同。
根据多元函数的极限运算法则，可以得到以下结论：1. 一元函数的连续构成了多元函数的局部连续性；2. 极限与连续性的传递性：如果f(x, y)在点(a, b)连续，g(u, v)在点(f(a, b), c)连续，则复合函数g[f(x, y)]在点(a, b)也连续。
五、多元函数连续性的局部性质与一元函数连续性一样，多元函数的连续性也具有局部性质。
具体地，如果多元函数f(x, y)在点(a, b)连续，则在点(a, b)的任意邻域内，f(x, y)仍然连续。
2005级多元微积分期中考题 2006.4 答案A一．填空题1． 2 2． ),(2b a f x ' 3． 1323j i -4． ))(,())(,(211211dy xy dx y xy xy f xdy ydx xy xy f -----'++' 或写成 dy f yxf x dx y f f y dz )()(22121'-'+'+'= 5． ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛dy dx y e y e y e y e v u d x x x x cos sin sin cos 6． z e +127．83=z ，0)83()21()41(=-++++z y x 8．1232=++z y x 9．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡---++y x y e y e y e y e y x x xx x x θθθθθθθθcos sin sin cos ),(211 10．⎰⎰⎰⎰+404arccos20),(),(ππρθθρρρθθρρρaaaad f d d f d 11．012． tt t t t 23cos 2cos 3)(-='ϕ 二．计算题1．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=y x x xf z ,，其中f 有二阶连续偏导数，求y x zx z ∂∂∂∂∂222,。
解：⎪⎪⎭⎫⎝⎛'+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='y x x f y x y x x f x y x x f z x ,,,21 …………………………..2分222121121222f yxf y x f x f y f ''+''+''+'+'=，……………………….3分 223212222222f yx f y x f y x y x z ''-''-'-=∂∂∂………………………………….3分 2．考查函数)25(),(2y x e y x f yx +-=-的极值。
多元函数的极限和连续性在高等数学中，多元函数的极限和连续性是比较基础的概念，对于学习后续的微积分、偏微分方程等内容都有重要的意义，因此本文将从多元函数极限和连续性的定义、求解及其应用等方面进行探讨和阐述。
一、多元函数的极限和连续性的定义在一元函数中，极限的概念是比较容易理解和推广的，而在多元函数中，由于独立变量的个数增加，问题变得更加复杂。
因此，我们需要重新定义多元函数的极限。
1. 多元函数的极限定义设$f(\boldsymbol{x})$是定义在某点$\boldsymbol{x_0}=(x_0,y_0, z_0, ...)$的某一邻域内的多元函数，$\boldsymbol{\alpha}=(\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n)$是任一常数向量，那么当对于任意$\epsilon>0$，都存在$\delta>0$，使得当$0<\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{x_0}\Vert<\delta$时，都有$\vert f(\boldsymbol{x})-f(\boldsymbol{x_0}+\boldsymbol{\alpha})\vert<\epsilon$成立，则称$\boldsymbol{x_0}$是$f(\boldsymbol{x})$的一个极限点，记作$\lim\limits_{\boldsymbol{x}\rightarrow\boldsymbol{x_0}}f(\boldsymbol{x})=f(\boldsymbol{x_0}+\boldsym bol{\alpha})$。
可以看出，多元函数的极限与一元函数的极限相似，但是需要考虑的变量更多。
在多元函数中，只有当$\boldsymbol{x}$从任意方向趋近于$\boldsymbol{x_0}$时，$\lim\limits_{\boldsymbol{x}\rightarrow\boldsymbol{x_0}}f(\boldsymbol{x})$才存在。
