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的图象和x轴交点
有两个交点
（b2-4ac）
b2-4ac > 0
有一个交点
没有交点
有两个相等的实数根
没有实数根
b2-4ac = 0
b2-4ac < 0
选择
(1) 抛物线y=x2-4x+3的对称轴是_____________. A 直线x=1 B直线x= -1 C 直线x=2 D直线x= -2 B (2)抛物线y=3x2-1的________________ A 开口向上,有最高点 B 开口向上,有最低点 C 开口向下,有最高点 D 开口向下,有最低点 (3)若y=ax2+bx+c(a 0)与轴交于点A(2,0), B(4,0), 则对称轴是_______ C A 直线x=2 B直线x=4 C 直线x=3 D直线x= -3 (4)若y=ax2+bx+c(a 0)与轴交于点A(2,m), B(4,m), 则对称轴是_______ A A 直线x=3 B 直线x=4 C 直线x= -3 D直线x=2
c
求抛物线解析式的三种方法
1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为 y=ax2+bx+c(a≠0) ________________ 2、已知抛物线顶点坐标（h, k），通常设 2+k(a≠0) y=a(x-h) 抛物线解析式为_______________ 3、已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) (x2,0),通常设解析式为_____________ 练习 根据下列条件，求二次函数的解析式。 (1)、图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点； (2)、图象的顶点(2，3)， 且经过点(3，1) ； (3)、图象经过(-2，0)， (3，0) ，且最高点 的纵坐标是3 。
y=ax2+bx+c(a<0)
b 4ac b 2 2a , 4a b 直线 x 2a
顶点坐标
对称轴 位置 开口方向
由a,b和c的符号确定
由a,b和c的符号确定
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
（3）b的符号： 由对称轴的位置确定 对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧 对称轴是y轴
（4）b2-4ac的符号： a、b同号 a、b异号 b=0
由抛物线与x轴的交点个数确定
与x轴有两个交点 与x轴有一个交点 与x轴无交点 b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0
17.根据下列表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量 与函数值的对应值，判断方程ax2+bx+c =0 （a≠0, a, b, c为常数）的一个解的范围是（ ）
逆向思考,由y=x2-6x+4 =(x-3)2-5知:先向左平移3个 单位,再向上平移5个单位.
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值 根据图形填表： 抛物线
y=ax2+bx+c(a>0)
b 4ac b 2 2a , 4a b 直线 x 2a
A x
例1、已知二次函数y=ax2+bx+c的最 大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并 且图象经过点（3，-6）。求a、b、c。
解：∵二次函数的最大值是2 ∴抛物线的顶点纵坐标为2 又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上 ∴当y=2时，x=1 ∴顶点坐标为（ 1 ， 2） ∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2 又∵图象经过点（3，-6） ∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2 ∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2 即： y=-2x2+4x
(四) 形如y = a (x+h) 2 +k (a ≠0) 的二次函数
二次函数 开口方向
2+k
对称轴
顶点坐标
y = a（x+h)
a ＞ 0 向上 直线X=-h （-h，k） a ＜ 0 向下
练习巩固2: （1）抛物线 y = 2 (x –３ ) 2+1 的开口向 上, （３，1） 对称轴 X=３ , 顶点坐标是 （2）若抛物线y = a (x+m) 2+n开口向下，顶 〈 0, m〈 0, n〈 0。 点在第四象限，则a 1 2 2、已知二次函数y=- 2 x +bx-5的图象的 0 。 顶点在y轴上，则b=___
二次函数的特殊形式：
知识运用
下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x-1 (2)y=3x2
(3)y=3x3+2x2
(5)y=x -2 +x
(4)y=2x2-2x+1
(6)y=x2-x(1+x)
知识运用
当m取何值时，函数是y= (m+2)x
m2-2
分别 是一次函数？ 反比例函数？ 二次函数？
驶向胜 利的彼 岸
答案:y=-x2+6x-5
练习1、已知抛物线y=ax2+bx-1的对称轴是x=1 ， 最高点在直线y=2x+4上。 (1) 求此抛物线的顶点坐标. （2）求抛物线解析式. （3）求抛物线与直线的交点坐标.
例2、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴正、负半轴分 别交于A、B两点，与y轴负半轴交于点C。若OA=4，OB=1， ∠ACB=90°，求抛物线解析式。 解： ∵点A在正半轴，点B在负半轴 OA=4，∴点A（4，0） y OB=1， ∴点B（-1，0） ∵ ∠ACB=90°ＯＣ⊥ ＡＢ ∴ ∠ CAO=∠BCO B O ∠CAO+∠OCA=90,∠OCA+∠BCO=90 ∴∠BOC=∠COA, C ∴△ＢＯＣ∽△COＡ ∴ＯＢ／ＯＣ＝ＯＣ／ＯＡ ∴OC=2，点C（0，-2） 由题意可设y＝a（x＋１）（x－４）得： a（０＋１）（０－４）＝－２ ∴a＝０.５ ∴ y＝０.５（x＋１）（x－４）
二次函数的定义：
形如y=ax2+bx+c (a,b,c是常数， a≠0) 的函数叫做二次函数
想一想:函数的自变量x是否可以取任何值 呢?
注意:当二次函数表示某个实际问题时,还必
须根据题意确定自变量的取值范围.
函数y＝ax2＋bx＋c
其中a、b、c是常数 切记：a≠0 右边一个x的二次多项式（不能是分式或根式） 当b＝0时， y＝ax2＋c 当c＝0时， y＝ax2＋bx 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
B
x y＝ax2＋bx＋c
6.17 -0.03
6.18 -0.01
6.19 0.02
6.20 0.04
A．6.17＜ X ＜6.18 C．-0.01＜ X ＜0.02
B．6.18＜ X ＜6.19 D．6.19＜ X ＜6.20
3、已知二次函数 y a( x 1)2 c 的图象如图所示，则函数 y ax c
综合创新:
1.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的 形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离 为5,请写出满足此条件的抛物线的解析式. 解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状 相同 a=1或-1 又顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5, 顶点为(1,5)或(1,-5) 所以其解析式为: (1) y=(x-1)2+5 (2) y=(x-1)2-5 (3) y=-(x-1)2+5 (4) y=-(x-1)2-5
-2 -1
0 1
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:有两个交点, 有一个交点,没有交点.当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交 点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程 ax2+bx+c=0的根.
二次函数y=ax2+bx+c 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根 有两个相异的实数根 一元二次方程 ax2+bx+c=0根的判别式
2.若a+b+c=0,a0,把抛物线y=ax2+bx+c向下 解：∵二次函数的对称轴是 x=1 平移4个单位,再向左平移 5个单位所到的新 ∴图象的顶点横坐标为1 抛物线的顶点是(-2,0),求原抛物线的解析式.
又∵图象的最高点在直线y=2x+4 分析: (1)由a+b+c=0 上 可知,原抛物线的图象经过(1,0) ∴当x=1时，y=6 (2) 新抛物线向右平移 5个单位, ∴顶点坐标为（ 1 ， 6） 再向上平移 4个单位即得原抛物线
（填“可能”或“不可能”）过点A（-2，3）。 1 （3）抛物线y = 2 x 2+3的开口向上 ,对称 Y 直线 X=0 （0，3） ,是由抛物线 轴是 , 顶点坐标是 1 y = 2 x 2向上 平移 3 个单位得到的； O B X A （2）已知（如图）抛物线y = ax 2+k的图象， 〈 0；若图象过A (0,-2) 和B (2,0) ， 则a 〉0，k 则a = 0.5 ,k = -2 ；函数关系式是y = 0.5x 2-2 。
y = a（x - h) 2
二次函数
开口方向 a ＞ 0 向上
a＜0
对称轴
顶点坐标
直线X=h （h，0）
巩固练习1： 2 上 ,对称轴是 Y轴 （1）抛物线y =3x 2的开口向 , (0,0) 顶点坐标是 ,图象过第 一、二 象限 ； （2)已知y = - nx 2 (n＞0) , 则图象 (不可能 )
