典型信号的傅里叶变换

第三章傅里叶变换（一）三角函数形式的傅里叶级数满足狄利赫里条件的周期函数f。

）可由三角函数的线性组合来表示，若f（t）的周期为T，角频率3 =之，频率f ='，傅里叶级数展开表达式 1 1 T 1 T1 1为f (t)= a +£[a cos(〃3t)+ b sin (〃3t)n=1各谐波成分的幅度值按下式计算a = —f t o+T1 f (t)dto T t o a =」t o+T1 f (t)cos (n3 t)dt n T t1ob = — j t o+ T1 f (t)sin(n3 t)dt n T t1o其中n = 1,2, •••狄利赫里条件:（1）在一个周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个;（2）在一个周期内，极大值和极小值的数目应是有限个；（3）在一个周期内，信号是绝对可积的，即』t o+T|f （t）dtt等于有限值。

t o（二）指数形式的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数展开也可以表示为指数形式，即f (t)= £F (n3)ej n31 n1n二一8其中F = — f t o+T1f 0-加3 t dt n T1 t o 其中n为从一8到+8的整数。

3.1m号的傅里叶级!瞬析(三)函数的对称性与傅里叶系数的关系(1)偶函数由于f。

)为偶函数，所以f(t)sin(旭t)为奇函数，则1b = — J t o+ T i f (t)sin (n① t)dt = 0 n T t11 0所以，在偶函数的傅里叶级数中不会含有正弦项，只可能含有直流项和余弦项。

(2) 奇函数由于f (t)为奇函数，所以f(t)cos (n o t )为奇函数，则1a =— J t0+T f (tb t = 00 T t10a = — J t0+T1 f (t)cos (n0 t)dt = 0 n T t11t0所以，在奇函数的傅里叶级数中不会含有直流项和余弦项，只可能包含正弦项(3)奇谐函数(f (t )=-f [ t + T ])I 27半波对称周期函数的傅里叶级数中，只会含有基波和奇次谐波的正、余弦项，而不会含有偶次谐波项，这也是奇谐函数名称的由来。

8个典型信号的傅里叶变换1. 常数信号（直流信号）这个常数信号啊，就像一个超级稳定的家伙，一直保持一个值不变。

它的傅里叶变换可有趣啦，就是一个冲激函数（狄拉克函数）在频率为0的地方。

你可以想象啊，常数信号就只有一个频率成分，那就是0频率，就像一个静止不动的状态在频率域里的表示呢。

2. 正弦信号。

正弦信号就像一个有规律的摇摆舞者。

它的傅里叶变换呢，是在正负它的角频率处有两个冲激函数。

比如说一个正弦函数Asin(ω_0t)，在频率ω = ω_0和ω=-ω_0的地方有两个冲激。

这就好像在说，正弦信号就只有一个频率在那欢快地跳动，这个频率就是它自己的角频率ω_0，一正一负就像在频率轴上对称地站着两个代表它的小尖刺。

3. 余弦信号。

余弦信号跟正弦信号是近亲呢。

Acos(ω_0t)的傅里叶变换也是在正负它的角频率处有两个冲激函数。

不过和正弦信号有点小区别，就像是两个风格相似但又有点不同的舞者。

余弦信号的傅里叶变换，那两个冲激函数就像是在频率轴上标记着它自己独特的角频率ω_0的两个小灯塔。

4. 单位冲激信号（狄拉克函数）这个单位冲激信号啊，就像一个超级突然的小爆炸，瞬间爆发然后就没了。

它的傅里叶变换可神奇了，是一个常数1。

你想啊，这个小爆炸包含了所有频率成分，就像一个超级大杂烩，在频率域里就变成了一个平坦的1，就好像所有频率都被它平等对待，一股脑儿地全在里面了。

5. 矩形脉冲信号。

矩形脉冲信号就像一个突然冒出来又突然消失的小方块。

它的傅里叶变换是Aτ Sa((ωτ)/(2))，这里的A是脉冲的幅度，τ是脉冲的宽度，Sa函数是(sin x)/(x)。

这个变换就像是把矩形脉冲信号这个小方块在时间域的信息，分散到了频率域里，就像把一个集中的小方块打散成了好多频率成分，那些频率成分按照Sa函数的规律分布着。

6. 三角脉冲信号。

三角脉冲信号就像一个小山峰。

它的傅里叶变换是Aτfrac{Sa^2((ωτ)/(2))}{ω^2}。

常用信号的傅里叶变换傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的数学工具。

它是以法国数学家傅里叶的名字命名的，用于分析信号的频谱成分。

在信号处理和通信领域，傅里叶变换被广泛应用于信号的频谱分析、滤波、解调和压缩等方面。

1. 正弦信号的傅里叶变换正弦信号是最简单的周期信号之一，它可以表示为一个频率和幅度确定的正弦函数。

对于一个正弦信号，它的傅里叶变换是一个由两个峰值组成的频谱图。

其中一个峰值位于正弦信号的频率上，另一个峰值位于负频率上，其幅度与正弦信号的幅度相等。

2. 方波信号的傅里叶变换方波信号是一种以方波函数为基础的周期信号。

方波信号可以表示为一系列正弦信号的叠加，其傅里叶变换是一个由多个峰值组成的频谱图。

频谱图上的峰值对应于方波信号中各个频率的成分。

3. 矩形脉冲信号的傅里叶变换矩形脉冲信号是一种在有限时间内突然变化的信号。

它在时域上表现为一个宽度有限的矩形脉冲，其傅里叶变换是一个以脉冲宽度为主要参数的频谱图。

频谱图上的峰值表示了矩形脉冲信号中各个频率的成分。

4. 高斯信号的傅里叶变换高斯信号是一种以高斯函数为基础的连续非周期信号。

高斯信号在时域上呈钟形分布，其傅里叶变换是一个以高斯函数为形状的频谱图。

频谱图上的峰值表示了高斯信号中各个频率的成分。

5. 三角波信号的傅里叶变换三角波信号是一种以三角函数为基础的周期信号。

三角波信号可以表示为一系列正弦信号的叠加，其傅里叶变换是一个以基频为主要参数的频谱图。

频谱图上的峰值对应于三角波信号中各个频率的成分。

6. 音频信号的傅里叶变换音频信号是一种连续时间的信号，它可以通过傅里叶变换转换为频域信号进行分析。

音频信号的傅里叶变换可以得到音频信号的频谱图，从而可以对音频信号进行频谱分析、滤波和合成等操作。

7. 语音信号的傅里叶变换语音信号是一种声音信号，它可以通过傅里叶变换转换为频域信号进行分析。

语音信号的傅里叶变换可以得到语音信号的频谱图，从而可以对语音信号进行声音分析、语音识别和语音合成等操作。

tf(t)傅里叶变换傅里叶变换（Fourier Transform，下文简称FT）是一种经典的信号处理方法，它可以将一个时间信号转换为频域中的频率分量表示。

FT的应用非常广泛，包括声音信号处理、图像处理、通信系统设计等等领域。

在介绍FT的具体内容之前，我们需要先解决一个问题：为什么要考虑时间信号的频域表示呢？设连续信号$f(t)$是包含许多不同频率分量的信号，那么它的频域表示$f(\omega)$可以描述这些不同频率分量的信息。

因此，当我们需要对信号进行滤波、降噪等处理时，频域表示可以提供非常有用的信息，例如哪些频率需要保留、哪些频率需要消除等等。

另外，FT还可以用于分析信号的周期性，例如音频信号中的基音频率就是一种典型的周期分量。

下面，我们来介绍FT的基本定义和性质。

一、傅里叶变换的定义设连续信号$f(t)$的傅里叶变换为$F(\omega)$，则有：$$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt$$其中，$j=\sqrt{-1}$。

在这个公式中，$e^{-j\omega t}$是一个复指数函数，它在时间轴上是一个旋转的单位圆，频率$\omega$表示每秒旋转的圈数。

将$f(t)$乘以$e^{-j\omega t}$，相当于对$f(t)$进行一个预处理，使得这个信号在频率轴上的值变成了$f(\omega)$。

因此，$F(\omega)$可以看做是$f(t)$在频域上的值，也称为$f(t)$的频谱。

注意，为了避免数学上的复杂性，我们在这里讨论的都是连续信号的傅里叶变换。

对于离散信号的傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，下文简称DFT），定义和性质与连续信号的傅里叶变换并不完全一致，但本质相同。

1. 线性性质傅里叶变换具有线性性，即：$$\begin{aligned} &\text{若}\quadf_1(t)\xrightarrow{\text{FT}}F_1(\omega),\quadf_2(t)\xrightarrow{\text{FT}}F_2(\omega)\\ &\text{则}\quadaf_1(t)+bf_2(t)\xrightarrow{\text{FT}}aF_1(\omega)+bF_2(\omega) \end{aligned}$$其中，$a$和$b$为常数。

傅里叶变换在信号处理中的实例引言：傅里叶变换是一种非常重要的数学工具，在信号处理中被广泛应用。

通过将信号从时域转换到频域，傅里叶变换可以帮助我们分析信号的频谱特性，从而实现滤波、去噪、信号合成等一系列信号处理任务。

本文将通过几个实例来介绍傅里叶变换在信号处理中的应用。

1. 语音信号处理语音信号是一种典型的时变信号，其中包含了丰富的频谱信息。

通过对语音信号进行傅里叶变换，我们可以将其转换成频域信号，从而实现对语音信号的分析与处理。

例如，可以通过傅里叶变换来提取语音信号中的共振峰信息，用于语音识别、语音合成等应用。

2. 图像处理图像可以看作是一个二维的离散信号，通过对图像进行傅里叶变换，可以将其转换成频域图像。

频域图像可以帮助我们分析图像中的频谱特性，例如图像的纹理、边缘等信息。

在图像处理中，傅里叶变换被广泛应用于图像滤波、图像增强、图像压缩等领域。

例如，可以通过傅里叶变换来实现图像的低通滤波，去除图像中的高频噪声，从而实现图像的平滑处理。

3. 信号压缩信号压缩是一种重要的信号处理任务，可以将信号的冗余信息去除，从而实现信号的高效存储与传输。

傅里叶变换在信号压缩中起到了关键作用。

通过对信号进行傅里叶变换，我们可以将信号从时域转换到频域，然后通过量化和编码等技术对频域信号进行压缩。

例如，JPEG图像压缩算法就是基于傅里叶变换的频域压缩算法。

4. 信号滤波信号滤波是信号处理中常见的任务之一，可以通过滤波技术去除信号中的噪声或无用信息，从而提取出感兴趣的信号成分。

傅里叶变换在信号滤波中具有重要的作用。

通过将信号从时域转换到频域，我们可以很方便地设计各种滤波器来实现不同的滤波效果。

例如，可以通过傅里叶变换来设计一个低通滤波器，去除信号中的高频成分，从而实现信号的平滑处理。

5. 音频信号处理音频信号处理是一种常见的信号处理任务，可以应用于音乐、语音、声音等领域。

傅里叶变换在音频信号处理中具有重要的应用价值。

通过将音频信号从时域转换到频域，我们可以分析音频信号中的频谱特性，例如音调、音色、音量等信息。

傅里叶变换在信号处理中的应用傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值谱——显示与频率对应的幅值大小）。

尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。

"任意"的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类，这一想法跟化学上的原子论想法何其相似！奇妙的是，现代数学发现傅立叶变换具有非常好的性质，使得它如此的好用和有用，让人不得不感叹造物的神奇：1.傅立叶变换是线性算子，若赋予适当的范数，它还是酉算子；2.傅立叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似；3.正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取；4.著名的卷积定理指出：傅立叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段；5.离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机快速的算出（其算法称为快速傅立叶变换算法（FFT)).正是由于上述的良好性质，傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。

有関傅立叶变换的FPGA实现傅立叶变换是数字信号处理中的基本操作，广泛应用于表述及分析离散时域信号领域。

但由于其运算量与变换点数N的平方成正比关系，因此，在N较大时，直接应用DFT算法进行谱变换是不切合实际的。

然而，快速傅立叶变换技术的出现使情况发生了根本性的变化。

本文主要描述了采用FPGA来实现2k/4k/8k点FFT的设计方法。

离散傅里叶变换的应用DFT在诸多多领域中有着重要应用，下面仅是颉取的几个例子。

傅里叶变换的典型案例介绍
傅里叶变换是一种将一个时域函数转换成频域函数的数学工具，广泛应用于信号处理、图像处理、音频处理等领域。

下面介绍几个傅里叶变换的典型案例：
1. 音频处理：傅里叶变换在音频处理中扮演着重要的角色。

通过对音频信号进行傅里叶变换，可以将其分解成不同频率的复杂振动的叠加。

这样可以实现音频频谱分析、降噪和滤波等处理。

2. 图像处理：傅里叶变换在图像处理中也有广泛应用。

通过对图像进行傅里叶变换，可以得到图像的频域表示。

这对于图像压缩、去噪和边缘检测等处理非常有帮助。

例如，在JPEG图
像压缩算法中，傅里叶变换用于将图像转换成频域表示，并进行量化和编码。

3. 信号处理：傅里叶变换在信号处理中也有重要作用。

通过对信号进行傅里叶变换，可以将信号分解成不同频率的复杂波的叠加。

这对于信号分析、滤波和频谱估计等具有重要意义。

例如，在通信系统中，傅里叶变换被广泛应用于频谱分析和信道估计。

4. 数学分析：傅里叶变换在数学分析中也有广泛应用。

例如，在解微分方程和积分方程时，傅里叶变换可以将问题转换成频域上的简单运算，使得问题的求解更加方便和有效。

此外，傅里叶变换还在概率论、统计学和量子力学等领域中有重要的应用。

总之，傅里叶变换是一种强大的工具，它能够将时域信号转换成频域信号，从而提供了信号的频谱信息。

这使得它在音频处理、图像处理、信号处理和数学分析等领域中得到了广泛应用。

傅里叶变换基础知识1•傅里叶级数展幵最简单有最常用的信号是谐波信号，一般周期信号利用傅里叶级数展开成多个乃至无穷多个不同频率的谐波信号，即一般周期信号是由多个乃至无穷多个不同频率的谐波信号线性叠加而成。

1.1周期信号的傅里叶级数在有限区间上，任何周期信号双/）只要满足狄利克雷（dmclilet）条件，都可以展开成傅里叶级数。

1・1・1狄利克雷（duichlet）条件狄利克雷（duichlet）条件为：（1）信号双/）在一个周期内只有有限个第一类间断点（当t从左或右趋向于这个间断点时，函数有左极限值和右极限值）；（2 ）信号/ （t）在一周期内只有有限个极人值和极小值；（3 ）信号在一个周期内是绝对可积分的，即应为有限值。

1.1.2间断点在非连续函数y二f{・x）中某点处心处有中断现彖，那么，兀就称为函数的不连续点。

（1）第一类间断点（有限型间断点）：a.可去间断点：函数在该点左极限、右极限存在且相等，但不等于该点函数值或函数在该点无定义（兀令分母为零时等情况）；b.跳跃间断点：函数在该点左极限、右极限存在，但不相等（y = lxl/x°在点x = 0处等情况）。

（2）第二类间断点：除第一类间断点的间断点。

1.13傅里叶级数三角函数表达式傅里叶级数三角函数表达式为X X0=仇+乞（①cos“q/ +加• • •J1-1式中：心为信号的常值分量；色为信号的余弦信号幅值：你为信号的正弦信号幅值。

％、心、》分别表示为：==J ：） cosncootdtx{ t ）sinncootdt式中：7；为信号的周期；。

为信号的基频，即角频率，$=2龙/7；「=1,2,3...。

合并同频项也可表示为X （t）二％ + 艺 A cos （gf + q）H-l式中：信号的幅值人和初相位q分别为人=虫+丐2 =arcnm （・b” /心）1.1.4频谱的相矢概念（1） 信号的频谱（三角频谱）：构成信号的各频率分量的集合，表征信号的幅值和相位随频率的变化矢系，即信号的结构，是（或&・/）和q 厂3 （或2・/）的统称；（2） 信号的幅频谱：周期信号幅值人随e （或/）的变化尖系，用（或A ・/>表示； （3） 信号的相频谱：周期信号相位仇随e （或f ）的变化矢系，用0,弋。

典型信号的傅里叶变换胡皓基你知道吗？咱今儿得聊聊这典型信号的傅里叶变换，这事儿可有点意思。

就说我吧，前段时间在大学里可是和这玩意儿较上劲啦，还发生了一堆让人哭笑不得的事儿。

那时候，我们专业正在学这个傅里叶变换，我和我的几个好哥们儿，还有几个女同学，大家都在这知识的海洋里扑腾呢。

胡皓基那家伙，就是我们班的一个大神，对这傅里叶变换那叫一个精通。

有一天，老师在课堂上讲典型信号的傅里叶变换，那黑板上写得密密麻麻的，各种公式和符号，看得我头都大了。

我就忍不住跟旁边的哥们儿小声嘀咕：“哎呀妈呀，这啥玩意儿啊，看得我晕乎乎的。

”那哥们儿也无奈地耸耸肩，说：“我也不懂啊，感觉像在看天书似的。

”这时候，胡皓基那小子就不一样了。

只见他眼睛亮晶晶的，跟着老师的思路，一会儿点头，一会儿在本子上刷刷地记着。

下课了，我和几个同学就赶紧把胡皓基围了起来。

我凑到他跟前，满脸堆笑地说：“皓基啊，兄弟，你给我们讲讲呗，这典型信号的傅里叶变换到底是咋回事啊？”胡皓基推了推他那副黑框眼镜，笑着说：“行啊，那我就给你们讲讲。

你们看啊，这个傅里叶变换呢，就好比是一把神奇的钥匙，能把一个复杂的信号给拆解开，看看它里面都藏了些啥。

就好比你拆一个礼物盒子，一层一层地剥开，看看里面都有啥好东西。

”他一边说着，一边在本子上画了起来。

那认真的模样，就像是在雕琢一件稀世珍宝。

其中一个女同学也好奇地问：“那这个典型信号又是什么呀？”胡皓基耐心地解释道：“典型信号呢，就是一些比较常见、比较有代表性的信号啦，就像是咱们生活中的一些常见的东西，比如说正弦信号、余弦信号这些。

”我们几个还是有点迷糊，我挠挠头说：“皓基，你能不能再讲得通俗点儿啊？我还是不太懂。

”胡皓基想了想，说：“嗯……这么跟你们说吧。

你们想象一下，有一个乐队在演奏，每个乐器发出的声音就是一个信号。

那傅里叶变换呢，就像是一个调音师，能把这些混合在一起的声音给分开，看看每个乐器到底发出了什么样的声音。