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基本不等式的应用【教学目标】12a b +≤；会用此不等式证明不等式,会应用此不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题；22a b +≤，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。
3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。
【教学重点】2a b +≤，会用此不等式证明不等式，会用此不等式求某些函数的最值【教学难点】利用此不等式求函数的最大、最小值。
【教具准备】与教材内容相关的资料。
【教学设想】通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
【教学过程】学生探究过程： 1.课题导入1．基本不等式：如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab b a22a b +≤求最大（小）值的步骤。
2.讲授新课1）利用基本不等式证明不等式例1 已知m>0,求证24624m m+≥。
[思维切入]因为m>0,所以可把24m和6m 分别看作基本不等式中的a 和b, 直接利用基本不等式。
[证明]因为 m>0,，由基本不等式得246221224m m +≥=⨯=当且仅当24m=6m ，即m=2时，取等号。
规律技巧总结 注意：m>0这一前提条件和246m m⨯=144为定值的前提条件。
3.巩固练习1[思维拓展1] 已知a,b,c,d 都是正数，求证()()4ab cd ac bd abcd ++≥.[思维拓展2] 求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+.例2 求证:473a a +≥-. [思维切入] 由于不等式左边含有字母a,右边无字母,直接使用基本不等式,无法约掉字母a,而左边44(3)333a a a a +=+-+--.这样变形后,在用基本不等式即可得证.[证明]443(3)333733a a a +=+-+≥==-- 当且仅当43a -=a-3即a=5时,等号成立. 规律技巧总结 通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式.2)利用不等式求最值例3 (1) 若x>0,求9()4f x x x=+的最小值; (2)若x<0,求9()4f x x x=+的最大值. [思维切入]本题(1)x>0和94x x⨯=36两个前提条件;(2)中x<0,可以用-x>0来转化. 解 1) 因为 x>0 由基本不等式得9()412f x x x =+≥==,当且仅当94x x =即x=32时, 9()4f x x x =+取最小值12.(2)因为 x<0, 所以 -x>0, 由基本不等式得:99()(4)(4)()12f x x x x x -=-+=-+-≥=, 所以 ()12f x ≤. 当且仅当94x x -=-即x=-32时, 9()4f x x x=+取得最大-12.规律技巧总结 利用基本不等式求最值时,个项必须为正数,若为负数,则添负号变正.巩固练习2[思维拓展1] 求9()45f x x x =+-(x>5)的最小值.[思维拓展2] 若x>0,y>0,且281x y +=,求xy 的最小值.4.评价设计１．证明：22222a b a b ++≥+２．若1->x ，则x 为何值时11++x x 有最小值，最小值为几？【教学反思】2a b +≤证明不等式和求函数的最大、最小值。
3.2 一元二次不等式的解集为R 的条件及应用我们知道，当0a >，且当0∆<时，不等式)0(02≠>++a c bx ax 的解集为R ；反之，亦然. 这是一个及其重要的结论，本文举例说明其应用，供参考. 一、求参数的值例1． 已知二次函数)(x f 的图象经过点),0,1(- 是否存在常数c b a ,,使不等式21)(2x x f x +≤≤对一切实数x 恒成立，若存在，求出c b a ,,；若不存在，请说明理由. 解：假设存在符合条件的c b a 、、.()f x 的图象过点)0,1(-，∴.0,0)1(=+-=-c b a f 即21()(1)2x f x x ≤≤+对一切x R ∈都成立，令1x =，则211112a b c ≤++≤+（）. 1.a b c ∴++=).21(21)(21212a x ax x f c a b -++==+=∴，， ∴2(),1()(1).2f x x f x x ≥⎧⎪⎨≤+⎪⎩即2211()0,(1)2211()0.(2)22ax x a a x x a ⎧-+-≥⎪⎪⎨⎪-+-≤⎪⎩对R x ∈成立. 由（1）0=a 时，不合题意，所以，⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧=⇔≤-->⇔≤∆>.41,0)21(441,0,0,0a a a a a 将41=a 代入（2）得0122≥+-x x 解集为.R 故存在满足条件的,,abc ，使11,.42a c b === 二、求参数的取值范围例2．知实数d c b a ,,,满足,7,52222=+++=+++d c b a d c b a 求a 的最大值. 解：构造函数R x d x c x b x y ∈-+-+-=222)()()(，R x d c b x d c b x y ∈≥+++++-=,0 )(232222 ，当且仅当d c b x ===时取等号，则有0)(12)(42222≤++-++=∆d c b d c b ，即22520a a -+≤，解得.221≤≤a 故当d c b ===1时a 取最大值2.例3．已知对于任意实数m ，方程0)()1(2=-+-a x x m 恒有实根，求实数a 的取值范围.解：方程可化为.0)(2=+-+a m x mx（1）当0=m 时，方程恒有实根a x =；（2）当0≠m 时，任意实数m ，方程0)(2=+-+a m x mx 恒有实根，则判别式)(0)(41R m a m m ∈>++=∆恒成立，即01442>++ma m 对任意实数m 恒成立，所以，016162/<-=a ∆，解得.11<<-a综上，得当0=m 时，R a ∈；当0≠m 时，.11<<-a注意：（1）不等式R x c bx ax ∈>++,02恒成立, 则0>a ，且判别式0<∆，或．，且00>==c b a （2）不等式R x c bx ax ∈<++,02恒成立, 则0<a ，且判别式0<∆或．，且00<==c b a （3）不等式],[)0(02n m x a c bx ax ∈≠>++恒成立，则;0,0<>∆a 或 .0)(,2,0;0)(,2,0>≥->>≤->n f n ab a m f m a b a 或 （4）不等式],[)0(02n m x ac bx ax ∈≠<++恒成立, 则;0,0<<∆a 或.0)(,2,0;0)(,2,0<≥-<<≤-<n f n ab a m f m a b a 或 三、证明不等式证明不等式例4．已知,0>a 函数2bx ax y -=，当0>b 时，若对任意R x ∈都有1y ≤，求证：.2b a ≤证明：依题意，有,12≤-bx ax 即012≥+-ax bx )(R x ∈，而,0>b 所以，.2,0,04)(2b a a b a ≤∴>≤--=∆又例5．设,1,,,=++∈c b a R c b a 且求证：.31222≥++c b a证明: 构造函数,0)()()(222≥-+-+-=c x b x a x y而R x c b a x c b a x y ∈≥+++++-=,0)(232222恒成立，则判别式 22224()12()0.a b c a b c ∆=++-++≤因为1a b c ++=，故.31222≥++c b a 同步练习（供选用）1．不等式223222x kx k x x ++≥++对一切实数x 恒成立，求实数k 的取值范围． 2．当)6,2(-∈x 时，,02322>-++a b x a ax 当),6()2,(∞+--∞∈ x 时, .02322<-++a b x a ax（1）求b a ,的值；（2）当k 为何值时，)16(23)2(4322-++-++-k kx a b x a ax k 恒为负值？ 3．（1）若对任意实数,x 不等式02)2()2(2>++-+-k x k x k 恒成立, 则实数k 的取值范围是_____;（2）若集合,}01)1()1(|{22R x m x m x =<-+-- 则实数m 的取值范围是._____（3）设集合}01|{<<-=m m P ，044|{2<-+=mx mx m Q 对任意实数x 恒成立}，则下列关系中成立的是（ ）（A ）Q P ⊆ （B ）P Q ⊆ （C ）Q P = （D ）∅=Q P4．已知函数3)1(4)54(22+-+-+=x k x k k y 的图象都在x 轴的上方，求实数k 的取值范围.5．已知函数)(2)1()1011(22R x x a x a a y ∈+--+--=的值恒为正数, 求实数a 的取值范围.6．函数2()3f x x ax =++，当 ]2,2[-∈x 时，a x f ≥)(恒成立, 求实数a 的取值范围.7．若函数()f x =R ，求实数a 的取值范围. 答案1．]10,2[；2．08,8,4≤<---k ；3．（1）2k ≥；（2）31.5m -≤<（3）A 4．)19,1[ 5．)9,1[ 6．]2,7[- 7．]2,0(。
3.4.2 基本不等式的应用学习目标：1.掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能应用基本不等式解决生活中的应用问题．基本不等式与最值已知a ≥0，b ≥0，在运用基本不等式时，要注意： (1)和a ＋b 一定时，积ab有最大值；(2)积ab 一定时，和a ＋b 有最小值； (3)取等号的条件⎝⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝b 时，ab ＝a ＋b 2.[基础自测]1．设x ，y 满足x ＋y ＝40，且x ，y 都是正数，则xy 的最大值为________． [解析] ∵x ，y ∈(0，＋∞)，∴xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝400， 当且仅当x ＝y ＝20时等号成立． [答案] 4002．把总长为16 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m 2.[解析] 设一边长为x m ，则另一边长为(8－x )m ，则面积S ＝x (8－x )≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋8－x 22＝16， 当且仅当x ＝8－x ，即x ＝4时等号成立． [答案] 16利用基本不等式求条件最值(1)已知x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1，则x ＋y 的最小值是________． (2)若x ＋2y ＝1，且x >0，y >0，则8x ＋1y 的最小值为________． [思路探究] 注意条件“1x ＋9y ＝1”及“x ＋2y ＝1”的作用． [解] (1)∵1x ＋9y ＝1，x >0，y >0， ∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ＝10＋y x ＋9x y ≥10＋29 ＝16.当且仅当y x ＝9xy ，即x ＝4，y ＝12时等号成立． (2)∵x ＋2y ＝1，x >0，y >0， ∴8x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋1y (x ＋2y )＝8＋2＋16y x ＋xy ≥10＋216＝18.当且仅当16y x ＝x y ，即x ＝23，y ＝16时等号成立．[答案] (1)16 (2)18[规律方法] 解决含有两个变量的代数式的最值时，常用“变量”替换，“1”的替换，构造不等式求解.[跟踪训练]1．(1)已知正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________． (2)已知点M (a ，b )在直线x ＋y ＝1上，则a 2＋b 2的最小值为________． [解析] (1)法一：由ab ＝a ＋b ＋3，得b ＝a ＋3a －1.由b >0，得a ＋3a －1>0.∵a >0，∴a >1.∴ab ＝a ·a ＋3a －1＝a 2＋3aa －1＝[(a－1)＋1]2＋3[(a－1)＋1]a－1＝(a－1)＋4a－1＋5≥2(a－1)·4a－1＋5＝9.当且仅当a－1＝4a－1，即a＝3时，取等号，此时b＝3.∴ab的取值范围是[9，＋∞)．法二：由于a，b为正数，∴a＋b≥2ab，∴ab＝a＋b＋3≥2ab＋3，即(ab)2－2ab－3≥0，∴ab≥3，故ab≥9，当且仅当a＝b＝3时，取等号．∴ab的取值范围是[9，＋∞)．(2)因为点M(a，b)在直线x＋y＝1上，所以a＋b＝1，因为a2＋b2≥(a＋b)22＝1 2，当且仅当a＝b＝12时等号成立，所以a2＋b2≥12＝22，所以a2＋b2的最小值为2 2.[答案](1)[9，＋∞)(2)22利用基本不等式解实际应用题层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)[思路探究]根据题目列函数关系式，利用基本不等式求最值并确定取得最值的条件，得出结论．[解] 设将楼房建为x 层，则每平方米的平均购地费用为2 160×1042 000x ＝10 800x .∴每平方米的平均综合费用y ＝560＋48x ＋10 800x ＝560＋48⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋225x . 当x ＋225x 取最小值时，y 有最小值． ∵x >0，∴x ＋225x ≥2x ·225x ＝30，当且仅当x ＝225x ，即x ＝15时，上式等号成立． 所以当x ＝15时，y 有最小值2 000元．因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最少．[规律方法] 在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下的思路和方法： （1）先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；（2）建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题； （3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值； （4）根据实际背景写出答案. [跟踪训练]2．某汽车公司购买了4辆大客车，每辆200万元，用于长途客运，预计每辆车每年收入约100万元，每辆车第一年各种费用约为16万元．且从第二年开始每年比上一年所需费用要增加16万元．(1)写出4辆车运营的总利润y (万元)与运营年数x (x ∈N *)的函数关系式； (2)这4辆车运营多少年，可使年平均运营利润最大？ [解] (1)依题意，每辆车x 年总收入为100x 万元， 总支出为200＋16×(1＋2＋…＋x ) ＝200＋12x (x ＋1)·16(万元)．∴y ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤100x －200－12x (x ＋1)·16 ＝16(－2x 2＋23x －50)． (2)年平均利润为 y x ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫23－2x －50x＝16⎣⎢⎡⎦⎥⎤23－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x .又x ∈N *， ∴x ＋25x ≥2x ·25x ＝10，当且仅当x ＝5时，等号成立， 此时yx ≤16×(23－20)＝48.∴运营5年可使年平均运营利润最大，最大利润为48万元.形如y ＝x ＋px 的最值问题[探究问题]可以用基本不等式求函数y ＝x ＋4x (x ≥4)的最小值吗？为什么？ [提示] ∵x ≥4， ∴y ＝x ＋4x ≥2x ·4x ＝4，当且仅当x ＝4x ， 即x ＝2时等号成立， 又x ≥4，故不可以用基本不等式求其最小值．由于y ＝x ＋4x 在[4，＋∞)上单调递增，故当x ＝4时， y min ＝4＋44＝5.已知a >0，求函数y ＝x 2＋a ＋1x 2＋a的最小值．[思路探究] 分“a >1”和“0<a ≤1”两类分别求函数的最值． [解] ∵y ＝x 2＋a ＋1x 2＋a＝x 2＋a ＋1x 2＋a.(1)当0<a ≤1时，y ＝x 2＋a ＋1x 2＋a ≥2，当且仅当x 2＋a ＝1x 2＋a， 即x 2＋a ＝1，x ＝±1－a 时取等号y min ＝2. (2)当a >1时， 令x 2＋a ＝t ， 则t ≥a ，∴y ＝f (t )＝t ＋1t ，利用单调性可知f (t )在[a ，＋∞)上是增函数， ∴y ≥f (a )＝a ＋1a， 当且仅当t ＝a ，即x ＝0时等号成立． ∴y min ＝a ＋1a. 综上所述，当0<a ≤1时， y min ＝2； 当a >1时，y min ＝a ＋1a. [规律方法]1．利用基本不等式求最值的前提条件是：一正、二定、三相等． 2．在等号不成立时，常借助函数的单调性求其最值． [跟踪训练]3．已知两正数x ，y 满足x ＋y ＝1，求z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1y 的最小值．[解] 由x ＋y ＝1知x 2＋y 2＋2xy ＝1， ∴x 2＋y 2＝1－2xy .从而有z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1y ＝1xy (x 2y 2＋x 2＋y 2＋1)＝1xy (2＋x 2y 2－2xy )，令xy ＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<t ≤14，且t ＝14时，x ＝y ＝12，则z ＝2t ＋t －2，再令f (t )＝2t ＋t ，可以证明f (t )＝2t ＋t 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14上单调递减，故当t＝14时，f(t)＝2t＋t取最小值334，∴当x＝y＝12时，z＝⎝⎛⎭⎪⎫x＋1x⎝⎛⎭⎪⎫y＋1y取最小值254.1．已知x，y都是正数，(1)如果xy＝15，则x＋y的最小值是________；(2)如果x＋y＝15，则xy的最大值是________．[解析](1)x＋y≥2xy＝215，即x＋y的最小值是215，当且仅当x＝y＝15时取最小值．(2)xy≤⎝⎛⎭⎪⎫x＋y22＝⎝⎛⎭⎪⎫1522＝2254，即xy的最大值是2254.当且仅当x＝y＝152时，xy取最大值．[答案](1)215(2)22542．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则该公司年平均利润的最大值是________万元．[解析]每台机器运转x年的年平均利润为yx＝18－⎝⎛⎭⎪⎫x＋25x，而x>0，故yx≤18－225＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．[答案]83．已知a>0，b>0，a＋b＝1，则1a＋1b的取值范围是________．[解析]∵a＋b＝1，a>0，b>0，∴1a＋1b＝a＋ba＋a＋bb＝2＋ba＋ab≥2＋2ba·ab＝4.当且仅当b a ＝ab ， 即a ＝b ＝12时等号成立．[答案] 44．建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________元．[解析] 设水池的造价为y 元，长方形底的一边长为x m ， 由于底面积为4 m 2，所以另一边长为4x m. 那么y ＝120·4＋2·80·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2·4x ＝480＋320⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x≥480＋320·2x ·4x ＝1 760(元)．当x ＝2，即底为边长为2 m 的正方形时，水池的造价最低，为1 760元． [答案] 1 7605．设x ，y ＞0，且x ＋y ＝4，若不等式1x ＋4y ≥m 恒成立，求实数m 的最大值． [解] 1x ＋4y ＝14(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4x y ＋y x ≥14⎝⎛⎭⎪⎫5＋24x y ·y x ＝14(5＋4)＝94. 当且仅当4x y ＝y x ，且x ＋y ＝4，即x ＝43，y ＝83时，上式取“＝”．故⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y min＝94. ∵1x ＋4y ≥m 恒成立，∴m ≤94，∴m max ＝94.由Ruize收集整理。
