高中数学—02—复数的方根与实系数一元二次方程—学生版

高中数学复数方程求根公式解析在高中数学中，复数方程是一个重要的概念。

复数方程是指含有未知数的方程，其中未知数可以是实数，也可以是复数。

在解决复数方程时，我们需要使用复数的性质和相关的求根公式。

本文将详细解析高中数学中常见的复数方程，并给出相应的解题技巧和例题。

一、一元一次复数方程的求解一元一次复数方程是指形如az+b=c的方程，其中a、b、c为复数，z为未知数。

对于一元一次复数方程，我们可以通过移项和消元的方式求解。

例如，解方程2z+3-4i=5+6i。

解法：首先，我们将方程进行移项，得到2z=2+10i。

然后，我们可以消去系数2，得到z=1+5i。

二、一元二次复数方程的求解一元二次复数方程是指形如az^2+bz+c=0的方程，其中a、b、c为复数，z为未知数。

对于一元二次复数方程，我们可以使用求根公式解决。

求根公式：设一元二次复数方程az^2+bz+c=0的解为z1和z2，则有以下求根公式：z1=(-b+√(b^2-4ac))/(2a)z2=(-b-√(b^2-4ac))/(2a)例如，解方程z^2+(1-2i)z+2-3i=0。

解法：根据求根公式，我们可以得到：z1=[-(1-2i)+√((1-2i)^2-4(2-3i))]/(2)z2=[-(1-2i)-√((1-2i)^2-4(2-3i))]/(2)化简得：z1=1-iz2=2-2i三、一元高次复数方程的求解一元高次复数方程是指形如anzn+an-1zn-1+...+a2z^2+a1z+a0=0的方程，其中a0、a1、...、an为复数，z为未知数。

对于一元高次复数方程，我们可以使用因式分解和综合除法的方式求解。

例如，解方程z^3-3z^2+2z+4=0。

解法：我们可以尝试使用因式分解的方法，将方程进行因式分解。

首先，我们可以猜测z=1是方程的一个解。

通过综合除法，我们可以得到商式为z^2-2z-4。

然后，我们可以使用求根公式解决二次方程z^2-2z-4=0，得到z1=1+√3i和z2=1-√3i。

复数模的几何意义及实系数一元二次方程的根及复数的开方运算【课前预习】 一、知识梳理1.复数的模的几何意义：复数),(R b a bi a z ∈+=的模22||b a z +=，它的几何意义是 .2.复数减法的模的几何意义：12,,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈， 在复平面上对应的向量分别是12,OZ OZ，122112||||||z z Z Z Z Z -===，所以复数12,z z 在复平面上两点间的距离就是： .3.常见几何图形的复数表达式：复数1z 、2z 为定值，且21z z ≠，12,z z 在复平面上所应的点分别是12,Z Z(1)线段21Z Z 的垂直平分线方程： ； (2)以1Z 为圆心，半径为r 的圆方程： ；(3)以1Z 、2Z 为焦点，长轴长为)0(2>a a 的椭圆方程： ， 其中a z z 2||021<-<；(4)以1Z 、2Z 为焦点，实轴长为)0(2>a a 的双曲线方程： ，其中a z z 2||21>-.4.一元二次方程20(,,,0)ax bx c a b c R a ++=∈≠(1)0∆>⇔方程有两个不相等的实数根 ; (2)0∆=⇔方程有两个不相等的实数根 ; (3) 0∆<⇔方程有两个共轭虚根 .注:①实系数一元二次方程的根只可能是两个都是实数根或两个共轭虚根; ②解实系数一元二次方程,首先要判断∆的符号,以确定根是实数还是虚数，选用不同的求根公式.5.实系数一元二次方程根与系数的关系:方程20(,,,0)ax bx c a b c R a ++=∈≠的两根为12,x x C ∈,则1212x x x x ⎧+⎪⎪⎨⎪⎪⎩(*)注:①12,x x R ∈时(*)式成立,12,x x 为虚数时(*)式也成立;②若1x 为虚数,则21x x =,且21211212Re ;||b c x x x x x x a a+==-==6.复数的开方运算(1)复数的平方根如果复数a bi +和(,,,)c di a b c d R +∈满足: ,称a bi +是c di +的一个平方根.(2)复数的立方根若复数12,z z 满足:312z z =,则称1z 是2z 的一个立方根.1的立方根是21,,ωω.其中ω= ，具有性质3221,,10ωωωωω==++=.二、基础练习1.(1)已知||1z =，||z i -的最大值为 ． (2)已知复数z 满足|1|1z -=,那么z 的轨迹是 ．（用文字描述） 2.(1)在复数集内,方程2230x x ++=的解集为 . (2)在复数集内分解因式:223x x -+(3)若实系数一元二次方程的根为1x =则这个方程为( ) A. 2220x x -+= B.2240x x -+= C.2220x x ++= D.2240x x ++= 3.(1)若32i +是方程220(,)x bx c b c R ++=∈的一个根,则c 等于 .(2)方程22810()x x t t R -++=∈,则t = .4.512i +的平方根为 .5.设ω是方程210x x ++=的根,则231001ωωωω+++++= .6.(1)方程42560x x --=在复数集内的根的个数为( ) A.2 B.3 C. 4 D.5(2)“22a -≤≤”是“实系数一元二次方程210x ax ++=有虚根”的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件7.(1)若复数z 满足|3|z +=||z 的最大值是________，最小值是_______．(2)若复数z 满足||||2z i z i ++-=，则|1|z i ++的最大值是_______，最小值是________． (3)集合{||1|1,},{|||||,}M z z z C P z z i z i z C =+=∈=+=-∈，则M P = ．8.方程2236(1)10x m x m --++=的两个根均为虚数,且两个根的模之和为2,则实数m 的值为__________.【例题解析】例1.在复数集中解关于x 的方程：22(1)2340;(2)40x x x mx ++=++=．()m ∈R例2.已知方程012=+-px x （R p ∈）的两根为21x x ，，若1||21=-x x ， 求实数p 的值.例3.已知t R ∈且关于x 的方程220x x t ++=的两个根分别为,αβ，求||||αβ+．例4.已知关于x 的方程2(12)(31)0x i x m i ++--=有实根，求纯虚数m 的值.例5.已知两个复数集合},,2|{},2|2||{11R b A z b iz z z B z z A ∈∈+==≤-=。

学习教课资源店您身旁教与学资源专家！13.6（1）实系数一元二次方程上海市新中高级中学陶志诚一、教课内容剖析本节内容是在前方学习了复数的运算后，对初中已学过的一元二次方程的求根公式和韦达定理的推行和完美.为了实质应用和数学自己发展的需要，数的观点需要再一次扩大——由实数扩大到了复数，解决了负数开平方的问题。

那么实系数一元二次方程 a x2b x c 0 ，当b24ac 0 时方程在复数集中解的状况相同需要进一步研究. 所以，本节课主假如探讨实系数一元二次方程在复数集中解的状况和在复数范围内怎样对二次三项式进行因式分解等问题 .二、教课目的设计理解实系数一元二次方程在复数集中解的状况；会在复数集中解实系数一元二次方程；会在复数范围内对二次三项式进行因式分解；理解实系数一元二次方程有虚数根时根与系数的关系，并会进行简单应用 .三、教课要点及难点在复数集中解实系数一元二次方程；在复数范围内对二次三项式进行因式分解.四、教课器具准备电脑、实物投影仪五、教课流程设计学习教课资源店您身旁教与学资源专家！复习引入韦达求 根实系数一元二定理公式运用与深入 (例题分析、稳固练习 )讲堂小结并部署作业六、教课过程设计（一）复习引入1. 初中学习了一元二次方程ax 2 bx c 0 (a 、 b 、c R 且 a 0) 的求根公式，我们回首一下：2当b 24ac 0 时，方程有两个实数根： xbb4ac2a2a2. 上一节课学习了“复数的平方根与立方根”，大家知道 -1 的平方根是 : i .设问①： 一元二次方程 x 21 0在复数范围内有没有解？设问②： 在复数范围内怎样解一元二次方程 x 2x 1 0 ？[ 说明 ] 设问①学生能够依据“复数的平方根”知， x 即为 -1 的平方根：i ；设问②是为了引出本节课的课题：实系数一元二次方程.（二）讲解新课1 、实系数一元二次方程在复数集C 中解的状况：设一元二次方程ax2bx c 0(a 、b 、cR 且a 0) .由于 a 0 ，所以原方程可变形为x 2 b xc ，aa配方得学习教课资源店您身旁教与学资源专家！( x b )2( b )2 c ，2a2a a即( x b )2b24ac .2a4a2（ 1）当b24ac0 时，原方程有两个不相等的实数根xb b24ac2a ；2a （ 2）当b24ac0 时，原方程有两个相等的实数根xb；2a（ 3）当b24ac0时， b24ac0 ，4a2由上一堂课的教课内容知，b24ac的平方根为4a2即 x b4ac b 2i ，2a2a此时原方程有两个不相等的虚数根4ac b22ai ，x b4ac b2i .2a2a（ x b4ac b2i 为一对共轭虚数根）2a2a[ 说明 ] 实系数一元二次方程在复数范围内必有两个解：当0 时，有两个实根；当0 时，有一对共轭虚根 .设问③：若 4 3i 是一个实系数一元二次方程的一个根，你能直接写出该方程的另一个根吗？为何？回到引入部分设问②：在复数范围内解一元二次方程x2x 1 0 .（x13i ，即为上节课学习过的）例 1（ 1）在复数集中解方程：3x2x 2 0；（ 2）在复数集中解对于x 的方程：x2ax 4 0(a R) .解：（ 1）由于△ =1 4 3 2230 ，所以方程3x2x 2 0的解为x1123i ， x2123i .6666（2）由于△ =16- a2，所以当△ >0，即a4或a 4 时，原方程的解为x1a a216， x2a a216.22当△ =0，即a4时，若 a4，则原方程的解为x1x2 2 ；若 a 4 ，则原方程的解为x1 x22.当△ <0，即4a 4 时，原方程的解为x a16 a2i , x2a16 a2i .12222提示学生注意：在复数集中解方程时，应先考虑△的正负.[ 说明 ] 例 1(2) 需分类议论，要求较高，建议采用，也能够换成课本上的例题1（ P91）例 2已知一元二次方程x2mx n0(m、 n R) ，试确立一组m、n 的值，使该方程分别有两个不相等的实数根、两个相等的实数根、两个虚数根，并解方程.[ 说明 ] 例 2 属于开放性问题，比较简单下手，能够让基础不理想的同学试试回答，增强互动.既然实系数一元二次方程在复数范围内必有两个解，那么二次三项式a x2 b x (c、a 、b c 且R0a)在复数范围内总能够分解成两个一次因式的乘积.若方程 ax2bx c0的两个解分别为x1、2，则xax2bx c a( x x1)(x x2 ) .例 3在复数集中分解因式：（ 1） x2x 2 ； （ 2） 2x 24x 5.解：（ 1） x 2x 2= ( x17i)(x 17i) .22（ 2）（见课本 P91）提示学生注意：分解二次三项式ax 2 bx c 时，应提取二次项的系数 a .2 、实系数一元二次方程中根与系数的关系对于实系数一元二次方程ax 2 bx c 0 ，当其有实数根时， 我们在初中已经学习过x 1 x 2bx 2c了根与系数的关系：， x 1a （即韦达定理） .a设问④： 实系数一元二次方程有虚数根时，能否也知足根与系数关系？利 用 求 根 公 式 x 1a 16 a 2 i,x 2a 16 a 2 i 容 易 验 证222 2x 1 x 2b x 2c， x 1a .a例 4 已知 3i2 是对于 x 的方程 2x 2px q 0 的一个根，务实数p 、 q 的值 .解：（见课本 P91 例 2）（三）稳固练习见课本 P91 练习 （ 1）； P92 练习 （2） T1.2.3.[ 说明 ] 以上练习能够依据时间选择一部分在讲堂上达成，其他可作为课后练习.（四）讲堂小结本节课主要议论了实系数一元二次方程解的状况， 知道了在复数集中解实系数一元二次方程和在复数范围内对二次三项式进行因式分解，表现了分类议论的数学思想.（五）课后作业1．书面作业：练习册P55 习题 13．6 A 组 T1.2.3.4.5.2．思虑题：（增补题及备选题）（ 1）在复数集中分解因式： x 4 16.（ 2）方程 z25| z| 60 在复数集中解的个数为（）（ 3）在复数范围内解方程z2z)i 3i为虚数单位 ).( z2(i i参照答案：（ 1）( x 2)(x2)( x2i)( x2i )（ 2）C（ 3）原方程化简为z 2(z z)i1i ,设 z=x+yi(x 、y∈R), 代入上述方程得x 2+y2+2xi=1-i,22且 2x=-1,1∴x+y =1解得 x=-2且y=±3,2∴原方程的解是z=- 1±3i. 22[ 说明 ] 增补的思虑题，可作为学有余力的同学的能力训练题，也可作为教师的备选题．七、教课方案说明本节课由复习引入，带着问题，利用负数的开平方，展开本节课的研究.例题设计主假如为了表现以下三个问题：（ 1）在复数集中解实系数一元二次方程；（2）在复数范围内对二次三项式进行因式分解；（ 3 ）实系数一元二次方程有虚数根时，根与系数关系的初步应用.。

复数范围内解一元二次方程实系数一元二次方程ax+bx+c=0在实数范围内的解的情况：ax+bx+c=a（x +x）+c=a［x+x+（）］+c-=a（x+）+=0，即（x+）=。

设Δ=b-4ac（判别式），当Δ＞0时，方程有两个不等的实数解：x=。

当Δ=0时，方程有两个相等的实数解：x=。

当Δ＜0时，方程无实数解。

方程的根与系数的关系：x+x=-，xx=。

实系数一元二次方程ax+bx+c=0在复数范围内的解的情况：ax+bx+c=a（x+x）+c=a［x+x+（）］+c-=a（x+）+=0，即（x+）=。

设Δ=b-4ac（判别式），当Δ＞0时，方程有两个不等的实数根：x=。

当Δ=0时，方程有两个相等的实数根：x=。

当Δ＜0时，方程有两个共轭虚数根：x=。

注意：实系数一元二次方程在复数范围内求解时，①由于求根公式仍可使用，故方程的根与系数的关系也仍成立；②若Δ＜0，则意味着方程有一对共轭的虚数根。

二下面对两道例题进行解算。

例1：已知实系数一元二次方程2x+rx+s=0的一个根为-3+2i，求r，s的值。

解：由题设得方程另一根为-3-2i，由韦达定理得s=2（-3+2i）（-3-2i）=2 6，r=-2（-3+2i-3-2i）=12。

例2：若关于x的方程x+5x+m=0的两个虚数根x，x满足|x-x|=3 ，求实数m的值。

解：方法一：方程x+5x+m=0有两个虚根，则有Δ=25-4m＜0，m＞。

又|x-x|=|-|==3，4m-25=9，m=。

方法二：|x-x|=3，|x-x|=9，即|（x-x）|=9，|（x+x）-4xx|=9。

又x+x=-5，xx=m，|25-4m|=9。

又25-4m＜0，4m-25=9，m=。

三上面我们解决了实系数一元二次方程求解问题，那么对于至少有一个系数是虚数的一元二次方程又应该如何求解呢？例1：求方程x-2ix-5=0的解。

解：配方，得（x-i）-4=0，即（x-i）=4，x=2+i，x=-2+i。

13.6（2）实系数一元二次方程一、教学内容分析本节课是“实系数一元二次方程”的第二节课，上一节课主要讨论了实系数一元二次方程在复数集中解的情况.学生会在复数集中解实系数一元二次方程；会在复数范围内对二次三项式进行因式分解；能理解实系数一元二次方程有虚数根时的根与系数的关系，并会进行简单应用.本节课将通过练习巩固以上知识，并检验学生对以上知识的掌握程度.课本中的例题3是“实系数一元二次方程”这一节的重点和难点，本节课将引导学生进行重点探究.二、教学目标设计进一步掌握在复数集中解实系数一元二次方程和对二次三项式进行因式分解；掌握实系数一元二次方程有虚数根时的根与系数的关系及其应用.三、教学重点及难点对实系数一元二次方程有虚数根时的根与系数关系的灵活应用.四、教学用具准备电脑、实物投影仪五、教学流程设计六、教学过程设计课堂小结并布置作业复习旧知巩固练习例题精析课堂练习（一）复习旧知上一节课我们主要学习了哪些内容？我们一起来回顾一下.1.实系数一元二次方程20axbx c 在复数集C 中解的情况：（1）当240b ac 时，原方程有两个不相等的实数根242bb ac xa；（2）当240bac 时，原方程有两个相等的实数根2b xa；（3）当240bac 时，原方程有一对共轭虚根21422b ac bx i aa，22422b ac bx i a a.2、二次三项式2axbx c 在复数范围内分解因式：212()()axbx c a xx x x .3、实系数一元二次方程20axbx c 的韦达定理：12bx x a，12c x x a. 特别地，当240bac 时，12x x 和为一对共轭虚根，即21x x —，∴2121||x x x ，1212Re x x x .[说明]以上三点可以让学生回答，而第3点中的“2121||x x x ，1212Re x x x ”可以让学生在老师的引导下发现.（二）巩固练习1.已知1-i 是实系数一元二次方程20xpx q 的一个根，则p q = .2.若两个数之和为2，两个数之积为3，则这两个数分别为.3.在复数集中分解因式：2321xx = .4.若方程220()xax a R 有虚数根z ，则|z|= .参考答案：1. -4 2.12i 和12i3.12123()()3333x i x i 4.2（三）例题精析例1、已知方程210()xpx pR 的两根为1x 、2x ，若121x x ，求实数p 的值.分析：要求实数p 的值，即要利用已知条件121x x ，从而应考虑1x 、2x 为实根还是虚根，因此，应对0和0讨论.解：（见课本P92例3）[说明]对于△<0的情形，也可考虑设1(,)x a bi a bR ，则2x a bi ，由1221x x bi得12b，又由2221211||x x x a b，得32a，所以1223p x x a .设问①：若将题设中的“两根”改为“两虚根”，则如何作答？设问②：我们知道：当1x 、2x 为实数时，2212121212()()4x x x x x x x x ，而当1x 、2x 为虚数时，上式是否仍然成立？请说明理由.[说明]可以给点时间让学生思考和讨论.因为当z 为虚数时，22zz,所以当1x 、2x 为虚数时，上式不成立.可以适当修改为2221212121212|||()||()4|x x x x x x x x x x (*)该结论显然成立.设问③：大家尝试一下，能否利用上述结论(*)来解答本例？因为2222121212121()()44x x x x x x x x p，所以3p 或5p .[说明]在已知12x x 的值时，利用结论(*)可以避免对0与0的讨论.设问④：本例删除已知条件“121x x ”后，请用m 来表示12x x .将例1的“两根之差的绝对值”改为“两根的绝对值之和”，可以有以下例题. 例2、已知关于x 的方程222440xax aa ()a R 的两根为、，且3，求实数a 的值.解：2244(44)16(1)aaa a .当0，即1a 时，、为实数，且2244(2)0aa a ，所以23a，又1a，所以32a. 当0，即1a时，、为一对共轭虚数，所以23得294，所以94，所以29444a a 得72a 或12a ，因为1a，所以12a. 故32a或12a . [说明]（1）前面有例1的分析与探讨，例题2可考虑让学生自己完成.（2）提醒学生注意：对0与0的讨论.（3）例2删除已知条件“3”后，也可用a 来表示.例3、已知关于x 的方程2(12)2(1)0axi x a i ()a R 有实数根，求实数a 的值.解：设x 0是原方程的两个根，则20(12)2(1)0axi x a i ，即20(2)(22)0axx a x a i ，所以20020220ax x a x a，解该方程组得0a或3a.[说明]补充例3主要是考虑到练习册第58页习题13．6 B 组第5题与例3属同一类问题，可以视情况选用.若时间允许，例3还可以考虑在求出a 的值后，解该方程.（四）课堂练习1.若、是方程270xx 的两个根，则2= .2.见课本P93练习13.6（2）T4.[说明]练习第1题可以直接用求根公式，也可以使用结论(*).其答案是27.（五）课堂小结本节课是在复习与巩固上节课主要内容“实系数一元二次方程解的情况和韦达定理”的基础上，通过例题1和例题2，进一步探讨实系数一元二次方程有虚数根时的韦达定理的应用，应灵活利用2121||c x x x a，1212Re b x x x a.注意分类讨论这一数学思想的应用，例题1和例题2都对0与0（即实根与虚根）进行了讨论，但合理利用以下等式：2221212121212|||()||()4|x x x x x x x x x x ，可以避免分类讨论.（六）课后作业1．书面作业：练习册P55 习题13．6 A 组 T6.8. P57 习题13．6 B 组 T4.5.2．思考题：（补充题及备选题）（1）若方程22810()xx a a R 有一个虚根的模为5，则实数a 的值为 . （2）已知关于x 的方程220()xx m m R 的两根为、，求. （3）已知关于x 的方程2(2)20()xki x ki kR 有实根，求实数k 的值，并解方程.参考答案：（1）9（2）2,0121,02,1m m m m mk时，原方程的两根为2,22i；（3）当22k时，原方程的两根为2,22i.当22[说明]补充的思考题，可作为学有余力的同学的能力训练题，也可作为教师的备选题．。

第16讲 复数的几何意义和实系数一元二次方程知识梳理一、理解复数的几何意义(1)复平面的有关概念：实轴是x 轴,虚轴是y 轴；与复数(,)z a b i a b R =+∈ 一一对应的点是(,)a b ； 非零复数22(,,0)z a bi a b R a b =+∈+≠与复平面上自原点出发以点(,)Z a b 为终点的向量OZ 一一对应；复数模的几何意义是:复数对应复平面上的点到原点的距离.二、实系数一元二次方程实系数一元二次方程20(,,,0)ax bx c a b c a ++=∈≠R 中的24b ac ∆=-为根的判别式，那么（1）0∆>⇔方程有两个不相等的实根2b a-；（2）0∆=⇔方程有两个相等的实根2b a-； （3）0∆<⇔方程有两个共轭虚根2b a-±，在（3）的情况下，方程的根与系数关系（韦达定理）仍然成立． 求解复数集上的方程的方法：（1）设(,)z x yi x y =+∈R 化归为实数方程来解决（化归思想）．（2）把z 看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形（整体思想）．（3）对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式（公式法）．例题解析一、复数的几何意义例1．（2021·上海杨浦区·复旦附中高二期末）若复数1z ，2z 满足123z z ==，12z z +=122z z -的值是______.【答案】【分析】设复数所对应的向量分别为a ，b ，根据123z z ==，12z z +=面向量的模的运算，由2222a b ba ab +++=⋅，得到0a b ⋅=，再由222424a a b a b b --+=⋅求解.【详解】设复数所对应的向量分别为a ，b因为复数1z ，2z 满足123z z ==，12z z += 所以3a =，3b =，32a b +=， 所以222218a a b b a b+⋅+=+=，即0a b ⋅=， 所以a b ⊥， 所以22244524b ba a ab -=⋅-+=，解得352a b -=所以122z z -的值是故答案为：例2．（2021·上海市松江二中高二期末）已知复数z 满足242z i +-=，则1z -的取值范围是__________. 【答案】[]3,7【分析】设(,)z x y =，(,)x y R ∈，由复数z 满足|24|2z i +-=，可得在复平面内点z 表示的是以(2,4)-为圆心，2r为半径的圆．|1|z -表示的是点z 与(1,0)之间的距离，求出圆心与点(1,0)之间的距离d ．可得|1|z -的范围是[d r -，]d r +． 【详解】解：设(,)z x y =，(,)x y R ∈， 复数z 满足|24|2z i +-=，∴2，即22(2)(4)4x y ++-=． ∴在复平面内点z 表示的是以(2,4)-为圆心，2r为半径的圆．|1|z -表示的是点z 与(1,0)之间的距离，圆心与点(1,0)之间的距离5d =． 则|1|z -的范围是[d r -，]d r +，即[]3,7． 故答案为：[]3,7．例3．（2021·上海市西南位育中学高二期末）设O 是复平面的原点，满足|||1|z i z -+-=的复数在复平面上所对应的点构成集合M ，在M 中任取不同的两点A 和B ，则AOB ∠的最大值是_____________.【答案】2π【分析】根据|||1|z i z -+-=z 在复平面所表示的轨迹，从而确定集合M ，这样可以确定AOB ∠的最大值.【详解】由|||1|z i z -+-=z 表示在复平面内到(0,1),(1,0)P Q 两点的距，而PQ =z 表示的线段PQ ，因此集合M 是表示线段PQ上的点，如下图所示：显然当2AOB POQ π∠=∠=时，AOB ∠有最大值，最大值为2π. 故答案为：2π 【点睛】本题考查了复数模的几何意义，考查了数形结合，属于基础题.例4．（2021·徐汇区·上海中学高二期末）已知关于x 的方程2430x zx i +++=有实数根，求复数z 的模的最小值.【答案】【分析】根据题意，设x ∈R ，且0x ≠，得到43z x i x x⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，根据复数模的计算公式，得到z =.【详解】由题意，可设x ∈R ，且0x ≠，则24343x i z x i x x x ++⎛⎫=-=-+- ⎪⎝⎭，832z ==当且仅当2225x x=，即x =故min z =【点睛】本题主要考查求复数模的最值问题，熟记复数模的计算公式，以及基本不等式即可，属于常考题型.例5.已知复数z x yi =+满足22z z i =--，则33x y+的最小值是（ ）A 、18B 、6C、D、3【难度】★★ 【答案】 B例6.设复数（为虚数单位），若对任意实数，，则实数的取值范围为 ． 【难度】★★【答案】[ 【巩固训练】1．若复数z 满足211=-++z z ，则1-+i z 的最小值是 . 【难度】★★ 【答案】12．设O 为坐标原点，已知向量1OZ 、2OZ 分别对应复数1z 、2z ，i a a z )10(5321-++=， 212),()52(12z z R a i a az +∈-+-=若其中是实数，求2z 的值。