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dW = Fd(∆ 1) l 1
dFl d(∆ 1) = 1 l 共1页 E A
5
(Energy Method)
F dF1
l F1 O F ∆l
∆ l1 d∆l1 ∆
∆l
∆l
F 积分得: 积分得:
W = ∫dW = ∫
F
0
l F2l F F dF = l = ∆ 1 1 E A 2E A 2 共1页
共1页 4
(Energy Method)
§13-2 杆件变形能的计算 13( Calculation of strain energy for various types of loading )
一、杆件变形能的计算（Calculation of strain energy for 杆件变形能的计算（ various types of loading） loading）
1 F l 1 ∆ U 2 = σε υε = = V A l 2
σ=E ε
1 σ2 E 2 ε = υε = σε = 2 2E 2 共1页
（单位 J/m3)
8
(Energy Method)
2.扭转杆内的变形能 2.扭转杆内的变形能（Strain energy for torsional loads） 扭转杆内的变形能（ loads）
F--广义力(包括力和力偶) --广义力 包括力和力偶) 广义力( δ--广义位移 --广义位移 (包括线位移和角位移) 包括线位移和角位移)
F3
C
F1
δ1
A
δ2
C'
假设广义力按某一比例由零增致最后值对应的广义位移也由 15 共1页 零增致最后值. 零增致最后值.
(Energy Method)
对于线性结构,位移与荷载之间是线性关系， 对于线性结构,位移与荷载之间是线性关系， 任一广义位移, 任一广义位移,例如 δ2可表
Me Tl M l e 将 φ= φ 代入上式得 V = = ε 2 Gp Gp I I
共1页 14
(Energy Method) 二、变形能的普遍表达式 energy） （General formula for strain energy）
δ3
F2
B B'
1 V= F δ ε 2
1.轴向拉压的变形能 1.轴向拉压的变形能（Strain energy for axial loads) 轴向拉压的变形能（ 当拉力为F 当拉力为F1 时,杆件的伸长为⊗l1 杆件的伸长为⊗ 当再增加一个d 当再增加一个dF1时,相应的变形增量为d(∆l1) 相应的变形增量为d(∆l 此外力功的增量为： 此外力功的增量为：
Vε = W
（Work-Energy Principle） WorkPrinciple）
We will not consider other forms of energy such as thermal energy, chemical energy, and electromagnetic energy. Therefore, if the stresses in a body do not exceed the elastic limit, all of work done on a body by external forces is stored in the body as elastic strain energy.
9
(Energy Method)
3.弯曲变形的变形能 3.弯曲变形的变形能 （Strain energy for flexural loads） loads） Me • 纯弯曲（pure bending ) 纯弯曲（
θ Me Me
Me
θ θ
1 1 M l M2l V =W = M ⋅ θ = M e = ε 2 e 2 e E I 2E I
A B
F3
C
F1
δ1
δ2
δ2 与 F2 之间的关系是线性的. 之间的关系是线性的.
共1页 同理, 同理,δ1 与 F1, δ3 与F3 之间的关系也是线性的. 之间的关系也是线性的. 16
(Energy Method) δ3
F2
B B'
Fi
F3
C Fi
F1
δ1
A
δ2
δi
δi
在整个加载过程中结构的变形能等于外力的功
1.计算变形能 1.计算变形能（Calculating strain energy） 计算变形能（ energy） 2.利用功能原理计算变形 2.利用功能原理计算变形 Workdeflection） （Work-energy principle for calculating deflection） 例题1 试求图示悬臂梁的变形能,并利用功能原理求自由端B的挠度. 例题1 试求图示悬臂梁的变形能,并利用功能原理求自由端B的挠度. 解： M x) = −F ⋅ x (
1 V = (Fδ + F δ + F δ ) ε 1 1 2 2 3 3 2
共1页 —— 克拉贝隆原理（只限于线性结构） 克拉贝隆原理（只限于线性结构） 17
(Energy Method) 三、变形能的应用（Application of strain energy） 变形能的应用（ energy）
共1页 2
(Energy Method)
§13-1 概述（Introduction） 13- 概述（Introduction）
一、能量方法 （Energy methods )
利用功能原理 Vε = W 来求解可变形固体的位移,变形和内力 来求解可变形固体的位移, 等的方法. 等的方法.
二、外力功（Work of the external force） 外力功（ force）
F2ili V =∑ N ε i=1 2E A i i
n
7
(Energy Method)
F2(x)dx 当轴力或截面连续变化时： 当轴力或截面连续变化时： ε = ∫ N V 0 2E (x) A
l
比能 （ strain energy density）: density） 单位体积的应变能. 记作υ 单位体积的应变能. 记作υ
共1页
11
(Energy Method)
因为很小,所以在变形过程中, 因为很小,所以在变形过程中,上 下两面上的外力将不作功. 下两面上的外力将不作功. 只有右侧 面的外力（τ dydz） 对相应的位移 γ 面的外力（ dx 作了功. 作了功. 当材料在线弹性范围内内工作时, 当材料在线弹性范围内内工作时, 上述力与位移成正比,因此, 上述力与位移成正比,因此,单元体上 外力所作的功为
y
G 2 τ2 υε = γ = 2 2G
等直圆杆扭转时应变能的计算
τ′
a
V = ∫ υεdV = ∫ ∫ υεdA x d ε
V l A
d
τ
x
G 2 τ2 υε = γ = 2 2G
z
共1页
b dx
γ dx
13
γ
γ
(Energy Method)
T 2 ( ρ) 2 Ip τ V = ∫∫ dA x = ∫ ∫ d dA x d ε l A2 l A 2 G G l T 2 T2l = ( ) ∫ ρ2dA= 2G Ip A 2G p I
固体在外力作用下变形,引起力作用点沿力作用方向位移, 固体在外力作用下变形,引起力作用点沿力作用方向位移, 外力因此而做功,则成为外力功. 外力因此而做功,则成为外力功.
三、变形能（Strain energy） 变形能（ energy）
在弹性范围内, 在弹性范围内,弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄 的能量,称为弹性变形能,简称变形能. 的能量,称为弹性变形能,简称变形能. 共1页
Chapter13 Energy Method
(Energy Method)
第十三章 能量法 (Energy Methods)
§13-1 概述（Introduction) 13- 概述（ 13- 杆件变形能的计算( §13-2 杆件变形能的计算( Calculation of strain energy for various types of loading ) §13-3 互等定理（Reciprocal theorems) 13- 互等定理（ 13莫尔定理(Unit§13-4 单位荷载法 • 莫尔定理(Unit-load method & mohr’s theorem) 13- 卡氏定理(Castigliano’s §13-5 卡氏定理(Castigliano’s Theorem) §13-6 计算莫尔积分的图乘法 (The meth13method of moment areas for mohr’s integration)
6
(Energy Method)
根据功能原理 Vε= W , 可得以下变形能表达式
1 1 V =W = F l = F ∆ ∆ ε N l 2 2
F Fl l ∆= l = N E A E A
F2l F2l V= = N ε 2E A 2E A
当轴力或截面发生变化时: 当轴力或截面发生变化时:
共1页
δ3
F2
B'
δ = C F +C2F +C3F 2 1 1 2 3 F F 1 = F (C +C2 +C3 3 ) 2 1 F F 2 2
C1F1,C2F2,C3F3 分别表示力F1 , F2, 分别表示力F F3 在 C 点引起的竖向位移. 点引起的竖向位移. C1,C2,C3 是比例常数. 是比例常数. 在比例加载时 F1/F2 和 F3/F2 也是常数
F
A C x1 a l x2 b B
