高二数学不等式的证明知识点归纳-初三数学知识点归纳

不等式的性质和证明一、基础知识1．性质对称性a＞bÛb＜a 传递性a＞b，b＞c Þ a＞c 加法单调性a＞b Þ a+c＞b+c 乘法单调性a＞b，c＞0 Þ ac＞bc；a＞b，c＜0 Þ ac＜bc开方法则a＞b＞0 Þ移项法则a+b ＞c Þ a＞c－b 同向不等式相加a＞b，c＞d Þ a+c＞b+d 同向不等式相乘a＞b＞0，c ＞d＞0 Þ ac＞bd 乘方法则a＞b＞0 Þ a n＞b n倒数法则a＞b，ab＞0 Þ2．证明方法：比较法，综合法，分析法，反证法，换元法证明技巧：逆代，判别式，放缩，拆项，单调性3．主要公式及解题思路公式：a2+b2≥2ab（a，b∈R）a3+b3+c3≥3abc（a，b，c∈R+）思路：①②③④正数x，y且x+y=1，求证：≥二、例题解析1．（1）a，b∈R+且a＜b，则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．（2）若0＜x＜1，0＜y＜1且x≠y，则x2+y2，x+y，2xy，中最大的一个是（）A．x2+y2B．x+y C．2xy D．（3）若a，b为非零实数，则在①a2+b2≥2ab ②≤ ③≥④≥2中恒成立的个数为（）A．4B．3C．2D．1（4）下列函数中，y的最小值是4的是（）A．B．C．y= D．y=lgx+4log x10（5）若a2+b2+c2=1，则下列不等式成立的是（）A. a2+b2+c2＞1B.ab+bc+ca≥C.|abc|≤ D a3+b3+c3≥2．（1）已知x，y∈R+且2x+y=1，则的最小值为（2）已知x，y∈R 且x2+y2=1，则3x+4y的最大值为（3）在等比数列{a n}和等差数列{b n}中，a1=b1＞0，a3=b3＞0，a1≠a3，试比较大小：a5b5（4）已知a＞0，b＞0，a + b=1，则的最小值为（5）已知：x+2y=1，则的最小值为（6）已知：x＞0，y＞0且x+2y=4，则lg x + lg y的最大值为（7）若x＞0，则，若x＜0，则（8）建造一个容积为8 m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁造价分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为元。

不等式的性质知识点及题型归纳总结知识点精讲一、不等式的基本性质不等式的性质是证明和解不等式的主要依据.运用时，对每一条性质要弄清条件和结论，注意条件加强和放宽厚条件和结论之间的变化；不仅要记住不等式运算法则的结论形式，还要掌握法则成立的条件，避免由于忽略某些限制条件而造成解题失误.1. 两个不等式的同向合成，一律为“”（充分不必要条件）（1）（传递性，注意找中间量）（2）（同向可加性）（3）（同正可乘性，注意条件为正）注：如，其逆命题不成立，如但是.2. 一个不等式的等价变形，一律为“”（充要条件），这是不等式解法的理论依据（1）.（2）（对称性）（3）（乘正保号性）（4）（5）（不等量加等量）（6）（乘方保号性，注意条件为正）（7）（开方保号性，注意条件为正）（8）（同号可倒性）；.最为重要的3条不等式性质为：①；②；③，在不等式问题中都有重要的应用，但应注意他们的适用条件，可以用口诀“同．向同正可乘．．．．．．．”来记忆.．．．．．；同号取倒需反向题型归纳及思路提示题型1 不等式的性质思路提示应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率.例7.1 对于实数，有以下命题：①若，则；②若，则；③若则；④若，则；⑤若，则. 其中真命题的个数是（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个分析：判断命题的真假，要紧扣不等式的性质，应注意条件与结论之间的联系.解析：①中值的正负或是否为零未知，因而判断不等关系缺乏依据，故该命题是假命题；②中，由可知，则，故该命题是真命题；③中，不等式两边同乘，可得，若同乘，可得，易知成立，故该命题为真命题；④中，由可知，故有，又因，由“同向同正可乘”性可知成立. 故该命题为真命题；⑤中，由已知，因为，故，又，所以，故该命题为真命题. 综上所述，②③④⑤都是真命题，故选C.评注：准确记忆各性质成立的条件，是正确应用的前提. 在不等式的判断中，特殊值法是非常有效的方法，如变式3.变式1设，若，则下列不等式中正确的是（）A. B. C. D.变式2设是非零实数，若，则下列不等式中成立的是（）A. B. C. D.变式3 若，则下列结论中正确的是（）A. 和均不成立B. 和均不成立C. 不等式和均不成立D. 不等式和均不成立变式4若，且，则下列代数式中值最大的是A. B. C. D.题型2 比较数（式）的大小与比较法证明不等式思路提示比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性.比较法又分为作差比较法和作商比较法.作差法比较大小的步骤是：（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论.作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论.其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小. 作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法，作商法比较大小的原理是：若，则；；；若，则；；；例7.2若且，试比较与的大小.解析：解法一：，因为且，所以，所以.解法二：，因为且，所以，又，所以.变式1若，试比较与的大小变式2设且，试比较与的大小例7.3 在锐角中，若函数在上单调递减，则下列命题中正确的是（）A. B.C. D.解析：因为在锐角中有，由在上为单调递增函数，所以，且，又函数在上单调递减，所以，故选D.变式1 已知函数是上的偶函数，且在区间上是增函数，令，则（）A. B. C. D.变式2已知函数，那么的值（）A. 一定大于0B. 一定小于0C. 等于0D. 确定题型3 已知不等式的关系，求目标式的取值范围思路提示在约束条件下求多变量函数式的范围时，不能脱离变量之间的约束关系而独立分析每个变量的范围，否则会导致范围扩大，而只能建立已知与未知的直接关系.例7.4已知，且，则的取值范围是.解析：解法一：令得，，解得.即. 由得，所以. 故的取值范围是.解法二：本题还可以利用“线性规划”的方法求解.如图7-1所示，当直线过点时，取最大值，点的坐标为，所以；当直线过点时，取最小值，当的坐标为，所以，又本题不取边界，因此的取值范围是.评注：不能求出独立的范围内，简单利用不等式性质求解，可结合后面线性规划理解并求解.变式1已知且，，求的范围.变式2设为实数，满足，则的最大值是.最有效训练题1. 如果满足，且，那么下列选项中不一定成立的是（）A. B. C. D.2. 设，则下列不等式中成立的是（）A. B. C. D.3. 已知，并且，那么一定成立的是（）A. B. C. D.4. 若为实数，则下列命题中正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则5. 若，则的值是（）A. 大于0B. 等于0C. 小于0D. 符号不能确定6. 已知，下列四个条件中，使得成立的必要而不充分条件是（）A. B. C. D.7. 已知四个条件：能推出成立的有个.8. 若，则的取值范围是.9. 已知下列三个不等式：①；②；③，以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可能成个正确命题.10. 已知且，求的取值范围.11. 设，且，求的取值范围.12. 若实数满足，试比较的大小.。

不等式的基本性质与解法知识点总结不等式在数学中占据着重要的地位，它是描述数值关系的一种有效方式。

本文将总结不等式的基本性质和解法知识点。

一、不等式的基本性质1. 加法性质：若a>b，则a+c>b+c，其中c为任意实数。

2. 减法性质：若a>b，则a-c>b-c，其中c为任意实数。

3. 乘法性质：若a>b且c>0，则ac>bc；若a>b且c<0，则ac<bc。

4. 除法性质：若a>b且c>0，则a/c>b/c；若a>b且c<0，则a/c<b/c。

5. 对称性质：若a>b，则-b>-a。

6. 传递性质：若a>b且b>c，则a>c。

7. 绝对值性质：若|a|>|b|，则a^2>b^2。

8. 幂性质：若a>b且n为正整数，则a^n>b^n。

二、不等式的解法1. 图像法：将不等式转化为图像，利用图像直观地判断解集。

2. 对称法：当不等式具有对称性时，可以利用对称性质简化计算。

3. 分情况讨论法：将不等式分成不同的情况进行讨论，逐一求解。

4. 加减法合并法：将不等式中的项进行合并，简化计算。

5. 取绝对值法：若不等式中存在绝对值，可以通过取绝对值简化问题。

6. 平方法：若不等式中存在平方或平方根，可以通过平方或开方简化计算。

7. 代入法：将不等式中的变量代入，通过求解方程得到不等式的解集。

8. 倒置法：将不等式的方向倒置，从而转化为已知的不等式进行求解。

9. 寻找最值法：通过寻找函数的最值，确定不等式的解集。

10. 数学归纳法：对于一些特殊的不等式，可以通过数学归纳方法来证明。

三、实例分析以下是一些例子，通过上述解法来解答：例子1：解不等式2x+3>7。

解法：首先，我们可以使用加减法合并法将不等式化简为2x>4。

然后，再利用乘法性质除以2，得到x>2。

初中数学知识归纳不等式的基本性质和解法初中数学知识归纳：不等式的基本性质和解法不等式是数学中重要的概念之一，它在实际问题中的应用十分广泛。

本文将对不等式的基本性质和解法进行归纳总结，以帮助初中学生更好地理解和掌握这一知识点。

一、不等式的基本性质1. 不等式的传递性不等式具有传递性，即若 a < b 且 b < c，则有 a < c。

这个性质在解不等式时常常被使用。

2. 不等式的加减性对于不等式 a < b，若 c > 0，则 a + c < b + c；若 c < 0，则 a + c > b+ c。

同理，对于不等式 a > b，若 c > 0，则 a - c > b - c；若 c < 0，则 a - c < b - c。

3. 不等式的乘除性对于不等式 a < b，若 c > 0，则 ac < bc；若 c < 0，则 ac > bc。

若 c= 0，则不等号方向保持不变。

同理，对于不等式 a > b，若 c > 0，则ac > bc；若 c < 0，则 ac < bc。

若 c = 0，则不等号方向保持不变。

4. 不等式的倒置对于不等式 a < b，将两边同时取负号得到 -a > -b；若将两边同时取倒数，则不等号需要倒置，即 1/a > 1/b。

同理，对于不等式 a > b，将两边同时取负号得到 -a < -b；若将两边同时取倒数，则不等号方向保持不变。

二、不等式的解法1. 图解法对于简单的线性不等式，我们可以借助坐标轴将其图像表示出来，进而直观地找到解的范围。

例如，对于不等式 2x + 3 > 7，可以将其表示为一条直线，并标记出不等号所指向的一侧。

2. 正系数法若不等式中存在正系数，则我们可以通过减法或除法来推导解的范围。

高二数学不等式的证明知识点归纳:初三数学知识点归纳不等式的证明已成为各类数学竞赛的热门题型，也是高二数学教学的重点，下面是小编给大家带来的高二数学不等式的证明知识点归纳，希望对你有帮助。

高二数学不等式的证明知识点1.不等式证明的依据(2)不等式的性质(略)(3)重要不等式：①|a|&ge;0;a2&ge;0;(a-b)2&ge;0(a、b&isin;R)②a2+b2&ge;2ab(a、b&isin;R，当且仅当a=b时取=号)2.不等式的证明方法(1)比较法：要证明a&gt;b(a0(a-b&lt;0)，这种证明不等式的方法叫做比较法.用比较法证明不等式的步骤是：作差变形判断符号.(2)综合法：从已知条件出发，依据不等式的性质和已证明过的不等式，推导出所要证明的不等式成立，这种证明不等式的方法叫做综合法.(3)分析法：从欲证的不等式出发，逐步分析使这不等式成立的充分条件，直到所需条件已判断为正确时，从而断定原不等式成立，这种证明不等式的方法叫做分析法.证明不等式除以上三种基本方法外，还有反证法、数学归纳法等.高二数学学习方法(1)记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师在课堂中拓展的课外知识。

记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。

(2)建立数学纠错本。

把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。

争取做到：找错、析错、改错、防错。

达到：能从反面入手深入理解正确东西;能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。

(3)熟记一些数学规律和数学小结论，使自己平时的运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。

(4)经常对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行整体集装，如表格化，使知识结构一目了然;经常对习题进行类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一;使几类问题归纳于同一知识方法。

要点重温之不等式的性质与证明1．在不等式两边非负的条件下能同时平方或开方，具体的：当a>0,b>0时，a>b ⇔a n >b n ； 当a<0,b<0时，a>b ⇔a 2<b 2；a 2>b 2⇔|a|>|b|。

在不等式两边同号的条件下能同时取倒数，但不等号的方向要改变，如：由x 1<2推得的应该是：x>21或x<0，而由x 1>2推得的应该是： 0<x<21（别漏了“0<x ”）等。

[举例]若)(x f =x 2,则)(31)(x f x g -=的值域为 ；3)(11)(++=x f x h 的值域为 。

解析：此题可以“逆求”：分别用g(x)、h(x)表示f(x)，解不等式f(x)>0即可。

以下用“取倒数”求：3-f(x)<3，分两段取倒数即0<3-f(x)<3得)(31x f ->31或3-f(x)<0得)(31x f -<0, ∴g(x )∈(-∞,0)∪(31,+∞)；f(x)+3>3⇒0<3)(1+x f <31⇒1<h(x)<34。

[巩固1] 若011<<b a ，则下列不等式①ab b a <+；②|;|||b a >③b a <；④2>+ba ab 中，正确的不等式有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个 [巩固2] 下列命题：①若a>b,则ac 2>bc 2；②若ac 2>bc 2,则a>b ；③若a>b,c>d 则a -d>b -c ； ④若a>b,则a 3>b 3；⑤若a>b,则),1lg()1lg(22+>+b a ⑥若a<b<0,则a 2>ab>b 2；⑦若a<b<0,则|a|>|b|；⑧若a<b<0,则b a a b >；⑨若a>b 且b a 11>,则a>0,b<0； ⑩若c>a>b>0,则bc b a c a ->-；其中正确的命题是 。

初三不等式必考知识点不等式是初中数学中的一种重要的数学概念，也是初三数学的必考知识点之一。

通过学习不等式，可以帮助学生提高数学推理能力和问题解决能力。

本文将介绍初三不等式的基本概念、性质以及解题方法，帮助同学们系统地掌握这一知识点。

一、不等式的基本概念不等式是用不等号（>、<、≥、≤）连接的两个数或者两个代数式。

其中，大于（>）和小于（<）表示严格不等关系，大于等于（≥）和小于等于（≤）表示不严格不等关系。

例如，2x + 3 > 5是一个不等式。

二、不等式的性质 1. 两个不等式的加法性质：如果a > b，那么a + c > b + c，其中c是任意实数。

2. 两个不等式的减法性质：如果a > b，那么a - c > b - c，其中c是任意实数。

3. 两个不等式的乘法性质：如果a > b，且c > 0，那么ac > bc；如果a > b，且c < 0，那么ac < bc。

4. 两个不等式的除法性质：如果a > b，且c > 0，那么a/c > b/c；如果a > b，且c < 0，那么a/c < b/c。

5. 不等式的对称性：如果a > b，则b < a；如果a ≥ b，则b ≤ a。

6. 不等式的传递性：如果a > b，且b > c，则a > c。

三、不等式的解题方法 1. 代数法代数法是解不等式的一种常用方法。

通过运用不等式的性质和运算法则，将不等式转化为简单的形式，从而求得不等式的解集。

常用的代数法有以下几种： - 加减消元法：根据不等式的加法性质和减法性质，通过加或减相同的数使不等式两端的系数相等，从而得到简单的不等式。

- 乘除消元法：根据不等式的乘法性质和除法性质，通过乘或除相同的数使不等式两端的系数相等，从而得到简单的不等式。

高二数学基本不等式知识点一、不等式的基本性质在学习不等式之前，我们先来了解一下不等式的基本性质。

不等式具有以下性质：1. 若不等式两边同时加（减）一个相同的正（负）数，不等式的不等关系不变。

2. 若不等式两边同时乘（除）一个相同的正（负）数，不等式的不等关系不变。

但是需注意，当乘（除）以一个负数时，不等号方向需要颠倒。

3. 若不等式两边交换位置，不等号方向需要颠倒。

二、基本不等式1. 两个正数的不等式：若a > 0，b > 0，则a > b等价于a² > b²。

2. 两个负数的不等式：若a < 0，b < 0，则a > b等价于a² < b²。

3. 正负数的不等式：若a > 0，b < 0，则a > b等价于a² < b²。

4. 平方不等式：若x > 0，y > 0，则x < y等价于√x < √y。

同理，对于x < 0，y < 0的情况，不等号方向需要颠倒。

5. 两个正数与一个负数的不等式：若a > 0，b > 0，c < 0，则a > b等价于 -a < -b，a * c > b * c。

三、不等式的解集表示法当我们解不等式时，需要将解表示出来。

不等式的解集表示法有以下几种形式：1. 区间表示法：用数轴上的区间表示解集。

例：对于不等式x > 3，解集可以用开区间(3, +∞)表示。

2. 图形表示法：我们可以通过图形的方式表示解集。

例：对于不等式x ≤ -2，解集可以用沿x轴方向的线段表示。

3. 集合表示法：用集合的形式表示解集。

例：对于不等式2 < x ≤ 5，解集可以用集合表示为{x | 2 < x ≤ 5}。

四、不等式的应用不等式是数学中常见的工具，在现实生活中也有广泛的应用。

不等式的性质与证明方法总结在数学中，不等式是一种非常重要的数学工具，用于描述数值之间的大小关系。

不等式可以帮助我们解决各种实际问题，同时也是数学推理和证明的基础。

本文将总结一些常见的不等式性质和证明方法，帮助读者更好地理解和应用不等式。

一、基本不等式性质1. 传递性：如果a < b，b < c，则有a < c。

这个性质是不等式推理的基础，可以用于简化证明过程。

2. 加法性：如果a < b，则a + c < b + c。

这个性质表示在不等式两边同时加上一个相同的数，不等式的大小关系不变。

3. 乘法性：如果a < b，c > 0，则ac < bc；如果a < b，c < 0，则ac > bc。

这个性质表示在不等式两边同时乘以一个正数或负数，不等式的大小关系会发生改变。

4. 对称性：如果a < b，则-b < -a。

这个性质表示如果不等式两边同时取相反数，不等式的大小关系会发生改变。

二、常见不等式1. 平均不等式：对于任意非负实数a1, a2, ..., an，有以下不等式成立：(a1 + a2 + ... + an) / n >= (a1 * a2 * ... * an)^(1/n)平均不等式可以用于证明其他不等式，如均值不等式、柯西不等式等。

2. 均值不等式：对于任意非负实数a1, a2, ..., an，有以下不等式成立：(a1 + a2 + ... + an) / n >= (a1^p + a2^p + ... + an^p)^(1/p)其中p为大于0的实数。

均值不等式可以用于证明其他不等式，如柯西不等式、夹逼定理等。

3. 柯西不等式：对于任意实数a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn，有以下不等式成立：(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2 <= (a1^2 + a2^2 + ... + an^2)(b1^2 + b2^2 + ... +bn^2)柯西不等式可以用于证明向量内积的性质，以及其他不等式的推导。

【初中数学】初中数学不等式的证明知识点归纳
【—不等式的证明】不等式的证明包括了比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法、反证法等。

不等式的证明
1、比较法
它包括两种方法：比较差法和比较商法。

2、综合法
在证明不等式时，从命题的已知条件出发，利用公理、定理和规则，逐步推导出待证明命题的方法称为综合法，也称为前推法或因果法。

3、分析法
在证明不等式时，从要证明的命题出发，分析其成立的充分条件，并运用一些已知的基本原理进行逐步探索。

最后，命题成立的条件被简化为一个已证明的定理、简单的事实或问题的条件。

这种证明方法被称为分析方法，这是一种实现因果关系的方法。

4、放缩法
在证明一个不等式时，有时要根据需要适当地放大或缩小待证明不等式的值，使其由繁变简，由难变易，从而达到证明的目的。

这种方法称为缩放法。

5、数学归纳法
用数学归纳法证明不等式时，要注意两步一结论。

在证明第二步时，一般多用到比较法、放缩法和分析法。

6.反证法
证明不等式时，首先假设要证明的命题的反面成立，把它作为条件和其他条件结合在一起，利用已知定义、定理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的条件或已证明的定理或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设的结论不成立，从而肯定原命题的结论成立的方法称为反证法。

无论上述哪种方法，我们都需要掌握它们。