概率论与数理统计(二维随机变量的边缘分布)

以上两式说明，由联合分布函数可以求出每个分 量的分布函数，
但由各个分量的分布函数不一定求出联合分布函 数．
3.2.1 二维随机变量的边缘分布函数 【例3.8】设(X，Y)的分布函数为
求F ( 关x ,于y ) X和1 2 Y(的a 边缘x r 分 2 布) c 函( 数ta Fa y X( xr )2 、n ) Fc , Y( y)x t ．,y a n
分布，它们的边缘分布都是一样的，这一事实再次 表明，单由关于X和关于Y的边缘分布，一般来说 不能确定随机变量X和Y的联合分布．
概念推广
(1) n维随机变量的分布函数
n 维随 (X 1 ,机 X 2 , ,X 变 n )的 量 分
F ( x 1 , x 2 , , x n ) P { X 1 x 1 , X 2 x 2 , , X n x n } 其x1 中 ,x2, ,xn为任.意实数
y1
p 11 p 21 p i 1
y2
p 12 p 22 p i 2
yj
p 1 j p 2 j p ij
Pi• P{Xxi} pij,i1,2, ;
j1
P• j P{Yyj} pij,j1,2, .
i1
【补充例 】已知下列分布律求其边缘分布律.
YX
01
0 16
12
42
42
1 12
解：由定义知
FX(x)yl im F(x,y)y l im [ 12(arc x t 2a )(naryc 2 t)a]n
1 2 (ax r 2 c )t 1 a an r x c 1 2 ,t - a x n
同理可求得：
F Y(y) 1arcy t1 2 a, n - y
3.2.2 二维离散型随机变量的边缘分布律 设二维离散型随机变量(X，Y)的分布律为
设二维随机变量(X，Y)具有分布函数F(x，y)．
X和Y都是一维随机变量，也各有对应的分布函数 FX(x)和FY(y)，依次称为二维随机变量(X，Y)关于X 和关于Y的边缘分布函数．
易知
F X ( x ) P { X x } P { X x , Y } y l i F ( x m ,y ) F ( x , ) F Y ( y ) P { Y y } P { X , Y y } x l i F ( x m , y ) F ( , y )
概率密度．
3.2.3 二维连续型随机变量的边缘概率密度
【例3.10】设二维随机变量(X，Y)的联合概率密度
为
f(x,y) 1 0,,
0x1,|y|x 其它
求边缘概率密度fX(x)和fY(y)．
解：f(x，y)的非零区域如图:
fX(x)
f(x,y)d
y
x
dy,
x
0,
0其x它120x, ,
0 x1 其它
布．
3.2.3 二维连续型随机变量的边缘概率密度
设二维连续型随机变量(X，Y)的分布函数为
F(x，y)，概率密度为f(x，y).
因为
x
由分布F 函X (x 数) 定F 义(x ,知，) X 是 (一 个f(连x ,y 续)d 型)d 随y机x变量，
且其概率密度为
fX(x)
f(x,y)dy
同样有
(3) n维随机变量的边缘分布函数
F X 1 ( x 1 ) F ( x 1 , , , , ) 称 n 维 为随 (X 1 ,X 机 2 , ,X n 变 )关 X 1 量 的 于 边 分布 . 函数
F X i(x i) F ( , ,x i, ,. ) .., 称 n 维 为随 (X 1 ,机 X 2 , ,X 变 n )关 X 量 i的 于 边缘 分布 . 函数
解：(1) (X，Y)所有可能取值为：(0，0)、(0，1)、
(1，0)、(1，1)则
P{X0,Y0} P { X 0 } P { Y 0 |X 0 } 3 3 9
同理 P{X0,Y1}326,
5 5 25
55 25
P{X1,Y0} 6, 25
P{X1,Y1} 4 25
3.2.2 二维离散型随机变量的边缘分布律 于是(X，Y)的分布律和边缘分布律如下：
同理
P{X0,Y1}323 54 10
5 4 10
P{X1,Y0}3, 10
P{X1,Y1} 1 10
于是(X，Y)的分布律和边缘分布律如下：
Y X
0
1
0
3/10 3/10
1
3/10 1/10
P{Y = yj} 3/5 2/5
P{X = xi}
3/5 2/5 1
3.2.2 二维离散型随机变量的边缘分布律
第3章 多维随机变量及其分布
第3章 多维随机变量及其分布
3.2 二维随机变量的边缘分布
二维随机变量(X,Y)的分布主要包含三个方面的信息: 1. 每个分量的信息，即边缘分布; 2. 两个分量之间的关系程度，即相关系数; 3. 给定一个分量时，另一个分量的分布，即条件分 布; 本节先讨论边缘分布．
3.2.1 二维随机变量的边缘分布函数
(2) n维随机变量的概率密度函数
若存在 f(x 非 1,x2, 负 ,xn)使 ,函对 数于 实x1 数 ,x2, ,xn有
F (x 1,x 2, ,x n)
x n x n 1 x 1f(x 1,x 2, ,x n)dx 1dx 2 dx n,
则f称 (x1,x2, ,xn)为 (X 1,X 2, ,X n)的概率 度函 . 数
令 t 1 12(y22x11)， 则 有
即 fX(x)211e(x212 1)2
t2
e2dt
故X～N(1,12)，同理
fY(y)
1 e , (y222 2)2 y
22
即Y～N(2,22)．
我们看到二维正态分布的两个边缘分布都是一
维正态分布，并且都不依赖于参数，亦即对于给
定的 1,2,12,22 ，不同的对应不同的二维正态
D 1 223 2424 3 4 F 01 1 1 1 21 1 1 2
由此得 D和F的联合分布律与 布边 律 : 缘分
样本点
D F
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 223 2424 3 4 01 1 1 1 21 1 1 2
F D 1234
0
1 10 0 0 0
1
0 4 10 2 10 1 10
且
( y 2 2 ) 2 2( x 1 )y (2 ) (y 2 x 1 ) 2 2 ( x 2 1 ) 2
2
12
2
1
1
所以
fX(x)
f(x,y)d
y
1
e (x 2 1 2 1 )2
2121 2
ex 2 ( p 1 1{2 )(y 22x 11)2 } d
解： 先将试验的样本空间及X,Y取值的情况列出如下：
样本点 111 112 121 122 211 212 221 222
X22 3 3334 4 Y 0 -1 1 0 0 -1 1 0
样本点 111 112 121 122 211 212 221 222
X
22 3 3334 4
Y
0 -1 1 0 0 -1 1 0
类 似 可 fXi(xi定 )i,2,义 3, . n . . ,
☺课堂练习
一整N 数等可能地 1,2,在 3,,10十个值中取 一个.值 设DD(N)是能整N除 的正整数的 , 个 FF(N)是能整N除 的素数的.试 个写 数D 出和F 解的联合分,并 布求 律边缘分 . 布律
样本点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
X所有可能取的值为2，3，4；Y所有可能取的值为-1,
0,1.易得(X，Y)取(u,v)，u=2,3,4;v=-1,0,1的概率.
y
F Y (y ) F (,y ) ( f(x ,y )d)d xy
所以,Y也是一个连续型随机变量，其概率密度
为
fY(y)
f(x,y)dx
3.2.3 二维连续型随机变量的边缘概率密度
称
fX(x)
f(x,y)d
y为(X，Y)关于X的边缘
概率密度．
称
fY(y)
f(x,y)dx为(X，Y)关于Y的边缘
解: fX(x)f(x,y)dy
x
6d y,
x2
0d
y,
0 x1 其他
y (1,1)
yx
6(xx2), 0x1
0,
其他 O
y x2 x
由于 fX(x) 6(x 0,x2),
0x1, 其.他
x
FX(x) fX(x)dx
x
0d
x,
0
0dx
x 6(x x2)d x,
1,
0
0,
x0
3x2 2x3, 0 x 1
(4) n维随机变量的边缘概率密度函数
若 f(x 1,x 2, ,x n)是 (X 1,X 2, ,X n)的概 密 , 度
f X 1 ( x 1 ) f ( x 1 ,x 2 , ,x n ) d x 2 d x 3 d x n ,
称(X 为 1,X 2, ,X n)关X 于 1的边缘 . 概率
P{X = xi，Y = yj} = pij，i，j = 1，2，…，则
P {X x i} P {X x i,Y }
P{Xxi,Yyj} pij, i 1,2,
j1
j1
P { Y y j} P {X ,Y y j}
P{Xxi,Yyj} pij, j 1,2,
i1
i1
3.2.2 二维离散型随机变量的边缘分布律 设二维离散型随机变量(X，Y)的分布律为
Y