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183§3 傅里叶级数(数学二、三不要求)【考试要求】了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在[,]l l 上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在0[,]l 上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和函数的表达式.一、基本概念184设()f x 是以2T l =为周期的周期函数，称012cos sin n n n a n n a x b x l l ππ∞=⎛⎫++ ⎪⎝⎭∑ 为函数()f x 的傅里叶级数，其中01()d l la f x x l -=⎰， 1()cos d ,l n l n a f x x x l lπ-=⎰1851()sin d l n l n b f x x x l lπ-=⎰ 123(,,,)n = 称为()f x 的傅里叶系数.二、重要结论1. 狄利克雷收敛定理(狄利克雷充分条件): 设()f x 以2l 为周期，若满足条件：(1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;(2)在一个周期内至多有有限个极值点，则()f x 的傅里叶级数收敛，并且186012cos sin n n n a n n a x b x l lππ∞=++∑ 002002() , ()(),()() , .f x x f x f x x f l f l x l ⎧⎪⎪-++⎪=⎨⎪-+-+⎪=±⎪⎩，，2. 求以2T l =为周期的函数()f x 的傅里叶级数展开式的方法187(1) 画出()f x 的图形，并求()f x 在整个数轴上的间断点12(,,)i x i =;(2) 求出()f x 的傅里叶级数的和函数()s x ;(3) 求出()f x 的傅里叶系数n a ，n b ;(4) 写出()f x 的傅里叶级数展开式. 注 若求定义在[],l l -上的函数()f x 的傅里叶级数展开式，只需将上述结果限制在[],l l -188上即可，但端点处不一定能展开3. 正弦级数与余弦级数(1) 当()f x 为奇函数时，其傅里叶级数1sin n n n b x l π∞=∑称为正弦级数，其中02()sin d l n n b f x x x l lπ=⎰. (2)当()f x 为偶函数时，其傅里叶级数012cos n n a n a x lπ∞=+∑称为余弦级数，其中189 02()cos d l n n a f x x x l lπ=⎰. 4. 将定义于0[,]l 上的函数()f x 展为正弦级数与余弦级数的方法(1)(,)()()l l f x F x -∞+∞−−−−→−−−−→−−−→奇延拓周期延拓限制(-,0][0,]展正弦所需的展式.(2)(,)()()l l f x F x -∞+∞−−−−→−−−−→−−−→偶延拓周期延拓限制(-,0][0,]展余弦所需的展式190.三、典型例题题型1 狄利克雷定理的应用例1 设010e ,,(),,x x f x x ππ⎧-≤<=⎨≤<⎩则其以2π为周期的傅里叶级数在x π=和2x π=处各收敛于何值?解 将()f x 延拓为以2π为周期的函数()F x ，画出其图形，可见()F x 在x π=处间断，191在2x π=处连续.由狄利克雷收敛定理可知，其傅里叶级数在x π=处收敛于()()()1100122e F F πππ-⎡⎤-++=+⎣⎦， 在2xπ=处收敛于()()201F f π==. 例2 设202()()f x x x =-≤<，而 12()sin ()n n n x s x b x π∞==-∞<<+∞∑，192 其中20122()sin d (,,)n n x b f x x n π==⎰， 求1()s -和0()s .解 由题设可知()s x 是()f x 在[)02,上的正弦级数，考虑奇函数()220202,,,,x x F x x x ---≤<⎧=⎨-≤<⎩ 由狄利克雷收敛定理可知，在()F x 的连续点1x =-处，()()111s F -=-=-；在()F x 的间断193点0x =处，()()()()110000022022s F F ⎡⎤=-++=-+=⎣⎦. 题型 2 将以2T l =为周期的函数展为傅里叶级数例1 设()f x 是以2π为周期的周期函数，且000,(),x x f x x ππ-≤<⎧=⎨≤<⎩，，试将()f x 展为傅里叶级数.194解 （1）画出()f x 的图形，可见()f x 满足狄利克雷收敛定理的条件，在()()21012,,,x k k π=+=±±处不连续，其傅里叶级数的和函数为()()()()21012212,,,,,,,f x x k s x k x k πππ⎧≠+⎪==±±⎨-=+⎪⎩（2）计算傅里叶系数195()011cos d cos d n a f x nx x x nx xπππππ--==⎰⎰ 221350246,,,,,,,,,n n n π⎧=⎪=⎨⎪=⎩196()()()0010112111123d d ,sin d sin d ,,,,.n n a f x x x x b f x nx x x nx x n nπππππππππππ---+-===-=-===⎰⎰⎰⎰ （3）()f x 的傅里叶级数展开式为197 ()221242213333cos sin sin cossin f x x x x x x πππ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭⎛⎫+++ ⎪⎝⎭,3,,.x x ππ-∞<<+∞≠±±例 2 将2130103,(),x x f x x +-≤<⎧=⎨≤<⎩，展成以6为周期的傅里叶级数.解 (1) 画出()f x 的图形,满足狄利克雷定198理的条件,在321()x k =+(k 为整数)处间断,在其它点连续.其傅里叶级数的和函数为3212321(),(),(),(),f x x k s x x k ≠+⎧=⎨-=+⎩ k 为整数. (2) ()f x 的傅里叶系数为()0303012113d d ,a x x x -⎡⎤=++=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰199()()0330220330112133361112312133361123cos d cos d (),,,,,sin d sin d (),,,,.n n n n n x n x a x x x n n n x n x b x x x n n ππππππ--+⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦⎡⎤=--=⎣⎦⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦=-=⎰⎰⎰⎰ (3) ()f x 的傅里叶级数展开式为20012()f x =-12216611133()cos ()sin ,n n n n x n x n n ππππ∞+=⎧⎫⎡⎤+--+-⎨⎬⎣⎦⎩⎭∑ 其中321012(),,,.x k k ≠+=±±题型3 将定义于[,]l l -上的函数展为傅里叶级数例 1 将2130103,,(),x x f x x +-≤<⎧=⎨≤<⎩展为傅里叶级数.解 先将函数()f x 以6为周期进行延拓,201延拓后的函数()F x 的傅里叶级数在33(,)-内收敛于()f x ,为此在题型2例2中将x 限制在33(,)-上即可.例2 将00,(),ax x f x bx x ππ-<≤⎧=⎨<<⎩，展为傅里叶级数，其中0a <，0b >，均为常数.解 先将()f x 以2π为周期进行延拓, 延拓后的函数()F x 的傅里叶级数在(,)ππ-内收敛于()f x .202 1211114()()cos ()sin ,n n n b a a b a b f x nx nx n n ππ∞+=--+⎧⎫⎡⎤=+--+-⎨⎬⎣⎦⎩⎭∑题型 4 将定义于0[,]l 上的函数展为正弦级数或余弦级数例 将20()()f x x x π=≤≤分别展为正弦级数和余弦级数.解 先将()f x 在()0,π-上做奇延拓，再作以2π为周期的周期延拓得函数()F x ，()F x 的203傅氏级数为正弦级数，限制[)0,x π∈即得()f x 的正弦级数.()()()213301232224411,,,,,,sin d sin d ,n n n na nb f x nx x x nx xn n n πππππππ+=====-+--⎰⎰204()()[)233122210sin ,,.n n f x nx x n nn πππ∞=⎡⎤⎛⎫∴=-+--∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦∑再将()f x 在()0,π-上做偶延拓，再作以2π为周期的周期延拓得()G x ，为偶函数，其傅氏级数为余弦级数，将x 限制在[]0,π上即可.205()()()[]22002202212232411234103d ,cos d ,,,,,cos ,,.nn nn a x x a x nx x n nf x nx x nπππππππ∞=====-=∴=+-∈⎰⎰∑题型 5 利用函数的傅里叶级数展开式求数项级数的和206例1 试利用2()f x x =在0[,]π上的余弦级数展开式，求下列各数项级数的和:(1) 211n n∞=∑； (2) 12111()n n n ∞-=-∑. 解 由上例可知,2()f x x =在0[,]π上的余弦级数为 ()2221143cos nn x nx nπ∞=-=+∑.令x π=得207222221111436,.n n nnπππ∞∞===+∴=∑∑令0x =得()()12222111104312,.nn n n nnππ-∞∞==--=+∴=∑∑例 2 证明122211124()cos n n xnx n π-∞=-=-∑，[,]x ππ∈-.解 将()2f x x =在[],ππ-上展为傅氏级208数得 ()2221143cos .nn x nx nπ∞=-=+∑整理即得()122211124cos ,[,].n n xnx x n πππ-∞=-=-∈-∑ 题型6 选择题例1设函数()201,f x x x =≤<,而209()1sin ,n n s x b n x x π∞==-∞<<+∞∑，其中()12123sin d ,,,,,n b f x n x x n π==⎰则12s ⎛⎫- ⎪⎝⎭等于( ).（A ）12- （B ）14- （C ）14 （D ）12解 本题考察傅里叶级数的狄利克雷收敛定理,只需写出其和函数即可.因为()s x 是正弦210级数,所以此级数是将()f x 在()10,-内作奇延拓展开的,于是()s x 在一个周期内的表达式为22100101,,(),,,,x x s x x x x ⎧--<<⎪=<<⎨⎪=±⎩从而2111224,s ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故（B ）正确.211例2设()()01102122122,,,,cos ,n n x x f x x x a s x a n x x π∞=⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩=+-∞<<+∞∑， 其中()()1212cos d ,,,n a f x n x x n π==⎰，212则52s ⎛⎫- ⎪⎝⎭等于( ).（A ）12 （B ）12- （C ）34 （D ）34-解 与上题类似,将()f x 在()10,-内作偶延拓,再以2T =为周期进行周期延拓, 其傅里叶级数的和函数()s x 在52x =-处间断(如图所示),从而111001 532222224.f fs⎛⎫⎛⎫-+++⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭-===⎪⎝⎭故（C）正确.213。
