分数布朗运动下雇员股票期权的定价与数值模拟

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分数布朗运动环境下一类新型期权定价的鞅分析

述股票价格运动。
即Ｘ（ｓ＋）一Ｘ（）是期望为０、方差为Ｃ２ｔ的正态分布，则称｛Ｘ（￡）， ≥０）是布朗运动，当ｃ一１时，称为标准布朗运动，记为Ｂ（￡）［。布朗运动具有马尔科夫性和鞅性。
ｉｎｆｒａｃｔｉｏｎａｌＢｒｏｗｎｉａｎｍｏｔｉｏｎｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔ
ＬＵＳｈｕ — ｑｉａｎｇ，ＢＡＯＳｈｕ — ｘｉｎ
（ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＳｃｉｅｎｃｅ，ＤａｑｉｎｇＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｄａｑｉｎｇ１６３７１２，Ｃｈｉｎａ）
联合分布为ｎ维正态分布，则称｛Ｘ（），ｔ ∈Ｔ｝为
正态过程，也称Ｇｕａｓｓ过程＿９］。
０引
言
１几何分数布朗运动
定义ｌ若一个随机过程｛ｘ（￡）， ≥Ｏ），ｘ（）是独立增量过程而且关于ｔ是连续函数
ＶＳ，ｔ＞０，Ｘ（ｓ＋）一Ｘ（￡）～Ｎ（０，Ｃ￡），
Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓ期权定价公式自提出后被广泛应用于金融理论的期权定价内容中，公式中假设股价的分布是对数正态分布。而近年来对股票市场的研究结果表明股票市场价格并不完全符合正态分布，而是呈现出“ 尖峰胖尾” 形态，股价波动不是随机游走的，而是存在着长期的自相关性特点，这与几何布朗运动有一定不同。而分数布朗运动恰好具备长时间自相关特征，它能更好地描

混合分数布朗运动驱动的幂期权定价模型

有一代数流的概率空间，，分别为风险资产价格的预期收益率与波动率．Ｓ￡８（）Ｉ（）Ｂｚ为
ＷｉｋＩｃ —ｔ随机积分，ｏ型其定义及其性质见文献［ — ８．５］引入新的等价鞅测度Ｑ，满足
一ｘｅｐ
其中），一，一卢．在风险中性鞅测度Ｑ下，），Ｒ［（）（＋ＨＩ，∈＋Ｂｓ一２２ｔ．Ｂ “ —－ “ ｓ
当Ｈ＝１Ｂ即为标准布朗运动．Ｅ（）ｔ￣
，
现考虑由混合分数布朗运动驱动的金融市场，主要研究欧式幂期权的定价问题．本文考虑
境下的金融数学模型．用拟鞅方法，利获得了欧式幂期权定价公式的解析式及其平价公式．最后阐述了分数布朗运动只是混合布朗运动的一种特殊情形．
关键词混合分数布朗运动；期权；价关系幂平Ｆ３．。 ¨．８０９０２６文献标识码：Ａ
㈤一
｝ ’
Ｓ（＝Ｓ（）ｘｒＴ— ｔ＋ｏＢＨ（一Ｂ一（）＋Ｔ）＝ｅｐ｛（＝）［Ｔ）ｔ］
～Ｔ－Ｗ一ｗ（）～（］（一 “一Ｔ｝）Ｔ）￡ — ），（
其中，（）豆和（）￡分别为空间（ｌＦ，下的分数布朗运动和布朗运动．ｇ，Ｑ）
一
９～
一
个特殊的混合分数布朗运动，即一个分数布朗运动Ｂ与一个独立的布朗运动ｗ组成的线

分数布朗运动环境中交换期权的定价模型

分数布朗运动环境中交换期权的定价模型
布朗运动环境下交换期权定价模型：
一、简介
1、什么是布朗运动：布朗运动是一种在投资市场上具有概率性的运动环境，它可以解释货币市场上证券价格的变化。

2、什么是交换期权：交换期权是指受益人同另一个相关实体签订的期权合约，可以为受益人带来期限内受益权。

二、布朗运动模型
1、正态模型：主要用来描述证券价格的波动情况，如：投资组合的收益，货币市场的利率变化，外汇市场的汇率波动等，都属于正态模型。

2、风险平价法：采取的投资策略定价的主要方法之一，它的核心内容是针对该投资策略，将其成交均价和所有期权进行比较，从而最大化获取投资收益。

三、交换期权定价模型
1、模型表示：交换期权定价模型可以表示为C(t, x)，其中t为时间，x为期次，C 为此期权的定价。

2、期权价值：交换期权定价模型的期权价值由以下因素决定：a)时间价值：当期权到期时，受益人实际获得的利益；b)红利价值：持有期权的受益人所能获得的额外收益；c)可能性价值：持有期权的受益人可能得到的利益总和。

3、期权价格：交换期权定价模型更多地关注受益人在期权持有期间能够得到的收益，在决定期权价格时，还要考虑期权费用及其相关风险成本，以求得最理想的期权价格。

四、结论
交换期权在布朗运动环境下的定价模型，通过时间价值、红利价值和可能性价值来描述期权价值，并考虑期权费用及其相关风险成本，以求得最理想的期权价格，为投资者在布朗运动环境下获取最大收益提供了一种参考模型。

分数布朗运动条件下回望期权的定价研究

投资者总是处于最有利的位置，是让投资者最这感兴趣的地方．应的，得这份权利要付出的相取代价也会比普通期权大．年来，近国外衍生品市
崩溃等．而正态分布意味着股价是连续的．
自引入分数布朗运动以来，内外出现了国
大量的相关研究．ｃｌ１究了分数布朗运Ｎｅｕａ［研
动环境下的期权定价．一步的应用见动引入Ｍｅｔｎ模型对２，ｒｏ
最优投资组合的选择进行了讨论．ａｅＪｍｄｅ和Ｌｓ几何分数布朗运动代替几何布朗运动以０用反映金融市场的长记忆特性，对欧式期权定并价进行了研究［．ｏｅｓ４论了分数布朗运３Ｒｇｒ［讨］］
如亚式期权等的定价．
跟标准期权一样，望期权也分为看涨和回
关，而与历史价格无关．明显违背了投资者的这直觉，与事实不符．
（）形分布具有一个被称为 “ 亚效应 ” ３分诺的性质，意味着系统有突然和激烈的逆转．它这
看跌期权，再根据执行价是固定的还是浮动若的，回望期权就可分为４类：固定执行价格的回望看涨期权、固定执行价格的回望看跌期权、浮动执行价格的回望看涨期权、动执行价格的浮
与资本市场上的价格变化比较相符，股市的如

混合分数布朗运动下两值期权的定价模型

混合分数布朗运动下两值期权的定价模型付培;孙琳【摘要】Binary options are options that have only the corresponding value of the underlying asset's price, therefore have a discontinuity income of popular exotic option. In order to describe the long memory of the underlying asset and to eliminate the arbitrage in the financial market, this paper assumes that the underlying asset is subject to mixed fractional brown motion, binary option pricing model in the mixed fractional Brownian motion environment is obtained by using the martingale technique and stochastic analysis method. In order to understand the pricing model better, this paper analyzes the influence of Hurst index on pricing results.%两值期权是只有标的资产的价格超过执行价格才会有相应收益的期权,因而它具有不连续收益的性质,是目前一种普遍研究的奇异期权.为了描述标的资产的长记忆和消除金融市场的套利,在假设标的资产服从混合分数布朗运动的环境下,采用了拟鞅技术,运用了随机分析的有关内容,最终获得了两值期权在混合分数布朗运动环境下的定价模型.为了更好地理解定价模型,进一步分析了赫斯特指数对定价结果的影响.【期刊名称】《佛山科学技术学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(036)002【总页数】7页(P13-19)【关键词】混合分数布朗运动;两值期权;定价模型;拟条件期望【作者】付培;孙琳【作者单位】广东工业大学应用数学学院,广东广州510520;广东工业大学应用数学学院,广东广州510520【正文语种】中文【中图分类】O211.6期权定价问题是金融数学的一个重要问题。

混合分数布朗运动环境下一类变形后幂期权定价的鞅分析

１分数布朗运动与混合分数布朗运动
定义１设｛ｘ（ｆ），ｔ ∈ ）为随机过程，如果对任意 ∈ （ｆ＿１，２，…，），ｘ（ｔ３，Ｘ（ｔ２），…，ｘ（）的联合分布为，ｌ维正态分布，则称｛ｘ（ｆ），ｔ ∈ 丁）为正态过程，也称Ｇｕａｓｓ过程．定义２口若连续Ｇｕａｓｓ过程｛（ｆ），ｔ０）满足
７月
Ｊｕ１．２０１３
文章编号：１００７ — ９８３１（２０１３）０４ — ０００６ — ０３
混合分数Байду номын сангаас朗运动环境下一类变形后幂期权定价的鞅分析
包树新，展丙军，贾连广，金天坤
（大庆师范学院数学科学学院，黑龙江大庆１６３７１２）
ｏｐｉｔｏｎｓ，ｍａｄｅｉｔｍｏｒｅｏｐｅｒａｔｉｏｎａ１．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｍｉｘｅｄｆｒａｃｔｉｏｎａｌＢｒｏｗｎｉｎａｍｏｔｉｏｎ；ｐｏｗｅｒｏｐｔｉｏｎ；ｅｕｉｑｖａｌｅｎｔｍａｒｔｉｎｇａｌｅｍｅａｓｕｒｅｓ
Ｍａｒｔｉｎｇａｌｅａｎａｌｙｓｉｓｏｎｐｒｉｃｅｏｆａｅｘｏｔｉｃｐｏｗｅｒｏｐｔｉｏｎｉｎ
ｍｉｘｅｄｆｒａｃｔｉｏｎａｌＢｒｏｗｎｉａｎｍｏｔｉｏｎｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔ

基于分数布朗运动的亚式期权定价

文化视野基于分数布朗运动的亚式期权定价潘　娣安徽三联学院基础部摘要：给出了分数布朗运动下的几何平均亚式期权定价的数学模型，通过热传导方程得到了亚式期权价值的解析表达式。

利用数值算例讨论了：赫斯特指数、无风险利率及敲定价格对期权价值的影响.关键词：亚式期权；分数布朗运动；数值算例中图分类号：F830 9；O211 文献识别码：A 文章编号：1001-828X(2017)010-0405-02引言期权是指以确定的价格在确定的时间购买或出售确定数量的其标的资产的权利。

在期权合约中，确定的价格为敲定价格，确定日期为到期日。

而看涨期权指在一定的时间以确定的价格购买某项资产的权利，看跌期权则表示卖出该资产的权利。

1973年，Black, Scholes[1]和Merton[2]推导出了古典的Black-Scholes模型，他们设金融衍生产品价值V(S t,t)满足如下的方程这里S t表示股票在t时刻的价格，σ为波动率，r为市场中的无风险利率。

在模型求解中，结合了终值条件V(S T,T)=max(S T-K,0)，其中D为执行价格，T为到期日，那么得到欧式看涨期权价值的解析表达式[1](1.2)其中N(x)为累积标准正态分布函数。

Fama[3]在1965年指出,资产价格具有长期依赖性,由于分数布朗运动是连续的高斯过程，有长期依赖性，所以它能够更精确的描述出金融资产的变化。

Rogers[4]发现分数布朗运动路径积分理论下的市场存在着套利机会。

2003年，Hu和Oksendal[5]推导出了分数Girsanov公式(情形)和分数公式，并验证了此积分对应的市场没有套利机会。

亚式期权是一张期权合约，它在到期日的收益依赖于整个期权有效期内的资产价格的平均值，这种路径依赖型期权不仅减少了价格变动所带来的影响，也可以准确的反映股票价格变化的趋势，根据计算亚式期权价格方法的不同，可以分为算术平均亚式期权和几何平均亚式期权，根据到期日收益的不同，可以分为固定敲定价格和浮动敲定价格两类。

分数布朗运动环境下降低权利金的权证定价研究

ＺｈａｅｉｏＷ
（ｃｏｌｆｕｉｅｓＨａｈｉｎｔｕｅｏｅｈｏｏｙｉｎｕｇｎ２０１ＣｉａＳｈｏｓｓ，ｕｉａＩｓｔｔｆｃｎｌ，Ｌａｙｎａｇ２２０，ｈｎ）ｏＢｎｉＴｇ
ＡｂｓｒｃｔＣｏｉｅｎｇｏｒｃｉｎｌｃａａｔｒＢｒｗｎｉｎｍｏｉｎｉｏｎｒａｏａｌｏａｉｓｕｐｉｎｔｐｔｎｐｃｎｔａ：ｎｓｄｒｆｆａｔｏａｈｒｃｅ，ｏｉａｔｏｓｎ－ｅｓｎｂｅｆｒｂｓｃａｓｍｔｏｏｏｉｒｉｇｏｉ
Ｓｐ，０１ｅｔ２２
分数布朗运动环境下降低权利金的权证定价研究
赵巍
（淮海工学院商学院，江苏连云港２２０）２０１
［摘要】证券市场分形特征的存在，否定了布朗运动作为期权定价模型初始假定的合理性．本文从标的资产服
ｍｏｅ．ＴｉａｅｅｓｔｅａｓｒｐｉｅｆｌｗｄｆａｔｎｌＢｏｎａｔｎｔｏｓｒｃｕｓ－ｒｎａｅｍｅｈｄｕｄｒｄ１ｈｓｐｐｒｓｔｈｓｅｒｏｌｅｒｃｉａｒｗｉｎｍｏｉｏｃｎｔｔｑａｉｍａｔｇｌｔｏｎｅｔｃｏｏｏｕｉｔｅｒｓｅｔａｕｅ，ｉｈｃｎｓｍｐｉｈｒｃｅｉｇｏｏｖｎｒｃｉｎｌｌｃ — ｃｏｅ．ＦｒｅｍｏｅｈｓｐｐｒｈｋｎｕｒｍｅｓｒｗｈｃａｉｌｙｔｅｐｏｅｄｎｆｌｉｇｆａｔａａｋＳｈｌｓｕｔｒｒ，ｔｉａｅｉｌａｆｓｏＢｈｓｌｅｗｏｋｎｓｏｅｒｓｅｐｉｎｂｈａｎａｎｅｓｔｅｐｃｎｑａｉｎｄｖｎｂＢＭ．ｏｖｓｔｉｄｆｄｐｅｓｄｏｔｙｔｅｓｌｅｗｙａｄｇｔｈｒｉｇｅｕｔｒｅｙＦｏｉｏｉＫｅｒｓｆｃｉｎｌＢｏｎａｔｎ，ｑａｉｍａｔｇｅｒｃｉｎｌＢａｋＳｈｌｓｍｏｅ，ｄｐｅｓｄｏｔｎｙｗｏｄ：ａｔａｒｗｉｎｍｏｉｒｏｏｕｓ－ｒｉａ，ｆｔａｌｃ — ｃｏｅｄｌｅｒｓｅｐｉｎｌａｏｏ

分数布朗运动驱动的幂型期权定价模型研究

第２卷第４期５
２００８年１２月
经
济
数
学
Ｖ１２Ｎ．ｏ．５ｏ４
Ｄｅｃ．２８００
ＭＡＨＥＴＭＡ１ＳＩＣＯＣ１ＣＮＥＯＮＭＩＳ
分数布朗运动驱动的幂型期权定价模型研究
赵巍
（淮海工学院商学院，江苏，连云港，２０１２２０）摘要股价运动分形特征的发现，明布朗运动作为期权定价模型的初始假定存在缺陷．文假定标的资说本
中图分类号
１引言．
自从Ｂｃｅｅ（９ｏ关于债券价格运动的研究以来，生了许多描述股票价格收益行为ａｈｌｒ１ｏ）ｉ产的模型ｌ．１针对Ｂｃｅｅ的算术布朗运动模型出现价格的负值，ａｕｌｎ提出了几何布朗运］ａｈｌｒｉＳｍｅｏｓ动模型＿，ｓｏｅ１５）２Ｏｂｒ（９９也建议用正态分布随机变量来为对数股票价格建模．ｎ随后，朗运布动以其良好的随机计算性质而广泛应用于期权定价中．然而，大量的实证研究表明，多数股大票市场中的随机现象都体现出了很强的肥尾、自相似和长期相关性，导致大量由布朗运动驱动的定价模型不符合真实市场情况．Ｍｒｅｒ和ＶｎＮｓ（９８提出的分数布朗运动Ｈ，ａｄｌｏｂｔａｅｓ１６）ｊ是弥补上述模型缺陷最为简单的方法．许多研究者以不同方法给出了分数布朗运动的离散逼近，在分数轨道积分（ｒｔｎｌ还ｆｃｏａａｉｐｔｉｔｒｓ意义下用多种途径证明了分数ＢａｋＳｈｌ模型下的欧式期权定价存在套ａｗｓｉｅａ）ｈｅｎｇｌｌ．ｃｏｓｃｅ利。，］这使得分数布朗运动似乎不适宜于驱动期权定价模型．Ｈ而ｕ和￣ｓｎａ（０３在另外ｋｅｄｌ２０）

分数布朗运动环境下亚式期权定价的新方法

在通常金融市场模型中用分数布朗运动取代标准布朗运动早已被众多学者认同，主要是由于分数布朗运动具有较好地 “ 厚尾 ”和长程依赖特性，而且仍然是一个高斯过程．关于分数布
朗运动随机分析理论可参见文献ｆ，．分数布朗运动在金融中的应用可见文献ｆ７．３４］５１ —
分类号：ＡＭＳ２０）０１；００（００６Ｈ０９Ａ６
中图分类号：８０；２１；２３Ｆ３．Ｏ１．Ｏ１．９６２
文献标识码：Ａ
１引言
亚式期权是一种依赖标的资产价格路径的期权，它在到期日的收益依赖于期权整个有效期内标的资产的平均价格，根据取平均的方法亚式期权可以分为算术平均型和几何平均型两种类
第２卷第２９期
２１年０月０２４
工
程
数
学
学
报 Байду номын сангаас
Ｖ１２Ｎ．ｏ９ｏ２．
Ａｐ．２１ｒ０２
ＣＨＩＮＥＳＪＥＯＵＲＮＡＬＯＦＥＮＧＩＮＥＥＲＩＮＧＡＴＨＥＭＡＴＩＭＣＳ
文章编￣：０—０５２１）２０７—６１５３８（０２０—１３００
收益依赖于有效期内标的资产的平均价格．这里主要研究几何平均亚式看涨期权，它的损益为
ｅｐｘ
｛ｎ））－＋．
（３）＋（，４）
令厶＝ｉ￣ｕｎＳｄ，则
（唧＋ｎ ¨ ｎ））＝＿＋（
其中
收稿日期：０００．７作者简介：孙玉东（９３１月生）２１—５０．１８年１，男，博士．究方向：随机微分方程与数理金融研

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青年与社会
２０１４年１０ｔｆ］上
第２８期总第５７４期
分数布朗运动下雇员股票期权的定价与数值模拟
李
（湖北理工学院
慧
汪玉霞
黄石４３５００３）
数理学院，湖北
【摘
要】文章在Ｂｌａｃｋ — Ｓｃｈｏｌｅｓ期权定价模型的基础上给出标的分数布朗运动驱动下的雇员股票期权定价方法公式，并
给出数值模拟方案。
【关键词】分数布朗运动；雇员股票期权；定价；数值模拟
期权是买卖双方签订的一种标准化合约，期权的买方有权在合同约定的时间或时期内执行合约约定的权利而无必须执行的义务，卖方只有执行约定的义务而无拒绝执行的权利。
Ｊｐ何（
｝
、／。￡ｅｘｐ（＿乏２ｔ … 一２ｚｔ
１
时的价格
ｆ），０满足下列偏微分方程：
盟：＋ｒＳ盟：＋Ｈｅｒ２ｔ２７ｔ－４Ｓ：
ｔｄｄ
： ∥
并且￣－ＩＢ．（Ｏ・郫）】：（１，２），＋ＩｓＩ一ＩＩ，ｓ≥ ０，ｔ ≥０。
１一
、
Ｓ（ｔ）＝Ｓｏｅｘｐ￣ｔ－ ÷ ｆ柏）
引理３在标的资产股票的价格满足ｄＳ（ｔ）＝ｔｚＳ（ｔ）ｄｔ＋ａｄＢＨ（ｔ），均为常数，边界收益为ｒ）的条件下期权在ｆ（０≤ ｔ ≤
定义１：定义在完备概率空间（Ｑ，Ｆ，尸）上的Ｈｕｒｓｔ参数为Ｈ（Ｏ＜Ｈ＜１）的分数布朗运动为一连续Ｇａｕｓｓｉａｎ过程｛ｆ），ｔ ≥０），满足ｏ）＝０，目口，，（明＝０，ＢＮ（ｔ）的分布函数为：
论：
定义２：如果股票价格ｓ（０满足随机微分方程嘏（
Ｓ（ｔ）ｄｔ＋ａ（ｆ）拈，则称的预期收益率，为股票价格波动率，两者均为时间ｔ的确定性函数。定义３：传统雇员股票期权是指期权期限为，期权授予时刻（ｔ＝Ｏ）股票价格为ｓｏ，ｔ时刻的股票价格为Ｓ，执行价
买方通过支付期权费获得权利而卖方通过收取期权费来履行义务。看涨（看跌）期权的买方有按协定执行的价格在协定的未来某时刻买人（或卖出）期权标的资产（如股票）的权
望＋ｒＳ望＋０．２Ｓ遥：
已ｔ芒＝Ｓ２ｓ
在边界条件
冲抵它应该支付给雇员的工资，同时激励其股权人（往往也是公司的高管）为公司做出积极贡献，雇员股票期权有时也
０），ｔ＝Ｔ情况下的形式：ｌｎ（／。）＋（＋
＝
‘
：）（ — ）
…
一
一
一
～
一 …
．：
：＝
皇…… … … …
拟方法。基本概念与结论
一
：一 …… …… 一一：．。 …一一一 …一一：ｃ／，一ｏ－％／Ｔ一，ａＴ一｛。
其中 Ⅳ （・）为标准正态分布的累积概率分布函数，ｒ为
无风险利率，传统上将ＬＩＢＯＲ利率（伦敦同业银行拆出利率）作为无风险利率。
ｆ－ｍａｘｌｓ — Ｋ，ｏ１，ｔ＝Ｔ下解的表达式，传统雇员股票期权在当前时刻ｔ的价
值（，即为在期权执行价格Ｘ＝Ｓｏ，边界条件ｍａｘ（Ｓｔ－
，
利，而卖方有卖出（或买进）相应资产的义务。雇员股票期权是公司授予其雇员在本公司股票上的看涨期权，它赋予雇员一项权利，如果公司效益很好，使其股票价格超过期权协议的执行价格，雇员可以通过行使期权将所获得的股票按市场价格卖出而获益。公司用股票期权的出让
引理１随机微分方程ｄＳ（ｔ）＝ｌｘＳ（ｔ）ｄｔ＋ａｄＢ（ｔ）；Ｓ（Ｏ）＝Ｓ。的解为
Ｓ（ｔ）＝Ｓｏｅｘｐ（（，ｕ－ａｚ）ｔ＋ａＢ（ｔ））引理２随机微分方程ｄＳ（ｔ）＝ＩｚＳ（ｔ）ｄｔ＋ａｄＢ￣ｔ）；Ｓ（Ｏ）＝Ｓｏ的解为
当Ｈ：÷时，ｆ）２即为标准布朗运动（ｆ）。
Ｚ
边界条件为（），）７））对传统雇员股票期权即Ｋ＝Ｓｏ，．，ｑｓ（ｒ））＝ｍａｘ（Ｓｒ－Ｓｏ，ｏ）情形
应用引理２与标准布朗运动下的期权定价公式可得如下结
ａ４ｒ—ｆ
ｌｎ（Ｓ。）＋（ｒ一言＝）（７一）
一 … 一
被称为公司高管的绩效工资。近年来对股票市场的实证研究表明，股票价格变化并不符合正态分布，而呈现一种 “ 尖峰厚尾 ”分布，股价之间也不是随机游走的，而是在不同时间存在长期相关性与自相似等特征，分数布朗运动正好具备这些特征，因此能很好的刻画股票价格波动规律。本文是在股票价格服从几何分数布朗运动的假设下导给出雇员股票期权的定价公式和具体数值模