ch3.4 典型信号的傅里叶变换

1 / 24种傅里叶变换形式离散傅里叶变换作为谱分析的重要手段在众多领域中广泛应用.离散傅里叶变换不仅作为有限长序列的离散频域表示法在理论上相当重要，而且由于存在计算离散傅里叶变换的有效快速算法，因而离散傅里叶变换在各种数学信号处理的算法中起着核心作用.连续傅里叶变换FT当x(t)为连续时间非周期信号，而且满足傅里叶变换条件，它的傅里叶变换为X(j Ʊ).x(t)与X(j Ʊ)之间变换关系为傅里叶变换对：⎰∞∞-Ω=Ωdt e t x j X t j )()( ⎰∞∞-ΩΩΩ=d e j X t x t j )(21)(π 傅里叶变换的结果通常是复数形式，其模为幅度谱，其相位为相位谱.连续时间傅里叶变换的时间频域都连续.连续傅里叶变换级数FS当~x 是周期为T 的连续时间周期信号，在满足傅里叶级数收敛条件下，可展开成傅里叶级数，其傅里叶级数的系数为X(jk 0Ω).其中，T π20=Ω,单位为rad/s ，称作周期信号的基波角频率，同时也是离散谱线的间隔.)(~t x 与)(0Ωjk X 之间的变换关系为傅里叶级数变换对：dt e t x T jk X T T t jk ⎰-Ω-=Ω22~00)(1)( t jk k e jk X t x 0)(21)(0Ω∞-∞=∑Ω=π时域波形周期重复，频域幅度谱为离散谱线，离散谱线频率间隔为模拟角频率0Ω=T π2.幅度谱|)(0Ωjk X |表明连续时间周期信号是由成谐波关系的有限个或者无限个单频周期信号t jk e 0Ω组合而成，其基波角频率为0Ω，单位为rad/s.离散时间傅里叶变换DTDT当x(n)为离散时间非周期信号，且满足离散时间傅里叶变换条件，其离散时间傅里叶变换为)(ωj e X .x(n)与)(ωj e X 之间变换关系为离散时间傅里叶变换对:∑∞∞--=n nj j e n x e X ωω)()(ωπωππωd e e X n x n j j ⎰-=)(21)(时域波形以抽样间隔s T 为时间间隔离散化，而频域频谱图则是连续的，且以数字角频率2π为周期化.离散傅里叶级数DFS当~x (n)为离散时间周期为N 的周期信号，可展开成傅里叶级数，其傅里叶级数系数为)(~k x .~x (n 与))(~k x 之间变换关系为离散傅里叶级数变换对：∑-=-=102~~)()(N n nk N j en x k X π -∞<k<∞∑-==102~~)(1)(N k nk N j ek X N n x π时域与频域都离散且周期.时域波形以N 为周期，以抽样间隔s T 为时间间隔离散化.频域频谱图|)(~k X |以N 为周期，离散谱线间隔为数字角频率Nπ2，对应模拟角频率为s NT π2.频谱图表明离散时间周期信号是由成谐波关系的有限个角频周期序列kn N je π2组合而成，基波频率为N π2，单位为rad/s-----精心整理，希望对您有所帮助!。

常见信号的傅里叶变换介绍傅里叶变换是一种重要的数学工具，用于将信号从时域转换到频域。

通过傅里叶变换，我们可以分析信号的频谱特性，并提取出信号中的各种频率成分。

本文章将介绍常见信号的傅里叶变换，帮助读者深入了解这一重要的信号处理技术。

简介信号的时域和频域表示•时域表示：信号在时间上的变化情况，通常使用函数表示，如f(t)。

•频域表示：信号在频率上的分布情况，使用频谱表征，表示信号中各个频率成分的大小和相位信息。

傅里叶变换的基本原理傅里叶变换基于傅里叶级数的思想，将一个信号分解为一系列复指数函数的叠加，这些复指数函数包含了不同频率的成分。

傅里叶变换可以用公式表示为：F(ω)=∫f∞−∞(t)e−jωt dt其中，F(ω)表示信号f(t)的频域表示，e−jωt为复指数函数。

常见信号的傅里叶变换正弦信号与余弦信号正弦信号与余弦信号是最基本的周期信号，在通信、电子、音频等领域中广泛应用。

对于正弦信号f(t)=Asin(ωt+ϕ)，其频域表示为：F(ω)=A2j[δ(ω−ω0)−δ(ω+ω0)]其中，δ(ω)为单位冲激函数。

对于余弦信号f(t)=Acos(ωt+ϕ)，其频域表示与正弦信号类似，只是相位不同。

矩形脉冲信号矩形脉冲信号是一种在时域上为矩形、在频域上为sinc 函数的信号。

其时域表示为：f (t )={1,|t |≤T 20,|t |>T 2其中，T 为脉冲宽度。

矩形脉冲信号的频域表示为：F (ω)=T sinc (ωT 2) 高斯信号高斯信号是一种通过高斯函数表示的连续信号。

在时域上，高斯信号的表示为：f (t )=Ae −αt 2其中，A 表示幅度，α表示衰减系数。

高斯信号的频域表示为：F (ω)=√2α−ω24α 方波信号方波信号是一种周期为T 的信号，其时域表示为由连续的正弦信号叠加而成。

方波信号的频域表示为：F (ω)=2sin (ωT/2)ω三角脉冲信号三角脉冲信号是一种周期为T 的信号，其时域表示为：f (t )=4A T2(t −T/2), 0≤t ≤T 三角脉冲信号的频域表示为：F (ω)=(2A T )2sin 2(ωT/2)ω2指数衰减信号指数衰减信号是一种在时间上随指数衰减的信号，其表示为：f (t )=Ae −αt其中，A 表示幅度，α表示衰减系数。

常用傅里叶变换表傅里叶变换（Fourier Transform）是一种重要的信号处理方法，可以将一个信号表示为频域上的复合波。

在实际应用中，我们常常需要用到一些常用的傅里叶变换表来简化计算过程。

下面是常用的傅里叶变换表。

1. 频域采样点数与时间域采样点数的对应关系：当时间域采样点数为 N 时，对应的频域采样点数为 N/2+1。

采样点数越多，则频域分辨率越高，对于高频信号的分析会更准确。

2. 傅里叶变换对称性：傅里叶变换具有一定的对称性，包括对称性、共轭对称性和反对称性。

利用这些对称性，我们可以简化计算过程。

- 偶函数的频谱是实数，在频域中左右对称；- 奇函数的频谱是虚数，具有共轭对称；- 复合偶函数和复合奇函数的频谱会具有反对称性。

3. 常用信号的傅里叶变换表：以下是一些常见的信号的傅里叶变换表：- 矩形脉冲信号（Rectangular Pulse）的傅里叶变换：矩形脉冲信号在时域上是一个宽度有限且幅度为常数的信号。

其傅里叶变换在频域上是一个 sinc 函数，表达式为：F(w) = wwww(ww/2) / (ww/2)其中，w是信号的宽度，w是频率。

- 高斯函数（Gaussian Function）的傅里叶变换：高斯函数在时域上是一个钟形曲线，其傅里叶变换仍然是一个高斯函数。

傅里叶变换的表达式如下：F(w) = ww^(−w^2w^2/4w^2)其中，w是高斯函数的标准差，w是时间尺度。

- 正弦函数（Sine Function）的傅里叶变换：正弦函数在时域上是一个连续的周期函数。

其傅里叶变换也是一个周期函数，表达式为：F(w) = 0.5j (w(w−w)−w(w+w))其中，w是正弦函数的频率。

4. 傅里叶变换的性质：傅里叶变换具有很多重要的性质，包括线性性质、平移性质、尺度性质、卷积定理等。

这些性质在信号处理中起到了重要的作用，可以简化傅里叶变换的计算过程。

- 线性性质：傅里叶变换具有线性性质，即线性组合的函数的傅里叶变换等于各个函数的傅里叶变换之和。

线性
时域平移
频域平移
如果值较大，则会收缩到原‎
点附近，而会扩散并变‎得扁平. 当 | a | 趋向无穷时，成为Delta函‎数。

傅里叶变换的‎二元性性质。

通过交换时域‎变量和频域变量得到.
傅里叶变换的
变换
表示和的卷积—这就是卷积定理
矩形脉冲
变换
想的低通滤波
滤波器
tri
变换
高斯函数
换
这是可积的。

a>0
变换本身就是
δ
这个变换展示要性：
变换
由变换
由变换
式
由变换
这里
是狄拉克
这个变换是根将此变换与换
此处
换与
变换
变换
此处
根据变
u
狄拉克梳状函理解从连续到。

实用标准文案傅里叶变换一、傅里叶变换的表述在数学上，对任意函数f(x)，可按某一点进行展开，常见的有泰勒展开和傅里叶展开。

泰勒展开为各阶次幂函数的线性组合形式，本质上自变量未改变，仍为x，而傅里叶展开则为三角函数的线性组合形式，同时将自变量由x变成ω，且由于三角函数处理比较简单，具有良好的性质，故被广泛地应用在信号分析与处理中，可将时域分析变换到频域进行分析。

信号分析与处理中常见的有CFS（连续时间傅里叶级数）、CFT （连续时间傅里叶变换）、DTFT（离散时间傅里叶变换）、DFS（离散傅里叶级数）、DFT（离散傅里叶变换）。

通过对连续非周期信号x c(t)在时域和频域进行各种处理变换，可推导出以上几种变换，同时可得出这些变换之间的关系。

以下将对上述变换进行简述，同时分析它们之间的关系。

1、CFS（连续时间傅里叶级数）在数学中，周期函数f(x)可展开为由此类比，已知连续周期信号x(t)，周期为T0，则其傅里叶级数为其中，为了简写，有其中，为了与复数形式联系，先由欧拉公式e j z=cos z+jsin z得故有令则对于D n，有n≤0时同理。

故CFS图示如下：Figure 1理论上，CFS对于周期性信号x(t)在任意处展开都可以做到无误差，只要保证n从-∞取到+∞就可以。

在实践中，只要n取值范围足够大，就可以保证在某一点附近对x(t)展开都有很高的精度。

2、CFT（连续时间傅里叶变换）连续非周期信号x(t)，可以将其看成一连续周期信号的周期T 0→∞。

当然，从时域上也可以反过来看成x(t)的周期延拓。

将x(t)进行CFS展开，有若令则有T0→∞使得Ω0→0，则由此，定义傅里叶变换与其逆变换如下CFT：CFT-1：x(t)是信号的时域表现形式，X(jΩ)是信号的频域表现形式，二者本质上是统一的，相互间可以转换。

CFT即将x(t)分解，并按频率顺序展开，使其成为频率的函数。

上式中，时域自变量t的单位为秒（s），频域自变量Ω的单位为弧度/秒（rad/s）。

典型傅里叶变换1. 什么是傅里叶变换？傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的数学技术。

通过傅里叶变换，我们可以将一个信号分解成不同频率的成分，并得到每个频率成分的幅度和相位信息。

傅里叶变换是信号处理中非常重要的工具，它在图像处理、音频处理、通信系统等领域都有广泛的应用。

2. 傅里叶变换的数学公式傅里叶变换的数学公式如下：∞(x)e−2πiux dxℱ(f(x))=F(u)=∫f−∞其中，f(x)表示输入信号，ℱ(f(x))表示输入信号在频域中的变换结果，F(u)表示频谱，u表示频率。

傅里叶变换可以通过积分的方式来计算信号在不同频率上的幅度和相位信息。

3. 傅里叶变换的性质傅里叶变换具有许多重要的性质，下面列举了一些常用的性质：3.1 线性性质傅里叶变换具有线性性质，即对于输入信号的线性组合，其傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和。

3.2 积分性质傅里叶变换的输入信号是连续的函数，而傅里叶变换的输出信号是连续的频谱。

傅里叶变换可以看作是对输入信号在整个频域上进行积分操作。

3.3 平移性质如果输入信号在时域上进行平移，那么其在频域上的频谱也会相应地发生平移。

3.4 缩放性质如果输入信号在时域上进行缩放，那么其在频域上的频谱也会相应地发生缩放。

缩放因子为a的平移性质可以表示为F(ax)=1|a|F(ua)。

4. 傅里叶变换的应用傅里叶变换在信号处理领域有广泛的应用，下面列举了一些典型的应用场景：4.1 图像处理通过傅里叶变换，我们可以将图像从时域转换到频域。

在频域中，图像的频谱表示了不同频率的成分，可以用于图像滤波、频域增强等操作。

4.2 音频处理对于音频信号，我们可以通过傅里叶变换将其从时域转换到频域。

在频域中，可以对音频信号进行频谱分析、音频合成、降噪等操作。

4.3 通信系统在通信系统中，傅里叶变换常被用于调制和解调过程。

调制是将低频信号转换为高频信号，解调则是将高频信号转换回低频信号。

傅里叶变换可以帮助我们分析和设计调制解调器。

傅里叶变换和拉普拉斯变换公式总结
傅里叶变换和拉普拉斯变换是信号处理和控制系统中常用的数学工具，它们可以将时域信号转换为频域信号，从而方便分析和处理。

傅里叶变换：
时域信号：f(t)
傅里叶变换：F(ω) = ∫[from -∞ to +∞] f(t) e^(-jωt) dt 逆变换：f(t) = 1/2π ∫[from -∞ to +∞] F(ω) e^(jωt)
dω
傅里叶变换可以将时域信号分解为不同频率的正弦和余弦函数的叠加，从而方便分析信号的频谱特性。

拉普拉斯变换：
时域信号：f(t)
拉普拉斯变换：F(s) = ∫[from 0 to +∞] f(t) e^(-st) dt
逆变换：f(t) = 1/2πj ∫[from α-j∞ to α+j∞] F(s)
e^(st) ds
拉普拉斯变换是傅里叶变换在复平面上的推广，可以处理包括指数衰减和增长的信号，并且在控制系统和信号处理中有着更广泛的应用。

在工程中，傅里叶变换和拉普拉斯变换常用于分析信号的频谱特性、系统的稳定性和动态响应等问题。

同时，它们也是许多数字信号处理和控制系统设计的基础。

因此，掌握傅里叶变换和拉普拉斯变换的原理和公式，对于工程领域的专业人士来说是非常重要的。

作业： 4.8，4.9（2）、（3），4.18 预习：4.5节和4.6节4．3．DTFT 的性质1．线性： ∑=Ω∑=⎯⎯→←NijiiNiiieXanxa1DTFT1)(][2．对称性连续时间傅里叶变换时域：连续，非周期，∫∞∞−=ωωπωd e j X t x tj )(21)( 频域：连续，非周期，∫∞∞−−=dt e t x j X t j ωω)()(对称性：)(2)(ωπ−⋅=x jt XCTFS ，DTFS 、DTFT 是否也有这种对称性？ DTFS ： ][1][][][n x Nn X k X n x −←→←→ CTFS ： ][)(2T CTFS,k X t x ⎯⎯⎯⎯→←=π DTFT ： )(][DTFTΩ−⎯⎯→←j e x n X同样DTFT ： ][][DTFTΩ⎯⎯→←j e X n x CTFS ： ][)(2T CTFS,k x e X j −⎯⎯⎯⎯→←=Ωπ3．共轭对称性∑∞−∞=Ω−Ω=n nj j e n x eX ][)(∑∞−∞=Ω−∑∞−∞=ΩΩ−==m m j n n j j e m x e n x e X ][][)(*** 表明：)(][*DTFT*Ω⎯⎯→←−j e X n x )(][*DTFT*Ω−⎯⎯→←j e X n x共轭信号→共轭、反褶，反之亦然若是实信号，则有： ][n x ⑴ )()(*Ω−Ω=j j e X e X ⑵ )](Re[)](Re[Ω−Ω=j j e X e X)](Im[)](Im[Ω−Ω−=j j e X e X证明：)](Im[)](Re[)(ΩΩΩ+=j j j e X j e X e X )](Im[)](Re[)(*ΩΩΩ−=j j j e X j e X e X由于)()(*Ω−Ω=j j e X e X 而)](Im[)](Re[)(Ω−Ω−Ω−+=j j j e X j e X e X 故而得证⑶ 若)(|)(|)(ΩΩΩ=j j j j e e X e X ϕ，则 |)(||)(|Ω−Ω=j j e X e X ；)()(Ω−−=Ωj j ϕϕ ⑷ 若][][][n x n x n x o e +=，则偶分量和的实部相对应；奇分量和虚部相对应。

时域信号
弧频率表示的
傅里叶变换
注释
1
线性
2
时域平移
3
频域平移, 变换2的频域对应
4
如果
值较大，则会收缩到原
点附近，而会扩散并变得
扁平. 当 | a | 趋向无穷时，成为
Delta 函数。

5
傅里叶变换的二元性性质。

通过交换时域变量 和频域变量 得到.
6
傅里叶变换的微分性质
7
变换6的频域对应
表示和的卷积—这就是卷积定理
矩形脉冲和归一化的
变换
想的低通滤波器，
滤波器对反因果冲击的响应。

tri
变换
高斯函数
换是他本身
这是可积的。

a>0
变换本身就是一个公式δ
这个变换展示了狄拉克要性：
变换
由变换
由变换
式
由变换
这里
是狄拉克
这个变换是根据变换将此变换与
换所有多项式。

此处
换与变换
变换
变换
此处
根据变换
u
狄拉克梳状函数
理解从连续到离散时间的转变
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