分数布朗运动的简化和应用

分数布朗运动环境中交换期权的定价模型
布朗运动环境下交换期权定价模型：
一、简介
1、什么是布朗运动：布朗运动是一种在投资市场上具有概率性的运动环境，它可以解释货币市场上证券价格的变化。

2、什么是交换期权：交换期权是指受益人同另一个相关实体签订的期权合约，可以为受益人带来期限内受益权。

二、布朗运动模型
1、正态模型：主要用来描述证券价格的波动情况，如：投资组合的收益，货币市场的利率变化，外汇市场的汇率波动等，都属于正态模型。

2、风险平价法：采取的投资策略定价的主要方法之一，它的核心内容是针对该投资策略，将其成交均价和所有期权进行比较，从而最大化获取投资收益。

三、交换期权定价模型
1、模型表示：交换期权定价模型可以表示为C(t, x)，其中t为时间，x为期次，C 为此期权的定价。

2、期权价值：交换期权定价模型的期权价值由以下因素决定：a)时间价值：当期权到期时，受益人实际获得的利益；b)红利价值：持有期权的受益人所能获得的额外收益；c)可能性价值：持有期权的受益人可能得到的利益总和。

3、期权价格：交换期权定价模型更多地关注受益人在期权持有期间能够得到的收益，在决定期权价格时，还要考虑期权费用及其相关风险成本，以求得最理想的期权价格。

四、结论
交换期权在布朗运动环境下的定价模型，通过时间价值、红利价值和可能性价值来描述期权价值，并考虑期权费用及其相关风险成本，以求得最理想的期权价格，为投资者在布朗运动环境下获取最大收益提供了一种参考模型。

羅伯特布朗的布朗运动和数学建模羅伯特·布朗（Robert Brown，1773年12月21日-1858年6月10日）是一位英国植物学家和生物学家，他以发现“布朗运动”而闻名于世。

布朗运动是一个微观粒子在液体或气体中不规则的、随机的运动过程，这一发现在科学史上具有里程碑的意义，也为后来统计力学和随机过程的发展提供了重要的启示。

布朗运动的观察与描述羅伯特·布朗最早观察到布朗运动是在1827年，当时他在显微镜下观察鸢尾花绒毛的花粉颗粒在水中的运动。

他发现这些花粉颗粒呈现出无规律、快速且不受控制的运动，这种现象被后人称为“布朗运动”。

在布朗的研究中，他详细描述了这种微观颗粒在液体中扩散的运动特征，并提出了有关这一现象的猜想。

布朗运动的数学建模对于布朗运动这一随机过程，数学家们提出了多种数学模型来描述和解释这种现象。

其中最著名的要数维纳-斯托克斯方程（the Wiener–Stokes equation），它是描述颗粒在流体中受到扰动作用的微分方程。

通过这一数学模型，可以更加准确地预测和解释布朗运动的规律性。

除了维纳-斯托克斯方程外，还有许多统计力学中的理论模型被应用于研究布朗运动。

例如，基于随机微分方程、随机过程和随机行走等数学工具，科学家们可以深入探讨布朗运动背后更深层次的规律和特性。

布朗运动在科学研究中的应用布朗运动不仅在物理学和数学领域得到广泛应用，在生物学、化学等领域也有着重要意义。

在生物学中，布朗运动被应用于研究细胞器官的运输与扩散过程；在化学领域，它有助于理解分子之间的碰撞和扩散行为。

可以说，布朗运动作为一种普遍存在于自然界中的随机现象，对科学研究具有深远影响。

结语羅伯特·布朗的发现不仅改变了人们对微观世界的认识，也推动了数学建模和统计力学等领域的发展。

通过对布朗运动进行深入研究，我们不仅更好地理解自然界中微小粒子的行为规律，也为人类更深层次地探索自然世界铺平了道路。

称 Ｇ∈ 木为 Ｆ （） ｎｔ 可测， 壹［ ］：Ｇ 注意到 云Ｅ ｆ］：Ｂ （）≠Ｅ Ｂ （）ｌ Ｈ ｓ］ 如果 Ｇ ｏ Ｂ （） Ｈｓ ［ （） 。 Ｆ
定理 １ 对 任 意 ０ ＜ ｔ＜ Ｔ和 Ａ ∈ Ｃ， 有
文献 标 识 码 ： Ａ 文 章 编 号 ： ０ ９— ９ １ ２ １ ） ３ ０ １ ０ １０ ７６ （ ０ ０ ０ — ０ ２— ３
关键词 ： 分数布朗运动 ； 泊松过程 ； 随机跳跃
中 图 分类 号 ：０ ７ ．３ １５２
Ｔｈ ｏ ｏ ｃ ｌ ｏ ｅ ｆｔ ｅ Ｆｒ ｃ ｉｎ ｌ ｏ ｉ ｎ Ｍ ｏ ｉ ｎ ｗｉ ｕ ｐ ｅ Ｅｃ ｎ ｍｉａ ｄ ｌｏ ｈ ａ ｔｏ ａ Ｍ Ｂｒ ｗｎ ａ ｔ ｔ Ｊ ｍ ｓ ｏ ｈ
ｍｕ ａ ａ ｅ ｏ ｔｉ ｅ ｌ ｂａ ｎ ｄ． ｒ
Ｋｅ ｒ ｓ ｆ ｃｉ ａ Ｂ ｏ ｎａ ｏ ｏ ；Ｐ ｓ ｏ ｒｃｓ ； ａ ｄ ｍ ｊｍ ｙｗｏｄ ：ｒ ｔ ｎ ｒｗ ｉ ｍ ｔ ｎ ｏｓ ｎｐｏｅｓ ｒｎ ｏ ｐ ａ ｏｌ ｎ ｉ ｉ ｕ
０ 引 言
在过去 的几 十年里 ， 大量 的学者研 究 发现金 融市场 是无套 利 的 ， 并且遵 循一 种无 规律 的 随机 游走 ， 即 布 朗运动 ， 出了期权定 价 的模 型 和方法 。然而 ， 实又 证 明用 分 数布 朗运动 代 替 布 朗运 动来 研究 金 融 给 事
收 稿 日期 ： ００— ４— １ ２ １ ０ ２
作者简介 ： 宋燕燕（ ９ ５ ， ， １８ 一） 女 江苏南通人 ， 在读硕士 ， 研究方 向为金融数学 。
第３ 期
宋 燕燕 ， 王子亭 ： 带跳跃的分数布朗运动 的经济模 型
１ ３
（ ） Ｘ ＝Ｘ ｐ ｔ＋ｃ Ｂ 。 ２ｄ （ ｄ ｒ ） ｄ

ｄ Ｘ
＝
，
ｂｔ ）ｔ ｄ （ ｄ ＋ ，
（ ２） （ ） ３
或
ｄ Ｘ
＝
，
ｂｔ ）ｔ （ Ｘ， （ Ｘｔ ＋ ｆ ） ， ｄ ， ｄ
本文的 目的是研究下述方程
，
＝ ＋ ＋ （ ） ＋ 厂ｓ ｓｕ ｄ ｄ） ６ ， ｄ Ｌ （Ｘ＿ ） （ ， ｓ ， ，Ⅳ ｓ “ ） 一 ＋ ／ ｚ一 （， Ｊ （ ｌ－ ｌ ＬＩ（ ， ／ ） ， ） ） ｘ ｙ
所 以
Ｅ ， Ｅ ［ 一 ＋Ｌ厂 Ｘ，一（ ） 出 扰 ［ 一 ］ ｌ６， ６， ［ ｓ ） ］ ，） ｌ （ ＝ ） （ ） （ 一 厂， （ｄｌ ２Ｉｂ， 一（ 出 ＋ Ｉ ［ 一）ｆ，一） 出 ＝ （） ｇ＇（ ６， ｆ２ ／， ，－（ ，］ ，） ＋ ６ Ｊ ） Ｅ （ Ｕ （ｄｌ ￣ ｌ ） ｘ
第 ４期
由分数布 朗运动驱动 的带跳 的随机微分方程 的解
・ ７・ ７
其中： （ ｘ 是适当条件的 Ｂ ｒ 可测 函数 ， ｂｓ ） ， ｏｌ ｅ
（ｔ ＝Ｎ （ｄ ） ｔ ｄ） ｄ， ） ｐｆ －ｎ ＂ 是平稳 Ｐ ｉ Ｏ 点过程 （ ， ｏ ｄ ， （ ｏ ｓｌ ｓｉ ） 的
收 稿 日期 ：２ １ － ３ ０ ０ １０ —５
基金项 目：陕西省 自然科学基金项目——分数布朗运动驱动的随机微分方程及其应用 （ ００ ＭＩＩ ２ １Ｊ ＯＯ） 作者简介：陈有锋 （ ９５ ，女 ，河南泌 阳人，在读研究生，主要从事金融数学方面的研究 ，ｆｎｙｕ ５７９ ２ ． ｍ １８一） ｅｇｏ４６ ８＠１６ｅ ｏ
补偿测度 ， 为点过程的特征测度 ， 是 的定义域 ， ｔ Ｐ 的计算测度是 （ｄ ） 而且满足： ｆｕ， ， 对任意 Ｃ Ｙ ． 有 Ｎ （ ） Ｅ Ⅳ ， ） ｎＡ ，方程 （ ） ｐｆ ＝ （ （ ）＝ｔ ） ， ｆ （ ４ 存在唯一解 。 证明 第 １ ，证明唯一性 。 步

权 支付 函数为幂型的 欧式期权 的定价 ， 到在分数布 朗运 动环 境下 ， 得 具有 不同借 贷利率的幂型 欧式看 跌期权 的定价公式． 丰富 了已有期权定价 结果 ， 使期权 定价公式更贴近 于实际．
关 键 词 ： 价 鞅 度 ； 数 布 朗运 动 ； 等 分 幂型 欧 式 期 权 中 图 分 类 号 ：８ ０ ９ Ｆ ３ ． 文 献 标 识 码 ： Ａ 文 章 编 号 ：６ ２— ９ ６ ２ １ ）４— ４ ３— ３ １７ ０ ４ （０ ０ ０ ０ ３ ０
第２ 卷 第４ ６ 期
２１ 年 ８月 ００
哈 尔 滨 商 业 大 学 学 报（ 自然科 学版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ ｒ ｉ ｉｅｓ ｙｏ ｏ ｏ ｒ ａ ｂｎＵｎｖ ｒｉ ｆＣ ｍｍｅ ｃ Ｎ ｔｒ ｌ ｃ ｎ ｅ ｄｔ ｎ ｏ Ｈａ ｔ ｒｅ（ ａｕ ａ ｉ ｃｓＥ ｉｏ ） Ｓｅ ｉ
ｔ ｆ ｐ ｉｎ ｅ ｐ ｒ ｔ ｎ ｉ ｄ ｒ ｅ ａ ｏ ｕ ｃｉｎ ｆ ｒｔ ｅ ｐ ｗｅ ｆＥ ｒｐ ａ ｐ ｉｎ ｐ ｉ ｉ ｇ ｉ ｏ ｔ ｘ ｉ ｉ ｓ ｅ ｉ ｄ ｐ ｙ ｆ ｆ ｎ ｔ ｏ ｈ ｏ ｒ ｏ ｕ ｏ ｅ ｎ ｏ ｔ ｒ ｎ ｍｅ ｏ ｏ ａｏ ｖ ｏ ｏ ｃ
ｍｏ ｅ ，ｈｉ ａ ｅ ｂ ａｎ ｈ ｗｅ ａ ｏ ｆ ｒ ｐ ａ ｔｏ ｔｏ ｒｃｎ ｏｍ ｕ ａ ｗｉｈ ｄ ｆｅ — ｄ ｌ ｔ ｓ ｐ ｐ ｒｏ ｔｉ ｓ ｔ ｅ ｐｏ ｒｐ ｙ ｆｓＥｕ ｏ ｅ ｎ ｐｕ ｐ ｉｎ ｐ ｉｉ ｇ ｆ ｒ ｌ ｔ ｉｆｒ ｅ ｔＢｏ ｒ ｗ—ｅ ｄｉｇ ｒ ｔ ｎ ｔ ｅ ｅ ｖｒ ｎ ｅ ｔｏ ｒ ｃｉｎａ ｏ ｉ ｎ ｍ ｏｉ ｎ Ｉ ｅ ｉｃ ｈ ｘ ｓ— ｎ ｒｏ ｌｎ ｎ ａ ｅ ｉ ｈ ｎ ｉｏ ｍ ｎ ｆｆａ ｔｏ ｌＢｒ ｗｎ ａ ｔｏ ． ｔ ｎｒ ｈ ｔ ｅ ｅ ｉｔ ｉ ｇ ｏ ｔｏ ｒｃｎ ｅ ｕ ｔ ，ｗｈｉｈ ｍ ａ ｐｉ ｎ ｐ ｉｉ ｇ ｆ ｒ ｕ ａ ｍ ｕ ｈ ｃ ｏ ｅ ｏ ｔ ｅ ｆｃ ． ｎ ｐ ｉｎ ｐ ｉ ｇ ｒ ｓ ｌｓ ｉ ｃ ｋｅ ｏ ｔ ｒｃｎ ｏ ｍ ｌ ｃ ｌ ｓ ｒｔ ｈ ａ ｔ ｏ Ｋ ｅ ｏ ｄｓ： ｑ ｖ ｌｎ ａ ｔ ｇ ｌ ａ ｕｒ ｓ ｆａ ｔｏ ｌＢｒ ｗｎ ａ ｏｉ ｎ；ｐ ｗｅ ａ ｏｆ ｙｗ ｒ ｅ ｕｉａ ｅ ｔｍ ｒｉ ａ ｅ ｍｅ ｓ ｅ ； ｒ ｃｉｎａ ｏ ｉｎ ｍ ｔｏ ｎ ｏ ｒ ｐ ｙ ｆ Ｅｕ・ ｓ

几何布朗运动几何布朗运动，也称为分形布朗运动，是一种空间随机标准布朗运动的推广，其路径不再是连续光滑的，而是具有分形结构的。

这个模型主要以欧几里得空间中的随机游走过程为基础，包含了随机性、无序性和自相似性等概念，描绘了一类具有分形结构的随机运动现象。

几何布朗运动是一种多分形现象，可以在任何尺度上看到相似的形态。

这种运动由多组随机变量表示，各个变量之间保持独立性，从而满足中心极限定理和伯努利大数定律。

在随机过程的模拟中，几何布朗运动是一种很重要的提高模拟精度的工具。

几何布朗运动以欧几里得空间中的随机游走为基础，通俗地讲，就是在一个二维平面上，一个物体根据某个规则随机移动，每次移动的距离和方向都是随机的，这样的过程一直进行下去，就形成了一个几何布朗运动的路径。

这个路径看起来就像随机波动的线条，在各个尺度上都有分形结构。

几何布朗运动的一个特点是具有自我相似性。

这意味着，无论以何种比例缩放几何布朗运动的路径，都可以看到相似的形态。

例如，在一个尺度上看，路径可能是一个很大的波峰，而在另一个尺度上看，路径可能是由很多小波峰组成的，而这些小波峰又由更细的小波峰组成。

几何布朗运动的自我相似性使得其在自然科学中有着很广泛的应用。

例如，在地理学中，如果测量一条岸线，可以发现，这条岸线无论衡量多少次，其长度都是无限的，这就可以用几何布朗运动来进行模拟。

在金融领域，几何布朗运动可以用来模拟股票价格，以及模拟复杂的随机波动性等等。

几何布朗运动的数学模型是分形，分形具有复杂性、不可规则性、形态相似性等特征。

几何布朗运动在应用中有以下几个特点：1. 几何布朗运动的路径有分形特征，即在任何尺度上看都有相似的结构，这种相似性的出现使得这种运动的刻画更为准确。

2. 几何布朗运动的路径是不连续的，这种不规则性使得这种运动更为真实。

3. 几何布朗运动的路径具有随机性，也就是说，每一步的方向和大小都是随机的，这种随机性使得这种运动更为真实。

第一章：复习分数的基本概念1.1 复习分数的定义：一个分数由分子和分母组成，分子表示被分成的份数，分母表示总份数。

1.2 复习分数的分类：真分数、假分数和整数分数。

1.3 复习分数的简化：将分数化简为最简形式，即分子和分母互质的形式。

第二章：复习分数的比较2.1 复习同分母分数的比较：分子越大，分数值越大。

2.2 复习异分母分数的比较：先将分数通分，再比较分子的大小。

2.3 复习分数的排序：将分数化为小数进行比较和排序。

第三章：复习分数的加减法3.1 复习同分母分数的加减法：分子相加（减）后，分母保持不变。

3.2 复习异分母分数的加减法：先通分，再按照同分母分数的加减法进行运算。

3.3 复习分数的加减法应用题：解决实际问题，如购物、分配等。

第四章：复习分数的乘除法4.1 复习分数与整数的乘除法：将整数与分子相乘（除），分母保持不变。

4.2 复习同分母分数的乘除法：分子相乘（除）后，分母相乘（除）。

4.3 复习异分母分数的乘除法：先通分，再按照同分母分数的乘除法进行运算。

第五章：复习分数的混合运算5.1 复习分数的混合运算顺序：先算乘除，后算加减。

5.2 复习分数的混合运算应用题：解决实际问题，如面积计算、速度计算等。

5.3 复习分数的运算定律：交换律、结合律和分配律。

第六章：复习分数的换算6.1 复习分数与小数的换算：将分数化为小数，或将小数化成分数。

6.2 复习分数与百分数的换算：将分数化为百分数，或将百分数化成分数。

6.3 复习不同单位之间的换算：如长度、面积、体积等。

第七章：复习分数的应用7.1 复习分数在购物中的应用：计算商品的价格和折扣。

7.2 复习分数在烹饪中的应用：计算食材的比例和配料的配比。

7.3 复习分数在日常生活中的应用：如时间、温度、速度等。

第八章：复习分数的性质8.1 复习分数的分子和分母的性质：如分子分母乘以（除以）同一个数，分数的值不变。

8.2 复习分数的乘法和除法性质：如分数的乘法和除法遵循分配律和结合律。

基于计算机的布朗运动模拟实验
实验步骤 1. 定义微观粒子的初始位置和速度。
2. 根据物理规律，计算微观粒子在每个时间步长的位移和速度。
基于计算机的布朗运动模拟实验
3. 更新粒子的位置和速度，并记 录下来。
4. 重复步骤2和3，直到达到预设 的模拟时间或满足其他停止条件
。
实验结果：通过模拟，我们可以 观察到微观粒子的随机运动轨迹 ，这些轨迹呈现出无规则、连续
且随机的特点。
金融市场中的布朗运动案例分析
案例分析
2. 期货价格模型：期货价格的变 化也呈现出类似的随机游走特点 ，这为投资者进行期货交易提供 了参考。
案例背景：许多金融市场的价格 行为都可以用布朗运动来描述。 布朗运动在金融领域的应用包括 股票价格、期货价格等。
1. 股票价格模型：股票价格的变 化往往呈现出随机游走的特点， 即每个时间步长的价格变化是随 机的，符合布朗运动的规律。
布朗运动与伊藤公式课件
目录
CONTENTS
• 布朗运动概述 • 布朗运动的理论基础 • 伊藤公式及其应用 • 布朗运动与金融学 • 布朗运动与物理学 • 实验模拟与案例分析
01
CHAPTER
布朗运动概述
定义与性质
01
布朗运动是指微观粒子在液体或 气体中，由于受到分子的不断碰 撞而进行的不规则、连续且随机 的运动。
05
CHAPTER
布朗运动与物理学
布朗运动在物理学中的应用
分子运动论
布朗运动是分子运动的表现之一，通 过观察布朗运动，可以研究分子的运 动规律。
随机过程
热力学
布朗运动与热力学有关，通过研究布 朗运动，可以探讨热力学的相关问题 。
布朗运动是一种随机过程，可以用概 率论和统计学方法来描述和分析。

布朗运动的概率分布布朗运动是指微粒在液体或气体中受到分子碰撞的随机运动。

它是一种具有无序性和不可预测性的运动现象。

布朗运动的概率分布描述了微粒在不同位置上出现的概率。

在布朗运动中，微粒的位置是随机变化的。

它在任意时刻可能向左或向右移动，也可能保持不动。

布朗运动的概率分布可以用来描述微粒在不同位置上出现的概率。

布朗运动的概率分布可以用高斯分布或正态分布来近似描述。

高斯分布是一种钟形曲线，它的峰值表示最有可能出现的位置，而曲线两侧的尾部表示较不可能出现的位置。

布朗运动的概率分布与时间无关，也与微粒的质量、形状和速度无关。

它只与微粒在液体或气体中的碰撞情况有关。

概率分布可以通过实验测量得到，也可以通过理论推导得到。

布朗运动的概率分布具有以下特点：1. 对称性：布朗运动的概率分布是对称的，即左右两侧的概率相等。

这是因为微粒在液体或气体中受到的碰撞是随机的，没有任何偏向。

2. 峰值位置：概率分布的峰值位置表示微粒最有可能出现的位置。

在布朗运动中，峰值位置通常在微粒的初始位置附近。

3. 标准差：概率分布的标准差表示微粒位置的离散程度。

标准差越大，表示微粒位置的变化越大；标准差越小，表示微粒位置的变化越小。

布朗运动的概率分布可以用数学公式来表示，例如正态分布的概率密度函数。

这个函数可以描述微粒在不同位置上出现的概率密度。

布朗运动的概率分布在科学研究和工程应用中有着广泛的应用。

在物理学中，它被用来描述微观粒子的运动行为。

在金融学中，它被用来描述股票价格的变动。

在化学工程中，它被用来描述反应物在反应器中的分布情况。

总结起来，布朗运动的概率分布描述了微粒在液体或气体中受到分子碰撞的随机运动。

它可以用高斯分布或正态分布来近似描述。

概率分布具有对称性、峰值位置和标准差等特点。

布朗运动的概率分布在各个领域有着广泛的应用。

布朗运动综述 布朗运动是悬浮微粒永不停息地做无规则运动的现象， 它是 1827 年植物学家 R.布朗最先用显微镜观察悬浮在水中花粉的运动而发现 的，是一种正态分布的独立增量连续随机过程，是随机分析中基本概 念之一。 布朗运动具有以下特点【1】 ： 1. 无规则 每个液体分子对小颗粒撞击时给颗粒一定的瞬时冲力，由于 分子运动的无规则性，每一瞬间，每个分子撞击时对小颗粒 的冲力大小、方向都不相同，合力大小、方向随时改变，因 而布朗运动是无规则的。 2. 永不停歇 3. 颗粒越小，布朗运动越明显 颗粒越小，颗粒的表面积越小，同一瞬间，撞击颗粒的液体 分子数越少，据统计规律，少量分子同时作用于小颗粒时， 它们的合力是不可能平衡的。而且，同一瞬间撞击的分子数 越少，其合力越不平衡，又颗粒越小，其质量越小，因而颗 粒的加速度越大，运动状态越容易改变，故颗粒越小，布朗 运动越明显。 4. 温度越高，布朗运动越明显 温度越高，液体分子的运动越剧烈，分子撞击颗粒时对颗粒 的撞击力越大，因而同一瞬间来自各个不同方向的液体分子
对颗粒撞击力越大，小颗粒的运动状态改变越快，故温度越 高，布朗运动越明显。 5. 肉眼看不见 然而，布朗运动是个新奇的发现，在最初人们并不知道布朗运动 的原理， 布朗运动具有开创性的发展是在爱因斯坦发表了一篇文章【2】 ， 建立了布朗运动的扩散理论。他考虑一个布朗粒子的一维无规运动， 粒子每隔 r 时间被撞击一次而移动距离 l，每次撞击时向左和向右移 动的可能性各占一半。假设粒子从原点出发，在时刻 t，粒子已受到 了 n=t／τ 次撞击。 爱因斯坦证得： 粒子的平均位移为零， <x(t)>=0； 方均位移写作<������ 2 (t)>=2Dt，这里 D=������ 2 ／(2τ )。其实这M](1900,．-1909)：181—206； 【 3 】 ： 包 景 东 . 分 数 布 朗 运 动 和 反 常 扩 散 [J]. 物 理 学 进 展,2005,25(4):359-367.DOI:10.3321/j.issn:1000-0542.2005.04.002； 【 4 】 ： 包 景 东 . 分 数 布 朗 运 动 和 反 常 扩 散 [J]. 物 理 学 进 展,2005,25(4):366.DOI:10.3321/j.issn:1000-0542.2005.04.002. 【5】 ：李纪军.论真空系中的布朗运动导致一个孤立热力学系统熵的减少[J].潍坊学院 学报,2014,14(2):18-24.DOI:10.3969/j.issn.1671-4288.2014.02.005.

对布朗运动的伊藤积分
布朗运动的伊藤积分是对布朗运动进行积分运算的一种方法，该方法是由日本数学家伊藤清提出的，因此得名为伊藤积分。

伊藤积分在金融工程、数理金融等领域中有广泛的应用。

布朗运动是一种连续性的、随机的随机过程，其轨迹是不连续的，并且其取值具有随机性。

伊藤积分可以看作是对布朗运动进行变量改变的积分运算，将布朗运动嵌入到更一般的数学框架中。

伊藤积分的定义基于逼近的思想，通过将时间区间分割成无穷小的子区间，对每个子区间上的布朗运动进行积分，并将这些积分值加总起来。

伊藤积分的计算规则与普通的积分运算略有不同，其中包含了一个随机项。

伊藤积分在数学理论和实际应用中都有重要的地位。

在数学领域，伊藤积分为随机微分方程提供了一个有效的求解方法；在金融领域，伊藤积分被用于衡量金融资产价格的波动性，从而为金融风险管理提供了依据。

总而言之，伊藤积分是一种对布朗运动进行积分运算的方法，通过将布朗运动嵌入到数学框架中，为随机微分方程的求解和金融风险管理提供了有力的工具。

高校应用数学学报
２１， ６２： ０—０ ０１ ２（） ２１２８
分数 布 朗运 动驱 动 下 带 比例交 易成本 的期权
定价
黄文礼， 李胜宏
（ 江大学 数 学系现代金融研 究室， 浙 浙江杭州 ３ ０２） １０７
摘
要：在标 的资产价格服 从几何分数布 朗运动模 型条件下， 用分数 布朗运动随机 利
文献标识码 ： Ａ
文章编号 ：００４２ （０ ０—２ １０ ｉ０．４４２ １）２００—８ １
§ 引 言 １
自从法 国数学家Ｂ ｃｅｅ（ ０年１ ａｈｌｒ１ ０ 关于债券价格运动 的研究 以来， ｉ ９ 产生了许多描述股票 价格收益行为的模型， ｓｏｎ （ ５年） Ｏ ｂｒｅ１ ９ 建议用正态分布随机变量来对股票价格建模．随后， ９
收稿 日期： ０ ００ —７ ２ １ —９１ 修回 日期： ０ ０ １— ０ ２ １ — ２２
基金项 目： 教育部重大项 目基金（００ ８ ３９ １）
２２ ０
高 校 应 用 数 学 学 报
第２ 卷第２ ６ 期
加贴近实 际市场模 型， ｅ ｎ ［研 究了带交易成本的期权定价 问题． Ｌ ｌ ｄ３ ａ ］ 由于分数布 朗运 动的无限变
及尺度 参数等 能够很 好地刻画金 融市场波动性 、股票价格一般 行为过程及 资产收益率 的“ 尖峰 厚尾” 分布等 ， 由于分数布 朗运动 既不 是半鞅也不是 马尔科 夫过程， 以它 能够 描述 半鞅和马 氏 所
过程描述不 了的现象 ， 此外， 分数布 朗运动具 有的 自相似性和长期依赖性， 与人们对 金融市场直 观感觉是一致 的， 即未来某时刻股票的价格不仅与现在 价格有 关， 与过去相 当一段 时间的价格 还 有关．所 以说用分数布 朗运动驱动 的随机微分方程 来描述 资产 价格变化过程 更加切合 实际． 此 外， 在实 际金融 市场中， 投资者将面 临不可忽 视的交易成本， 考虑带交 易成本 的期权 定价问题更

我们计算 E[V (t)] 和 RV (t1 , t2) .
布朗运动理论简介
E[V (t)] = exp( −αt / 2) E[X(exp(αt))] = 0 t1 < t2 时
桑峰(SY0802206) ⎧0 t ≠ 0 ∞ ⎪ ; δ(t) = ⎨ δ(t)dt = 1 ⎩ ⎪∞ t = 0 ∫−∞ 可以发现,当 h→0 时,
{ X(t), t ≥ 0} 是参数为 σ 2 的布朗运动,则
b b ⎡ b ⎤ E ⎢ f(t)X ′(t)dt g(t)X ′(t)dt⎥ = σ 2 g(t)f (t)dt ∫a ∫a ⎣∫ a ⎦
任意布朗运动 X(t) 都可以令 B(t) = 为标准布朗运动.
4
布朗运动与平稳随机过程、白噪声的关系
由前讨论 , 布朗运动的 n 维分布函数不满足严格
X(t) 而转化 σ
平稳随机过程的定义,其 2 维分布函数也不满足广义 平稳随机过程的要求,故布朗运动不是广义平稳的,自 然也不是严格平稳的.但我们可以计算一下布朗运动 的自相关函数[2]. 设 { X(t), t ≥ 0} 是参数为 σ 的布朗运动, t1 < t2 , 则
中,并且令 ∆t → 0 ,得到
∂f (x, t) ∂2 f (x, t) =D ∂t ∂x 2
(2)
(6)
上式中 , D 为扩散系数 , D = 2 RT / Nf , R, N 均为常 数, f 是反映液体性质的常量, T 是温度. 可以验证式
(5) 是方程 (6) 的解 , 已经证明 , 若 X(t) 在 t = 0 连续 (依概率连续)的条件下式(6)的解是唯一的.
由布朗运动的性质(2),布朗运动是独立增量过程
P{ X(t) ≥ a} = P{ X(t) ≥ a | Ta ≤ t} P{ Ta ≤ t} + P{ X(t) ≥ a | Ta > t} P{ Ta > t}

布朗运动是一种随机运动过程，它描述了微小颗粒在流体中因受到流体分子的不断撞击而发生的运动。

这种运动的性质是非常复杂的，而布朗运动的二次变差等于时间的证明是布朗运动理论中的一个重要内容。

本文将详细探讨布朗运动的二次变差等于时间的证明。

一、布朗运动的定义布朗运动是由英国植物学家罗伯特·布朗首次发现并描述的一种微观颗粒在液体（或气体）中的无规则运动。

这种运动的特点是不断的、随机的，受到周围分子的不断撞击而产生的。

在数学上，布朗运动可以用随机过程来描述，通常表示为B(t)，表示在时间t时的位置。

二、二次变差的定义在数学上，二次变差是用来衡量随机过程变量变化的大小的一个重要指标。

对于布朗运动B(t)，它的二次变差可以表示为：\[ V_2(t) = \lim_{|\pi|\to0} \sum_{k=0}^{n-1}(B(t_{k+1})-B(t_k))^2 \]其中，|π|表示对时间间隔取极限，n为分割的区间数，ππ为分割点。

三、二次变差等于时间的证明对于布朗运动的二次变差等于时间的证明，需要进行如下步骤推导：3.1 第一步：观察时间间隔的大小我们可以观察时间间隔的大小。

假设在时间段[0, π]内，我们划分了n 个相等的子区间，每个子区间的长度为Δπ。

当n趋于无穷大时，时间间隔趋近于0。

3.2 第二步：计算二次变差的平均值我们可以计算布朗运动在每个子区间上的二次变差的平均值。

即计算ππ到ππ+1之间的二次变差的平均值：\[ E(\frac{{(B(t_{k+1})-B(t_k))^2}}{Δπ}) \]3.3 第三步：计算二次变差的总和接下来，我们将所有子区间上的二次变差的平均值相加，即对π=0,1,…,π−1求和：\[ \sum_{k=0}^{n-1}E(\frac{{(B(t_{k+1})-B(t_k))^2}}{Δπ}) \]3.4 第四步：取极限得到布朗运动的二次变差等于时间当n趋于无穷大时，我们可以取极限，得到：\[ \lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n-1}E(\frac{{(B(t_{k+1})-B(t_k))^2}}{Δπ}) = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n-1}E(\frac{{(B(t_{k+1})-B(t_k))^2}}{Δπ}) = t \]通过以上推导，可以得出布朗运动的二次变差等于时间的结论。